|BD|
- длина дуги окружности с центром в точке A
.
α
- угол, выраженный в радианах.
Синус (sin
α
) - это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины противолежащего катета |BC| к длине гипотенузы |AC|.
Косинус (cos
α
) - это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины прилежащего катета |AB| к длине гипотенузы |AC|.
Принятые обозначения
;
;
.
;
;
.
График функции синус, y = sin x
График функции косинус, y = cos x
Свойства синуса и косинуса
Периодичность
Функции y = sin x и y = cos x периодичны с периодом 2 π .
Четность
Функция синус - нечетная. Функция косинус - четная.
Область определения и значений, экстремумы, возрастание, убывание
Функции синус и косинус непрерывны на своей области определения, то есть для всех x (см. доказательство непрерывности). Их основные свойства представлены в таблице (n - целое).
y = sin x | y = cos x | |
Область определения и непрерывность | - ∞ < x < + ∞ | - ∞ < x < + ∞ |
Область значений | -1 ≤ y ≤ 1 | -1 ≤ y ≤ 1 |
Возрастание | ||
Убывание | ||
Максимумы, y = 1 | ||
Минимумы, y = -1 | ||
Нули, y = 0 | ||
Точки пересечения с осью ординат, x = 0 | y = 0 | y = 1 |
Основные формулы
Сумма квадратов синуса и косинуса
Формулы синуса и косинуса от суммы и разности
;
;
Формулы произведения синусов и косинусов
Формулы суммы и разности
Выражение синуса через косинус
;
;
;
.
Выражение косинуса через синус
;
;
;
.
Выражение через тангенс
; .
При ,
имеем:
;
.
При :
;
.
Таблица синусов и косинусов, тангенсов и котангенсов
В данной таблице представлены значения синусов и косинусов при некоторых значениях аргумента.
Выражения через комплексные переменные
;
Формула Эйлера
Выражения через гиперболические функции
;
;
Производные
; . Вывод формул > > >
Производные n-го порядка:
{ -∞ <
x < +∞ }
Секанс, косеканс
Обратные функции
Обратными функциями к синусу и косинусу являются арксинус и арккосинус , соответственно.
Арксинус, arcsin
Арккосинус, arccos
Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
Урок и презентация на тему: "Функция y=sin(x). Определения и свойства"
Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.
Пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 10 класса от 1С
Решаем задачи по геометрии. Интерактивные задания на построение для 7-10 классов
Программная среда "1С: Математический конструктор 6.1"
Что будем изучать:
- Свойства функции Y=sin(X).
- График функции.
- Как строить график и его масштаб.
- Примеры.
Свойства синуса. Y=sin(X)
Ребята, мы уже познакомились с тригонометрическими функциями числового аргумента. Вы помните их?
Давайте познакомимся поближе с функцией Y=sin(X)
Запишем некоторые свойства этой функции:
1) Область определения – множество действительных чисел.
2) Функция нечетная. Давайте вспомним определение нечетной функции. Функция называется нечетной если
выполняется равенство: y(-x)=-y(x). Как мы помним из формул привидения: sin(-x)=-sin(x). Определение выполнилось, значит Y=sin(X) – нечетная функция.
3) Функция Y=sin(X) возрастает на отрезке и убывает на отрезке [π/2; π]. Когда мы движемся по первой четверти (против часовой стрелки), ордината увеличивается, а при движении по второй четверти она уменьшается.
4) Функция Y=sin(X) ограничена снизу и сверху. Данное свойство следует из того, что
-1 ≤ sin(X) ≤ 1
5) Наименьшее значение функции равно -1 (при х = - π/2+ πk). Наибольшее значение функции равно 1 (при х = π/2+ πk).
Давайте, воспользовавшись свойствами 1-5, построим график функции Y=sin(X). Будем строить наш график последовательно, применяя наши свойства. Начнем строить график на отрезке .
