trikotni vogali. Izrek. Vsak ravni kot triedrskega kota je manjši od vsote drugih dveh ravnih kotov. Dokaz. Razmislite o tristranskem kotu SABC. Največji njegov ravni kot naj bo kot ASC. Potem neenakosti?ASB ? ?ASC< ?ASC + ?BSC; ?BSC ? ?ASC < ?ASC + ?ASB. Таким образом, остается доказать неравенство?ASС < ?ASB + ?BSC. Отложим на грани ASC угол ASD, равный ASB, и точку B выберем так, чтобы SB = SD. Тогда треугольники ASB и ASD равны (по двум сторонам и углу между ними) и, следовательно, AB = AD. Воспользуемся неравенством треугольника AC < AB + BC. Вычитая из обеих его частей AD = AB, получим неравенство DC < BC. В треугольниках DSC и BSC одна сторона общая (SC), SD = SB и DC < BC. В этом случае против большей стороны лежит больший угол и, следовательно, ?DSC < ?BSC. Прибавляя к обеим частям этого неравенства угол ASD, равный углу ASB, получим требуемое неравенство?ASС < ?ASB + ?BSC.
Diapozitiv 3 iz predstavitve "Poliedrski kot" k lekcijam geometrije na temo "Koti v prostoru"Dimenzije: 960 x 720 slikovnih pik, format: jpg. Če želite prenesti brezplačen diapozitiv za uporabo na lekcija geometrije, z desno miškino tipko kliknite sliko in kliknite »Shrani sliko kot ...«. Celotno predstavitev "Polyhedral angle.ppt" si lahko prenesete v 329 KB zip arhivu.
Prenesi predstavitevKoti v prostoru
"Kot med črtami v prostoru" - V kocki A ... D1 poiščite kot med črtama: A1C1 in B1D1. Odgovor: 45o. Odgovor: 90o. V kocki A…D1 poiščite kot med premicama: AB1 in BC1. Kot med premicami v prostoru. V kocki A…D1 poiščite kot med premicama: AA1 in BD1. V kocki A…D1 poiščite kot med premicama: AA1 in BC1. Odgovor: V kocki A…D1 poiščite kot med premicama: AA1 in BC.
"Geometrija diedrskega kota" - kot RSV - linearna za diedrski kot z robom AC. RMT kot - linearni za diedrski kot z RMCT. K. V. Geometrija 10 "A" razred 18. 3. 2008. Diedrski kot. premica BO je pravokotna na rob CA (po lastnosti enakostraničnega trikotnika). Na pragu ASV. (2) Na pragu MTC. KDBA KDBC.
"Včrtani kot" - 2. primer. Q. Doc: Oglišče ni na krogu. A. Primer 3. 2. Tema lekcije: Včrtani koti. b). Ponavljanje snovi. Reševanje problema. Problem št. 1? Domača naloga.
"Triedrski kot" - Posledice. 1) Za izračun kota med premico in ravnino velja formula: . Podano: Оabc – tristranski kot; ?(b; c) = ?; ?(a; c) = ?; ?(a; b) = ?. Dokaz I. Let?< 90?; ? < 90?; (ABC)?с. Трехгранный угол. Тогда?ОВС = 90? – ? < ?ОВА (следствие из формулы трех косинусов). Формула трех косинусов.
diapozitiv 1
diapozitiv 2
Izrek. V triedrskem kotu je vsota ravninskih kotov manjša od 360 in vsota katerih koli dveh večja od tretjega. Podano: Оabc – tristranski kot; (b; c) = ; (a; c) = ; (a; b) = . Osnovna lastnost trikotnega kota. Dokaži: ++< 360 ; 2) + > ; + > ; + > .
