Pokazuje se kako prepoznati generaliziranu homogenu diferencijalnu jednačinu. Razmatrana je metoda za rješavanje generalizirane homogene diferencijalne jednadžbe prvog reda. Naveden je primjer detaljno rješenje takva jednačina.
SadržajDefinicija
Generalizirana homogena diferencijalna jednadžba prvog reda je jednačina oblika:, gdje je α ≠ 0 , α ≠ 1 , f - funkcija.
Kako odrediti da li je diferencijalna jednadžba generalizirana homogena
Da biste utvrdili da li je diferencijalna jednadžba generalizirana homogena, morate uvesti konstantu t i izvršiti zamjenu:
y → t α · y , x → t · x .
Ako je moguće odabrati vrijednost α na koju se konstanta t smanjuje, onda je to - generalizovana homogena diferencijalna jednadžba. Promjena derivacije y′ sa ovom zamjenom ima oblik:
.
Primjer
Odredite da li zadata jednačina generalizovani homogeni:
.
Napravimo zamjenu y → t α y, x → t x, y′ → t α- 1 g′:
;
.
Podijelite sa t α+ 5
:
;
.
Jednačina neće sadržavati t ako
4 α - 6 = 0,
α = 3/2
.
Od kada je α = 3/2
, t se smanjio, dakle ovo je generalizovana homogena jednačina.
Metoda rješenja
Razmotrimo generaliziranu homogenu diferencijalnu jednačinu prvog reda:
(1)
.
Hajde da pokažemo da je svedeno na homogenu jednačinu koristeći supstituciju:
t = xα.
stvarno,
.
Odavde
;
.
(1)
:
;
.
Ovo je homogena jednadžba. Može se riješiti zamjenom:
y = z t,
gdje je z funkcija od t.
Prilikom rješavanja problema lakše je odmah koristiti zamjenu:
y = z x α,
gdje je z funkcija od x.
Primjer rješavanja generalizirane homogene diferencijalne jednadžbe prvog reda
Riješite diferencijalnu jednačinu
(P.1) .
Provjerimo da li je ova jednačina generalizirana homogena. U tu svrhu u (P.1) napraviti zamjenu:
y → t α y , x → t x , y′ → t α- 1 g′.
.
Podijeli sa t α:
.
t će biti poništeno ako postavimo α = - 1
.
To znači da je ovo generalizovana homogena jednačina.
Napravimo zamjenu: 1
,
gdje je z funkcija od x.
.
y = z x α = z x - (P.1):
(P.1) ;
;
.
Zamijenite u originalnu jednačinu
;
;
.
Pomnožite sa x i otvorite zagrade: 2
Razdvajamo varijable - pomnožimo sa dx i podijelimo sa x z 0
.
.
Kada je z ≠
;
;
;
.
imamo:
.
Integriramo koristeći tablicu integrala:
.
Potencirajmo:
.
Zamenimo konstantu e C → C i uklonimo znak modula, jer je izbor željenog znaka određen izborom predznaka konstante C:
Vratimo se na varijablu y. .
Kada podijelimo sa z 2
, pretpostavili smo da je z ≠ 0
. 0
Sada razmotrimo rješenje z = xy = 0
.
, ili y = 0
Od kada je y = Vratimo se na varijablu y., lijeva strana izraza 0
.
;
.
nije definirano, onda rezultujućem opštem integralu dodajemo rješenje y =
Korištena literatura:
N.M. Gunter, R.O. Kuzmin, Zbirka zadataka iz više matematike, “Lan”, 2003.
Diferencijalne jednadžbe u generaliziranim funkcijama
Neka postoji jednadžba. Ako je obična funkcija, onda je njeno rješenje antiderivat, tj. Neka je sada generalizirana funkcija.
Definicija. Generalizirana funkcija se naziva primitivnom generaliziranom funkcijom if. Ako je singularna generalizirana funkcija, onda su mogući slučajevi kada je njen antiderivat regularna generalizirana funkcija. Na primjer, antideritiv je; antiderivat je funkcija, a rješenje jednadžbe se može zapisati u obliku: , gdje.
Postoji linearna jednačina th reda sa konstantnim koeficijentima
gdje je generalizirana funkcija. Neka je diferencijalni polinom th reda.
Definicija. Generalizirano rješenje diferencijalne jednadžbe (8) je generalizirana funkcija za koju vrijedi sljedeća relacija:
Ako je kontinuirana funkcija, onda je jedino rješenje jednadžbe (8) klasično rješenje.
Definicija. Osnovno rješenje jednačine (8) je svaka generalizirana funkcija takva da.
Greenova funkcija je osnovno rješenje koje zadovoljava granični, početni ili asimptotski uvjet.
Teorema. Rješenje jednačine (8) postoji i ima oblik:
osim ako je konvolucija definirana.
Dokaz. Zaista, . Prema svojstvu konvolucije slijedi: .