Особое внимание стоит обратить на масштаб. На оси ординат удобнее принять единичный отрезок равный 2 клеточкам, а на оси абсцисс - единичный отрезок (две клеточки) принять равным π/3 (смотрите рисунок).
Построение графика функции синус х, y=sin(x)
Посчитаем значения функции на нашем отрезке:
Построим график по нашим точкам, с учетом третьего свойства.
Таблица преобразований для формул привидения
Воспользуемся вторым свойством, которое говорит, что наша функция нечетная, а это значит, что ее можно отразить симметрично относительно начало координат:
Мы знаем, что sin(x+ 2π) = sin(x). Это значит, что на отрезке [- π; π] график выглядит так же, как на отрезке [π; 3π] или или [-3π; - π] и так далее. Нам остается аккуратно перерисовать график на предыдущем рисунке на всю ось абсцисс.
График функции Y=sin(X) называют - синусоидой.
Напишем еще несколько свойств согласно построенному графику:
6) Функция Y=sin(X) возрастает на любом отрезке вида: [- π/2+ 2πk; π/2+ 2πk], k – целое число и убывает на любом отрезке вида: [π/2+ 2πk; 3π/2+ 2πk], k – целое число.
7) Функция Y=sin(X) – непрерывная функция. Посмотрим на график функции и убедимся что у нашей функции нет разрывов, это и означает непрерывность.
8) Область значений: отрезок [- 1; 1]. Это также хорошо видно из графика функции.
9) Функция Y=sin(X) - периодическая функция. Посмотрим опять на график и увидим, что функция принимает одни и те же значения, через некоторые промежутки.
Примеры задач с синусом
1. Решить уравнение sin(x)= x-π
Решение: Построим 2 графика функции: y=sin(x) и y=x-π (см. рисунок).
Наши графики пересекаются в одной точке А(π;0), это и есть ответ: x = π
2. Построить график функции y=sin(π/6+x)-1
Решение: Искомый график получится путем переноса графика функции y=sin(x) на π/6 единиц влево и 1 единицу вниз.
Решение: Построим график функции и рассмотрим наш отрезок [π/2; 5π/4].
На графике функции видно, что наибольшие и наименьшие значения достигаются на концах отрезка, в точках π/2 и 5π/4 соответственно.
Ответ: sin(π/2) = 1 – наибольшее значение, sin(5π/4) = наименьшее значение.
Задачи на синус для самостоятельного решения
- Решите уравнение: sin(x)= x+3π, sin(x)= x-5π
- Построить график функции y=sin(π/3+x)-2
- Построить график функции y=sin(-2π/3+x)+1
- Найти наибольшее и наименьшее значение функции y=sin(x) на отрезке
- Найти наибольшее и наименьшее значение функции y=sin(x) на отрезке [- π/3; 5π/6]
ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
Функция синус
— множество R
всех действительных чисел.
Множество значений функции — отрезок [-1; 1], т.е. синус функция — ограниченная .
Функция нечетная:
sin(−x)=−sin x для всех х ∈ R
.
Функция периодическая
sin(x+2π· k) = sin x, где k ∈ Z для всех х ∈ R .
sin x = 0 при x = π·k , k ∈ Z .
sin x > 0 (положительная) для всех x ∈ (2π·k , π+2π·k ), k ∈ Z .
sin x < 0 (отрицательная) для всех x ∈ (π+2π·k , 2π+2π·k ), k ∈ Z .
Функция косинус
Область определения функции
— множество R
всех действительных чисел.
Множество значений функции — отрезок [-1; 1], т.е. косинус функция — ограниченная .
Функция четная:
cos(−x)=cos x для всех х ∈ R
.
Функция периодическая с наименьшим положительным периодом 2π :
cos(x+2π· k ) = cos x, где k ∈ Z для всех х ∈ R .
cos x = 0 при | |
cos x > 0 для всех | |
cos x < 0 для всех | |
Функция возрастает от −1 до 1 на промежутках: | |
Функция убывает от −1 до 1 на промежутках: | |
Наибольшее значение функции sin x = 1 в точках: | |
Наименьшее значение функции sin x = −1 в точках: |
Функция тангенс
Множество значений функции — вся числовая прямая, т.е. тангенс — функция неограниченная .
