Построение тригонометрических функций с помощью геометрических преобразований. Преобразования графиков тригонометрических функций с модулем. функция возрастает на промежутках

Т Е М А : Преобразования графиков тригонометрических функций с модулем.

Ц Е Л Ь : Рассмотрение получения графиков тригонометрических функций вида

y = f(|x|) ; y = | f (x )| .

Развивать математическую логику и внимание.

Х О Д У Р О К А:

Орг. момент: Объявление темы, целей и задач урока.

Учитель : Сегодня мы должны научиться строить графики функций y = sin |x|; y = cos|x|

Y = |A sin x +b| ; Y = |A cos x +b| используя наши знания о преобразованиях трансцендентных функций вида y = f(|x|) и y = |f(x)| . Вы спросите «Для чего это нужно?» Дело в том что свойства функций в этом случае изменяются, а вот как, это лучше всего прослеживается, как вы знаете, на графике.

Давайте вспомним как запишутся данные функции с использованием определения

Дети: f(|x|) =

|f(x)| =

Учитель : Итак, чтобы построить график функции у = f (|x|), если известен график функции

у = f { x ), нужно оставить на месте ту часть графика функции у = f (x ), которая

соответствует неотрицательной части области определения функции у = f (x ). Отразив эту

часть симметрично относительно оси у, получим другую часть графика, соответствующую

отрицательной части области определения.

Т. е. на графике это выглядит следующим образом: y = f (x)

(Данные графики строятся на доске. Дети в тетрадях)

Теперь исходя из этого построим график функций y = sin |x|; Y = |sin x | ; Y = |2 sin x + 2|

Рис 1. Y = sin x

Рис 2. Y = sin |x|

Теперь построим графики функций Y = |sin x | и Y = |2 sin x + 2|

Чтобы построить график функции у = \ f (x )\, если известен график функции у = f (x ), нужно оставить на месте ту его часть, где f (x ) > О, и симметрично отобразить относительно оси х другую его часть, где f (x ) < 0.

АЛГЕБРА
Уроки для 10 классов

Тема. Построение графиков тригонометрических функций

Цель урока: построение графиков функций у = sin х, у = cos x , у = tg х, у = ctg x.

Формирование умений строить графики функций: у = Asin (kx + b ), у = Acos (kx + b ), у = Atg (kx + b ), у = Actg (kx + b ).

И. Проверка домашнего задания

1. Один ученик воспроизводит решение упражнения № 24 (1-3).

2. Фронтальная беседа:

1) Назовите явления в природе, которые периодически повторяются.

2) Дайте определение периодической функции.

3) Если функция у = f (x ) имеет периодом число Т, то будет периодом этой функции число 2Т, 3T ...? Ответ обоснуйте.

4) Найдите наименьший положительный период функций:

a ) y = cos ; б) y = sin ; в) у = tg ; г) у = .

5) периодическая функция у = С? Если да, то укажите период этой функции.

II. Построение графика функции у = sin х

Для построения графика функции у = sin x воспользуемся единичным кругом. Построим единичный круг радиусом 1 см (2 клетки). Справа построим систему координат, как на рис. 57.

На ось ОХ нанесем точки ; π ; ; 2 π (соответственно 3 ячейки, 6 ячеек 9 ячеек, 12 ячеек). Разделим первую четверть единичного круга на три равные части и на столько же частей отрезок оси абсцисс. Перенесем значение синуса до соответствующих точек оси ОХ. Получим точки, которые надо соединить плавной линией. Затем разделим вторую, третью и четвертую четверть единичного круга также на три равные части и перенесем значение синуса до соответствующей точки оси ОХ. Последовательно соединив все полученные точки, получим график функции у = sin х на промежутке .

За то что функция у = sin x периодическая с периодом 2 π , то для построения графика функции у = sin x на всей прямой ОХ достаточно параллельно перенести построен график вдоль оси ОХ на 2 π , 4 π , 6 π ... единиц влево и вправо (рис. 58).

Кривая, которая является графиком функции у = sin x , называют синусоидой.

Выполнение упражнений______________________________

1. Постройте графики функций.

