Primjeri diferencijalne jednadžbe Ojlerove metode 1. reda. Rješavanje običnih diferencijalnih jednadžbi. Rješenje homogene Eulerove jednadžbe

Geometrijski modeli se klasifikuju na predmetne, računarske i kognitivne. Među geometrijski modeli možemo razlikovati ravne i volumetrijske modele. Predmetni modeli su usko povezani sa vizuelnim posmatranjem. Informacije dobivene iz predmetnih modela uključuju informacije o obliku i veličini objekta, te njegovoj lokaciji u odnosu na druge. Crteži mašina, tehničkih uređaja i njihovih delova izvode se u skladu sa nizom simbola, posebnim pravilima i određenom skalom. Crteži mogu biti montažni, opšti izgled, montažni, tabelarni, dimenzionalni, spoljašnji, operativni itd. Crteži se razlikuju i po granama proizvodnje: mašinstvo, instrumentarstvo, građevinarstvo, rudarsko-geološka, topografska itd. Nacrti zemljine površine zovu se karte. Crteži se razlikuju po slikovnoj metodi: ortogonalni crtež, aksonometrija, perspektiva, projekcije sa numeričkim oznakama, afine projekcije, stereografske projekcije, filmska perspektiva itd. Predmetni modeli uključuju crteže, karte, fotografije, rasporede, televizijske slike itd. Predmetni modeli su usko povezani sa vizuelnim posmatranjem. Među objektnim geometrijskim modelima mogu se razlikovati ravni i trodimenzionalni modeli. Modeli objekata značajno se razlikuju po načinu izvođenja: crteži, crteži, slike, fotografije, filmovi, radiografije, rasporedi, modeli, skulpture itd. U zavisnosti od faze projektovanja, crteži se dele na crteže tehničkog predloga, idejne i tehničke projekte i radne nacrte. Crteži se također razlikuju na originale, originale i kopije.

Grafičke konstrukcije se mogu koristiti za dobijanje numeričkih rješenja za različite probleme. Grafički, možete izvoditi algebarske operacije (sabiranje, oduzimanje, množenje, dijeljenje), razlikovati, integrirati i rješavati jednačine. Prilikom izračunavanja algebarskih izraza, brojevi su predstavljeni usmjerenim segmentima. Da bi se pronašla razlika ili zbir brojeva, odgovarajući segmenti se crtaju na pravoj liniji. Množenje i dijeljenje se izvode konstruiranjem proporcionalnih segmenata, koji su na stranama ugla odsječeni ravnim paralelnim linijama. Kombinacija množenja i sabiranja omogućava vam da izračunate sume proizvoda i ponderiranih prosjeka. Grafičko podizanje na cijeli broj se sastoji od sekvencijalnog ponavljanja množenja. Grafičko rješenje jednadžbi je vrijednost apscise presječne točke krivih. Grafički, možete izračunati određeni integral, izgraditi graf derivacije, tj. diferencirati i integrirati, te rješavati jednačine. Geometrijski modeli za grafičke proračune moraju se razlikovati od nomograma i računskih geometrijskih modela (CGM). Grafički proračuni svaki put zahtijevaju niz konstrukcija. Nomogrami i RGM-ovi su geometrijske slike funkcionalnih ovisnosti i ne zahtijevaju nove konstrukcije da bi se pronašle numeričke vrijednosti. Nomogrami i RGM se koriste za proračune i proučavanje funkcionalnih zavisnosti. Proračuni na RGM-u i nomogramima se zamjenjuju čitanjem odgovora pomoću elementarnih operacija navedenih u ključu nomograma. Glavni elementi nomograma su skale i binarna polja. Nomogrami se dijele na elementarne i kompozitne nomograme. Nomogrami se također razlikuju po operaciji u ključu. Osnovna razlika između RGM i nomograma je u tome što se za konstruisanje RGM koriste geometrijske metode, a za konstruisanje nomograma analitičke metode. Nomografija je prijelaz sa analitičke mašine na geometrijsku mašinu.

Kognitivni modeli uključuju funkcionalne grafove, dijagrame i grafove. Grafički model zavisnosti jedne varijable od druge naziva se graf funkcija. Grafovi funkcija mogu se konstruirati iz datog njegovog dijela ili iz grafa druge funkcije koristeći geometrijske transformacije. Grafička slika, koji jasno pokazuje odnos bilo koje veličine, je dijagram. Trakasti grafikon, koji je skup susjednih pravokutnika izgrađenih na jednoj pravoj liniji i koji predstavlja distribuciju bilo koje količine prema kvantitativnoj karakteristici, naziva se histogram. Geometrijski modeli koji prikazuju odnose između elemenata skupa nazivaju se grafovi. Grafovi su modeli reda i načina djelovanja. Na ovim modelima nema udaljenosti, uglova, nije bitno da li su tačke povezane pravom linijom ili krivom. U grafovima se razlikuju samo vrhovi, ivice i lukovi. Grafovi su prvo korišteni za rješavanje zagonetki. Trenutno se grafovi efikasno koriste u teoriji planiranja i upravljanja, teoriji rasporeda, sociologiji, biologiji, u rješavanju vjerovatnost i kombinatorni problemi i tako dalje.

Teorijski geometrijski modeli su od posebnog značaja. U analitičkoj geometriji, geometrijske slike se proučavaju pomoću algebre zasnovane na koordinatnoj metodi. U projektivnoj geometriji proučavaju se projektivne transformacije i nepromjenjiva svojstva figura neovisnih o njima. U deskriptivnoj geometriji proučavaju se prostorne figure i metode za rješavanje prostornih problema konstruiranjem njihovih slika na ravni. Svojstva ravnih figura razmatraju se u planimetriji, a svojstva prostornih figura u stereometriji. Sferna trigonometrija proučava odnose između uglova i stranica sfernih trouglova. Teorija fotogrametrije i stereo- i fotogrametrije omogućava određivanje oblika, veličina i položaja objekata iz njihovih fotografskih slika u vojnom poslovanju, svemirskim istraživanjima, geodeziji i kartografiji. Moderna topologija proučava neprekidna svojstva figura i njihove relativne pozicije. Fraktalna geometrija (u nauku je 1975. godine uveo B. Mandelbrot), koja proučava opšti obrasci procesi i strukture u prirodi, zahvaljujući savremenoj kompjuterskoj tehnologiji, postala je jedno od najplodonosnijih i najdivnijih otkrića u matematici. Fraktali bi bili još popularniji da su bazirani na dostignućima moderna teorija deskriptivna geometrija.

