A mintapopuláció jellemzőinek (variancia, átlagos és maximális hibák stb.) kiszámítására szolgáló, fentebb tárgyalt módszerek kellően nagy mintaméretet biztosítanak (n > 30). Ugyanakkor a nagy mintaméret nem mindig lehetséges és nem célszerű. Az ipari megfigyelések gyakorlatában és a tudományos kutatómunkában gyakran van szükség kis minták alkalmazására, amelyek száma nem haladja meg a 30 egységet(agronómiai és tenyésztéstechnikai kísérletek, minták megsemmisítéséhez kapcsolódó termékminőség-ellenőrzések stb.). A statisztikákban ezeket kis mintáknak nevezik. A 30 egységnél nagyobb populációjú mintákat nagy mintáknak nevezzük.
A kis mintaméret csökkenti a pontosságát a nagy mintához képest. Azonban bebizonyosodott, hogy a kis mintákkal kapott eredmények általánosíthatók az általános sokaságra is. De itt figyelembe kell venni néhány jellemzőt, különösen a szórás kiszámításakor. Ha a minta mérete kicsi, 52-es torzítatlan varianciabecslést kell használni.
A kis minták elméletének alapjait W. Gosset angol matematikus és statisztikus (Student álnéven) dolgozta ki. Student tanulmányai kimutatták, hogy ha a populáció mérete kicsi, a mintában a szórás jelentősen eltér az általános sokaság szórásától.
Mivel a sokaság szórása a normál eloszlási görbe egyik paramétere, a nagy hibák miatt nem célszerű a normál eloszlási függvényt használni a sokaság paramétereinek becslésére kis mintákból származó adatokból.
A kis minták átlagos hibájának kiszámításakor mindig a variancia elfogulatlan becslését kell használni
ahol n - 1 a variációs szabadsági fokok száma (k), amely azon egységek számát jelenti, amelyek képesek tetszőleges értékeket felvenni anélkül, hogy azokat megváltoztatnák Általános jellemzők(átlagos).
Például három megfigyelést tettek: x1= 4; x2 = 2; x3 = 6. Átlagérték
Így már csak két szabadon változó mennyiség maradt, mert az ismert két mennyiségből és az átlagból a harmadik megtalálható:
Ezért ebben a példában a variációs szabadsági fokok száma 2 (k = n - 1 = 3 - 1 = 2).
A t-próba alátámasztotta a mintaátlagok általános átlagtól való eltéréseinek eloszlásának törvényét kis minták esetén. A Student-eloszlás szerint a minta méretétől és méretétől függ annak valószínűsége, hogy kis minták esetén a határhiba nem haladja meg az átlagos hiba u-szorosát.
A kis minták elméleti normalizált eltérését i-kritériumnak nevezzük, ellentétben a normál eloszlás i-kritériumával, amelyet nagy mintákban használnak. A Student-féle t-próba értékét speciális táblázatokban adjuk meg (3. melléklet).
Tekintsük egy kis minta átlagos és maximális hibájának meghatározására szolgáló eljárást ezzel a példával. Tegyük fel, hogy a burgonyabetakarítás során keletkező veszteségek meghatározásához öt véletlenszerűen kiválasztott, egyenként 4 m2-es területet ástak ki. A telephely szerinti veszteségek (kg); 0,6; 0,2; 0,8; 0,4; 0.5.
Átlagos veszteség
Az egyes megfigyelésekből ítélve a veszteségek nagysága nagyon változó, és mindössze öt megfigyelés átlagában lehet nagy hiba.
A mintavételi hibák kiszámításához torzítatlan varianciabecslést határozunk meg
Számítsuk ki a mintaátlag átlagos hibáját, ahol a szórás helyett a torzítatlan becslést használjuk:
Student-táblázatok (3. melléklet) felhasználásával megbízhatósági valószínűséggel állapítjuk meg G= 0,95 (a szignifikancia szint = 0,05) és at k = n - 1 = 5 - 1 = 4 szabadságfok variáció És= 2,78. Ekkor a maximális mintavételi hiba az
Tehát P = 0,95 valószínűséggel azt mondhatjuk, hogy a veszteségek mértéke a teljes területen 0,5 ± 0,28 kg, vagyis 0,22-0,78 kg 4 m2-enként.
Amint a példából is láthatjuk, a kis mintáknál a véletlenszerű ingadozások határai meglehetősen nagyok, és a minta méretének növelésével és a jellemzők ingadozásának (szórásának) csökkentésével csökkenthetők.
Ha a valószínűségi integrál táblázatot (2. melléklet) használtuk az általános átlag konfidenciahatárainak kiszámításához, akkor És egyenlő lenne 1,96 és єх = iZi = 1,96 o 0,10 = 0,20 kg, azaz. a konfidenciaintervallum szűkebb lenne (0,30-0,70 kg).
A kis minták kis számuk miatt a megfigyelés leggondosabb megszervezése mellett sem tükrözik pontosan az általános sokaság mutatóit. Ezért a kis mintákból származó eredményeket ritkán használják fel megbízható határok megállapítására, amelyeken belül a populáció jellemzői fekszenek.
A Student-féle t-próbát elsősorban a két vagy több kis minta teljesítménye közötti különbségek szignifikanciájával kapcsolatos statisztikai hipotézisek tesztelésére használják (lásd a 7. fejezetet).
Az egyértelmű valószínűségi indoklású tényleges véletlenszerű mintán kívül vannak más minták is, amelyek nem teljesen véletlenszerűek, de széles körben használatosak. Meg kell jegyezni, hogy a gyakorlatban nem mindig lehetséges az egységek teljes sokaságból történő tisztán véletlenszerű kiválasztásának szigorú alkalmazása. Ilyen minták közé tartozik a mechanikus mintavétel, a tipikus, soros (vagy egymásba ágyazott), többfázisú és számos más minta.
Ritka, hogy egy populáció homogén, ez inkább kivétel, mint szabály. Ezért ha van lakosság a lakosságban különféle típusok Gyakran kívánatos a különböző típusú jelenségek egyenletesebb ábrázolása a mintapopulációban. Ezt a célt a tipikus mintavételezéssel sikeresen elérjük. A fő nehézség az, hogy további információkkal kell rendelkeznünk a teljes népességről, ami bizonyos esetekben nehéz.
A tipikus mintát rétegzett vagy rétegzett mintának is nevezik; a különböző régiók mintában való egységesebb ábrázolása érdekében is használják, és ebben az esetben a mintát regionalizáltnak nevezzük.