diapozitiv 3
Dokaz I. Let< 90 ; < 90 ; (ABC) с. Тогда ОВС = 90 – < ОВА (следствие из формулы трех косинусов). Аналогично, ОАС = 90 – < ОAВ. Следовательно, = 180 – (ОАB + ОBA) < 180 – ((90 –) + (90 –)) = + . Если < 90 , то остальные два неравенства пункта 2) доказываются аналогично, а если 90 , то они – очевидны. Дано: Оabc – трехгранный угол; (b; c) = ; (a; c) = ; (a; b) = . Доказать: 2) + > ; + > ; + > .
diapozitiv 4
Formula treh kosinusov. Posledice. 1) Za izračun kota med premico in ravnino velja formula: 2) Kot med premico in ravnino je najmanjši od kotov, ki jih ta premica tvori s premicami te ravnine.
diapozitiv 5
II. Na robove danega kota postavimo točke A’, B’ in C’ tako, da je |OA’| = |OB'| = |OC'| Potem so trikotniki A'OB', B'OC' in C'OA' enakokraki, njihovi koti pri osnovah 1 - 6 pa ostri. Za trikotne kote z oglišči A', B' in C' uporabimo neenakosti, dokazane v I. odstavku: C'A'B'< 1 + 6; А’B’C’ < 2 + 3; B’С’А’ < 4 + 5. Сложим эти неравенства почленно, тогда 180 < (1 + 2) + (3 + 4) + (5 + 6) = = (180 –) + (180 –) + (180 –) + + < 360 . Дано: Оabc – трехгранный угол; (b; c) = ; (a; c) = ; (a; b) = . Доказать: + + < 360 ; 2) + > ; + > ; + > .
diapozitiv 6
III. Upoštevajte žarek c’, ki je komplementaren žarku c, in za triedrski kot Oabc’ uporabimo neenakost, dokazano v odstavku II za poljuben triedrski kot: (180 –) + (180 –) +< 360 + >. Drugi dve neenakosti dokažemo podobno. Podano: Оabc – tristranski kot; (b; c) = ; (a; c) = ; (a; b) = . Dokaži: ++< 360 ; 2) + >; + > ; + > . z'
Diapozitiv 7
Posledica. V pravilni trikotni piramidi je ravni kot pri vrhu manjši od 120.
Diapozitiv 8
Opredelitev. Triedrski koti so enaki, če so vsi pripadajoči ravninski in diedrski koti enaki. Znaki enakosti triedrskih kotov. Trikotni koti so enaki, če sta enaka: dva ravninska kota in diedrski kot med njima; 2) dva diedrska kota in ravni kot med njima; 3) trije ravni vogali; 4) trije diedrski koti. riž. 4b
Diapozitiv 9
. . Podan je tristranski kot Oabc. Pustiti< 90 ; < 90 ; тогда рассмотрим (ABC) с По теореме косинусов из CАВ: |AB|2 = |AC|2 + |BC|2 – 2|AC| |BC| cos Аналог теоремы косинусов Аналогично, из OАВ: |AB|2 = |AO|2 + |BO|2 – 2|AO| |BO| cos . Вычтем из второго равенства первое и учтем, что |AO|2 – |AC|2 = |CO|2 = |BO|2 – |BC|2: 2|CO|2 – 2|AO| |BO| cos + 2|AC| |BC| = 0 . ; ; ; тогда cos = cos cos + sin sin cos Zamenjajmo:
diapozitiv 10
II. Naj je > 90 ; > 90 , potem upoštevajte žarek c', komplementaren c, in ustrezen triedrski kot Oabc', v katerem sta ravninska kota - in - ostra, ravninski kot in diedrski kot pa enaka. Po I .: cos \u003d cos (-) cos (-) + sin (-) sin (-) cos cos \u003d cos cos + sin sin cos
diapozitiv 1
Slika, ki jo tvorita določena ploskev in eden od dveh delov prostora, ki ju omejujeta, se imenuje poliedrski kot. Skupno oglišče S imenujemo oglišče poliedrskega kota. Žarke SA1, …, SAn imenujemo robovi poliedrskega kota, same ravninske kote A1SA2, A2SA3, …, An-1SAn, AnSA1 pa ploskve poliedrskega kota. Poliedrski kot je označen s črkama SA1…An, ki označujeta oglišče in točke na njegovih robovih. Površina, ki jo tvori končna množica ravninskih kotov A1SA2, A2SA3, …, An-1SAn, AnSA1 s skupnim ogliščem S, v kateri sosednji koti nimajo skupnih točk, razen točk skupnega žarka, nesosednji koti pa imajo brez skupnih točk, razen skupnega oglišča, bomo imenovali poliedrska ploskev.