Problemi klasične deskriptivne geometrije mogu se podijeliti na pozicione, metričke i konstruktivne probleme.

U tehničkim disciplinama koriste se statički geometrijski modeli koji pomažu u formiranju ideja o određenim objektima, njihovim dizajnerskim karakteristikama i njihovim sastavnim elementima, te dinamički ili funkcionalni geometrijski modeli koji omogućavaju demonstriranje kinematike, funkcionalnih veza ili tehničko-tehnoloških procesa. . Vrlo često geometrijski modeli omogućavaju praćenje toka pojava koje nisu podložne uobičajenom promatranju i koje se mogu predstaviti na osnovu postojećeg znanja. Slike vam omogućavaju ne samo da predstavite strukturu određenih strojeva, instrumenata i opreme, već istovremeno okarakterizirate njihove tehnološke karakteristike i funkcionalne parametre.

Crteži pružaju ne samo geometrijske informacije o obliku dijelova sklopa. Razumije princip rada jedinice, kretanje dijelova jedan u odnosu na drugi, transformaciju kretanja, pojavu sila, naprezanja, pretvaranje energije u mehanički rad itd. Na tehničkom univerzitetu crtanje i dijagrami se odvijaju u svim općim tehničkim i specijalnim disciplinama koje se izučavaju ( teorijska mehanika, čvrstoće materijala, konstrukcijskih materijala, elektromehanike, hidraulike, tehnologije mašinstva, alatnih mašina i alata, teorije mašina i mehanizama, mašinskih delova, mašina i opreme itd.). Za prenošenje različitih informacija, crteži se dopunjuju raznim znakovima i simbolima, a za njihovo verbalno opisivanje koriste se novi koncepti, čije se formiranje temelji na temeljnim pojmovima fizike, kemije i matematike.

Posebno je zanimljiva upotreba geometrijskih modela za povlačenje analogija između geometrijskih zakona i stvarni objekti analizirati suštinu fenomena i vrednovati teorijske i praktični značaj matematičko rezonovanje i analiza suštine matematičkog formalizma. Napomenimo da su opšteprihvaćena sredstva prenošenja stečenog iskustva, znanja i percepcije (govor, pisanje, slikanje itd.) očigledno homomorfni model projekcije stvarnosti. Koncepti projekcijskog šematizma i operacije projektovanja odnose se na deskriptivnu geometriju i imaju svoju generalizaciju u teoriji geometrijskog modeliranja. Geometrijski modeli projekcije dobijeni kao rezultat operacije projekcije mogu biti savršeni, nesavršeni (različiti stepen nesavršenosti) i kolabirani. Sa geometrijske tačke gledišta, svaki objekat može imati mnogo projekcija, koje se razlikuju kako po položaju središta dizajna i slike, tako i po svojoj dimenziji, tj. stvarne pojave priroda i društveni odnosi dopuštaju različite opise, koji se međusobno razlikuju po stepenu pouzdanosti i savršenstva. osnovu naučno istraživanje a izvor svake naučne teorije je posmatranje i eksperiment, koji uvek ima za cilj da identifikuje neki obrazac. Sve ove okolnosti poslužile su kao osnova za korištenje analogija između razne vrste projekcijski geometrijski modeli dobijeni homomorfnim modeliranjem i modeli koji nastaju kao rezultat istraživanja.

Geometrijski model-
ideja spoljašnjih znakova
pravi objekat.
Geometrijski kompjuter
model - reprezentacija
informacioni model sa
korišćenjem kompjuterskih alata
grafika.

Geometrijsko modeliranje se dijeli na:

o
o
o
dizajn okvira - geometrijski
model je napravljen od ograničenog seta
grafički primitivi (segmenti, lukovi,
konusne krive).
površine - modeliranje
varijeteti drugog reda (sfere,
cilindri, konusi, itd.).
volumetrijska tijela - glavni objekt
modeliranje je trodimenzionalno
volumetrijsko tijelo.

Vrste i svojstva modela

o
Linije mogu opisati pojedinca geometrijska svojstva predmeti, prisutni
karakteristične karakteristike objekata. Mogu biti prostorne ili dvodimenzionalne. Curves
linije služe kao građevinski materijal za stvaranje površina i tijela.
o
Površine, kao i linije, su matematičke apstrakcije koje daju
ideja o pojedinačnim svojstvima objekata, a služe kao građevinski materijal
da stvaraju tela.
o
Skup površina koje se spajaju duž granica naziva se školjka. Za
modeliranjem, potrebno je opisati skup površina koje razdvajaju unutrašnji volumen
objekta iz ostatka prostora.
o
Za geometrijsko modeliranje objekata koji zauzimaju konačan volumen, u
Matematika koristi objekte koji se nazivaju kruta tijela ili jednostavno tijela. At
Prilikom modeliranja tijela grade se površine koje odvajaju dio koji zauzimaju
prostor od ostatka prostora.

