Все формулы разложения многочлена на множители. Как разложить на множители алгебраическое уравнение. Разложение на множители квадратного трехчлена

Понятия "многочлен" и "разложение многочлена на множители" по алгебре встречаются очень часто, ведь их необходимо знать, чтобы с легкостью производить вычисления c большими многозначными числами. В этой статье будет описано несколько способов разложения. Все они достаточно просты в применении, стоит лишь правильно подобрать нужный в каждом конкретном случае.

Понятие многочлена

Многочлен является суммой одночленов, то есть выражений, содержащих только операцию умножения.

Например, 2 * x * y - это одночлен, а вот 2 * x * y + 25 - многочлен, который состоит из 2 одночленов: 2 * x * y и 25. Такие многочлены называет двучленами.

Иногда для удобства решения примеров с многозначными значениями выражение необходимо преобразовать, например, разложить на некоторое количество множителей, то есть чисел или выражений, между которыми производится действие умножения. Есть ряд способов разложения многочлена на множители. Стоит рассмотреть их начиная с самого примитивного, который применяют еще в начальных классах.

Группировка (запись в общем виде)

Формула разложения многочлена на множители способом группировки в общем виде выглядит таким образом:

ac + bd + bc + ad = (ac + bc) + (ad + bd)

Необходимо сгруппировать одночлены так, чтобы в каждой группе появился общий множитель. В первой скобке это множитель с, а во второй - d. Это нужно сделать для того, чтобы затем вынести его за скобку, тем самым упростив вычисления.

Алгоритм разложения на конкретном примере

Простейший пример разложения многочлена на множители способом группировки приведен ниже:

10ас + 14bc - 25a - 35b = (10ас - 25а) + (14bc - 35b)

В первую скобку нужно взять слагаемые с множителем а, который и будет общим, а во вторую - со множителем b. Обратите внимание на знаки + и - в готовом выражении. Мы ставим перед одночленом тот знак, который был в начальном выражении. То есть нужно работать не с выражением 25а, а с выражением -25. Знак минус как бы «приклеить» к стоящему за ним выражению и всегда учитывать его при вычислениях.

На следующем шаге нужно вынести множитель, который является общим, за скобку. Именно для этого и делается группировка. Вынести за скобку - значит выписать перед скобкой (опуская знак умножения) все те множители, которые с точностью повторяются во всех слагаемых, которые находятся в скобке. Если в скобке не 2, а 3 слагаемых и больше, общий множитель должен содержаться в каждом из них, иначе его нельзя вынести за скобку.

В нашем случае - только по 2 слагаемых в скобках. Общий множитель сразу виден. В первой скобке - это а, во второй - b. Здесь нужно обратить внимание на цифровые коэффициенты. В первой скобке оба коэффициента (10 и 25) кратны 5. Это значит, что можно вынести за скобку не только а, но и 5а. Перед скобкой выписать 5а, а затем каждое из слагаемых в скобках поделить на общий множитель, который был вынесен, и также записать частное в скобках, не забывая о знаках + и - Со второй скобкой поступить также, вынести 7b, так как и 14 и 35 кратно 7.

10ас + 14bc - 25a - 35b = (10ас - 25а) + (14bc - 35b) = 5а(2c - 5) + 7b(2c - 5).

Получилось 2 слагаемых: 5а(2c - 5) и 7b(2c - 5). Каждое из них содержит общий множитель (все выражение в скобках здесь совпадает, значит, является общим множителем): 2с - 5. Его тоже нужно вынести за скобку, то есть во второй скобке остаются слагаемые 5а и 7b:

5а(2c - 5) + 7b(2c - 5) = (2c - 5)*(5а + 7b).

Итак, полное выражение:

10ас + 14bc - 25a - 35b = (10ас - 25а) + (14bc - 35b) = 5а(2c - 5) + 7b(2c - 5) = (2c - 5)*(5а + 7b).

Таким образом, многочлен 10ас + 14bc - 25a - 35b раскладываается на 2 множителя: (2c - 5) и (5а + 7b). Знак умножения между ними при записи можно опускать

Иногда встречаются выражения такого типа: 5а 2 + 50а 3 , здесь можно вынести за скобку не только а или 5а, а даже 5а 2 . Всегда нужно стараться вынести максимально большой общий множитель за скобку. В нашем случае, если разделить каждое слагаемое на общий множитель, то получается:

5а 2 / 5а 2 = 1; 50а 3 / 5а 2 = 10а (при вычислении частного нескольких степеней с равными основаниями основание сохраняется, а показатель степени вычитается). Таким образом, в скобке остается единица (ни в коем случае не забывайте писать единицу, если выносите за скобку целиком одно из слагаемых) и частное от деления: 10а. Получается, что:

5а 2 + 50а 3 = 5а 2 (1 + 10а)

Формулы квадратов

Для удобства вычислений были выведены несколько формул. Они называются формулами сокращенного умножения и используются довольно часто. Эти формулы помогают разложить на множители многочлены, содержащие степени. Это еще один действенный способ разложения на множители. Итак, вот они:

• a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 - формула, получившая название "квадрат суммы", так как в результате разложения в квадрат берется сумма чисел, заключенная в скобки, то есть значение этой суммы умножается само на себя 2 раза, а значит, является множителем.
• a 2 + 2ab - b 2 = (a - b) 2 - формула квадрата разности, она аналогична предыдущей. В результате получается разность, заключенная в скобки, содержащаяся в квадратной степени.
• a 2 - b 2 = (a + b)(а - b) - это формула разности квадратов, так как изначально многочлен состоит из 2 квадратов чисел или выражений, между которыми производится вычитание. Пожалуй, из трех названных она используется чаще всего.

Примеры на вычисления по формулам квадратов

Вычисления по ним производятся достаточно просто. Например:

1. 25x 2 + 20xy + 4y 2 - используем формулу "квадрат суммы".
2. 25x 2 является квадратом выражения 5х. 20ху - удвоенное произведение 2*(5х*2у), а 4y 2 - это квадрат 2у.
3. Таким образом, 25x 2 + 20xy + 4y 2 = (5x + 2у) 2 = (5x + 2у)(5x + 2у). Данный многочлен раскладывается на 2 множителя (множители одинаковые, поэтому записывается в виде выражения с квадратной степенью).

