Primjeri korijena n-tog stepena za nezavisno rješenje. Korijen stepena n: osnovne definicije. Napomena o proceduri

Ministarstvo opšteg i stručno obrazovanje RO

državni budžet obrazovne ustanove

osnovno stručno obrazovanje u Rostovskoj oblasti

Stručni institut № 5

Praktičan rad

u disciplini EDP. 01.„Matematika: algebra i principi

matematička analiza; geometrija"

na ovu temu: “Transformacije izraza koji sadrže korijene, stepene i logaritme».

Za studenti I kurs

G. Rostov na Donu

2017

Odjeljak br. 1. Algebra.

Tema 1.2. Korijeni, potenci i logaritmi.

Praktična lekcija br. 1.

Predmet: "Transformacije izraza koji sadrže korijene, potencije i logaritme."

Cilj: znam svojstva radikala, stepena i logaritma; moći ih primijeniti kada izvođenje transformacija na izrazima koji sadrže korijene, potencije i logaritme.

Broj sati : 1 sat.

Teorijski materijal.

Roots.

Radnja kojom se pronalazi korijenn-. stepen, koji se zove ekstrakcija korenan-th stepen.

Definicija. Aritmetički korijen prirodnog stepenan≥ 2 nenegativnog broja a naziva se nenegativnim brojem,nčiji je stepen jednak a.

Naziva se i aritmetički korijen drugog stepena kvadratni korijen, a korijen trećeg stepena je kubni korijen.

Na primjer.

Izračunati:

Aritmetički korijenn-. stepen ima sledeća svojstva:

ako je a ≥ 0, b > 0 i n, m- prirodni brojevi, in ≥ 2, m≥ 2, onda

1. 3.

2. 4.

Primjeri korištenja svojstava aritmetičkog korijena.

Svojstva stepena sa racionalnim eksponentom.

Za sve racionalne brojeve p i k i bilo koje a > 0 i b > 0 jednakosti su tačne:

1. ; 2. ;

3. ; 4. ;

5. .

Primjeri korištenja svojstava stepena:

1). 7*

4). .

Logaritam broja

Definicija. Logaritam pozitivnog brojabdo baze a, gdjea > 0, a≠ 1, naziva se eksponent na koji se broj mora podićia, Za dobijanje b.

a = b je osnovni logaritamski identitet.

Svojstva logaritama

Neka a > 0, a ≠ 1, b>0, c >0, k – bilo koji realan broj. Tada su važeće formule:

1 . log ( bc ) = logb + logc , 4. logb = ,

2. log = logb - log c, 5.log a = 1 ,

3. log b = do * logb , 6. log 0 = 1 .

Primjeri korištenja formula:

log2 + log 18 = log( 2 * 18 ) = log 36 = 2;

log 48 -log 4 =log= log 12 = 1;

log 9 = * log 9 = .

Odlučite sami .

Zadaci.

1 opcija

1. Izračunajte:

1) ; 4) log ;

2) ; 5) 0,5;

3) ; 6) 3 log 2 - log 64.

2 ako je x = 7.

3. Uporedite brojeve:log 11 i log 19.

4. Pojednostavite: 1) ; 2) .

5. Izračunajte: logloglog 3.

_________________________________________________________________

Opcija 2

1. Izračunajte:

1) ; 4) log 64;

2) ; 5) ;

3) ; 6) 2 log 3 - log 81.

2. Pronađite značenje izraza: 3 ako je y = 2.

3. Uporedite brojeve:log I log.

4. Pojednostavite: 1) ; 2) .

5. Izračunajte: logloglog 2.

__________________________________________________________________

Kriterijumi za ocjenjivanje:

11 tačnih zadataka - “5”;

9 - 10 tačnih zadataka - “4”;

7 - 8 tačnih zadataka - "3".

Bashmakov. M.I. Matematika: udžbenik za NVO i SPO. - M.:

Izdavački centar "Akademija", 2013.

Alimov Sh.A. i drugi Algebra i počeci analize. 10 (11) ćelija – M.: 2012.

Algebra. 9. razred: Udžbenik, zadatak za opšte obrazovanje. institucije/

A.G. Mordkovich et al. - M.: Mnemosyne, 2009.

Algebra. 8. razred: Udžbenik, zadatak za opšte obrazovanje. institucije/

A.G. Mordkovich et al. - M.: Mnemosyne, 2008.

Algebra. 7. razred: Udžbenik, zadatak za opšte obrazovanje. institucije/

A.G. Mordkovich et al. - M.: Mnemosyne, 2007.

Obrazac za prijavu: provjeravanje ispunjenosti zadataka od strane nastavnika

Da biste uspješno koristili operaciju ekstrakcije korijena u praksi, morate se upoznati sa svojstvima ove operacije.
Sva svojstva su formulirana i dokazana samo za nenegativne vrijednosti varijabli sadržanih pod predznacima korijena.

