Matematika je nauka koja gradi svijet. I naučnik i običan čovek - niko ne može bez toga. Najprije se mala djeca uče da broje, a zatim da zbrajaju, oduzimaju, množe i dijele srednja škola ući u igru slovne oznake, a u starijoj dobi ne možete bez njih.
Ali danas ćemo govoriti o tome na čemu se zasniva sva poznata matematika. O zajednici brojeva koja se naziva "granice sekvence".
Šta su sekvence i gdje je njihova granica?
Značenje riječi "sekvenca" nije teško protumačiti. Ovo je raspored stvari gdje se neko ili nešto nalazi u određenom redoslijedu ili redu. Na primjer, red za karte za zoološki vrt je niz. A može biti samo jedan! Ako, na primjer, pogledate red u trgovini, ovo je jedna sekvenca. A ako jedna osoba iz ovog reda odjednom ode, onda je ovo drugi red, drugi redosled.
Riječ "ograničenje" se također lako tumači - to je kraj nečega. Međutim, u matematici, granice nizova su one vrijednosti na brojevnoj liniji kojima niz brojeva teži. Zašto se trudi i ne završava? Jednostavno je, brojevna prava nema kraja, a većina nizova, poput zraka, ima samo početak i izgleda ovako:
x 1, x 2, x 3,...x n...
Stoga je definicija niza funkcija prirodnog argumenta. Više jednostavnim riječima je niz članova određenog skupa.
Kako se konstruiše niz brojeva?
Jednostavan primjer niza brojeva može izgledati ovako: 1, 2, 3, 4, …n…
U većini slučajeva, u praktične svrhe, nizovi se grade od brojeva, a svaki sljedeći član niza, označimo ga X, ima svoje ime. Na primjer:
x 1 je prvi član niza;
x 2 je drugi član niza;
x 3 je treći član;
x n je n-ti član.
U praktičnim metodama, redoslijed je dan općom formulom u kojoj postoji određena varijabla. Na primjer:
X n =3n, tada će sam niz brojeva izgledati ovako:
Vrijedi se sjetiti toga kada generalni rekord sekvence, možete koristiti bilo koja latinična slova, ne samo X. Na primjer: y, z, k, itd.
Aritmetička progresija kao dio nizova
Prije nego što potražimo granice nizova, preporučljivo je zaroniti dublje u sam koncept takvog brojevnog niza, s kojim se svako susreo u srednjoj školi. Aritmetička progresija je niz brojeva u kojima je razlika između susjednih članova konstantna.
Problem: „Neka je a 1 = 15, a korak progresije niza brojeva d = 4. Konstruišite prva 4 člana ove serije"
Rješenje: a 1 = 15 (po uslovu) je prvi član progresije (brojanog niza).
a 2 = 15+4=19 je drugi član progresije.
a 3 =19+4=23 je treći član.
a 4 =23+4=27 je četvrti član.
Međutim, korištenjem ove metode teško je doći do velikih vrijednosti, na primjer do 125. . Posebno za takve slučajeve izvedena je formula pogodna za praksu: a n =a 1 +d(n-1). U ovom slučaju, a 125 =15+4(125-1)=511.
Vrste sekvenci
Većina sekvenci je beskonačna, vrijedi ih pamtiti do kraja života. Postoje dvije zanimljive vrste brojevnih serija. Prva je data formulom a n =(-1) n. Matematičari ovu sekvencu često nazivaju flešerom. Zašto? Provjerimo njegovu seriju brojeva.
1, 1, -1, 1, -1, 1, itd. Uz ovakav primjer postaje jasno da se brojevi u nizovima lako mogu ponoviti.
Faktorski niz. Lako je pogoditi - formula koja definira niz sadrži faktorijel. Na primjer: a n = (n+1)!
Tada će redoslijed izgledati ovako:
a 2 = 1x2x3 = 6;
i 3 = 1x2x3x4 = 24, itd.
