Načini pronalaženja inverzna matrica. Razmotrimo kvadratnu matricu
Označimo Δ = det A.
Kvadratna matrica A se naziva nedegenerisan, ili nije posebno, ako je njegova determinanta različita od nule, i degenerirati, ili poseban, AkoΔ = 0.
Kvadratna matrica B je za kvadratnu matricu A istog reda ako je njihov proizvod A B = B A = E, gdje je E matrica identiteta istog reda kao i matrice A i B.
Teorema . Da bi matrica A imala inverznu matricu, potrebno je i dovoljno da njena determinanta bude različita od nule.
Inverzna matrica matrice A, označena sa A- 1, dakle B = A - 1 a izračunava se po formuli
, (1)
gdje su A i j algebarski komplementi elemenata a i j matrice A..
Izračunavanje A -1 koristeći formulu (1) za matrice visokog reda je vrlo naporno, pa je u praksi zgodno pronaći A -1 metodom elementarnih transformacija (ET). Bilo koja nesingularna matrica A može se svesti na matricu identiteta E pomoću ED-ova samo kolona (ili samo redova). inverzna matrica. Pogodno je izvoditi EP na matricama A i E istovremeno, pišući obje matrice jednu do druge kroz liniju. Napomenimo još jednom da kada tražite kanonski oblik matrice, da biste ga pronašli, možete koristiti transformacije redova i stupaca. Ako trebate pronaći inverznu vrijednost matrice, trebali biste koristiti samo redove ili samo stupce tokom procesa transformacije.
Primjer 1. Za matricu 
naći A -1 .
Rješenje.Prvo nalazimo determinantu matrice A 
To znači da inverzna matrica postoji i možemo je pronaći pomoću formule: 
, gdje su A i j (i,j=1,2,3) algebarski dodaci elemenata a i j originalne matrice. 
Gdje 
.
Primjer 2. Koristeći metodu elementarnih transformacija, pronađite A -1 za matricu: A = .
Rješenje.Originalnoj matrici na desnoj strani dodjeljujemo matricu identiteta istog reda: 
. Koristeći elementarne transformacije stupaca, smanjit ćemo lijevu "polovinu" na jediničnu, istovremeno obavljajući potpuno iste transformacije na desnoj matrici.
Da biste to učinili, zamijenite prvi i drugi stupac: 
~
. Trećem stupcu dodajemo prvi, a drugom - prvi, pomnožen sa -2: 
. Od prvog stupca oduzimamo drugi udvostručeni, a od trećeg - drugi pomnožen sa 6; 
. Dodajmo treću kolonu prvom i drugom: 
. Pomnožite posljednju kolonu sa -1: 
. Kvadratna matrica dobijena desno od vertikalne trake je inverzna matrica date matrice A. Dakle,
.
Brojčani niz, čiji je svaki član, počevši od drugog, jednak prethodnom dodanom istom broju za dati niz, naziva se aritmetička progresija. Poziva se broj koji se svaki put dodaje prethodnom broju razlika aritmetičke progresije i označava se slovom d.
dakle, numerički niz a 1 ; a 2; a 3; a 4; a 5; ... i n će biti aritmetička progresija ako je a 2 = a 1 + d;
a 3 = a 2 + d;
Kažu da je data aritmetička progresija sa zajedničkim pojmom a n. Zapišite: data je aritmetička progresija (a n).
Smatra se da je aritmetička progresija definisana ako je poznat njen prvi član a 1 i razlika d.
Primjeri aritmetičke progresije
Primjer 1. 1; 3; 5; 7; 9;...Evo a 1 = 1; d = 2.
Primjer 2. 8; 5; 2; -1; -4; -7; -10;... Evo a 1 = 8; d =-3.
Primjer 3.-16; -12; -8; -4;... Evo a 1 = -16; d = 4.
Imajte na umu da je svaki član progresije, počevši od drugog, jednak aritmetičkoj sredini njegovih susjednih članova.
