Трикутні кути. Теорема. Кожен плоский кут тригранного кута менший за суму двох інших його плоских кутів. Доведення. Розглянемо трикутний кут SABC. Нехай найбільший із його плоских кутів є кут ASC. Тоді виконуються нерівності? ASB? ?ASC< ?ASC + ?BSC; ?BSC ? ?ASC < ?ASC + ?ASB. Таким образом, остается доказать неравенство?ASС < ?ASB + ?BSC. Отложим на грани ASC угол ASD, равный ASB, и точку B выберем так, чтобы SB = SD. Тогда треугольники ASB и ASD равны (по двум сторонам и углу между ними) и, следовательно, AB = AD. Воспользуемся неравенством треугольника AC < AB + BC. Вычитая из обеих его частей AD = AB, получим неравенство DC < BC. В треугольниках DSC и BSC одна сторона общая (SC), SD = SB и DC < BC. В этом случае против большей стороны лежит больший угол и, следовательно, ?DSC < ?BSC. Прибавляя к обеим частям этого неравенства угол ASD, равный углу ASB, получим требуемое неравенство?ASС < ?ASB + ?BSC.
Слайд 3 із презентації «Багатогранний кут»до уроків геометрії на тему «Кути у просторі»Розміри: 960 х 720 пікселів, формат: jpg. Щоб безкоштовно скачати слайд для використання на уроці геометрії, клацніть правою кнопкою мишки на зображенні та натисніть «Зберегти зображення як...». Завантажити всю презентацію «Багатогранний кут.ppt» можна у zip-архіві розміром 329 КБ.
Завантажити презентаціюКути у просторі
«Кут між прямими у просторі» - У кубі A…D1 знайдіть кут між прямими: A1C1 та B1D1. Відповідь: 45o. Відповідь: 90o. У кубі A…D1 знайдіть кут між прямими: AB1 та BC1. Кут між прямими у просторі. У кубі A…D1 знайдіть кут між прямими: AA1 та BD1. У кубі A…D1 знайдіть кут між прямими: AA1 та BC1. Відповідь: У кубі A…D1 знайдіть кут між прямими: AA1 та BC.
«Двогранний кут геометрія» – кут РСВ – лінійний для двогранного кута з ребром АС. Кут РМТ – лінійний для двогранного кута з РМКТ. К. В. Геометрія 10 "А" клас 18.03.2008. Двогранний кут. пряма ВО перпендикулярна ребру СА (за якістю рівностороннього трикутника). У межі АСВ. (2) У межі МТК. KDBA KDBC.
«Вписаний кут» – 2 випадок. В. Док-ть: Вершина не на колі. А. 3 випадок. 2. Тема уроку: Вписані кути. б). Повторення матеріалу. Вирішення задач. Проблема № 1? Домашнє завдання.
"Тригранний кут" - Наслідки. 1) Для обчислення кута між прямою та площиною застосовна формула: . Дано: Оabc – тригранний кут; ?(b; c) = ?; ?(a; c) = ?; ?(a; b) = ?. Доказ I. Нехай?< 90?; ? < 90?; (ABC)?с. Трехгранный угол. Тогда?ОВС = 90? – ? < ?ОВА (следствие из формулы трех косинусов). Формула трех косинусов.
Cлайд 1
Cлайд 2
Теорема. У тригранному куті сума плоских кутів менше 360 і сума будь-яких двох із них більша за третій. Дано: Оabc – тригранний кут; (b; c) = ; (a; c) = ; (a; b) = . Основна властивість тригранного кута. Довести: + +< 360 ; 2) + > ; + > ; + > .
Cлайд 3
Доказ I. Нехай< 90 ; < 90 ; (ABC) с. Тогда ОВС = 90 – < ОВА (следствие из формулы трех косинусов). Аналогично, ОАС = 90 – < ОAВ. Следовательно, = 180 – (ОАB + ОBA) < 180 – ((90 –) + (90 –)) = + . Если < 90 , то остальные два неравенства пункта 2) доказываются аналогично, а если 90 , то они – очевидны. Дано: Оabc – трехгранный угол; (b; c) = ; (a; c) = ; (a; b) = . Доказать: 2) + > ; + > ; + > .
Cлайд 4
Формула трьох косінусів. Наслідки. 1) Для обчислення кута між прямою та площиною застосовна формула: 2) Кут між прямою та площиною – найменший з кутів, яка ця пряма, утворює з прямими цієї площини.
