Объем тела вращения онлайн с подробным решением. Как вычислить объем тела вращения? Объем тела вращения можно вычислить по формуле

Объем тела вращения можно вычислить по формуле :

В формуле перед интегралом обязательно присутствует число . Так повелось – всё, что в жизни крутится, связано с этой константой.

Как расставить пределы интегрирования «а» и «бэ», думаю, легко догадаться из выполненного чертежа.

Функция … что это за функция? Давайте посмотрим на чертеж. Плоская фигура ограничена графиком параболысверху. Это и есть та функция, которая подразумевается в формуле.

В практических заданиях плоская фигура иногда может располагаться и ниже оси . Это ничего не меняет – подынтегральная функция в формуле возводится в квадрат:, таким образоминтеграл всегда неотрицателен , что весьма логично.

Вычислим объем тела вращения, используя данную формулу:

Как я уже отмечал, интеграл почти всегда получается простой, главное, быть внимательным.

Ответ :

В ответе нужно обязательно указать размерность – кубические единицы . То есть, в нашем теле вращения примерно 3,35 «кубиков». Почему именно кубическиеединицы ? Потому что наиболее универсальная формулировка. Могут быть кубические сантиметры, могут быть кубические метры, могут быть кубические километры и т.д., это уж, сколько зеленых человечков ваше воображение поместит в летающую тарелку.

Пример 2

Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной линиями,,

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.

Рассмотрим две более сложные задачи, которые тоже часто встречаются на практике.

Пример 3

Вычислить объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями ,,и

Решение : Изобразим на чертеже плоскую фигуру, ограниченную линиями ,,,, не забывая при этом, что уравнениезадает ось:

Искомая фигура заштрихована синим цветом. При её вращении вокруг оси получается такой сюрреалистический бублик с четырьмя углами.

Объем тела вращения вычислим как разность объемов тел .

Сначала рассмотрим фигуру, которая обведена красным цветом. При её вращении вокруг оси получается усеченный конус. Обозначим объем этого усеченного конуса через.

Рассмотрим фигуру, которая обведена зеленым цветом. Если вращать данную фигуру вокруг оси , то получится тоже усеченный конус, только чуть поменьше. Обозначим его объем через.

И, очевидно, разность объемов – в точности объем нашего «бублика».

Используем стандартную формулу для нахождения объема тела вращения:

1) Фигура, обведенная красным цветом ограничена сверху прямой , поэтому:

2) Фигура, обведенная зеленым цветом ограничена сверху прямой , поэтому:

3) Объем искомого тела вращения:

Ответ :

Любопытно, что в данном случае решение можно проверить, используя школьную формулу для вычисления объема усеченного конуса.

Само решение чаще оформляют короче, примерно в таком духе:

Теперь немного отдохнем, и расскажу о геометрических иллюзиях.

У людей часто возникают иллюзии, связанная с объемами, которую подметил еще Перельман (другой) в книге Занимательная геометрия . Посмотрите на плоскую фигуру в прорешанной задаче – она вроде бы невелика по площади, а объем тела вращения составляет чуть более 50 кубических единиц, что кажется слишком большим. Кстати, среднестатистический человек за всю свою жизнь выпивает жидкость объемом с комнату площадью 18 квадратных метров, что, наоборот, кажется слишком маленьким объемом.

Вообще, система образования в СССР действительно была самой лучшей. Та же книга Перельмана, изданная ещё в 1950 году, очень хорошо развивает, как сказал юморист, соображаловку и учит искать оригинальные нестандартные решения проблем. Недавно с большим интересом перечитал некоторые главы, рекомендую, доступно даже для гуманитариев. Нет, не нужно улыбаться, что я предложил беспонтовое времяпровождение, эрудиция и широкий кругозор в общении – отличная штука.

После лирического отступления как раз уместно решить творческое задание:

Пример 4

Вычислить объем тела, образованного вращением относительно оси плоской фигуры, ограниченной линиями,, где.

Это пример для самостоятельного решения. Обратите внимание, что все дела происходят в полосе , иными словами, фактически даны готовые пределы интегрирования. Правильно начертите графики тригонометрических функций, напомню материал урока огеометрических преобразованиях графиков : если аргумент делится на два: , то графики растягиваются по осив два раза. Желательно найти хотя бы 3-4 точкипо тригонометрическим таблицам , чтобы точнее выполнить чертеж. Полное решение и ответ в конце урока. Кстати, задание можно решить рационально и не очень рационально.

Использование интегралов для нахождения объемов тел вращения

Практическая полезность математики обусловлена тем, что без

конкретных математических знаний затруднено понимание принципов устройства и использование современной техники. Каждому человеку в своей жизни приходится выполнять достаточно сложные расчеты, пользоваться общеупотребительной техникой, находить в справочниках применять нужные формулы, составлять несложные алгоритмы для решения задач. В современном обществе все больше специальностей, требующих высокого уровня образования, связано с непосредственным применением математики. Таким образом, для школьника математика становится профессиональным значимым предметом. Ведущая роль принадлежит математике в формировании алгоритмического мышления, воспитывает умение действовать по заданному алгоритму и конструировать новые алгоритмы.