U 1 primjeru drugi mandat 3 =(1+5): 2 ; one. a 2 = (a 1 + a 3) : 2; treći član 5 =(3+7): 2;
tj. a 3 = (a 2 + a 4) : 2.
Dakle formula vrijedi:
Ali, u stvari, svaki član aritmetičke progresije, počevši od drugog, jednak je aritmetičkoj sredini ne samo njegovih susjednih članova, već i jednako udaljena od njegovih članova, tj.
Hajde da se okrenemo primjer 2. Broj -1 je četvrti član aritmetičke progresije i podjednako je udaljen od prvog i sedmog člana (i 1 = 8, i 7 = -10).
Prema formuli (**) imamo:
Hajde da izvedemo formulu n- th član aritmetičke progresije.
Dakle, dobijamo drugi član aritmetičke progresije ako prvom dodamo razliku d; dobijamo treći član ako drugom dodamo razliku d ili dodajte dvije razlike prvom članu d; dobićemo četvrti član ako trećem dodamo razliku d ili prvoj dodati tri razlike d i tako dalje.
Pogodili ste: a 2 = a 1 + d;
a 3 = a 2 + d = a 1 + 2d;
a 4 = a 3 + d = a 1 + 3d;
…………………….
a n = a n-1 + d = a 1 + (n-1) d.
Rezultirajuća formula a n = a 1 + (n-1) d (***)
pozvao formulanth član aritmetičke progresije.
Hajde sada da razgovaramo o tome kako pronaći zbir prvih n članova aritmetičke progresije. Označimo ovaj iznos sa S n.
Preuređivanje mjesta pojmova ne mijenja vrijednost sume, pa se može napisati na dva načina.
S n= a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + … + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n i
S n = a n + a n-1 + a n-2 + a n-3 + …...+ a 4 + a 3 + a 2 + a 1
Dodajmo ove dvije jednakosti pojam po član:
2S n= (a 1 + a n) + (a 2 + a n-1) + (a 3 + a n-2) + (a 4 + a n-3) + …
Za bilo koju nesingularnu matricu A postoji jedinstvena matrica A -1 takva da
A*A -1 =A -1 *A = E,
gdje je E matrica identiteta istih redova kao i A. Matrica A -1 se naziva inverzna matrici A.
U slučaju da je neko zaboravio, u matrici identiteta, osim dijagonale popunjene jedinicama, sve ostale pozicije su popunjene nulama, primjer matrice identiteta:
Pronalaženje inverzne matrice korištenjem metode adjuint matrice
Inverzna matrica je definirana formulom:
gdje je A ij - elementi a ij.
One. Da biste izračunali inverznu matricu, morate izračunati determinantu ove matrice. Zatim pronađite algebarske komplemente za sve njegove elemente i sastavite novu matricu od njih. Zatim morate prenijeti ovu matricu. I podijelite svaki element nove matrice determinantom originalne matrice.
Pogledajmo nekoliko primjera.
Pronađite A -1 za matricu
Rješenje Nađimo A -1 koristeći metodu spojene matrice. Imamo det A = 2. Nađimo algebarske komplemente elemenata matrice A. U ovom slučaju, algebarski komplementi elemenata matrice će biti odgovarajući elementi same matrice, uzeti sa predznakom u skladu sa formulom
Imamo A 11 = 3, A 12 = -4, A 21 = -1, A 22 = 2. Formiramo pridruženu matricu
Prevozimo matricu A*:
Inverznu matricu pronalazimo pomoću formule:
Dobijamo:
Koristeći metodu spojene matrice, pronađite A -1 if
Rješenje Prije svega, izračunavamo definiciju ove matrice da bismo provjerili postojanje inverzne matrice. Imamo
Ovdje smo elementima drugog reda dodali elemente trećeg reda, prethodno pomnožene sa (-1), a zatim proširili determinantu za drugi red. Pošto je definicija ove matrice različita od nule, postoji njena inverzna matrica. Da bismo konstruisali pridruženu matricu, nalazimo algebarske komplemente elemenata ove matrice. Imamo
Prema formuli
transportna matrica A*:
Zatim prema formuli
Pronalaženje inverzne matrice metodom elementarnih transformacija
Pored metode pronalaženja inverzne matrice, koja slijedi iz formule (metoda adjoint matrix), postoji i metoda za pronalaženje inverzne matrice koja se zove metoda elementarnih transformacija.
