háromszögű sarkok. Tétel. Egy háromszög minden lapos szöge kisebb, mint a másik két lapos szögének összege. Bizonyíték. Tekintsük a SABC háromszög szöget. Legyen laposszögei közül a legnagyobb az ASC szög. Aztán az egyenlőtlenségek?ASB? ?ASC< ?ASC + ?BSC; ?BSC ? ?ASC < ?ASC + ?ASB. Таким образом, остается доказать неравенство?ASС < ?ASB + ?BSC. Отложим на грани ASC угол ASD, равный ASB, и точку B выберем так, чтобы SB = SD. Тогда треугольники ASB и ASD равны (по двум сторонам и углу между ними) и, следовательно, AB = AD. Воспользуемся неравенством треугольника AC < AB + BC. Вычитая из обеих его частей AD = AB, получим неравенство DC < BC. В треугольниках DSC и BSC одна сторона общая (SC), SD = SB и DC < BC. В этом случае против большей стороны лежит больший угол и, следовательно, ?DSC < ?BSC. Прибавляя к обеим частям этого неравенства угол ASD, равный углу ASB, получим требуемое неравенство?ASС < ?ASB + ?BSC.
3. dia a „Poliéderes szög” című prezentációból geometria órákra a "Szögek a térben" témábanMéretek: 960 x 720 pixel, formátum: jpg. Ingyenes dia letöltéséhez a következőn való használatra geometria óra, kattintson a jobb gombbal a képre, majd kattintson a "Kép mentése másként..." gombra. A teljes "Polyhedral angle.ppt" prezentáció letölthető egy 329 KB-os zip archívumban.
Prezentáció letöltéseSzögek a térben
"A vonalak közötti szög a térben" - Az A ... D1 kockában keresse meg az A1C1 és B1D1 vonalak közötti szöget. Válasz: 45o. Válasz: 90o. Az A…D1 kockában keresse meg az AB1 és BC1 vonalak közötti szöget. A vonalak közötti szög a térben. Az A…D1 kockában keresse meg az AA1 és BD1 vonalak közötti szöget. Az A…D1 kockában keresse meg az AA1 és BC1 vonalak közötti szöget. Válasz: Az A…D1 kockában keresse meg az AA1 és BC vonalak közötti szöget.
"Diéderszög geometria" - RSV szög - lineáris AC élű diéderszöghez. RMT szög - lineáris diéderes szöghez RMCT-vel. K. V. Geometria 10 "A" osztály 2008.03.18. Kétszögű szög. A BO egyenes merőleges a CA élre (egy egyenlő oldalú háromszög tulajdonságával). Az ASV határán. (2) Az MTC határán. KDBA KDBC.
"Beírt szög" - 2. eset. K. Doc: A csúcs nincs a körön. A. 3. eset. 2. Óra témája: Beírt szögek. b). Az anyag ismétlése. Problémamegoldás. 1. probléma? Házi feladat.
"Háromszögű" - Következmények. 1) Az egyenes és a sík közötti szög kiszámításához a következő képlet használható: . Adott: Оabc – háromszögszög; a(b; c) = y; ?(a; c) = ?; ?(a; b) = ?. Bizonyíték I. Hagyjuk?< 90?; ? < 90?; (ABC)?с. Трехгранный угол. Тогда?ОВС = 90? – ? < ?ОВА (следствие из формулы трех косинусов). Формула трех косинусов.
dia 1
2. dia
Tétel. Háromszögben a síkszögek összege kisebb, mint 360, és bármelyik kettő összege nagyobb, mint a harmadik. Adott: Оabc – háromszögszög; (b; c) = ; (a; c) = ; (a; b) = . Háromszög alaptulajdonsága. Bizonyítsuk be: ++< 360 ; 2) + > ; + > ; + > .