2D grafički modeli

Raster
Vector
Trodimenzionalno
Fraktal

Rasterski model

Prednosti
Nedostaci
jednostavnost digitalizacije (skeniranje ili strogo fiksna količina
fotografisanje sa moguc
piksela u rasteru.
naknadno skeniranje
štampa (slajd).
mogućnost vrlo fino
podešavanja slike
smetnje
Jednostavan postupak konverzije
nedostatak unutrašnje strukture,
model piksela u sliku sa odgovarajućom strukturom
prikazati ili odštampati
prikazani objekti
veliki kapacitet memorije i dugotrajan
vrijeme obrade

Vektorski model

Prednosti
Nedostaci
Zauzeta je prilično mala količina prostora
memorija
Uključivanje u vektorski model
više vrsta objekata otežava
proučavanje njegove strukture
Vektorska slika može biti
strukturiran sa proizvoljnim
stepen detalja
Konstrukcija vektorskog modela
slika predstavlja
težak zadatak
automatizacija
Vektorski model objekata
slike lako
transformišu se, njihova
skaliranje ne povlači za sobom
nema izobličenja ili gubitka slike
vizuelne informacije
Model vektorske slike nije
daje korisniku alate
odgovara tradicionalnom
tehnika slikanja
U vektorskom modelu, tekst,
izgleda kao posebna kategorija
objekata

proces evolucije
vektorski programi
grafika najbrža
kreće tačno unutra
smjeru povećanja
realizam
vektorske slike,
i nove objekte
vektorski model
(ispune mreže, sjene,
gradijent
transparentnost) u
u velikoj mjeri
proširiti
vizuelne mogućnosti vektora

Modeli za predstavljanje informacija o trodimenzionalnim objektima

Poligonalno
(mreža)
Voxel
Funkcionalni

Poligonalni (mrežasti) modeli

Prednosti
Nedostaci
ne odgovara slici, već obliku
predmeta i nosi više
informacije o njima od bilo kojeg modela
2D grafika
algoritmi vizualizacije i izvršavanja
topološke operacije (npr.
konstrukcije sekcija) su prilično složene
omogućava automatsko rješavanje niza problema pri konstruiranju složenih modela
zadatak konstruisanja iluzije perspektive, aspekti rastu sa zadivljujućim
sjene i svjetla u različitim brzinama osvjetljenja, što ne samo da čini
mrežasti model nije previše kompaktan,
ali i zahteva kolosalno
računarske snage
model omogućava da se
izgraditi uz minimalne troškove rada
slika simulirane scene u
iz bilo kog ugla
aproksimacija ravnim licima
dovodi do značajne greške,
posebno pri modeliranju kompleksa
površine
vektor u prirodi,
zadržava mnoge inherentne prednosti
model vektorske slike
povećani zahtjevi za korisnika,
što implicira da ima razvijenu
prostorna imaginacija

Voxel model

VOXEL MODEL
Prednosti
Nedostaci
mogućnost predstavljanja
unutrašnjost objekta, i to ne samo
vanjski sloj
puno informacija,
neophodna za prezentaciju
volumetrijske podatke
jednostavna procedura mapiranja
volumetrijske scene
značajni troškovi memorije,
ograničavajući permisivno
sposobnost, tačnost modeliranja
lako izvođenje topoloških
operacije (na primjer, za prikaz
dio prostornog tijela,
dovoljno voksela da se napravi
transparentan)
problemi sa uvećanjem ili
smanjenje slike; na primjer, sa
povećanje rezolucije se pogoršava
sposobnost slike

Funkcionalni modeli

Prednosti funkcionalnih modela

jednostavan postupak izračunavanja
koordinate svake tačke;
mala zapremina
informacije za
opisi složenih oblika;
mogućnost izgradnje
na površini
skalarni podaci bez
preliminarni
triangulacija.
Šuhov toranj - primjer upotrebe
hiperboloid revolucije

Geometrijska parametrizacija se zove
parametarsko modeliranje, u kojem
geometrija svakog parametarskog objekta
preračunato u zavisnosti od pozicije
roditeljski objekti, njegovi parametri i
varijable.

Geometrijska parametrizacija

o
o
Dobra je ideja promijeniti jednu ili više njih
parametre i vidjeti kako će se ponašati kada
to je ceo model.
Konstruktor, u slučaju parametarskog
dizajna, kreira matematički model
objekti sa parametrima koji, kada se promijene,
postoje promjene u konfiguraciji dijela,
međusobna kretanja delova u sklopu, itd.

Geometrijske operacije na modelima

Preko čvrstih tela, kao i preko drugih geometrijskih
objekata, možete izvoditi operacije –
skup radnji na jednom ili više
izvorna tijela, što dovodi do rađanja
novo tijelo. Jedna od glavnih operacija za
dva tijela su Bulove operacije.
o Booleove operacije su operacije
sjedinjenje, presek i oduzimanje tela, tj
kako izvode operacije istog imena na
unutrašnji volumeni tijela (preko skupova
tačke u prostoru koje se nalaze unutar tela).

Sindikalna operacija

o Rezultat operacije spajanja dva tijela je tijelo
koji sadrži tačke koje pripadaju unutrašnjoj
zapremine i prvog i drugog tela.
o suština operacije: potrebno je pronaći linije presjeka lica tijela,
uklonite onaj dio prvog tijela koji je ušao u drugo
tijelo i onaj dio drugog tijela koji je ušao unutar prvog
tijela, a od svega ostalog da se izgradi novo tijelo.
Dva izvorna tijela
Spajanje tijela

Rad raskrsnice

o Rezultat operacije preseka dva tela je telo
koji sadrži tačke koje pripadaju unutrašnjem volumenu
i prvo i drugo tijelo.
o Suština rada tijela koja se seku: potrebno je pronaći prave
presek tela, uklonite onaj deo prvog tela koji to nije
ušao u drugi, a onaj dio drugog tijela koji nije bio
ušao u prvu, a od svega ostalog da sagradi novu
tijelo.
Dva izvorna tijela
Ukrštanje tijela

Operacija oduzimanja

o Rezultat operacije oduzimanja dva tijela je tijelo koje
sadrži tačke koje pripadaju unutrašnjem volumenu prvog, ali ne
pripada unutrašnjoj zapremini drugog tela.
o Suština operacije oduzimanja tijela: potrebno je pronaći linije presjeka tijela,
uklonite onaj dio prvog tijela koji je ušao u drugo i taj dio
drugo tijelo, koje nije ušlo u prvo, već iz svega ostalog
izgraditi novo tijelo. Rezultat operacije zavisi od vrste tela
oduzeto.
Dva izvorna tijela
Razlika u tijelu

Podsistemi grafičkog i geometrijskog modeliranja (GGM) zauzimaju centralno mjesto u CAPP-u. Dizajn proizvoda u njima se u pravilu provodi interaktivno kada se radi s geometrijskim modelima, tj. matematički objekti koji prikazuju oblik proizvoda, sastav montažnih jedinica i eventualno neke dodatne parametre (težinu, boje površine itd.).