Действия по формуле квадрата разности производятся аналогично этим. Остается формула разность квадратов. Примеры на эту формулу очень легко определить и найти среди других выражений. Например:

• 25а 2 - 400 = (5а - 20)(5а + 20). Так как 25а 2 = (5а) 2 , а 400 = 20 2
• 36х 2 - 25у 2 = (6х - 5у) (6х + 5у). Так как 36х 2 = (6х) 2 , а 25у 2 = (5у 2)
• с 2 - 169b 2 = (с - 13b)(c + 13b). Так как 169b 2 = (13b) 2

Важно, чтобы каждое из слагаемых являлось квадратом какого-либо выражения. Тогда этот многочлен подлежит разложению на множители по формуле разности квадратов. Для этого не обязательно, чтобы над числом стояла именно вторая степень. Встречаются многочлены, содежащие большие степени, но все равно подходящие к этим формулам.

a 8 +10a 4 +25 = (a 4) 2 + 2*a 4 *5 + 5 2 = (a 4 +5) 2

В данном примере а 8 можно представить как (a 4) 2 , то есть квадрат некого выражения. 25 - это 5 2 , а 10а 4 - это удвоенное произведениеслагаемых2*a 4 *5. То есть данное выражение, несмотря на наличие степеней с большими показателями, можно разложить на 2 множителя, чтобы в последствии работать с ними.

Формулы кубов

Такие же формулы существуют для разложения на множители многочленов, содержащих кубы. Они немного посложнее тех, что с квадратами:

• a 3 + b 3 = (а + b)(a 2 - ab + b 2) - эту формулу называют суммой кубов, так как в начальном виде многочлен представляет собой сумму двух выражений или чисел, заключенных в куб.
• a 3 - b 3 = (а - b)(a 2 + ab + b 2) - формула, идентичная предыдущей, обозначена как разность кубов.
• a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (a + b) 3 - куб суммы, в результате вычислений получается сумма чисел или выражений, заключенная в скобки и умноженная сама на себя 3 раза, то есть находящаяся в кубе
• a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = (a - b) 3 - формула, составленная по аналогии предыдущей с изменением лишь некоторых знаков математических операций (плюс и минус), имеет название "куб разности".

Последние две формулы практически не испольуются с целью разложения многочлена на множители, так как они сложны, и достаточно редко встречаются многочлены, полностью соответствующие именно такому строению, чтобы их можно было разложить по этим формулам. Но их все равно нужно знать, так как они потребуются при действиях в обратном направлении - при раскрытии скобок.

Примеры на формулы кубов

Рассмотрим пример: 64a 3 − 8b 3 = (4a) 3 − (2b) 3 = (4a − 2b)((4a) 2 + 4a*2b + (2b) 2) = (4a−2b)(16a 2 + 8ab + 4b 2).

Здесь взяты достаточно простые числа, поэтому сразу можно увидеть, что 64а 3 - это (4а) 3 , а 8b 3 - это (2b) 3 . Таким образом, этот многочлен раскладывается по формуле разность кубов на 2 множителя. Действия по формуле суммы кубов производятся по аналогии.

Важно понимать, что далеко не все многочлены подлежат разложению хотя бы одним из способов. Но есть такие выражения, которые содержат большие степени, чем квадрат или куб, но их также можно разложить по формуам сокращенного умножения. Например: x 12 + 125y 3 =(x 4) 3 +(5y) 3 =(x 4 +5y)*((x 4) 2 − x 4 *5y+(5y) 2)=(x 4 + 5y)(x 8 − 5x 4 y + 25y 2).

В этом примере содержится аж 12 степень. Но даже его возможно разложить на множители по формуле суммы кубов. Для этого нужно представить х 12 как (x 4) 3 , то есть как куб какого-либо выражения. Теперь в формулу вместо а нужно подставлять именно его. Ну а выражение 125у 3 - это куб 5у. Далее следует составить произведение по формуле и произвести вычисления.

На первых порах или в случае возникших сомнений, вы всегда можете произвести проверку обратным умножением. Вам нужно лишь раскрыть скобки в получившемся выражении и выполнить действия с подобными слагаемыми. Этот метод относится ко всем перечисленным способам сокращения: как к работе с общим множителем и группировке, так и к действиям по формулам кубов и квадратных степеней.

WikiHow работает по принципу вики, а это значит, что многие наши статьи написаны несколькими авторами. При создании этой статьи над ее редактированием и улучшением работали, в том числе анонимно, 23 человек(а).

Разложение на множители уравнения – это процесс нахождения таких членов или выражений, которые, будучи перемноженными, приводят к начальному уравнению. Разложение на множители является полезным навыком для решения основных алгебраических задач, и становится практически необходимым при работе с квадратными уравнениями и другими многочленами. Разложение на множители используется для упрощения алгебраических уравнений, чтобы облегчить их решение. Разложение на множители может помочь вам исключить определенные возможные ответы быстрее, чем вы это сделаете, решая уравнение вручную.

Шаги

Разложение на множители чисел и основных алгебраических выражений

1. Разложение на множители чисел. Концепция разложения на множители проста, но на практике разложение на множители может оказаться непростой задачей (если дано сложное уравнение). Поэтому для начала рассмотрим концепцию разложения на множители на примере чисел, продолжим с простыми уравнениями, а затем перейдем к сложным уравнениям. Множители данного числа – это числа, которые при перемножении дают исходное число. Например, множителями числа 12 являются числа: 1, 12, 2, 6, 3, 4, так как 1*12=12, 2*6=12, 3*4=12.

   • Аналогично, вы можете рассматривать множители числа как его делители, то есть числа, на которые делится данное число.
   • Найдите все множители числа 60. Мы часто используем число 60 (например, 60 минут в часе, 60 секунд в минуте и т.д.) и у этого числа довольно большое количество множителей.
     • Множители 60: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 и 60.

2. Запомните: члены выражения, содержащие коэффициент (число) и переменную, также могут быть разложены на множители. Для этого найдите множители коэффициента при переменной. Зная, как разложить на множители члены уравнений, можно легко упростить данное уравнение.

   • Например, член 12x может быть записан в виде произведения 12 и х. Вы также можете записать 12x как 3(4x), 2(6x) и т.д., разложив число 12 на наиболее подходящие вам множители.
     • Вы можете раскладывать 12x несколько раз подряд. Другими словами, вы не должны останавливаться на 3(4x) или 2(6x); продолжите разложение: 3(2(2x)) или 2(3(2x)) (очевидно, что 3(4x)=3(2(2x)) и т.д.)

3. Примените распределительное свойство умножения для разложения на множители алгебраических уравнений. Зная, как разложить на множители числа и члены выражения (коэффициенты с переменными), вы можете упростить несложные алгебраические уравнения, найдя общий множитель числа и члена выражения. Обычно для упрощения уравнения необходимо найти наибольший общий делитель (НОД). Такое упрощение возможно благодаря распределительному свойству умножения: для любых чисел а, b, с верно равенство a(b+c) = ab+ac.