Niz definiran aritmetičkom progresijom naziva se beskonačno opadajući ako je nejednakost -1 zadovoljena za sve njegove članove i 3 = - 1/8, itd. Postoji čak i niz koji se sastoji od istog broja. Dakle, n =6 se sastoji od beskonačnog broja šestica. Ograničenja sekvenci odavno postoje u matematici. Naravno, oni zaslužuju vlastiti kompetentan dizajn. Dakle, vrijeme je da naučite definiciju granica sekvence. Prvo, pogledajmo detaljno ograničenje za linearnu funkciju: Lako je razumjeti da se definicija granice niza može formulirati na sljedeći način: to je određeni broj kojem se svi članovi niza beskonačno približavaju. Jednostavan primjer: a x = 4x+1. Tada će sama sekvenca izgledati ovako. 5, 9, 13, 17, 21…x… Dakle, ovaj niz će se neograničeno povećavati, što znači da je njegova granica jednaka beskonačnosti kao x→∞, i treba ga napisati ovako: Ako uzmemo sličan niz, ali x teži 1, dobićemo: A niz brojeva će biti ovakav: 1,4, 1,8, 4,6, 4,944, itd. Svaki put trebate zamijeniti broj bliži jedan (0,1, 0,2, 0,9, 0,986). Iz ove serije je jasno da je granica funkcije pet. Iz ovog dijela vrijedi se sjetiti što je granica numeričkog niza, definicija i način rješavanja jednostavnih problema. Nakon što ste ispitali ograničenje brojevnog niza, njegovu definiciju i primjere, možete prijeći na složeniju temu. Apsolutno sve granice sekvenci mogu se formulisati jednom formulom, koja se obično analizira u prvom semestru. Dakle, šta znači ovaj skup slova, modula i znakova nejednakosti? ∀ je univerzalni kvantifikator koji zamjenjuje izraze „za sve“, „za sve“ itd. ∃ je egzistencijalni kvantifikator, u ovom slučaju to znači da postoji neka vrijednost N koja pripada skupu prirodnih brojeva. Dugačak okomiti štap iza N znači da je dati skup N „takav“. U praksi to može značiti „takav taj“, „takav taj“ itd. Da biste ojačali materijal, pročitajte formulu naglas. Metoda pronalaženja granice nizova, o kojoj je gore bilo riječi, iako jednostavna za korištenje, nije toliko racionalna u praksi. Pokušajte pronaći ograničenje za ovu funkciju: Ako zamijenimo različite vrijednosti “x” (svaki put se povećavaju: 10, 100, 1000, itd.), tada ćemo dobiti ∞ u brojniku, ali i ∞ u nazivniku. Ovo rezultira prilično čudnim razlomkom: Ali da li je to zaista tako? Izračunavanje granice niza brojeva u ovom slučaju izgleda prilično lako. Moglo bi se ostaviti sve kako jeste, jer je odgovor spreman, i primljen je pod razumnim uslovima, ali postoji drugi način posebno za takve slučajeve. Prvo, pronađimo najviši stepen u brojiocu razlomka - to je 1, budući da se x može predstaviti kao x 1. Sada pronađimo najviši stepen u nazivniku. Takođe 1. Podijelimo i brojilac i imenilac promjenljivom do najvišeg stepena. U ovom slučaju podijelite razlomak sa x 1. Zatim ćemo pronaći kojoj vrijednosti teži svaki termin koji sadrži varijablu. U ovom slučaju se uzimaju u obzir razlomci. Kako je x→∞, vrijednost svakog razlomka teži nuli. Prilikom podnošenja pismenog rada treba da napravite sljedeće fusnote: Ovo rezultira sljedećim izrazom: Naravno, razlomci koji sadrže x nisu postali nule! Ali njihova vrijednost je toliko mala da je potpuno dopušteno ne uzeti je u obzir u proračunima. U stvari, x nikada neće biti jednako 0 u ovom slučaju, jer ne možete dijeliti sa nulom. Pretpostavimo da profesor ima na raspolaganju složen niz, očito dat jednako složenom formulom. Profesor je našao odgovor, ali da li je to tačno? Na kraju krajeva, svi ljudi griješe. Auguste Cauchy jednom je smislio odličan način da dokaže granice sekvenci. Njegova metoda se zvala manipulacija susjedstvom. Pretpostavimo da postoji određena tačka a čije je susjedstvo u oba smjera na brojevnoj pravoj jednako ε („epsilon“). Pošto je zadnja varijabla udaljenost, njena vrijednost je uvijek pozitivna. Hajde sada da definišemo neki niz x n i pretpostavimo da je deseti