3. dia
Bizonyítás I. Legyen< 90 ; < 90 ; (ABC) с. Тогда ОВС = 90 – < ОВА (следствие из формулы трех косинусов). Аналогично, ОАС = 90 – < ОAВ. Следовательно, = 180 – (ОАB + ОBA) < 180 – ((90 –) + (90 –)) = + . Если < 90 , то остальные два неравенства пункта 2) доказываются аналогично, а если 90 , то они – очевидны. Дано: Оabc – трехгранный угол; (b; c) = ; (a; c) = ; (a; b) = . Доказать: 2) + > ; + > ; + > .
4. dia
Három koszinusz képlete. Következmények. 1) Az egyenes és a sík közötti szög kiszámításához a következő képlet használható: 2) Az egyenes és a sík közötti szög az a legkisebb szög, amelyet ez az egyenes e sík vonalaival bezár.
5. dia
II. Az adott szög élein félretesszük az A’, B’ és C’ pontokat úgy, hogy |OA’| = |OB'| = |OC'| Ekkor az A'OB', B'OC' és C'OA' háromszögek egyenlő szárúak, és szögeik az 1-6 alapoknál hegyesszögűek. Az A', B' és C' csúcsú háromszögű szögekre az I. bekezdésben bizonyított egyenlőtlenségeket alkalmazzuk: C'A'B'< 1 + 6; А’B’C’ < 2 + 3; B’С’А’ < 4 + 5. Сложим эти неравенства почленно, тогда 180 < (1 + 2) + (3 + 4) + (5 + 6) = = (180 –) + (180 –) + (180 –) + + < 360 . Дано: Оabc – трехгранный угол; (b; c) = ; (a; c) = ; (a; b) = . Доказать: + + < 360 ; 2) + > ; + > ; + > .
6. dia
III. Tekintsük a c sugarat, amely komplementer a c sugárral, és az Oabc’ háromszögre a II. bekezdésben bizonyított egyenlőtlenséget használjuk egy tetszőleges háromszögre: (180 –) + (180 –) +< 360 + >. A másik két egyenlőtlenség is hasonlóképpen bizonyított. Adott: Оabc – háromszögszög; (b; c) = ; (a; c) = ; (a; b) = . Bizonyítsuk be: ++< 360 ; 2) + >; + > ; + > . Val vel'
7. dia
Következmény. Egy szabályos háromszög alakú piramisban a lapos szög a csúcsnál kisebb, mint 120.
8. dia
Meghatározás. A háromszögeket egyenlőnek mondjuk, ha minden hozzájuk tartozó sík- és kétszögszög egyenlő. A háromszögek egyenlőségének jelei. A háromszögek egyenlőek, ha egyenlőek: két síkszög és egy kettősszög közöttük; 2) két kétszögű szög és egy lapos szög közöttük; 3) három lapos sarok; 4) három kétszögű. Rizs. 4b
9. dia
. . Adott egy háromszög Oabc. Hadd< 90 ; < 90 ; тогда рассмотрим (ABC) с По теореме косинусов из CАВ: |AB|2 = |AC|2 + |BC|2 – 2|AC| |BC| cos Аналог теоремы косинусов Аналогично, из OАВ: |AB|2 = |AO|2 + |BO|2 – 2|AO| |BO| cos . Вычтем из второго равенства первое и учтем, что |AO|2 – |AC|2 = |CO|2 = |BO|2 – |BC|2: 2|CO|2 – 2|AO| |BO| cos + 2|AC| |BC| = 0 . ; ; ; тогда cos = cos cos + sin sin cos Cseréljük:
10. dia
II. Legyen > 90 ; > 90 , akkor tekintsük a c-vel komplementer c' sugarat és a megfelelő Oabc' háromszöget, amelyben a - és - síkszögek hegyesek, a síkszög és a kétszög azonos. I. szerint: cos \u003d cos (-) cos (-) + sin (-) sin (-) cos cos \u003d cos cos + sin sin cos
dia 1
A megadott felület és az általa határolt két térrész egyike alkotta alakzatot poliéderszögnek nevezzük. Az S közös csúcsot a poliéderszög csúcsának nevezzük. Az SA1, …, SAn sugarakat a poliéderszög éleinek, magukat az A1SA2, A2SA3, …, An-1SAn, AnSA1 síkszögeket pedig a poliéderszög lapjainak nevezzük. A poliéderszöget SA1…An betűkkel jelöljük, jelezve a csúcsot és az élein lévő pontokat. Az S közös csúcsú A1SA2, A2SA3, …, An-1SAn, AnSA1 síkszögek véges halmaza alkotta felület, amelyben a szomszédos szögeknek nincs közös pontjuk, kivéve egy közös sugár pontjait, a nem szomszédos szögeknek pedig nincs közös pont, kivéve a közös csúcsot, poliéder felületnek nevezzük.