   • Пример. Разложите на множители уравнение 12х + 6. Во-первых, найдите НОД 12x и 6. 6 является наибольшим числом, которое делит и 12x, и 6, поэтому вы можете разложить данное уравнение на: 6(2x+1).
   • Этот процесс также верен для уравнений, в которых есть отрицательные и дробные члены. Например, х/2+4 может быть разложено на 1/2(х+8); например, -7x+(-21) может быть разложено на -7(х+3).

   Разложение на множители квадратных уравнений

   1. Убедитесь, что уравнение дано в квадратичной форме (ax 2 + bx + c = 0). Квадратные уравнения имеют вид: ax 2 + bx + c = 0, где а, b, с - числовые коэффициенты отличные от 0. Если вам дано уравнение с одной переменной (х) и в этом уравнении есть один или несколько членов с переменной второго порядка, вы можете перенести все члены уравнения на одну сторону уравнения и приравнять его к нулю.

      • Например, дано уравнение: 5x 2 + 7x - 9 = 4x 2 + x – 18. Оно может быть преобразовано в уравнение x 2 + 6x + 9 = 0, которое является квадратным уравнением.
      • Уравнения с переменной х больших порядков, например, x 3 , x 4 и т.д. не являются квадратными уравнениями. Это кубические уравнения, уравнения четвертого порядка и так далее (только если такие уравнения не могут быть упрощены до квадратных уравнений с переменной х в степени 2).

   2. Квадратные уравнения, где а = 1, раскладываются на (x+d)(x+e), где d*е=с и d+е=b. Если данное вам квадратное уравнение имеет вид: x 2 + bx + c = 0 (то есть коэффициент при x 2 равен 1), то такое уравнение можно (но не гарантированно) разложить на вышеуказанные множители. Для этого нужно найти два числа, которые при перемножении дают «с», а при сложении – «b». Как только вы найдете такие два числа (d и е), подставьте их в следующее выражение: (x+d)(x+e), которое при раскрытии скобок приводит к исходному уравнению.

      • Например, дано квадратное уравнение x 2 + 5x + 6 = 0. 3*2=6 и 3+2=5, поэтому вы можете разложить данное уравнение на (х+3)(х+2).
      • В случае отрицательных членов внесите следующие незначительные изменения в процесс разложения на множители:
        • Если квадратное уравнение имеет вид x 2 -bx+c, то оно раскладывается на: (х-_)(х-_).
        • Если квадратное уравнение имеет вид x 2 -bx-c, то оно раскладывается на: (х+_)(х-_).
      • Примечание: пробелы могут быть заменены на дроби или десятичные числа. Например, уравнение x 2 + (21/2)x + 5 = 0 раскладывается на (х+10)(х+1/2).

   3. Разложение на множители методом проб и ошибок. Несложные квадратные уравнения можно разложить на множители, просто подставляя числа в возможные решения до тех пор, пока вы не найдете правильного решения. Если уравнение имеет вид ax 2 +bx+c, где a>1, возможные решения записываются в виде (dx +/- _)(ex +/- _), где d и е - числовые коэффициенты отличные от нуля, которые при перемножении дают а. Либо d, либо e (или оба коэффициента) могут быть равны 1. Если оба коэффициента равны 1, то воспользуйтесь способом, описанным выше.

      • Например, дано уравнение 3x 2 - 8x + 4. Здесь 3 имеет только два множителя (3 и 1), поэтому возможные решения записываются в виде (3x +/- _)(х +/- _). В этом случае, подставив вместо пробелов -2, вы найдете правильный ответ: -2*3x=-6x и -2*х=-2x; - 6x+(-2x)=-8x и -2*-2=4, то есть такое разложение при раскрытии скобок приведет к членам исходного уравнения.

   4. Полный квадрат. В некоторых случаях квадратные уравнения могут быть быстро и легко разложены на множители с помощью специальной алгебраической идентичности. Любое квадратное уравнение вида x 2 + 2xh + h 2 = (x + h) 2 . То есть, если в вашем уравнении коэффициент b равен удвоенному квадратному корню из коэффициента c, то ваше уравнение можно разложить на (x + (кВ.корень(c))) 2 .

      • Например, дано уравнение x 2 + 6x + 9. Здесь 3 2 =9 и 3*2=6. Поэтому это уравнение раскладывается на (х+3)(х+3) или (x + 3) 2 .

   5. Используйте разложение на множители для решения квадратных уравнений. Разложив уравнение на множители, вы можете приравнять каждый множитель к нулю и вычислить значение х (под решением уравнения подразумевается нахождение значений х, при которых уравнение рано нулю).

      • Вернемся к уравнению x 2 + 5x + 6 = 0. Это уравнение раскладывается на множители (х+3)(х+2)=0. Если один из множителей равен 0, то все уравнение равно 0. Поэтому запишем: (х+3)=0 и (х+2)=0 и найдем х=-3 и х=-2 (соответственно).

   6. Проверьте ответ (некоторые ответы могут быть неправильными). Для этого подставьте найденные значения х в исходное уравнение. Иногда при подстановке найденных значений исходное уравнение не равно нулю; это значит, что такие значения х неверные.

      • Например, подставьте х=-2 и х=-3 в x 2 + 5x + 6 = 0. Сначала подставим х=-2:
        • (-2) 2 + 5(-2) + 6 = 0
        • 4 + -10 + 6 = 0
        • 0 = 0. То есть х=-2 - правильный ответ.
      • Теперь подставьте х=-3:
        • (-3) 2 + 5(-3) + 6 = 0
        • 9 + -15 + 6 = 0
        • 0 = 0. То есть х=-3 - правильный ответ.

   Разложение многочленов для получения произведения иногда кажется запутанным. Но это не так сложно, если разобраться в процессе пошагово. В статье подробно рассказано, как разложить на множители квадратный трехчлен.

   Многим непонятно, как разложить на множители квадратный трехчлен, и для чего это делается. Сначала может показаться, что это бесполезное занятие. Но в математике ничего не делается просто так. Преобразование нужно для упрощения выражения и удобства вычисления.

   Многочлен, имеющий вид – ax²+bx+c, называется квадратным трехчленом. Слагаемое «a» должно быть отрицательным или положительным. На практике это выражение называется квадратным уравнением. Поэтому иногда говорят и по-другому: как разложить квадратное уравнение.

   Интересно! Квадратным многочлен называют из-за самой его большой степени – квадрата. А трехчленом — из-за 3-х составных слагаемых.

   Некоторые другие виды многочленов:

   • линейный двучлен (6x+8);
   • кубический четырехчлен (x³+4x²-2x+9).

   Разложение квадратного трехчлена на множители

   Сначала выражение приравнивается к нулю, затем нужно найти значения корней x1 и x2. Корней может не быть, может быть один или два корня. Наличие корней определяется по дискриминанту. Его формулу надо знать наизусть: D=b²-4ac.