Cлайд 5
ІІ. На ребрах даного кута відкладемо точки A', B' і C' отже |OA'| = |OB'| = |OC'| Тоді трикутники A'OB', B'OC' та С'OA' – рівнобедрені, а їх кути при основах 1 – 6 – гострі. Для тригранних кутів з вершинами A', B' та C' застосуємо нерівності, доведені у пункті I: С'А'B'< 1 + 6; А’B’C’ < 2 + 3; B’С’А’ < 4 + 5. Сложим эти неравенства почленно, тогда 180 < (1 + 2) + (3 + 4) + (5 + 6) = = (180 –) + (180 –) + (180 –) + + < 360 . Дано: Оabc – трехгранный угол; (b; c) = ; (a; c) = ; (a; b) = . Доказать: + + < 360 ; 2) + > ; + > ; + > .
Cлайд 6
ІІІ. Розглянемо промінь c' – додатковий променю з і для тригранного кута Оabc' використовуємо нерівність, доведену в пункті II для довільного тригранного кута: (180 –) + (180 –) +< 360 + >. Аналогічно доводяться і дві інші нерівності. Дано: Оabc – тригранний кут; (b; c) = ; (a; c) = ; (a; b) = . Довести: + +< 360 ; 2) + >; +>; +>. с’
Cлайд 7
Слідство. У правильній трикутній піраміді плоский кут при вершині менший за 120 .
Cлайд 8
Визначення. Тригранні кути називаються рівними якщо рівні всі відповідні плоскі і двогранні кути. Ознаки рівності трикутних кутів. Тригранні кути рівні, якщо вони відповідно рівні: два плоских кута і двогранний кут між ними; 2) два двогранні кути і плоский кут між ними; 3) три плоскі кути; 4) три двогранні кути. Мал. 4б
Cлайд 9
. . Дано тригранний кут Оabc. Нехай< 90 ; < 90 ; тогда рассмотрим (ABC) с По теореме косинусов из CАВ: |AB|2 = |AC|2 + |BC|2 – 2|AC| |BC| cos Аналог теоремы косинусов Аналогично, из OАВ: |AB|2 = |AO|2 + |BO|2 – 2|AO| |BO| cos . Вычтем из второго равенства первое и учтем, что |AO|2 – |AC|2 = |CO|2 = |BO|2 – |BC|2: 2|CO|2 – 2|AO| |BO| cos + 2|AC| |BC| = 0 . ; ; ; тогда cos = cos cos + sin sin cosЗамінимо:
Cлайд 10
ІІ. Нехай > 90; > 90 , тоді розглянемо промінь с', додатковий до с, і відповідний тригранний кут Оаbс', в якому плоскі кути - і - гострі, а плоский кут і двогранний кут - ті самі. По I.: cos = cos(-) cos(-) + sin(-) sin(-) cos cos = cos cos + sin sin cos
Слайд 1
Фігура, утворена зазначеною поверхнею та однією з двох частин простору, нею обмежених, називається багатогранним кутом. Загальна вершина S називається вершиною багатогранного кута. Промені SA1, …, SAn називаються ребрами багатогранного кута, а самі плоскі кути A1SA2, A2SA3, …, An-1SAn, AnSA1 – гранями багатогранного кута. Багатогранний кут позначається літерами SA1 ... An, що вказують вершину та точки на його ребрах. Поверхня, утворену кінцевим набором плоских кутів A1SA2, A2SA3, …, An-1SAn, AnSA1 із загальною вершиною S, в яких сусідні кути не мають спільних точок, крім точок загального променя, а несусідні кути не мають спільних точок, крім загальної вершини, будемо називати багатогранною поверхнею.
Слайд 2
Залежно від кількості граней багатогранні кути бувають тригранними, чотиригранними, п'ятигранними тощо.
Слайд 3
ТРИГРАНІ КУТИ
Теорема. Кожен плоский кут тригранного кута менший за суму двох інших його плоских кутів. Розглянемо тригранний кут SABC. Нехай найбільший із його плоских кутів є кут ASC. Тоді виконуються нерівності ASB ASC
Слайд 4
Властивість. Сума плоских кутів тригранного кута менша за 360°. Аналогічно для тригранних кутів з вершинами B і С мають місце нерівності: ABС
Слайд 5
Випуклі багатогранні кути
Багатогранний кут називається опуклим, якщо він є опуклою фігурою, тобто разом з будь-якими двома своїми точками цілком містить і відрізок, що з'єднує їх. На малюнку наведені приклади опуклого і непуклого багатогранних кутів. Властивість.Сума всіх плоских кутів опуклого багатогранного кута менше 360 °. Доказ аналогічний доведенню відповідної властивості для тригранного кута.