Szóval, alatta tipikus Minta alatt olyan mintát kell érteni, amelyben az általános sokaság egy vagy több lényeges jellemző szerint kialakított tipikus alcsoportokra oszlik (például a sokaságot 3-4 alcsoportra osztják az egy főre jutó átlagjövedelem vagy iskolai végzettség szerint - alapfokú , másodlagos, magasabb stb.). Ezután az összes tipikus csoportból többféleképpen is kiválaszthat egységeket a mintához, így alkotva:
a) tipikus minta egységes elhelyezéssel, ahol azonos számú egységet választanak ki különböző típusokból (rétegekből). Ez a séma akkor működik jól, ha a sokaságban a rétegek (típusok) nem nagyon térnek el egymástól az egységek számában;
b) tipikus mintavétel arányos elhelyezéssel, amikor szükséges (az egységes elhelyezéssel szemben), hogy a kiválasztás aránya (%) minden rétegre azonos legyen (például 5 vagy 10%);
c) tipikus minta optimális elhelyezéssel, ha figyelembe vesszük a jellemzők eltérésének mértékét az általános sokaság különböző csoportjaiban. Ezzel az elhelyezéssel megnő a szelekció aránya azon csoportok esetében, ahol a tulajdonság nagy variabilitása van, ami végső soron a véletlenszerű hiba csökkenéséhez vezet.
A tipikus kiválasztás átlagos hibájának képlete hasonló a tisztán véletlenszerű minta szokásos mintavételi hibájához, azzal a különbséggel, hogy a teljes variancia helyett az adott csoporton belüli eltérések átlagát adják meg, ami természetesen vezet a hiba csökkenésére a tisztán véletlenszerű mintához képest. Használata azonban nem mindig lehetséges (sok okból). Ha nincs szükség nagy pontosságra, egyszerűbb és olcsóbb a soros mintavételezés.
Sorozatszám A (klaszteres) mintavétel abból áll, hogy nem a populáció egységeit (például tanulók), hanem egyedi sorozatokat vagy fészkeket (például tanulmányi csoportokat) választanak ki a mintába. Vagyis soros (klaszteres) mintavételnél a megfigyelési egység és a mintavételi egység nem esik egybe: bizonyos, egymással szomszédos egységcsoportokat (fészkeket) kiválasztanak, és az ezekben a fészkekben lévő egységek vizsgálat alá esnek. Így például a lakáskörülmények mintavételes felmérése során véletlenszerűen kiválaszthatunk bizonyos számú háztartást (mintavételi egység), majd megtudhatjuk az ezekben a házakban élő családok életkörülményeit (megfigyelési egységeket).
A sorozatok (fészkek) egymással területileg (körzetek, városok stb.), szervezetileg (vállalkozások, műhelyek stb.) vagy időben (például egy adott időszakban előállított termékegységek halmaza) összefüggő egységekből állnak. idő) .
A sorozatkiválasztás megszervezhető egylépcsős, kétlépcsős vagy többlépcsős kiválasztás formájában.
A véletlenszerűen kiválasztott sorozatokat folyamatos kutatásnak vetik alá. Így a sorozatos mintavétel a sorozatok véletlenszerű kiválasztásának két szakaszából és ezen sorozatok folyamatos vizsgálatából áll. A sorozatkiválasztás jelentős munkaerő- és erőforrás-megtakarítást eredményez, ezért a gyakorlatban gyakran alkalmazzák. A soros szelekció hibája abban különbözik magától a véletlen szelekció hibájától, hogy a teljes variancia értéke helyett sorozatközi (csoportközi) variancia, a mintanagyság helyett pedig a sorozatok száma. A pontosság általában nem túl magas, de bizonyos esetekben elfogadható. A sorozatminta lehet ismétlődő vagy nem ismétlődő, a sorozatok pedig lehetnek egyenlő méretűek vagy nem egyenlő méretűek.
A sorozatos mintavétel a szerint szervezhető különböző sémák. Például két szakaszban képezhet mintapopulációt: először véletlenszerű sorrendben kiválasztják a vizsgálandó sorozatokat, majd minden kiválasztott sorozatból véletlenszerűen kiválasztanak egy bizonyos számú egységet is, amelyek közvetlenül megfigyelhetők (mérhetők, lemérhetők). stb.). Egy ilyen minta hibája a sorozatkiválasztás hibájától és az egyedi kiválasztás hibájától függ, pl. a többlépcsős kiválasztás általában kevesebbet ad pontos eredményeket egylépcsős módszerhez képest, ami a reprezentativitási hibák minden mintavételi szakaszban előfordulásával magyarázható. Ebben az esetben a mintavételi hibaképletet kell használnia a kombinált mintavételhez.
A szelekció másik formája a többfázisú szelekció (1, 2, 3 fázis vagy szakasz). Ez a kiválasztás felépítésében különbözik a többlépcsős kiválasztástól, mivel a többfázisú kiválasztásnál minden fázisban ugyanazok a kiválasztási egységek kerülnek felhasználásra. A többfázisú mintavételi hibákat minden fázisban külön számítják ki. fő jellemzője a kétfázisú mintavétel azt jelenti, hogy a minták három kritérium szerint különböznek egymástól, attól függően, hogy: 1) a minta első fázisában vizsgált, majd a második és az azt követő fázisokban ismét bekerült egységek hányada; 2) attól, hogy az első fázis minden egyes mintaegysége egyenlő esélyekkel kerüljön ismét a vizsgálat tárgyává; 3) a fázisokat egymástól elválasztó intervallum nagyságáról.
Maradjunk még egy fajta szelekciónál, mégpedig mechanikai(vagy szisztematikus). Ez a választás valószínűleg a leggyakoribb. Ez nyilvánvalóan azzal magyarázható, hogy az összes kiválasztási technika közül ez a technika a legegyszerűbb. Különösen sokkal egyszerűbb, mint a véletlenszerű kiválasztás, amely megköveteli a véletlen számtáblázatok használatának képességét, és nem igényel további információkat a sokaságról és annak szerkezetéről. Ezenkívül a mechanikai szelekció szorosan összefonódik az arányos rétegzett szelekcióval, ami a mintavételi hiba csökkenéséhez vezet.
Például a lakásszövetkezet tagjainak a szövetkezetbe való felvételi sorrendben összeállított listáról történő mechanikus kiválasztása biztosítja a különböző hosszúságú gyakorlattal rendelkező szövetkezeti tagok arányos képviseletét. Ugyanezzel a technikával a válaszadókat a személyek ábécé szerinti listájából választjuk ki, egyenlő esélyeket biztosítunk a különböző betűkkel kezdődő vezetéknevek stb. Vállalkozásoknál, oktatási intézményeknél stb. a munkaidő-nyilvántartások vagy egyéb listák alkalmazása biztosíthatja a szükséges arányosságot a különböző hosszúságú gyakorlattal rendelkező munkavállalók képviseletében. Vegye figyelembe, hogy a mechanikus szelekciót széles körben használják a szociológiában, a közvélemény tanulmányozásában stb.