   Если результат D получается отрицательный, корней нет. Если положительный – корня два. Если в результате получился ноль – корень один. Корни тоже высчитываются по формуле.

   Если при вычислении дискриминанта получается ноль, можно применять любую из формул. На практике формула просто сокращается: -b / 2a.

   Формулы для разных значений дискриминанта различаются.

   Если D положительный:

   

   Если D равен нулю:

   Онлайн калькуляторы

   В интернете есть онлайн калькулятор. С его помощью можно выполнить разложение на множители. На некоторых ресурсах предоставляется возможность посмотреть решение пошагово. Такие сервисы помогают лучше понять тему, но нужно постараться хорошо вникнуть.

   Полезное видео: Разложение квадратного трехчлена на множители

   Примеры

   Предлагаем просмотреть простые примеры, как разложить квадратное уравнение на множители.

   Пример 1

   

   Здесь наглядно показано, что в результате получится два x, потому что D положительный. Их и нужно подставить в формулу. Если корни получились отрицательные, знак в формуле меняется на противоположный.

   Нам известна формула разложения квадратного трехчлена на множители: a(x-x1)(x-x2). Ставим значения в скобки: (x+3)(x+2/3). Перед слагаемым в степени нет числа. Это значит, что там единица, она опускается.

   Пример 2

   

   Этот пример наглядно показывает, как решать уравнение, имеющее один корень.

   Подставляем получившееся значение:

   Пример 3

   Дано: 5x²+3x+7

   Сначала вычислим дискриминант, как в предыдущих случаях.

   D=9-4*5*7=9-140= -131.

   Дискриминант отрицательный, значит, корней нет.

   После получения результата стоит раскрыть скобки и проверить результат. Должен появиться исходный трехчлен.

   Альтернативный способ решения

   Некоторые люди так и не смогли подружиться с дискриминантом. Можно еще одним способом произвести разложение квадратного трехчлена на множители. Для удобства способ показан на примере.

   Дано: x²+3x-10

   Мы знаем, что должны получиться 2 скобки: (_)(_). Когда выражение имеет такой вид: x²+bx+c, в начале каждой скобки ставим x: (x_)(x_). Оставшиеся два числа – произведение, дающее «c», т. е. в этом случае -10. Узнать, какие это числа, можно только методом подбора. Подставленные числа должны соответствовать оставшемуся слагаемому.

   К примеру, перемножение следующих чисел дает -10:

   • -1, 10;
   • -10, 1;
   • -5, 2;
   • -2, 5.
   1. (x-1)(x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10. Нет.
   2. (x-10)(x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10. Нет.
   3. (x-5)(x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10. Нет.
   4. (x-2)(x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10. Подходит.

   Значит, преобразование выражения x2+3x-10 выглядит так: (x-2)(x+5).

   Важно! Стоит внимательно следить за тем, чтобы не перепутать знаки.

   Разложение сложного трехчлена

   Если «a» больше единицы, начинаются сложности. Но все не так трудно, как кажется.

   Чтобы выполнить разложение на множители, нужно сначала посмотреть, возможно ли что-нибудь вынести за скобку.

   Например, дано выражение: 3x²+9x-30. Здесь выносится за скобку число 3:

   3(x²+3x-10). В результате получается уже известный трехчлен. Ответ выглядит так: 3(x-2)(x+5)

   

   Как раскладывать, если слагаемое, которое находится в квадрате отрицательное? В данном случае за скобку выносится число -1. К примеру: -x²-10x-8. После выражение будет выглядеть так:

   Схема мало отличается от предыдущей. Есть лишь несколько новых моментов. Допустим, дано выражение: 2x²+7x+3. Ответ также записывается в 2-х скобках, которые нужно заполнить (_)(_). Во 2-ю скобку записывается x, а в 1-ю то, что осталось. Это выглядит так: (2x_)(x_). В остальном повторяется предыдущая схема.

   Число 3 дают числа:

   • -1, -3;
   • -3, -1;
   • 3, 1;
   • 1, 3.

   Решаем уравнения, подставляя данные числа. Подходит последний вариант. Значит, преобразование выражения 2x²+7x+3 выглядит так: (2x+1)(x+3).

   Другие случаи

   Преобразовать выражение получится не всегда. При втором способе решение уравнения не потребуется. Но возможность преобразования слагаемых в произведение проверяется только через дискриминант.

   Стоит потренироваться решать квадратные уравнения, чтобы при использовании формул не возникало трудностей.

   Полезное видео: разложение трехчлена на множители

   Вывод

   Пользоваться можно любым способом. Но лучше оба отработать до автоматизма. Также научиться хорошо решать квадратные уравнения и раскладывать многочлены на множители нужно тем, кто собирается связать свою жизнь с математикой. На этом строятся все следующие математические темы.

   Вконтакте

   • 1. Вынесение общего множителя за скобки и способ группировки . В ряде случаев, целесообразно заменить некоторые члены на сумму (разность) подобных слагаемых или ввести взаимно уничтожающиеся члены.
   • 2. Использование формул сокращённого умножения. Иногда приходится выносить множители за скобки, группировать члены, выделять полный квадрат и только затем сумму кубов, разность квадратов или разность кубов представлять в виде произведения.
   • 3. Использование теоремы Безу и метода неопределённых коэффициентов .

   Пример . Разложить на множители:

   P 3 (x)= x 3 +4x 2 +5x+2;

   Так как P 3 (-1)=0, то многочлен P 3 (x) делится на x+1. Методом неопределённых коэффициентов найдём частное от деления многочлена

   P 3 (x)= x 3 +4x 2 +5x+2 на двучлен x+1.

   Пусть частное есть многочлен x 2 +. Так как x 3 +4x 2 +5x+2=(x+1)·(x 2 +)=

   X 3 +(+1)·x 2 +()·x+, получим систему:

   Откуда. Следовательно, P 3 (x)=(x+1)·(x 2 +3x+2).

   Поскольку x 2 +3x+2=x 2 +x+2x+2=x·(x+1)+2·(x+1)=(x+1)·(x+2), то P 3 (x)=(x+1) 2 ·(x+2).

   4. Использование теоремы Безу и деления «столбиком».

   Пример . Разложить на множители

   P 4 (x) = 5·x 4 +9·x 3 -2·x 2 -4·x -8.

   Решение . Поскольку P 4 (1) = 5+9-2-4-8 = 0, то P 4 (x) делится на (x-1). Деление «столбиком» найдем частное

   

   Следовательно,

   P 4 (x) = (x-)·(5·x 3 +14x 2 +12x+8)=

   = (x-1) ·P 3 (x).

