тристенни ъгли. Теорема. Всеки плосък ъгъл на тристенен ъгъл е по-малък от сбора на другите му два плоски ъгъла. Доказателство. Да разгледаме тристенния ъгъл SABC. Нека най-големият от неговите плоски ъгли е ъгълът ASC. Тогава неравенствата?ASB? ?ASC< ?ASC + ?BSC; ?BSC ? ?ASC < ?ASC + ?ASB. Таким образом, остается доказать неравенство?ASС < ?ASB + ?BSC. Отложим на грани ASC угол ASD, равный ASB, и точку B выберем так, чтобы SB = SD. Тогда треугольники ASB и ASD равны (по двум сторонам и углу между ними) и, следовательно, AB = AD. Воспользуемся неравенством треугольника AC < AB + BC. Вычитая из обеих его частей AD = AB, получим неравенство DC < BC. В треугольниках DSC и BSC одна сторона общая (SC), SD = SB и DC < BC. В этом случае против большей стороны лежит больший угол и, следовательно, ?DSC < ?BSC. Прибавляя к обеим частям этого неравенства угол ASD, равный углу ASB, получим требуемое неравенство?ASС < ?ASB + ?BSC.
Слайд 3 от презентацията "Многостенен ъгъл"към уроците по геометрия по темата "Ъгли в пространството"Размери: 960 x 720 пиксела, формат: jpg. За да изтеглите безплатен слайд за използване на урок по геометрия, щракнете с десния бутон върху изображението и щракнете върху „Запазване на изображението като...“. Можете да изтеглите цялата презентация "Polyhedral angle.ppt" в 329 KB zip архив.
Изтегляне на презентацияЪгли в пространството
„Ъгълът между линиите в пространството“ - В куба A ... D1 намерете ъгъла между линиите: A1C1 и B1D1. Отговор: 45o. Отговор: 90o. В куб A…D1 намерете ъгъла между правите: AB1 и BC1. Ъгъл между линиите в пространството. В куб A…D1 намерете ъгъла между правите: AA1 и BD1. В куб A…D1 намерете ъгъла между правите: AA1 и BC1. Отговор: В куба A…D1 намерете ъгъла между правите: AA1 и BC.
"Геометрия на двустенния ъгъл" - ъгъл RSV - линеен за двустенен ъгъл с ръб AC. RMT ъгъл - линеен за двустенен ъгъл с RMCT. К. В. Геометрия 10 "А" клас 18.03.2008г. Двустенен ъгъл. правата BO е перпендикулярна на ръба CA (по свойството на равностранен триъгълник). На ръба на ASV. (2) На ръба на MTK. KDBA KDBC.
"Вписан ъгъл" - 2 случай. Q. Doc: Върхът не е върху окръжността. А. Случай 3. 2. Тема на урока: Вписани ъгли. б). Повторение на материала. Разрешаване на проблем. Проблем №1? Домашна работа.
"Тристенен ъгъл" - Последици. 1) За изчисляване на ъгъла между права линия и равнина е приложима формулата: . Дадено е: Оabc – тристенен ъгъл; ?(b; c) = ?; ?(a; c) = ?; ?(a; b) = ?. Доказателство I. Нека?< 90?; ? < 90?; (ABC)?с. Трехгранный угол. Тогда?ОВС = 90? – ? < ?ОВА (следствие из формулы трех косинусов). Формула трех косинусов.
слайд 1
слайд 2
Теорема. В тристенния ъгъл сборът от равнинните ъгли е по-малък от 360 и сборът на всеки два от тях е по-голям от третия. Дадено е: Оabc – тристенен ъгъл; (b; c) = ; (a; c) = ; (a; b) = . Основно свойство на тристенния ъгъл. Докажете: ++< 360 ; 2) + > ; + > ; + > .