U GGM podsistemima, tipičan put obrade podataka uključuje dobijanje dizajnerskog rješenja u aplikacijskom programu, njegovu prezentaciju u obliku geometrijskog modela (geometrijsko modeliranje), pripremu projektnog rješenja za vizualizaciju, samu vizualizaciju pomoću PC-a, ako je potrebno, prilagođavanje rješenje interaktivno.

Posljednje dvije operacije su implementirane na bazi GGM računarskih alata. Kada se govori o matematičkoj podršci GGM-a, prije svega se misli na modele, metode i algoritme za geometrijsko modeliranje i pripremu za vizualizaciju.

Postoji dvodimenzionalni (2D) i trodimenzionalni (3D) GGM softver.

Glavne primjene 2D GGM-a su priprema crtežne dokumentacije u SAPP-u, topološki dizajn štampanih ploča i LSI čipova u CAPP-u za elektronsku industriju.

U procesu 3D modeliranja nastaju geometrijski modeli, tj. modeli koji odražavaju geometrijska svojstva proizvoda. Postoje geometrijski modeli: okvir (žica), površinski, volumetrijski (čvrsti).

Model okvira predstavlja oblik proizvoda u obliku konačnog skupa linija koje leže na površinama proizvoda. Za svaku liniju poznate su koordinate krajnjih tačaka i naznačena je njihova incidenca s rubovima ili površinama. Nezgodno je raditi sa modelom okvira u daljim CAPP operacijama, te se stoga modeli okvira trenutno rijetko koriste.

Model površine prikazuje oblik proizvoda specificirajući njegove granične površine, na primjer, u obliku skupa podataka o licima, rubovima i vrhovima.

Posebno mjesto zauzimaju modeli proizvoda s površinama složenog oblika, tzv skulpturalne površine. Takvi proizvodi uključuju, na primjer, kućišta za mikro krugove, računare, radne stanice) itd.

Volumetrijski modeli razlikuju se po tome što eksplicitno sadrže informacije o pripadnosti elemenata unutrašnjem ili vanjskom prostoru u odnosu na proizvod.

Razmatrani modeli prikazuju tijela zatvorenih volumena, a to su tzv. Neki sistemi geometrijskog modeliranja omogućavaju rad sa različitim modelima ( nonmanifold), čiji primjeri mogu biti modeli tijela koja se dodiruju u jednoj tački ili duž prave linije. Mali modeli su prikladni u procesu projektiranja, kada je u srednjim fazama korisno raditi istovremeno s trodimenzionalnim i dvodimenzionalnim modelima, bez navođenja debljine zidova konstrukcije itd.

Sistematizacija geometrijskih modela

Matematičari i fizičari, inženjeri i dizajneri, naučnici i radnici, doktori i umjetnici, astronauti i fotografi moraju se baviti geometrijskim modelima. Međutim, još uvijek nema sistematskih smjernica o geometrijskim modelima i njihovoj primjeni. To se prvenstveno objašnjava činjenicom da je raspon geometrijskih modela preširok i raznolik.

Geometrijski modeli mogu biti oličenje plana dizajnera i služiti za kreiranje novog objekta. Obrnuta shema se također javlja kada je model napravljen od objekta, na primjer, tokom restauracije ili popravke.

Geometrijski modeli se dijele na predmetne (crteži, karte, fotografije, rasporedi, televizijske slike itd.), računske i kognitivne. Predmetni modeli su usko povezani sa vizuelnim posmatranjem. Informacije dobivene iz predmetnih modela uključuju informacije o obliku i veličini objekta, te njegovoj lokaciji u odnosu na druge.

Crteži mašina, konstrukcija, tehničkih uređaja i njihovih delova izvode se u skladu sa nizom simbola, posebnim pravilima i određenom skalom. Postoje nacrti dijelova, sklop, opći pogled, montažni, tabelarni, dimenzionalni, vanjski pogledi, operativni itd. U zavisnosti od faze projektovanja, crteži se dele na crteže tehničkog predloga, idejne i tehničke projekte i radne nacrte. Crteži se razlikuju i po granama proizvodnje: mašinstvo, instrumentarstvo, građevinarstvo, rudarsko-geološka, topografska itd. Crteži zemljine površine nazivaju se mapama. Crteži se razlikuju po načinu prikaza: ortogonalni crtež, aksonometrija, perspektiva, numeričke oznake, afine projekcije, stereografske projekcije, filmska perspektiva itd.

Geometrijski modeli se značajno razlikuju po načinu izvođenja: originalni crteži, originali, kopije, crteži, slike, fotografije, filmovi, radiografije, kardiogrami, rasporedi, modeli, skulpture itd. Među geometrijskim modelima razlikujemo ravne i volumetrijske.

Grafičke konstrukcije se mogu koristiti za dobijanje numeričkih rješenja za različite probleme. Prilikom izračunavanja algebarskih izraza, brojevi su predstavljeni usmjerenim segmentima. Da bi se pronašla razlika ili zbir brojeva, odgovarajući segmenti se crtaju na pravoj liniji. Množenje i dijeljenje se izvode konstruiranjem proporcionalnih segmenata, koji su na stranama ugla odsječeni paralelnim pravim linijama. Kombinacija množenja i sabiranja omogućava vam da izračunate sume proizvoda i ponderiranih prosjeka. Grafičko podizanje na cijeli broj se sastoji od sekvencijalnog ponavljanja množenja. Grafičko rješenje jednadžbi je vrijednost apscise presječne točke krivih. Grafički, možete izračunati određeni integral, izgraditi graf derivacije, tj. diferencirati i integrirati diferencijalne jednadžbe. Geometrijski modeli za grafičke proračune moraju se razlikovati od nomograma i računskih geometrijskih modela (CGM). Grafički proračuni svaki put zahtijevaju niz konstrukcija. Nomogrami i RGM-ovi su geometrijske slike funkcionalnih ovisnosti i ne zahtijevaju nove konstrukcije da bi se pronašle numeričke vrijednosti. Nomogrami i RGM se koriste za proračune i proučavanje funkcionalnih zavisnosti. Proračuni na RGM-u i nomogramima se zamjenjuju čitanjem odgovora pomoću elementarnih operacija navedenih u ključu nomograma. Glavni elementi nomograma su skale i binarna polja. Nomogrami se dijele na elementarne i kompozitne. Nomogrami se također razlikuju po operaciji u ključu. Osnovna razlika između RGM i nomograma je u tome što se za konstruisanje RGM koriste geometrijske metode, a za konstruisanje nomograma analitičke metode.