   Так как P 3 (-2) = -40+56-24+8=0, то многочлен P 3 (x) = 5·x 3 +14x 2 +12x+8 делится на x+2.

   Найдем частное делением «столбиком»:

   Следовательно,

   P 3 (x) = (x+2)·(5·x 2 +4x+4).

   Так как дискриминант квадратного трехчлена 5·x 2 +4x+4 равен D = -24<0, то этот

   квадратный трехчлен на линейные множители не разлагается.

   Итак, P 4 (x) = (x-1)·(x+2)·(5·x 2 +4x+4)

   5. Использование теоремы Безу и схемы Горнера. Полученное этими способами частное можно разлагать на множители любым другим или этим же способом.

   Пример . Разложить на множители:

   P 3 (x) = 2·x 3 -5·x 2 -196·x+99;

   Решение .

   Если данный многочлен имеет рациональные корни, то они могут быть только среди чисел 1/2, 1, 3/2, 3, 9/2, 11/2, 9, 33, 99, 11.

   Для нахождения корня данного многочлена воспользуемся следующим утверждением:

   Если на концах некоторого отрезка значения многочлена имеют разные знаки, то на интервале (a; b) существует хотя бы один корень этого многочлена.

   Для данного многочлена P 3 (0) =99, P 3 (1) = - 100. Следовательно, на интервале (0; 1) имеется по крайней мере один корень данного многочлена. Поэтому среди выписанных выше 24 чисел целесообразно вначале проверить те числа, которые принадлежат интервалу

   (0; 1). Из этих чисел только число принадлежит этому интервалу.

   Значение P 3 (x) при x=1/2 можно находить не только непосредственной подстановкой, но и другими способами, например по схеме Горнера, так как P() равно остатку от деления многочлена P(x) на x-. Более того, во многих примерах этот способ предпочтительнее, так как одновременно находятся и коэффициенты частного.

   По схеме Горнера для данного примера получим:

   

   Так как P 3 (1/2) = 0, то x =1/2 является корнем многочлена P 3 (x), и многочлен P 3 (x) делится на x-1/2, т.е. 2·x 3 -5·x 2 -196·x+99 =(x-1/2)·(2·x 2 -4·x-198).

   Поскольку 2·x 2 -4·x-198 = 2·(x 2 -2·x+1-100) = 2·((x-1) 2 -10 2) = 2·(x+9)·(x-11), то

   P 3 (x) = 2·x 3 -5·x 2 -196·x+99 = 2·(x-1/2)·(x+9)·(x-11).

   Понятие кольца многочлена

   Пусть К и L коммутативные кольца

   Определение 1 : Кольцо К называется простым расширением кольца K с помощью элементов x и пишут:

   L=K[x] , если выполняются условия:

   подкольцо кольца

   Основное множество K[x] обозначают сомволами L, K[x].

   Определение 2 : Простое расширение L=K[x] кольца K с помощью x - простое трансцендентное расширение кольца K с помощью x , если выполняются условия:

   подкольцо кольца

   Если, то

   Определение 3 : Элемент x называется трансцендентным над кольцом K , если выполняется условие: , если, то

   Предложение . Пусть K[x] простое трансцендентное расширение. Если и, где, то

   Доказательство . По условию, вычтем из первого выражения второе, получим: так как элемент x трансцендентен над K , то из (3) получим:.

   Вывод. Любой элемент простого трансцендентного расширения неравного нулю, коммутативного кольца K с помощью элемента x допускает единственное представление в виде линейной комбинации целых неотрицательных степеней элемента x

   Определение: Кольцом многочлена от неизвестного x над, неравным нулю, кольцом K называется простое трансцендентное расширение не нулевого коммутативного кольца K с помощью элемента x .

   Теорема . Для любого не нулевого коммутативного кольца K, существует его простое трансцендентное расширение с помощью элемента x, k[x]

   Операции над многочленами

   Пусть k[x] кольцо многочленов не нулевого коммутативного кольца K

   Определение 1: Многочлены f и g принадлежащие k[x], называются равными и пишут f = g, если равны между собой все коэффицинты многочленов f и g, стоящие при одних степенях неизвестного x.

   Следствие . В записи многочлена порядок следования слагаемых не существенно. Приписывая и исключая из записи многочлена слагаемые с нулевым коэффициентом, не изменит многочлен.

   Определение 2. Суммой многочленов f и g называется многочлен f + g, определяемый равенством:

   Определение 3 : - произведение многочленов, обозначается, который определяется по правилу:

   Степень многочленов

   Пусть коммутативное кольцо. k[x] кольцо многочленов над полем K : ,

   Определение : Пусть - любой многочлен. Если, то целое неотрицательное число n - степень многочленов f . При этом пишут n=deg f .

   Числа - коэффициенты многочлена, где - старший коэффициент.

   Если, f - нормированный. Степень нулевого многочлена неопределенна.

   Свойства степени многочлена

   K - область целостности

   Доказательство :

   Так как и. К - область целостности.

   Следствие 1 : k[x] над полем К (область целостности) в свою очередь является областью целостности. Для любой области целостности существует область частности.

   Следствие 2 : Для любого k[x] над областью целостности К существует поле частных.

   Деление на двучлен и корни многочлена.

   Пусть, элемент называется значением многочлена f от аргумента.

   Теорема Безу : Для любого многочлена и элемента, существует элемент: .

   Доказательство : Пусть - любой многочлен

   Следствие : Остаток от деления многочлена на, равно.

   Определение : Элемент называется корнем многочлена f , если.

   Теорема : Пусть, элемент является корнем f тогда и только тогда, когда делит f

   Доказательство:

   

   Необходимости. Пусть, из теоремы Безу следует, что, из свойств делимости следует, что

   

   Достаточности. Пусть, что. ч.т.д.

   Максимальное число корней многочлена над областью целостности.

   Теорема : Пусть k - область целостности. Число корней многочлена f в области целостности k не больше степени n многочлена f .

   Доказательство :

   Индукцией по степени многочлена. Пусть многочлен f имеет ноль корней, и их число не превосходит.

   Пусть теорема доказана для любого.

   Покажем, что из пункта 2 следует истинность утверждения теоремы для многочленов.

   Пусть и, возможны два случая:

   • А) Многочлен f не имеет корней, следовательно, утверждение теоремы истинно.
   • Б) Многочлен f имеет, по крайней мере, корень, по теореме Безу, так как k - область целостности то по свойству 3 (степени многочлена), следует, что

   Так как, k - область целостности.

   Таким образом, все корни многочлена, является корнем многочлена g так как, то по индукционному предположению, число всех корней многочлена g не больше n , следовательно, f имеет не больше (n+ 1) корень.