diapozitiv 2
Glede na število ploskev so poliedrski koti triedrski, tetraedrski, pentaedrski itd.
diapozitiv 3
TRIHERSKI VOGALI
Izrek. Vsak ravni kot triedrskega kota je manjši od vsote drugih dveh ravnih kotov. Dokaz Razmislite o trikotnem kotu SABC. Največji njegov ravni kot naj bo kot ASC. Nato veljajo neenačbe ASB ASC
diapozitiv 4
Lastnina. Vsota ravninskih kotov trikotnega kota je manjša od 360°. Podobno veljajo za trikotne kote z ogliščima B in C neenakosti: ABС
diapozitiv 5
KONVEKSNI POLIEDRI KOTNIKI
Poliedrski kot se imenuje konveksen, če je konveksna figura, to pomeni, da skupaj s katerima koli dvema točkama v celoti vsebuje segment, ki ju povezuje.Slika prikazuje primere konveksnih in nekonveksnih poliedrskih kotov. Lastnost Vsota vseh ravninskih kotov konveksnega poliedrskega kota je manjša od 360°. Dokaz je podoben dokazu ustrezne lastnosti za tristranski kot.
diapozitiv 6
Navpični poliedrski koti
Slike prikazujejo primere triedrskih, tetraedrskih in pentaedrskih navpičnih kotov. Navpični koti so enaki.
Diapozitiv 7
Merjenje poliedrskih kotov
Ker se stopinjska vrednost razvitega diedrskega kota meri s stopinjsko vrednostjo ustreznega linearnega kota in je enaka 180°, bomo predpostavili, da je stopinjska vrednost celotnega prostora, ki je sestavljen iz dveh razvitih diedrskih kotov, 360°. . Vrednost poliedrskega kota, izražena v stopinjah, kaže, kakšen del prostora zavzema dani poliedrski kot. Na primer, tristranski kot kocke zavzema eno osmino prostora in je zato njegova stopinjska vrednost 360o:8 = 45o. Triedrski kot v pravilni n-kotni prizmi je enak polovici diedrskega kota na stranskem robu. Če upoštevamo, da je ta diedrski kot enak, dobimo, da je triedrski kot prizme enak.
Diapozitiv 8
Merjenje triedrskih kotov*
Izpeljemo formulo, ki izraža vrednost triedrskega kota z njegovimi diedrskimi koti. Opišemo enotsko kroglo v bližini oglišča S triedrskega kota in označimo presečišča robov triedrskega kota s to kroglo A, B, C. Ravnine ploskev triedrskega kota delijo to kroglo na šest po parih enakih sferičnih dvokotnikov, ki ustrezajo diedrskim kotom danega triedrskega kota. Sferični trikotnik ABC in njemu simetričen sferični trikotnik A "B" C sta presečišče treh dvokotnikov. Zato je dvojna vsota diedrskih kotov 360o plus štirikratna vrednost triedrskega kota ali SA + SB + SC = 180o + 2SABC.
Diapozitiv 9
Merjenje poliedrskih kotov*
Naj bo SA1…An konveksen n-stranski kot. Če ga razdelimo na triedrske kote, narišemo diagonale A1A3, …, A1An-1 in nanje uporabimo dobljeno formulo, bomo imeli: SA1 + … + SAn = 180о(n – 2) + 2SA1…An. Poliedrske kote lahko merimo tudi s številkami. Dejansko tristo šestdeset stopinj celotnega prostora ustreza številu 2π. Če preidemo s stopinj na številke v dobljeni formuli, bomo imeli: SA1+ …+SAn = π(n – 2) + 2SA1…An.