Функция нечетная:
tg(−x)=−tg x
График функции симметричен относительно оси OY.
Функция периодическая с наименьшим положительным периодом π , т.е. tg(x+π· k ) = tg x, k ∈ Z для всех х из области определения.
Функция котангенс
Множество значений функции — вся числовая прямая, т.е. котангенс — функция неограниченная .
Функция нечетная: ctg(−x)=−ctg x для всех х из области определения.График функции симметричен относительно оси OY.
Функция периодическая с наименьшим положительным периодом π , т.е. ctg(x+π· k )=ctg x, k ∈ Z для всех х из области определения.
Функция арксинус
Область определения функции
— отрезок [-1; 1]
Множество значений функции — отрезок -π /2 arcsin x π /2, т.е. арксинус — функция ограниченная .
Функция нечетная:
arcsin(−x)=−arcsin x для всех х ∈ R
.
График функции симметричен относительно начала координат.
На всей области определения.
Функция арккосинус
Область определения функции
— отрезок [-1; 1]
Множество значений функции — отрезок 0 arccos x π , т.е. арккосинус — функция ограниченная .
Функция является возрастающей на всей области определения.
Функция арктангенс
Область определения функции
— множество R
всех действительных чисел.
Множество значений функции — отрезок 0 π, т.е. арктангенс — функция ограниченная .
Функция нечетная:
arctg(−x)=−arctg x для всех х ∈ R
.
График функции симметричен относительно начала координат.
Функция является возрастающей на всей области определения.
Функция арккотангенс
Область определения функции
— множество R
всех действительных чисел.
Множество значений функции — отрезок 0 π, т.е. арккотангенс — функция ограниченная .
Функция не является ни четной, ни нечетной.
График функции несимметричен ни относительно начала координат, ни относительно оси Оy.
Функция является убывающей на всей области определения.
«Йошкар-Олинский техникум сервисных технологий»
Построение и исследование графика тригонометрической функции y=sinx в табличном процессоре MS Excel
/методическая разработка/
Йошкар – Ола
Тема . Построение и исследование графика тригонометрической функции y = sinx в табличном процессоре MS Excel
Тип урока – интегрированный (получение новых знаний)
Цели:
Дидактическая цель - исследовать поведение графиков тригонометрической функции y = sinx в зависимости от коэффициентов с помощью компьютера
Обучающие:
1. Выяснить изменение графика тригонометрической функции y = sin x в зависимости от коэффициентов
2. Показать внедрение компьютерных технологий в обучение математике, интеграцию двух предметов: алгебры и информатики.
3. Формировать навыки использования компьютерных технологий на уроках математики
4. Закрепить навыки исследования функций и построения их графиков
Развивающие:
1. Развивать познавательный интерес учащихся к учебным дисциплинам и умение применять свои знания в практических ситуациях
2. Развивать умения анализировать, сравнивать, выделять главное
3. Способствовать повышению общего уровня развития студентов
Воспитывающие :
1. Воспитывать самостоятельность, аккуратность, трудолюбие
2. Воспитывать культуру диалога
Формы работы на уроке – комбинированная
Дидактическое оснащение и оборудование:
1. Компьютеры
2. Мультимедийный проектор
4. Раздаточный материал
5. Слайды презентации
Ход урока
I . Организация начала урока
· Приветствие студентов и гостей
· Настрой на урок
II . Целеполагание и актуализация темы
Для исследования функции и построения ее графика требуется много времени, приходится выполнять много громоздких вычислений, это не удобно, на помощь приходят компьютерные технологии.
Сегодня мы научимся строить графики тригонометрических функций в среде табличного процессора MS Excel 2007.
