Ova lekcija daje definiciju i svojstva pravilne trouglaste piramide i njenog posebnog slučaja, tetraedra (vidi dolje). Veze za primjere rješavanja problema nalaze se na kraju lekcije.
Definicija
Pravilna trouglasta piramida je piramida čija je osnova pravilan trougao, a vrh je projektovan u centar osnove.
Na slici je prikazano:
ABC- Baza piramide
OS - Visina
KS - Apothem
OK - poluprečnik kružnice upisane u osnovicu
AO - poluprečnik kružnice opisane oko osnove pravilne trouglaste piramide
SKO - diedarski ugao između osnove i lica piramide (u pravilnoj piramidi su jednaki)
Bitan. U pravilnoj trouglastoj piramidi, dužina ivice (AS, BS, CS na slici) ne može biti jednaka dužini stranice osnove (AB, AC, BC na slici). Ako je dužina ruba pravilne trokutaste piramide jednaka dužini stranice baze, tada se takva piramida naziva tetraedar (vidi dolje).
Svojstva pravilne trouglaste piramide:
- bočne ivice pravilne piramide su jednake
- sve bočne strane pravilne piramide su jednakokraki trouglovi
- u pravilnu trouglastu piramidu možete ili smjestiti sferu ili je opisati oko nje
- ako se centri sfere upisane i opisane oko pravilne trokutaste piramide poklapaju, tada je zbir ravnih uglova na vrhu piramide jednak π (180 stepeni), a svaki od njih jednak je π / 3 ( pi podijeljeno sa 3 ili 60 stepeni).
- Površina bočne površine pravilne piramide jednaka je polovini umnoška opsega baze i apoteme
- vrh piramide se projektuje na osnovu u centar pravilnog jednakostraničnog trokuta, koji je centar upisane kružnice i tačka preseka medijana
Formule za pravilnu trouglastu piramidu
Formula za zapreminu pravilne trouglaste piramide:
V je zapremina pravilne piramide sa pravilnim (jednakostraničnim) trouglom u osnovi
h - visina piramide
a je dužina stranice osnove piramide
R - radijus kruga
r - poluprečnik upisane kružnice
Pošto je pravilna trokutasta piramida poseban slučaj pravilne piramide, formule koje su tačne za pravilnu piramidu važe i za pravilnu trouglastu piramidu - vidi formule za pravilnu piramidu.
Primjeri rješavanja problema:
Tetrahedron
Poseban slučaj pravilne trouglaste piramide je tetraedar.
Tetrahedron- ovo je pravilan poliedar (pravilna trokutasta piramida) u kojoj su sva lica pravilni trouglovi.
Za tetraedar:
- Sve ivice su jednake
- 4 lica, 4 vrha i 6 ivica
- Svi diedarski uglovi na ivicama i svi trouglovi u vrhovima su jednaki
Medijan tetraedra- ovo je segment koji povezuje vrh sa točkom presjeka medijana suprotnog lica (medijana jednakostraničnog trokuta nasuprot temena)
Bimedijan tetraedra- ovo je segment koji povezuje sredine ukrštanja rubova (koji spaja sredine stranica trokuta, koji je jedna od strana tetraedra)
Visina tetraedra- ovo je segment koji povezuje vrh s točkom na suprotnoj strani i okomit na ovo lice (to jest, to je visina povučena iz bilo kojeg lica, također se poklapa sa centrom opisane kružnice).
Tetrahedron ima sljedeće svojstva:
- Sve medijane i bimedijane tetraedra seku se u jednoj tački
- Ova tačka dijeli medijane u omjeru 3:1, računajući od temena
- Ova tačka dijeli bimedije na pola
Ovdje možete pronaći osnovne informacije o piramidama i srodnim formulama i konceptima. Svi se oni izučavaju sa mentorom matematike u pripremi za Jedinstveni državni ispit.
Zamislite ravan, poligon 
, koja leži u njemu i tačka S, a ne leži u njoj. Povežimo S sa svim vrhovima poligona. Rezultirajući poliedar naziva se piramida. Segmenti se nazivaju bočna rebra. 
Poligon se naziva baza, a tačka S je vrh piramide. U zavisnosti od broja n, piramida se naziva trokutasta (n=3), četvorougaona (n=4), petougaona (n=5) i tako dalje. Alternativni naziv za trouglastu piramidu je tetraedar. Visina piramide je okomica koja se spušta od njenog vrha do ravni osnove. 
Piramida se naziva pravilnom ako pravilan poligon, a osnova visine piramide (osnova okomice) je njeno središte.
Komentar nastavnika:
Nemojte brkati koncepte “pravilne piramide” i “pravilnog tetraedra”. U pravilnoj piramidi, bočne ivice nisu nužno jednake ivicama baze, ali u pravilnom tetraedru svih 6 ivica je jednako. Ovo je njegova definicija. Lako je dokazati da jednakost implicira da se centar P poligona poklapa sa visinom osnove, tako da je pravilan tetraedar pravilna piramida.
Šta je apotema?