2. dia
A lapok számától függően a poliéderek háromszögek, tetraéderek, ötszögek stb.
3. dia
HÁROMSZAROK
Tétel. Egy háromszög minden lapos szöge kisebb, mint a másik két lapos szögének összege. Bizonyítás. Tekintsük a SABC háromszög szögét. Legyen laposszögei közül a legnagyobb az ASC szög. Ekkor az ASB ASC egyenlőtlenségek
4. dia
Ingatlan. A háromszög síkszögeinek összege kisebb, mint 360°. Hasonlóképpen a B és C csúcsú háromszögű szögekre a következő egyenlőtlenségek érvényesek: ABС
5. dia
KONVEX POLYÉDER SZÖGEK
Konvexnek nevezzük azt a poliéderszöget, amely konvex alakzat, azaz bármely két pontjával együtt teljes egészében tartalmazza az azokat összekötő szakaszt Az ábrán konvex és nem konvex poliéderszögekre mutatunk be példákat. Tulajdonság: Egy konvex poliéderszög összes síkszögének összege kisebb, mint 360°. A bizonyítás hasonló a háromszög szög megfelelő tulajdonságának bizonyításához.
6. dia
Függőleges poliéder szögek
Az ábrákon három-, tetraéder- és ötéderes függőleges szögek láthatók. A függőleges szögek egyenlőek.
7. dia
Poliéderszögek mérése
Mivel egy kidolgozott diéderszög fokértékét a megfelelő lineáris szög fokértéke méri, és az egyenlő 180°-kal, feltételezzük, hogy a teljes tér fokértéke, amely két kidolgozott kétszögből áll, 360°. . A poliéderszög fokban kifejezett értéke megmutatja, hogy az adott poliéderszög a tér mely részét foglalja el. Például egy kocka háromszöge a tér egynyolcadát foglalja el, ezért fokértéke 360o:8 = 45o. A szabályos n-szögű prizmában a háromszög szöge egyenlő az oldalélen lévő diéderszög felével. Ha figyelembe vesszük, hogy ez a kétszög egyenlő, akkor azt kapjuk, hogy a prizma háromszöge egyenlő.
8. dia
Háromszögek mérése*
Levezetünk egy képletet, amely egy háromszög értékét fejezi ki annak kétszögeivel. Írjunk le egy egységgömböt a háromszög S csúcsa közelében, és jelöljük a háromszög éleinek metszéspontjait ezzel a gömbbel A, B, C. A háromszög lapjainak síkjai ezt a gömböt hat részre osztják. páronként egyenlő gömbi digonok, amelyek megfelelnek az adott háromszög kétszögeinek. Az ABC gömbháromszög és a vele szimmetrikus A "B" C gömbháromszög három digon metszéspontja, ezért a kétszögek dupla összege 360o plusz a háromszög négyes értéke, vagy SA + SB + SC = 180o + 2SABC.
9. dia
Poliéderszögek mérése*
Legyen SA1…An konvex n-lapú szög. Háromszögekre osztva, megrajzolva az A1A3, …, A1An-1 átlókat, és rájuk alkalmazva a kapott képletet kapjuk: SA1 + … + SAn = 180о(n – 2) + 2SA1…An. A poliéderszögek számokkal is mérhetők. Valóban, a teljes tér háromszázhatvan foka megfelel a 2π számnak. A kapott képletben a fokokról a számokra átlépve a következőt kapjuk: SA1+ …+SAn = π(n – 2) + 2SA1…An.