Тема нашего занятия «Построение и исследование графика тригонометрической функцииy = sinx в табличном процессоре»
Из курса алгебры нам известна схема исследования функции и построения ее графика. Давайте вспомним как это сделать.
Слайд 2
Схема исследования функции
1. Область определения функции (D(f))
2. Область значения функции Е(f)
3. Определение четности
4. Периодичность
5. Нули функции (y=0)
6. Промежутки знакопостоянства (у>0, y<0)
7. Промежутки монотонности
8. Экстремумы функции
III . Первичное усвоение нового учебного материала
Откройте программу MS Excel 2007.
Построим график функции y=sinx
Построение графиков в табличном процессоре MS Excel 2007
График данной функции будем строить на отрезке x Є [-2π; 2π]
Значения аргумента будем брать с шагом, чтобы график получился более точным.
Т. к. редактор работает с числами, переведем радианы в числа, зная что П ≈ 3,14 . (таблица перевода в раздаточном материале).
1. Находим значение функции в точке х=-2П. Для остальных значение аргумента соответствующие значения функции редактор вычисляет автоматически.
2. Теперь у нас имеется таблица со значениями аргумента и функции. С помощью этих данных мы должны построить график этой функции с помощью мастера диаграмм.
3. Для построения графика надо выделить нужный диапазон данных, строки со значениями аргумента и функции
4..jpg" width="667" height="236 src=">
Выводы записываем в тетрадь (Слайд 5)
Вывод. График функции вида у=sinx+k получается из графика функции у=sinx с помощью параллельного переноса вдоль оси ОУ на k единиц
Если k >0, то график смещается вверх на k единиц
Если k<0, то график смещается вниз на k единиц
Построение и исследование функции вида у= k *sinx, k - const
Задание 2. На рабочем Листе2 в одной системе координат постройте графики функций y = sinx y =2* sinx , y = * sinx , на интервале (-2π; 2π) и проследите как изменяется вид графика.
(Чтобы заново не задавать значение аргумента давайте скопируем имеющиеся значения. Теперь вам надо задать формулу, и по полученной таблице построить график.)
Сравниваем полученные графики. Разбираем вместе с обучающимися поведение графика тригонометрической функции в зависимости от коэффициентов. (Слайд 6)
https://pandia.ru/text/78/510/images/image005_66.gif" width="16" height="41 src=">x , на интервале (-2π; 2π) и проследите как изменяется вид графика.
Сравниваем полученные графики. Разбираем вместе с обучающимися поведение графика тригонометрической функции в зависимости от коэффициентов. (Слайд 8)
https://pandia.ru/text/78/510/images/image008_35.jpg" width="649" height="281 src=">
Выводы записываем в тетрадь (Слайд 11)
Вывод. График функции вида у= sin(x+k) получается из графика функции у=sinx с помощью параллельного переноса вдоль оси ОХ на k единиц
Если k >1, то график смещается вправо вдоль оси ОХ
Если 0 IV
. Первичное закрепление полученных знаний
Дифференцированные карточки с заданием на построение и исследование функции при помощи графика Y=6
*sin(x)
Y=
1-2
sin
х
Y=
-
sin
(3х+
)
1.
Область определения
2.
Область значения
3.
Четность
4.
Периодичность
5.
Промежутки знакопостоянства
6.
Промежутки
монотонности
Функция возрастает
Функция
убывает
7.
Экстремумы функции
Минимум
Максимум
V
. Организация домашнего задания
Построить график функции y=-2*sinх+1 , исследовать и проверить правильность построения в среде электронной таблицы Microsoft Excel. (Слайд 12) VI
. Рефлексия
>>Математика: Функции у = sin х, у = cos x, их свойства и графики
Функции у = sin х, у = cos x, их свойства и графики
В этом параграфе мы обсудим некоторые свойства функций у = sin х,у = соs х и построим их графики. 1. Функция у = sin X.