Изучая тему о применении интеграла для вычисления объемов тел вращения, я предлагаю учащимся на факультативных занятиях рассмотреть тему: «Объемы тел вращения с применением интегралов». Ниже привожу методические рекомендации по рассмотрению данной темы:

1.Площадь плоской фигуры.

Из курса алгебры мы знаем, что к понятию определенного интеграла привели задачи практического характера. Один из них, это вычисления площади плоской фигуры, ограниченной непрерывной линией y=f(x) (где f(x)DIV_ADBLOCK243">

Вычислим площадь криволинейной трапеции по формуле , если основание трапеции лежит на оси абсцисс или по формуле https://pandia.ru/text/77/502/images/image004_49.jpg" width="526" height="262 src=">

https://pandia.ru/text/77/502/images/image006_95.gif" width="127" height="25 src=">.

Для нахождения объема тела вращения, образованного вращением криволинейной трапеции вокруг оси Оx, ограниченной прерывной линией y=f(x), осью Оx, прямыми x=a и x=b вычислим по формуле

https://pandia.ru/text/77/502/images/image008_26.jpg" width="352" height="283 src=">Y

3.Объем цилиндра.

https://pandia.ru/text/77/502/images/image011_58.gif" width="85" height="51">..gif" width="13" height="25">..jpg" width="401" height="355">Конус получается путем вращения прямоугольного треугольника АВС(С=90) вокруг оси Оx на котором лежит катет АС.

Отрезок АВ лежит на прямой y=kx+c, где https://pandia.ru/text/77/502/images/image019_33.gif" width="59" height="41 src=">.

Пусть а=0, b=H (Н- высота конуса), тогда Vhttps://pandia.ru/text/77/502/images/image021_27.gif" width="13" height="23 src=">.

5.Объем усеченного конуса.

Усеченный конус можно получить путем вращения прямоугольной трапецией АВСD (СDOx) вокруг оси Оx.

Отрезок АВ лежит на прямой y=kx+c, где , c=r.

Так как прямая проходит через точку А (0;r).

Таким образом прямая имеет вид https://pandia.ru/text/77/502/images/image027_17.gif" width="303" height="291 src=">

Пусть а=0, b=H (Н- высота усеченного конуса), тогда https://pandia.ru/text/77/502/images/image030_16.gif" width="36" height="17 src=">= .

6. Объем шара.

Шар можно получить путем вращения круга с центром (0;0) вокруг оси Оx. Полуокружность, расположенная над осью Оx, задается уравнением

https://pandia.ru/text/77/502/images/image034_13.gif" width="13" height="16 src=">x R.

С помощью определённого интеграла можно вычислять не только площади плоских фигур , но и объёмы тел, образованных вращением этих фигур вокруг осей координат.

Примеры таких тел - на рисунке ниже.

В задачах у нас есть криволинейные трапеции, которые вращаются вокруг оси Ox или вокруг оси Oy . Для вычисления объёма тела, образованного вращением криволинейной трапеции, нам понадобятся:

число "пи" (3,14...);
определённый интеграл от квадрата "игрека" - функции, задающей вращающуюся кривую (это если кривая вращается вокруг оси Ox );
определённый интеграл от квадрата "икса", выраженного из "игрека" (это если кривая вращается вокруг оси Oy );
пределы интегрирования - a и b .

Итак, тело, которое образуется вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции y = f (x ) , имеет объём

Аналогично объём v тела, полученного вращением вокруг оси ординат (Oy ) криволинейной трапеции выражается формулой

При вычислении площади плоской фигуры мы узнали, что площади некоторых фигур могут быть найдены как разность двух интегралов, в которых подынтегральные функции - те функции, которые ограничивают фигуру сверху и снизу. Похоже обстоит дело и с некоторыми телами вращения, объёмы которых вычисляются как разность объёмов двух тел, такие случаи разобраны в примерах 3, 4 и 5.

Пример 1. Ox ) фигуры, ограниченной гиперболой , осью абсцисс и прямыми , .

Решение. Объём тела вращения найдём по формуле (1), в которой , а пределы интегрирования a = 1 , b = 4 :

Пример 2. Найти объём шара радиуса R .

Решение. Рассмотрим шар как тело, получащееся при вращении вокруг оси абсцисс полукруга радиуса R с центром в начале координат. Тогда в формуле (1) подынтегральная функция запишется в виде , а пределами интегрирования служат -R и R . Следовательно,

Пример 3. Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс (Ox ) фигуры, заключённой между параболами и .

Решение. Представим искомый объём как разность объёмов тел, полученных вращением вокруг оси абсцисс криволинейных трапеций ABCDE и ABFDE . Объёмы этих тел найдём по формуле (1), в которой пределы интегрирования равны и - абсциссам точек B и D пересечения парабол. Теперь можем найти объём тела:

Пример 4. Вычислить объём тора (тором называется тело, получающееся при вращении круга радиуса a вокруг оси, лежащей в его плоскости на расстоянии b от центра круга (). Форму тора имеет, например, баранка).