10. dia
1. Feladat
Létezhet-e lapos sarkú háromszög: a) 30°, 60°, 20°; b) 45°, 45°, 90°; c) 30°, 45°, 60°? Nincs válasz; b) nem; c) igen.
dia 11
2. gyakorlat
Mondjon példákat poliéderekre, amelyek csúcsaiban metsző lapjai csak: a) háromszögeket alkotnak; b) tetraéderes sarkok; c) ötoldalas sarkok. Válasz: a) Tetraéder, kocka, dodekaéder; b) oktaéder; c) ikozaéder.
dia 12
3. gyakorlat
A háromszög két síkszöge 70° és 80°. Mi a harmadik síkszög határa? Válasz: 10o
dia 13
4. gyakorlat
A háromszög síkszögei 45°, 45° és 60°. Határozza meg a 45°-os laposszögek síkjai közötti szöget. Válasz: 90o.
14. dia
5. gyakorlat
Háromszögben két síkszög mindegyike 45°; a köztük lévő diéderszög megfelelő. Keresse meg a harmadik lapos sarkot. Válasz: 60o.
dia 15
6. gyakorlat
A háromszög síkszögei 60°, 60° és 90°. Az OA, OB, OC egyenlő szakaszok a csúcsból kiindulva az éleire vannak ábrázolva. Keresse meg a 90°-os szögsík és az ABC sík közötti kétszöget! Válasz: 90o.
16. dia
7. gyakorlat
A háromszög minden lapos szöge 60°. Az egyik szélén felülről egy 3 cm-es szegmenst húzunk le, és a végéből merőlegest engedünk le az ellenkező oldalra. Keresse meg ennek a merőlegesnek a hosszát. Válasz: lásd
17. dia
8. gyakorlat
Keresse meg egy háromszög belső pontjainak helyét a lapjaitól egyenlő távolságra. Válasz: Olyan sugár, amelynek csúcsa egy háromszög csúcsa, amely a kétszögeket kettéosztó síkok metszésvonalán fekszik.
18. dia
9. gyakorlat
Keresse meg egy háromszög belső pontjainak helyét az éleitől egyenlő távolságra. Válasz: Olyan sugár, amelynek csúcsa a síkszögfelezőn átmenő és e szögek síkjaira merőleges síkok metszésvonalán fekvő háromszögszög csúcsa.
19. dia
10. gyakorlat
A tetraéder kétszögeihez a következőt kapjuk: , ahonnan 70o30". A tetraéder háromszögszögeihez: 15o45". Válasz: 15o45". Keresse meg a tetraéder háromszögeinek hozzávetőleges értékeit.
20. dia
11. gyakorlat
Határozza meg az oktaéder tetraéderszögeinek közelítő értékét! Az oktaéder diéderszögeihez: , innen 109o30". Az oktaéder tetraéderszögeihez: 38o56". Válasz: 38o56".
dia 21
12. gyakorlat
Keresse meg az ikozaéder ötoldalú szögeinek közelítő értékét! Az ikozaéder diéderszögeihez a következőt kapjuk: , innen 138o11". Az ikozaéder pentaéder szögeihez: 75o28". Válasz: 75o28".
dia 22
13. gyakorlat
A dodekaéder diéderszögeihez: , ahonnan 116o34". A dodekaéder háromszögeihez: 84o51". Válasz: 84o51". Keresse meg a dodekaéder háromszögeinek hozzávetőleges értékeit.
dia 23
14. gyakorlat
Egy szabályos négyszög alakú SABCD piramisban az alap oldala 2 cm, magassága 1 cm. Határozzuk meg a tetraéder szögét ennek a piramisnak a tetején! Megoldás: A jelzett piramisok a kockát hat egyenlő gúlára osztják, csúcsokkal a kocka közepén. Ezért a piramis tetején a 4 oldalú szög a 360°-os szög egyhatoda, azaz. egyenlő 60o. Válasz: 60o.