A hiba nagyságának és különösen a mintavételezési vizsgálat elvégzésének költségeinek csökkentése érdekében széles körben alkalmazzák az egyes kiválasztási típusok (mechanikus, soros, egyedi, többfázisú stb.) különféle kombinációit, ilyen esetekben a bonyolultabb mintavételi hibákat. ki kell számítani, amelyek a vizsgálat különböző szakaszaiban előforduló hibákból állnak.
A kis minta 30-nál kisebb egységek gyűjteménye. A gyakorlatban gyakran előfordulnak kis minták. Például a ritka betegségek száma vagy a ritka tulajdonsággal rendelkező egységek száma; Ezenkívül kis mintát vesznek igénybe, ha a kutatás költséges, vagy a kutatás termékek vagy minták megsemmisítésével jár. A kis minták széles körben használatosak a termékminőségi felmérések területén. A kis mintahibák meghatározásának elméleti alapjait W. Gosset angol tudós (álnév Student) fektette le.
Emlékeztetni kell arra, hogy kis minta hibájának meghatározásakor a minta mérete helyett a ( n– 1) vagy az átlagos mintavételi hiba meghatározása előtt számítsa ki az ún. korrigált mintavarianciát (a nevező helyett n fel kell tenni ( n-1)). Vegye figyelembe, hogy egy ilyen korrekciót csak egyszer hajtanak végre - a minta variancia kiszámításakor vagy a hiba meghatározásakor. Nagyság ( n– 1) szabadsági foknak nevezzük. Ezen kívül a normál eloszlás is kicserélődik t-eloszlás (Student-eloszlás), amely táblázatos és a szabadságfokok számától függ. A Student eloszlás egyetlen paramétere az érték ( n- 1). Hangsúlyozzuk még egyszer, hogy a módosítás ( n– 1) csak kis mintapopulációk számára fontos és jelentős; nál nél n> 30 és a felett a különbség eltűnik, közeledik a nullához.
Eddig véletlenszerű mintákról beszéltünk, pl. ilyen, amikor az egységek kiválasztása a sokaságból véletlenszerű (vagy majdnem véletlenszerű), és minden egységnek egyenlő (vagy majdnem egyenlő) a valószínűsége, hogy bekerüljön a mintába. Az egységek kiválasztása azonban történhet a nem véletlenszerű kiválasztás elve alapján, amikor az elérhetőség és a céltudatosság elve van előtérben. Ilyen esetekben nem lehet a kapott minta reprezentativitásáról beszélni, a reprezentativitási hibák kiszámítása pedig csak a teljes sokaságra vonatkozó információk alapján történhet.
A nem véletlenszerű mintaképzésre számos ismert séma ismert, amelyek elterjedtek, és elsősorban a szociológiai kutatásokban használatosak: a rendelkezésre álló megfigyelési egységek kiválasztása, a nürnbergi módszer szerinti szelekció, célzott mintavétel a szakértők azonosításakor stb. Kvóta mintavétel, amely kis számból alkotja a kutató, szintén fontos.jelentős paraméterekkel rendelkezik, és nagyon közeli egyezést ad az általános populációhoz. Vagyis a kvótakiválasztásnak biztosítania kell a kutató számára a minta és az általános sokaság szinte teljes egybeesését a választott paraméterek szerint. Két populáció közelségének céltudatos elérése a mutatók korlátozott tartományában általában lényegesen kisebb méretű mintával érhető el, mint véletlenszerű kiválasztással. Ez a körülmény teszi vonzóvá a kvótakiválasztást egy olyan kutató számára, akinek nincs lehetősége nagy méretű önsúlyozó véletlenszerű mintára összpontosítani. Hozzá kell tenni, hogy a minta méretének csökkentését leggyakrabban a monetáris költségek és a kutatási idő csökkentésével kombinálják, ami növeli ennek a kiválasztási módszernek az előnyeit. Vegyük észre azt is, hogy a kvóta mintavétellel meglehetősen jelentős előzetes információk állnak rendelkezésre a népesség szerkezetéről. A fő előny itt az, hogy a minta mérete lényegesen kisebb, mint a véletlenszerű mintavételnél. A kiválasztott jellemzőknek (leggyakrabban szocio-demográfiai - nem, életkor, iskolai végzettség) szorosan össze kell kapcsolódniuk az általános populáció vizsgált jellemzőivel, pl. kutatás tárgya.
Mint már jeleztük, a mintavételi módszerrel sokkal kevesebb pénzzel, idővel és erőfeszítéssel lehet információt szerezni az általános populációról, mint folyamatos megfigyeléssel. Az is világos, hogy bizonyos esetekben lehetetlen a teljes populáció teljes vizsgálata, például olyan termékek minőségének ellenőrzésekor, amelyek mintáit megsemmisítik.
Ugyanakkor le kell szögezni, hogy a lakosság nem teljesen „fekete doboz”, és még mindig vannak információink róla. Például a tanulók életével, mindennapi életével, vagyoni helyzetével, bevételeivel, kiadásaival, véleményével, érdeklődési körével stb. kapcsolatos mintavizsgálatot végezve továbbra is rendelkezésünkre áll az összlétszámuk, nem, életkor, családi állapot szerinti csoportosítás, lakóhely, tanulmányi irány és egyéb jellemzők. Ezeket az információkat mindig a mintakutatásban használják fel.
A minta jellemzőinek az általános sokaságra való eloszlásának többféle típusa létezik: a közvetlen újraszámítás módszere és a korrekciós tényezők módszere. A minta jellemzőinek újraszámítása általában a konfidenciaintervallumok figyelembevételével történik, és abszolút és relatív értékekkel fejezhető ki.
Helyénvaló itt hangsúlyozni, hogy a társadalom gazdasági életére vonatkozó statisztikai információk nagy része annak legkülönfélébb megjelenési formáiban és típusaiban mintaadatokon alapul. Természetesen kiegészülnek a teljes nyilvántartási adatokkal és a népszámlálások (lakosság, vállalkozások stb.) eredményeként nyert információkkal. Például a Rosstat által szolgáltatott összes költségvetési statisztika (a lakosság bevételeiről és kiadásairól) egy mintavizsgálat adatain alapul. A megfelelő indexekben kifejezett árakra, termelési mennyiségekre és kereskedelmi volumenekre vonatkozó információk szintén nagyrészt mintaadatokon alapulnak.