Слайд 6
Вертикальні багатогранні кути
На рисунках наведено приклади тригранних, чотиригранних та п'ятигранних вертикальних кутів Теорема. Вертикальні кути рівні.
Слайд 7
Вимірювання багатогранних кутів
Оскільки градусна величина розгорнутого двогранного кута вимірюється градусною величиною відповідного лінійного кута і дорівнює 180о, то вважатимемо, що градусна величина всього простору, що складається з двох розгорнутих двогранних кутів, дорівнює 360о. Розмір багатогранного кута, виражена в градусах, показує яку частину простору займає даний багатокутний кут. Наприклад, тригранний кут куба займає одну восьму частину простору і, отже, його градусна величина дорівнює 360о: 8 = 45о. Тригранний кут у правильній n-вугільній призмі дорівнює половині двогранного кута при бічному ребрі. Враховуючи, що цей двогранний кут дорівнює, отримуємо, що тригранний кут призми дорівнює.
Слайд 8
Вимірювання трикутних кутів*
Виведемо формулу, що виражає величину тригранного кута через його двогранні кути. Опишемо біля вершини Sтрехгранного кута одиничну сферу і позначимо точки перетину ребер тригранного кута з цією сферою A, B, C. Площини граней тригранного кута розбивають цю сферу на шість попарно рівних сферичних двокутників, що відповідають двогранним кутам даного тригранного. Сферичний трикутник ABC і симетричний йому сферичний трикутник A"B"C" є перетином трьох двокутників.
Слайд 9
Вимірювання багатогранних кутів*
Нехай SA1 ... An - опуклий n-гранний кут. Розбиваючи його на тригранні кути, проведенням діагоналей A1A3, …, A1An-1 та застосовуючи до них отриману формулу, матимемо: SA1 + … + SAn = 180о(n – 2) + 2SA1…An. Багатогранні кути можна вимірювати і числами. Дійсно, трьомстам шістдесяти градусів всього простору відповідає число 2? Переходячи від градусів до числа в отриманій формулі, матимемо: SA1+ …+SAn = π(n – 2) + 2SA1…An.
Слайд 10
Вправа 1
Чи може бути тригранний кут із плоскими кутами: а) 30°, 60°, 20°; б) 45 °, 45 °, 90 °; в) 30 °, 45 °, 60 °? Відповіді немає; б) ні; в) так.
Слайд 11
Вправа 2
Наведіть приклади багатогранників, у яких грані, перетинаючи у вершинах, утворюють лише: а) тригранні кути; б) чотиригранні кути; в) п'ятигранні кути. Відповідь: а) Тетраедр, куб, додекаедр; б) октаедр; в) ікосаедр.
Слайд 12
Вправа 3
Два плоскі кути тригранного кута дорівнюють 70° і 80°. У яких межах знаходиться третій плоский кут? Відповідь: 10о
Слайд 13
Вправа 4
Плоскі кути тригранного кута дорівнюють 45 °, 45 ° і 60 °. Знайдіть величину кута між площинами плоских кутів 45°. Відповідь: 90о.
Слайд 14
Вправа 5
У тригранному куті два плоскі кути рівні по 45°; двогранний кут між ними прямий. Знайдіть третій плоский кут. Відповідь: 60о.
Слайд 15
Вправа 6
Плоскі кути тригранного кута дорівнюють 60°, 60° та 90°. На його ребрах від вершини відкладено рівні відрізки OA, OB, OC. Знайдіть двогранний кут між площиною кута 90° і площиною ABC. Відповідь: 90о.
Слайд 16
Вправа 7
Кожен плоский кут тригранного кута дорівнює 60 °. На одному з його ребер відкладений від вершини відрізок, що дорівнює 3 см, і з кінця опущений перпендикуляр на протилежну грань. Знайдіть довжину цього перпендикуляра. Відповідь: див.
Слайд 17
Вправа 8
Знайдіть геометричне місце внутрішніх точок тригранного кута, рівновіддалених від його граней. Відповідь: Промінь, вершиною якого є вершина тригранного кута, що лежить на лінії перетину площин, що ділять двогранні кути навпіл.
Слайд 18
Вправа 9
Знайдіть геометричне місце внутрішніх точок тригранного кута, рівновіддалених від його ребер. Відповідь: Промінь, вершиною якого є вершина тригранного кута, що лежить на лінії перетину площин, що проходять через бісектриси плоских кутів і перпендикулярних площин цих кутів.
