Найти объем с помощью интеграла онлайн. Вычисление объема тела, образованного вращением. Как найти объём тела вращения с помощью интеграла

В многолучевом канале необходимо ослабить влияние задержанных лучей, например, с помощью следующей схемы:

Каждый элемент линии задерживает сигнал на время Δ. Предположим, что при передаче одиночного импульса на приемник поступает 3 импульса с соотношением амплитуд 1: 0.5: 0.2, следующих через равные интервалы времени Δ. Этот сигнал x (t ) описывается отсчетами: х 0 = 1, х 1 = 0.5, х 2 = 0.2.

Сигнал на выходе фильтра получается суммированием, с весовыми коэффициентами b 0 , b 1 , b 2 , сигнала x (t ) и его задержанных копий:

Параметры b i необходимо выбрать так, чтобы на выходе фильтра получить отсчеты y 0 = 1, y 1 = y 2 = 0 при входных отсчетах 1, 0.5, 0.2:

Решение b 0 = 1, b 1 = – 0.5, b 2 = 0.05. При этих весовых коэффициентах

В рассмотренном примере параметры эквалайзера рассчитываются по известной импульсной характеристике канала. Эту характеристику определяют по реакции канала на известную приемнику «обучающую» (настроечную) последовательность. При большой избыточной задержке и высоком уровне многолучевых компонент сигнала длина настроечной последовательности, число элементов задержки в фильтре и частота опросов сигнала должны быть достаточно большими. Т.к. реальный канал не стационарен, определение его характеристики и коррекцию параметров фильтра приходится периодически повторять. С усложнением фильтра увеличивается время его адаптации.

Идентификация характеристик канала

Корреляционный метод идентификации импульсной характеристики

Выходной сигнал фильтра

Пусть импульсная характеристика описывается тремя выборками:

Критерий адекватности модели – минимум дисперсии ошибки

Условия минимума дисперсии

или

Эта система, записанная в общем виде

является дискретной формой записи уравнения Винера – Хопфа

При сигнале x(t) типа белого шума R x (τ) ≈ 0,5N 0 δ(τ),

и оценка импульсной характеристики сводится к определению корреляционной функции R zx (τ).

Эквалайзер с обратной характеристикой канала

Знание характеристики канала не обязательно для ее выравнивания. Параметры фильтра можно подобрать по критерию минимума дисперсии D e ошибки e (t ) = x (t ) – x *(t ), где x (t ) – настроечная последовательность, переданная по каналу связи и генерируемая в приемнике.

Идеальное выравнивание характеристики канала (при H k (ω) H ф (ω) = 1) может быть нежелательным, если АЧХ канала имеет глубокие провалы: от корректирующего фильтра потребуется очень большое усиление на частотах, соответствующих нулям передаточной функции канала, усилится шум.

Принцип работы эквалайзера Витерби

Сигнал z (t ), принятый при передаче настроечной последовательности x (t ), подается на фильтр, согласованный с настроечной последовательностью. Выходной сигнал согласованного фильтра можно считать оценкой импульсной характеристики канала.

Детектируется сигнал, представляющий последовательность из n бит. Все 2 n возможных двоичных последовательностей, которые могли быть переданы, формируются в приемнике и пропускаются через фильтр – модель канала. Выбирается последовательность, отклик фильтра на которую меньше всего отличается от принятого сигнала.

Объем тела вращения можно вычислить по формуле :

В формуле перед интегралом обязательно присутствует число . Так повелось – всё, что в жизни крутится, связано с этой константой.

Как расставить пределы интегрирования «а» и «бэ», думаю, легко догадаться из выполненного чертежа.

Функция … что это за функция? Давайте посмотрим на чертеж. Плоская фигура ограничена графиком параболысверху. Это и есть та функция, которая подразумевается в формуле.

В практических заданиях плоская фигура иногда может располагаться и ниже оси . Это ничего не меняет – подынтегральная функция в формуле возводится в квадрат:, таким образоминтеграл всегда неотрицателен , что весьма логично.

Вычислим объем тела вращения, используя данную формулу:

Как я уже отмечал, интеграл почти всегда получается простой, главное, быть внимательным.