Geometrijski modeli koji prikazuju odnose između elemenata skupa nazivaju se grafovi. Grafovi su modeli reda i načina djelovanja. Na ovim modelima nema udaljenosti, uglova, nije bitno da li su tačke povezane pravom ili krivom linijom. U grafovima se razlikuju samo vrhovi, ivice i lukovi. Grafovi su prvi put korišteni u rješavanju zagonetki. Trenutno se grafovi efikasno koriste u teoriji planiranja i upravljanja, teoriji rasporeda, sociologiji, biologiji, elektronici, u rješavanju probabilističkih i kombinatornih problema itd.

Grafički model funkcionalne zavisnosti naziva se graf. Grafovi funkcija mogu se konstruirati iz datog njegovog dijela ili iz grafa druge funkcije koristeći geometrijske transformacije.

Grafička slika koja jasno pokazuje odnos bilo koje veličine je dijagram. Na primjer, dijagram stanja (fazni dijagram) grafički prikazuje odnos između parametara stanja termodinamičkog ravnotežnog sistema. Trakasti grafikon, koji je skup susjednih pravokutnika izgrađenih na jednoj pravoj liniji i koji predstavlja distribuciju bilo koje količine prema kvantitativnoj karakteristici, naziva se histogram.

Geometrijsko modeliranje

Vektorska i rasterska grafika.

Postoje dvije vrste grafike - vektorska i rasterska. Glavna razlika je princip skladištenja slika. Vektorska grafika opisuje sliku koristeći matematičke formule. Glavna prednost vektorske grafike je da kada se promijeni skala slike, ona ne gubi na kvalitetu. Ovo dovodi do još jedne prednosti - prilikom promjene veličine slike, veličina datoteke se ne mijenja. Rasterska grafika je pravokutna matrica koja se sastoji od mnogo vrlo malih nedjeljivih tačaka (piksela).

Rasterska slika se može uporediti sa dječijim mozaikom, kada je slika sastavljena od obojenih kvadrata. Računar pamti boje svih kvadrata u nizu određenim redoslijedom. Stoga, bitmap slike zahtijevaju više memorije za pohranjivanje. Teško ih je skalirati i još teže uređivati. Da biste povećali sliku, morate povećati veličinu kvadrata, a onda se slika ispostavi da je "stepenasta". Da biste smanjili rastersku sliku, morate konvertovati nekoliko susjednih tačaka u jednu ili izbaciti dodatne točke. Kao rezultat toga, slika je izobličena i njeni mali detalji postaju nečitki. Vektorska grafika nema ovih nedostataka. U vektorskim uređivačima, crtež se pamti kao zbirka geometrijski oblici- konture predstavljene u obliku matematičkih formula. Da bi objekt bio proporcionalno veći, jednostavno promijenite jedan broj: faktor zumiranja. Ne dolazi do izobličenja ni prilikom povećanja ili smanjenja slike. Stoga, kada kreirate crtež, ne morate razmišljati o njegovim konačnim dimenzijama - uvijek ih možete promijeniti.

Geometrijske transformacije

Vektorska grafika je upotreba geometrijskih primitiva kao što su tačke, linije, spline i poligoni za predstavljanje slika u kompjuterskoj grafici. Razmotrimo, na primjer, krug radijusa r. Spisak potrebnih informacija za puni opis krug je:

radijus r;

koordinate centra kruga;

boja i debljina konture (eventualno prozirne);

boja ispune (moguće prozirna).

Prednosti ove metode opisivanja grafike u odnosu na rastersku grafiku:

Minimalna količina informacija se prenosi na mnogo manju veličinu datoteke (veličina ne ovisi o veličini objekta).

U skladu s tim, možete beskonačno povećavati, na primjer, luk kruga i on će ostati gladak. S druge strane, ako je kriva predstavljena kao isprekidana linija, povećanje će pokazati da to zapravo nije kriva.

Prilikom povećanja ili smanjenja objekata, debljina linije može biti konstantna.

Parametri objekta se pohranjuju i mogu se mijenjati. To znači da pomicanje, skaliranje, rotiranje, popunjavanje, itd. neće narušiti kvalitet crteža. Štaviše, uobičajeno je specificirati dimenzije u jedinicama nezavisnim od uređaja, što dovodi do najbolje moguće rasterizacije na rasterskim uređajima.

Vektorska grafika ima dva fundamentalna nedostatka.

Ne može se svaki objekat lako prikazati u vektorskom obliku. Osim toga, količina memorije i vrijeme prikaza ovisi o broju objekata i njihovoj složenosti.

Pretvaranje vektorske grafike u raster je prilično jednostavno. Ali, po pravilu, nema povratka - rastersko praćenje obično ne pruža Visoka kvaliteta vektorsko crtanje.

Vektorski grafički uređivači obično vam omogućavaju da rotirate, pomerate, okrećete, rastežete, kosite, izvodite osnovne afine transformacije na objektima, menjate z-red i kombinujete primitive u složenije objekte.

Sofisticiranije transformacije uključuju Booleove operacije na zatvorenim figurama: unija, komplement, presek, itd.

Vektorska grafika je idealna za jednostavne ili kompozitne dizajne koji moraju biti neovisni o hardveru ili ne zahtijevaju fotorealizam. Na primjer, PostScript i PDF koriste model vektorske grafike

Linije i izlomljene linije.

Poligoni.

