Matematički modeli se razlikuju uglavnom po prirodi prikazanih svojstava sistema, stepenu njihove detaljnosti, metodama dobijanja i formalnom predstavljanju.
Strukturni i funkcionalni modeli. Ako MM prikazuje elemente i njihove veze u sistemu, onda se poziva strukturni matematički model. Ako MM odražava bilo koji proces koji se dešava u sistemu, onda se klasifikuje kao funkcionalni matematički modeli. Jasno je da mješoviti MM također mogu postojati , koji opisuju i funkcionalna i strukturna svojstva sistema. Strukturni MM se dele na topološke i geometrijske, koji čine dva nivoa hijerarhije MM ovog tipa. Prvi odražavaju sastav sistema i veze između njegovih elemenata. Topološki MM Preporučljivo je koristiti ga u početnoj fazi proučavanja složenog sistema. Takav MM ima oblik grafova , tabele, matrice, liste itd., a njegovoj konstrukciji obično prethodi izrada strukturnog dijagrama sistema.
Geometrijski MM pored informacija predstavljenih u topološkom MM, on sadrži informacije o obliku i veličini sistema i njegovih elemenata i njihovom relativnom položaju. Geometrijski MM obično uključuje skup jednačina linija i površina i algebarskih odnosa koji određuju pripadnost područja prostora sistemu ili njegovim elementima. Geometrijski MM se koriste u projektovanju elemenata tehničkih sistema, izradi tehničke dokumentacije i tehnoloških procesa za izradu proizvoda.
Funkcionalni MM sastoje se od odnosa koji povezuju fazne varijable , one. interne, eksterne i izlazne parametre sistema. Funkcionisanje složenih sistema se često može opisati samo uz pomoć skupa njegovih reakcija na neke poznate (ili date) ulazne uticaje. Ova vrsta funkcionalnog MM je klasifikovana kao crna kutija i obično se zove imitacija matematički model, što znači da samo imitira spoljašnje manifestacije funkcionisanja, bez otkrivanja ili opisivanja suštine procesa koji se dešavaju u sistemu. Simulacijski MM se široko koriste u proučavanju složenih sistema.
U smislu prezentacijske forme, primjer je simulacija MM algoritamski MM, budući da se veza između ulaznih i izlaznih parametara sistema može opisati samo u obliku algoritma pogodnog za implementaciju kao program. Tip algoritamskog MM uključuje široku klasu funkcionalnih i strukturnih MM. Ako se veze između parametara sistema mogu izraziti u analitičkom obliku, onda govorimo o analitički matematički modeli . Prilikom kreiranja hijerarhije MM za isti sistem, obično se nastoji osigurati da se pojednostavljena verzija MM predstavi u analitičkom obliku koji omogućava tačno rješenje koje bi se moglo koristiti za usporedbu pri testiranju rezultata dobivenih korištenjem potpunijeg i dakle složenije verzije MM.
Jasno je da MM određenog sistema, u smislu njegovog oblika prezentacije, može uključivati karakteristike i analitičkog i algoritamskog MM. Štaviše, tokom procesa modeliranja, analitički MM se pretvara u algoritamski.
Prema metodi dobijanja matematičkih modela može biti teorijski ili empirijski. Prvi se dobijaju kao rezultat proučavanja svojstava sistema, procesa koji se u njemu odvijaju na osnovu upotrebe poznatih fundamentalnih zakona održanja, kao i jednačina ravnoteže, a drugi su rezultat obrade rezultata eksternih posmatranja sistema. manifestacija ovih svojstava i procesa. Jedan od načina da se konstruišu empirijski MM je izvođenje eksperimentalnih istraživanja vezanih za merenje faznih varijabli sistema, a zatim i generalizacija rezultata ovih merenja u algoritamskom obliku ili u obliku analitičkih zavisnosti. Stoga, u smislu oblika prezentacije, empirijski MM može sadržavati karakteristike i algoritamskog i analitičkog MM . Dakle, konstrukcija empirijskog MM se svodi na rješavanje problemi identifikacije.
Karakteristike funkcionalnih modela. Jedna od karakterističnih karakteristika funkcionalan MM je prisustvo ili odsustvo slučajnih varijabli među njegovim parametrima. U prisustvu takvih količina, MM se zove stohastički(ili verovatnoća), au njihovom odsustvu - deterministički.
Ne mogu se svi parametri realnih sistema okarakterisati dobro definisanim vrednostima. Stoga, MM takvih sistema, striktno govoreći, treba klasifikovati kao stohastički, pošto će izlazni parametri sistema biti slučajne varijable. Vrijednosti vanjskih parametara također mogu biti nasumične .
Za analizu stohastičkih MM potrebno je koristiti zaključke teorije vjerovatnoće, slučajnih procesa i matematičke statistike. Međutim, glavna poteškoća u njihovoj primjeni obično je povezana s činjenicom da su vjerovatnoća karakteristike slučajnih varijabli (matematička očekivanja, varijanse, zakoni raspodjele) često nepoznate ili poznate sa malom preciznošću, tj. MM ne zadovoljava zahtjeve produktivnosti . U takvim slučajevima je efikasnije koristiti MM, koji je grublji od stohastičkog, ali i otporniji na nepouzdanost početnih podataka.
Bitna karakteristika klasifikacije MM je njihova sposobnost da opišu promjene u sistemskim parametrima tokom vremena. Ako MM odražava uticaj inercijalnih svojstava sistema, onda se obično naziva dinamičan. Nasuprot tome, poziva se MM koji ne uzima u obzir promjene u sistemskim parametrima tokom vremena statički.
Stacionarno Oni opisuju sisteme u kojima se javljaju takozvani procesi stabilnog stanja , one. procesi u kojima su izlazni parametri koji nas zanimaju konstantni tokom vremena. Periodični procesi se takođe smatraju stabilnim stanjem. , u kojoj neki izlazni parametri ostaju nepromijenjeni, dok drugi prolaze kroz fluktuacije.
Ako se izlazni parametri sistema mijenjaju sporo i u razmatranoj fiksnoj tački u vremenu te promjene se mogu zanemariti, tada se smatra MM nestacionarni.
Važno svojstvo MM sa stanovišta naknadne analize je njegova linearnost, u smislu povezivanja parametara sistema linearnim odnosima. To znači da kada se bilo koji eksterni (ili interni) parametar sistema promeni, linearni MM predviđa linearnu promenu izlaznog parametra koja zavisi od njega, a kada se promene dva ili više parametara, sabiranje njihovih uticaja, tj. takav MM ima svojstvo superpozicije. Ako MM nema svojstvo superpozicije, onda se zove nelinearni .
Za kvantitativnu analizu linearnih MM razvijen je veliki broj matematičkih metoda, dok su mogućnosti analize nelinearnih MM uglavnom povezane sa metodama računarske matematike. Da bi se analitičkim metodama proučavao nelinearni MM sistem, on se obično linearizira, tj. nelinearne veze između parametara zamjenjuju se približnim linearnim i tzv linearizovano MMsystems. Budući da je linearizacija povezana sa unošenjem dodatnih grešaka, rezultate analize linearizovanog modela treba tretirati sa određenim oprezom. Činjenica je da linearizacija MM može dovesti do gubitka njegove adekvatnosti. Uzimanje u obzir nelinearnih efekata u MM je posebno važno, na primjer, kada se opisuju promjene oblika kretanja ili ravnotežnih položaja, kada male promjene ulaznih parametara mogu uzrokovati kvalitativne promjene stanja sistema.
Svaki parametar sistema može biti dva tipa - kontinuirano se mijenja u određenom rasponu svojih vrijednosti ili uzima samo neke diskretne vrijednosti. Moguća je i srednja situacija, kada u jednom području parametar uzima sve moguće vrijednosti, au drugom samo diskretne. S tim u vezi ističu kontinuirano diskretno I mješovito matematički modeli . U procesu analize, MM-ovi ovih tipova mogu se konvertovati iz jednog u drugi, ali prilikom takve konverzije treba pratiti ispunjenje zahtjeva. adekvatnost MM sistema koji se razmatra.
Oblici predstavljanja matematičkih modela. Prilikom matematičkog modeliranja složenog sistema obično nije moguće opisati njegovo ponašanje sa jednim MM, a čak i kada bi se takav MM konstruisao, ispostavilo se da je previše složen za kvantitativnu analizu. Stoga se ovakvi sistemi obično primjenjuju princip dekompozicije. Sastoji se od uslovne podjele sistema na podsisteme koji omogućavaju njihovo samostalno proučavanje uz naknadno razmatranje njihovog međusobnog uticaja jednih na druge. Zauzvrat, princip dekompozicije se može primijeniti na svaki odabrani podsistem sve do nivoa prilično jednostavnih elemenata. U ovom slučaju postoji hijerarhija MM međusobno povezani podsistemi. Hijerarhijski nivoi se takođe razlikuju za pojedinačne tipove MM. Na primjer, među strukturalnim MM sistemima, topološki MM su klasifikovani na viši nivo hijerarhije , a na niži nivo, karakteriziran većim detaljima, - geometrijski MM . Među funkcionalnim nivoima, hijerarhijski nivoi odražavaju stepen detalja u opisu procesa koji se dešavaju u sistemu i njegovim elementima. Sa ove tačke gledišta, obično se razlikuju tri glavna nivoa: mikro-makro- i meta-nivo.
Matematički modeli mikrorazina opisuju procese u sistemima sa distribuiranim parametrima, i matematički modeli na makro nivou- u sistemima sa paušalnim parametrima. U prvom od njih, fazne varijable mogu zavisiti i od vremena i od prostornih koordinata, au drugom samo od vremena.
Ako je u MM na makro nivou broj faznih varijabli reda 10 4 -10 5 , tada kvantitativna analiza takvog MM postaje glomazna i zahtijeva značajne računske resurse. Pored toga, sa tako velikim brojem faznih varijabli teško je identifikovati bitne karakteristike sistema i karakteristike njegovog ponašanja. U ovom slučaju, kombinovanjem i uvećanjem elemenata složenog sistema, nastoje da smanje broj faznih varijabli isključujući unutrašnje parametre elemenata iz razmatranja, ograničavajući se samo na opisivanje međusobnih veza između uvećanih elemenata. Ovaj pristup je tipičan za MM meta-nivo.