Statisztikai hipotézisek és statisztikai tesztek. Alapfogalmak
A statisztikai teszt és a statisztikai hipotézis fogalma szorosan összefügg a mintavétellel. A statisztikai hipotézis (más tudományos hipotézisekkel szemben) a populáció bizonyos tulajdonságaira vonatkozó feltételezés, amely véletlenszerű mintából származó adatok felhasználásával tesztelhető. Emlékeztetni kell arra, hogy a kapott eredmény valószínűségi jellegű. Következésképpen a vizsgálat eredménye, amely megerősíti a feltett hipotézis érvényességét, szinte soha nem szolgálhat a végső elfogadás alapjául, és fordítva, az azzal ellentétes eredmény teljesen elegendő a feltett hipotézis hibásként való elutasításához. vagy hamis. Ez azért van így, mert a kapott eredmény konzisztens lehet más hipotézisekkel, és nem csak a felhozottal.
Alatt statisztikai kritérium szabályrendszert értünk, amely lehetővé teszi számunkra, hogy megválaszoljuk azt a kérdést, hogy a megfigyelés mely eredményei alapján utasítja el a hipotézist, és melyik esetén nem. Vagyis a statisztikai kritérium egyfajta döntő szabály, amely biztosítja az igaz (helyes) hipotézis elfogadását és a hamis hipotézis nagy valószínűséggel történő elutasítását. A statisztikai tesztek egy- és kétoldalasak, paraméteresek és nem paraméteresek, többé-kevésbé erősek. Egyes kritériumokat gyakran, másokat ritkábban használnak. Egyes kritériumok speciális kérdések megoldására szolgálnak, és vannak olyan kritériumok, amelyek a problémák széles csoportjának megoldására használhatók. Ezek a kritériumok széles körben elterjedtek a szociológiában, közgazdaságtanban, pszichológiában, természettudományok stb.
Bemutatjuk a statisztikai hipotézisvizsgálat néhány alapfogalmát. A hipotézisvizsgálat nullhipotézissel kezdődik. N 0, azaz a kutató néhány feltételezése, valamint egy versengő, alternatív hipotézis N 1, ami ellentmond a főnek. Például: N 0: , N 1: vagy N 0: , N 1: (hol A- Általános átlag).
A hipotézis tesztelésekor a kutató fő célja az általa felállított hipotézis elutasítása. Ahogy R. Fisher írta, bármely hipotézis tesztelésének célja annak elutasítása. A hipotézisvizsgálat ellentmondáson alapul. Ezért, ha úgy gondoljuk, hogy például a munkavállalók egy adott mintából kapott átlagbére, amely havi 186 pénzegységnek felel meg, nem esik egybe a teljes népesség tényleges bérével, akkor elfogadjuk azt a nullhipotézist, hogy ezek a bérek egyenlő.
Versengő hipotézis N 1 többféleképpen is megfogalmazható:
N 1: , N 1: , N 1: .
Ezután el kell dönteni I-es típusú hiba(a), amely azt a valószínűséget adja meg, hogy egy igaz hipotézis elutasításra kerül. Nyilvánvalóan ennek a valószínűségnek kicsinek kell lennie (általában 0,01 és 0,1 között van, leggyakrabban az alapértelmezett 0,05, vagy az ún. 5%-os szignifikancia szint). Ezek a szintek a mintavételi módszerből adódnak, amely szerint a kétszeres vagy háromszoros hiba azt a határt jelenti, amelyen túl a minta jellemzőinek véletlenszerű változása legtöbbször nem terjed ki. II típusú hiba(b) annak a valószínűsége, hogy egy hibás hipotézist elfogadnak. Általában az I. típusú hiba „veszélyesebb”; pontosan ezt rögzíti a statisztikus. Ha a vizsgálat kezdetén a-t és b-t egyszerre szeretnénk rögzíteni (például a = 0,05; b = 0,1), akkor ehhez először a mintanagyságot kell kiszámítanunk.
Kritikus zóna(vagy terület) olyan kritériumértékek halmaza, amelyeknél N 0 elutasítva. Kritikus pont T kr az a pont, amely elválasztja a hipotézis elfogadási területét az eltérés területétől vagy kritikus zónától.
Mint már említettük, az I. típusú hiba (a) a helyes hipotézis elutasításának valószínűsége. Minél kisebb a, annál kevésbé valószínű, hogy I. típusú hibát követ el. Ugyanakkor, amikor a csökken (például 0,05-ről 0,01-re), nehezebb elvetni a nullhipotézist, amelyet valójában a kutató állít fel magának. Hangsúlyozzuk még egyszer, hogy az a további csökkentése 0,05-re és tovább azt eredményezi, hogy minden hipotézis, igaz és hamis is, a nullhipotézis elfogadási tartományába esik, és lehetetlenné teszi a különbségtételt.
II. típusú hiba (b) lép fel, amikor elfogadják N 0, de valójában az alternatív hipotézis igaz N 1 . A g = 1 – b értéket a kritérium hatványának nevezzük. A II. típusú hiba (azaz a téves hipotézis helytelen elfogadása) a mintaszám növekedésével és a szignifikanciaszint növekedésével csökken. Ebből következik, hogy a és b egyidejű csökkentése lehetetlen. Ez csak a minta méretének növelésével érhető el (ami nem mindig lehetséges).
A hipotézisvizsgálati feladatok leggyakrabban két mintaátlag vagy arány összehasonlításából erednek; az általános átlag (vagy részesedés) összehasonlítása a mintával; empirikus és elméleti eloszlások összehasonlítása (alkalmassági kritériumok); két minta variancia összehasonlítása (c 2 -kritérium); két minta korrelációs együttható vagy regressziós együttható összehasonlítása és néhány egyéb összehasonlítás.
A nullhipotézis elfogadására vagy elutasítására vonatkozó döntés abból áll, hogy a kritérium tényleges értékét összehasonlítjuk a táblázatos (elméleti) értékkel. Ha a tényleges érték kisebb, mint a táblázatos érték, akkor azt a következtetést vonjuk le, hogy az eltérés véletlenszerű és jelentéktelen, és a nullhipotézis nem utasítható el. Az ellenkező helyzet (a tényleges érték nagyobb, mint a táblázatos érték) a nullhipotézis elutasításához vezet.
Statisztikai hipotézisek tesztelésekor a normál eloszlás, c 2 eloszlás (olvasható: khi-négyzet), t-elosztások (Diákosztások) és F-eloszlások (Fisher-eloszlások).
