Trigonometrijske formule tabela 10. Sve formule za trigonometriju. Dodatne trigonometrijske formule

Date su veze između osnovnih trigonometrijskih funkcija - sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa. trigonometrijske formule. A budući da postoji dosta veza između trigonometrijskih funkcija, to objašnjava obilje trigonometrijskih formula. Neke formule povezuju trigonometrijske funkcije isti ugao, drugi - funkcije višestrukog ugla, drugi - omogućavaju smanjenje stepena, četvrti - izražavaju sve funkcije kroz tangentu pola ugla, itd.

U ovom članku ćemo navesti redom sve osnovne trigonometrijske formule, koje su dovoljne za rješavanje velike većine trigonometrijskih problema. Radi lakšeg pamćenja i upotrebe, grupiraćemo ih po namjeni i unijeti u tabele.

Navigacija po stranici.

Osnovni trigonometrijski identiteti

Basic trigonometrijski identiteti definirati odnos između sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa jednog ugla. Oni proizilaze iz definicije sinusa, kosinusa, tangente i kotangensa, kao i koncepta jedinične kružnice. Oni vam omogućavaju da izrazite jednu trigonometrijsku funkciju u terminima bilo koje druge.

Za detaljan opis ovih trigonometrijskih formula, njihovo izvođenje i primjere primjene pogledajte članak.

Formule redukcije

Formule redukcije proizlaze iz svojstava sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa, odnosno odražavaju svojstvo periodičnosti trigonometrijskih funkcija, svojstvo simetrije, kao i svojstvo pomaka za dati ugao. Ove trigonometrijske formule omogućavaju vam da pređete sa rada sa proizvoljnim uglovima na rad sa uglovima u rasponu od nule do 90 stepeni.

Obrazloženje ovih formula, mnemoničko pravilo za njihovo pamćenje i primjeri njihove primjene mogu se proučavati u članku.

Formule sabiranja

Trigonometrijske formule dodatak pokazuju kako se trigonometrijske funkcije zbira ili razlike dvaju uglova izražavaju u terminima trigonometrijskih funkcija tih uglova. Ove formule služe kao osnova za izvođenje sljedećih trigonometrijskih formula.

Formule za duplo, trostruko itd. ugao

Formule za duplo, trostruko itd. ugao (oni se nazivaju i formule višestrukog ugla) pokazuju kako trigonometrijske funkcije dvostruke, trostruke itd. uglovi () su izraženi u terminima trigonometrijskih funkcija jednog ugla. Njihovo izvođenje se zasniva na formulama sabiranja.

Detaljnije informacije prikupljene su u formulama članka za duplo, trostruko, itd. ugao

Formule poluugla

Formule poluugla pokazuju kako se trigonometrijske funkcije poluugla izražavaju kosinusom cijelog ugla. Ove trigonometrijske formule slijede iz formula dvostrukog ugla.

Njihov zaključak i primjere primjene možete pronaći u članku.

Formule za smanjenje stepena

Trigonometrijske formule za redukciju stupnjeva dizajnirani su da olakšaju prijelaz sa prirodnih snaga trigonometrijskih funkcija na sinuse i kosinuse u prvom stepenu, ali više uglova. Drugim riječima, omogućavaju vam da smanjite moći trigonometrijskih funkcija na prvu.

Formule za zbir i razliku trigonometrijskih funkcija

Glavna svrha formule za zbir i razliku trigonometrijskih funkcija je ići na proizvod funkcija, što je vrlo korisno kada se pojednostavljuju trigonometrijski izrazi. Ove formule se također široko koriste u rješavanju trigonometrijskih jednačina, jer vam omogućavaju da faktorizujete zbir i razliku sinusa i kosinusa.

Formule za proizvod sinusa, kosinusa i sinus po kosinus

Prijelaz sa umnoška trigonometrijskih funkcija na zbroj ili razliku vrši se pomoću formula za proizvod sinusa, kosinusa i sinusa po kosinus.

Univerzalna trigonometrijska supstitucija

Pregled osnovnih formula trigonometrije završavamo formulama koje izražavaju trigonometrijske funkcije u terminima tangenta poluugla. Ova zamjena je pozvana univerzalna trigonometrijska supstitucija. Njegova pogodnost leži u činjenici da se sve trigonometrijske funkcije izražavaju u terminima tangente poluugla racionalno bez korijena.

Bibliografija.

algebra: Udžbenik za 9. razred. avg. škola/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky - M.: Obrazovanje, 1990. - 272 str.: ilustr. - ISBN 5-09-002727-7
Bašmakov M. I. Algebra i počeci analize: Udžbenik. za 10-11 razred. avg. škola - 3. izd. - M.: Prosveta, 1993. - 351 str.: ilustr. - ISBN 5-09-004617-4.
Algebra i početak analize: Proc. za 10-11 razred. opšte obrazovanje institucije / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn i drugi; Ed. A. N. Kolmogorov - 14. izd. - M.: Obrazovanje, 2004. - 384 str.: ilustr. - ISBN 5-09-013651-3.
Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (priručnik za polaznike tehničkih škola): Proc. dodatak.- M.; Više škola, 1984.-351 str., ilustr.

Autorska prava cleverstudents

Sva prava zadržana.
Zaštićeno zakonom o autorskim pravima. Nijedan dio stranice, uključujući interne materijale i izgled, ne smije se reproducirati u bilo kojem obliku ili koristiti bez prethodne pismene dozvole vlasnika autorskih prava.

Na ovoj stranici ćete pronaći sve osnovne trigonometrijske formule koje će vam pomoći u rješavanju mnogih vježbi, uvelike pojednostavljujući sam izraz.