Diapozitiv 10
1. vaja
Ali lahko obstaja tristranski kot z ravnimi koti: a) 30°, 60°, 20°; b) 45°, 45°, 90°; c) 30°, 45°, 60°? Ni odgovora; b) ne; c) da.
diapozitiv 11
vaja 2
Navedite primere poliedrov, katerih ploskve, ki se sekajo v ogliščih, tvorijo le: a) triedrske kote; b) tetraedrski vogali; c) peterostranski vogali. Odgovor: a) Tetraeder, kocka, dodekaeder; b) oktaeder; c) ikozaeder.
diapozitiv 12
3. vaja
Ravninska kota tristranskega kota sta 70° in 80°. Kakšna je meja tretjega ravninskega kota? Odgovor: 10o
diapozitiv 13
vaja 4
Ravninski koti triedrskega kota so 45°, 45° in 60°. Poiščite kot med ravninama ravnih kotov 45°. Odgovor: 90o.
Diapozitiv 14
vaja 5
V triedrskem kotu sta dva ravninska kota po 45°; diedrski kot med njima je pravi. Poiščite tretji ravni kot. Odgovor: 60o.
diapozitiv 15
vaja 6
Ravninski koti triedrskega kota so 60°, 60° in 90°. Na njegove robove iz oglišča so narisani enaki segmenti OA, OB, OC. Poiščite diedrski kot med ravnino kota 90° in ravnino ABC. Odgovor: 90o.
diapozitiv 16
vaja 7
Vsak ravni kot tristranskega kota je 60°. Na enem od njegovih robov je od vrha odložen segment, enak 3 cm, in navpičnica spuščena od njegovega konca do nasprotne strani. Poiščite dolžino te navpičnice. Odgovor: glej
Diapozitiv 17
vaja 8
Poiščite geometrijsko mesto notranjih točk triedrskega kota, enako oddaljenih od njegovih ploskev. Odgovor: Žarek, katerega oglišče je oglišče triedrskega kota, ki leži na presečišču ravnin, ki delita diedrske kote na pol.
Diapozitiv 18
vaja 9
Poiščite geometrijsko mesto notranjih točk triedrskega kota, enako oddaljenih od njegovih robov. Odgovor: Žarek, katerega oglišče je oglišče triedrskega kota, ki leži na presečišču ravnin, ki potekajo skozi simetrale ravninskih kotov in so pravokotne na ravnine teh kotov.
Diapozitiv 19
vaja 10
Za diedrske kote tetraedra velja: , od koder je 70o30". Za triedrske kote tetraedra velja: 15o45". Odgovor: 15o45". Poiščite približne vrednosti triedrskih kotov tetraedra.
Diapozitiv 20
vaja 11
Poiščite približne vrednosti tetraedrskih kotov oktaedra. Za diedrske kote oktaedra velja: , od koder je 109o30". Za tetraedrske kote oktaedra velja: 38o56". Odgovor: 38o56".
diapozitiv 21
vaja 12
Poiščite približne vrednosti petstranskih kotov ikozaedra. Za diedrske kote ikozaedra imamo: , od koder je 138o11". Za pentaedrske kote ikozaedra imamo: 75o28". Odgovor: 75o28".
diapozitiv 22
vaja 13
Za diedrske kote dodekaedra velja: , od koder je 116o34". Za triedrske kote dodekaedra velja: 84o51". Odgovor: 84o51". Poiščite približne vrednosti triedrskih kotov dodekaedra.
diapozitiv 23
vaja 14
V pravilni štirioglati piramidi SABCD je stranica osnove 2 cm, višina 1 cm. Poiščite tetraedrski kot na vrhu te piramide. Rešitev: Navedene piramide delijo kocko na šest enakih piramid z oglišči v središču kocke. Zato je štiristrani kot na vrhu piramide ena šestina kota 360°, tj. enako 60o. Odgovor: 60o.
diapozitiv 24
vaja 15
V pravilni trikotni piramidi so stranski robovi enaki 1, koti na vrhu pa 90o. Poiščite tristranski kot na vrhu te piramide. Rešitev: Navedene piramide delijo oktaeder na osem enakih piramid z oglišči v središču O oktaedra. Zato je 3-strani kot na vrhu piramide ena osmina kota 360°, tj. enako 45o. Odgovor: 45o.