Решение. Пусть круг вращается вокруг оси Ox (рис. 20). Объём тора можно представить как разности объёмов тел, полученных от вращения криволинейных трапеций ABCDE и ABLDE вокруг оси Ox .

Уравнение окружности LBCD имеет вид

причём уравнение кривой BCD

а уравнение кривой BLD

Используя разность объёмов тел, получаем для объёма тора v выражение

Пусть линия огранич. плоскую фигуру задана в полярной системе координат.

Пример : Вычислить длину окружности: x 2 +y 2 =R 2

Вычислить длину 4-ой части окружности, расположенной в I квадранте(х≥0, y≥0):

Если уравнение кривой задано в параметр-ой форме:
, функции x(t), y(t) определены и непрерывны вместе со своими производными на отрезке [α,β]. Производная , тогда сделав подстановку в формулу:
и учитывая что

получим
внесем множитель
под знак корня и получим окончательно

Замечание: Задана плоская кривая, можно также рассматривать функцию, заданную параметр-ки в пространстве, тогда добавится функция z=z(t) и формула

Пример: Вычислить длину астроиды, которая задаётся уравнением: x=a*cos 3 (t), y=a*sin 3 (t), a>0

Вычислить длину 4-ой части:

по формуле

Длина дуги плоской кривой, заданной в полярной системе координат:

Пусть в полярной системе координат задано уравнение кривой:
- непрерывная функция, вместе со своей производной на отрезке [α,β].

Формулы перехода от полярных координат:

рассматривать как параметрические:

ϕ - параметр, по ф-ле

Пр: Вычислить длину кривой:
>0

З -ние: вычислим половину длины окружности:

Объём тела, вычисляемый по площади поперечного сечения тела.

Пусть задано тело, ограниченное замкнутой поверхностью и пусть известна площадь любого сечения этого тела плоскостью, перпендикулярной к оси Ох. Эта площадь будет зависеть от положения секущей плоскости.

пусть все тело заключено между 2-мя перпендикулярными к оси Ох плоскостями, пересекающими её в точках х=а, х=b (a

Для определения объёма такого тела разобьём его на слои с помощью секущих плоскостей, перпендикулярных к оси Ох и пересекающих её в точках . В каждом частичном промежутке
. Выберем

и для каждого значения i=1,….,n построим цилиндрическое тело, образующая которого параллельна Ох, а направляющая представляет собой контур сечения тела плоскостью х=С i , объем такого элементарного цилиндра с площадью основания S=C i и высотой ∆х i . V i =S(C i)∆x i . Объём всех таких элементарных цилиндров будет
. Предел этой суммы, если он существует и конечен при max ∆х  0 называется объёмом данного тела.

. Так как V n интегральная сумма для непрерывной на отрезке функции S(x) то указанный предел существует (т-ма существования) и выражается опр. Интегралом.

- объём тела, вычисляемый по площади поперечного сечения.

Объём тела вращения:

Пусть тело образовано вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y=f(x), осью Ох и прямыми x=a, x=b.

Пусть функция y=f(x) определена и непрерывна на отрезке и неотрицательна на нем, тогда сечение этого тела плоскостью, перпендикулярной Ох есть круг, радиусом R=y(x)=f(x) . Площадью круга S(x)=Пy 2 (x)=П 2 .Подставляя формулу
получим формулу для вычисления объёма тела вращения вокруг оси Ох:

Если же вокруг оси Оу вращается криволинейная трапеция, ограниченная графиком непрерывной на функцией , то объём такого тела вращения:

Этот же объём может быть вычислен по формуле:
. Если линия задана параметрическими уравнениями:

Делая замену переменной получим:

Если линия задана параметрическими уравнениями:

y (α)= c , y (β)= d . Делая замену y = y (t) получим:

Вычислить тела вращения вокруг оси ОУ параболы , .

2)Вычислить V тела вращения вокруг оси ОХ криволинейной трапеции, ограниченной прямой у=0, дугой (с центом в точке(1;0), и радиусом=1), при .

Площадь поверхности тела вращения

Пусть заданна поверхность образованная вращением кривой у =f(х)вокруг оси Ох. Необходимо определить S этой поверхности при .

Пусть функция у =f(х) определенна и непрерывна, имеет неприр.и неотрицательна во всех точках отрезка [а;в]

Проведем хорды длины которых обозначим соответственно (n-хорд)

по теореме Лагранжа:

Площадь поверхности всей описанной ломанной будет равна

Определение: предел этой суммы, если он и конечен, когда наибольшее звено ломаной max , называется площадью рассматриваемой поверхности вращения.

Можно доказать, сто предел суммы равен приделу интегрированной суммы для р-ий

Формула для S поверхности тела вращения =

S поверхности образованной Вращением дуги кривой х=g(x) вокруг оси Оу при

Непрерывна со своей производной

Если кривая заданна параметрически ур-ми x =x(t) , y = t (t ) ф-ии x ’(t ), y ’(t ), x (t ), y (t ) определенны на отрезке [ a ; b ], x (a )= a , x (b )= b то сделав замену переменой x = x (t )