   Следствие : Пусть k - область целостности, если число корней многочлена f больше числа n, где, то f - нулевой многочлен.

   Алгебраическое и функциональное равенство многочленов

   Пусть, - какой-то многочлен, он определяет некоторую функцию

   

   в общем случае, любой многочлен может определять одну функцию.

   Теорема : Пусть k - область целостности, таким образом, для равенства многочленов и равенство (тождественное равенство ()) определяемыми и.

   Доказательство :

   Необходимости. Пусть и - область целостности, .

   Пусть, то есть

   Достаточности. Предположим, что. Рассмотрим, так как k область целостности, то многочлен h имеет число корней, из следствия следует, что h нулевой многочлен. Таким образом, ч.т.д.

   Теорема о делимости с остатком

   Определение : Евклидовым кольцом K называется такая область целостности k, что на множестве определена функция h, приминающая целые неотрицательные значения и удовлетворяет условию

   В процессе нахождения элементов для данных элементов называется делением с остатком, - неполное частное, - остаток от деления.

   Пусть - кольцо многочленов над полем.

   Теорема (о делении с остатком) : Пусть - кольцо многочленов над полем и многочлен существует единственная пара многочленов, такая, что и выполняется условие или. или

   

   Доказательство : Существование многочлена. Пусть, то есть. Теорема верна, очевидно, если - нулевой или, так как или. Докажем теорему, когда. Доказательство проведём по индукции степени многочлена, предположим, что теорема доказана (кроме единственности), для многочлена. Покажем, что в этом случае утверждение теоремы выполнено для. Действительно, пусть - старший коэффициент многочлена, следовательно, многочлен будет иметь тот же старший коэффициент и тужу степень, что у многочлена, следовательно многочлен будет иметь или является нулевым многочленом. Если, то, следовательно, при и получим. Если, то по индуктивному предположению, следовательно, то есть, при получаем или. Существование многочлена доказано.

   Покажем, что такая пара многочленов единственна.

   Пусть существует или, вычтем: . Возможны два случая или.

   С другой стороны. По условию степени или, или.

   Если. Получено противоречие, таким образом. Единственность доказана.

   Следствие 1 : Кольцом многочленов над полем, является Евклидово пространство.

   Следствие 2 : Кольцом многочленов над, является кольцом главных идеалов (любой идеал имеет единственную образующую)

   Любое Евклидово кольцо факториально: Кольцо многочлена над, называется факториальным кольцом.

   Алгоритм Евклида. НОД двух многочленов

   Пусть кольцо многочленов над.

   Определение 1 : Пусть и, если существует многочлен, то остаток от деления равен нулю, то называется делителем многочлена и обозначается: ().

   Определение 2 : Наибольший общий делитель многочленов и называется многочлен:

   и (- общий делитель и).

   

   (на любой общий делитель и).

   Наибольший общий делитель многочленов и обозначается НОД(;). К числу общих делителей любых многочленов относят все многочлены нулевой степени из, то есть не нулевого поля. Может оказаться так, что два данных многочлена и не имеют общих делителей, не являющиеся нулевыми многочленами.

   Определение : Если многочлены и не имеют общих делителей не являющихся многочленами нулевой степени, то они называются взаимно простыми.

   Лемма : Если многочлены от над полем, имеет место, то наибольшим общим делителем многочленов и ассоциированы НОД. ~

   Запись (a~b ) означает, что (и) по определению.

   Доказательство : Пусть и

   

   и, отсюда следует, что и поучаем, что - общий делитель многочлена и.

   

   общий делитель и, получаем

   

   Алгоритм Евклида

   В предыдущем уроке мы изучили умножение многочлена на одночлен. Например, произведение монома a и полинома b + c находится так:

   a(b + c) = ab + bc

   Однако в ряде случае удобнее выполнить обратную операцию, которую можно назвать вынесением общего множителя за скобки:

   ab + bc = a(b + c)

   Например, пусть нам надо вычислить значение полинома ab + bc при значениях переменных a = 15,6, b = 7,2, c = 2,8. Если подставить их напрямую в выражение, то получим

   ab + bc = 15.6 * 7.2 + 15.6 * 2.8

   ab + bc = a(b + c) = 15.6 * (7.2 + 2.8) = 15.6 * 10 = 156

   В данном случае мы представили полином ab + bc как произведение двух множителей: a и b + с. Данное действие называют разложением многочлена на множители.

   При этом каждый из множителей, на которые разложили многочлен, в свою очередь может быть многочленом или одночленом.

   Рассмотрим полином 14ab - 63b 2 . Каждый из входящих в него одночленов можно представить как произведение:

   Видно, что у обоих многочленов есть общий множитель 7b. Значит, его можно вынести за скобки:

   14ab - 63b 2 = 7b*2a - 7b*9b = 7b(2a-9b)

   Проверить правильность вынесения множителя за скобки можно с помощью обратной операции - раскрытия скобки:

   7b(2a - 9b) = 7b*2a - 7b*9b = 14ab - 63b 2

   Важно понимать, что часто полином можно разложить несколькими способами, например:

   5abc + 6bcd = b(5ac + 6cd) = c(5ab + 6bd) = bc(5a + 6d)

   Обычно стремятся вынести, грубо говоря, «наибольший» одночлен. То есть раскладывают полином так, чтобы из оставшегося полинома больше нечего нельзя было вынести. Так, при разложении

   5abc + 6bcd = b(5ac + 6cd)

   в скобках осталась сумма одночленов, у которых есть общий множитель с. Если же вынести и его, то общих множителей в скобках не останется:

   b(5ac + 6cd) = bc(5a + 6d)

   Разберем детальнее, как находить общие множители у одночленов. Пусть надо разложить сумму

   8a 3 b 4 + 12a 2 b 5 v + 16a 4 b 3 c 10

   Она состоит из трех слагаемых. Сначала посмотрим на числовые коэффициенты перед ними. Это 8, 12 и 16. В 3 уроке 6 класса рассматривалась тема НОД и алгоритм его нахождения.Это наибольший общий делитель.Почти всегда его можно подобрать устно. Числовым коэффициентом общего множителя как раз будет НОД числовых коэффициентов слагаемых полинома. В данном случае это число 4.

   Далее смотрим на степени у этих переменных. В общем множителе у букв должны быть минимальные степени, которые встречаются в слагаемых. Так, у переменной a в многочлене степени 3, 2, и 4 (минимум 2), поэтому в общем множителе будет стоять a 2 . У переменной b минимальная степень равна 3, поэтому в общем множителе будет стоять b 3:

   8a 3 b 4 + 12a 2 b 5 v + 16a 4 b 3 c 10 = 4a 2 b 3 (2ab + 3b 2 c + 4a 2 c 10)

   В результате у оставшихся слагаемых 2ab, 3b 2 c, 4a 2 c 10 нет ни одной общей буквенной переменной, а у их коэффициентов 2, 3 и 4 нет общих делителей.