Najčešći oblik prezentacije dinamičan(evolucijski) MM na mikrorazinu je formulacija graničnog problema za diferencijalne jednadžbe matematičke fizike. Ova formulacija uključuje parcijalne diferencijalne jednadžbe i granične uslove. Zauzvrat, granični uslovi sadrže početne i granične uslove. Početni uslovi uključuju distribuciju željenih faznih varijabli u nekom trenutku. Granice prostornog regiona, čija konfiguracija odgovara elementu koji se razmatra ili sistemu u celini, su granični uslovi. Prilikom predstavljanja MM, preporučljivo je koristiti bezdimenzionalne varijable i koeficijente jednadžbi.
Mikro-nivo MM se naziva jednodimenzionalnim, dvodimenzionalnim ili trodimenzionalnim , ako tražene fazne varijable zavise od jedne, dvije odnosno tri prostorne koordinate. Posljednja dva tipa MM su kombinovana u višedimenzionalne matematičke modele mikro nivoa .
Modeliranje kao metoda za razvijanje upravljačkih odluka koristi se od sredine 20. stoljeća. Prvi modeli su bili zasnovani na normativnim teorijama i nazivani su normativnim. Oni opisuju strategiju ponašanja pri razvoju rješenja, fokusirajući se na dati kriterij. Primjeri normativnih modela su:
Modeli statističkog odlučivanja korištenjem teorije vjerojatnosti i matematičke statistike;
Inovativne igre kao varijanta normativnog modela ponašanja u uslovima sukoba, prisustvo suprotstavljenih mišljenja o problemima inovacija;
Modeli za razvoj rješenja zasnovanih na teoriji čekanja, koji sadrže normativne kriterije za rješavanje specifičnih problema.
Međutim, normativni modeli ne uzimaju u obzir stvarno ponašanje osobe prilikom donošenja odluka, što ostavlja izbor konačne opcije. Ovaj “nedostatak” je u određenoj mjeri nadoknađen deskriptivnim modelima za razvoj rješenja zasnovanih na teoriji korisnosti i teoriji rizika.
Trenutno postoje tri glavna pristupa izgradnji modela procesa razvoja odluka (matematičko modeliranje), zasnovana na:
1) teorija statističkih odluka;
2) teorija korisnosti;
3) teorija igara.
Najrazvijeniji modeli su zasnovani na teoriji statističkih odluka. Smatraju da je dato sljedeće:
Moguća distribucija slučajnog procesa koji se proučava;
Prostor mogućih konačnih odluka;
Cijena opcija rješenja;
Funkcija mogućeg gubitka za svaku odluku koja odgovara određenom stanju spoljašnjeg okruženja.
Uopšteno govoreći, može se reći da se odluke donose na osnovu maksimalnih dobiti ili minimalnih gubitaka. S tim u vezi, uvodi se koncept rizika po čijoj se veličini procjenjuje vrijednost odluke. Ova teorija razmatra niz mogućih kriterija za optimalnost donesenih odluka. Dakle, rješenje koje minimizira maksimalni rizik (Bayesovo rješenje) opisuje se kao minimalno rješenje. Statistička teorija odlučivanja koristi se prilikom odabira odluka u uslovima neizvjesnosti okoliša.
Drugi pravac matematičkog modeliranja povezan je sa upotrebom teorije korisnosti, zasnovane na individualnim preferencijama, subjektivnoj procjeni vjerovatnosti nastanka ekoloških događaja.
Treći pravac modela razvoja odluka zasniva se na upotrebi teorije igara. Ova teorija se koristi u konfliktnim situacijama ili prilikom donošenja kolektivnih (zajedničkih) odluka. Osnovni je izbor polazne tačke (garantnog rješenja) od koje počinje zajednički razvoj najboljeg rješenja. Osnovni princip ove teorije je minimaks. Šema teorije igara opisuje principe donošenja odluka za široku klasu praktičnih situacija inovativne prirode. Igra je moguća sa bilo kojim brojem učesnika i različitim stepenom njihove svesti. Samo pravila igre su podložna formalizaciji, a ne ponašanje igrača.
Date teorije i pristupi modeliranju procesa razvoja odluka odražavaju određene njegove aspekte:
statistička teorija odlučivanja - ekološka nesigurnost, izbor, rizik;
teorija igara - neke karakteristike ljudskog ponašanja u interakciji sa drugim ljudima i sa okolinom;
teorija korisnosti - psihološke ideje o ljudskim potrebama i motivaciji.
Vrsta razvoja rješenja su heuristički modeli. Po prvi put su autori Simon i Newell upotrijebili termin “heuristički” (grčki “euriskein” – otkrivanje) kako bi okarakterizirali poseban pristup rješavanju problema i odabiru rješenja. Heuristički modeli su zasnovani na logici i zdravom razumu na osnovu postojećeg iskustva. Takvi modeli se koriste u situacijama kada je upotreba formalnih analitičkih metoda nemoguća. Suština heurističkih metoda je transformacija jednog složenog problema u skup jednostavnih koji se mogu matematički proučavati. Heuristički modeli ne rješavaju probleme optimizacije rješenja, već procjenjuju relativnu prikladnost specifičnih strategija uz određena ograničenja. Na osnovu konstrukcije modela logičkih veza, u toku rasuđivanja donosioca odluke može se riješiti široka klasa problema.
Heuristički modeli se koriste pri odabiru rješenja za rješavanje kratkoročnih i ponavljajućih situacija, kao i onih složenih i ponavljajućih, bez nade za korištenje matematičkog aparata.
Praktična primjena heurističkog pristupa modeliranju procesa razvoja i donošenja upravljačkih odluka pretpostavlja da donosilac odluka posjeduje kognitivne sposobnosti i sklonost uopštavanju i izvođenju zaključaka.
Donošenje odluka na psihološkom nivou nije izolovan proces. Uključen je u kontekst stvarne ljudske aktivnosti. Prilikom izgradnje modela donošenja odluka važno je znati kako se odvijaju procesi koji mu prethode i slijede. Neophodno je istražiti spoljašnje i unutrašnje okruženje, uključujući pretraživanje, isticanje, klasifikovanje i sumiranje informacija o okruženju, generisanje alternativa i donošenje izbora.
Postoji širok spektar matematičkih modela koji odražavaju stvarne procese koji se dešavaju u ekonomskom životu preduzeća. Mogu se klasifikovati prema različitim kriterijumima (slika 11).
Treba napomenuti da je pitanje klasifikacije modela u teoriji odlučivanja i dalje kontroverzno. Kratak opis i smjer upotrebe pojedinih modela su sljedeći.
Modeli mogu odražavati interese učesnika u ekonomskom procesu. Ako su oni (interesi) isti (barem za nekoliko glumaca), onda se modeli nazivaju modeli sa jednim učesnikom: ako se interesi učesnika razilaze, onda modeli igara. U tržišnoj ekonomiji, modeli igara su široko rasprostranjeni.
Ako u modelima nema faktora vremena, proces se razmatra u određenom trenutku ili u određenom vremenskom periodu, tada se takvi modeli nazivaju statički. Opseg primjene ovih modela ograničen je na kratkoročno predviđanje. (Primjer je statički model ulaznog balansa).
U dinamici modela, postaje moguće u vremenu odraziti proces funkcionisanja i razvoja kontrolnog objekta. Faktor vremena je eksplicitno prisutan (npr. dugoročno predviđanje razvoja tražnje metodom ekstrapolacije – u ovom slučaju se utvrđeni trend razvoja neke pojave u prošlosti prenosi u budućnost).
U determinističkom modela, svaka vrijednost faktora (skup početnih podataka) striktno odgovara jednoj vrijednosti rezultata, odnosno postoji funkcionalna veza. Poseban slučaj ove klase modela su kvazi regularan modeli. Ovo su modeli prosječne dinamike koji opisuju proces na osnovu ponderiranih prosječnih vrijednosti parametara modela. Oni se široko koriste u socio-ekonomskim istraživanjima. Njihova posebnost je da svaka vrijednost argumenta odgovara određenoj vrijednosti funkcije, odnosno kroz model je moguće dobiti potpuno definitivan rezultat (na primjer, ovisnost obima potražnje od veličine kupovine). sredstava stanovništva).
Stohastic modeli se odlikuju potpunijim odrazom stvarnosti, bliži su stvarnim procesima, gdje nema striktnog određenja. Na primjer, ista oprema može imati različitu produktivnost rada. Ova klasa modela je probabilističke prirode, budući da predviđaju rezultat sa određenim povjerenjem. U ovoj klasi modela postoje dvije vrste: vjerojatnosni i statistički modeli.
Probabilistički modeli koriste probabilističke vrijednosti parametara procesa. Međutim, matematička struktura probabilističkih modela je strogo deterministička. Za svaki skup početnih podataka u modelima određena je jedna distribucija vjerovatnoće slučajnih događaja u procesu koji se razmatra. Za implementaciju probabilističkih modela potrebno je da svako stanje pojedinog elementa sistema odgovara vjerovatnoći njegovog upada u ovo stanje.
Da bi se prikazala dinamika funkcionisanja preduzeća ovim modelom, potrebno je podeliti putanju mogućih stanja svakog elementa sistema na određeni (diskretni) broj stanja i odrediti verovatnoće prelaska ovog elementa iz jednog u jedno stanje. drugi, uzimajući u obzir međusobni uticaj elemenata.
U statistici modela, svaki skup početnih podataka odgovara u modelu bilo kojem slučajnom rezultatu iz skupa mogućih. Dakle, svako rješenje nudi jednu slučajnu realizaciju rezultata simulacije
proces.
Jedna od efikasnih metoda za proučavanje ekonomskih sistema koja se koristi u procesu donošenja upravljačkih odluka je dinamičko modeliranje. Predstavlja kreiranje uslovnog matematičkog modela aktivnosti preduzeća i njegove efektivnosti, koji se može koristiti za praćenje promena koje se dešavaju u upravljanom objektu pod uticajem mera koje se namerno preduzimaju u procesu upravljanja, kao i pod stvarnim uticajem unutrašnje i spoljašnje okruženje. Shema je sljedeća:
Tehnologija dinamičkog modeliranja uključuje:
1) identifikaciju problema koji se mora rešiti u upravljanom sistemu;
2) utvrđivanje faktora koji se mogu manifestovati prilikom rešavanja problema, odnosno utvrđivanje uzročno-posledičnih veza i njihovog uticaja na rezultate preduzeća;
3) utvrđivanje kvantitativnog izraza ovih veza. Matematički model dinamičkog modeliranja predstavlja sistem ovih veza i njihov kvantitativni izraz. Izrada takvog modela je složen i dugotrajan posao. Čini se opravdanim koristiti standardne modele, a zatim ih prilagoditi potrebama određenog preduzeća.