слайд 3
Доказателство I. Нека< 90 ; < 90 ; (ABC) с. Тогда ОВС = 90 – < ОВА (следствие из формулы трех косинусов). Аналогично, ОАС = 90 – < ОAВ. Следовательно, = 180 – (ОАB + ОBA) < 180 – ((90 –) + (90 –)) = + . Если < 90 , то остальные два неравенства пункта 2) доказываются аналогично, а если 90 , то они – очевидны. Дано: Оabc – трехгранный угол; (b; c) = ; (a; c) = ; (a; b) = . Доказать: 2) + > ; + > ; + > .
слайд 4
Формула от три косинуса. Последствия. 1) За изчисляване на ъгъла между права и равнина е приложима формулата: 2) Ъгълът между права и равнина е най-малкият от ъглите, които тази права образува с правите на тази равнина.
слайд 5
II. На ръбовете на дадения ъгъл отделяме точки A’, B’ и C’ така, че |OA’| = |OB'| = |OC'| Тогава триъгълниците A'OB', B'OC' и C'OA' са равнобедрени, а ъглите им при основи 1 - 6 са остри. За тристенни ъгли с върхове A', B' и C' прилагаме неравенствата, доказани в параграф I: C'A'B'< 1 + 6; А’B’C’ < 2 + 3; B’С’А’ < 4 + 5. Сложим эти неравенства почленно, тогда 180 < (1 + 2) + (3 + 4) + (5 + 6) = = (180 –) + (180 –) + (180 –) + + < 360 . Дано: Оabc – трехгранный угол; (b; c) = ; (a; c) = ; (a; b) = . Доказать: + + < 360 ; 2) + > ; + > ; + > .
слайд 6
III. Разгледайте лъча c’, който е комплементарен на лъча c, и за тристенния ъгъл Oabc’ използваме неравенството, доказано в параграф II за произволен тристенен ъгъл: (180 –) + (180 –) +< 360 + >. Другите две неравенства се доказват по подобен начин. Дадено е: Оabc – тристенен ъгъл; (b; c) = ; (a; c) = ; (a; b) = . Докажете: ++< 360 ; 2) + >; + > ; + > . с'
Слайд 7
Последица. В правилната триъгълна пирамида плоският ъгъл при върха е по-малък от 120.
Слайд 8
Определение. Тристенните ъгли се наричат равни, ако всички съответстващи им равнинни и двустенни ъгли са равни. Признаци за равенство на тристенни ъгли. Тристенните ъгли са равни, ако са равни съответно: два равнинни ъгъла и двустенен ъгъл между тях; 2) два двустенни ъгъла и плосък ъгъл между тях; 3) три плоски ъгъла; 4) три двустенни ъгъла. Ориз. 4б
Слайд 9
. . Даден е тристенен ъгъл Oabc. Позволявам< 90 ; < 90 ; тогда рассмотрим (ABC) с По теореме косинусов из CАВ: |AB|2 = |AC|2 + |BC|2 – 2|AC| |BC| cos Аналог теоремы косинусов Аналогично, из OАВ: |AB|2 = |AO|2 + |BO|2 – 2|AO| |BO| cos . Вычтем из второго равенства первое и учтем, что |AO|2 – |AC|2 = |CO|2 = |BO|2 – |BC|2: 2|CO|2 – 2|AO| |BO| cos + 2|AC| |BC| = 0 . ; ; ; тогда cos = cos cos + sin грях защотоДа заменим:
слайд 10
II. Нека > 90 ; > 90 , тогава разгледайте лъча c', допълващ c, и съответния тристенен ъгъл Oabc', в който равнинните ъгли - и - са остри, а равнинният ъгъл и двустенният ъгъл са еднакви. Според I .: cos \u003d cos (-) cos (-) + sin (-) sin (-) cos cos \u003d cos cos + sin sin cos
слайд 1
Фигурата, образувана от посочената повърхност и една от двете части на пространството, ограничено от нея, се нарича многостенен ъгъл. Общият връх S се нарича връх на многостенния ъгъл. Лъчите SA1, …, SAn се наричат ръбове на многостенния ъгъл, а самите равнинни ъгли A1SA2, A2SA3, …, An-1SAn, AnSA1 се наричат лица на многостенния ъгъл. Многостенният ъгъл се обозначава с буквите SA1…An, указващи върха и точките на неговите ръбове. Повърхнината, образувана от краен набор от равнинни ъгли A1SA2, A2SA3, …, An-1SAn, AnSA1 с общ връх S, в който съседните ъгли нямат общи точки, с изключение на точките на общ лъч, а несъседните ъгли имат без общи точки, с изключение на общ връх, ще наричаме многостенна повърхност.