Trigonometrijske formule su matematičke jednakosti za trigonometrijske funkcije koje su zadovoljene za sve važeće vrijednosti argumenta.

Formule određuju odnose između osnovnih trigonometrijskih funkcija - sinus, kosinus, tangenta, kotangens.

Sinus ugla je y koordinata tačke (ordinate) na jediničnom krugu. Kosinus ugla je x koordinata tačke (apscisa).

Tangent i kotangens su, respektivno, omjeri sinusa i kosinusa i obrnuto.
`sin\\alpha,\cos\\alpha`
`tg \ \alpha=\frac(sin\ \alpha)(cos \ \alpha),` ` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n, \ n \in Z`
`ctg \ \alpha=\frac(cos\ \alpha)(sin\ \alpha),` ` \alpha\ne\pi+\pi n, \n \in Z`

I dva koja se rjeđe koriste - sekans, kosekant. Oni predstavljaju omjere 1 prema kosinusu i sinusu.

`sec \ \alpha=\frac(1)(cos\ \alpha),` ` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n,\ n \in Z`
`cosec \ \alpha=\frac(1)(sin \ \alpha),` ` \alpha\ne\pi+\pi n,\ n \in Z`

Iz definicija trigonometrijskih funkcija jasno je koje predznake imaju u svakom kvadrantu. Predznak funkcije ovisi samo o tome u kojem se kvadrantu nalazi argument.

Prilikom promjene predznaka argumenta iz “+” u “-”, samo kosinusna funkcija ne mijenja svoju vrijednost. Zove se čak. Njegov graf je simetričan u odnosu na ordinatnu os.

Preostale funkcije (sinus, tangent, kotangens) su neparne. Prilikom promjene predznaka argumenta sa “+” na “-”, njihova vrijednost se također mijenja u negativnu. Njihovi grafovi su simetrični u odnosu na porijeklo.

`sin(-\alpha)=-sin \ \alpha`
`cos(-\alpha)=cos \ \alpha`
`tg(-\alpha)=-tg \ \alpha`
`ctg(-\alpha)=-ctg \ \alpha`

Osnovni trigonometrijski identiteti

Osnovni trigonometrijski identiteti su formule koje uspostavljaju vezu između trigonometrijskih funkcija jednog ugla (`sin\\alpha,\cos\\alpha,\tg\\alpha,\ctg\\alpha`) i koje vam omogućavaju da pronađete vrijednost svaka od ovih funkcija preko bilo koje poznate druge.
`sin^2 \alpha+cos^2 \alpha=1`
`tg \ \alpha \cdot ctg \ \alpha=1, \ \alpha\ne\frac(\pi n) 2, \n \in Z`
`1+tg^2 \alpha=\frac 1(cos^2 \alpha)=sec^2 \alpha,` ` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n,\n \in Z`
`1+ctg^2 \alpha=\frac 1(sin^2 \alpha)=cosec^2 \alpha,` ` \alpha\ne\pi n, \n \in Z`

Formule za zbir i razliku uglova trigonometrijskih funkcija

Formule za sabiranje i oduzimanje argumenata izražavaju trigonometrijske funkcije zbira ili razlike dvaju uglova u terminima trigonometrijskih funkcija ovih uglova.
`sin(\alpha+\beta)=` `sin \ \alpha\ cos \ \beta+cos \ \alpha\ sin \ \beta`
`sin(\alpha-\beta)=` `sin \ \alpha\ cos \ \beta-cos \ \alpha\ sin \ \beta`
`cos(\alpha+\beta)=` `cos \ \alpha\ cos \ \beta-sin \ \alpha\ sin \ \beta`
`cos(\alpha-\beta)=` `cos \ \alpha\ cos \ \beta+sin \ \alpha\ sin \ \beta`
`tg(\alpha+\beta)=\frac(tg \ \alpha+tg \ \beta)(1-tg \ \alpha\ tg \ \beta)`
`tg(\alpha-\beta)=\frac(tg \ \alpha-tg \ \beta)(1+tg \ \alpha \ tg \ \beta)`
`ctg(\alpha+\beta)=\frac(ctg \ \alpha \ ctg \ \beta-1)(ctg \ \beta+ctg \ \alpha)`
`ctg(\alpha-\beta)=\frac(ctg \ \alpha\ ctg \ \beta+1)(ctg \ \beta-ctg \ \alpha)`

Formule dvostrukog ugla

`sin \ 2\alpha=2 \ sin \ \alpha \cos \ \alpha=` `\frac (2 \ tg \ \alpha)(1+tg^2 \alpha)=\frac (2 \ ctg \ \alpha) )(1+ctg^2 \alpha)=` `\frac 2(tg \ \alpha+ctg \ \alpha)`
`cos\2\alpha=cos^2 \alpha-sin^2 \alpha=` `1-2 \sin^2 \alpha=2 \cos^2 \alpha-1=` `\frac(1-tg^ 2\alpha)(1+tg^2\alpha)=\frac(ctg^2\alpha-1)(ctg^2\alpha+1)=` `\frac(ctg \ \alpha-tg \ \alpha) (ctg \ \alpha+tg \ \alpha)`
`tg \ 2\alpha=\frac(2 \ tg \ \alpha)(1-tg^2 \alpha)=` `\frac(2 \ ctg \ \alpha)(ctg^2 \alpha-1)=` `\frac 2(\ctg \ \alpha-tg \ \alpha)`
`ctg \ 2\alpha=\frac(ctg^2 \alpha-1)(2 \ctg \ \alpha)=` `\frac (\ctg \ \alpha-tg \ \alpha)2`