dia 24
15. gyakorlat
Egy szabályos háromszög alakú gúlában az oldalélek egyenlők 1-gyel, a szögek a tetején 90o. Keresse meg a háromszög szögét ennek a piramisnak a tetején. Megoldás: A jelzett piramisok az oktaédert nyolc egyenlő gúlára osztják, amelyek csúcsai az oktaéder O középpontjában találhatók. Ezért a piramis tetején a 3 oldalú szög a 360°-os szög egynyolcada, azaz. egyenlő 45o. Válasz: 45o.
25. dia
16. gyakorlat
Egy szabályos háromszög alakú gúlában az oldalélek egyenlőek 1-gyel, és a magasság Határozza meg a háromszög szögét a gúla tetején. Megoldás: A jelzett piramisok eltörnek szabályos tetraéder négy egyenlő piramisra, amelyek csúcsai a tetraéder közepén vannak. Ezért a piramis tetején a 3 oldalú szög a 360°-os szög egynegyede, azaz. egyenlő 90o. Válasz: 90o.
Az összes dia megtekintése
dia 1
POLIÉDERSZÖGEK A megadott felület és az általa határolt két térrész egyike által alkotott alakzatot poliéderszögnek nevezzük. Az S közös csúcsot a poliéderszög csúcsának nevezzük. Az SA1, …, SAn sugarakat a poliéderszög éleinek, magukat az A1SA2, A2SA3, …, An-1SAn, AnSA1 síkszögeket pedig a poliéderszög lapjainak nevezzük. A poliéderszöget SA1…An betűkkel jelöljük, jelezve a csúcsot és az élein lévő pontokat. Az A1SA2, A2SA3, …, An-1SAn, AnSA1 közös S csúcsú síkszögek véges halmaza által alkotott felület, amelyben a szomszédos sarkoknak nincs közös pontjuk, kivéve a közös sugár pontjait, és a nem A szomszédos sarkoknak nincs közös pontjuk, kivéve a közös csúcsot, poliéder felületnek nevezzük.2. dia
POLIÉDERSAROK A lapok számától függően a poliéderszögek háromszögek, tetraéderek, ötszögek stb.
3. dia
HÁROMSZÖGEK Tétel. Egy háromszög minden lapos szöge kisebb, mint a másik két lapos szögének összege. Bizonyíték. Tekintsük a SABC háromszög szöget. Legyen laposszögei közül a legnagyobb az ASC szög. Ezután az egyenlőtlenségek ASB ASC
4. dia
HÁROMSZAROK Ingatlan. A háromszög síkszögeinek összege kisebb, mint 360°. Hasonlóképpen a B és C csúcsú háromszögek esetében a következő egyenlőtlenségek érvényesek: ABC
5. dia
KONVEX POLIÉDERSZÖGEK A poliéder szögét konvexnek nevezzük, ha konvex alakzat, azaz bármelyik két pontjával együtt teljes egészében tartalmazza az őket összekötő szakaszt. Az ábra példákat mutat be konvex és nem konvex poliéderszögekre. Ingatlan. Egy konvex poliéderszög összes síkszögének összege kisebb, mint 360°. A bizonyítás hasonló a háromszög szög megfelelő tulajdonságának bizonyításához.
6. dia
Függőleges poliéderszögek Az ábrákon háromszög, tetraéder és ötéder függőleges szögek láthatók. Tétel. A függőleges szögek egyenlőek.
7. dia
Poliéderszögek mérése Mivel egy kidolgozott diéderszög fokértékét a megfelelő lineáris szög fokértéke méri, és egyenlő 180°-kal, ezért feltételezzük, hogy a teljes tér fokértéke, amely két kidolgozott diéderszögből áll. , 360°. A poliéderszög fokban kifejezett értéke megmutatja, hogy az adott poliéderszög a tér mely részét foglalja el. Például egy kocka háromszöge a tér egynyolcadát foglalja el, ezért fokértéke 360o:8 = 45o. A szabályos n-szögű prizmában a háromszög szöge egyenlő az oldalélen lévő diéderszög felével. Ha figyelembe vesszük, hogy ez a kétszög egyenlő, akkor azt kapjuk, hogy a prizma háromszöge egyenlő.