član niza (x 10) uključen u okolinu a. Kako možemo tu činjenicu napisati matematičkim jezikom? Recimo da je x 10 desno od tačke a, a zatim rastojanje x 10 -a<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х 10 -а|<ε. Sada je vrijeme da u praksi objasnimo formulu o kojoj smo gore govorili. Pošteno je nazvati određeni broj krajnjom točkom niza ako je za bilo koju njegovu granicu zadovoljena nejednakost ε>0, a čitava okolina ima svoj prirodni broj N, tako da svi članovi niza s višim brojevima će biti unutar niza |x n - a|< ε. Sa takvim znanjem lako je riješiti granice niza, dokazati ili opovrgnuti gotov odgovor. Teoreme o granicama nizova su važna komponenta teorije, bez koje je praksa nemoguća. Postoje samo četiri glavne teoreme čije pamćenje može učiniti rješenje ili dokaz mnogo lakšim: Ponekad morate riješiti inverzni problem, dokazati datu granicu numeričkog niza. Pogledajmo primjer. Dokažite da je granica niza zadanog formulom nula. Prema pravilu o kojem smo gore govorili, za bilo koji niz vrijedi nejednakost |x n - a|<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим: Izrazimo n kroz “epsilon” da pokažemo postojanje određenog broja i dokažemo postojanje granice niza. U ovom trenutku, važno je zapamtiti da su “epsilon” i “en” pozitivni brojevi i nisu jednaki nuli. Sada je moguće nastaviti dalje transformacije koristeći znanje o nejednakostima stečeno u srednjoj školi. Kako ispada da je n > -3 + 1/ε. Budući da je vrijedno zapamtiti da govorimo o prirodnim brojevima, rezultat se može zaokružiti stavljanjem u uglaste zagrade. Tako je dokazano da je za bilo koju vrijednost “epsilon” susjedstva tačke a = 0 pronađena vrijednost takva da je početna nejednakost zadovoljena. Odavde možemo sa sigurnošću reći da je broj a granica datog niza. Q.E.D. Ova zgodna metoda može se koristiti za dokazivanje granice numeričkog niza, ma koliko složena na prvi pogled bila. Glavna stvar je da ne paničite kada vidite zadatak. Postojanje ograničenja konzistentnosti nije neophodno u praksi. Lako možete naići na niz brojeva kojima zaista nema kraja. Na primjer, isto “bljeskajuće svjetlo” x n = (-1) n. Očigledno je da niz koji se sastoji od samo dvije cifre, koji se ciklički ponavlja, ne može imati ograničenje. Ista priča se ponavlja sa nizovima koji se sastoje od jednog broja, razlomaka, koji imaju nesigurnost bilo kojeg reda tokom izračunavanja (0/0, ∞/∞, ∞/0, itd.). Međutim, treba imati na umu da se javljaju i pogrešni proračuni. Ponekad će vam dvostruka provjera vlastitog rješenja pomoći da pronađete ograničenje sekvence. Gore je razmotreno nekoliko primjera sekvenci i metoda za njihovo rješavanje, a sada pokušajmo uzeti konkretniji slučaj i nazvati ga "monotonični niz". Definicija: bilo koji niz se s pravom može nazvati monotono rastućim ako za njega vrijedi stroga nejednakost x n< x n +1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x n >x n +1. Uz ova dva uslova, postoje i slične nestroge nejednakosti. Prema tome, x n ≤ x n +1 (neopadajuća sekvenca) i x n ≥ x n +1 (neopadajuća sekvenca). Ali to je lakše razumjeti na primjerima. Niz dat formulom x n = 2+n formira sljedeće nizove brojeva: 4, 5, 6, itd. Ovo je monotono rastući niz. A ako uzmemo x n =1/n, dobićemo niz: 1/3, ¼, 1/5, itd. Ovo je monotono opadajući niz. Ograničeni niz je niz koji ima ograničenje. Konvergentni niz je niz brojeva koji ima beskonačno malu granicu. Dakle, granica ograničenog niza je bilo koji realan ili kompleksan broj. Zapamtite da može postojati samo jedno ograničenje. Granica konvergentnog niza je infinitezimalna (realna ili kompleksna) veličina. Ako nacrtate dijagram sekvence, tada će se u određenom trenutku činiti da konvergira, ima tendenciju da se pretvori u određenu vrijednost. Otuda i naziv - konvergentni niz. Može, ali i ne mora postojati ograničenje za takav niz. Prvo, korisno