Formule trostrukog ugla

`sin \ 3\alpha=3 \ sin \ \alpha-4sin^3 \alpha`
`cos \ 3\alpha=4cos^3 \alpha-3 \ cos \ \alpha`
`tg \ 3\alpha=\frac(3 \ tg \ \alpha-tg^3 \alpha)(1-3 \ tg^2 \alpha)`
`ctg \ 3\alpha=\frac(ctg^3 \alpha-3 \ ctg \ \alpha)(3 \ ctg^2 \alpha-1)`

Formule poluugla

`sin \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1-cos \ \alpha)2)`
`cos \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1+cos \ \alpha)2)`
`tg \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1-cos \ \alpha)(1+cos \ \alpha))=` `\frac (sin \ \alpha)(1+cos \ \ alpha)=\frac (1-cos \ \alpha)(sin \ \alpha)`
`ctg \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1+cos \ \alpha)(1-cos \ \alpha))=` `\frac (sin \ \alpha)(1-cos \ \ alpha)=\frac (1+cos \ \alpha)(sin \ \alpha)`

Formule za pola, dvostruke i trostruke argumente izražavaju funkcije `sin, \cos, \tg, \ctg` ovih argumenata (`\frac(\alpha)2, \2\alpha, \3\alpha,...` ) kroz ove funkcije argument `\alpha`.

Njihov zaključak se može dobiti iz prethodne grupe (sabiranje i oduzimanje argumenata). Na primjer, dvostruki ugaoni identiteti se lako dobijaju zamjenom `\beta` sa `\alpha`.

Formule za smanjenje stepena

Formule kvadrata (kocke, itd.) trigonometrijskih funkcija omogućavaju vam prelazak sa 2,3,... stepena na trigonometrijske funkcije prvog stepena, ali više uglova (`\alpha, \3\alpha, \... ` ili `2\alfa, \ 4\alfa, \...`).
`sin^2 \alpha=\frac(1-cos \ 2\alpha)2,` ` (sin^2 \frac \alpha 2=\frac(1-cos \ \alpha)2)`
`cos^2 \alpha=\frac(1+cos \ 2\alpha)2,` ` (cos^2 \frac \alpha 2=\frac(1+cos \ \alpha)2)`
`sin^3 \alpha=\frac(3sin \ \alpha-sin \ 3\alpha)4`
`cos^3 \alpha=\frac(3cos \ \alpha+cos \ 3\alpha)4`
`sin^4 \alpha=\frac(3-4cos \ 2\alpha+cos \ 4\alpha)8`
`cos^4 \alpha=\frac(3+4cos \ 2\alpha+cos \ 4\alpha)8`

Formule za zbir i razliku trigonometrijskih funkcija

Formule su transformacije zbira i razlike trigonometrijskih funkcija različitih argumenata u proizvod.

`sin \ \alpha+sin \ \beta=` `2 \ sin \frac(\alpha+\beta)2 \ cos \frac(\alpha-\beta)2`
`sin \ \alpha-sin \ \beta=` `2 \cos \frac(\alpha+\beta)2 \sin \frac(\alpha-\beta)2`
`cos \ \alpha+cos \ \beta=` `2 \cos \frac(\alpha+\beta)2 \cos \frac(\alpha-\beta)2`
`cos \ \alpha-cos \ \beta=` `-2 \ sin \frac(\alpha+\beta)2 \ sin \frac(\alpha-\beta)2=` `2 \ sin \frac(\alpha+\ beta)2\sin\frac(\beta-\alpha)2`
`tg \ \alpha \pm tg \ \beta=\frac(sin(\alpha \pm \beta))(cos \ \alpha \ cos \ \beta)`
`ctg \ \alpha \pm ctg \ \beta=\frac(sin(\beta \pm \alpha))(sin \ \alpha \ sin \ \beta)`
`tg \ \alpha \pm ctg \ \beta=` `\pm \frac(cos(\alpha \mp \beta))(cos \ \alpha \ sin \ \beta)`

Ovdje dolazi do transformacije sabiranja i oduzimanja funkcija jednog argumenta u proizvod.

`cos \ \alpha+sin \ \alpha=\sqrt(2) \cos (\frac(\pi)4-\alpha)`
`cos \ \alpha-sin \ \alpha=\sqrt(2) \ sin (\frac(\pi)4-\alpha)`
`tg \ \alpha+ctg \ \alpha=2 \cosec \2\alpha;` `tg \ \alpha-ctg \ \alpha=-2 \ctg \2\alpha`

Sljedeće formule pretvaraju zbir i razliku jedne i trigonometrijske funkcije u proizvod.

`1+cos \ \alpha=2 \cos^2 \frac(\alpha)2`
`1-cos \ \alpha=2 \ sin^2 \frac(\alpha)2`
`1+sin \ \alpha=2 \ cos^2 (\frac (\pi) 4-\frac(\alpha)2)`
`1-sin \ \alpha=2 \ sin^2 (\frac (\pi) 4-\frac(\alpha)2)`
`1 \pm tg \ \alpha=\frac(sin(\frac(\pi)4 \pm \alpha))(cos \frac(\pi)4 \cos \ \alpha)=` `\frac(\sqrt (2) sin(\frac(\pi)4 \pm \alpha))(cos \ \alpha)`
`1 \pm tg \ \alpha \ tg \ \beta=\frac(cos(\alpha \mp \beta))(cos \ \alpha \ cos \ \beta);` ` \ctg \ \alpha \ctg \ \ beta \pm 1=\frac(cos(\alpha \mp \beta))(sin \ \alpha \ sin \ \beta)`