Potreba za korištenjem dinamičkog modeliranja uzrokovana je sljedećim razlozima:
1) sudovi menadžera o odlukama i posledicama koje one mogu izazvati su uglavnom subjektivne;
2) sprovođenje eksperimenata na donetim odlukama za njihovo testiranje je težak zadatak u ekonomskom i socijalnom smislu;
3) niz okolnosti u vezi sa sprovođenjem odluka je teško uzeti u obzir na logičan način;
4) uticaj spoljašnjeg okruženja je teško predvideti;
5) pozitivan efekat u jednoj oblasti preduzeća može se negativno odraziti na druge oblasti upravljanja objektom.
Posebnost dinamičkog modeliranja je da, bez obzira na početno stanje i početno rješenje, sve naredne odluke moraju polaziti od stanja dobivenog kao rezultat prethodne odluke.
Gdje f i (x i) - povećanje proizvodnje u r-tom smjeru nakon alokacije x i resursi,
J i (x) - ukupno povećanje proizvodnje u oblastima od prvog do i-th kada je odabrano X resurse.
Višestepena priroda odražava stvarni tok procesa donošenja odluka ili vještačku podjelu procesa donošenja jedne odluke u zasebne faze i korake.
Mrežno modeliranje vrlo efikasan u svim fazama razvoja rješenja: prilikom traženja rješenja, odabira optimalne opcije i praćenja implementacije rješenja. Njegove pozitivne karakteristike su detaljizacija problema, preciziranje odgovornosti, poboljšanje operativnog upravljanja i kontrole, racionalno korišćenje resursa i vremena (detaljan opis u Poglavlju 8).
U sistemu za modeliranje ekonomskih pojava često se koriste matrični modeli koji kombinuju matematičke alate sa vizuelnim prikazom odnosa između delova plana preduzeća (ili izveštaja). U matričnom modelu resursi (proizvodni kapacitet, radna snaga, materijalni resursi, tehnološki standardi) iskazuju se u kombinaciji sa obimom proizvodnje, troškovima (radnim, finansijskim, materijalnim) za određeni period i stepenom korišćenja resursa po njihovim vrstama.
Matrični model se efikasno koristi za identifikaciju odnosa između različitih aspekata aktivnosti preduzeća koji nastaju kao rezultat implementacije bilo koje upravljačke odluke. U suštini, matrični model je jedan od tipova ravnotežnih modela.
Nakon kreiranja matematičkog modela, izvode se probne kalkulacije (uključujući korištenje kompjutera) kako bi se provjerio stupanj bliskosti modela sa stvarnošću. Na osnovu rezultata poređenja vrše se prilagođavanja: ili modela, ako ne odgovara stvarnosti, ili se menjaju odnosi u organizaciji i pravila za donošenje upravljačkih odluka, ako model otkriva njihove nesavršenosti. Jedna od varijanti je simulacijski modeli, dizajnirani za upotrebu na računaru, o kojima će biti reči u sledećem paragrafu.
BILJEŠKE S PREDAVANJA
Prema stopi
"Matematičko modeliranje mašina i transportnih sistema"
Na predmetu se proučavaju pitanja vezana za matematičko modeliranje, oblik i princip predstavljanja matematičkih modela. Razmatraju se numeričke metode za rješavanje jednodimenzionalnih nelinearnih sistema. Obrađena su pitanja kompjuterskog modeliranja i računskog eksperimenta. Razmatraju se metode obrade podataka dobijenih kao rezultat naučnih ili industrijskih eksperimenata; istraživanje različitih procesa, utvrđivanje obrazaca u ponašanju objekata, procesa i sistema. Razmatraju se metode interpolacije i aproksimacije eksperimentalnih podataka. Razmatraju se pitanja vezana za kompjutersko modeliranje i rješavanje nelinearnih dinamičkih sistema. Posebno se razmatraju metode numeričke integracije i rješavanja običnih diferencijalnih jednadžbi prvog, drugog i višeg reda.
Predavanje: Matematičko modeliranje. Oblik i principi predstavljanja matematičkih modela
Na predavanju se razmatraju opšta pitanja matematičkog modeliranja. Data je klasifikacija matematičkih modela.
Kompjuter je čvrsto ušao u naše živote i praktično ne postoji područje ljudske aktivnosti u kojem se računar ne koristi. Računari se danas široko koriste u procesu stvaranja i istraživanja novih mašina, novih tehnoloških procesa i traženju njihovih optimalnih opcija; pri rješavanju ekonomskih problema, pri rješavanju problema planiranja i upravljanja proizvodnjom na različitim nivoima. Stvaranje velikih objekata u raketnoj industriji, proizvodnji aviona, brodogradnji, kao i projektovanje brana, mostova i sl. uglavnom je nemoguće bez upotrebe računara.
Da bi se kompjuter koristio u rješavanju primijenjenih problema, prije svega, primijenjeni problem mora biti „preveden“ na formalni matematički jezik, tj. za stvarni objekat, proces ili sistem, mora se izgraditi njegov matematički model.
Riječ "model" dolazi od latinskog modus (kopija, slika, obris). Modeliranje je zamjena nekog objekta A drugim objektom B. Zamijenjeni objekt A naziva se originalni ili modelirajući objekt, a zamjena B naziva se model. Drugim riječima, model je zamjenski objekt za originalni objekt, koji omogućava proučavanje nekih svojstava originala.
Svrha modeliranja je da se dobiju, obrađuju, prezentiraju i koriste informacije o objektima koji su u interakciji jedni s drugima i vanjskim okruženjem; a model ovdje djeluje kao sredstvo za razumijevanje svojstava i obrazaca ponašanja objekta.
Modeliranje ima široku primenu u različitim oblastima ljudske delatnosti, posebno u oblastima dizajna i menadžmenta, gde su procesi donošenja efektivnih odluka na osnovu dobijenih informacija posebni.
Model se uvijek gradi sa određenom svrhom, koja utiče na to koja su svojstva objektivne pojave značajna, a koja ne. Model je kao projekcija objektivne stvarnosti iz određenog ugla. Ponekad, ovisno o ciljevima, možete dobiti brojne projekcije objektivne stvarnosti koje dolaze u sukob. Ovo je tipično, po pravilu, za složene sisteme u kojima svaka projekcija bira ono što je bitno za određenu svrhu iz skupa nebitnih.
Teorija modeliranja je grana nauke koja proučava načine proučavanja svojstava originalnih objekata na osnovu njihove zamjene drugim modelskim objektima. Teorija modeliranja zasniva se na teoriji sličnosti. Prilikom modeliranja ne dolazi do apsolutne sličnosti, već se samo nastoji osigurati da model dovoljno dobro odražava aspekt funkcioniranja objekta koji se proučava. Apsolutna sličnost se može dogoditi samo kada se jedan objekt zamijeni drugim potpuno istim.
Svi modeli se mogu podijeliti u dvije klase:
1. pravi,
2. idealan.
Zauzvrat, pravi modeli se mogu podijeliti na:
1. puna skala,
2. fizički,
3. matematički.
Idealni modeli se mogu podijeliti na:
1. vizuelni,
2. kultni,
3. matematički.
Realni modeli pune skale su stvarni objekti, procesi i sistemi na kojima se izvode naučni, tehnički i industrijski eksperimenti.
Pravi fizički modeli su modeli, lutke koje reproduciraju fizička svojstva originala (kinematički, dinamički, hidraulički, termički, električni, svjetlosni modeli).
Pravi matematički modeli su analogni, strukturni, geometrijski, grafički, digitalni i kibernetički modeli.
Idealni vizuelni modeli su dijagrami, karte, crteži, grafovi, grafovi, analozi, strukturni i geometrijski modeli.
Idealni modeli znakova su simboli, abeceda, programski jezici, uređena notacija, topološka notacija, mrežna reprezentacija.
Idealni matematički modeli su analitički, funkcionalni, simulacijski i kombinovani modeli.
U gornjoj klasifikaciji, neki modeli imaju dvostruku interpretaciju (na primjer, analogni). Svi modeli, osim onih u punoj skali, mogu se kombinovati u jednu klasu mentalnih modela, jer oni su proizvod ljudskog apstraktnog mišljenja.
Zaustavimo se na jednom od najuniverzalnijih tipova modeliranja - matematičkom, koji simulirani fizički proces povezuje sa sistemom matematičkih odnosa, čije nam rješenje omogućava da dobijemo odgovor na pitanje o ponašanju objekta bez stvaranja fizički model, koji se često pokaže skupim i neefikasnim.
Matematičko modeliranje je način proučavanja stvarnog objekta, procesa ili sistema zamjenom istih matematičkim modelom koji je pogodniji za eksperimentalno istraživanje korištenjem kompjutera.
Matematički model je približna reprezentacija stvarnih objekata, procesa ili sistema, izražena matematičkim terminima i koja čuva bitne karakteristike originala. Matematički modeli u kvantitativnom obliku, koristeći logičke i matematičke konstrukcije, opisuju osnovna svojstva objekta, procesa ili sistema, njegove parametre, unutrašnje i eksterne veze.
Uopšteno govoreći, matematički model realnog objekta, procesa ili sistema predstavlja se kao sistem funkcionalnosti
F i (X,Y,Z,t)=0,
gdje je X vektor ulaznih varijabli, X= t,
Y - vektor izlaznih varijabli, Y= t,
Z - vektor vanjskih utjecaja, Z= t,
t - vremenska koordinata.
Izgradnja matematičkog modela sastoji se od utvrđivanja veza između određenih procesa i pojava, stvaranja matematičkog aparata koji omogućava kvantitativno i kvalitativno izražavanje odnosa između određenih procesa i pojava, između fizičkih veličina od interesa za specijaliste i faktora koji utiču na konačni rezultat.