Krugovi i elipse.

Bezierove krive.

Bezigons.

Tekst (u kompjuterskim fontovima kao što je TrueType, svako slovo je kreirano iz Bezierovih krivulja).

Ova lista je nepotpuna. Postoje različite vrste krivulja (Catmull-Rom spline, NURBS, itd.) koje se koriste u različitim aplikacijama.

Takođe je moguće razmišljati o bitmapu kao o primitivnom objektu koji se ponaša kao pravougaonik.

Glavne vrste geometrijskih modela

Geometrijski modeli daju vanjsku ideju o originalnom objektu i karakteriziraju ih iste proporcije geometrijskih dimenzija. Ovi modeli se dijele na dvodimenzionalne i trodimenzionalne. Skice, dijagrami, crteži, grafikoni, slike su primjeri dvodimenzionalnih geometrijskih modela, te modeli zgrada, automobila, aviona itd. - Ovo su trodimenzionalni geometrijski modeli.

3D grafika operira sa objektima u trodimenzionalnom prostoru. Obično su rezultati ravna slika, projekcija. Trodimenzionalna kompjuterska grafika se široko koristi u bioskopu i kompjuterskim igrama.

U 3D kompjuterskoj grafici svi objekti se obično predstavljaju kao skup površina ili čestica. Minimalna površina naziva se poligon. Trokuti se obično biraju kao poligoni.

Sve vizuelne transformacije u 3D grafici kontrolišu matrice (vidi takođe: afina transformacija u linearnoj algebri). Postoje tri vrste matrica koje se koriste u kompjuterskoj grafici:

matrica rotacije

matrica pomaka

matrica skaliranja

Bilo koji poligon se može predstaviti kao skup koordinata njegovih vrhova. Dakle, trougao će imati 3 vrha. Koordinate svakog vrha su vektor (x, y, z). Množenjem vektora odgovarajućom matricom dobijamo novi vektor. Nakon što izvršimo takvu transformaciju sa svim vrhovima poligona, dobijamo novi poligon, a transformacijom svih poligona dobijamo novi objekat, rotiran/pomaknut/skaliran u odnosu na originalni

Pošaljite svoj dobar rad u bazu znanja je jednostavno. Koristite obrazac ispod

Studenti, postdiplomci, mladi naučnici koji koriste bazu znanja u svom studiranju i radu biće vam veoma zahvalni.

Objavljeno na http://www.allbest.ru/

Sistemi geometrijskog modeliranja

Sistemi geometrijskog modeliranja omogućavaju vam da radite sa oblicima trodimenzionalni prostor. Nastali su kako bi se prevazišli problemi povezani sa upotrebom fizičkih modela u procesu projektovanja, kao što su poteškoće u dobijanju složenih oblika sa tačnim dimenzijama, kao i poteškoće vađenja potrebne informacije od stvarnih modela kako biste ih precizno reproducirali.

Ovi sistemi stvaraju okruženje slično onome u kojem se stvaraju fizički modeli. Drugim riječima, u sistemu geometrijskog modeliranja, dizajner mijenja oblik modela, dodaje i uklanja njegove dijelove, detaljizirajući oblik vizualnog modela. Vizualni model može izgledati isto kao i fizički, ali je nematerijalan. Međutim, trodimenzionalni vizuelni model se pohranjuje u računar zajedno sa svojim matematičkim opisom, čime se eliminiše glavni nedostatak fizičkog modela - potreba za izvođenjem merenja za naknadnu izradu prototipa ili masovnu proizvodnju. Sistemi geometrijskog modeliranja dijele se na žičane, površinske, čvrste i nestrukturirane.

Žičani sistemi

U sistemima žičanog modeliranja, oblik je predstavljen kao skup linija i krajnjih tačaka koje ga karakteriziraju. Linije i tačke se koriste za predstavljanje trodimenzionalnih objekata na ekranu, a promjene oblika se postižu promjenom položaja i veličine linija i tačaka. Drugim riječima, vizualni model je žičani crtež nekog oblika, a odgovarajući matematički opis je skup jednačina krivulja, koordinata tačaka i informacija o povezanosti krivulja i tačaka. Informacije o povezivanju opisuju pripadnost tačaka na određenim krivuljama, kao i presek krivih jedna s drugom. Žičani sistemi za modeliranje bili su popularni u vrijeme kada je GM tek počeo da se pojavljuje. Njihova popularnost je rezultat činjenice da se u sistemima za modeliranje žičanih okvira kreiranje formi odvijalo nizom jednostavnih koraka, tako da je korisnicima bilo prilično lako da sami kreiraju forme. Međutim, vizuelni model koji se sastoji samo od linija može biti dvosmislen. Štoviše, odgovarajući matematički opis ne sadrži informacije o unutrašnjim i vanjskim površinama modeliranog objekta. Bez ovih informacija, nemoguće je izračunati masu objekta, odrediti putanje kretanja ili kreirati mrežu za analizu konačnih elemenata, iako se čini da je objekt trodimenzionalan. Budući da su ove operacije sastavni dio procesa projektovanja, sistemi za modeliranje žičanih okvira postupno su zamijenjeni sistemima površinskog i čvrstog modeliranja.

Sistemi za modeliranje površine

U sistemima za modeliranje površina, matematički opis vizuelnog modela uključuje ne samo informacije o karakterističnim linijama i njihovim krajnjim tačkama, već i podatke o površinama. Kada radite sa modelom prikazanim na ekranu, jednačine površine, jednačine krivulje i koordinate tačaka se menjaju. Matematički opis može uključivati informacije o povezanosti površina – kako se površine povezuju jedna s drugom i duž kojih krivulja. U nekim aplikacijama ove informacije mogu biti vrlo korisne.

Postoje tri standardne metode za kreiranje površina u sistemima za modeliranje površina:

1) Interpolacija ulaznih tačaka.

2) Interpolacija zakrivljenih tačaka.

3) Translacija ili rotacija date krive.

Sistemi za modeliranje površina koriste se za kreiranje modela sa složenim površinama, jer vizualni model omogućava procjenu estetike projekta, a matematički opis omogućava izradu programa sa preciznim proračunima putanja kretanja.