слайд 2
В зависимост от броя на лицата многостенните ъгли биват тристенни, четиристенни, петостенни и др.
слайд 3
ТРИСТЪРНИ ЪГЛИ
Теорема. Всеки плосък ъгъл на тристенен ъгъл е по-малък от сбора на другите му два плоски ъгъла. Доказателство Да разгледаме тристенния ъгъл SABC. Нека най-големият от неговите плоски ъгли е ъгълът ASC. Тогава неравенствата ASB ASC
слайд 4
Имот. Сумата от равнинните ъгли на тристенния ъгъл е по-малка от 360°. По същия начин за тристенните ъгли с върхове B и C са валидни следните неравенства: ABС
слайд 5
ИЗПЪКНАЛИ МНОГОСТЪРНИ ЪГЛИ
Многостенният ъгъл се нарича изпъкнал, ако е изпъкнала фигура, т.е., заедно с произволни две от точките си, той изцяло съдържа сегмента, който ги свързва.Фигурата показва примери за изпъкнали и неизпъкнали многостенни ъгли. Свойство Сумата от всички равнинни ъгли на изпъкнал многостенен ъгъл е по-малка от 360°. Доказателството е подобно на доказателството на съответното свойство за тристенен ъгъл.
слайд 6
Вертикални многостенни ъгли
Фигурите показват примери за тристенни, четиристенни и петстенни вертикални ъгли Теорема. Вертикалните ъгли са равни.
Слайд 7
Измерване на многостенни ъгли
Тъй като градусната стойност на развит двустенен ъгъл се измерва с градусната стойност на съответния линеен ъгъл и е равна на 180°, ще приемем, че градусната стойност на цялото пространство, което се състои от два развити двустенни ъгъла, е 360° . Стойността на многостенния ъгъл, изразена в градуси, показва каква част от пространството заема дадения многостенен ъгъл. Например, тристенният ъгъл на куб заема една осма от пространството и следователно неговата градусна стойност е 360o:8 = 45o. Тристенният ъгъл в правилна n-ъгълна призма е равен на половината от двустенния ъгъл при страничния ръб. Като се има предвид, че този двустенен ъгъл е равен, получаваме, че тристенният ъгъл на призмата е равен.
Слайд 8
Измерване на тристенни ъгли*
Извеждаме формула, изразяваща стойността на тристенен ъгъл по отношение на неговите двустенни ъгли. Нека опишем единична сфера близо до върха S на тристенния ъгъл и обозначим точките на пресичане на ръбовете на тристенния ъгъл с тази сфера A, B, C. Равнините на лицата на тристенния ъгъл разделят тази сфера на шест по двойки равни сферични двуъгълници, съответстващи на двустенните ъгли на дадения тристенен ъгъл. Сферичният триъгълник ABC и симетричният на него сферичен триъгълник A "B" C са пресечна точка на три двуъгълника. Следователно двойната сума на двустенните ъгли е 360o плюс четворната стойност на тристенния ъгъл, или SA + SB + SC = 180o + 2SABC.
Слайд 9
Измерване на многостенни ъгли*
Нека SA1…An е изпъкнал n-странен ъгъл. Разделяйки го на тристенни ъгли, начертавайки диагоналите A1A3, …, A1An-1 и прилагайки към тях получената формула, ще имаме: SA1 + … + SAn = 180о(n – 2) + 2SA1…An. Многостенните ъгли също могат да се измерват с числа. Наистина, триста и шестдесет градуса от цялото пространство съответства на числото 2π. Преминавайки от степени към числа в получената формула, ще имаме: SA1+ …+SAn = π(n – 2) + 2SA1…An.