Выше, в § 20, мы сформулировали правило, позволяющее каждому числу t поставить в соответствие число cos t, т.е. охарактеризовали функцию y = sin t. Отметим некоторые ее свойства. Свойства функции u = sin t. Область определения - множество К действительных чисел. u = sin t - нечетная функция. Это следует из того, что, как было доказано в § 19, для любого t выполняется равенство Функция u = sin t возрастает на отрезке Функция u = sin t ограничена и снизу, и сверху. Это следует из того, что, как мы видели в § 19, для любого t справедливо неравенство (этого значения функция достигает в любои точке вида (этого значения функция достигает в любой точке вида Составим таблицу значений функции у - sin х: Замечание.
Приведем одну из версий происхождения термина «синус». По-латыни sinus означает изгиб (тетива лука). Построенный график в какой-то степени оправдывает эту терминологию. 2. Функция у = соs х.
Изучение функции у = соs х можно было бы провести примерно по той же схеме, которая была использована выше для функции у = sin х. Но мы выберем путь, быстрее приводящий к цели. Сначала докажем две формулы , важные сами по себе (в этом вы убедитесь в старших классах), но пока имеющие для наших целей лишь вспомогательное значение. Для любого значения t справедливы равенства 1) ордината точки Р и по модулю и по знаку совпадает с абсциссой точки М; это значит, что 2) абсцисса точки Р по модулю равна ординате точки М, но отличается от нее знаком; это значит, что тождественны, значит, их графики совпадают. Свойства функции у = соs х.
у = соs х - четная функция. 1) строим график функции у = соs х (точнее, одну полуволну);
Это следует из того, что любому числу 2 соответствует на числовой окружности точка М(1), которая имеет вполне определенную ординату; эта ордината и есть cos t.
Значит, график функции и = sin t, как график любой нечетной функции, симметричен относительно начала координат в прямоугольной системе координат tOи.
Это следует из того, что при движении точки по первой четверти числовой окружности ордината постепенно увеличивается (от 0 до 1 - см. рис. 115), а при движении точки по второй четверти числовой окружности ордината постепенно уменьшается (от 1 до 0 - см. рис. 116).
Воспользовавшись полученными свойствами, построим график интересующей нас функции. Но (внимание!) вместо u - sin t будем писать у = sin x (ведь нам привычнее запись у = f(х), а не u = f(t)). Значит, и строить график будем в привычной системе координат хОу (а не tOy).
Линию, служащую графиком функции у = sin х, называют синусоидой. Ту часть синусоиды, которая изображена на рис. 118 или 119, называют волной синусоиды, а ту часть синусоиды, которая изображена на рис. 117, называют полуволной или аркой синусоиды.
Доказательство
. Пусть числу t соответствует точка М числовой n окружности, а числу * + - -точка Р (рис. 124; ради простоты мы взяли точку М в первой четверти). Дуги АМ и ВР равны, соответственно равны и прямоугольные треугольники ОКМ и ОЬР. Значит, О К = ОЬ, МК = РЬ. Из этих равенств и из расположения треугольников ОКМ и ОЬР в системе координат делаем два вывода:
Примерно так же проводятся соответствующие рассуждения в тех случаях, когда точка М принадлежит не первой четверти.
Воспользуемся формулой (это - формула, доказанная выше, только вместо переменной t мы используем переменную х). Что дает нам эта формула? Она позволяет утверждать, что функции
Построим график функции Для этого перейдем к вспомогательной системе координат с началом в точке (пунктирная прямая проведена на рис. 125). Привяжем функцию у = sin х к новой системе координат - это и будет график функции (рис. 125), т.е. график функции у - соs х. Его, как и график функции у = sin х, называют синусоидой (что вполне естественно).
Этапы построения отражены на рис. 126:
2) растянув построенный график от оси х с коэффициентом 0,5, получим одну полуволну требуемого графика;
3) с помощью полученной полуволны строим весь график функции у = 0,5 соs х.