je razumjeti kada postoji; odavde možete početi s dokazivanjem odsustva ograničenja. Među monotonim nizovima razlikuju se konvergentne i divergentne. Konvergentan je niz koji je formiran skupom x i ima realnu ili kompleksnu granicu u ovom skupu. Divergentan je niz koji nema ograničenja u svom skupu (ni realan ni složen). Štaviše, niz konvergira ako se, u geometrijskom prikazu, konvergiraju njegove gornje i donje granice. Granica konvergentnog niza može biti nula u mnogim slučajevima, budući da svaki infinitezimalni niz ima poznatu granicu (nulu). Koji god konvergentni niz da uzmete, svi su oni ograničeni, ali se ne konvergiraju svi ograničeni nizovi. Zbir, razlika, proizvod dva konvergentna niza je takođe konvergentan niz. Međutim, količnik također može biti konvergentan ako je definiran! Ograničenja sekvenci su značajna (u većini slučajeva) kao cifre i brojevi: 1, 2, 15, 24, 362, itd. Ispostavilo se da se neke operacije mogu izvesti sa ograničenjima. Prvo, poput cifara i brojeva, granice bilo kojeg niza mogu se dodavati i oduzimati. Na osnovu treće teoreme o granicama nizova, vrijedi sljedeća jednakost: granica zbira nizova jednaka je zbiru njihovih granica. Drugo, na osnovu četvrte teoreme o granicama nizova, tačna je sljedeća jednakost: granica proizvoda n-tog broja nizova jednaka je proizvodu njihovih granica. Isto važi i za deljenje: granica količnika dva niza jednaka je količniku njihovih granica, pod uslovom da granica nije nula. Na kraju krajeva, ako je granica nizova jednaka nuli, tada će rezultirati podjela na nulu, što je nemoguće. Čini se da je ograničenje numeričkog niza već detaljno razmotreno, ali fraze kao što su „beskonačno mali“ i „beskonačno veliki“ brojevi spominju se više puta. Očigledno, ako postoji niz 1/x, gdje je x→∞, onda je takav razlomak beskonačno mali, a ako isti niz, ali granica teži nuli (x→0), tada razlomak postaje beskonačno velika vrijednost. I takve količine imaju svoje karakteristike. Svojstva granice niza koji imaju bilo koju malu ili veliku vrijednost su sljedeća: U stvari, izračunavanje granice niza nije tako težak zadatak ako poznajete jednostavan algoritam. Ali granice dosljednosti su tema koja zahtijeva maksimalnu pažnju i upornost. Naravno, dovoljno je jednostavno shvatiti suštinu rješenja ovakvih izraza. Počevši od malog, vremenom možete postići velike visine. Neka X (\displaystyle X) je ili skup realnih brojeva R (\displaystyle \mathbb (R) ), ili skup kompleksnih brojeva C (\displaystyle \mathbb (C) ). Zatim sekvenca ( x n ) n = 1 ∞ (\displaystyle \(x_(n)\)_(n=1)^(\infty )) elementi skupa X (\displaystyle X) pozvao numerički niz. Subsequence
sekvence (x n) (\displaystyle (x_(n)))- ovo je sekvenca (x n k) (\displaystyle (x_(n_(k)))), Gdje (n k) (\displaystyle (n_(k)))- rastući niz elemenata skupa prirodnih brojeva. Drugim riječima, podniz se dobija iz niza uklanjanjem konačnog ili prebrojivog broja elemenata. Granična tačka sekvence
je tačka u bilo kojoj okolini u kojoj postoji beskonačno mnogo elemenata ovog niza. Za konvergentne nizove brojeva, granična tačka se poklapa sa granicom. Granica sekvence
- ovo je objekt kojem se članovi niza približavaju kako se broj povećava. Dakle, u proizvoljnom topološkom prostoru, granica niza je element u bilo kojoj okolini u kojem leže svi članovi niza, počevši od određene tačke. Konkretno, za nizove brojeva, granica je broj u bilo kojoj okolini u kojem leže svi članovi niza koji počinju od određene tačke. Fundamental Sequence
(konvergentni niz
, Cauchy sekvenca