Obično ih ima toliko da je nemoguće uvesti cijeli njihov skup u model. Prilikom konstruisanja matematičkog modela, zadatak istraživanja je da se identifikuju i iz razmatranja izuzmu faktori koji ne utiču značajno na konačni rezultat (matematički model obično uključuje znatno manji broj faktora nego u stvarnosti). Na osnovu eksperimentalnih podataka postavljaju se hipoteze o odnosu između veličina koje izražavaju konačni rezultat i faktora koji se unose u matematički model. Takva veza se često izražava sistemima parcijalnih diferencijalnih jednačina (na primjer, u problemima mehanike čvrstih tijela, tekućina i plinova, teorije filtracije, toplotne provodljivosti, teorije elektrostatičkih i elektrodinamičkih polja).
Krajnji cilj ove faze je formulacija matematičkog problema, čije rješenje, s potrebnom tačnošću, izražava rezultate od interesa za specijaliste.
Oblik i principi predstavljanja matematičkog modela zavise od mnogih faktora.
Na osnovu principa konstrukcije, matematički modeli se dijele na:
1. analitički;
2. imitacija.
U analitičkim modelima, procesi funkcionisanja stvarnih objekata, procesa ili sistema zapisani su u obliku eksplicitnih funkcionalnih zavisnosti.
Analitički model je podijeljen na tipove ovisno o matematičkom problemu:
1. jednadžbe (algebarske, transcendentalne, diferencijalne, integralne),
2. aproksimacijski problemi (interpolacija, ekstrapolacija, numerička integracija i diferencijacija),
3. problemi optimizacije,
4. stohastički problemi.
Međutim, kako objekt modeliranja postaje složeniji, izgradnja analitičkog modela pretvara se u nerješiv problem. Tada je istraživač primoran koristiti simulacijsko modeliranje.
U simulacionom modeliranju, funkcionisanje objekata, procesa ili sistema opisuje se skupom algoritama. Algoritmi simuliraju stvarne elementarne pojave koje sačinjavaju proces ili sistem, zadržavajući njihovu logičku strukturu i slijed tokom vremena. Simulaciono modeliranje omogućava, iz izvornih podataka, dobijanje informacija o stanjima procesa ili sistema u određenim vremenskim momentima, ali je ovde teško predvideti ponašanje objekata, procesa ili sistema. Možemo reći da su simulacijski modeli kompjuterski bazirani računarski eksperimenti sa matematičkim modelima koji imitiraju ponašanje stvarnih objekata, procesa ili sistema.
U zavisnosti od prirode stvarnih procesa i sistema koji se proučavaju, matematički modeli mogu biti:
1. deterministički,
2. stohastički.
U determinističkim modelima pretpostavlja se da nema slučajnih uticaja, elementi modela (varijable, matematičke veze) su prilično precizno uspostavljeni, a ponašanje sistema se može tačno odrediti. Prilikom konstruisanja determinističkih modela najčešće se koriste algebarske jednadžbe, integralne jednadžbe i matrična algebra.
Stohastički model uzima u obzir slučajnu prirodu procesa u objektima i sistemima koji se proučavaju, što se opisuje metodama teorije vjerovatnoće i matematičke statistike.
Na osnovu vrste ulaznih informacija, modeli se dijele na:
1. kontinuirano,
2. diskretno.
Ako su informacije i parametri kontinuirani, a matematičke veze stabilne, onda je model kontinuiran. I obrnuto, ako su informacije i parametri diskretni, a veze nestabilne, onda je matematički model diskretan.
Na osnovu ponašanja modela tokom vremena, oni se dijele na:
1. statički,
2. dinamičan.
Statički modeli opisuju ponašanje objekta, procesa ili sistema u bilo kojem trenutku. Dinamički modeli odražavaju ponašanje objekta, procesa ili sistema tokom vremena.
Na osnovu stepena korespondencije između matematičkog modela i stvarnog objekta, procesa ili sistema, matematički modeli se dijele na:
1. izomorfan (identičan po obliku),
2. homomorfni (različiti oblikom).
Model se naziva izomorfnim ako postoji potpuna korespondencija element po element između njega i stvarnog objekta, procesa ili sistema. Homomorfno - ako postoji korespondencija samo između najznačajnijih komponenti objekta i modela.
U budućnosti, da bismo ukratko definisali tip matematičkog modela u gornjoj klasifikaciji, koristićemo sledeću notaciju:
prvo slovo:
D - deterministički,
C - stohastički.
Drugo pismo:
N - kontinuirano,
D - diskretno.
Treće pismo:
A - analitičko,
I - imitacija.
1. Ne postoji (tačnije, ne uzima se u obzir) uticaj slučajnih procesa, tj. deterministički model (D).
2. Informacije i parametri su kontinuirani, tj. model - kontinuirani (N),
3. Funkcioniranje modela koljenastog mehanizma opisano je u obliku nelinearnih transcendentalnih jednačina, tj. model - analitički (A)
2. Predavanje: Osobine konstruisanja matematičkih modela
Predavanje opisuje proces konstruisanja matematičkog modela. Dat je verbalni algoritam procesa.
Da bi se kompjuter koristio u rješavanju primijenjenih problema, prije svega, primijenjeni problem mora biti „preveden“ na formalni matematički jezik, tj. za stvarni objekat, proces ili sistem, mora se izgraditi njegov matematički model.
Matematički modeli u kvantitativnom obliku, koristeći logičke i matematičke konstrukcije, opisuju osnovna svojstva objekta, procesa ili sistema, njegove parametre, unutrašnje i eksterne veze.
Za izradu matematičkog modela potrebno je:
1. pažljivo analizirati stvarni predmet ili proces;
2. istaći njegove najznačajnije karakteristike i svojstva;
3. definisati varijable, tj. parametri čije vrijednosti utječu na glavne karakteristike i svojstva objekta;
4. opisati zavisnost osnovnih svojstava objekta, procesa ili sistema od vrijednosti varijabli koristeći logičko-matematičke odnose (jednačine, jednakosti, nejednačine, logičko-matematičke konstrukcije);
5. istaći unutrašnje veze objekta, procesa ili sistema koristeći ograničenja, jednačine, jednakosti, nejednakosti, logičke i matematičke konstrukcije;
6. identificirati vanjske veze i opisati ih koristeći ograničenja, jednačine, jednakosti, nejednakosti, logičke i matematičke konstrukcije.
Matematičko modeliranje, osim proučavanja objekta, procesa ili sistema i izrade njegovog matematičkog opisa, uključuje i:
1. konstrukcija algoritma koji modelira ponašanje objekta, procesa ili sistema;
2. provjera adekvatnosti modela i objekta, procesa ili sistema na osnovu računskih i eksperimenata u punoj mjeri;
3. prilagođavanje modela;
4. korištenje modela.
Matematički opis procesa i sistema koji se proučavaju zavisi od:
1. priroda realnog procesa ili sistema i sastavlja se na osnovu zakona fizike, hemije, mehanike, termodinamike, hidrodinamike, elektrotehnike, teorije plastičnosti, teorije elastičnosti itd.
2. potrebna pouzdanost i tačnost proučavanja i istraživanja realnih procesa i sistema.
U fazi izbora matematičkog modela utvrđuju se: linearnost i nelinearnost objekta, procesa ili sistema, dinamičnost ili statičnost, stacionarnost ili nestacionarnost, kao i stepen determinisanosti objekta ili procesa koji se proučava. U matematičkom modeliranju, namjerno se apstrahuje od specifične fizičke prirode objekata, procesa ili sistema i uglavnom se fokusira na proučavanje kvantitativnih zavisnosti između veličina koje opisuju ove procese.
Matematički model nikada nije potpuno identičan predmetu, procesu ili sistemu koji se razmatra. Na osnovu pojednostavljenja i idealizacije, to je približan opis objekta. Stoga su rezultati dobijeni analizom modela približni. Njihova tačnost je određena stepenom adekvatnosti (usklađenosti) između modela i objekta.
Izgradnja matematičkog modela obično počinje izgradnjom i analizom najjednostavnijeg, najgrubljeg matematičkog modela predmeta, procesa ili sistema koji se razmatra. U budućnosti, ako je potrebno, model se dorađuje i njegova korespondencija sa objektom postaje potpunija.
Uzmimo jednostavan primjer. Potrebno je odrediti površinu radnog stola. Obično se to radi mjerenjem njegove dužine i širine, a zatim množenjem rezultirajućih brojeva. Ovaj elementarni postupak zapravo znači sljedeće: pravi objekt (ploha stola) zamjenjuje se apstraktnim matematičkim modelom – pravokutnikom. Dimenzije dobivene mjerenjem dužine i širine površine stola dodjeljuju se pravokutniku, a površina takvog pravokutnika se približno uzima kao potrebna površina stola.
Međutim, model pravougaonika za radni sto je najjednostavniji, najgrublji model. Ako ozbiljnije pristupite problemu, prije korištenja modela pravokutnika za određivanje površine stola, ovaj model treba provjeriti. Provjere se mogu izvršiti na sljedeći način: izmjerite dužine suprotnih strana stola, kao i dužine njegovih dijagonala i uporedite ih međusobno. Ako su, uz traženi stepen tačnosti, dužine suprotnih strana i dužine dijagonala jednake u parovima, tada se površina stola zaista može smatrati pravougaonikom. U suprotnom, model pravokutnika će se morati odbaciti i zamijeniti općim modelom četverougla. Uz veći zahtjev za preciznošću, možda će biti potrebno dodatno precizirati model, na primjer, da se uzme u obzir zaokruživanje uglova stola.
Koristeći ovaj jednostavan primjer, pokazano je da matematički model nije jedinstveno određen objektom, procesom ili sistemom koji se proučava. Za istu tabelu možemo usvojiti ili model pravougaonika, ili složeniji model opšteg četvorougla, ili četvorougao sa zaobljenim uglovima. Izbor jednog ili drugog modela određen je zahtjevom tačnosti. Sa sve većom preciznošću, model se mora komplikovati, uzimajući u obzir nove i nove karakteristike objekta, procesa ili sistema koji se proučava.
Razmotrimo još jedan primjer: proučavanje kretanja koljenastog mehanizma (slika 2.1).