Слайд 10
Упражнение 1
Може ли да има тристенен ъгъл с плоски ъгли: а) 30°, 60°, 20°; б) 45°, 45°, 90°; в) 30°, 45°, 60°? Без отговор; б) не; в) да.
слайд 11
Упражнение 2
Дайте примери за многостени, чиито лица, пресичащи се във върховете, образуват само: а) тристенни ъгли; б) тетраедрични ъгли; в) петстранни ъгли. Отговор: а) тетраедър, куб, додекаедър; б) октаедър; в) икосаедър.
слайд 12
Упражнение 3
Двата равнинни ъгъла на тристенния ъгъл са 70° и 80°. Каква е границата на третия плосък ъгъл? Отговор: 10o
слайд 13
Упражнение 4
Равнинните ъгли на тристенния ъгъл са 45°, 45° и 60°. Намерете ъгъла между равнините на плоски ъгли от 45°. Отговор: 90o.
Слайд 14
Упражнение 5
В тристенния ъгъл два равнинни ъгъла са 45° всеки; двустенният ъгъл между тях е прав. Намерете третия плосък ъгъл. Отговор: 60o.
слайд 15
Упражнение 6
Равнинните ъгли на тристенния ъгъл са 60°, 60° и 90°. По ръбовете му от върха се нанасят равни отсечки OA, OB, OC. Намерете двустенния ъгъл между ъгловата равнина 90° и равнината ABC. Отговор: 90o.
слайд 16
Упражнение 7
Всеки плосък ъгъл на тристенен ъгъл е 60°. На един от ръбовете му от върха се откъсва отсечка, равна на 3 cm, а от края му към противоположната страна се спуска перпендикуляр. Намерете дължината на този перпендикуляр. Отговор: виж
Слайд 17
Упражнение 8
Намерете геометричното място на вътрешните точки на тристенен ъгъл, еднакво отдалечени от лицата му. Отговор: Лъч, чийто връх е върхът на тристенен ъгъл, лежащ на пресечната линия на равнините, разделящи двустенните ъгли наполовина.
Слайд 18
Упражнение 9
Намерете геометричното място на вътрешните точки на тристенен ъгъл, еднакво отдалечени от ръбовете му. Отговор: Лъч, чийто връх е върхът на тристенен ъгъл, лежащ върху линията на пресичане на равнини, минаващи през ъглополовящите на равнинни ъгли и перпендикулярни на равнините на тези ъгли.
Слайд 19
Упражнение 10
За двустенните ъгли на тетраедъра имаме: , откъдето 70o30". За тристенните ъгли на тетраедъра имаме: 15o45". Отговор: 15o45". Намерете приблизителните стойности на тристенните ъгли на тетраедъра.
Слайд 20
Упражнение 11
Намерете приблизителните стойности на тетраедричните ъгли на октаедъра. За двустенните ъгли на октаедъра имаме: , откъдето 109o30". За тетраедричните ъгли на октаедъра имаме: 38o56". Отговор: 38o56".
слайд 21
Упражнение 12
Намерете приблизителните стойности на петстранните ъгли на икосаедъра. За двустенните ъгли на икосаедъра имаме: , откъдето 138o11". За пентаедричните ъгли на икосаедъра имаме: 75o28". Отговор: 75o28".
слайд 22
Упражнение 13
За двустенните ъгли на додекаедъра имаме: , откъдето 116o34". За тристенните ъгли на додекаедъра имаме: 84o51". Отговор: 84o51". Намерете приблизителните стойности на тристенните ъгли на додекаедъра.
слайд 23
Упражнение 14
В правилна четириъгълна пирамида SABCD страната на основата е 2 см, височината е 1 см. Намерете тетраедричния ъгъл на върха на тази пирамида. Решение: Посочените пирамиди разделят куба на шест равни пирамиди с върхове в центъра на куба. Следователно 4-странният ъгъл на върха на пирамидата е една шеста от ъгъла 360°, т.е. равен на 60o. Отговор: 60o.