Elementarne matrične transformacije
Sljedeće transformacije se nazivaju transformacije elementarnih matrica:
1) preuređivanje redova (kolona);
2) množenje reda (kolone) brojem koji nije nula;
3) dodavanjem elementima reda (kolone) odgovarajućih elemenata drugog reda (kolone), prethodno pomnoženih određenim brojem.
Da bismo pronašli matricu A -1, konstruišemo pravougaonu matricu B = (A|E) redova (n; 2n), pridajući matrici A na desnoj strani matricu identiteta E kroz liniju razdvajanja:
Pogledajmo primjer.
Koristeći metodu elementarnih transformacija, pronaći A -1 if
Rješenje Formiramo matricu B:
Označimo redove matrice B sa α 1, α 2, α 3. Izvršimo sljedeće transformacije na redovima matrice B.
Šta je glavna suština formule?
Ova formula vam omogućava da pronađete bilo koji NJEGOVIM BROJEM" n" .
Naravno, morate znati i prvi pojam a 1 i razlika u napredovanju d, pa, bez ovih parametara ne možete zapisati određenu progresiju.
Pamtiti (ili plakati) ovu formulu nije dovoljno. Morate razumjeti njegovu suštinu i primijeniti formulu u raznim problemima. I takođe da ne zaboravim u pravom trenutku, da...) Kako ne zaboravi- Ne znam. I ovdje kako zapamtiti Ako bude potrebno, svakako ću Vas savjetovati. Za one koji završe lekciju do kraja.)
Dakle, pogledajmo formulu za n-ti član aritmetičke progresije.
Šta je uopšte formula? Usput, pogledajte ako niste pročitali. Tamo je sve jednostavno. Ostaje da se shvati šta je to n-ti termin.
Progresija se općenito može zapisati kao niz brojeva:
a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....
a 1- označava prvi član aritmetičke progresije, a 3- treći član, a 4- četvrti, i tako dalje. Ako nas zanima peti mandat, recimo da radimo a 5, ako sto dvadeseti - s a 120.
Kako to možemo definisati uopšteno? bilo kojičlan aritmetičke progresije, sa bilo koji broj? Veoma jednostavno! Volim ovo:
a n
To je ono što je n-ti član aritmetičke progresije. Slovo n sakriva sve brojeve članova odjednom: 1, 2, 3, 4, itd.
A šta nam takav zapis daje? Zamislite, umjesto broja napisali su slovo...
Ova notacija nam daje moćan alat za rad sa aritmetičkom progresijom. Koristeći notaciju a n, možemo brzo pronaći bilo kojičlan bilo koji aritmetička progresija. I riješiti gomilu drugih problema s progresijom. Videćete dalje.
U formuli za n-ti član aritmetičke progresije:
| a n = a 1 + (n-1)d |
a 1- prvi član aritmetičke progresije;
n- članski broj.
Formula povezuje ključne parametre bilo koje progresije: a n ; a 1 ; d I n. Svi problemi s progresijom vrte se oko ovih parametara.
Formula n-tog pojma se također može koristiti za pisanje određene progresije. Na primjer, problem može reći da je progresija specificirana uvjetom:
a n = 5 + (n-1) 2.
Takav problem može dovesti do ćorsokaka... Nema ni niza ni razlike... Ali, upoređujući stanje sa formulom, lako je shvatiti da u ovoj progresiji a 1 =5 i d=2.
A može biti još gore!) Ako uzmemo isti uslov: a n = 5 + (n-1) 2, Da, otvorite zagrade i ponesite slične? Dobijamo novu formulu:
a n = 3 + 2n.