Rice. 2.1.
Za kinematičku analizu ovog mehanizma, prije svega, potrebno je konstruirati njegov kinematički model. Za ovo:
1. Mehanizam zamjenjujemo njegovim kinematičkim dijagramom, gdje su sve karike zamijenjene krutim vezama;
2. Koristeći ovaj dijagram, izvodimo jednačinu kretanja mehanizma;
3. Diferencirajući potonje, dobijamo jednačine brzina i ubrzanja, koje su diferencijalne jednadžbe 1. i 2. reda.
Napišimo ove jednačine:
gdje je C 0 krajnja desna pozicija klizača C:
r – poluprečnik radilice AB;
l – dužina klipnjače BC;
– ugao rotacije poluge;
Rezultirajuće transcendentalne jednadžbe predstavljaju matematički model gibanja ravnog aksijalnog koljenastog mehanizma, zasnovan na sljedećim pojednostavljujućim pretpostavkama:
1. nisu nas zanimali strukturni oblici i raspored masa uključenih u mehanizam tijela, te smo sva tijela mehanizma zamijenili ravnim segmentima. Zapravo, sve karike mehanizma imaju masu i prilično složen oblik. Na primjer, klipnjača je složen sklop, čiji će oblik i dimenzije, naravno, utjecati na kretanje mehanizma;
2. prilikom konstruisanja matematičkog modela kretanja mehanizma koji se razmatra, takođe nismo uzeli u obzir elastičnost tela uključenih u mehanizam, tj. sve karike su smatrane kao apstraktna apsolutno kruta tijela. U stvarnosti, sva tijela uključena u mehanizam su elastična tijela. Kada se mehanizam kreće, oni će se nekako deformirati, a u njima se mogu čak pojaviti i elastične vibracije. Sve će to, naravno, uticati i na kretanje mehanizma;
3. nismo uzeli u obzir grešku izrade karika, praznine u kinematičkim parovima A, B, C itd.
Stoga je važno još jednom naglasiti da što su zahtjevi za preciznošću rezultata rješavanja problema veći, to je veća potreba da se prilikom konstruiranja matematičkog modela uzmu u obzir karakteristike objekta, procesa ili sistema koji se proučava. Međutim, važno je stati ovdje na vrijeme, jer se složeni matematički model može pretvoriti u težak problem za rješavanje.
Model se najlakše konstruiše kada su dobro poznati zakoni koji određuju ponašanje i svojstva objekta, procesa ili sistema i postoji veliko praktično iskustvo u njihovoj primeni.
Složenija situacija nastaje kada je naše znanje o objektu, procesu ili sistemu koji se proučava nije dovoljno. U ovom slučaju, prilikom konstruisanja matematičkog modela, potrebno je napraviti dodatne pretpostavke koje su u prirodi hipoteza; takav model se naziva hipotetičkim. Zaključci dobijeni kao rezultat proučavanja ovakvog hipotetičkog modela su uslovni. Da bi se potvrdili zaključci, potrebno je uporediti rezultate proučavanja modela na računaru sa rezultatima eksperimenta u punoj veličini. Dakle, pitanje primjenjivosti određenog matematičkog modela na proučavanje predmeta, procesa ili sistema koji se razmatra nije matematičko pitanje i ne može se riješiti matematičkim metodama.
Glavni kriterij istine je eksperiment, praksa u najširem smislu riječi.
Izgradnja matematičkog modela u primijenjenim problemima jedna je od najsloženijih i najvažnijih faza rada. Iskustvo pokazuje da u mnogim slučajevima odabir pravog modela znači više od pola rješavanja problema. Teškoća ove faze je u tome što zahtijeva kombinaciju matematičkog i specijalnog znanja. Stoga je veoma važno da matematičari pri rješavanju primijenjenih problema imaju posebna znanja o objektu, a njihovi partneri specijalisti određenu matematičku kulturu, istraživačko iskustvo u svojoj oblasti, poznavanje računara i programiranja.
Predavanje 3. Računarsko modeliranje i računski eksperiment. Rješavanje matematičkih modela
Računarsko modeliranje kao nova metoda naučnog istraživanja zasniva se na:
1. izgradnja matematičkih modela za opisivanje procesa koji se proučavaju;
2. korištenje najnovijih kompjutera velike brzine (milioni operacija u sekundi) i sposobnih za vođenje dijaloga sa osobom.
Suština kompjuterskog modeliranja je sljedeća: na osnovu matematičkog modela izvodi se niz računskih eksperimenata pomoću računara, tj. proučavaju se svojstva objekata ili procesa, pronalaze njihovi optimalni parametri i režimi rada, te se model rafinira. Na primjer, ako imate jednadžbu koja opisuje tok određenog procesa, možete promijeniti njegove koeficijente, početne i granične uslove i proučavati kako će se objekt ponašati. Štaviše, moguće je predvidjeti ponašanje objekta u različitim uvjetima.
Računarski eksperiment vam omogućava da skupi eksperiment punog opsega zamijenite kompjuterskim proračunima. Omogućava da se u kratkom vremenu i bez značajnih materijalnih troškova prouči veliki broj opcija za projektovani objekat ili proces za različite načine njegovog rada, što značajno smanjuje vreme potrebno za razvoj složenih sistema i njihovu implementaciju u proizvodnju. .
Kompjutersko modeliranje i računarski eksperiment kao nova metoda naučnog istraživanja omogućavaju unapređenje matematičkog aparata koji se koristi u konstruisanju matematičkih modela, te omogućava da se matematičkim metodama razjasne i zakomplikuju matematički modeli. Najperspektivnije za izvođenje računskog eksperimenta je njegova upotreba za rješavanje velikih znanstvenih, tehničkih i društveno-ekonomskih problema našeg vremena (projektovanje reaktora za nuklearne elektrane, projektovanje brana i hidroelektrana, magnetohidrodinamičkih pretvarača energije, te u oblasti ekonomije). - izrada balansiranog plana za industriju, regiju, za državu, itd.).
U nekim procesima u kojima je prirodni eksperiment opasan po život i zdravlje ljudi, kompjuterski eksperiment je jedini moguć (termonuklearna fuzija, istraživanje svemira, projektovanje i istraživanje hemijskih i drugih industrija).
Da bi se provjerila adekvatnost matematičkog modela i stvarnog objekta, procesa ili sistema, rezultati kompjuterskog istraživanja se upoređuju s rezultatima eksperimenta na prototipu modela punog mjerila. Rezultati testa se koriste za prilagođavanje matematičkog modela ili se rešava pitanje primenljivosti konstruisanog matematičkog modela na projektovanje ili proučavanje određenih objekata, procesa ili sistema.
U zaključku, još jednom naglašavamo da kompjutersko modeliranje i računski eksperiment omogućavaju da se proučavanje „nematematičkog“ objekta svede na rješenje matematičkog problema. Ovo otvara mogućnost korištenja dobro razvijenog matematičkog aparata u kombinaciji sa moćnom računarskom tehnologijom za njegovo proučavanje. Ovo je osnova za korištenje matematike i kompjutera za razumijevanje zakona stvarnog svijeta i njihovo korištenje u praksi.
U problemima projektovanja ili proučavanja ponašanja stvarnih objekata, procesa ili sistema, matematički modeli su obično nelinearni, jer moraju odražavati stvarne fizičke nelinearne procese koji se dešavaju u njima. Štaviše, parametri (varijable) ovih procesa su međusobno povezani fizičkim nelinearnim zakonima. Stoga se u problemima projektovanja ili proučavanja ponašanja stvarnih objekata, procesa ili sistema najčešće koriste matematički modeli poput DNK.
Prema klasifikaciji datoj u predavanju 1:
D – model je deterministički, uticaj slučajnih procesa izostaje (tačnije, ne uzima se u obzir).
N – kontinuirani model, informacije i parametri su kontinuirani.
A – analitički model, funkcionisanje modela je opisano u obliku jednačina (linearni, nelinearni, sistemi jednačina, diferencijalne i integralne jednačine).
Dakle, izgradili smo matematički model predmeta, procesa ili sistema koji se razmatra, tj. primijenjeni problem prikazao kao matematički. Nakon toga počinje druga faza rješavanja primijenjenog problema - traženje ili razvoj metode za rješavanje formulisanog matematičkog problema. Metoda mora biti pogodna za implementaciju na računaru i osigurati potreban kvalitet rješenja.
Sve metode za rješavanje matematičkih problema mogu se podijeliti u 2 grupe:
1. tačne metode rješavanja problema;
2. numeričke metode za rješavanje problema.
U egzaktnim metodama za rješavanje matematičkih problema, odgovor se može dobiti u obliku formula.
Na primjer, izračunavanje korijena kvadratne jednadžbe:
ili, na primjer, izračunavanje derivacijskih funkcija:
ili izračunavanje određenog integrala:
Međutim, zamjenom brojeva u formulu kao konačnih decimalnih razlomaka, i dalje dobivamo približne vrijednosti rezultata.
Za većinu problema koji se sreću u praksi, tačne metode rješenja su ili nepoznate ili daju vrlo glomazne formule. Međutim, oni nisu uvijek neophodni. Primijenjeni problem se može smatrati praktično riješenim ako smo u mogućnosti da ga riješimo sa potrebnim stepenom tačnosti.
Za rješavanje takvih problema razvijene su numeričke metode u kojima se rješavanje složenih matematičkih problema svodi na sekvencijalno izvršavanje velikog broja jednostavnih aritmetičkih operacija. Direktan razvoj numeričkih metoda pripada računskoj matematici.
Primjer numeričke metode je metoda pravokutnika za približnu integraciju, koja ne zahtijeva izračunavanje antiderivata za integrand. Umjesto integrala, izračunava se konačni kvadraturni zbir:
x 1 =a – donja granica integracije;
x n+1 =b – gornja granica integracije;
n – broj segmenata na koje je podijeljen integracijski interval (a,b);
– dužina elementarnog segmenta;
f(x i) – vrijednost integranda na krajevima elementarnih segmenata integracije.
Što je veći broj segmenata n na koje je podijeljen interval integracije, približno rješenje je bliže pravom, tj. što je rezultat tačniji.