Diapozitiv 25
vaja 16
V pravilni trikotni piramidi so stranski robovi enaki 1, višina pa Poiščite tristranski kot na vrhu te piramide. Rešitev: Označene piramide se zlomijo pravilni tetraeder v štiri enake piramide z oglišči v središču tetraedra. Zato je tristrani kot na vrhu piramide ena četrtina kota 360°, tj. je enako 90o. Odgovor: 90o.
Ogled vseh diapozitivov
diapozitiv 1
POLIEDRI KOT Lik, ki ga sestavljata navedena ploskev in eden od dveh delov prostora, ki ju omejujeta, imenujemo poliedrski kot. Skupno oglišče S imenujemo oglišče poliedrskega kota. Žarke SA1, …, SAn imenujemo robovi poliedrskega kota, same ravninske kote A1SA2, A2SA3, …, An-1SAn, AnSA1 pa ploskve poliedrskega kota. Poliedrski kot je označen s črkama SA1…An, ki označujeta oglišče in točke na njegovih robovih. Površina, ki jo tvori končna množica ravninskih kotov A1SA2, A2SA3, …, An-1SAn, AnSA1 s skupnim ogliščem S, v kateri sosednji vogali nimajo skupnih točk, razen točk skupnega žarka, in ne- sosednji vogali nimajo skupnih točk, razen skupnega vrha, se imenuje poliedrska površina.diapozitiv 2
POLIEDRI VOGALI Glede na število ploskev so poliedrski koti triedri, tetraedri, pentaedri itd.
diapozitiv 3
Izrek o TRIHERSKIH KOTIH. Vsak ravni kot triedrskega kota je manjši od vsote drugih dveh ravnih kotov. Dokaz. Razmislite o tristranskem kotu SABC. Največji njegov ravni kot naj bo kot ASC. Nato neenakosti ASB ASC
diapozitiv 4
TRIHERSKI VOGALI Lastnost. Vsota ravninskih kotov trikotnega kota je manjša od 360°. Podobno veljajo za triedrska kota z ogliščima B in C neenakosti: ABC
diapozitiv 5
KONVEKSNI POLIEDRI KOT Poliedrski kot se imenuje konveksen, če je konveksna figura, tj. skupaj s katerima koli dvema točkama v celoti vsebuje segment, ki ju povezuje. Slika prikazuje primere konveksnih in nekonveksnih poliedrskih kotov. Lastnina. Vsota vseh ravninskih kotov konveksnega poliedrskega kota je manjša od 360°. Dokaz je podoben dokazu ustrezne lastnosti za tristranski kot.
diapozitiv 6
Navpični poliedrski koti Slike prikazujejo primere triedrskih, tetraedrskih in pentaedrskih navpičnih kotov Izrek. Navpični koti so enaki.
Diapozitiv 7
Merjenje poliedrskih kotov Ker se stopinjska vrednost razvitega diedrskega kota meri s stopinjsko vrednostjo ustreznega linearnega kota in je enaka 180°, bomo predpostavili, da je stopinjska vrednost celotnega prostora, ki je sestavljen iz dveh razvitih diedrskih kotov. , je 360°. Vrednost poliedrskega kota, izražena v stopinjah, kaže, kakšen del prostora zavzema dani poliedrski kot. Na primer, tristranski kot kocke zavzema eno osmino prostora in je zato njegova stopinjska vrednost 360o:8 = 45o. Triedrski kot v pravilni n-kotni prizmi je enak polovici diedrskega kota na stranskem robu. Če upoštevamo, da je ta diedrski kot enak, dobimo, da je triedrski kot prizme enak.