а) у = sin ; б) у = sin 2х; в) у = 2 sin х; г) у = sin (-x).

Ответы: а) рис. 59; б) рис. 60; в) рис. 61; г) рис. 62.

III . Построение графика функции у = cos x

Как известно, cos х = sin , поэтому у = cos x и у = sin - одинаковые функции. Для построения графика функции у = sin воспользуемся геометрич-ими преобразованиями графиков: сначала построим (рис. 63) график функции у = sin х, затем у = sin (-х) и в конце у = sin .

Выполнение упражнений________________________________

1. Постройте графики функций:

a ) y = cos ; б) y = cos ; в) y =cos х; г) у = | cos x |.

Ответ: а) рис. 64; б) рис. 65; в) рис. 66; г) рис. 67.

IV. Построение графика функции у = tg x

График функции у = tg x построим с помощью линии тангенсов на промежутке , длина которого равна периоду π этой функции. Построим единичный круг радиусом 2 см (4 ячейки) и проведем линию тангенсов. Справа построим систему координат, как на рис. 68.

На ось ОХ нанесем точки ; (6 ячеек). Разделим первую и четвертую четверть окружности на 3 равные части и на столько же частей каждый из отрезков и . Найдем значения тангенсов чисел ; ; 0; ; с помощью линии тангенсов (ординаты точек ; ; ; ; линии тангенсов). Перенесем значения тангенсов до соответствующих точек оси ОХ. Последовательно соединив все полученные точки, получим график функции у = tg x на промежутке .

За то что функция у = tg x периодическая с периодом π, для построения графика функции у = tg x на всей прямой ОХ достаточно параллельно перенести построен график вдоль оси ОХ на π , 2 π , 3 π , 4 π ... единиц влево и вправо (рис. 69).

График функции у = tg x называется тангенсоїдою.

Выполнение упражнений

1. Постройте график функций

а) у = tg 2х; б) у = t gx ; в) у = tg x + 2; г) у = tg (-x).

Ответы: а) рис. 70; б) рис. 71; в) рис. 72; г) рис. 73.

V. Построение графика функции у = ctg x

График функции у = ctg x легко получить, воспользовавшись формулой ctg x = tg и двумя геометрическими преобразованиями (рис. 74) симметрия относительно оси ΟΥ параллельный перенос вдоль оси ОХ на .

IV. Домашнее задание

Раздел И § 6. Вопросы и задания для повторения раздела И № 50-51. Упражнения № 28 (а-г).

V. Итог урока

Алгоритм построения графиков График функции y = sin (x-a) можно получить параллельным переносом графика функции y = sinx вдоль оси Ох на а единиц вправо. График функции y = sin (x+a) можно получить параллельным переносом графика функции y = sinx вдоль оси Ох на а единиц влево.

0) можно получить из графика функции y = sin x его растяжением (при 00) можно получить из графика функции y = sin x его растяжением (при 0 7 Алгоритм построения графиков График функции y = sin (Кx) (К>0) можно получить из графика функции y = sin x его растяжением (при 01 сжатием в К раз) вдоль оси Ох. 0) можно получить из графика функции y = sin x его растяжением (при 0 0) можно получить из графика функции y = sin x его растяжением (при 01 сжатием в К раз) вдоль оси Ох."> 0) можно получить из графика функции y = sin x его растяжением (при 00) можно получить из графика функции y = sin x его растяжением (при 0 title="Алгоритм построения графиков График функции y = sin (Кx) (К>0) можно получить из графика функции y = sin x его растяжением (при 0

8 Сжатие и растяжение к оси ординат Построить график функции у = sin2 х Построить график функции у = sin K > 1 сжатие 0 1 сжатие 0 1 сжатие 0 1 сжатие 0 1 сжатие 0 title="8 Сжатие и растяжение к оси ординат Построить график функции у = sin2 х Построить график функции у = sin K > 1 сжатие 0