слайд 24
Упражнение 15
В правилна триъгълна пирамида страничните ръбове са равни на 1, ъглите при върха са 90o. Намерете тристенния ъгъл на върха на тази пирамида. Решение: Посочените пирамиди разделят октаедъра на осем равни пирамиди с върхове в центъра O на октаедъра. Следователно 3-странният ъгъл на върха на пирамидата е една осма от ъгъла 360°, т.е. равен на 45o. Отговор: 45o.
Слайд 25
Упражнение 16
В правилна триъгълна пирамида страничните ръбове са равни на 1, а височината Намерете тристенния ъгъл на върха на тази пирамида. Решение: Посочените пирамиди се счупват правилен тетраедърна четири еднакви пирамиди с върхове в центъра на тетраедъра. Следователно 3-странният ъгъл на върха на пирамидата е една четвърт от ъгъла 360°, т.е. е равно на 90o. Отговор: 90o.
Вижте всички слайдове
слайд 1
МНОГОСТЪРНИ ЪГЛИ Фигурата, образувана от определената повърхност и една от двете части на пространството, ограничена от нея, се нарича многостенен ъгъл. Общият връх S се нарича връх на многостенния ъгъл. Лъчите SA1, …, SAn се наричат ръбове на многостенния ъгъл, а самите равнинни ъгли A1SA2, A2SA3, …, An-1SAn, AnSA1 се наричат лица на многостенния ъгъл. Многостенният ъгъл се обозначава с буквите SA1…An, указващи върха и точките на неговите ръбове. Повърхност, образувана от краен набор от равни ъгли A1SA2, A2SA3, …, An-1SAn, AnSA1 с общ връх S, в който съседните ъгли нямат общи точки, с изключение на точките на общ лъч, и не- съседните ъгли нямат общи точки, с изключение на общ връх, ще се нарича многостенна повърхност.слайд 2
МНОГОСТЪРНИ ЪГЛИ В зависимост от броя на лицата многостенните ъгли биват тристенни, четиристенни, петостенни и др.
слайд 3
ТРИСТЪРНИ ЪГЛИ Теорема. Всеки плосък ъгъл на тристенен ъгъл е по-малък от сбора на другите му два плоски ъгъла. Доказателство. Да разгледаме тристенния ъгъл SABC. Нека най-големият от неговите плоски ъгли е ъгълът ASC. Тогава неравенствата ASB ASC
слайд 4
ТРИСТЪЛНИ ЪГЛИ Имот. Сумата от равнинните ъгли на тристенния ъгъл е по-малка от 360°. По същия начин за тристенните ъгли с върхове B и C са валидни следните неравенства: ABC
слайд 5
ИЗПЪКНАЛИ МНОГОСТЪРНИ ЪГЛИ Многостенният ъгъл се нарича изпъкнал, ако е изпъкнала фигура, т.е., заедно с произволни две от точките си, той изцяло съдържа сегмента, който ги свързва. Фигурата показва примери за изпъкнали и неизпъкнали многостенни ъгли. Имот. Сумата от всички равнинни ъгли на изпъкнал многостенен ъгъл е по-малка от 360°. Доказателството е подобно на доказателството на съответното свойство за тристенен ъгъл.
слайд 6
Вертикални многостенни ъгли Фигурите показват примери за тристенни, четиристенни и петстенни вертикални ъгли Теорема. Вертикалните ъгли са равни.
Слайд 7
Измерване на многостенни ъгли Тъй като градусната стойност на развит двустенен ъгъл се измерва чрез градусната стойност на съответния линеен ъгъл и е равна на 180°, ще приемем, че градусната стойност на цялото пространство, което се състои от два развити двустенни ъгъла , е 360°. Стойността на многостенния ъгъл, изразена в градуси, показва каква част от пространството заема дадения многостенен ъгъл. Например, тристенният ъгъл на куб заема една осма от пространството и следователно неговата градусна стойност е 360o:8 = 45o. Тристенният ъгъл в правилна n-ъгълна призма е равен на половината от двустенния ъгъл при страничния ръб. Като се има предвид, че този двустенен ъгъл е равен, получаваме, че тристенният ъгъл на призмата е равен.