A kismintás módszernek számos előnye van a nagymintás módszerrel szemben. Fő előnyei egyrészt a számítási munka mennyiségének csökkenése, másrészt a folyamatpontosság időbeli változásának dinamikájának nyomon követése, ami a nagymintás módszerrel nem valósítható meg. A nagymintás módszer csak a mintavétel időszakában adhat képet a folyamat pontosságáról és stabilitásáról, ami a jövőben is megmaradhat, ha a mintavétel után a folyamat körülményei nem változnak. A valóságban a termelési feltételek ilyen változatlansága előre nem látható. Pl. rúdgépen végzett munka során egy műszak során többszöri anyagcsere (rúdcsere), kopás miatti szerszámcsere, gépbeállítás stb. eloszlási paraméterek. A kis minták módszere, ha az utóbbiakat a műszak során rendszeresen, bizonyos időközönként veszik, lehetővé teszi, hogy teljes képet kapjon a folyamat állapotáról a vizsgált időszakban, meghatározza annak stabilitásának mértékét, és azonosítsa az okokat. a folyamat időbeli nem megfelelő stabilitása miatt, ha van ilyen.
A kis minták statisztikai elemzését az alábbiak szerint végezzük. Minták a n = 5-10 db. meghatározott időközönként (például 15-30 perc múlva) kell bevenni. A mintavétel időtartama be van állítva empirikusanés a gép termelékenységétől, a mintavételi mennyiségtől és a technológiai folyamat stabilitásának mértékétől függ. Minden mintához ki kell számítani és S. Ezután minden két szomszédos mintánál ellenőrizni kell a minta varianciáinak homogenitásának hipotézisét a F - Fisher-kritérium.
Ha a hipotézis beigazolódik, akkor ez a diszperzió stabilitását jelzi, vagy azt, hogy az összehasonlítandó minták ugyanabból a populációból származnak. Két minta varianciáinak homogenitásának hipotézisének megerősítésekor két minta átlagának homogenitásának hipotézisét kell tesztelni. t - Diákvizsga.
A két szomszédos minta egyenlőségének hipotézisének megerősítése azt jelenti, hogy a berendezés hangolásának középpontja nem változik a mintavétel időpontjában, és ugyanaz marad, mint az előző mintavételkor, azaz. a folyamat stabil állapotban van. Ha a két átlagos minta egyenlőségének hipotézise nem igazolódik be, ez a gépi hangolás középpontjának eltolódását jelzi a mintavétel időpontjában. Mivel bizonyos időközönként mintát vesznek, ha a hangolóközpont eltolódását vagy a diszperziós zóna változását észlelik, meg lehet határozni azt az időtartamot, amely után a folyamatstabilitás megsértése következett be.
Miután felfedezték a folyamatstabilitás megsértésének tényét, meg lehet határozni azt a területet, ahol ennek a jelenségnek az okát kell keresni. A minta diszperziók heterogenitása, ami a diszperzió instabilitását jelzi, arra utal, hogy ennek okát a gépben vagy a feldolgozott anyag mechanikai tulajdonságaiban kell keresni. A mintaátlagok heterogenitása a hangolás középpontjának eltolódását jelzi (az okot keresse a hangszerben).
Így a gép áramteljesítményéből egy műszakban bizonyos időintervallumokban kis mintákat veszve a minták átlagai és szórásai az eltérések F és t-kritériumok segítségével történő összehasonlításával és értékelésével kiszámíthatóak, megállapíthatóak a nyomatékok. folyamatzavarok, sőt e zavarok forrásai.
A.M. Nosovsky1*, A.E. Pikhlak2, V.A. Logachev2, I.I. Chursinova3, N.A. Mutyeva2 KIS MINTÁK STATISZTIKÁJA AZ ORVOSI KUTATÁSBAN
"Állapot tudományos központ Orosz Föderáció- Orvosi és Biológiai Probléma Intézet Orosz Akadémia Sciences, 123007, Moszkva, Oroszország; 2GBOU VPO "A. I. Evdokimov Moszkvai Állami Orvosi és Fogorvosi Egyetem", Oroszország Egészségügyi Minisztériuma, 127473, Moszkva, Oroszország; 3ANO "Arthrological Hospital NPO SKAL", 109044, Moszkva, Oroszország
*Andrey Maksimovich Nosovsky, E-mail: [e-mail védett]
♦ A statisztikai kritériumok jellemzőit kísérleti úton állapítottam meg. Ennek eredményeként kiszámították W. Ansari-Bradly és K. Klotz statisztikáinak értékét. Minden kezdeti statisztikához kiszámítjuk a normál közelítést (Z-statisztika) és a nullhipotézis p szignifikanciaszintjét, miszerint nincs különbség a két minta értékeinek szórása között. Ha p>
A matematikai statisztika javasolt módszerei lehetővé teszik a kapott eredmények eltéréseinek megbízhatóságának igazolását kis megfigyelési csoportokban is, ha az eltérések kellően jelentősek. Az illusztrációt osteoartikuláris patológiás betegek klinikai példái szolgáltatták. Kulcsszavak: kis minta, teszterő, coxarthrosis, köszvényes polyarthritis
A.M. Nosovskiy1, A.E.Pikhlak2, V.A. Logachev2, I.I. Chursinova3, N.AMuteva2 KISADATOK STATISZTIKAI ELEMZÉSE ORVOSI TANULMÁNYOKBAN
1Az Orosz Orvostudományi Akadémia Állami Kutatóközpontja-Orvosbiológiai Problémák Intézete, 123007 Moszkva, Oroszország; 2A Moszkvai Állami Orvosi és Fogorvosi Egyetem A.I. Evdokimov, 127473 Moszkva, Oroszország; 3 SKAL Tudományos és Gyakorlati Egyesület Arthrológiai Kórháza, 109044 Moszkva, Oroszország
♦ Kísérletileg megállapítottam a statisztikai kritériumok jellemzőit. Ennek eredményeként kiszámította a statisztika értékét W. An-sari-Bradly és K. Klotz. Mindegyik statisztikaforráshoz kiszámítjuk a normál közelítést (Z-statisztika) és a nullhipotézis p szignifikanciaszintjét, miszerint nincs különbség a két minta értékeinek terjedésében. Atp>0,05 a nullhipotézis elfogadható. A matematikai statisztika javasolt módszerei akár kis megfigyelési csoportokban is igazolhatják az eredmények eltéréseinek pontosságát, ha az eltérések kellően jelentősek.
Ízületi és csontpatológiás betegek orvosi eseteit használtuk fel.
Kulcsszavak: kis adatelemzés, kritériumok ereje, coxarthrosis, köszvényes ízületi gyulladás
A bizonyítékokon alapuló orvoslás elvei magas követelményeket támasztanak a kutatási eredmények összehasonlító értékelésének megbízhatóságával szemben. Ez még fontosabbá válik, mivel a legtöbb orvos nagyon felületesen ismeri a technikákat statisztikai feldolgozás, publikációit a százalékszámításon túl korlátozva, in legjobb forgatókönyv/-Diák t-próbája.