Слайд 19
Вправа 10
Для двогранних кутів тетраедра маємо: , звідки 70о30". Для тригранних кутів тетраедра маємо: 15о45". Відповідь: 15о45". Знайдіть наближені значення тригранних кутів тетраедра.
Слайд 20
Вправа 11
Знайдіть наближені значення чотиригранних кутів октаедра. Для двогранних кутів октаедра маємо: , звідки 109о30". Для чотиригранних кутів октаедра маємо: 38о56". Відповідь: 38о56".
Слайд 21
Вправа 12
Знайдіть наближені значення п'ятигранних кутів ікосаедра. Для двогранних кутів ікосаедра маємо: , звідки 138о11". Для п'ятигранних кутів ікосаедра маємо: 75о28". Відповідь: 75о28".
Слайд 22
Вправа 13
Для двогранних кутів додекаедра маємо: , звідки 116о34". Для тригранних кутів додекаедра маємо: 84о51". Відповідь: 84о51". Знайдіть наближені значення тригранних кутів додекаедра.
Слайд 23
Вправа 14
У правильній чотирикутній піраміді SABCD сторона основи дорівнює 2 см, висота 1 см. Знайдіть чотиригранний кут при вершині цієї піраміди. Рішення: Зазначені піраміди розбивають куб на шість рівних пірамід з вершинами в центрі куба. Отже, 4-х гранний кут при вершині піраміди становить одну шосту частину кута 360о, тобто. дорівнює 60о. Відповідь: 60о.
Слайд 24
Вправа 15
У правильній трикутній піраміді бічні ребра дорівнюють 1, кути при вершині 90о. Знайдіть тригранний кут при вершині цієї піраміди. Рішення: Вказані піраміди розбивають октаедр на вісім рівних пірамід з вершинами в центрі O октаедра. Отже, 3-х гранний кут при вершині піраміди становить одну восьму частину кута 360о, тобто. дорівнює 45о. Відповідь: 45о.
Слайд 25
Вправа 16
У правильній трикутній піраміді бічні ребра дорівнюють 1, а висота Знайдіть тригранний кут при вершині цієї піраміди. Рішення: Вказані піраміди розбивають правильний тетраедрна чотири рівні піраміди з вершинами у центрі Oтетраедра. Отже, 3-гранний кут при вершині піраміди становить одну четверту частину кута 360о, тобто. дорівнює 90о. Відповідь: 90о.
Переглянути всі слайди
Cлайд 1
Багатогранні кути Фігура, утворена зазначеною поверхнею і однією з двох частин простору, нею обмежених, називається багатогранним кутом. Загальна вершина S називається вершиною багатогранного кута. Промені SA1, …, SAn називаються ребрами багатогранного кута, а самі плоскі кути A1SA2, A2SA3, …, An-1SAn, AnSA1 – гранями багатогранного кута. Багатогранний кут позначається літерами SA1 ... An, що вказують вершину та точки на його ребрах. Поверхня, утворену кінцевим набором плоских кутів A1SA2, A2SA3, …, An-1SAn, AnSA1 із загальною вершиною S, в яких сусідні кути не мають спільних точок, крім точок загального променя, а не сусідні кути не мають спільних точок, крім загальної вершини, називатимемо багатогранною поверхнею.Cлайд 2
Багатогранні кути Залежно від числа граней багатогранні кути бувають тригранними, чотиригранними, п'ятигранними і т.д.
Cлайд 3
ТРИГРАНІ КУТИ Теорема. Кожен плоский кут тригранного кута менший за суму двох інших його плоских кутів. Доведення. Розглянемо трикутний кут SABC. Нехай найбільший із його плоских кутів є кут ASC. Тоді виконуються нерівності ASB ASC
Cлайд 4
ТРИГРАНІ КУТИ Властивість. Сума плоских кутів тригранного кута менша за 360°. Аналогічно для тригранних кутів з вершинами B і С мають місце нерівності: ABС
Cлайд 5
ВИПУКЛІ МНОГОГРАНІ КУТИ Багатогранний кут називається опуклим, якщо він є опуклою фігурою, тобто разом з будь-якими двома своїми точками цілком містить і відрізок, що з'єднує їх. На малюнку наведено приклади опуклого та невипуклого багатогранних кутів. Властивість. Сума всіх плоских кутів опуклого багатогранного кута менша за 360°. Доказ аналогічний доведенню відповідної властивості для тригранного кута.