Teorema 1. Root n-ti stepen(n=2, 3, 4,...) iz proizvoda dva nenegativna čipa jednak je proizvodu n-ti korijeni moći ovih brojeva:

komentar:

1. Teorema 1 ostaje važeća za slučaj kada je radikalni izraz proizvod više od dva nenegativna broja.

Teorema 2.Ako, i n - prirodni broj, veći od 1, onda je jednakost tačna

Brief(iako netačna) formulacija, koja je pogodnija za korištenje u praksi: korijen razlomka jednak je razlomku korijena.

Teorema 1 nam omogućava da pomnožimo t samo koreni istog stepena , tj. samo korijeni sa istim indeksom.

Teorema 3. Ako ,k je prirodan broj i n je prirodan broj veći od 1, tada je jednakost tačna

Drugim riječima, da bi se uzdigao korijen do prirodne moći, dovoljno je podići radikalni izraz do ove moći.
Ovo je posljedica teoreme 1. Zapravo, na primjer, za k = 3 dobijamo: Možemo zaključiti na potpuno isti način u slučaju bilo koje druge prirodne vrijednosti eksponenta k.

Teorema 4. Ako ,k, n su prirodni brojevi veći od 1, tada je jednakost tačna

Drugim riječima, da biste izvukli korijen iz korijena, dovoljno je pomnožiti indikatore korijena.
Na primjer,

Budi pazljiv! Saznali smo da se nad korijenima mogu izvesti četiri operacije: množenje, dijeljenje, stepenovanje i vađenje korijena (iz korijena). Ali šta je sa dodavanjem i oduzimanjem korena? Nema šanse.
Na primjer, umjesto da pišem Stvarno, ali očigledno je da

Teorema 5. Ako indikatori korena i radikalnog izraza se pomnože ili podele sa istim prirodnim brojem, tada se vrednost korena neće promeniti, tj.

Primjeri rješavanja problema

Primjer 1. Izračunati

Rješenje. Koristeći prvo svojstvo korijena (teorema 1), dobijamo:

Primjer 2. Izračunati
Rješenje. Pretvorite mješoviti broj u nepravilan razlomak.
Imamo Koristeći drugo svojstvo korijena ( Teorema 2 ), dobijamo:

Primjer 3. Izračunati:

Rješenje. Bilo koja formula u algebri, kao što dobro znate, koristi se ne samo "s lijeva na desno", već i "s desna na lijevo". Dakle, prvo svojstvo korijena znači da oni mogu biti predstavljeni u obliku i, obrnuto, mogu se zamijeniti izrazom . Isto vrijedi i za drugo svojstvo korijena. Uzimajući to u obzir, izvršimo proračune.

Pregled:

PRAKTIČNI RAD br. 2

OD.10 Matematika

Predmet: Transformacija algebarskih, racionalnih, iracionalnih, stepenskih izraza.

Vrsta lekcije: Praktična lekcija

Target casovi	obrazovni	Provjera znanja i praktičnih vještina učenika u transformaciji algebarskih, racionalnih, iracionalnih, stepenskih izraza.
	obrazovni i razvija	Promovirati sticanje potrebnih samostalnih vještina obrazovne aktivnosti; promovirati razvoj vještina primjene stečenog znanja u standardnim uslovima
Interdisciplinarno komunikacije	pružanje	matematika (školski kurs)
	obezbeđeno	fizika hemija, tehnička mehanika, ekonomija, nastavni i diplomski dizajn

Odredba lekcije:

Upotreba ICT (informacionih i komunikacionih tehnologija)

(multimedijalne prezentacije, oprema za projekcije, interaktivna tabla, personalni računar, kompjutersko testiranje)

Vizuelna pomagala i materijali:smjernice za praktičan rad br. 2, plakati: “Svojstva potencija”, “Svojstva n-tog korijena”, “Formula skraćenog množenja”

književnost: Kolmogorov A.N. i drugi Algebra i počeci analize. 10 (11) ćelija – M.: Obrazovanje, 2012.

Cilj rada:

Izvršite radnje za transformaciju algebarskih, racionalnih, iracionalnih izraza stepena.

KORIJENI PRIRODNOG STEPENA IZ BROJA, NJIHOVA SVOJSTVA.