Ez azonban bizonyos esetekben nem elegendő a kutatási eredmények teljes körű elemzéséhez. Az azonosított minták megbízhatóságához általában nem fér kétség, ha a megfigyelések száma több ezer vagy akár több száz. És ha több tucat? Mi van, ha csak néhány esetünk van? Végül is az orvostudományban meglehetősen ritka betegségek vannak, a sebészek néha egyedi műveleteket végeznek, amikor a megfigyelések száma nagyon kicsi. Hol van az a határvonal, az a szükséges és elegendő mennyiségű kutatás, amely lehetővé teszi, hogy kijelenthessük egyik vagy másik minta kétségtelen jelenlétét?
Ez a kérdés nemcsak a meglévő kutatások értékelésekor, hanem a tudományos munka tervezésekor is kiemelten fontos. Elegendő 20 beteg monitorozása vagy minimum 40 szükséges? Vagy talán 10 eset is elég lesz? Nemcsak a levont következtetések megbízhatósága, hanem a kutatás időzítése, költsége, személyi-, felszerelés-igénye stb. is függ a kérdésre adott időben és helyesen adott választól.
A modern statisztika elég sok olyan technikát ismer, amellyel már kis számú megfigyeléssel is meg lehet állapítani az eredmények megbízhatóságát. Ezek „kismintás” módszerek. Általánosan elfogadott, hogy a kismintás statisztika a 20. század első évtizedében kezdődött az Állami Egyetem munkájának megjelenésével.
halmaz, ahol ő „Student” (diák) fedőnéven az úgynevezett /-eloszlást tételezte fel. A normális eloszlás elméletétől eltérően a kis minták eloszláselmélete nem igényli a sokaság matematikai elvárásának és varianciájának előzetes ismeretét vagy pontos becsléseit, és nem igényel feltételezéseket a paraméterekkel kapcsolatban. A /-eloszlásban a mintaátlagtól való eltérések egyike mindig rögzített, mivel az összes ilyen eltérés összegének nullával kell egyenlőnek lennie. Ez befolyásolja a négyzetek összegét, amikor a minta variancia a sokaság variancia torzítatlan becsléseként számítható ki, és ahhoz a tényhez vezet, hogy a df szabadsági fokok száma egyenlő a mérések számával mínusz eggyel minden mintában. Ezért a /-statisztika kiszámításának képleteiben és eljárásaiban a nullhipotézis teszteléséhez df=w-1. A vezető angol statisztikus, R.A. klasszikus művei is ismertek. Fisher (akiről a ^-eloszlás a nevét kapta) a varianciaanalízis szerint - statisztikai módszer, kifejezetten a kis minták elemzésére összpontosított. A kis mintákra ésszerűen alkalmazható számos statisztika közül megemlíthetjük: Fisher-féle egzakt valószínűségi teszt; kéttényezős nemparaméteres (rang) Friedman varianciaanalízis; rangkorrelációs együttható/Kendall; Kendall konkordancia együtthatója; Kruskal-Wallace I-teszt nemparaméteres (rang) egyirányú varianciaanalízishez; ^/-Mann-Whitney teszt; medián kritérium; előjel kritérium; Spearman-féle rangkorrelációs együttható; /-Wilcoxon teszt.
Nincs határozott válasz arra a kérdésre, hogy mekkora mintának kell lennie ahhoz, hogy kicsinek tekintsük. Mindazonáltal a kis és a nagy minta közötti hagyományos határ df=30. Az alap
Ehhez a kissé önkényes megoldáshoz a /-eloszlás (kis minták esetén) a normál eloszlással (r) való összehasonlításának eredményét használjuk. A / és r értékei közötti eltérés csökkenéssel nő, növekedésével pedig csökken Valójában az 1 már jóval a határeset előtt kezd közeledni, amikor / = r. A táblázat értékeinek / egyszerű vizuális vizsgálatával láthatja, hogy ez a közelítés meglehetősen gyors lesz, ^=30-tól kezdve. A / (^=30-nál) és r összehasonlító értéke egyenlő: 2,04 és 1,96 p=0,05 esetén; 2,75 és 2,58 p=0,01 esetén; 3,65 és 3,29 p=0,001 esetén.
A matematikai statisztikában a / konfidencia együtthatót használjuk, a függvény értékeit a különböző értékeken táblázatba foglaljuk, és megkapjuk a megfelelő konfidenciaszinteket (1. táblázat).
A konfidencia együttható lehetővé teszi az AX maximális mintavételi hiba kiszámítását, az AXsr=1tsr képlettel számítva, azaz. a marginális mintavételi hiba egyenlő az átlagos mintavételi hibák számának 1/2-szeresével.
Így bizonyos valószínűséggel megállapítható a maximális mintavételi hiba értéke. Amint az 1. táblázat utolsó oszlopából látható, az átlagos mintavételi hiba háromszorosával egyenlő vagy nagyobb hiba valószínűsége, azaz AXc = 3cc, rendkívül kicsi, és egyenlő 0,003-mal (1-0,997). Az ilyen valószínűtlen események gyakorlatilag lehetetlennek tekinthetők, ezért az AX = 3cs értéket vehetjük a lehetséges p3 mintavételi hiba határának.
Azt az intervallumot, amelyben a becsült paraméter ismeretlen értéke egy adott valószínűségi fok mellett szerepelni fog, konfidencia, a P valószínűség pedig konfidenciavalószínűség. Leggyakrabban a konfidenciavalószínűséget 0,95-re vagy 0,99-re vesszük, ekkor az 1-es konfidencia együttható 1,96 és 2,58.
Ez azt jelenti, hogy a konfidencia intervallum adott valószínűséggel tartalmazza az általános átlagot.
Minél nagyobb a maximális mintavételi hiba, annál nagyobb a konfidenciaintervallum, és ennélfogva annál kisebb a becslés pontossága.
Ennek a megközelítésnek az alkalmazását 20 coxarthrosisban szenvedő beteg megfigyelése szemlélteti, akiket a moszkvai SKAL NPO Arthrológiai Kórházában kezeltek.
Statisztikai hipotézis tesztelésekor hibák is előfordulhatnak. Kétféle hiba létezik. I. típusú hiba akkor fordul elő, ha a nullhipotézist elutasítják, miközben a nullhipotézis igaz. II. típusú hiba akkor fordul elő, ha a nullhipotézist elfogadjuk, miközben valójában a nullhipotézis hamis.
Az I. típusú hiba valószínűségét szignifikanciaszintnek nevezzük, és a-val jelöljük. Így а=Р(Ш¥ | Н0), azaz. az a szignifikancia szint az esemény valószínűsége (Te¥), amelyet azzal a feltételezéssel számolunk, hogy a H0 nullhipotézis igaz.