Lako je vidjeti da je osnovno rješenje ove jednačine, pošto
Svojstva generalizovanih izvoda
Operacija diferencijacije je linearna i kontinuirana od do:
u, ako je u;
Svaka generalizirana funkcija je beskonačno diferencibilna. Zaista, ako, onda; zauzvrat, itd.;
Rezultat diferencijacije ne zavisi od redosleda diferencijacije. Na primjer, ;
Ako i, tada vrijedi Leibnizova formula za diferencijaciju proizvoda. Na primjer, ;
Ako je to generalizirana funkcija, onda;
Ako se niz sastavljen od lokalno integrabilnih funkcija ravnomjerno konvergira na svakom kompaktnom skupu, tada se može diferencirati pojam po član bilo koji broj puta (kao generalizirana funkcija), a rezultirajući niz će konvergirati.
Primjer. Neka
Generalizirane funkcije koje odgovaraju kvadratnim oblicima s kompleksnim koeficijentima
Do sada su razmatrani samo kvadratni oblici sa realnim koeficijentima. U ovom dijelu proučavamo prostor svih kvadratnih oblika sa kompleksnim koeficijentima.
Zadatak je odrediti generaliziranu funkciju, gdje je kompleksan broj. Međutim, u opšti slučaj neće biti jedinstvena analitička funkcija. Stoga se u prostoru svih kvadratnih oblika izoluje „gornja poluravnina“ kvadratnih oblika s pozitivno određenim imaginarnim dijelom i za njih se određuje funkcija. Naime, ako kvadratni oblik pripada ovoj “poluravni”, onda se pretpostavlja da je gdje. Takva funkcija je jedinstvena analitička funkcija.
Sada možemo povezati funkciju s generaliziranom funkcijom:
gdje se integracija vrši po cijelom prostoru. Integral (13) konvergira na i je analitička funkcija od u ovoj poluravni. Nastavljajući ovu funkciju analitički, određuje se funkcional za druge vrijednosti.
Za kvadratne oblike s pozitivno određenim imaginarnim dijelom, pronalaze se singularne točke funkcija i izračunavaju se ostaci tih funkcija u singularnim točkama.
Generalizirana funkcija analitički zavisi ne samo od, već i od koeficijenata kvadratnog oblika. Dakle, to je analitička funkcija u gornjoj "poluravni" svih kvadratnih oblika forme gdje postoji pozitivno određen oblik. Posljedično, on je jedinstveno određen svojim vrijednostima na "imaginarnoj poluosi", odnosno na skupu kvadratnih oblika forme, gdje je pozitivno određen oblik.
Jednačina M(x, y) dx+ N(x, y) dy=0 naziva se generalizirano homogeno ako je moguće odabrati takav broj k, da lijeva strana ove jednačine postaje homogena funkcija nekog stepena m relativno x, y, dx I dy pod uslovom da x smatra se vrijednošću prve dimenzije, y – k‑ th merenja , dx I dy – odnosno nula i (k-1) th merenja. Na primjer, ovo bi bila jednadžba.
(6.1)
x,
y,
dx
I dy
Vrijedi pod pretpostavkama napravljenim u vezi mjerenja 
pripadnici leve strane dy
I kće imati dimenzije -2, 2 respektivno
k I k:
-2 = 2k
=
k-1. Izjednačavajući ih, dobijamo uslov koji traženi broj mora da zadovolji k
-1. Ovaj uslov je zadovoljen kada k= -1 (sa ovim
svi članovi na lijevoj strani jednačine koja se razmatra imat će dimenziju -2). Prema tome, jednačina (6.1) je generalizovana homogena. 
Generalizirana homogena jednadžba se reducira na jednadžbu s odvojivim varijablama korištenjem zamjene , Gdje z k
– nova nepoznata funkcija. Integrirajmo jednačinu (6.1) pomoću naznačene metode. Jer 
, nakon čega dobijamo jednačinu.
Integrirajući ga, nalazimo 
, gdje 
. Ovo je opšte rješenje jednačine (6.1).
§ 7. Linearne diferencijalne jednačine 1. reda.
Linearna jednačina 1. reda je jednačina koja je linearna u odnosu na željenu funkciju i njen izvod. izgleda ovako:
,
(7.1)
Gdje P(x)
I
Q(x)
– date kontinuirane funkcije od x.
Ako je funkcija
,
tada jednačina (7.1) ima oblik: 
(7.2)
i naziva se linearnim homogena jednačina, inače 
naziva se linearna nehomogena jednačina.
Linearna homogena diferencijalna jednadžba (7.2) je jednadžba sa odvojivim varijablama:
(7.3)
Izraz (7.3) je opšte rješenje jednačine (7.2). Pronaći opće rješenje jednadžbe (7.1), u kojoj je funkcija P(x) označava istu funkciju kao u jednadžbi (7.2), primjenjujemo tehniku koja se zove metoda varijacije proizvoljne konstante i sastoji se od sljedećeg: pokušat ćemo odabrati funkciju C=C(x) tako da bi opće rješenje linearne homogene jednadžbe (7.2) bilo rješenje nehomogenog linearna jednačina(7.1). Tada za derivaciju funkcije (7.3) dobijamo:
.