Ovo Samo ne općenito, već za konkretan napredak. Ovdje vreba zamka. Neki ljudi misle da je prvi mandat trojka. Iako je u stvarnosti prvi rok pet... Malo niže ćemo raditi sa tako izmijenjenom formulom.
U problemima progresije postoji još jedna notacija - a n+1. Ovo je, kao što ste pogodili, "n plus prvi" član progresije. Njegovo značenje je jednostavno i bezopasno.) Ovo je član progresije čiji je broj veći od broja n za jedan. Na primjer, ako u nekom problemu uzmemo a n onda peti mandat a n+1 biće šesti član. itd.
Najčešće oznaka a n+1 nalazi u formulama recidiva. Ne bojte se ove strašne riječi!) Ovo je samo način izražavanja člana aritmetičke progresije kroz prethodni. Recimo da nam je data aritmetička progresija u ovom obliku, koristeći rekurentnu formulu:
a n+1 = a n +3
a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8
a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11
Četvrti - kroz treći, peti - kroz četvrti, i tako dalje. Kako da odmah prebrojimo, recimo, dvadeseti rok? a 20? Ali nema šanse!) Dok ne saznamo 19. termin, 20. ne možemo računati. Ovo je fundamentalna razlika između rekurentne formule i formule n-og člana. Rekurentni radi samo kroz prethodni pojam, a formula n-tog člana je kroz prvo i dozvoljava odmah pronađite bilo kojeg člana po broju. Bez izračunavanja čitavog niza brojeva po redu.
U aritmetičkoj progresiji, lako je povratnu formulu pretvoriti u regularnu. Izbrojte par uzastopnih članova, izračunajte razliku d, pronađite, ako je potrebno, prvi pojam a 1, napišite formulu u njenom uobičajenom obliku i radite s njom. Takvi zadaci se često susreću u Državnoj akademiji nauka.
Primjena formule za n-ti član aritmetičke progresije.
Prvo, pogledajmo direktnu primjenu formule. Na kraju prethodne lekcije pojavio se problem:
Zadana je aritmetička progresija (a n). Pronađite 121 ako je a 1 =3 i d=1/6.
Ovaj problem se može riješiti bez ikakvih formula, jednostavno na osnovu značenja aritmetičke progresije. Dodajte i dodajte... Sat ili dva.)
A prema formuli, rješenje će trajati manje od minute. Možeš da odmeriš vreme.) Hajde da odlučimo.
Uvjeti pružaju sve podatke za korištenje formule: a 1 =3, d=1/6. Ostaje da shvatimo šta je jednako n. Nema problema! Moramo pronaći a 121. Pa pišemo:
Molimo obratite pažnju! Umjesto indeksa n pojavio se određeni broj: 121. Što je sasvim logično.) Zanima nas član aritmetičke progresije broj sto dvadeset jedan. Ovo će biti naše n. Ovo je smisao n= 121 zamenićemo dalje u formulu, u zagradama. Zamjenjujemo sve brojeve u formulu i izračunavamo:
a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23
To je to. Jednako brzo se mogao naći petsto deseti pojam, a hiljadu i treći, bilo koji. Stavili smo umjesto toga nželjeni broj u indeksu slova " a" i u zagradama, i računamo.
Dozvolite mi da vas podsjetim na poentu: ova formula vam omogućava da pronađete bilo koji termin aritmetičke progresije NJEGOVIM BROJEM" n" .
Hajde da riješimo problem na lukaviji način. Hajde da naletimo na sledeci problem:
Pronađite prvi član aritmetičke progresije (a n), ako je a 17 =-2; d=-0,5.
Ako budete imali poteškoća, reći ću vam prvi korak. Zapišite formulu za n-ti član aritmetičke progresije! Da da. Zapišite rukama, direktno u svoju svesku:
| a n = a 1 + (n-1)d |
I sada, gledajući slova formule, razumijemo koje podatke imamo, a šta nedostaje? Dostupan d=-0,5, ima sedamnaesti član... Je li to to? Ako mislite da je to to, onda nećete riješiti problem, da...