Diapozitiv 8
Merjenje triedrskih kotov* Izpeljimo formulo, ki izraža vrednost triedrskega kota z njegovimi diedrskimi koti. Opišemo enotsko kroglo v bližini oglišča S triedrskega kota in označimo presečišča robov triedrskega kota s to kroglo A, B, C. Ravnine ploskev triedrskega kota delijo to kroglo na šest po parih enaki sferični digoni, ki ustrezajo diedrskim kotom danega triedrskega kota. Sferični trikotnik ABC in njegov simetrični sferični trikotnik A"B"C" sta presečišče treh dvokotnikov. Zato je dvakratna vsota diedrskih kotov 360o plus štirikratnik triedrskega kota ali SA + SB + SC = 180o + 2 SABC .
Diapozitiv 9
Merjenje poliedrskih kotov* Naj bo SA1…An konveksen n-strani kot. Če ga razdelimo na trikotne kote, narišemo diagonale A1A3, …, A1An-1 in nanje uporabimo dobljeno formulo, bomo imeli: SA1 + … + SAn = 180о(n – 2) + 2 SA1…An. Poliedrske kote lahko merimo tudi s številkami. Dejansko tristo šestdeset stopinj celotnega prostora ustreza številu 2π. Če preidemo s stopinj na številke v dobljeni formuli, bomo imeli: SA1+ …+ SAn = π (n – 2) + 2 SA1…An.
diapozitiv 10
1. naloga Ali lahko obstaja trikotni kot z ravnimi koti: a) 30°, 60°, 20°; b) 45°, 45°, 90°; c) 30°, 45°, 60°? Ni odgovora; b) ne; c) da.
diapozitiv 11
2. naloga Navedite primere poliedrov, katerih ploskve, ki se sekajo v ogliščih, tvorijo samo: a) triedrske kote; b) tetraedrski vogali; c) peterostranski vogali. Odgovor: a) Tetraeder, kocka, dodekaeder; b) oktaeder; c) ikozaeder.
diapozitiv 12
3. naloga Dva ravninska kota trikotnega kota sta 70° in 80°. Kakšna je meja tretjega ravninskega kota? Odgovor: 10o< < 150о.
diapozitiv 13
4. naloga Ravninski koti trikotnega kota so 45°, 45° in 60°. Poiščite kot med ravninama ravnih kotov 45°. Odgovor: 90o.
diapozitiv 14
Vaja 5 V trikotnem kotu sta dva ravna kota enaka 45 °; diedrski kot med njima je pravi. Poiščite tretji ravni kot. Odgovor: 60o.
diapozitiv 15
6. naloga Ravninski koti trikotnega kota so 60°, 60° in 90°. Na njegove robove iz oglišča so narisani enaki segmenti OA, OB, OC. Poiščite diedrski kot med ravnino kota 90° in ravnino ABC. Odgovor: 90o.
diapozitiv 16
7. naloga Vsak ravninski kot tristranskega kota je 60°. Na enem od njegovih robov je od vrha odložen segment, enak 3 cm, in navpičnica spuščena od njegovega konca do nasprotne strani. Poiščite dolžino te navpičnice.
diapozitiv 17
8. naloga Poiščite geometrijsko mesto notranjih točk triedrskega kota, ki je enako oddaljen od njegovih ploskev. Odgovor: Žarek, katerega oglišče je oglišče triedrskega kota, ki leži na presečišču ravnin, ki delita diedrske kote na pol.
diapozitiv 18
Naloga 9 Poiščite geometrijsko mesto notranjih točk triedrskega kota, enako oddaljenih od njegovih robov. Odgovor: Žarek, katerega oglišče je oglišče triedrskega kota, ki leži na presečišču ravnin, ki potekajo skozi simetrale ravninskih kotov in so pravokotne na ravnine teh kotov.