Formule za pretvaranje proizvoda funkcija

Formule za pretvaranje proizvoda trigonometrijskih funkcija s argumentima `\alpha` i `\beta` u zbir (razliku) ovih argumenata.
`sin \ \alpha \ sin \ \beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)-cos(\alpha + \beta))(2)`
`sin\alpha \cos\beta =` `\frac(sin(\alpha - \beta)+sin(\alpha + \beta))(2)`
`cos \ \alpha \cos \ \beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)+cos(\alpha + \beta))(2)`
`tg \ \alpha \ tg \ \beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)-cos(\alpha + \beta))(cos(\alpha - \beta)+cos(\alpha + \ beta)) =` `\frac(tg \ \alpha + tg \ \beta)(ctg \ \alpha + ctg \ \beta)`
`ctg \ \alpha \ ctg \ \beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)+cos(\alpha + \beta))(cos(\alpha - \beta)-cos(\alpha + \ beta)) =` `\frac(ctg \ \alpha + ctg \ \beta)(tg \ \alpha + tg \ \beta)`
`tg \ \alpha \ ctg \ \beta =` `\frac(sin(\alpha - \beta)+sin(\alpha + \beta))(sin(\alpha + \beta)-sin(\alpha - \ beta))`

Univerzalna trigonometrijska supstitucija

Ove formule izražavaju trigonometrijske funkcije u terminima tangenta poluugla.
`sin \ \alpha= \frac(2tg\frac(\alpha)(2))(1 + tg^(2)\frac(\alpha)(2)),` ` \alpha\ne \pi +2\ pi n, n \u Z`
`cos \ \alpha= \frac(1 - tg^(2)\frac(\alpha)(2))(1 + tg^(2)\frac(\alpha)(2)),` ` \alpha \ ne \pi +2\pi n, n \in Z`
`tg \ \alpha= \frac(2tg\frac(\alpha)(2))(1 - tg^(2)\frac(\alpha)(2)),` ` \alpha \ne \pi +2\ pi n, n \in Z,` ` \alpha \ne \frac(\pi)(2)+ \pi n, n \in Z`
`ctg \ \alpha = \frac(1 - tg^(2)\frac(\alpha)(2))(2tg\frac(\alpha)(2)),` ` \alpha \ne \pi n, n \u Z,` `\alpha \ne \pi + 2\pi n, n \u Z`

Formule redukcije

Formule redukcije se mogu dobiti korištenjem takvih svojstava trigonometrijskih funkcija kao što su periodičnost, simetrija i svojstvo pomjeranja za dati ugao. Oni omogućavaju pretvaranje funkcija proizvoljnog ugla u funkcije čiji je ugao između 0 i 90 stepeni.

Za ugao (`\frac (\pi)2 \pm \alpha`) ili (`90^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos \ \alpha;` ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha`
`cos(\frac (\pi)2 — \alpha)=sin \ \alpha;` ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \ \alpha`
`tg(\frac (\pi)2 — \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (\pi)2 — \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`
Za ugao (`\pi \pm \alpha`) ili (`180^\circ \pm \alpha`):
`sin(\pi - \alpha)=sin \ \alpha;` ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`
`cos(\pi - \alpha)=-cos \ \alpha;` ` cos(\pi + \alpha)=-cos \ \alpha`
`tg(\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`
Za ugao (`\frac (3\pi)2 \pm \alpha`) ili (`270^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (3\pi)2 — \alpha)=-cos \ \alpha;` ` sin(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-cos \ \alpha`
`cos(\frac (3\pi)2 — \alpha)=-sin \ \alpha;` ` cos(\frac (3\pi)2 + \alpha)=sin \ \alpha`
`tg(\frac (3\pi)2 — \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (3\pi)2 — \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`
Za ugao (`2\pi \pm \alpha`) ili (`360^\circ \pm \alpha`):
`sin(2\pi - \alpha)=-sin \ \alpha;` ` sin(2\pi + \alpha)=sin \ \alpha`
`cos(2\pi - \alpha)=cos \ \alpha;` ` cos(2\pi + \alpha)=cos \ \alpha`
`tg(2\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(2\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(2\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(2\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`

Izražavanje nekih trigonometrijskih funkcija u terminima drugih

`sin \ \alpha=\pm \sqrt(1-cos^2 \alpha)=` `\frac(tg \ \alpha)(\pm \sqrt(1+tg^2 \alpha))=\frac 1( \pm \sqrt(1+ctg^2 \alpha))`
`cos \ \alpha=\pm \sqrt(1-sin^2 \alpha)=` `\frac 1(\pm \sqrt(1+tg^2 \alpha))=\frac (ctg \ \alpha)( \pm \sqrt(1+ctg^2 \alpha))`
`tg \ \alpha=\frac (sin \ \alpha)(\pm \sqrt(1-sin^2 \alpha))=` `\frac (\pm \sqrt(1-cos^2 \alpha))( cos\\alpha)=\frac 1(ctg\\alpha)`
`ctg \ \alpha=\frac (\pm \sqrt(1-sin^2 \alpha))(sin \ \alpha)=` `\frac (cos \ \alpha)(\pm \sqrt(1-cos^ 2 \alpha))=\frac 1(tg \ \alpha)`

Trigonometrija se doslovno prevodi kao "mjeriti trouglove". Počinje se proučavati u školi, a nastavlja se detaljnije na univerzitetima. Stoga su osnovne formule iz trigonometrije potrebne počevši od 10. razreda, kao i za polaganje Jedinstvenog državnog ispita. Oni označavaju veze između funkcija, a budući da postoji mnogo tih veza, postoje mnoge i same formule. Nije ih lako sve zapamtiti, a nije ni potrebno - ako je potrebno, mogu se svi prikazati.

Trigonometrijske formule se koriste u integralnom računu, kao i u trigonometrijskim pojednostavljenjima, proračunima i transformacijama.