Sistemi za modeliranje čvrstog materijala

Dizajniran za rad sa objektima koji se sastoje od zatvorenog volumena ili monolita. U sistemima čvrstog modeliranja, za razliku od žičanog i površinskog modeliranja, stvaranje skupa površina ili karakterističnih linija nije dozvoljeno ako ne čine zatvoreni volumen. Matematički opis objekta kreiranog u sistemu solidnog modeliranja sadrži informacije pomoću kojih sistem može odrediti gdje se nalazi linija ili tačka: unutar volumena, izvan njega ili na njegovoj granici. U tom slučaju možete dobiti bilo koju informaciju o volumenu tijela, što znači da se mogu koristiti aplikacije koje rade sa objektom na nivou jačine zvuka, a ne na površinama.

Međutim, sistemi solidnog modeliranja zahtijevaju više ulaznih podataka u poređenju sa količinom podataka koja daje matematički opis. Kada bi sistem zahtijevao od korisnika da unese sve podatke za potpuni matematički opis, to bi postalo previše složeno za korisnike i oni bi ga napustili. Stoga programeri ovakvih sistema pokušavaju predstaviti jednostavne i prirodne funkcije tako da korisnici mogu raditi s trodimenzionalnim oblicima bez upuštanja u detalje matematičkog opisa.

Funkcije modeliranja koje podržava većina solidnih sistema modeliranja mogu se podijeliti u pet glavnih grupa:

1) Funkcije za kreiranje primitiva, kao i funkcije za sabiranje i oduzimanje volumena - Boolean operatori. Ove karakteristike omogućavaju dizajneru da brzo kreira oblik koji je blizak konačnom obliku dijela.

2) Funkcije za stvaranje volumetrijskih tijela pomicanjem površine. Funkcija sweepinga vam omogućava da kreirate trodimenzionalno tijelo prevođenjem ili rotiranjem područja definiranog na ravni.

3) Funkcije dizajnirane prvenstveno za modifikaciju postojeće forme. Tipični primjeri su funkcije zaokruživanja ili glatkog spajanja i podizanja.

4) Funkcije koje vam omogućavaju da direktno manipulišete komponentama volumetrijskih tijela, odnosno duž vrhova, ivica i lica.

5) Funkcije pomoću kojih dizajner može modelirati solidan koristeći slobodne forme.

Različiti sistemi modeliranja

Sistemi za modeliranje čvrstih tela omogućavaju korisniku da kreira čvrsta tela zatvorenog volumena, odnosno, matematički rečeno, tela koja predstavljaju mnogostrukosti. Drugim riječima, takvi sistemi zabranjuju stvaranje struktura koje nisu raznolike. Povrede uvjeta raznolikosti su, na primjer, tangentnost dviju površina u jednoj tački, tangentnost dviju površina duž otvorene ili zatvorene krivulje, dva zatvorena volumena sa zajedničkim licem, rubom ili vrhom, kao i površine koje formiraju saće. - tipske strukture.

Zabrana stvaranja malih modela smatrana je jednom od prednosti sistema za modeliranje čvrstog materijala, jer se zahvaljujući tome može proizvesti bilo koji model kreiran u takvom sistemu. Ako korisnik želi da radi sa sistemom geometrijskog modeliranja kroz cijeli razvojni proces, ispostavlja se da je ova prednost druga strana.

Apstraktni model s mješavinom dimenzija je zgodan jer ne sputava kreativnu misao dizajnera. Model mješovitih dimenzija može sadržavati slobodne ivice, slojevite površine i volumene. Apstraktni model je također koristan jer može poslužiti kao osnova za analizu. Svaka faza procesa projektovanja može imati svoje analitičke alate. Na primjer, korištenje metode konačnih elemenata, direktno na početnom prikazu modela, što vam omogućava automatizaciju povratnih informacija između faza dizajna i analize, koje trenutno implementira dizajner samostalno. Mali modeli su neophodni kao faza u razvoju projekta od nepotpunog opisa na niskim nivoima do gotovog trodimenzionalnog tijela. Sistemi za više modela omogućavaju da se žičani, površinski, čvrsti i ćelijski modeli istovremeno koriste u istom okruženju modeliranja, proširujući raspon dostupnih modela.

Opis površina

Bitan sastavni dio geometrijski modeli je opis površina. Ako su površine dijela ravne površine, tada se model može jednostavno izraziti određenim informacijama o plohama, rubovima i vrhovima dijela. U ovom slučaju se obično koristi metoda konstruktivne geometrije. Predstavljanje pomoću ravnih površina javlja se iu slučaju složenijih površina, ako se te površine aproksimiraju skupovima ravnih površina – poligonalnim mrežama. Tada se model površine može specificirati u jednom od sljedećih oblika:

1) model je lista lica, svako lice je predstavljeno uređenom listom vrhova (ciklus vrhova); ovaj oblik karakterizira značajna redundancija, budući da se svaki vrh ponavlja u nekoliko lista;

2) model je lista ivica, za svaku ivicu se specificiraju vrhovi i lica incidenta. Međutim, aproksimacija poligonalnim mrežama sa velike veličine mrežne ćelije stvaraju primjetna izobličenja oblika, a s malim veličinama ćelija ispada da je neefikasna u smislu računskih troškova. Stoga su popularniji opisi neplanarnih površina kubnim jednadžbama u obliku Bezierovih ili 5-spline.

Pogodno je upoznati se sa ovim oblicima pokazujući njihovu upotrebu za opisivanje geometrijskih objekata prvog nivoa - prostornih krivulja.

Bilješka. Geometrijski objekti nultog, prvog i drugog nivoa nazivaju se tačke, krive, odnosno površine.

MG&GM podsistemi koriste parametarski definisane kubične krive

geometrijsko konstruktivno modeliranje površine

x(t) = axt3 + bxt2 + cxt + dx;

y(t) = ay t3 +X by t2 + cy t + dy ;

z(t) = a.t3 + b_t2 + cj + d_,

gdje je 1 > t > 0. Takve krive opisuju segmente aproksimirane krive, tj. aproksimirana kriva je podijeljena na segmente i svaki segment je aproksimiran jednadžbama (3.48).