) je niz elemenata metričkog prostora u kojem, za bilo koju unaprijed određenu udaljenost, postoji element čija udaljenost do bilo kojeg od sljedećih elemenata ne prelazi datu. Za numeričke nizove, koncepti osnovnih i konvergentnih nizova su ekvivalentni, ali općenito to nije slučaj. Ako je funkcija definirana na skupu prirodnih brojeva N, onda se takva funkcija naziva beskonačnim nizom brojeva. Tipično, niz brojeva se označava kao (Xn), gdje n pripada skupu prirodnih brojeva N. Brojčani niz se može odrediti formulom. Na primjer, Xn=1/(2*n). Dakle, svaki prirodni broj n povezujemo sa nekim specifičnim elementom niza (Xn). Ako sada sukcesivno uzmemo n jednako 1,2,3, …., dobićemo niz (Xn): ½, ¼, 1/6, …, 1/(2*n), … Niz može biti ograničen ili neograničen, rastući ili opadajući. Slijed (Xn) poziva ograničeno, ako postoje dva broja m i M takva da za bilo koji n koji pripada skupu prirodnih brojeva vrijedi jednakost m<=Xn sekvenca (Xn), nije ograničen, nazivaju neograničeni niz. povećanje, ako za sve prirodne n vrijedi sljedeća jednakost X(n+1) > Xn. Drugim riječima, svaki član niza, počevši od drugog, mora biti veći od prethodnog člana. Niz (Xn) se zove smanjenje, ako za sve prirodne n vrijedi sljedeća jednakost X(n+1).< Xn. Иначе говоря, каждый член последовательности, начиная со второго, должен быть меньше предыдущего члена. Provjerimo da li su sekvence 1/n i (n-1)/n opadajuće. Ako je niz opadajući, onda X(n+1)< Xn. Следовательно X(n+1) - Xn < 0. X(n+1) - Xn = 1/(n+1) - 1/n = -1/(n*(n+1))< 0. Значит последовательность 1/n убывающая. (n-1)/n: X(n+1) - Xn =n/(n+1) - (n-1)/n = 1/(n*(n+1)) > 0. To znači niz (n-1)/n se povećava. Vida y= f(x), x O N,
Gdje N– skup prirodnih brojeva (ili funkcija prirodnog argumenta), označen y=f(n)
ili y 1 ,y 2 ,…, y n,…. Vrijednosti y 1 ,y 2 ,y 3 ,…
nazivaju se redom prvi, drugi, treći, ... članovi niza. Na primjer, za funkciju y= n 2 se može napisati: y 1 = 1 2 = 1; y 2 = 2 2 = 4; y 3 = 3 2 = 9;…y n = n 2 ;… Metode za određivanje sekvenci. Sekvence se mogu specificirati na različite načine, među kojima su tri posebno važna: analitički, deskriptivni i rekurentni.
1. Niz je zadan analitički ako je data njegova formula nčlan: y n=f(n). Primjer. y n= 2n – 1 –
niz neparnih brojeva: 1, 3, 5, 7, 9, … 2. Deskriptivna
Način specificiranja numeričkog niza je da se objasni od kojih elemenata je niz izgrađen. Primjer 1. "Svi članovi niza su jednaki 1." To znači da govorimo o stacionarnom nizu 1, 1, 1, …, 1, …. Primjer 2: "Niz se sastoji od svih prostih brojeva u rastućem redoslijedu." Dakle, dati niz je 2, 3, 5, 7, 11, …. Sa ovom metodom specificiranja niza u ovom primjeru, teško je odgovoriti čemu je, recimo, jednak 1000. element niza. 3. Rekurentna metoda specificiranja niza je specificiranje pravila koje vam omogućava da izračunate n-ti član niza ako su poznati njegovi prethodni članovi. Naziv rekurentna metoda dolazi od latinske riječi ponavljajuća- vrati se. Najčešće se u takvim slučajevima navodi formula koja omogućava izražavanje n 2. člana niza kroz prethodne i specificirajte 1–2 početna člana niza. Primjer 1. y 1 = 3; y n = y n–1 + 4 ako n = 2, 3, 4,…. Evo y 1 = 3; y 2 = 3 + 4 = 7;y 3 = 7 + 4 = 11; …. Možete vidjeti da se sekvenca dobivena u ovom primjeru može odrediti i analitički: y n= 4n – 1. Primjer 2. y 1 = 1; y 2 = 1; y n = y n –2 + y n–1 ako n = 3, 4,…. ovdje: y 1 = 1; y 2 = 1; y 3 = 1 + 1 = 2; y 4 = 1 + 2 = 3; y 5 = 2 + 3 = 5; y 6 = 3 + 5 = 8; Niz u ovom primjeru se posebno proučava u matematici jer ima niz zanimljivih svojstava i primjena. Zove se Fibonačijev niz, po imenu italijanskog matematičara iz 13. veka. Vrlo je lako definirati Fibonačijev niz ponavljajući se, ali vrlo teško analitički. n Fibonačijev broj se izražava kroz njegov serijski broj sljedećom formulom. Na prvi pogled, formula za n Fibonačijev broj se čini nevjerovatnim, budući da formula koja specificira niz prirodnih brojeva sadrži samo kvadratne korijene, ali možete "ručno" provjeriti valjanost ove formule za prvih nekoliko n. Numerički niz je poseban slučaj numeričke funkcije, stoga se brojna svojstva funkcija također razmatraju za nizove. Definicija .