Koren n - stepen: , n - korijenski eksponent, A - radikalan izraz

Ako n – neparan broj, onda izraz ima smisla kada a

Ako n – paran broj, onda izraz ima smisla kada

Aritmetički korijen:

Neparni korijen negativnog broja:

OSNOVNA SVOJSTVA KORIJENA

1. Pravilo za vađenje korijena iz proizvoda:

1. Pravilo za vađenje korijena iz korijena:

1. Pravilo za uklanjanje množitelja ispod znaka korijena:

1. Unos množitelja pod znakom korijena:

1. Indeks korijena i indeks radikalnog izraza mogu se pomnožiti istim brojem.

1. Pravilo za podizanje korijena na stepen.

STEPEN SA PRIRODNIM POKAZATELJOM

A – osnovu diplome, n – eksponent

Svojstva:

1. Prilikom množenja stepena sa istim bazama, eksponenti se sabiraju, ali baza ostaje nepromijenjena.

1. Prilikom dijeljenja stupnjeva sa istim bazama, eksponenti se oduzimaju, ali baza ostaje nepromijenjena.

1. Kada se stepen podiže na stepen, eksponenti se množe.

1. Kada se proizvod dva broja podiže na stepen, svaki broj se diže na taj stepen i rezultati se množe.

1. Ako se količnik dva broja podiže na stepen, tada se brojnik i nazivnik dižu na ovaj stepen, a rezultat se dijeli jedan s drugim.

STEPEN SA INDIKATOROM CJELOBRODNOG

1. A-prioritet :

Svojstva:

1. Neka je r racionalan broj, Onda

za r>0 > za r

7 . Za bilo koje racionalne brojeve r i s iz nejednakosti> trebalo bi

> za a>1 for

Skraćene formule za množenje.

Primjer 1. Pojednostavite izraz.

Rješenje

Primijenimo svojstva potencija (množenje potencija sa istom osnovom i podjela potencija sa istom osnovom):.

Odgovor: 9m 7.

Primjer 2. Smanjite frakciju:

Rješenje. Dakle, domen definicije razlomkasvi brojevi osim x ≠ 1 i x ≠ -2..Smanjenjem razlomka dobijamo.Domen definicije rezultujućeg razlomka: x ≠ -2, tj. širi od raspona definicije originalnog razlomka. Stoga razlomci I jednake su za x ≠ 1 i x ≠ -2.

Primjer 3. Smanjite frakciju:

Primjer 4: Pojednostavite:

Primjer 5. Pojednostavite:

Primjer 6. Pojednostavite:

Primjer 7. Pojednostavite:

Primjer 8. Pojednostavite:

Primjer 9. Izračunajte: .

Rješenje.

Primjer 10. Pojednostavite izraz:

Rješenje.

Primjer 11 .Smanjite frakciju, Ako

Rješenje. .

Primjer 12. Oslobodite se iracionalnosti u nazivniku razlomka

Rješenje U nazivniku imamo iracionalnost 2. stepena, pa i brojilac i imenilac razlomka množimo konjugiranim izrazom, odnosno zbirom brojeva. I , tada ćemo u nazivniku imati razliku kvadrata, što eliminira iracionalnost.

OPCIJA - I 1. Pojednostavite izraz: 5. Pojednostavite: 10. Slijedite ovu radnju: 8. Smanjite razlomak 9. Poduzmite akciju

OPCIJA - II 1. Pojednostavite izraz: 2. Pronađite značenje izraza: 3. Predstavite stepen sa razlomačnim eksponentom kao korijenom 4. Smanjite navedeni izraz na obrazac 5. Pojednostavite: 6. Zamijenite aritmetičke korijene potencijama s razlomačnim eksponentom 7. Predstavite izraz kao razlomak čiji nazivnik ne sadrži znak korijena 10. Slijedite ovu radnju: 8. Smanjite razlomak 9. Poduzmite akciju

OPCIJA - III 1. Slijedite ovu radnju: 2. Pronađite značenje izraza: 3. Predstavite stepen sa razlomačnim eksponentom kao korijenom 4. Smanjite navedeni izraz na obrazac, gdje je a racionalan broj, b je prirodan broj 5. Pojednostavite: 6. Zamijenite aritmetičke korijene potencijama s razlomačnim eksponentom 7. Predstavite izraz kao razlomak čiji nazivnik ne sadrži znak korijena 10. Slijedite ovu radnju: 8. Smanjite razlomak 9. Poduzmite akciju

OPCIJA - IV 1. Slijedite ovu radnju: 2. Pronađite značenje izraza: 3. Predstavite stepen sa razlomačnim eksponentom kao korijenom 4. Smanjite navedeni izraz na obrazac, gdje je a racionalan broj, b je prirodan broj 5. Pojednostavite: 6. Zamijenite aritmetičke korijene potencijama s razlomačnim eksponentom 7. Predstavite izraz kao razlomak čiji nazivnik ne sadrži znak korijena 10. Slijedite ovu radnju: 8. Smanjite razlomak 9. Poduzmite akciju 3. Predstavite stepen sa razlomačnim eksponentom kao korijenom 4. Smanjite navedeni izraz na obrazac, gdje je a racionalan broj, b je prirodan broj 5. Pojednostavite: 6. Zamijenite aritmetičke korijene potencijama s razlomačnim eksponentom 7. Predstavite izraz kao razlomak čiji nazivnik ne sadrži znak korijena 10. Slijedite ovu radnju: 8. Smanjite razlomak 9. Poduzmite akciju