Dakle, u primijenjenim zadacima, kako kada se koriste metode egzaktnog rješenja, tako i kada se koriste metode numeričkog rješenja, rezultati proračuna su približni. Važno je samo osigurati da se greške uklapaju u potrebnu tačnost.
Numeričke metode za rješavanje matematičkih problema bile su poznate već dugo, čak i prije pojave računara, ali su se rijetko koristile i to samo u relativno jednostavnim slučajevima zbog izuzetne složenosti proračuna. Široka upotreba numeričkih metoda postala je moguća zahvaljujući kompjuterima.
Koncept modela i simulacije.
Model u širem smislu- ovo je svaka slika, mentalni analog ili utvrđena slika, opis, dijagram, crtež, mapa, itd. bilo kojeg volumena, procesa ili fenomena, koji se koristi kao njegova zamjena ili predstavnik. Sam predmet, proces ili pojava naziva se original ovog modela.
Modeliranje - ovo je proučavanje bilo kojeg objekta ili sistema objekata konstruiranjem i proučavanjem njihovih modela. Ovo je upotreba modela za određivanje ili pojašnjenje karakteristika i racionalizaciju metoda izgradnje novoizgrađenih objekata.
Bilo koja metoda naučnog istraživanja zasniva se na ideji modeliranja, dok teorijske metode koriste različite vrste simboličkih, apstraktnih modela, a eksperimentalne metode koriste predmetne modele.
Prilikom istraživanja složena stvarna pojava zamjenjuje se nekom pojednostavljenom kopijom ili dijagramom; ponekad takva kopija služi samo da se pri sljedećem susretu prisjeti i prepozna željeni fenomen. Ponekad konstruisani dijagram odražava neke bitne karakteristike, omogućava razumevanje mehanizma pojave i omogućava predviđanje njene promene. Različiti modeli mogu odgovarati istom fenomenu.
Zadatak istraživača je da predvidi prirodu pojave i tok procesa.
Ponekad se dešava da je predmet dostupan, ali su eksperimenti s njim skupi ili dovode do ozbiljnih ekoloških posljedica. Znanje o takvim procesima se stiče korištenjem modela.
Važna stvar je da sama priroda nauke uključuje proučavanje ne jednog specifičnog fenomena, već široke klase srodnih fenomena. Pretpostavlja potrebu da se formulišu neke opšte kategoričke izjave, koje se nazivaju zakoni. Naravno, kod takve formulacije mnogi detalji se zanemaruju. Kako bi jasnije identificirali obrazac, oni svjesno idu na grubo, idealiziranje i skiciranje, odnosno ne proučavaju samu pojavu, već više ili manje točnu kopiju ili model. Svi zakoni su zakoni o modelima i stoga nije iznenađujuće što se vremenom neke naučne teorije prepoznaju kao neprikladne. To ne dovodi do kolapsa nauke, jer je jedan model zamijenjen drugim modernije.
Posebnu ulogu u nauci imaju matematički modeli, građevinski materijali i alati ovih modela – matematički koncepti. Oni su se akumulirali i poboljšavali hiljadama godina. Moderna matematika pruža izuzetno moćna i univerzalna sredstva istraživanja. Gotovo svaki pojam u matematici, svaki matematički objekt, počevši od pojma broja, je matematički model. Prilikom konstruisanja matematičkog modela predmeta ili fenomena koji se proučava, identifikuju se one njegove karakteristike, karakteristike i detalji koji, s jedne strane, sadrže više ili manje potpune informacije o objektu, as druge, omogućavaju matematičku formalizaciju. Matematička formalizacija znači da se karakteristike i detalji objekta mogu povezati s odgovarajućim adekvatnim matematičkim konceptima: brojevima, funkcijama, matricama itd. Tada se otkrivene i pretpostavljene veze i odnosi u predmetu koji se proučava između njegovih pojedinih dijelova i komponenti mogu zapisati pomoću matematičkih relacija: jednakosti, nejednakosti, jednačina. Rezultat je matematički opis procesa ili fenomena koji se proučava, odnosno njegov matematički model.
Proučavanje matematičkog modela uvijek je povezano s određenim pravilima djelovanja na objekte koji se proučavaju. Ova pravila odražavaju odnose između uzroka i posljedica.
Izgradnja matematičkog modela je centralna faza istraživanja ili dizajna svakog sistema. Sve naknadne analize objekta zavise od kvaliteta modela. Izgradnja modela nije formalna procedura. To uvelike ovisi o istraživaču, njegovom iskustvu i ukusu i uvijek se temelji na određenom eksperimentalnom materijalu. Model mora biti dovoljno precizan, adekvatan i pogodan za upotrebu.
Matematičko modeliranje.
Klasifikacija matematičkih modela.
Matematički modeli mogu bitideterministički I stohastički .
Odlučan model i su modeli u kojima se uspostavlja korespondencija jedan-na-jedan između varijabli koje opisuju objekt ili fenomen.
Ovaj pristup se zasniva na poznavanju mehanizama funkcionisanja objekata. Često je objekt koji se modelira složen i dešifriranje njegovog mehanizma može biti vrlo radno intenzivan i dugotrajan. U ovom slučaju postupa se na sljedeći način: provode eksperimente na originalu, obrađuju dobivene rezultate i, ne upuštajući se u mehanizam i teoriju modeliranog objekta koristeći metode matematičke statistike i teorije vjerovatnoće, uspostavljaju veze između varijabli koje opisuju objekat. U ovom slučaju dobijatestohastički model . IN stohastički model, odnos između varijabli je slučajan, ponekad je fundamentalan. Utjecaj ogromnog broja faktora, njihova kombinacija dovodi do nasumičnog skupa varijabli koje opisuju objekt ili pojavu. Prema prirodi modusa, model jestatistički I dinamičan.
Statističkimodeluključuje opis odnosa između glavnih varijabli modeliranog objekta u stabilnom stanju bez uzimanja u obzir promjena parametara tokom vremena.
IN dinamičanmodeliopisani su odnosi između glavnih varijabli modeliranog objekta tokom prijelaza iz jednog načina rada u drugi.
Postoje modeli diskretno I kontinuirano, i mješovito tip. IN kontinuirano varijable uzimaju vrijednosti iz određenog intervala, udiskretnovarijable uzimaju izolovane vrijednosti.
Linearni modeli- sve funkcije i relacije koje opisuju model linearno zavise od varijabli inije linearnoinače.
Matematičko modeliranje.
Zahtjevi ,p predstavljeno modelima.
1. Svestranost- karakterizira potpunost modelske reprezentacije proučavanih svojstava realnog objekta.
- Adekvatnost je sposobnost da se odraze željena svojstva objekta sa greškom koja nije veća od date.
- Preciznost se ocjenjuje stepenom slaganja između vrijednosti karakteristika stvarnog objekta i vrijednosti ovih karakteristika dobijenih pomoću modela.
- Ekonomičan - određuje se utroškom memorijskih resursa računara i vremena za njegovu implementaciju i rad.
Matematičko modeliranje.
Glavne faze modeliranja.
1. Izjava o problemu.
Određivanje svrhe analize i načina njenog postizanja i razvijanje opšteg pristupa problemu koji se proučava. U ovoj fazi potrebno je duboko razumijevanje suštine zadatka. Ponekad ispravno postavljanje problema nije ništa manje teško od rješavanja. Inscenacija nije formalan proces, nema općih pravila.
2. Proučavanje teorijskih osnova i prikupljanje informacija o originalnom objektu.
U ovoj fazi odabire se ili razvija odgovarajuća teorija. Ako ga nema, uspostavljaju se uzročno-posljedične veze između varijabli koje opisuju objekt. Ulazni i izlazni podaci se određuju, te se donose pojednostavljujuće pretpostavke.
3. Formalizacija.
Sastoji se od odabira sistema simbola i njihovog korištenja za zapisivanje odnosa između komponenti objekta u obliku matematičkih izraza. Utvrđena je klasa problema na koju se može svrstati rezultirajući matematički model objekta. Vrijednosti nekih parametara možda još nisu specificirane u ovoj fazi.
4. Odabir metode rješenja.
U ovoj fazi se uspostavljaju konačni parametri modela uzimajući u obzir radne uslove objekta. Za nastali matematički problem bira se metoda rješenja ili se razvija posebna metoda. Prilikom odabira metode uzimaju se u obzir znanje korisnika, njegove preferencije i preferencije programera.
5. Implementacija modela.
Nakon razvoja algoritma, piše se program koji se debagira, testira i dobiva rješenje za željeni problem.
6. Analiza primljenih informacija.
Dobijena i očekivana rješenja se upoređuju i prati greška modeliranja.
7. Provjera adekvatnosti stvarnog objekta.
Upoređuju se rezultati dobijeni modelombilo s dostupnim informacijama o objektu, ili se provodi eksperiment i njegovi rezultati se upoređuju sa izračunatim.
Proces modeliranja je iterativan. U slučaju nezadovoljavajućih rezultata faza 6. ili 7. vrši se povratak u jednu od ranijih faza, što je moglo dovesti do razvoja neuspješnog modela. Ova i sve naredne faze se rafiniraju i takvo usavršavanje modela se dešava dok se ne dobiju prihvatljivi rezultati.
Matematički model je približan opis bilo koje klase pojava ili objekata stvarnog svijeta na jeziku matematike. Glavna svrha modeliranja je istraživanje ovih objekata i predviđanje rezultata budućih promatranja. Međutim, modeliranje je i metoda razumijevanja svijeta oko nas, omogućavajući njegovu kontrolu.
Matematičko modeliranje i povezani kompjuterski eksperimenti su neophodni u slučajevima kada je eksperiment u punoj veličini nemoguć ili težak iz ovog ili onog razloga. Na primjer, nemoguće je postaviti prirodni eksperiment u historiji kako bi se provjerilo “šta bi se dogodilo da...” Nemoguće je provjeriti ispravnost jedne ili druge kosmološke teorije. Moguće je, ali malo vjerovatno da će biti razumno, eksperimentirati sa širenjem bolesti, kao što je kuga, ili izvesti nuklearnu eksploziju kako bi se proučile njene posljedice. Međutim, sve se to može uraditi na računaru tako što se prvo konstruišu matematički modeli fenomena koji se proučavaju.