Cлайд 6
Вертикальні багатогранні кути На рисунках наведено приклади тригранних, чотиригранних та п'ятигранних вертикальних кутів Теорема. Вертикальні кути рівні.
Cлайд 7
Вимірювання багатогранних кутів Оскільки градусна величина розгорнутого двогранного кута вимірюється градусною величиною відповідного лінійного кута і дорівнює 180о, то вважатимемо, що градусна величина всього простору, що складається з двох розгорнутих двогранних кутів, дорівнює 360о. Розмір багатогранного кута, виражена в градусах, показує яку частину простору займає даний багатокутний кут. Наприклад, тригранний кут куба займає одну восьму частину простору і, отже, його градусна величина дорівнює 360о: 8 = 45о. Тригранний кут у правильній n-вугільній призмі дорівнює половині двогранного кута при бічному ребрі. Враховуючи, що цей двогранний кут дорівнює, отримуємо, що тригранний кут призми дорівнює.
Cлайд 8
Вимірювання тригранних кутів* Виведемо формулу, що виражає величину тригранного кута через його двогранні кути. Опишемо біля вершини S тригранного кута одиничну сферу і позначимо точки перетину ребер тригранного кута з цією сферою A, B, C. Площини граней тригранного кута розбивають цю сферу на шість рівних попарно сферичних двокутників, відповідних двогранним кутам даного тригранного кута. Сферичний трикутник ABC та симетричний йому сферичний трикутник A"B"C" є перетином трьох двокутників. Тому подвоєна сума двогранних кутів дорівнює 360о плюс вчетверо величина тригранного кута, або SA + SB + SC = 180о + 2 SABC.
Cлайд 9
Вимірювання багатогранних кутів* Нехай SA1…An – опуклий n-гранний кут. Розбиваючи його на тригранні кути, проведенням діагоналей A1A3, …, A1An-1 та застосовуючи до них отриману формулу, матимемо: SA1 + … + SAn = 180о(n – 2) + 2 SA1…An. Багатогранні кути можна вимірювати і числами. Дійсно, трьомстам шістдесяти градусів всього простору відповідає число 2? Переходячи від градусів до числа в отриманій формулі, матимемо: SA1+ …+ SAn = π (n – 2) + 2 SA1…An.
Cлайд 10
Вправа 1 Чи може бути тригранний кут із плоскими кутами: а) 30°, 60°, 20°; б) 45 °, 45 °, 90 °; в) 30 °, 45 °, 60 °? Відповіді немає; б) ні; в) так.
Cлайд 11
Вправа 2 Наведіть приклади багатогранників, у яких грані, що перетинаються у вершинах, утворюють лише: а) тригранні кути; б) чотиригранні кути; в) п'ятигранні кути. Відповідь: а) Тетраедр, куб, додекаедр; б) октаедр; в) ікосаедр.
Cлайд 12
Вправа 3 Два плоскі кути тригранного кута дорівнюють 70° та 80°. У яких межах знаходиться третій плоский кут? Відповідь: 10о< < 150о.
Cлайд 13
Вправа 4 Плоскі кути тригранного кута дорівнюють 45°, 45° та 60°. Знайдіть величину кута між площинами плоских кутів 45°. Відповідь: 90о.
Cлайд 14
Вправа 5 У тригранному куті два плоскі кути рівні по 45°; двогранний кут між ними прямий. Знайдіть третій плоский кут. Відповідь: 60о.
Cлайд 15
Вправа 6 Плоскі кути тригранного кута дорівнюють 60°, 60° та 90°. На його ребрах від вершини відкладено рівні відрізки OA, OB, OC. Знайдіть двогранний кут між площиною кута 90° і площиною ABC. Відповідь: 90о.
Cлайд 16
Вправа 7 Кожен плоский кут трикутного кута дорівнює 60°. На одному з його ребер відкладений від вершини відрізок, що дорівнює 3 см, і з кінця опущений перпендикуляр на протилежну грань. Знайдіть довжину цього перпендикуляра.
Cлайд 17
Вправа 8 Знайдіть геометричне місце внутрішніх точок тригранного кута, що рівно віддалені від його граней. Відповідь: Промінь, вершиною якого є вершина тригранного кута, що лежить на лінії перетину площин, що ділять двогранні кути навпіл.
Cлайд 18
Вправа 9 Знайдіть геометричне місце внутрішніх точок тригранного кута, рівновіддалених від його ребер. Відповідь: Промінь, вершиною якого є вершина тригранного кута, що лежить на лінії перетину площин, що проходять через бісектриси плоских кутів і перпендикулярних площин цих кутів.