8. dia
Háromszögek mérése* Vezessünk egy képletet, amely egy háromszög értékét fejezi ki a kétszögei alapján. Leírunk egy egységgömböt a háromszög S csúcsa közelében, és jelöljük a háromszög éleinek metszéspontjait ezzel a gömbbel A, B, C. A háromszög lapjainak síkjai ezt a gömböt páronként hat részre osztják. az adott háromszög kétszögeinek megfelelő gömbi digonok. Az ABC gömbháromszög és az A"B"C" szimmetrikus gömbháromszög három digon metszéspontja, ezért a kétszögek összegének kétszerese 360o plusz a háromszög négyszerese, vagyis SA + SB + SC = 180o + 2 SABC .
9. dia
Poliéderszögek mérése* Legyen SA1…An egy konvex n-lapú szög. Háromszögekre osztva, megrajzolva az A1A3, …, A1An-1 átlókat, és rájuk alkalmazva a kapott képletet kapjuk: SA1 + … + SAn = 180о(n – 2) + 2 SA1…An. A poliéderszögek számokkal is mérhetők. Valóban, a teljes tér háromszázhatvan foka megfelel a 2π számnak. A kapott képletben a fokokról a számokra átlépve a következőt kapjuk: SA1+ …+ SAn = π (n – 2) + 2 SA1…An.
10. dia
1. gyakorlat Létezhet-e lapos sarkú háromszögszög: a) 30°, 60°, 20°; b) 45°, 45°, 90°; c) 30°, 45°, 60°? Nincs válasz; b) nem; c) igen.
dia 11
2. gyakorlat Mondjon példákat poliéderekre, amelyek csúcsaiban metsző lapjai csak: a) háromszögeket alkotnak; b) tetraéderes sarkok; c) ötoldalas sarkok. Válasz: a) Tetraéder, kocka, dodekaéder; b) oktaéder; c) ikozaéder.
dia 12
3. gyakorlat Egy háromszög két síkszöge 70° és 80°. Mi a harmadik síkszög határa? Válasz: 10o< < 150о.
dia 13
4. gyakorlat Egy háromszög síkszögei 45°, 45° és 60°. Határozza meg a 45°-os laposszögek síkjai közötti szöget. Válasz: 90o.
dia 14
5. gyakorlat Háromszögű szögben két lapos szög egyenlő 45°-kal; a köztük lévő diéderszög megfelelő. Keresse meg a harmadik lapos sarkot. Válasz: 60o.
dia 15
6. gyakorlat Egy háromszög síkszögei 60°, 60° és 90°. Az OA, OB, OC egyenlő szakaszok a csúcsból kiindulva az éleire vannak ábrázolva. Keresse meg a 90°-os szögsík és az ABC sík közötti kétszöget! Válasz: 90o.
16. dia
7. gyakorlat Egy háromszög minden síkszöge 60°. Az egyik szélén felülről egy 3 cm-es szegmenst húzunk le, és a végéből merőlegest engedünk le az ellenkező oldalra. Keresse meg ennek a merőlegesnek a hosszát.
dia 17
8. gyakorlat Keresse meg egy háromszög belső pontjainak helyét a lapjaitól egyenlő távolságra. Válasz: Olyan sugár, amelynek csúcsa egy háromszög csúcsa, amely a kétszögeket kettéosztó síkok metszésvonalán fekszik.
dia 18
9. gyakorlat Keresse meg a háromszög belső pontjainak helyét az éleitől egyenlő távolságra. Válasz: Olyan sugár, amelynek csúcsa a síkszögfelezőn átmenő és e szögek síkjaira merőleges síkok metszésvonalán fekvő háromszögszög csúcsa.