   Выносить за скобки можно не только одночлены, но и многочлены. Например:

   x(a-5) + 2y(a-5) = (a-5)(x+2y)

   Еще один пример. Необходимо разложить выражение

   5t(8y - 3x) + 2s(3x - 8y)

   Решение. Напомним, что знак минус меняет знаки в скобках на противоположные, поэтому

   -(8y - 3x) = -8y + 3x = 3x - 8y

   Значит, можно заменить (3x - 8y) на - (8y - 3x):

   5t(8y - 3x) + 2s(3x - 8y) = 5t(8y - 3x) + 2*(-1)s(8y - 3x) = (8y - 3x)(5t - 2s)

   Ответ: (8y - 3x)(5t - 2s).

   Запомним, что вычитаемое и уменьшаемое можно поменять местами, если изменить знак перед скобками:

   (a - b) = - (b - a)

   

   Верно и обратное: минус, уже стоящий перед скобками, можно убрать, если одновременно переставить местами вычитаемое и уменьшаемое:

   

   Этот прием часто используется при решении заданий.

   Способ группировки

   Рассмотрим ещё один способ разложения многочлена на множители, который помогает раскладывать полином. Пусть есть выражение

   ab - 5a + bc - 5c

   Вынести множитель, общий для всех четырех мономов, не получается. Однако можно представить этот полином как сумму двух многочленов, и в каждом из них вынести переменную за скобки:

   ab - 5a + bc - 5c = (ab - 5a) + (bc - 5c) = a(b - 5) + c(b - 5)

   Теперь можно вынести выражение b - 5:

   a(b - 5) + c(b - 5) = (b - 5)(a + c)

   Мы «сгруппировали» первое слагаемое со вторым, а третье с четвертым. Поэтому описанный метод называют способом группировки.

   Пример. Разложим полином 6xy + ab- 2bx- 3ay.

   Решение. Группировка 1-ого и 2-ого слагаемого невозможна, так как у них нет общего множителя. Поэтому поменяем местами мономы:

   6xy + ab - 2bx - 3ay = 6xy - 2bx + ab - 3ay = (6xy - 2bx) + (ab - 3ay) = 2x(3y - b) + a(b - 3y)

   Разности 3y - b и b - 3y отличаются только порядком переменных. В одной из скобок его можно изменить, вынеся знак минус за скобки:

   (b - 3y) = - (3y - b)

   Используем эту замену:

   2x(3y - b) + a(b - 3y) = 2x(3y - b) - a(3y - b) = (3y - b)(2x - a)

   В результате получили тождество:

   6xy + ab - 2bx - 3ay = (3y - b)(2x - a)

   Ответ: (3y - b)(2x - a)

   Группировать можно не только два, а вообще любое количество слагаемых. Например, в полиноме

   x 2 - 3xy + xz + 2x - 6y + 2z

   можно сгруппировать первые три и последние 3 одночлена:

   x 2 - 3xy + xz + 2x - 6y + 2z = (x 2 - 3xy + xz) + (2x - 6y + 2z) = x(x - 3y + z) + 2(x - 3y + z) = (x + 2)(x - 3y + z)

   Теперь рассмотрим задание повышенной сложности

   Пример. Разложите квадратный трехчлен x 2 - 8x +15.

   Решение. Данный полином состоит всего из 3 одночленов, а потому, как кажется, группировку произвести не получится. Однако можно произвести такую замену:

   Тогда исходный трехчлен можно представить следующим образом:

   x 2 - 8x + 15 = x 2 - 3x - 5x + 15

   Сгруппируем слагаемые:

   x 2 - 3x - 5x + 15 = (x 2 - 3x) + (- 5x + 15) = x(x - 3) - 5(x - 3) = (x - 5)(x - 3)

   Ответ: (x- 5)(х - 3).

   Конечно, догадаться о замене - 8х = - 3х - 5х в приведенном примере нелегко. Покажем иной ход рассуждений. Нам надо разложить полином второй степени. Как мы помним, при перемножении многочленов их степени складываются. Это значит, что если мы и сможем разложить квадратный трехчлен на два множителя, то ими окажутся два полинома 1-ой степени. Запишем произведение двух многочленов первой степени, у которых старшие коэффициенты равны 1:

   (x + a)(x + b) = x 2 + xa + xb + ab = x 2 + (a + b)x + ab

   Здесь за a и b мы обозначили некие произвольные числа. Чтобы это произведение равнялось исходному трехчлену x 2 - 8x +15, надо подобрать подходящие коэффициенты при переменных:

   

   С помощью подбора можно определить, что этому условию удовлетворяют числа a= - 3 и b = - 5. Тогда

   (x - 3)(x - 5) = x 2 * 8x + 15

   в чем можно убедиться, раскрыв скобки.

   Для простоты мы рассмотрели только случай, когда у перемножаемых полиномов 1-ой степени старшие коэффициенты равны 1. Однако они могли равняться, например, 0,5 и 2. В этом случае разложение выглядело бы несколько иначе:

   x 2 * 8x + 15 = (2x - 6)(0.5x - 2.5)

   Однако, вынеся коэффициент 2 из первой скобки и умножив его на вторую, получили бы изначальное разложение:

   (2x - 6)(0.5x - 2.5) = (x - 3) * 2 * (0.5x - 2.5) = (x - 3)(x - 5)

   В рассмотренном примере мы разложили квадратный трехчлен на два полинома первой степени. В дальнейшем нам часто придется это делать. Однако стоит отметить, что некоторые квадратные трехчлены, например,

   невозможно разложить таким образом на произведение полиномов. Доказано это будет позднее.

   Применение разложение многочленов на множители

   Разложение полинома на множители может упростить выполнение некоторых операций. Пусть необходимо выполнить вычисление значения выражения

   2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8 + 2 9

   Вынесем число 2, при этом степень каждого слагаемого уменьшится на единицу:

   2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8 + 2 9 = 2(1 + 2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8)

   Обозначим сумму

   2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8

   за х. Тогда записанное выше равенство можно переписать:

   x + 2 9 = 2(1 + x)

   Получили уравнение, решим его (см. урок уравнения):

   x + 2 9 = 2(1 + x)

   x + 2 9 = 2 + 2x

   2x - x = 2 9 - 2

   x = 512 - 2 = 510

   Теперь выразим искомую нами сумму через х:

   2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8 + 2 9 = x + 2 9 = 510 + 512 = 1022

   При решении этой задачи мы возводили число 2 только в 9-ую степень, а все остальные операции возведения в степень удалось исключить из вычислений за счет разложения многочлена на множители. Аналогично можно составить формулу вычисления и для других подобных сумм.