Još uvijek imamo broj n! U stanju a 17 =-2 skriveno dva parametra. Ovo je i vrijednost sedamnaestog člana (-2) i njegov broj (17). One. n=17. Ova „sitnica“ često prođe pored glave, a bez nje (bez „sitnice“, a ne glave!) problem se ne može rešiti. Mada... i bez glave.)
Sada možemo jednostavno glupo zamijeniti naše podatke u formulu:
a 17 = a 1 + (17-1)·(-0,5)
Oh da, a 17 znamo da je -2. U redu, zamijenimo:
-2 = a 1 + (17-1)·(-0,5)
To je u osnovi sve. Ostaje da izrazimo prvi član aritmetičke progresije iz formule i izračunamo ga. Odgovor će biti: a 1 = 6.
Ova tehnika - zapisivanje formule i jednostavna zamjena poznatih podataka - je od velike pomoći u jednostavnim zadacima. Pa, naravno, morate znati izraziti varijablu iz formule, ali šta učiniti!? Bez ove vještine, matematika se možda uopće ne bi izučavala...
Još jedna popularna zagonetka:
Naći razliku aritmetičke progresije (a n), ako je a 1 =2; a 15 =12.
Šta mi radimo? Iznenadit ćete se, pišemo formulu!)
| a n = a 1 + (n-1)d |
Hajde da razmotrimo šta znamo: a 1 =2; a 15 =12; i (posebno ću istaći!) n=15. Slobodno zamijenite ovo u formulu:
12=2 + (15-1)d
Radimo aritmetiku.)
12=2 + 14d
d=10/14 = 5/7
Ovo je tačan odgovor.
Dakle, zadaci za a n, a 1 I d odlučila. Ostaje samo naučiti kako pronaći broj:
Broj 99 je član aritmetičke progresije (a n), gdje je a 1 =12; d=3. Pronađite broj ovog člana.
Zamjenjujemo nam poznate količine u formulu n-tog člana:
a n = 12 + (n-1) 3
Na prvi pogled ovde postoje dve nepoznate količine: a n i n. Ali a n- ovo je neki član progresije sa brojem n...A mi poznajemo ovog člana progresije! To je 99. Ne znamo njegov broj. n, Dakle, ovaj broj je ono što trebate pronaći. Zamjenjujemo termin progresije 99 u formulu:
99 = 12 + (n-1) 3
Izražavamo iz formule n, mi mislimo. Dobijamo odgovor: n=30.
A sada problem na istu temu, ali kreativniji):
Odredite da li je broj 117 član aritmetičke progresije (a n):
-3,6; -2,4; -1,2 ...
Hajde da ponovo napišemo formulu. Šta, nema parametara? Hm... Zašto su nam date oči?) Vidimo li prvi član progresije? Vidimo. Ovo je -3,6. Možete sa sigurnošću napisati: a 1 = -3,6. Razlika d Možete li reći iz serije? Lako je ako znate koja je razlika aritmetičke progresije:
d = -2,4 - (-3,6) = 1,2
Dakle, uradili smo najjednostavniju stvar. Ostaje da se pozabavimo nepoznatim brojem n i nerazumljivi broj 117. U prethodnom zadatku se barem znalo da je zadan termin progresije. Ali ovde ni ne znamo... Šta da radimo!? Pa šta da se radi, šta da se radi... Uključi se Kreativne vještine!)
Mi pretpostavimo da je 117, na kraju krajeva, član našeg napredovanja. Sa nepoznatim brojem n. I, baš kao u prethodnom zadatku, pokušajmo pronaći ovaj broj. One. pišemo formulu (da, da!)) i zamjenjujemo naše brojeve:
117 = -3,6 + (n-1) 1,2
Opet izražavamo iz formulen, računamo i dobijamo:
Ups! Broj se ispostavio fractional! Sto jedan i po. I razlomci u progresijama ne može biti. Kakav zaključak možemo izvući? Da! Broj 117 niječlan našeg napredovanja. To je negdje između sto prvog i sto drugog pojma. Ako je broj ispao prirodan, tj. je pozitivan cijeli broj, tada bi broj bio član progresije s pronađenim brojem. A u našem slučaju, odgovor na problem će biti: br.