Ответ :

В ответе нужно обязательно указать размерность – кубические единицы . То есть, в нашем теле вращения примерно 3,35 «кубиков». Почему именно кубическиеединицы ? Потому что наиболее универсальная формулировка. Могут быть кубические сантиметры, могут быть кубические метры, могут быть кубические километры и т.д., это уж, сколько зеленых человечков ваше воображение поместит в летающую тарелку.

Пример 2

Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной линиями,,

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.

Рассмотрим две более сложные задачи, которые тоже часто встречаются на практике.

Пример 3

Вычислить объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями ,,и

Решение : Изобразим на чертеже плоскую фигуру, ограниченную линиями ,,,, не забывая при этом, что уравнениезадает ось:

Искомая фигура заштрихована синим цветом. При её вращении вокруг оси получается такой сюрреалистический бублик с четырьмя углами.

Объем тела вращения вычислим как разность объемов тел .

Сначала рассмотрим фигуру, которая обведена красным цветом. При её вращении вокруг оси получается усеченный конус. Обозначим объем этого усеченного конуса через.

Рассмотрим фигуру, которая обведена зеленым цветом. Если вращать данную фигуру вокруг оси , то получится тоже усеченный конус, только чуть поменьше. Обозначим его объем через.

И, очевидно, разность объемов – в точности объем нашего «бублика».

Используем стандартную формулу для нахождения объема тела вращения:

1) Фигура, обведенная красным цветом ограничена сверху прямой , поэтому:

2) Фигура, обведенная зеленым цветом ограничена сверху прямой , поэтому:

3) Объем искомого тела вращения:

Ответ :

Любопытно, что в данном случае решение можно проверить, используя школьную формулу для вычисления объема усеченного конуса.

Само решение чаще оформляют короче, примерно в таком духе:

Теперь немного отдохнем, и расскажу о геометрических иллюзиях.

У людей часто возникают иллюзии, связанная с объемами, которую подметил еще Перельман (другой) в книге Занимательная геометрия . Посмотрите на плоскую фигуру в прорешанной задаче – она вроде бы невелика по площади, а объем тела вращения составляет чуть более 50 кубических единиц, что кажется слишком большим. Кстати, среднестатистический человек за всю свою жизнь выпивает жидкость объемом с комнату площадью 18 квадратных метров, что, наоборот, кажется слишком маленьким объемом.

Вообще, система образования в СССР действительно была самой лучшей. Та же книга Перельмана, изданная ещё в 1950 году, очень хорошо развивает, как сказал юморист, соображаловку и учит искать оригинальные нестандартные решения проблем. Недавно с большим интересом перечитал некоторые главы, рекомендую, доступно даже для гуманитариев. Нет, не нужно улыбаться, что я предложил беспонтовое времяпровождение, эрудиция и широкий кругозор в общении – отличная штука.

После лирического отступления как раз уместно решить творческое задание:

Пример 4

Вычислить объем тела, образованного вращением относительно оси плоской фигуры, ограниченной линиями,, где.

Это пример для самостоятельного решения. Обратите внимание, что все дела происходят в полосе , иными словами, фактически даны готовые пределы интегрирования. Правильно начертите графики тригонометрических функций, напомню материал урока огеометрических преобразованиях графиков : если аргумент делится на два: , то графики растягиваются по осив два раза. Желательно найти хотя бы 3-4 точкипо тригонометрическим таблицам , чтобы точнее выполнить чертеж. Полное решение и ответ в конце урока. Кстати, задание можно решить рационально и не очень рационально.

Цилиндр представляет собой простое геометрическое тело, получаемое при вращении прямоугольника вокруг одной из его сторон. Другое определение: цилиндр - это геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, которые ее пересекают.

объем цилиндра формула

Если вы хотите знать, как вычислить объем цилиндра,то все, что вам нужно сделать - найти высоту (h) и радиус (r) и и подставить их в формулу:

Если внимательно посмотреть на эту формулу, то можно заметить, что {\pi r^2} - это формула площади круга, а в нашем случае - площадь основания.

Поэтому формулу объема цилиндра можно записать через площадь основания и высоту:

Произвести расчет объема цилиндра вам поможет наш калькулятор онлайн. Просто введите указанные параметры цилиндра и получите его объем.