Radeći trigonometrijske transformacije slijedite ove savjete:

Ne pokušavajte odmah doći do rješenja za primjer od početka do kraja.
Ne pokušavajte odjednom pretvoriti cijeli primjer. Idite malim koracima naprijed.
Zapamtite da pored trigonometrijskih formula u trigonometriji, još uvijek možete koristiti sve poštene algebarske transformacije (zagrade, skraćivanje razlomaka, skraćene formule za množenje, itd.).
Vjerujte da će sve biti u redu.

Osnovne trigonometrijske formule

Većina formula u trigonometriji se često koristi i s desna na lijevo i s lijeva na desno, tako da morate naučiti ove formule tako dobro da možete lako primijeniti neku formulu u oba smjera. Zapišimo prvo definicije trigonometrijskih funkcija. Neka postoji pravougli trougao:

Zatim, definicija sinusa:

Definicija kosinusa:

Definicija tangente:

Definicija kotangensa:

Osnovni trigonometrijski identitet:

Najjednostavniji rezultati osnovnog trigonometrijskog identiteta:

Formule dvostrukog ugla. Sinus dvostrukog ugla:

Kosinus dvostrukog ugla:

Tangenta dvostrukog ugla:

Kotangens dvostrukog ugla:

Dodatne trigonometrijske formule

Trigonometrijske formule sabiranja. Sinus sume:

Sinus razlike:

Kosinus sume:

Kosinus razlike:

Tangent sume:

Tangenta razlike:

Kotangens iznosa:

Kotangens razlike:

Trigonometrijske formule za pretvaranje sume u proizvod. Zbir sinusa:

Sinusna razlika:

Zbir kosinusa:

Razlika kosinusa:

Zbir tangenti:

Tangentna razlika:

Zbir kotangensa:

Kotangens razlika:

Trigonometrijske formule za pretvaranje proizvoda u zbir. Proizvod sinusa:

Umnožak sinusa i kosinusa:

Umnožak kosinusa:

Formule za smanjenje stepena.

Formule poluugla.

Formule trigonometrijske redukcije

Poziva se kosinusna funkcija kofunkcija sinusne funkcije i obrnuto. Slično, tangentne i kotangensne funkcije su kofunkcije. Formule redukcije mogu se formulirati prema sljedećem pravilu:

Ako se u formuli redukcije ugao oduzme (doda) od 90 stepeni ili 270 stepeni, onda se redukovana funkcija menja u kofunkciju;
Ako se u formuli redukcije ugao oduzme (doda) od 180 stepeni ili 360 stepeni, tada se zadržava naziv redukovane funkcije;
U ovom slučaju, predznak koji redukovana (tj. originalna) funkcija ima u odgovarajućem kvadrantu stavlja se ispred redukovane funkcije, ako smatramo da je oduzeti (dodati) ugao oštar.

Formule redukcije date su u obliku tabele:

By trigonometrijski krug lako odrediti tabelarne vrijednosti trigonometrijskih funkcija:

Trigonometrijske jednadžbe

Da bi se riješila određena trigonometrijska jednačina, ona se mora svesti na jednu od najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi, o kojoj će biti riječi u nastavku. Za ovo:

Možete koristiti trigonometrijske formule date gore. U isto vrijeme, ne morate pokušavati transformirati cijeli primjer odjednom, već morate ići naprijed malim koracima.
Ne smijemo zaboraviti na mogućnost transformacije nekog izraza algebarskim metodama, tj. na primjer, izvadite nešto iz zagrada ili, obrnuto, otvorite zagrade, smanjite razlomak, primijenite skraćenu formulu množenja, dovedite razlomke u zajednički nazivnik itd.
Prilikom rješavanja trigonometrijskih jednadžbi možete koristiti metod grupisanja. Treba imati na umu da da bi proizvod nekoliko faktora bio jednak nuli, dovoljno je da bilo koji od njih bude jednak nuli, i ostalo je postojalo.
Primjena varijabilna metoda zamjene, kao i obično, jednadžba nakon uvođenja zamjene treba da postane jednostavnija i da ne sadrži originalnu varijablu. Također morate zapamtiti da izvršite obrnutu zamjenu.
Zapamtite da se homogene jednadžbe često pojavljuju u trigonometriji.
Kada otvarate module ili rješavate iracionalne jednadžbe s trigonometrijskim funkcijama, morate zapamtiti i uzeti u obzir sve suptilnosti rješavanja odgovarajućih jednadžbi s običnim funkcijama.
Zapamtite ODZ (u trigonometrijskim jednadžbama ograničenja na ODZ uglavnom se svode na to da ne možete dijeliti sa nulom, ali ne zaboravite na druga ograničenja, posebno na pozitivnost izraza u racionalnim potencijama i pod korijenima parnih potencija). Također zapamtite da vrijednosti sinusa i kosinusa mogu biti samo u rasponu od minus jedan do plus jedan, uključujući.

Glavna stvar je, ako ne znate što da radite, učinite barem nešto, a glavna stvar je da pravilno koristite trigonometrijske formule. Ako ono što dobijete postaje sve bolje i bolje, onda nastavite s rješenjem, a ako se pogorša, vratite se na početak i pokušajte primijeniti druge formule, činite to dok ne naiđete na ispravno rješenje.