1.1.2 2. Glavne faze matematičkog modeliranja
1) Izgradnja modela. U ovoj fazi precizira se neki „nematematički“ objekt – prirodni fenomen, dizajn, ekonomski plan, proizvodni proces itd. U ovom slučaju, po pravilu, jasan opis situacije je težak. Prvo se identifikuju glavne karakteristike fenomena i veze između njih na kvalitativnom nivou. Zatim se pronađene kvalitativne zavisnosti formulišu jezikom matematike, odnosno gradi se matematički model. Ovo je najteža faza modeliranja.
2) Rješavanje matematičkog problema do kojeg vodi model. U ovoj fazi se velika pažnja poklanja razvoju algoritama i numeričkih metoda za rješavanje problema na računaru, uz pomoć kojih se rezultat može pronaći sa potrebnom tačnošću iu prihvatljivom vremenu.
3) Interpretacija dobijenih posledica iz matematičkog modela.Posljedice koje proizilaze iz modela na jeziku matematike tumače se jezikom prihvaćenim u ovoj oblasti.
4) Provjera adekvatnosti modela.U ovoj fazi se utvrđuje da li se eksperimentalni rezultati slažu s teorijskim posljedicama modela u određenoj preciznosti.
5) Modifikacija modela.U ovoj fazi ili se model komplikuje kako bi bio adekvatniji realnosti, ili se pojednostavljuje kako bi se postiglo praktično prihvatljivo rješenje.
1.1.3 3. Klasifikacija modela
Modeli se mogu klasifikovati prema različitim kriterijumima. Na primjer, prema prirodi problema koji se rješavaju, modeli se mogu podijeliti na funkcionalne i strukturalne. U prvom slučaju, kvantitativno se izražavaju sve veličine koje karakteriziraju pojavu ili predmet. Štaviše, neke od njih se smatraju nezavisnim varijablama, dok se druge smatraju funkcijama ovih veličina. Matematički model je obično sistem jednačina različitih tipova (diferencijalni, algebarski, itd.) koji uspostavljaju kvantitativne odnose između veličina koje se razmatraju. U drugom slučaju, model karakterizira strukturu složenog objekta koji se sastoji od pojedinačnih dijelova, između kojih postoje određene veze. Obično se ove veze ne mogu kvantificirati. Za konstruiranje takvih modela zgodno je koristiti teoriju grafova. Graf je matematički objekat koji predstavlja skup tačaka (vrhova) na ravni ili u prostoru, od kojih su neke povezane linijama (ivicama).
Na osnovu prirode početnih podataka i rezultata, modeli predviđanja se mogu podijeliti na determinističke i vjerovatno-statističke. Modeli prvog tipa daju određena, nedvosmislena predviđanja. Modeli drugog tipa zasnivaju se na statističkim informacijama, a predviđanja dobijena uz njihovu pomoć su vjerovatnoće.
MATEMATIČKO MODELIRANJE I OPĆA KOMPJUTERIZACIJA ILI SIMULACIJSKI MODELI
Sada, kada se u zemlji odvija gotovo univerzalna kompjuterizacija, čujemo izjave stručnjaka različitih profesija: „Ako uvedemo kompjuter, svi problemi će se odmah riješiti.“ Ovo gledište je potpuno netačno, sami računari, bez matematičkih modela određenih procesa, neće moći ništa, a o univerzalnoj kompjuterizaciji se može samo sanjati.
U prilog navedenom pokušat ćemo opravdati potrebu za modeliranjem, uključujući i matematičko modeliranje, otkrićemo njegove prednosti u čovjekovoj spoznaji i transformaciji vanjskog svijeta, identificirati postojeće nedostatke i preći na... na simulacijsko modeliranje, tj. modeliranje pomoću kompjutera. Ali sve je u redu.
Prije svega, odgovorimo na pitanje: šta je model?
Model je materijalni ili mentalno predstavljeni predmet, koji u procesu spoznaje (proučavanja) zamjenjuje original, čuvajući neka tipična svojstva koja su bitna za ovo proučavanje.
Dobro izgrađen model je pristupačniji za istraživanje nego pravi objekat. Na primjer, eksperimenti s ekonomijom zemlje u obrazovne svrhe su neprihvatljivi; model je neophodan.
Sumirajući rečeno, možemo odgovoriti na pitanje: čemu služe modeli? Da bi
- razumiju kako objekt funkcionira (njegovu strukturu, svojstva, zakonitosti razvoja, interakciju sa vanjskim svijetom).
- naučiti upravljati objektom (procesom) i odrediti najbolje strategije
- predvidjeti posljedice udara na objekat.
Šta je pozitivno kod svakog modela? Omogućava vam da steknete nova znanja o objektu, ali je, nažalost, nepotpuna u jednom ili drugom stepenu.
Modelformulisan na jeziku matematike korišćenjem matematičkih metoda naziva se matematički model.
Polazna tačka za njegovu izgradnju obično je neki problem, na primjer ekonomski. I deskriptivni i optimizacijski matematički su široko rasprostranjeni, karakterišu različite ekonomskim procesima i pojave, na primjer:
- alokacija resursa
- racionalno sečenje
- transport
- konsolidacija preduzeća
- planiranje mreže.
Kako se konstruiše matematički model?
- Prvo se formuliše svrha i predmet studije.
- Drugo, istaknute su najvažnije karakteristike koje odgovaraju ovom cilju.
- Treće, verbalno se opisuju odnosi između elemenata modela.
- Zatim se odnos formalizira.
- I izračuna se pomoću matematičkog modela i analizira se rezultirajuće rješenje.
Koristeći ovaj algoritam, možete riješiti bilo koji problem optimizacije, uključujući višekriterijumski, tj. onaj u kojem se ne teži jednom, već nekoliko ciljeva, uključujući i kontradiktorne.
Dajemo primjer. Teorija čekanja - problem čekanja. Potrebno je uravnotežiti dva faktora - troškove održavanja servisnih uređaja i troškove održavanja u redu. Nakon konstruisanja formalnog opisa modela, proračuni se vrše analitičkim i računskim metodama. Ako je model dobar, onda su odgovori pronađeni uz njegovu pomoć adekvatni sistemu modeliranja; ako je loš, onda se mora poboljšati i zamijeniti. Kriterijum adekvatnosti je praksa.
Optimizacijski modeli, uključujući i višekriterijumske, imaju zajedničku osobinu – poznat je cilj (ili više ciljeva), za čije postizanje se često moraju nositi sa složenim sistemima, gdje se ne radi toliko o rješavanju problema optimizacije, već o proučavanju i predviđanju. stanja u zavisnosti od odabranih strategija upravljanja. I tu smo suočeni sa poteškoćama implementacije prethodnog plana. One su sljedeće:
- složen sistem sadrži mnogo veza između elemenata
- na stvarni sistem utiču slučajni faktori, uzimanje u obzir analitički je nemoguće
- mogućnost poređenja originala sa modelom postoji samo na početku i nakon upotrebe matematičkog aparata, jer srednji rezultati možda nemaju analoga u stvarnom sistemu.
U vezi s navedenim poteškoćama koje se javljaju prilikom proučavanja složenih sistema, praksa je zahtijevala fleksibilniju metodu, a pojavila se - „simulacijsko modeliranje“.
Tipično, simulacijski model se podrazumijeva kao skup kompjuterskih programa koji opisuje funkcionisanje pojedinačnih blokova sistema i pravila interakcije između njih. Upotreba slučajnih varijabli čini neophodnim izvođenje ponovljenih eksperimenata sa simulacionim sistemom (na računaru) i naknadnu statističku analizu dobijenih rezultata. Vrlo čest primjer korištenja simulacijskih modela je rješavanje problema čekanja korištenjem MONTE CARLO metode.
Dakle, rad sa simulacionim sistemom je eksperiment koji se izvodi na računaru. Koje su prednosti?
– Veća blizina realnom sistemu od matematičkih modela;
– Princip bloka omogućava provjeru svakog bloka prije njegovog uključivanja u cjelokupni sistem;
– Upotreba zavisnosti složenije prirode koje se ne mogu opisati jednostavnim matematičkim odnosima.
Navedene prednosti određuju nedostatke
– izgradnja simulacionog modela traje duže, teža je i skuplja;
– za rad sa simulacionim sistemom morate imati računar koji odgovara času;
– interakcija između korisnika i simulacionog modela (interfejsa) ne bi trebala biti previše složena, pogodna i dobro poznata;
-izgradnja simulacionog modela zahtijeva dublje proučavanje stvarnog procesa nego matematičko modeliranje.
Postavlja se pitanje: može li simulacijsko modeliranje zamijeniti metode optimizacije? Ne, ali zgodno ih nadopunjuje. Simulacijski model je program koji implementira određeni algoritam, radi optimizacije kontrole kojim se prvo rješava problem optimizacije.
Dakle, ni kompjuter, ni matematički model, ni algoritam za njegovo proučavanje sami po sebi ne mogu riješiti dovoljno složen problem. Ali zajedno predstavljaju snagu koja nam omogućava da razumijemo svijet oko sebe i upravljamo njime u interesu čovjeka.
1.2 Klasifikacija modela
1.2.1
|
1.2.2 Klasifikacija prema području upotrebe (Makarova N.A.)
edukativni- vizuelno priručnici, simulatori oh, oni koji zavijaju programe |
1.2.3 Klasifikacija prema načinu prezentacije Makarov N.A.)
Materijal
modeli- inače
može se nazvati subjektom. Oni opažaju geometrijska i fizička svojstva originala i uvijek imaju pravo utjelovljenje |
1.2.4 Klasifikacija modela data u knjizi "Earth Informatics" (Gein A.G.))„...evo naizgled jednostavnog zadatka: koliko će vremena trebati da se pređe pustinju Karakum? Odgovor je naravno zavisi od načina prevoza. Ako putuj dalje kamile, onda će trajati jedan termin, drugi ako idete autom, treći ako letite avionom. I što je najvažnije, za planiranje putovanja potrebni su različiti modeli. Za prvi slučaj, traženi model može se naći u memoarima poznatih istraživača pustinje: uostalom, ne može se bez informacija o oazama i stazama kamila. U drugom slučaju, informacije sadržane u atlasu puteva su nezamjenjive. U trećem, možete koristiti red letenja. |
1.2.5 Klasifikacija modela data u priručniku A.I. BočkinaPostoji neuobičajeno veliki broj metoda klasifikacije .P donesi samo neki od najpoznatijih terena i znaci: diskretnost I kontinuitet, matrica i skalarni modeli, statički i dinamički modeli, analitički i informacioni modeli, predmetni i figurativno-znakovi modeli, veliki i nerazmjerni... |
Razmotrimo koncept: „Modeli. Klasifikacija modela" sa naučne tačke gledišta.