Zasnovano na zadatku prava opcija GIA:
Aritmetička progresija je data uslovom:
a n = -4 + 6.8n
Pronađite prvi i deseti član progresije.
Ovdje je progresija postavljena na neobičan način. Nekakva formula... Dešava se.) Međutim, ova formula (kao što sam gore napisao) - također formula za n-ti član aritmetičke progresije! Ona takođe dozvoljava pronađite bilo kojeg člana progresije po broju.
Tražimo prvog člana. Onaj koji misli. da je prvi član minus četiri je fatalna greška!) Zato što je formula u zadatku modifikovana. Prvi član aritmetičke progresije u njemu skriveno. U redu je, sada ćemo to pronaći.)
Kao iu prethodnim problemima, vršimo zamjenu n=1 u ovu formulu:
a 1 = -4 + 6,8 1 = 2,8
Evo! Prvi član je 2,8, a ne -4!
Deseti pojam tražimo na isti način:
a 10 = -4 + 6,8 10 = 64
To je to.
A sada, za one koji su pročitali ove redove, obećani bonus.)
Pretpostavimo da ste u teškoj borbenoj situaciji Državnog ispita ili Jedinstvenog državnog ispita zaboravili korisnu formulu za n-ti član aritmetičke progresije. Sjećam se nečega, ali nekako nesigurno... Ili n tamo, ili n+1, ili n-1... Kako biti!?
Miran! Ovu formulu je lako izvesti. Ne baš strogo, ali zbog samopouzdanja i ispravna odluka definitivno dovoljno!) Za zaključak je dovoljno zapamtiti elementarno značenje aritmetičke progresije i imati par minuta vremena. Samo treba da nacrtate sliku. Radi jasnoće.
Nacrtajte brojevnu pravu i označite prvu na njoj. drugi, treći itd. članovi. I primjećujemo razliku d između članova. Volim ovo:
Gledamo sliku i mislimo: čemu je jednak drugi član? Sekunda jedan d:
a 2 =a 1 + 1 d
Šta je treći termin? Treće pojam je jednak prvom članu plus dva d.
a 3 =a 1 + 2 d
Da li shvatate? Nije uzalud neke riječi podebljano. U redu, još jedan korak).
Šta je četvrti mandat? Četvrto pojam je jednak prvom članu plus tri d.
a 4 =a 1 + 3 d
Vrijeme je da shvatimo da je broj praznina, tj. d, Uvijek jedan manji od broja člana kojeg tražite n. Odnosno na broj n, broj razmakaće n-1. Stoga će formula biti (bez varijacija!):
| a n = a 1 + (n-1)d |
Općenito, vizualne slike su od velike pomoći u rješavanju mnogih matematičkih problema. Nemojte zanemariti slike. Ali ako je teško nacrtati sliku, onda ... samo formula!) Osim toga, formula n-tog člana omogućava vam da povežete cijeli moćni arsenal matematike s rješenjem - jednadžbe, nejednačine, sisteme itd. Ne možete da ubacite sliku u jednačinu...
Zadaci za samostalno rješavanje.
Za zagrijavanje:
1. U aritmetičkoj progresiji (a n) a 2 =3; a 5 =5.1. Pronađite 3.
Savjet: prema slici, problem se može riješiti za 20 sekundi... Prema formuli ispada teže. Ali za savladavanje formule, korisnije je.) U odjeljku 555, ovaj problem je riješen korištenjem i slike i formule. Osjetite razliku!)
I ovo više nije zagrijavanje.)
2. U aritmetičkoj progresiji (a n) a 85 =19,1; a 236 =49, 3. Pronađite a 3 .
Šta, ne želite da nacrtate sliku?) Naravno! Bolje po formuli, da...
3. Aritmetička progresija je data uslovom:a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Pronađite sto dvadeset peti član ove progresije.