A szignifikanciaszintet és a tesztteljesítményt kombinálja a tesztteljesítmény-függvény fogalma – egy olyan függvény, amely meghatározza a nullhipotézis elutasításának valószínűségét. A teljesítményfüggvény a kritikus ¥ tartománytól és a megfigyelések tényleges eloszlásától függ. Parametrikusan
Asztal 1
t bizalmi tényező és a megfelelő megbízhatósági szintek
t 1,00 1,96 2,00 2,58 3,00
F(0 0,683 0,950 0,954 0,990 0,997
A hipotézisek tesztelésének problémájában a megfigyelési eredmények eloszlását a 0 paraméter határozza meg. Ebben az esetben a hatványfüggvényt M(¥,0) jelöljük, és a ¥ kritikus tartománytól és a 0 vizsgált paraméter tényleges értékétől függ. Ha H0: 0=00, H1: 0=01, akkor M (¥,00) = a, M(¥,01) = 1-b, ahol a az első típusú hiba valószínűsége, b a második típusú hiba valószínűsége. Ekkor a teszt ereje annak a valószínűsége, hogy a nullhipotézist el kell utasítani, ha az alternatív hipotézis igaz.
Az M(¥,0) hatványfüggvény 0 egydimenziós paraméter esetén általában 0=00-nál eléri az a-val egyenlő minimumot, 00-tól mért távolsággal monoton növekszik és 1-hez közelít | 0 - 00 | ^ igen.
Becsüljük meg a statisztikai kritériumok szükséges erejét (1. ábra), amelyek segítségével 20 coxarthrosisos beteg kezelését lehetne elemezni.
Amint láthatja, 3,0-s szórással, ami rendkívül ritka, az eredményeket nagyfokú megbízhatósággal lehet elérni /><0,05, если разность между средними будет превышать 8. Но уже при среднеквадратическом отклонении равном 1,5, эта разность должна превышать всего 4.
A p szignifikanciaszintjének meghatározásához általában a megfelelő statisztika közelítő normál 2-közelítését használjuk. Ez a közelítés jó közelítést ad kellően nagy mintaméretekre. Kis mintamérettel és 0,05-höz közeli p-értékekkel teszteltük az összehasonlítás nullhipotézisének következtetését.
Teljesítménygörbe alfa=0,05, szigma=
Teljesítménygörbe alfa=0,05, szigma=1,
Valódi különbség az eszközök között
Valódi különbség az eszközök között
Rizs. 1. A statisztika kísérletileg megállapított jellemzői
kritériumok.
2. táblázat.
Megfigyelő csoportok
1. csoport 2. csoport 3. csoport Összes megfigyelés
Nimesulid, vitaminok, chondroprotectors, fizikoterápia + + + 20
Fizioterápia --- + + 15
Masszázs... --- + 8
Fájdalom mozgás közben
Nyugalmi fájdalom 43±13 27±17
eltérés a statisztikai referenciakönyvből a megfelelő eloszlás táblázatában szereplő statisztika számított értéke és a kritikus érték között.
Eltolás (pozíció) különbség kritériumai. Ezeket a kritériumokat használtuk a következő hipotézisek tesztelésére:
♦ nincs különbség a két vizsgált minta relatív pozícióiban (mediánjaiban);
♦ a minták egymáshoz viszonyított eltolódása egy bizonyos d értékkel egyenlő;
♦ egy elemzett minta mediánja megegyezik d értékével.
A b) esetben először a második minta összes értékét csökkenteni kellett d értékkel: yi=yi-d.
A c) esetben egy segédpáros mintát kell készíteni, amelynek minden eleme egyenlő d-vel.
Ennek eredményeként kiszámoltuk:
♦ a W. Wilcoxon statisztika értéke - a kombinált rangsorolt mintában az egyik minta elemeinek Rxi rangsorainak összege;
♦ Van der Varden V statisztikájának értéke, az „önkényes címkék” módszere alapján.
Mindegyik statisztikához kiszámítottuk a normál közelítést (Z-statisztika) és a nullhipotézis P szignifikanciaszintjét, miszerint nincs eltérés az eltolódásban egymáshoz képest. Ha p>0,05, akkor a nullhipotézis elfogadható.
Egyes csomagok és szerzők a Mann-Whitney teszt és a Wald-Wolfowitz teszt használatát javasolják. Márpedig régóta bebizonyosodott, hogy a Mann-Whitney-kritérium ekvivalens, i.e. ugyanolyan képességekkel rendelkezik, mint a kritikus
3. táblázat.
Átlagos fájdalomintenzitási pontszámok (VAS pontszámok)
1. csoport (n=5) 2. csoport (n=7) 3. csoport (n=8)
Indikátor A megfigyelés kezdete A megfigyelés vége Fájdalomcsökkentés A megfigyelés kezdete A megfigyelés vége Fájdalomcsökkentés A megfigyelés kezdete A megfigyelés vége Fájdalomcsökkentés
4. táblázat.
B beteg laboratóriumi vizsgálati adatai.
Sz. Mutató Norma Az utolsó előtti eredmény eredménye
ő látogat látogatásokat
Hematokrit, % 40-48 38.7
Limfociták, % 19-37 42
ESR, mm/óra 2-10 39
Húgysav, µmol/l 200-416 504
Kreatinin, µmol/l 44-106 238
Parathyroid hormon, pg/ml 7-53 76.8
Fibrinogén, g/l 1,69-3,92 5,7
Fehérje a vizeletben, g/l 0-0,1 1
43,5 39 10 489 202 101 3
utolsó előtti
Utolsó dolog
Rizs. 2. B. beteg klinikai indikátorainak p-értékei az utolsó előtti és utolsó vizsgálaton.
Wilcoxon teszt és a Wald-Wolfowitz teszt viszonylag alacsony érzékenységgel rendelkezik.
A léptékbeli különbségek (szóródás) kritériumai. Ezeket a kritériumokat használtuk a következő hipotézisek tesztelésére:
♦ hipotézis arról, hogy a vizsgált minták skáláiban (az értékek szóródásában vagy szóródásában) nincs eltérés;
♦ hipotézis, hogy a mintaskálák aránya egy adott g értékkel egyenlő.
Ez utóbbi esetben először meg kell változtatni a második minta y1 = (y1-m0)^ értékeit, ahol m0 a két vizsgált spektrum közös mediánja.
Ha azoknak a sokaságoknak a mediánjai, amelyekből a mintákat vették, nem azonos értékűek, hanem azok
alkalmazza úgy, hogy először módosítja az egyik mintát, például a mintában yi=yi-m2+mr
Ha a mediánok nem egyenlőek és ismeretlenek, akkor meg kell erősíteni azt a hipotézist, hogy nincsenek eltolódási különbségek, vagy a módszert kell használni tetszőleges alternatívák kimutatására.