Zamjenom pronađenog izvoda u jednačinu (7.1) imat ćemo:
ili 
.
Gdje 
Generalizirana homogena jednadžba se reducira na jednadžbu s odvojivim varijablama korištenjem zamjene 
- proizvoljna konstanta. Kao rezultat, opće rješenje nehomogene linearne jednačine (7.1) će biti (7.4) 
Prvi član u ovoj formuli predstavlja opšte rešenje (7.3) linearne homogene diferencijalne jednačine (7.2), a drugi član formule (7.4) je posebno rešenje linearne nehomogene jednačine (7.1), dobijeno iz opšte ( 7.4) sa 
. Ovaj važan zaključak ističemo u obliku teoreme.
Teorema. Ako je poznato jedno određeno rješenje linearne nehomogene diferencijalne jednadžbe 
, tada sva ostala rješenja imaju oblik 
Generalizirana homogena jednadžba se reducira na jednadžbu s odvojivim varijablama korištenjem zamjene 
- opšte rješenje odgovarajuće linearne homogene diferencijalne jednadžbe.
Međutim, treba napomenuti da se za rješavanje linearne nehomogene diferencijalne jednadžbe 1. reda (7.1) češće koristi druga metoda, koja se ponekad naziva i Bernoullijeva metoda. Rješenje jednačine (7.1) tražit ćemo u obliku 
. Onda 
. Zamijenimo pronađeni derivat u originalnu jednačinu: 
.
Kombinirajmo, na primjer, drugi i treći član posljednjeg izraza i izdvojimo funkciju u(x)
iza zagrade: 
(7.5)
Zahtijevamo da se zagrada poništi: 
.
Rešimo ovu jednačinu postavljanjem proizvoljne konstante C
jednako nuli: 
. Sa pronađenom funkcijom v(x)
Vratimo se na jednačinu (7.5): 
.
Rešavajući to, dobijamo: 
.
Prema tome, opšte rješenje jednačine (7.1) ima oblik.
Klikom na dugme "Preuzmi arhivu" potpuno besplatno preuzimate datoteku koja vam je potrebna.
Prije preuzimanja ovog fajla, sjetite se onih dobrih eseja, testova, seminarskih radova, teze, članke i druge dokumente koji se ne traže na vašem računaru. Ovo je vaš rad, on treba da učestvuje u razvoju društva i da koristi ljudima. Pronađite ove radove i pošaljite ih u bazu znanja.
Mi i svi studenti, postdiplomci, mladi naučnici koji koriste bazu znanja u svom studiranju i radu bićemo vam veoma zahvalni.
Da preuzmete arhivu sa dokumentom, unesite petocifreni broj u polje ispod i kliknite na dugme "Preuzmi arhivu"
Slični dokumenti
Cauchy problemi za diferencijalne jednadžbe. Grafikon rješenja diferencijalne jednadžbe prvog reda. Jednačine sa odvojivim varijablama i svođenje na homogenu jednačinu. Homogene i nehomogene linearne jednadžbe prvog reda. Bernulijeva jednačina.
predavanje, dodano 18.08.2012
Osnovni pojmovi teorije običnih diferencijalnih jednadžbi. Predznak jednadžbe u totalnim diferencijalima, konstrukcija općeg integrala. Najjednostavniji slučajevi pronalaženja integrirajućeg faktora. Slučaj množitelja koji zavisi samo od X i samo od Y.
kurs, dodan 24.12.2014
Osobine diferencijalnih jednadžbi kao odnosa između funkcija i njihovih izvoda. Dokaz teoreme postojanja i jedinstvenosti rješenja. Primjeri i algoritam za rješavanje jednadžbi u totalnim diferencijalima. Integrirajući faktor u primjerima.
kurs, dodato 11.02.2014
Riccati diferencijalne jednadžbe. Opšte rješenje linearna jednačina. Pronalaženje svih mogućih rješenja Bernoullijeve diferencijalne jednadžbe. Rješavanje jednadžbi sa odvojivim varijablama. Opća i specijalna rješenja Clairautove diferencijalne jednadžbe.
kurs, dodato 26.01.2015
Jednadžba sa odvojivim varijablama. Homogene i linearne diferencijalne jednadžbe. Geometrijska svojstva integralne krive. Potpuni diferencijal funkcije dvije varijable. Određivanje integrala Bernoullijevim metodama i varijacije proizvoljne konstante.
sažetak, dodan 24.08.2015
Pojmovi i rješenja najjednostavnijih diferencijalnih jednadžbi i diferencijalnih jednadžbi proizvoljnog reda, uključujući i one sa konstantnim analitičkim koeficijentima. Sistemi linearnih jednačina. Asimptotičko ponašanje rješenja nekih linearnih sistema.
teza, dodana 10.06.2010
Opšti integral jednadžbe, primjena Lagrangeove metode za rješavanje nehomogene linearne jednadžbe s nepoznatom funkcijom. Rješavanje diferencijalne jednadžbe u parametarskom obliku. Ojlerov uslov, jednačina prvog reda u totalnim diferencijalima.
test, dodano 11.02.2011