Klasifikacija
Trenutno su podijeljeni u posebne grupe. U zavisnosti od namjene, podrazumijeva se sljedeća klasifikacija ekonomsko-matematičkih modela:
- teorijsko-analitički tipovi koji se odnose na proučavanje opštih karakteristika i obrazaca;
- primijenjeni modeli usmjereni na rješavanje određenih ekonomskih problema. To uključuje modele predviđanja, ekonomske analize i upravljanja.
Klasifikacija ekonomsko-matematičkih modela povezana je i sa obimom njihove praktične primjene.
Ovisno o sadržaju problema, takvi modeli se dijele u grupe:
- modeli proizvodnje općenito;
- odvojene opcije za regione, podsisteme, industrije;
- kompleksi modela potrošnje, proizvodnje, distribucije i formiranja radnih resursa, prihoda, finansijskih veza.
Klasifikacija modela ovih grupa podrazumijeva identifikaciju strukturnih podsistema.
Prilikom sprovođenja istraživanja na ekonomskom nivou, strukturni modeli se objašnjavaju međusobnom vezom pojedinih podsistema. Uobičajene opcije uključuju modele međusektorskih sistema.
Za ekonomsko regulisanje robno-novčanih odnosa koriste se funkcionalne opcije. Jedan te isti objekat može se istovremeno predstaviti u obliku funkcionalnih i strukturalnih oblika.
Korištenje strukturnih modela u istraživanju na ekonomskom nivou opravdano je međusobnom vezom podsistema. U ovom slučaju tipični su modeli međusektorskih veza.
Funkcionalni modeli se široko koriste u oblasti ekonomske regulacije. Tipični u ovom slučaju su modeli ponašanja potrošača u uslovima robno-novčanih odnosa.
Razlike između modela
Hajde da analiziramo različite modele. Klasifikacija modela koji se trenutno koriste u ekonomiji uključuje identifikaciju normativnih i deskriptivnih opcija. Koristeći deskriptivne modele, moguće je objasniti analizirane činjenice i predvidjeti mogućnost postojanja određenih činjenica.
Svrha deskriptivne kampanje
Uključuje empirijsku identifikaciju različitih zavisnosti u modernoj ekonomiji. Na primjer, utvrđuju se statistički obrasci različitih društvenih grupa, proučavaju vjerojatni putevi razvoja pojedinih procesa u stalnim uvjetima ili bez vanjskih utjecaja. Na osnovu rezultata dobijenih tokom sociološkog istraživanja moguće je izgraditi model potražnje potrošača.
Normativni modeli
Uz njihovu pomoć može se pretpostaviti svrsishodna aktivnost. Kao primjer, možemo zamisliti optimalni model planiranja.
Može biti i normativna i deskriptivna. Ako se model koristi za analizu proporcija proteklog perioda, on je deskriptivan. Kada se pomoću njega izračunavaju optimalni načini ekonomskog razvoja, on je normativan.
Znakovi modela
Klasifikacija modela uključuje uzimanje u obzir pojedinačnih funkcija koje pomažu u razjašnjavanju kontroverznih pitanja. Deskriptivni pristup je svoju maksimalnu distribuciju našao u simulacionom modeliranju.
U zavisnosti od prirode detekcije uzročno-posledičnih veza, postoji klasifikacija modela na opcije koje uključuju pojedinačne elemente neizvesnosti i slučajnosti, kao i na strogo determinističke modele. Važno je razlikovati nesigurnost, koja se zasniva na teoriji vjerovatnoće, i neizvjesnost koja izlazi iz okvira zakona.
Podjela modela prema načinima reflektiranja faktora vremena
Pretpostavlja se da će se modeli prema ovom faktoru klasificirati na dinamičke i statičke tipove. Statički modeli uključuju razmatranje svih obrazaca u određenom vremenskom periodu. Dinamičke opcije karakteriziraju promjene tokom vremena. Ovisno o trajanju upotrebe, modeli se mogu podijeliti na sljedeće opcije:
- kratkoročni, čije trajanje ne prelazi godinu dana;
- srednjoročni, predviđen za period od jedne do pet godina;
- dugoročne, projektovane za period duži od pet godina.
Ovisno o specifičnostima projekta, promjene se mogu izvršiti tijekom korištenja modela.
Prema obliku matematičkih zavisnosti
Osnova za klasifikaciju modela je oblik matematičkih zavisnosti odabran za rad. Oni uglavnom koriste klasu linearnih modela za proračune i analizu. Razmotrimo ekonomske tipove modela. Klasifikacija modela ovog tipa pomaže u proučavanju promjena u potrošnji i potražnji stanovništva u slučaju povećanja njihovih materijalnih prihoda. Osim toga, analiziraju se promjene potreba stanovništva u slučaju povećanja proizvodnje, te se ocjenjuje efikasnost korištenja resursa u konkretnoj situaciji.
U zavisnosti od odnosa endogenih i egzogenih varijabli koje su uključene u model, koristi se klasifikacija modela ovih tipova na zatvorene i otvorene sisteme.
Svaki model mora uključivati barem jednu endogenu varijablu, pa je stoga vrlo teško pronaći potpuno otvorene sisteme. Modeli koji ne uključuju egzogene varijable (zatvorene opcije) također praktično nisu uobičajeni. Da bi se stvorila ovakva opcija, moraće se potpuno apstrahovati od okruženja i dozvoliti ozbiljno grublje realnog ekonomskog sistema koji ima eksterne veze.
Kako se dostignuća matematičkih i ekonomskih istraživanja povećavaju, klasifikacija modela i sistema postaje znatno komplikovanija. Trenutno se koriste mješoviti tipovi, kao i složene strukture modela. Jedinstvena klasifikacija informacionih modela još nije uspostavljena. U ovom slučaju možemo primijetiti desetak parametara prema kojima se grade tipovi modela.
Tipovi modela
Monografski ili verbalni model uključuje opis procesa ili pojave. Često govorimo o pravilima, zakonu, teoremi ili kombinaciji nekoliko parametara.
Grafički model se izrađuje u obliku crteža, geografske karte ili crteža. Na primjer, odnos između potražnje potrošača i troškova proizvoda može se predstaviti pomoću koordinatnih osa. Grafikon jasno pokazuje odnos između dvije veličine.
Stvarni ili fizički modeli kreiraju se za objekte koji još ne postoje u stvarnosti.
Stepen agregacije objekata
Postoji klasifikacija informacionih modela prema ovom kriterijumu na:
- lokalni, uz pomoć kojih se vrši analiza i predviđanje pojedinih indikatora razvoja industrije;
- mikroekonomiji, namenjen ozbiljnoj analizi strukture proizvodnje;
- makroekonomski, zasnovan na proučavanju ekonomije.
Postoji i posebna klasifikacija modela upravljanja za makroekonomske tipove. Podijeljene su na jedno-, dvo- i višesektorske opcije.
U zavisnosti od svrhe kreiranja i upotrebe, razlikuju se sledeće opcije:
- deterministički, sa jasno razumljivim rezultatima;
- stohastičke, koje pretpostavljaju probabilističke ishode.
U savremenoj ekonomiji razlikuju se balansni modeli koji odražavaju zahtjeve za usklađivanjem baze resursa i njihovom upotrebom. Za njihovo pisanje koristi se oblik kvadratnih šahovskih matrica.
Postoje i ekonometrijski tipovi, za čiju evaluaciju se koriste metode matematičke statistike. Ovakvi modeli izražavaju razvoj glavnih indikatora stvorenog ekonomskog sistema kroz dugoročni trend (trend). Oni su traženi u analizi i predviđanju određenih ekonomskih situacija vezanih za stvarne statističke informacije.
Optimizacijski modeli omogućavaju odabir optimalne opcije za proizvodnju, potrošnju ili distribuciju resursa iz niza alternativnih (mogućih) opcija. Upotreba ograničenih resursa u takvoj situaciji biće najefikasnije sredstvo za postizanje cilja.
Oni pretpostavljaju učešće u projektu ne samo stručnjaka, već i specijalizovanog softvera i računara. Rezultirajuća baza podataka stručnjaka namijenjena je rješavanju jednog ili više problema simulacijom ljudske aktivnosti.
Mrežni modeli predstavljaju kompleks operacija i događaja međusobno povezanih tokom vremena. Najčešće je takav model namijenjen za izvođenje radova takvim redoslijedom da se postigne minimalno vrijeme završetka projekta.
Ovisno o odabranoj vrsti matematičkog aparata, razlikuju se sljedeći modeli:
- matrica;
- korelaciono-regresivni;
- mreža;
- upravljanje zalihama;
- masovna služba.
Faze ekonomsko-matematičkog modeliranja
Ovaj proces je svrsishodan, podliježe određenom logičkom programu djelovanja. Među glavnim fazama stvaranja takvog modela su:
- formulisanje ekonomskog problema i provođenje njegove kvalitativne analize;
- razvoj matematičkog modela;
- priprema osnovnih informacija;
- numeričko rješenje;
- analizu dobijenih rezultata i njihovu upotrebu.
Prilikom postavljanja ekonomskog problema potrebno je jasno formulirati suštinu problema, uočiti bitne karakteristike i parametre modeliranog objekta, analizirati odnos pojedinih elemenata kako bi se objasnio razvoj i ponašanje predmetnog objekta.
Kada se razvija matematički model, otkriva se odnos između jednačina, nejednačina i funkcija. Prije svega, utvrđuje se tip modela, analizira mogućnost njegovog korištenja u određenom zadatku i formira se specifična lista parametara i varijabli. Kada se razmatraju složeni objekti, modeli sa više aspekata se grade tako da svaki karakteriše pojedinačne aspekte objekta.
Zaključak
Trenutno ne postoji poseban koncept modela. Klasifikacija modela je uslovna, ali to ne umanjuje njihovu relevantnost.