Formule za rješenja najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi. Za sinus postoje dva ekvivalentna oblika pisanja rješenja:

Za ostale trigonometrijske funkcije, notacija je nedvosmislena. za kosinus:

za tangentu:

za kotangens:

Rješavanje trigonometrijskih jednadžbi u nekim posebnim slučajevima:

Naučite sve formule i zakone u fizici, te formule i metode u matematici. U stvari, i to je vrlo jednostavno za napraviti; postoji samo oko 200 potrebnih formula u fizici, a još nešto manje u matematici. Svaki od ovih predmeta ima desetak standardnih metoda za rješavanje problema osnovni nivo poteškoće koje se također mogu naučiti, i tako potpuno automatski i bez poteškoća riješiti većinu CT-a u pravo vrijeme. Nakon toga, morat ćete razmišljati samo o najtežim zadacima.

Pohađati sve tri faze probnog testiranja iz fizike i matematike. Svaki RT se može posjetiti dva puta da se odluči za obje opcije. Opet, na CT-u, pored sposobnosti brzog i efikasnog rješavanja problema, te poznavanja formula i metoda, morate znati i pravilno planirati vrijeme, rasporediti snage, i što je najvažnije, pravilno popuniti formular za odgovore, bez zbunjujući brojeve odgovora i zadataka, ili svoje prezime. Takođe, tokom RT-a, važno je naviknuti se na stil postavljanja pitanja u problemima, što se nespremnoj osobi u DT-u može učiniti vrlo neuobičajenim.

Uspješna, marljiva i odgovorna implementacija ove tri tačke, kao i odgovorno proučavanje završnih testova treninga, omogućit će vam da na CT-u pokažete odličan rezultat, maksimum onoga za što ste sposobni.

Našli ste grešku?

Ako mislite da ste pronašli grešku u materijalima za obuku, napišite o tome na email(). U pismu naznačite predmet (fizika ili matematika), naziv ili broj teme ili testa, broj zadatka ili mjesto u tekstu (stranici) na kojem, po vašem mišljenju, postoji greška. Također opišite o čemu se sumnja na grešku. Vaše pismo neće proći nezapaženo, greška će biti ili ispravljena, ili će Vam biti objašnjeno zašto nije greška.

Trigonometrija, trigonometrijske formule

Date su veze između osnovnih trigonometrijskih funkcija - sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa. trigonometrijske formule. A budući da postoji dosta veza između trigonometrijskih funkcija, to objašnjava obilje trigonometrijskih formula. Neke formule povezuju trigonometrijske funkcije istog ugla, druge - funkcije višestrukog ugla, druge - omogućavaju smanjenje stepena, četvrte - izražavaju sve funkcije kroz tangentu pola ugla, itd.

Osnovni trigonometrijski identiteti definirati odnos između sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa jednog ugla. Oni proizilaze iz definicije sinusa, kosinusa, tangente i kotangensa, kao i koncepta jedinične kružnice. Oni vam omogućavaju da izrazite jednu trigonometrijsku funkciju u terminima bilo koje druge.

Za detaljan opis ovih trigonometrijskih formula, njihovo izvođenje i primjere primjene, pogledajte članak Osnovni trigonometrijski identiteti.

Vrh stranice

Formule redukcije

Obrazloženje ovih formula, mnemotehničko pravilo za njihovo pamćenje i primjeri njihove primjene mogu se proučavati u formulama za smanjenje članka.

Vrh stranice

Formule sabiranja

Trigonometrijske formule sabiranja pokazuju kako se trigonometrijske funkcije zbira ili razlike dvaju uglova izražavaju u terminima trigonometrijskih funkcija tih uglova. Ove formule služe kao osnova za izvođenje sljedećih trigonometrijskih formula.

Za više informacija pogledajte članak Formule sabiranja.

Vrh stranice

Formule za duplo, trostruko itd. ugao

Detaljnije informacije prikupljene su u formulama članka za duplo, trostruko, itd. ugao.

Vrh stranice

Formule poluugla

Formule poluugla pokazuju kako se trigonometrijske funkcije poluugla izražavaju kosinusom cijelog ugla. Ove trigonometrijske formule slijede iz formula dvostrukog ugla.

Njihov zaključak i primjeri primjene mogu se naći u članku o formulama za polukut.

Vrh stranice

Formule za smanjenje stepena

Vrh stranice

Formule za zbir i razliku trigonometrijskih funkcija

Za izvođenje formula, kao i primjere njihove primjene, pogledajte formule za zbroj i razliku sinusa i kosinusa.

Vrh stranice

Formule za proizvod sinusa, kosinusa i sinus po kosinus

Prijelaz sa umnoška trigonometrijskih funkcija na zbroj ili razliku vrši se pomoću formula za proizvod sinusa, kosinusa i sinusa po kosinus.

Vrh stranice

Univerzalna trigonometrijska supstitucija

Za više potpune informacije vidi članak univerzalna trigonometrijska zamjena.

Vrh stranice

algebra: Udžbenik za 9. razred. avg. škola/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky - M.: Obrazovanje, 1990. - 272 str.: ilustr. - ISBN 5-09-002727-7
Bašmakov M. I. Algebra i počeci analize: Udžbenik. za 10-11 razred. avg. škola — 3. izd. - M.: Prosveta, 1993. - 351 str.: ilustr. — ISBN 5-09-004617-4.
Algebra i početak analize: Proc. za 10-11 razred. opšte obrazovanje institucije / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn i drugi; Ed. A. N. Kolmogorov - 14. izd. - M.: Obrazovanje, 2004. - 384 str.: ilustr. - ISBN 5-09-013651-3.
Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (priručnik za polaznike tehničkih škola): Proc. dodatak.- M.; Više škola, 1984.-351 str., ilustr.

Trigonometrijske formule- ovo su najneophodnije formule u trigonometriji, neophodne za izražavanje trigonometrijskih funkcija koje se izvode za bilo koju vrijednost argumenta.