   Теперь вычислим значение выражения

   38.4 2 - 61.6 * 29.5 + 61.6 * 38.4 - 29.5 * 38.4

   38.4 2 - 61.6 * 29.5 + 61.6 * 38.4 - 29.5 * 38.4 = 38.4 2 - 29.5 * 38.4 + 61.6 * 38.4 - 61.6 * 29.5 = 38.4(38.4 - 29.5) + 61.6(38.4 - 29.5) = (38.4 + 61.6)(38.4 - 29.5) = 8.9*100 = 890

   81 4 - 9 7 + 3 12

   делится на 73. Заметим, что числа 9 и 81 являются степенями тройки:

   81 = 9 2 = (3 2) 2 = 3 4

   Зная это, произведем замену в исходном выражении:

   81 4 - 9 7 + 3 12 = (3 4) 4 - (3 2) 7 + 3 12 = 3 16 - 3 14 + 3 12

   Вынесем 3 12:

   3 16 - 3 14 + 3 12 = 3 12 (3 4 - 3 2 + 1) = 3 12 * (81 - 9 + 1) = 3 12 * 73

   Произведение 3 12 .73 делится на 73 (так как на него делится один из множителей), поэтому и выражение 81 4 - 9 7 + 3 12 делится на это число.

   Вынесение множителей может использоваться для доказательства тождеств. Например, докажем верность равенства

   (a 2 + 3a) 2 + 2(a 2 + 3a) = a(a + 1)(a + 2)(a + 3)

   Для решения тождества преобразуем левую часть равенства, вынеся общий множитель:

   (a 2 + 3a) 2 + 2(a 2 + 3a) = (a 2 + 3a)(a 2 + 3a) + 2(a 2 + 3a) = (a 2 + 3a)(a 2 + 3a + 2)

   (a 2 + 3a)(a 2 + 3a + 2) = (a 2 + 3a)(a 2 + 2a + a + 2) = (a 2 + 3a)((a 2 + 2a) + (a + 2) = (a 2 + 3a)(a(a + 2) + (a + 2)) = (a 2 + 3a)(a + 1)(a + 2) = a(a + 3)(a + z)(a + 2) = a(a + 1)(a + 2)(a + 3)

   Ещё один пример. Докажем, при любых значениях переменных x и у выражение

   (x - y)(x + y) - 2x(x - y)

   не является положительным числом.

   Решение. Вынесем общий множитель х - у:

   (x - y)(x + y) - 2x(x - y) = (x - y)(x + y - 2x) = (x - y)(y - x)

   Обратим внимание, что мы получили произведение двух похожих двучленов, отличающихся лишь порядкомбуквx и y. Если бы мы поменяли местами в одной из скобок переменные, то получили бы произведение двух одинаковых выражений, то есть квадрат. Но для того, чтобы поменять местами x и y, нужно перед скобкой поставить знак минус:

   (x - y) = -(y - x)

   Тогда можно записать:

   (x - y)(y - x) = -(y - x)(y - x) = -(y - x) 2

   Как известно, квадрат любого числа больше или равен нулю. Это относится и к выражению (у - х) 2 . Если же перед выражением стоит минус, то оно должно быть меньше или равным нулю, то есть не является положительным числом.

   Разложение полинома помогает решать некоторые уравнения. При этом используется следующее утверждение:

   

   Если в одной части уравнения стоит ноль, а в другой произведение множителей, то каждый из них следует приравнять нулю.

   Пример. Решите уравнение (s - 1)(s + 1) = 0.

   Решение. В левой части записано произведение мономов s - 1 и s + 1, а в правой - ноль. Следовательно, нулю должно равняться или s - 1, или s + 1:

   (s - 1)(s + 1) = 0

   s - 1 = 0 или s + 1 = 0

   s = 1 или s = -1

   Каждое из двух полученных значений переменной s является корнем уравнения, то есть оно имеет два корня.

   Ответ: -1; 1.

   Пример. Решите уравнение 5w 2 - 15w = 0.

   Решение. Вынесем 5w:

   Снова в левой части записано произведение, а в правой ноль. Продолжим решение:

   5w = 0 или (w - 3) = 0

   w = 0 или w = 3

   Ответ: 0; 3.

   Пример. Найдите корни уравнения k 3 - 8k 2 + 3k- 24 = 0.

   Решение. Сгруппируем слагаемые:

   k 3 - 8k 2 + 3k- 24 = 0

   (k 3 - 8k 2) + (3k- 24) = 0

   k 2 (k - 8) + 3(k - 8) = 0

   (k 3 + 3)(k - 8) = 0

   k 2 + 3 = 0 или k - 8 = 0

   k 2 = -3 или k = 8

   Заметим, что уравнение k 2 = - 3 решения не имеет, так как любое число в квадрате не меньше нуля. Поэтому единственным корнем исходного уравнения является k = 8.

   Пример. Найдите корни уравнения

   (2u - 5)(u + 3) = 7u + 21

   Решение: Перенесем все слагаемые в левую часть, а после сгруппируем слагаемые:

   (2u - 5)(u + 3) = 7u + 21

   (2u - 5)(u + 3) - 7u - 21 = 0

   (2u - 5)(u + 3) - 7(u + 3) = 0

   (2u - 5 - 7)(u + 3) = 0

   (2u - 12)(u + 3) = 0

   2u - 12 = 0 или u + 3 = 0

   u = 6 или u = -3

   Ответ: - 3; 6.

   Пример. Решите уравнение

   (t 2 - 5t) 2 = 30t - 6t 2

   (t 2 - 5t) 2 = 30t - 6t 2

   (t 2 - 5t) 2 - (30t - 6t 2) = 0

   (t 2 - 5t)(t 2 - 5t) + 6(t 2 - 5t) = 0

   (t 2 - 5t)(t 2 - 5t + 6) = 0

   t 2 - 5t = 0 или t 2 - 5t + 6 = 0

   t = 0 или t - 5 = 0

   t = 0 или t = 5

   Теперь займемся вторым уравнением. Перед нами снова квадратный трехчлен. Чтобы разложить его на множители методом группировки, нужно представить его в виде суммы 4 слагаемых. Если произвести замену - 5t = - 2t - 3t, то дальше удастся сгруппировать слагаемые:

   t 2 - 5t + 6 = 0

   t 2 - 2t - 3t + 6 = 0

   t(t - 2) - 3(t - 2) = 0

   (t - 3)(t - 2) = 0

   T - 3 = 0 или t - 2 = 0

   t = 3 или t = 2

   В результате получили, что у исходного уравнения есть 4 корня.