Слайд 8
Измерване на тристенни ъгли* Нека изведем формула, изразяваща стойността на тристенен ъгъл по отношение на неговите двустенни ъгли. Описваме единична сфера близо до върха S на тристенния ъгъл и обозначаваме точките на пресичане на ръбовете на тристенния ъгъл с тази сфера A, B, C. Равнините на лицата на тристенния ъгъл разделят тази сфера на шест по двойки равни сферични двуъгълници, съответстващи на двустенните ъгли на дадения тристенен ъгъл. Сферичният триъгълник ABC и неговият симетричен сферичен триъгълник A"B"C" са пресечната точка на три двуъгълника. Следователно удвоената сума от двустенните ъгли е 360o плюс четворната тристенна ъгъл, или SA + SB + SC = 180o + 2 SABC .
Слайд 9
Измерване на многостенни ъгли* Нека SA1…An е изпъкнал ъгъл с n-лице. Разделяйки го на тристенни ъгли, начертавайки диагоналите A1A3, …, A1An-1 и прилагайки към тях получената формула, ще имаме: SA1 + … + SAn = 180о(n – 2) + 2 SA1…An. Многостенните ъгли също могат да се измерват с числа. Наистина, триста и шестдесет градуса от цялото пространство съответства на числото 2π. Преминавайки от градуси към числа в получената формула, ще имаме: SA1+ …+ SAn = π (n – 2) + 2 SA1…An.
слайд 10
Упражнение 1 Може ли да има тристенен ъгъл с плоски ъгли: а) 30°, 60°, 20°; б) 45°, 45°, 90°; в) 30°, 45°, 60°? Без отговор; б) не; в) да.
слайд 11
Упражнение 2 Дайте примери за многостени, чиито лица, пресичащи се във върховете, образуват само: а) тристенни ъгли; б) тетраедрични ъгли; в) петстранни ъгли. Отговор: а) тетраедър, куб, додекаедър; б) октаедър; в) икосаедър.
слайд 12
Упражнение 3 Двата равнинни ъгъла на тристенния ъгъл са 70° и 80°. Каква е границата на третия плосък ъгъл? Отговор: 10o< < 150о.
слайд 13
Упражнение 4 Равнинните ъгли на тристенния ъгъл са 45°, 45° и 60°. Намерете ъгъла между равнините на плоски ъгли от 45°. Отговор: 90o.
слайд 14
Упражнение 5 В тристенен ъгъл два плоски ъгъла са равни на 45 °; двустенният ъгъл между тях е прав. Намерете третия плосък ъгъл. Отговор: 60o.
слайд 15
Упражнение 6 Равнинните ъгли на тристенния ъгъл са 60°, 60° и 90°. По ръбовете му от върха се нанасят равни отсечки OA, OB, OC. Намерете двустенния ъгъл между ъгловата равнина 90° и равнината ABC. Отговор: 90o.
слайд 16
Упражнение 7 Всеки плосък ъгъл на тристенен ъгъл е 60°. На един от ръбовете му от върха се откъсва отсечка, равна на 3 cm, а от края му към противоположната страна се спуска перпендикуляр. Намерете дължината на този перпендикуляр.
слайд 17
Упражнение 8 Намерете геометричното място на вътрешните точки на тристенен ъгъл, еднакво отдалечени от лицата му. Отговор: Лъч, чийто връх е върхът на тристенен ъгъл, лежащ на пресечната линия на равнините, разделящи двустенните ъгли наполовина.
слайд 18
Упражнение 9 Намерете геометричното място на вътрешните точки на тристенен ъгъл, еднакво отдалечени от ръбовете му. Отговор: Лъч, чийто връх е върхът на тристенен ъгъл, лежащ върху линията на пресичане на равнини, минаващи през ъглополовящите на равнинни ъгли и перпендикулярни на равнините на тези ъгли.