Apotema piramide je visina njene bočne strane. Ako je piramida pravilna, onda su svi njeni apotemi jednaki. Obrnuto nije tačno. 
Nastavnik matematike o svojoj terminologiji: 80% rada s piramidama izgrađeno je kroz dvije vrste trokuta:
1) Sadrži apotemu SK i visinu SP
2) Sadrži bočnu ivicu SA i njenu projekciju PA 
Da bi se pojednostavile reference na ove trouglove, zgodnije je da nastavnik matematike nazove prvi od njih apothemal, i drugo costal. Nažalost, ovu terminologiju nećete naći ni u jednom udžbeniku, a nastavnik je mora uvesti jednostrano.
Formula za zapreminu piramide:
1) 
, gdje je površina osnove piramide, a visina piramide
2) , gdje je polumjer upisane sfere, a površina ukupne površine piramide.
3) 
, gdje je MN udaljenost između bilo koja dva ruba koja se ukrštaju, i površina paralelograma formiranog sredinama četiri preostale ivice.
Svojstvo osnove visine piramide:
Tačka P (vidi sliku) poklapa se sa središtem upisane kružnice u podnožju piramide ako je ispunjen jedan od sljedećih uslova:
1) Sve apoteme su jednake
2) Sve bočne strane su podjednako nagnute prema bazi
3) Sve apoteme su podjednako nagnute prema visini piramide
4) Visina piramide je podjednako nagnuta prema svim bočnim stranama
Komentar nastavnika matematike: Imajte na umu da sve tačke imaju jednu zajedničku stvar opšta imovina: na ovaj ili onaj način, bočna lica su svuda uključena (apoteme su njihovi elementi). Stoga nastavnik može ponuditi manje tačnu, ali pogodniju za učenje formulaciju: tačka P se poklapa sa centrom upisane kružnice, osnovom piramide, ako postoje jednake informacije o njenim bočnim stranama. Da bismo to dokazali, dovoljno je pokazati da su svi trouglovi apotema jednaki.
Tačka P poklapa se sa središtem kruga opisanog blizu osnove piramide ako je jedan od tri uslova tačan:
1) Sve bočne ivice su jednake
2) Sva bočna rebra su podjednako nagnuta prema bazi
3) Sva bočna rebra su podjednako nagnuta prema visini
- apothem- visina bočne strane pravilne piramide, koja je povučena sa njenog vrha (osim toga, apotema je dužina okomice koja se spušta od sredine pravilan poligon na 1. strani);
- bočne strane (ASB, BSC, CSD, DSA) - trouglovi koji se sastaju na vrhu;
- bočna rebra ( AS , B.S. , C.S. , D.S. ) — zajedničke strane bočnih strana;
- vrh piramide (t. S) - tačka koja spaja bočna rebra i koja ne leži u ravni osnove;
- visina ( SO ) - okomiti segment povučen kroz vrh piramide na ravan njene osnove (krajevi takvog segmenta će biti vrh piramide i osnova okomice);
- dijagonalni presjek piramide- presek piramide koji prolazi kroz vrh i dijagonalu osnove;
- baza (A B C D) - poligon koji ne pripada vrhu piramide.
Svojstva piramide.
1. Kada sve bočne ivice imaju istu veličinu, tada:
- lako je opisati krug blizu osnove piramide, a vrh piramide će biti projektovan u centar ovog kruga;
- bočna rebra formiraju jednake kutove s ravninom osnove;
- Štaviše, tačno je i suprotno, tj. kada bočna rebra formiraju jednake uglove sa ravninom osnove, ili kada se oko osnove piramide može opisati kružnica, a vrh piramide će biti projektovan u centar ove kružnice, to znači da su sve bočne ivice piramide su iste veličine.
2. Kada bočne strane imaju ugao nagiba prema ravni osnove iste vrijednosti, tada:
- lako je opisati krug blizu osnove piramide, a vrh piramide će biti projektovan u centar ovog kruga;
- visine bočnih strana su jednake dužine;
- površina bočne površine jednaka je ½ umnoška opsega baze i visine bočne površine.
3. Sfera se može opisati oko piramide ako se u osnovi piramide nalazi poligon oko kojeg se može opisati kružnica (nužan i dovoljan uslov). Središte sfere će biti tačka preseka ravnina koje prolaze kroz sredine ivica piramide okomitih na njih. Iz ove teoreme zaključujemo da se sfera može opisati i oko bilo koje trouglaste i oko bilo koje pravilne piramide.
4. Sfera se može upisati u piramidu ako su simetralne ravni unutrašnje diedralni uglovi piramide se seku u 1. tački (neophodan i dovoljan uslov). Ova tačka će postati centar sfere.
Najjednostavnija piramida.
Na osnovu broja uglova, osnova piramide se deli na trouglastu, četvorougaonu i tako dalje.
Biće piramida trouglasti, četvorougaona, i tako dalje, kada je osnova piramide trokut, četverougao i tako dalje. Trouglasta piramida je tetraedar - tetraedar. Četverokutni - peterokutni i tako dalje.