0) можно получить из графика функции y = sin x его растяжением (при К>1 растяжением в К раз) вдоль оси Оу. График функции y = Кsin (x) (К>0) можно получить из графика функции y = sinx его с" title="Алгоритм построения графиков: График функции y = Кsin (x) (К>0) можно получить из графика функции y = sin x его растяжением (при К>1 растяжением в К раз) вдоль оси Оу. График функции y = Кsin (x) (К>0) можно получить из графика функции y = sinx его с" class="link_thumb"> 9 Алгоритм построения графиков: График функции y = Кsin (x) (К>0) можно получить из графика функции y = sin x его растяжением (при К>1 растяжением в К раз) вдоль оси Оу. График функции y = Кsin (x) (К>0) можно получить из графика функции y = sinx его сжатием (при 01 растяжением в К раз) вдоль оси Оу. График функции y = Кsin (x) (К>0) можно получить из графика функции y = sinx его с"> 0) можно получить из графика функции y = sin x его растяжением (при К>1 растяжением в К раз) вдоль оси Оу. График функции y = Кsin (x) (К>0) можно получить из графика функции y = sinx его сжатием (при 01 растяжением в К раз) вдоль оси Оу. График функции y = Кsin (x) (К>0) можно получить из графика функции y = sinx его с" title="Алгоритм построения графиков: График функции y = Кsin (x) (К>0) можно получить из графика функции y = sin x его растяжением (при К>1 растяжением в К раз) вдоль оси Оу. График функции y = Кsin (x) (К>0) можно получить из графика функции y = sinx его с"> title="Алгоритм построения графиков: График функции y = Кsin (x) (К>0) можно получить из графика функции y = sin x его растяжением (при К>1 растяжением в К раз) вдоль оси Оу. График функции y = Кsin (x) (К>0) можно получить из графика функции y = sinx его с">

1 растяжение 0 1 растяжение 0 10 10 Сжатие и растяжение к оси абсцисс K > 1 растяжение 0 1 растяжение 0 1 растяжение 0 1 растяжение 0 1 растяжение 0 title="10 Сжатие и растяжение к оси абсцисс K > 1 растяжение 0

13 Сдвиг вдоль оси ординат Построить график функции у=sins+3 Построить график функции у=sins-3 + вверх - вниз y = sinx y = sinx + 3 y = sinx y = sinx Преобразование графика

X y 1 -2 Проверка: y 1 = sinx; у 2 = sinx + 2; у 3 = sinx

Построение графиков тригонометрических функций в 11классе

Учитель математики первой квалификационной категории МАОУ «Гимназия №37» г.Казань

Спиридонова Л.В.

Тригонометрические функции числового аргумента
y=sin(x)+m и y=cos(x)+m
Построение графиков функций вида y=sin(x+t) и y=cos(x+t)
Построение графиков функций вида y=A · sin(x) и y=A · cos(x)
Примеры

Тригонометрические функции числового аргумента.

y=sin(x)

y=cos(x)

Построение графика функции y = sin x .

Свойства функции у = sin ( x ) .

всех действительных чисел ( R )

2. Областью изменений (Областью значений) ,E(y)= [ - 1; 1 ] .

3. Функция у = sin ( x) нечетная, т.к. sin (- x ) = - sin x

π .

sin (x + 2 π ) = sin(x).

5. Функция непрерывная

Убывает: [ π /2; 3 π /2 ] .

6. Возрастает: [ - π /2; π /2 ] .

Построение графика функции y = cos x .

График функции у = cos x получается переносом

графика функции у = sin x влево на π /2.

Свойства функции у = со s ( x ) .

1. Областью определения функции является множество

всех действительных чисел ( R )

2. Областью изменений (Областью значений),Е(у)= [ - 1; 1 ] .

3. Функция у = cos (х) четная, т.к. cos (- х ) = cos (х)

Функция периодическая, с главным периодом 2 π .

cos ( х + 2 π ) = cos (х) .

5. Функция непрерывная

Убывает: [ 0 ; π ] .

6. Возрастает: [ π ; 2 π ] .

Построение

графиков функций вида

у = sin ( x ) + m

у = cos (х) + m.

0 , или вниз, если m ." width="640"

Параллельный перенос графика вдоль оси Оу

График функции y=f(x) + m получается параллельным переносом графика функции y=f(x) , вверх на m единиц, если m 0 ,

или вниз, если m .