Ennek eredményeként kiszámították a W. Ansari-Bradly és K. Klotz statisztikák értékét, amelyek a Wilcoxon és Van der Waerden statisztika fogalmi analógjai.
Minden kezdeti statisztikához kiszámítjuk a normál közelítést (Z-statisztika) és annak a nullhipotézisnek a P szignifikancia szintjét, amely szerint nincs különbség a két minta értékeinek szórása között. Ha />>0,05, akkor a nullhipotézis elfogadható.
Így a matematikai statisztika fent javasolt módszerei lehetővé teszik a különbségek megbízhatóságának igazolását
kis megfigyelési csoportokban is kapott eredményeket, ha a különbségek elég jelentősek.
Az oszteoartikuláris patológiában szenvedő betegek két klinikai példája szemléltetésül szolgálhat.
Klinikai példa 1. 20 coxarthrosisban szenvedő betegnél alapvető kezelési komplexumot alkalmaztak, beleértve a nimesulid orális adagolását, chondroprotectors, intramuszkuláris injekciók vitaminok és fizikoterápia. Ezen kívül közülük 15-en fizioterápiás kezelésben, 6-an pedig masszázsban részesültek. Így 3 betegcsoport alakult ki kis (5-8) számú megfigyeléssel (2. táblázat).
Többek között a kezelés megkezdése előtt és a kúra befejezése után (21±2 nap) a mozgás közbeni és nyugalmi fájdalom intenzitását 100 pontos vizuális analóg skálán (VAS) értékeltük.
A következő statisztikai módszereket alkalmazta W. Ansari-Bradly és K. Klotz (3. táblázat).
A kapott adatok szerint (3. táblázat) megjegyezték, hogy a nyugalmi fájdalom csökkenése az 1. csoportban a megfigyelés végén nem volt szignifikáns. Az összes többi vizsgált paraméter esetében azonban megbízható értékek derültek ki. A vizsgált klinikai példa bemutatja annak lehetőségét, hogy kis mintaméretből megbízható eredményeket kapjunk.
A 2. számú klinikai példa a referenciaértékeken kívül eső krónikus köszvényes polyarthritisben, köszvényes nephropathiában szenvedő B. beteg laboratóriumi adatainak dinamikáját vizsgálja, amelyek krónikus veseelégtelenség tüneteit mutatják (4. táblázat).
Számítsuk ki annak a valószínűségét, hogy az elemzés eredményei statisztikailag szignifikánsan meghaladják a klinikai norma határait. Ehhez a „STATISTICA 6.0” statisztikai csomag valószínűségszámítóját használjuk. Ebben az esetben a p-érték egy I. típusú hibát mér: annak a valószínűségét, hogy egy helyes hipotézist elutasítanak, amikor az igaz. A legtöbb esetben az utolsó előtti vizit eredménye statisztikailag szignifikánsan eltér a normától (2. ábra). Mivel ebben az esetben a szignifikancia küszöbértékét 0,05-nek vesszük, a hematokrit, limfociták, ESR, fibrinogén eredmények statisztikailag szignifikánsan javultak az utolsó vizit alkalmával. Ennek megfelelően a vizelet húgysav, kreatinin, mellékpajzsmirigy hormon és fehérje klinikai mutatói a matematikai statisztika szempontjából nem javultak.
A vizsgálat megtervezésekor tehát fontos figyelembe venni az alkalmazott statisztikai tesztek erejét, amelyet a minta változékonysága és a meghatározott szignifikanciaszint határoz meg.
A javasolt megközelítés érdekes lehet a személyre szabott orvoslás területén dolgozó szakemberek számára
az alkalmazott kezelési módszerek és gyógyszerek dinamikájának elemzése, a folyamatban lévő terápiás és diagnosztikai intézkedések nyomon követése mellett.
IRODALOM
1. Bolsev L.N., Szmirnov N.V. Matematikai statisztikai táblázatok. M.: Tudomány; 1995.
2. Korn G., Korn T. Matematika kézikönyv tudósok és mérnökök számára. M.: Tudomány; 2003.
3. Kobzar A.I. Alkalmazott matematikai statisztika. Mérnököknek és tudósoknak. M.: FIZMATLIT; 2006.
4. Pravetsky N.V., Nosovsky A.M., Matrosova M.A., Kholin S.F., Shakin V.V. Matematikai indoklás elegendő számú méréshez a rögzített paraméterek megbízható értékeléséhez az űrbiológiában és az orvostudományban. Űrbiológia és űrgyógyászat. M.: Orvostudomány; 1990; 5:53-6.
5. Hollender M., Wulf D.A. A statisztika nem paraméteres módszerei. M.: Pénzügy és Statisztika; 1983.
6. Nosovsky A.M. Valószínűségi modellek alkalmazása körön az orvosbiológiai kutatásokban. Űrbiológia és űrgyógyászat. Beszámolói kivonatok IX. Összszövetségi Konferencia. Kaluga, 1990. június 19-21.
7. Nosovsky A.M., Pravetsky N.V., Kholin S.F. Egy élettani paraméter mérési pontosságának értékelésének matematikai megközelítése különféle módszerek. Űrbiológia és űrgyógyászat. M.: Orvostudomány; 1991; 6:53-5.
1. Bol'shev L.N., Smirnov N.V. Matematikai statisztikai táblázatok, Moszkva: Nauka, 1995 (orosz nyelven).
2. Korn G., Korn T. Matematikai kézikönyv tudósok és mérnökök számára. Moszkva: Nauka; 2003 (orosz nyelven).
3. Kobzar" A.I. Alkalmazott matematikai statisztika. Mérnökök és tudósok számára. Moszkva: FIZMATLIT; 2006 (orosz nyelven).
4. Pravetskiy N.V., Nosovskiy A.M., Matrosova M.A., Kholin S.F., Shakin V.V. Elegendő számú mérés matematikai indoklása a rögzített paraméterek megbízható értékeléséhez az űrbiológiában és az orvostudományban. Űrbiológia és űrgyógyászat. Moszkva: Meditsina; 1990; 5: 53-6 (oroszul).
5. Khollender M., Vul"f D.A. Nem paraméteres statisztikai módszerek. Moszkva: Finansy i statistika; 1983 (orosz nyelven).
6. Nosovskiy A.M. Valószínűségi modellek alkalmazása a körön az orvosbiológiai kutatásokban. Űrbiológia és űrgyógyászat. A IX. Összszövetségi Konferencia absztraktjai. Kaluga, 1990. június 19-21 (orosz nyelven).
7. Nosovskiy A.M., Pravetskiy N.V., Kholin S.F. A fiziológiai paraméterek pontosságának matematikai megközelítése különböző módszerekkel. Űrbiológia és űrgyógyászat. Moszkva: Me-ditsina; 1991; 6: 53-5 (oroszul).