Ваша оценка

[Оценок: 168 Средняя: 3.4]

Объем цилиндра формула (через радиус основания и высоту)

{V=\pi r^2 h}, где

r - радиус основания цилиндра,

h - высота цилиндра

Объем цилиндра формула (через площадь основания и высоту)

S - площадь основания цилиндра,

h - высота цилиндра

Объем цилиндра калькулятор онлайн

Как найти объём тела вращения с помощью интеграла

С помощью определённого интеграла можно вычислять не только площади плоских фигур , но и объёмы тел, образованных вращением этих фигур вокруг осей координат.

Тело, которое образуется вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции y= f(x), имеет объём

Аналогично объём v тела, полученного вращением вокруг оси ординат (Oy) криволинейной трапеции выражается формулой

При вычислении площади плоской фигуры мы узнали, что площади некоторых фигур могут быть найдены как разность двух интегралов, в которых подынтегральные функции — те функции, которые ограничивают фигуру сверху и снизу. Похоже обстоит дело и с некоторыми телами вращения, объёмы которых вычисляются как разность объёмов двух тел, такие случаи разобраны в примерах 3, 4 и 5.

Пример 1.

Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс (Ox) фигуры, ограниченной гиперболой , осью абсцисс и прямыми , .

Решение. Объём тела вращения найдём по формуле (1), в которой , а пределы интегрирования a = 1, b = 4:

Пример 2.

Найти объём шара радиуса R.

Решение. Рассмотрим шар как тело, получащееся при вращении вокруг оси абсцисс полукруга радиуса R с центром в начале координат. Тогда в формуле (1) подынтегральная функция запишется в виде , а пределами интегрирования служат -R и R. Следовательно,

Нет времени вникать в решение?

Можно заказать работу!

Пример 3. Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс (Ox) фигуры, заключённой между параболами и .

Представим искомый объём как разность объёмов тел, полученных вращением вокруг оси абсцисс криволинейных трапеций ABCDE и ABFDE. Объёмы этих тел найдём по формуле (1), в которой пределы интегрирования равны и — абсциссам точек B и D пересечения парабол. Теперь можем найти объём тела:

Пример 4.

Вычислить объём тора (тором называется тело, получающееся при вращении круга радиуса a вокруг оси, лежащей в его плоскости на расстоянии b от центра круга ().

Форму тора имеет, например, баранка).

Решение. Пусть круг вращается вокруг оси Ox (рис.

Формулы площадей и объёмов геометрических фигур

20). Объём тора можно представить как разности объёмов тел, полученных от вращения криволинейных трапеций ABCDE и ABLDE вокруг оси Ox.

Уравнение окружности LBCD имеет вид

причём уравнение кривой BCD

а уравнение кривой BLD

Используя разность объёмов тел, получаем для объёма тора v выражение

Пример 5.

Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси ординат (Oy) фигуры, ограниченной линиями и .

Представим искомый объём как разность объёмов тел, полученных вращением вокруг оси ординат треугольника OBA и криволинейной трапеции OnBA.

Объёмы этих тел найдём по формуле (2). Пределами интегрирования служат и — ординаты точек O и B пересечения параболы и прямой.

Таким образом, получаем объём тела:

К началу страницы

Пройти тест по теме Интеграл

Начало темы «Интеграл»

Неопределённый интеграл: основные понятия, свойства, таблица неопределённых интегралов

Найти неопределённый интеграл: начала начал, примеры решений

Метод замены переменной в неопределённом интеграле

Интегрирование подведением под знак дифференциала

Метод интегрирования по частям

Интегрирование дробей

Интегрирование рациональных функций и метод неопределённых коэффициентов

Интегрирование некоторых иррациональных функций

Интегрирование тригонометрических функций

Определённый интеграл

Площадь плоской фигуры с помощью интеграла

Несобственные интегралы

Вычисление двойных интегралов

Длина дуги кривой с помощью интеграла

Площадь поверхности вращения с помощью интеграла

Определение работы силы с помощью интеграла

Лучшая кроватка в математике. Качественный. Ничего лишнего.

Объем геометрической фигуры — количественная характеристика пространства, занимаемого телом или веществом. Объем тела или емкости судна определяется его формой и линейными размерами.