Slijed ( y n}
naziva se rastućim ako je svaki njegov član (osim prvog) veći od prethodnog: y 1 y 2 y 3 y n y n +1 Definition.Sequence ( y n}
naziva se opadajućim ako je svaki njegov član (osim prvog) manji od prethodnog: y 1 > y 2 > y 3 > … > y n> y n +1 > …
. Rastući i opadajući nizovi se kombinuju pod zajedničkim pojmom - monotoni nizovi. Primjer 1. y 1 = 1; y n= n 2 – rastući niz. Dakle, tačna je sljedeća teorema (karakteristično svojstvo aritmetičke progresije). Brojevni niz je aritmetički ako i samo ako je svaki njegov član, osim prvog (i posljednjeg u slučaju konačnog niza), jednak aritmetičkoj sredini prethodnog i narednih članova. Primjer. Po kojoj vrednosti x brojevi 3 x + 2, 5x– 4 i 11 x+ 12 formira konačnu aritmetičku progresiju? Prema karakterističnom svojstvu, dati izrazi moraju zadovoljiti relaciju 5x – 4 = ((3x + 2) + (11x + 12))/2. Rješavanje ove jednačine daje x= –5,5.
Na ovoj vrijednosti x dati izrazi 3 x + 2, 5x– 4 i 11 x+ 12 uzimaju, respektivno, vrijednosti -14,5,
–31,5, –48,5.
Ovo - aritmetička progresija, njegova razlika je –17. Numerički niz čiji su svi članovi različiti od nule i svaki od njih, počevši od drugog, dobija se iz prethodnog člana množenjem istim brojem q, zvao geometrijska progresija, i broj q- imenilac geometrijske progresije. Dakle, geometrijska progresija je niz brojeva ( b n), definisan rekurzivno relacijama b 1 = b, b n = b n –1 q (n = 2, 3, 4…). (b I q – dati brojevi, b ≠ 0, q ≠ 0). Primjer 1. 2, 6, 18, 54, ... – rastuća geometrijska progresija b = 2, q = 3. Primjer 2. 2, –2, 2, –2, … –
geometrijska progresija b= 2,q= –1. Primjer 3. 8, 8, 8, 8, … –
geometrijska progresija b= 8, q= 1. Geometrijska progresija je rastući niz ako b 1 > 0, q> 1, a opadajuće ako b 1 > 0, 0 q Jedno od očiglednih svojstava geometrijske progresije je da ako je niz geometrijska progresija, onda je i niz kvadrata, tj. b 1 2 , b 2 2 , b 3 2 , …, b n 2,... je geometrijska progresija čiji je prvi član jednak b 1 2 , a imenilac je q 2 . Formula n- th član geometrijske progresije ima oblik b n= b 1 qn– 1 . Možete dobiti formulu za zbir članova konačne geometrijske progresije. Neka je dana konačna geometrijska progresija b 1 ,b 2 ,b 3 , …, b n neka S n – zbir njenih članova, tj. S n= b 1 + b 2 + b 3 + … +b n. To je prihvaćeno q br. 1. Odrediti S n koristi se vještačka tehnika: neki geometrijske transformacije izrazi S n q. S n q = (b 1 + b 2 + b 3 + … + b n –1 + b n)q = b 2 + b 3 + b 4 + …+ b n+ b n q = S n+ b n q– b 1 . dakle, S n q= S n +b n q – b 1 i stoga Ovo je formula sa umma n pojmove geometrijske progresije za slučaj kada q≠ 1. At q= 1 formula se ne mora izvoditi odvojeno, očito je da u ovom slučaju S n= a 1 n. Progresija se naziva geometrijska jer je svaki član u njoj, osim prvog, jednak geometrijskoj sredini prethodnog i narednih članova. Zaista, pošto bn=bn- 1 q; bn = bn+ 1 /q, dakle, b n 2=bn– 1 bn+ 1 i tačna je sljedeća teorema (karakteristično svojstvo geometrijske progresije): niz brojeva je geometrijska progresija ako i samo ako je kvadrat svakog njegovog člana, osim prvog (i posljednjeg u slučaju konačnog niza), jednak proizvodu prethodnog i narednog člana. Neka postoji niz ( c n} = {1/n}.
Ovaj niz se naziva harmonijski, jer je svaki njegov član, počevši od drugog, harmonijska sredina između prethodnog i narednog člana. Geometrijska sredina brojeva a I b postoji broj Inače se niz naziva divergentan. Na osnovu ove definicije može se, na primjer, dokazati postojanje granice A=0 za harmonijski niz ( c n} =
{1/n). Neka je ε proizvoljno mali pozitivan broj. Razlika se uzima u obzir Da li tako nešto postoji? N to je za sve n ≥ N važi nejednakost 1 /N ? Ako to uzmemo kao N bilo koji prirodni broj, prekoračenje
1/ε
, zatim za sve n ≥ N važi nejednakost 1 /n ≤
1/N ε ,
Q.E.D.