Formule sabiranja.

sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α

sin (α - β) = sin α cos β - sin β cos α

cos (α + β) = cos α · cos β — sin α · sin β

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

tg (α + β) = (tg α + tg β) ÷ (1 - tg α · tg β)

tg (α - β) = (tg α - tg β) ÷ (1 + tg α · tg β)

ctg (α + β) = (ctg α · ctg β + 1) ÷ (ctg β - ctg α)

ctg (α - β) = (ctg α · ctg β - 1) ÷ (ctg β + ctg α)

Formule dvostrukog ugla.

cos 2α = cos²α -sin²α

cos 2α = 2cos²α — 1

cos 2α = 1 - 2sin²α

grijeh 2α = 2sinα cosα

tg 2α = (2tg α) ÷ (1 - tg² α)

ctg 2α = (ctg²α — 1) ÷ (2ctgα )

Formule trostrukog ugla.

sin 3α = 3sin α – 4sin³ α

cos 3α = 4cos³α - 3cosα

tg 3α = (3tgα — tg³α ) ÷ (1 — 3tg²α )

ctg 3α = (3ctg α - ctg³ α) ÷ (1 - 3ctg² α)

Formule poluugla.

Formule redukcije.

Funkcija/ugao u rad.	π/2 - α	π/2 + α			3π/2 - α	3π/2 + α	2π - α	2π + α




Funkcija/ugao u °	90° - α	90° + α	180° - α	180° + α	270° - α	270° + α	360° - α	360° + α

Detaljan opis redukcijskih formula.

Osnovne trigonometrijske formule.

Osnovni trigonometrijski identitet:

sin 2 α+cos 2 α=1

Ovaj identitet je rezultat primjene Pitagorine teoreme na trokut u jediničnom trigonometrijskom krugu.

Odnos između kosinusa i tangenta je:

1/cos 2 α−tan 2 α=1 ili sec 2 α−tan 2 α=1.

Ova formula je posljedica osnovnog trigonometrijskog identiteta i dobiva se iz njega dijeljenjem lijeve i desne strane sa cos2α. Pretpostavlja se da α≠π/2+πn,n∈Z.

Odnos između sinusa i kotangensa:

1/sin 2 α−cot 2 α=1 ili csc 2 α−cot 2 α=1.

Ova formula također slijedi iz osnovnog trigonometrijskog identiteta (dobijenog iz njega dijeljenjem lijeve i desne strane sa sin2α. Ovdje se pretpostavlja da α≠πn,n∈Z.

Definicija tangente:

tanα=sinα/cosα,

Gdje α≠π/2+πn,n∈Z.

Definicija kotangensa:

cotα=cosα/sinα,

Gdje α≠πn,n∈Z.

Korolar iz definicija tangente i kotangensa:

tanα⋅ cotα=1,

Gdje α≠πn/2,n∈Z.

Definicija sekante:

secα=1/cosα,α≠π/2+πn,n∈ Z

Definicija kosekansa:

cscα=1/sinα,α≠πn,n∈ Z

Trigonometrijske nejednakosti.

Najjednostavnije trigonometrijske nejednakosti:

sinx > a, sinx ≥ a, sinx< a, sinx ≤ a,

cosx > a, cosx ≥ a, cosx< a, cosx ≤ a,

tanx > a, tanx ≥ a, tanx< a, tanx ≤ a,

cotx > a, cotx ≥ a, cotx< a, cotx ≤ a.

Kvadrati trigonometrijskih funkcija.

Formule za kocke trigonometrijskih funkcija.

TrigonometrijaMatematika. Trigonometrija. Formule. Geometrija. Teorija

Pogledali smo najosnovnije trigonometrijske funkcije (nemojte se zavaravati, osim sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa, postoje mnoge druge funkcije, ali o njima kasnije), ali za sada pogledajmo neka osnovna svojstva već proučavane funkcije.

Trigonometrijske funkcije numeričkog argumenta

Koji god da se uzme realni broj t, on se može povezati sa jedinstveno definisanim brojem sin(t).

Istina, pravilo podudaranja je prilično složeno i sastoji se od sljedećeg.

Da biste pronašli vrijednost sin(t) iz broja t, trebate:

postavite brojčani krug koordinatna ravan tako da se centar kružnice poklapa sa ishodištem koordinata, a početna tačka A kružnice pada u tačku (1; 0);
pronaći tačku na kružnici koja odgovara broju t;
pronađite ordinatu ove tačke.
ova ordinata je željeni sin(t).

Zapravo, govorimo o funkciji s = sin(t), gdje je t bilo koji realan broj. Znamo kako izračunati neke vrijednosti ove funkcije (na primjer, sin(0) = 0, \(sin \frac (\pi)(6) = \frac(1)(2) \), itd.) , znamo neka njegova svojstva.

Odnos trigonometrijskih funkcija

Kao što, nadam se, možete pretpostaviti, sve trigonometrijske funkcije su međusobno povezane i čak i bez poznavanja značenja jedne, može se pronaći kroz drugu.

Na primjer, najvažnija formula u cijeloj trigonometriji je osnovni trigonometrijski identitet:

\[ sin^(2) t + cos^(2) t = 1 \]

Kao što vidite, znajući vrijednost sinusa, možete pronaći vrijednost kosinusa, a također i obrnuto.

Trigonometrijske formule

Također vrlo uobičajene formule koje povezuju sinus i kosinus s tangentom i kotangensom:

\[ \boxed (\tan\; t=\frac(\sin\; t)(\cos\; t), \qquad t \neq \frac(\pi)(2)+ \pi k) \]

\[ \boxed (\cot\; t=\frac(\cos\; )(\sin\; ), \qquad t \neq \pi k) \]

Iz posljednje dvije formule može se izvesti još jedan trigometrijski identitet, ovaj put povezujući tangentu i kotangens:

\[ \boxed (\tan \; t \cdot \cot \; t = 1, \qquad t \neq \frac(\pi k)(2)) \]

Pogledajmo sada kako ove formule rade u praksi.