0 y m 1 x" width="640"

Преобразование: y= sin ( x ) +m

Сдвиг у= sin ( x ) по оси y вверх, если m 0

0 y m 1 x" width="640"

Преобразование: y= cos ( x ) +m

Сдвиг у= cos ( x ) по оси y вверх , если m 0

Преобразование: y=sin ( x ) +m

Сдвиг у= sin ( x ) по оси y вниз, если m 0

Преобразование: y= cos ( x ) + m

Сдвиг у= cos ( x ) по оси y вниз, если m 0

Построение

графиков функций вида

у = sin ( x + t )

у = cos ( х + t )

0 и вправо, если t 0." width="640"

Параллельный перенос графика вдоль оси Ох

График функции y = f(x + t) получается параллельным переносом графика функции y=f(x) по оси х на |t| единиц масштаба влево, если t 0

и вправо , если t 0.

0 y 1 x t" width="640"

Преобразование: y = sin(x + t)

сдвиг у= f(x) по оси х влево, если t 0

0 y 1 x t" width="640"

Преобразование: y= cos(x + t)

сдвиг у= f(x) по оси х влево, если t 0

Преобразование: y= sin(x + t)

сдвиг у= f(x) по оси х вправо, если t 0

Преобразование: y= cos(x + t)

сдвиг у= f(x) по оси х вправо, если t 0

1 и 0 а 1" width="640"

Построение графиков функций вида у = А · sin ( x ) и y = А · cos ( x ) , при а 1 и 0 а 1

1 и сжатием к оси Ох с коэффициентом 0 А." width="640"

Сжатие и растяжение вдоль оси Ох

График функции у=А · f(x ) получаем растяжением графика функции у= f(x) с коэффициентом А вдоль оси Ох,если А 1 и сжатием к оси Ох с коэффициентом 0 А .

1 пусть а=1,5 y 1 x -1" width="640"

Преобразование: y = a·sin ( x ), a 1

пусть а=1,5

1 пусть а=1,5 y 1 x" width="640"

Преобразование: y = a · cos ( x ), a 1

пусть а=1,5

Преобразование: y = a·sin ( x ) , 0

пусть а=0,5

Преобразование: y = a·cos ( x ), 0

пусть а=0,5



sin (

y=sin(x) → y=sin(x- π )

sin (



sin (

- 1

y=cos(x) → y=cos(2x) → y= - cos(2x) → y= - cos(2x)+3

sin

- 1

y=sin(x) → y=sin(x/3) → y=sin(x/3)-2

- 1

y=sin(x) → y=2sin(x) → y=2sin(x)-1



 

cos

cos x + 2

cos x

- 1

y= cos(x) → y=1/2 cos(x) → y=-1/2 cos(x) → y=-1/2 cos(x) +2

- 1

y=cos (x) → y=cos(2x) → y= - cos(2x) →

Конспект урока алгебры и начала анализав 10 классе

по теме: «Преобразование графиков тригонометрических функций»

Цель урока: систематизировать знания по теме «Свойства и графики тригонометрических функций у=sin (x ), у=cos (x )».

Задачи урока:

повторить свойства тригонометрических функций у=sin (x ), у=cos (x );
повторить формулы приведения;
преобразование графиков тригонометрических функций;
развивать внимание, память, логическое мышление; активизировать мыслительную деятельность, умение анализировать, обобщать и рассуждать;
воспитание трудолюбия, усердия в достижении цели, интерес к предмету.

Оборудование урока:икт

Тип урока: изучение нового

Ход урока

Перед уроком 2 ученика на доске строят графики из домашнего задания.

Организационный момент:

Здравствуйте, ребята!

Сегодня на уроке мы будем преобразовывать графики тригонометрических функций у=sin (x ), у=cos (x ).

Устная работа:

Проверка домашнего задания.

разгадывание ребусов.

Изучение нового материала

Все преобразования графиков функций являются универсальными - они пригодны для всех функций, в том числе и тригонометрических. Здесь же ограничимся кратким напоминанием основных преобразований графиков.

Преобразование графиков функций.

Дана функция у = f (x ). Все графики начинаем строить с графика этой функции, затем производим с ним действия.