Dokazivanje prisustva ograničenja za određeni niz ponekad može biti vrlo teško. Najčešći nizovi su dobro proučeni i navedeni su u referentnim knjigama. Postoje važne teoreme koje vam omogućavaju da zaključite da dati niz ima ograničenje (pa čak i izračunate ga), na osnovu već proučavanih sekvenci. Teorema 1. Ako niz ima ograničenje, onda je ograničen. Teorema 2. Ako je niz monotoničan i ograničen, onda ima granicu. Teorema 3. Ako je niz ( a n}
ima ograničenje A, zatim sekvence ( ca n}, {a n+ c)
i (| a n|}
imaju granice cA, A +c, |A| shodno tome (ovde c– proizvoljan broj). Teorema 4. Ako su nizovi ( a n}
i ( b n) imaju granice jednake A I B pa n + qbn) ima ograničenje pA+ qB. Teorema 5. Ako su nizovi ( a n) I ( b n)imaju granice jednake A I B shodno tome, onda sekvenca ( a n b n) ima ograničenje AB. Teorema 6. Ako su nizovi ( a n}
i ( b n) imaju granice jednake A I B shodno tome, i, pored toga, b n ≠ 0 i B≠ 0, zatim niz ( a n / b n) ima ograničenje A/B. Anna Chugainova Predavanje 8. Numerički nizovi. Definicija8.1.
Ako je svaka vrijednost povezana prema određenom zakonu s određenim realnim brojemx n , zatim skup numeriranih realnih brojeva zvaćemonumerički niz
ili samo niz. Pojedinačni brojevi x n
elemenata ili članova niza
(8.1). Slijed se može dati uobičajenom formulom pojma, na primjer: 8.1. Aritmetičke operacije sa nizovima. Razmotrite dva niza: Definicija 8.2.
Hajde da pozovemoproizvod niza
Nazovimo sekvencu zbir sekvenci
(8.1) i (8.2), zapisujemo je ovako: ; slično 8.2. Ograničeni i neograničeni nizovi. Skup svih elemenata proizvoljnog niza Definicija 8.3.
Subsequence Definicija 8.4.
Subsequence Definicija 8.5.Subsequence mIM– donje i gornje ivice Nejednakosti (8.3) se nazivaju uslov ograničenosti niza
Na primjer, sekvenca ♦ Izjava 8.1.
Dokaz. Hajde da izaberemo Definicija 8.6.
Subsequence Na primjer, niz 1, 2, 1, 4, …, 1, 2 n, … neograničeno, jer ograničen samo odozdo. 8.3. Beskonačno veliki i beskonačno mali nizovi. Definicija 8.7.
Subsequence ☼ Napomena 8.1. Ako je niz beskonačno velik, onda je neograničen. Ali ne treba misliti da je bilo koji neograničeni niz beskonačno velik. Na primjer, sekvenca Primjer 8.1. Definicija 8.8.
Subsequence Primjer 8.2. Dokažimo da je niz Uzmimo bilo koji broj ♦ Izjava 8.2.
Subsequence Dokaz. 1) Neka prvo Jer Dakle, za 2) Razmotrite slučaj Neka Popravljamo Za 8.4. Osnovna svojstva infinitezimalnih nizova. ♦ Teorema 8.1.Suma Dokaz. Popravljamo ♦ Teorema 8.2.
Razlika Za dokaz teoreme, dovoljno je koristiti nejednakost . ■ Posljedica.Algebarski zbir bilo kojeg konačnog broja infinitezimalnih nizova je infinitezimalni niz. ♦ Teorema 8.3.Proizvod ograničenog niza i infinitezimalnog niza je beskonačno mali niz. Dokaz.
♦ Teorema 8.4.Svaki infinitezimalni niz je ograničen. Dokaz. Popravljamo Posljedica.
Proizvod dva (i bilo kojeg konačnog broja) infinitezimalnih nizova je beskonačno mali niz. ♦ Teorema 8.5. Ako su svi elementi infinitezimalnog niza Dokaz Teorema se izvodi kontradiktorno, ako označimo ♦ Teorema 8.6. 1) Ako 2)
Ako su svi elementi infinitezimalnog niza Dokaz. 1) Neka 2) Neka Određivanje granice sekvence
Opća oznaka za granicu sekvenci
Neizvjesnost i izvjesnost granice
Šta je komšiluk?
Teoreme
Dokaz sekvenci
Ili ga možda nema?
Monotoni niz
Granica konvergentnog i ograničenog niza
Granica monotonog niza
Razne akcije s ograničenjima
Svojstva sekvenci veličina
Primjeri
Operacije nad sekvencama
Podsekvence
Primjeri
Svojstva
Granica sekvence
Fundamental Sequences
Vrste sekvenci
Primjer sekvence
Svojstva brojčanih nizova.
Geometrijska progresija.
Granica konzistencije.