Upotreba kubnih krivulja osigurava (odgovarajućim odabirom četiri koeficijenta u svakoj od tri jednačine) ispunjenje četiri uslova za konjugiranje segmenata. U slučaju Bezierovih krivulja, ovi uvjeti su prolazak segmentne krive kroz dvije date krajnje tačke i jednakost tangentnih vektora susjednih segmenata u tim tačkama. U slučaju 5-spline-a, ispunjeni su uslovi kontinuiteta vektora tangente i zakrivljenosti (tj. prve i druge derivacije) u dve krajnje tačke, čime se obezbeđuje visok stepen glatkoće krive, iako je prolaz od aproksimirajuća kriva kroz date tačke nije osigurana. Ne preporučuje se upotreba polinoma viših od trećeg stepena, jer postoji velika vjerovatnoća valovitosti.

U slučaju Bezierovog oblika, koeficijenti u (3.48) se određuju, prvo, zamjenom u (3.48) vrijednosti (=0k(=1i) koordinata datih krajnjih tačaka P, odnosno P4 , i drugo, zamjenom izvedenica u izraze

dx/dt = Za t2 + 2b + s, X X x"

dy/dt = Za, G2 + 2byt + s,

dz/dt = 3a.t2 + 2b.t + c.

iste vrijednosti / = 0 i / = 1 i koordinate tačaka P2 i P3, koje određuju smjerove tangentnih vektora (slika 3.27). Kao rezultat, za Bezierovu formu dobijamo

Bezierova kriva. (3.27)

za koje matrica M ima drugačiji oblik i prikazana je u tabeli. 3.12, a vektori Gx, Gy, G sadrže odgovarajuće koordinate tačaka P, 1; R, R, + 1, R, + 2.

Pokažimo da su u tačkama konjugacije za prvi i drugi izvod aproksimirajućeg izraza zadovoljeni uslovi kontinuiteta, što se zahteva definicijom B-splajna. Označimo dio aproksimirajuće B-spline koji odgovara dijelu [P, P +1] originalne krive sa . Tada za ovaj presek i koordinate x u tački konjugacije Q/+ imamo t = 1 i

Za dio u istoj tački Qi+| imamo t = 0 i

odnosno, jednakost derivacija u tački konjugacije u susjednim presjecima potvrđuje kontinuitet tangentnog vektora i zakrivljenosti. Naravno, vrijednost x koordinate x tačke Qi+1 aproksimirajuće krive u području .

jednaka x vrijednosti izračunatoj za istu tačku na presjeku, ali se koordinate čvornih tačaka x i x+] aproksimirajuće i aproksimirajuće krive ne poklapaju.

Slično, mogu se dobiti izrazi za Bezierove forme i 5-spline primijenjene na površine, uzimajući u obzir činjenicu da se umjesto (3.48) koriste kubične zavisnosti od dvije varijable.

Objavljeno na Allbest.ru

Slični dokumenti

Statički i dinamički modeli. Analiza simulacionih sistema. Sistem za modeliranje "AnyLogic". Glavne vrste simulacijskog modeliranja. Kontinuirani, diskretni i hibridni modeli. Izgradnja modela kreditne banke i njegova analiza.

rad, dodato 24.06.2015

Problemi optimizacije složenih sistema i pristupi njihovom rješavanju. Softverska implementacija analize komparativne efikasnosti metode promjenjivih vjerovatnoća i genetskog algoritma sa binarnim prikazom rješenja. Metoda za rješavanje problema simboličke regresije.

disertacija, dodata 02.06.2011

Karakteristike osnovnih principa stvaranja matematički modeli hidrološki procesi. Opis procesa divergencije, transformacije i konvergencije. Upoznavanje sa osnovnim komponentama hidrološkog modela. Suština simulacionog modeliranja.

prezentacija, dodano 16.10.2014

Glavna teza formalizacije. Modeliranje dinamičkih procesa i simulacija složenih bioloških, tehničkih, društveni sistemi. Analiza modeliranja objekta i identifikacija svih njegovih poznatih svojstava. Odabir obrasca za prezentaciju modela.

sažetak, dodan 09.09.2010

Efikasnost makroekonomskog predviđanja. Istorija nastanka ekonomskog modeliranja u Ukrajini. Osobine modeliranja složenih sistema, pravci i poteškoće ekonomskog modeliranja. Razvoj i problemi moderne ekonomije Ukrajine.

sažetak, dodan 01.10.2011

Glavni problemi ekonometrijskog modeliranja. Upotreba lažnih varijabli i harmoničnih trendova. Metoda najmanjih kvadrata i varijansu uzorka. Značenje koeficijenta determinacije. Proračun funkcije elastičnosti. Svojstva linearnog modela.

test, dodano 11.06.2009

Teorijske i metodološke osnove za modeliranje razvoja preduzeća sa rent-orijentisanim menadžmentom. Ekonomsko-matematičke osnove modeliranja dinamički složenih sistema. Funkcija posudbe: pojam, suština, svojstva, analitički pogled.

teza, dodana 04.02.2011

Kreiranje kombinovanih modela i metoda kao savremene metode predviđanja. ARIMA baziran model za opisivanje stacionarnih i nestacionarnih vremenskih serija pri rješavanju problema klasteriranja. Autoregresivni AR modeli i primjene korelograma.

prezentacija, dodano 01.05.2015

Metodologija za dobijanje procjena koja se koristi u postupcima dizajniranja upravljačkih odluka. Primijenjena upotreba multivarijantnog modela linearne regresije. Kreiranje kovarijansne matrice podataka i uzoraka dizajna rješenja izvedenih iz nje.

članak, dodan 03.09.2016

Analiza složenih sistema. Provođenje ekonomskih istraživanja korištenjem tehnologije kompjuterskog modeliranja. Konstrukcija blok dijagrama i ruta tokova poruka. Razvoj modela rada autobuske rute. Multivarijantni model proračuna.