U ovom zadatku, napredovanje je specificirano na ponavljajući način. Ali računajući do sto dvadeset i petog člana... Nije svako sposoban za takav podvig.) Ali formula n-tog člana je u moći svakoga!
4. S obzirom na aritmetičku progresiju (a n):
-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....
Pronađite broj najmanjeg pozitivnog člana progresije.
5. Prema uslovima zadatka 4, naći zbir najmanjeg pozitivnog i najvećeg negativnog člana progresije.
6. Proizvod petog i dvanaestog člana rastuće aritmetičke progresije jednak je -2,5, a zbir trećeg i jedanaestog člana jednak je nuli. Pronađite 14.
Nije najlakši zadatak, da...) Metoda "vrh prsta" ovdje neće raditi. Morat ćete napisati formule i riješiti jednačine.
Odgovori (u neredu):
3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5
Desilo se? Lijepo je!)
Nije sve u redu? Dešava se. Inače, u posljednjem zadatku postoji jedna suptilna točka. Biće potrebna pažnja prilikom čitanja problema. I logika.
Rješenje svih ovih problema je detaljno razmotreno u Odjeljku 555. I element fantazije za četvrti, i suptilna tačka za šesti, i opšti pristupi rješavati sve probleme koji uključuju formulu n-og člana - sve je napisano. Predlažem.
Ako vam se sviđa ovaj sajt...
Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)
Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učimo - sa interesovanjem!)
Možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.
Matrica A -1 naziva se inverzna matrica u odnosu na matricu A ako je A*A -1 = E, gdje je E matrica identiteta n-tog reda. Inverzna matrica može postojati samo za kvadratne matrice.
Svrha usluge. Korišćenjem ove usluge online možete pronaći algebarske komplemente, transponovanu matricu A T, srodnu matricu i inverznu matricu. Odluka se vrši direktno na web stranici (online) i besplatna je. Rezultati proračuna se prikazuju u izvještaju u Word i Excel formatu (tj. moguće je provjeriti rješenje). pogledajte primjer dizajna.
Instrukcije. Za dobivanje rješenja potrebno je specificirati dimenziju matrice. Zatim popunite matricu A u novom dijaloškom okviru.
Vidi također Inverzna matrica korištenjem Jordano-Gaussove metode
Algoritam za pronalaženje inverzne matrice
- Pronalaženje transponirane matrice A T .
- Definicija algebarskih komplementa. Zamijenite svaki element matrice njegovim algebarskim komplementom.
- Sastavljanje inverzne matrice iz algebarskih sabiranja: svaki element rezultirajuće matrice se dijeli determinantom originalne matrice. Rezultirajuća matrica je inverzna originalnoj matrici.
- Odredite da li je matrica kvadratna. Ako ne, onda za to ne postoji inverzna matrica.
- Izračunavanje determinante matrice A. Ako nije jednako nuli, nastavljamo sa rješenjem, inače inverzna matrica ne postoji.
- Definicija algebarskih komplementa.
- Ispunjavanje matrice unije (međusobne, spojene) C .
- Kompajliranje inverzne matrice iz algebarskih sabiranja: svaki element pridružene matrice C dijeli se determinantom originalne matrice. Rezultirajuća matrica je inverzna originalnoj matrici.
- Oni vrše provjeru: množe originalnu i rezultirajuću matrice. Rezultat bi trebao biti matrica identiteta.
Primjer br. 1. Zapišimo matricu u obliku:
| A -1 = |
|
Još jedan algoritam za pronalaženje inverzne matrice
Predstavimo još jednu šemu za pronalaženje inverzne matrice.- Pronađite determinantu date kvadratne matrice A.
- Pronalazimo algebarske komplemente svim elementima matrice A.
- Pišemo algebarsko dodavanje elemenata reda u stupce (transpozicija).
- Svaki element rezultirajuće matrice dijelimo determinantom matrice A.
Poseban slučaj: Inverzna matrica identiteta E je matrica identiteta E.