–
skraćenica 
,
(8.1)
ili 
. Niz se može specificirati dvosmisleno, na primjer, niz –1, 1, –1, 1, ... može se specificirati formulom 
ili 
. Ponekad se koristi rekurentna metoda specificiranja niza: specificira se prvih nekoliko članova niza i formula za izračunavanje sljedećih elemenata. Na primjer, niz definiran prvim elementom i relacijom ponavljanja 
(aritmetička progresija). Razmotrite niz tzv blizu Fibonaccija: prva dva elementa su postavljena x 1 =1,
x 2 =1 i rekurentna relacija 
na bilo koji 
. Dobijamo niz brojeva 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …. Za takvu seriju prilično je teško pronaći formulu za zajednički pojam.
(8.1)
po broju
mpodsekvenca 
. Hajde da to napišemo ovako: 
.
nazovimo razlika u sekvenci
(8.1) i (8.2); 
proizvod sekvenci
(8.1) i (8.2); 
privatne sekvence
(8.1) i (8.2) (svi elementi 
).
formira određeni skup brojeva koji se može ograničiti odozgo (odozdo) i za koji vrijede definicije slične onima uvedenim za realne brojeve.
pozvaoomeđen iznad
, Ako ; M
gornja ivica.
pozvaoograničen ispod
, Ako ;m
donja ivica.
pozvaoograničeno
, ako je ograničen i odozgo i odozdo, odnosno ako postoje dva realna broja M im
tako da svaki element niza 
zadovoljava nejednakosti:
,
(8.3)
.
.
ograničeno i 
neograničeno.
je ograničen
.
. Prema definiciji 8.5, sekvenca 
će biti ograničen. ■
pozvaoneograničeno
, ako za bilo koji pozitivan (bez obzira koliko veliki) realan broj A postoji barem jedan element nizax n , zadovoljavajući nejednakost: 
.
pozvaobeskonačno velika
, ako za bilo koji (bez obzira koliko veliki) realan broj A postoji broj
tako da pred svima 
elementix n 
.
nije ograničeno, ali nije beskonačno veliko, jer stanje 
ne važi za sve čak n.
☼
je beskonačno velika. Uzmimo bilo koji broj A>0. Od nejednakosti 
dobijamo n>A. Ako uzmete 
, zatim za sve n>N nejednakost će biti zadovoljena 
, odnosno, prema definiciji 8.7, niz 
beskonačno velika.
pozvaoinfinitezimal
, ako za 
(koliko god želite 
) postoji broj
tako da pred svima 
elementi 
ovaj niz zadovoljava nejednakost 
.
beskrajno mali.
. Od nejednakosti 
dobijamo 
. Ako uzmete 
, zatim za sve n>N nejednakost će biti zadovoljena
.
je beskonačno velika pri 
i beskonačno mali pri
.
:
, Gdje 
. Prema Bernoullijevoj formuli (primjer 6.3, stav 6.1.) 
. Popravi proizvoljan pozitivan broj A i izaberite broj iz njega N tako da je tačna sljedeća nejednakost:
,
,
,
.
, zatim svojstvom proizvoda realnih brojeva za sve 
.
postoji takav broj 
to pred svima 
– beskonačno velika pri 
.
,
(kod q=0 imamo trivijalan slučaj).
, Gdje 
, prema Bernoullijevoj formuli 
ili 
.
,
i biraj 
takav da
,
,
.
. Označimo ovaj broj N to pred svima 
, odnosno kada 
podsekvenca 
beskrajno mali. ■
I 
;
– beskonačno mali 
,
– beskonačno mali 
. Hajde da izaberemo 
. Zatim u 
,
,
.
■
dva infinitezimalna niza 
I 
postoji beskonačno mali niz.
– ograničeno, 
je beskonačno mali niz. Popravljamo 
;
,
;
: at 
fer 
. Onda 
.
■
Neka neki broj. Onda 
za sve brojeve n, što znači da je niz ograničen. ■
jednak istom brojuc, tada c= 0.
.
■
je beskonačno veliki niz, dakle, počevši od nekog brojan, kvocijent je definiran 
dvije sekvence 
I 
, što je beskonačno mali niz.
su različiti od nule, onda količnik 
dvije sekvence 
I 
je beskonačno veliki niz.
– beskonačno veliki niz. Popravljamo 
;
ili 
at 
. Dakle, po definiciji 8.8 sekvenca 
– beskonačno mali.
je beskonačno mali niz. Pretpostavimo da su svi elementi 
razlikuju se od nule. Popravljamo A;
ili 
at 
. Po definiciji 8.7 sekvenca 
beskonačno velika. ■