Функция

Что делать с графиком

y = f(x) + a

Все точки первого графика поднимаем на а единиц вверх.

y = f(x) – a

Все точки первого графика опускаем на а единиц вниз.

y = f(x + a)

Все точки первого графика сдвигаем на а единиц влево.

y = f (x – a)

Все точки первого графика сдвигаем на а единиц вправо.

y = a*f (x),a>1

Закрепляем нули на месте, верхние точки сдвигаем выше в а раз, нижние – опускаем ниже в а раз.

График «вытянется» вверх и вниз, нули остаются на месте.

y = a*f(x), a<1

Закрепляем нули, верхние точки опустятся вниз в а раз, нижние – поднимутся в а раз. График «сожмётся» к оси абсцисс.

y = -f (x )

Зеркально отобразить первый график относительно оси абсцисс.

y = f (ax ), a <1

Закрепить точку на оси ординат. Каждый отрезок на оси абсцисс увеличить в а раз. График растянется от оси ординат в разные стороны.

y = f (ax ), a >1

Закрепить точку на оси ординат, каждый отрезок на оси абсцисс уменьшить в а раз. График «сожмётся» к оси ординат с обеих сторон.

у = | f(x)|

Части графика, расположенные под осью абсцисс зеркально отобразить. Весь график будет расположен в верхней полуплоскости.

Схемы решения.

1)y = sin x + 2.

Строим график у = sin x . Каждую точку графика поднимаем вверх на 2 единицы (нули тоже).

2)y = cos x – 3.

Строим график y = cos x . Каждую точку графика опускаем вниз на 3 единицы.

3)y = cos (x - /2)

Строим график y = cos x . Все точки сдвигаем на п/2 вправо.

4)у = 2 sin x .

Строим график у = sin x . Нули оставляем на месте, верхние точки поднимаем в 2 раза, нижние опускаем на столько же.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА Построение графиков тригонометрических функций с помощью программы Advanced Grapher.

Построим график функции у = -cos 3x + 2.

Построим график функции у = cos x .
Отразим его относительно оси абсцисс.
Этот график надо сжать в три раза вдоль оси абсцисс.
Наконец, такой график надо поднять вверх на три единицы вдоль оси ординат.

y = 0,5 sin x.

y = 0,2cos x-2

у = 5cos 0,5 x

y= -3sin(x+π).

2) Найди ошибку и исправь её.

V. Исторический материал. Сообщение об Эйлере.

Леонард Эйлер – крупнейший математик 18-го столетия. Родился в Швейцарии. Долгие годы жил и работал в России, член Петербургской академии.

Почему же мы должны знать и помнить имя этого ученого?

К началу 18 века тригонометрия была еще недостаточно разработана: не было условных обозначений, формулы записывались словами, усваивать их было трудно, неясным был и вопрос о знаках тригонометрических функций в разных четвертях круга, под аргументом тригонометрической функции понимали только углы или дуги. Только в трудах Эйлера тригонометрия получила современный вид. Именно он стал рассматривать тригонометрическую функцию числа, т.е. под аргументом стали понимать не только дуги или градусы, но и числа. Эйлер вывел все тригонометрические формулы из нескольких основных, упорядочил вопрос о знаках тригонометрической функции в разных четвертях круга. Для обозначения тригонометрических функций он ввел символику: sin x, cos x, tg x, ctg x.

На пороге 18-го века в развитии тригонометрии появилось новое направление – аналитическое. Если до этого главной целью тригонометрии считалось решение треугольников, то Эйлер рассматривал тригонометрию как науку о тригонометрических функциях. Первая часть: учение о функции – часть общего учения о функциях, которое изучается в математическом анализе. Вторая часть: решение треугольников – глава геометрии. Такие вот нововведения были сделаны Эйлером.

VI. Повторение

Самостоятельная работа “Допиши формулу”.

VII. Итоги урока:

1) Что нового вы узнали сегодня на уроке?

2) Что еще вы хотите узнать?

3) Выставление оценок.

АЛГЕБРА Уроки для 10 классов

АЛГЕБРА
Уроки для 10 классов