OPCIJA - VI 1. Pojednostavite izraz: 2. Pronađite značenje izraza: 3. Predstavite stepen sa razlomačnim eksponentom kao korijenom 4. Smanjite navedeni izraz na obrazac, gdje je -a racionalan broj, b je prirodan broj 5. Pojednostavite: 6. Zamijenite aritmetičke korijene potencijama s razlomačnim eksponentom 7. Predstavite izraz kao razlomak čiji nazivnik ne sadrži znak korijena 10. Poduzmite akciju 8. Smanjite razlomak 9. Poduzmite akciju

Metodičko uputstvo za izvođenje praktične nastave „Transformacija izraza koji sadrže korijene prirodnog stepena iz broja“ iz discipline: Matematika: algebra i principi matematičke analize, geometrija, kreirano je kako bi se učenicima pomoglo da uspješno rade na nastavi i pripreme se za to. praktična lekcija.

Skinuti:

Pregled:

Komitet za obrazovanje i nauku Volgogradske oblasti

državna budžetska stručna obrazovna ustanova

"Volzhsky Politechnic College"

ZA STUDENTE

O ZAVRŠETKU PRAKTIČNE LEKCIJE

"Transformacija izraza koji sadrže prirodne korijene broja"

Akademska disciplina:Matematika: algebra i principi matematičke analize, geometrija.

Specijaliteti: 23.02.03., 13.02.11., 15.02.07.

Kurs: 1

2016-2017

Uvod

Metodičko uputstvo za izvođenje praktične nastave „Transformacija izraza koji sadrže korijene prirodnog stepena iz broja“, u disciplini: Matematika: algebra i principi matematičke analize, geometrija,kreiran da pomogne učenicima da uspješno rade na času i pripreme se za ovaj praktični čas.

Prilikom započinjanja praktičnog zadatka, učenici treba pažljivo pročitati ciljeve lekcije, upoznati seWith opće informacije i primjere izvršavanja zadataka, sa kriterijima za vrednovanje rada, odgovor Kontrolna pitanja da konsoliduju teorijski materijal.

Imati pozitivnu ocjenu na praktičnoj nastavije neophodno za pristup ispitu, stoga, u slučaju izostanka sa nastave iz bilo kojeg razloga ili dobijanja nezadovoljavajuće ocjene za praktični čas, studenti moraju pronaći vremena da ga završe ili ponovo polažu.

Ako je u procesu pripreme za praktičnu nastavuili prilikom rješavanja zadataka učenici imaju pitanja koja ne mogu sami riješiti, morate se obratiti nastavniku za pojašnjenje ili upute u dane dodatne nastave.

Vrijeme dopunske nastave možete saznati od nastavnika ili pogledati na vrata sobe 122.

Praktična lekcija 3

Pretvaranje izraza koji sadrže prirodne korijene brojeva.

Ciljevi :

znati:

koncept n-korena broja;

svojstva korijena prirodnog stepena;

biti u stanju:

transformirati izraze koji sadrže prirodne korijene;

Trajanje lekcije: 2 sata

Opće informacije i primjeri izvršavanja zadataka:

Prilikom dovršavanja zadataka na ovu temu, morate zapamtiti:

1. Definicija korijena:

2. Svojstva korijena:

Gdje su m, n prirodni brojevi.

3. Skraćene formule za množenje:

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 ;

(a – b) 2 = a 2 – 2ab + b 2 ;

a 2 – b 2 = (a + b) ∙ (a – b);

Pogledajmo primjere izvršavanja zadataka.

1. Rasporedite po rastućem redosledu brojeva.

Rješenje.

Zbog , tada će u rastućem redoslijedu brojevi biti raspoređeni ovako: I

Pronađite značenje izraza:

Primjer 1.

Primjer 2.

Primjer 3.

Primjer 4.

2. Pronađite značenje izraza:

3. Pronađite značenje izraza:

Kriterijumi ocjenjivanja rada:

Na "3":

Pronađite značenje izraza.

Na "4":

2) Pronađite vrijednost izraza, date vrijednosti;

Pojednostavite.

Na "5":

3) Pronađite značenje izraza.

Kontrolna pitanja:

1. Navedite glavna svojstva korijena.

2. Skraćene formule za množenje.

Zadaci za samostalno učenje za praktičnu nastavu:

Vježba 1

Rasporedite po rastućem redosledu brojeva;

Pronađite značenje izraza;

1 opcija
Opcija 2