PRIMJER 1. Pojednostavite izraz: a) \(1+ \tan^2 \; t \), b) \(1+ \cot^2 \; t \)

a) Prije svega, napišimo tangentu, zadržavajući kvadrat:

\[ 1+ \tan^2 \; t = 1 + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) \]

\[ 1 + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t)= \sin^2\; t + \cos^2\; t + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) \]

Sada unesite sve ispod zajednički imenilac, i dobijamo:

\[ \sin^2\; t + \cos^2\; t + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) = \frac(\cos^2 \; t + \sin^2 \; t)(\cos^2 \; t ) \]

I konačno, kao što vidimo, brojilac se može svesti na jedan glavnim trigonometrijskim identitetom, kao rezultat dobijamo: \[ 1+ \tan^2 \; = \frac(1)(\cos^2 \; t) \]

b) S kotangensom izvodimo sve iste radnje, samo nazivnik više neće biti kosinus, već sinus, a odgovor će biti ovakav:

\[ 1+ \krevet^2 \; = \frac(1)(\sin^2 \; t) \]

Nakon što smo obavili ovaj zadatak, izveli smo još dvije vrlo važne formule koje povezuju naše funkcije, a koje također moramo znati kao svoj džep:

\[ \boxed (1+ \tan^2 \; = \frac(1)(\cos^2 \; t), \qquad t \neq \frac(\pi)(2)+ \pi k) \]

\[ \boxed (1+ \cot^2 \; = \frac(1)(\sin^2 \; t), \qquad t \neq \pi k) \]

Morate znati sve predstavljene formule napamet, inače je dalje proučavanje trigonometrije bez njih jednostavno nemoguće. U budućnosti će biti još formula i biće ih puno i uvjeravam vas da ćete ih sigurno sve dugo pamtiti, ili ih možda nećete pamtiti, ali ovih šest stvari bi SVI trebali znati!

Kompletna tabela svih osnovnih i rijetkih trigonometrijskih redukcijskih formula.

Ovdje možete pronaći trigonometrijske formule u prikladnom obliku. A formule trigonometrijske redukcije mogu se naći na drugoj stranici.

Osnovni trigonometrijski identiteti

— matematički izrazi za trigonometrijske funkcije, koji se izvršavaju za svaku vrijednost argumenta.

sin² α + cos² α = 1
tg α krevetac α = 1
tg α = sin α ÷ cos α
cot α = cos α ÷ sin α
1 + tg² α = 1 ÷ cos² α
1 + cotg² α = 1 ÷ sin² α

Formule sabiranja

sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α
sin (α - β) = sin α cos β - sin β cos α
cos (α + β) = cos α · cos β — sin α · sin β
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
tg (α + β) = (tg α + tg β) ÷ (1 - tg α · tg β)
tg (α - β) = (tg α - tg β) ÷ (1 + tg α · tg β)
ctg (α + β) = (ctg α · ctg β + 1) ÷ (ctg β - ctg α)
ctg (α - β) = (ctg α · ctg β - 1) ÷ (ctg β + ctg α)

https://uchim.org/matematika/trigonometricheskie-formuly - uchim.org

Formule dvostrukog ugla

cos 2α = cos² α - sin² α
cos 2α = 2cos² α - 1
cos 2α = 1 - 2sin² α
sin 2α = 2sin α cos α
tg 2α = (2tg α) ÷ (1 - tg² α)
ctg 2α = (ctg² α - 1) ÷ (2ctg α)

Formule trostrukog ugla

sin 3α = 3sin α – 4sin³ α
cos 3α = 4cos³ α – 3cos α
tg 3α = (3tg α - tg³ α) ÷ (1 - 3tg² α)
ctg 3α = (3ctg α - ctg³ α) ÷ (1 - 3ctg² α)

Formule za smanjenje stepena

sin² α = (1 - cos 2α) ÷ 2
sin³ α = (3sin α – sin 3α) ÷ 4
cos² α = (1 + cos 2α) ÷ 2
cos³ α = (3cos α + cos 3α) ÷ 4
sin² α · cos² α = (1 – cos 4α) ÷ 8
sin³ α · cos³ α = (3sin 2α – sin 6α) ÷ 32

Prijelaz sa proizvoda na zbir

sin α cos β = ½ (sin (α + β) + sin (α - β))
sin α sin β = ½ (cos (α - β) - cos (α + β))
cos α cos β = ½ (cos (α - β) + cos (α + β))

Naveli smo dosta trigonometrijskih formula, ali ako nešto nedostaje, napišite.

Sve za učenje » Matematika u školi » Trigonometrijske formule - cheat sheet

Da biste označili stranicu, pritisnite Ctrl+D.

Grupa sa gomilom korisne informacije(Pretplatite se ako imate Jedinstveni državni ispit ili Jedinstveni državni ispit):

Cijela baza sažetaka, kurseva, teze i drugi edukativni materijali se obezbjeđuje besplatno. Korištenjem materijala stranice potvrđujete da ste pročitali korisnički ugovor i da se slažete sa svim njegovim točkama u cijelosti.

transformacija grupa je detaljno razmotrena opšta rješenja trigonometrijske jednačine. Treći dio ispituje nestandardne trigonometrijske jednačine, čija su rješenja zasnovana na funkcionalnom pristupu.

Sve formule (jednadžbe) trigonometrije: sin(x) cos(x) tan(x) ctg(x)

Četvrti dio razmatra trigonometrijske nejednakosti. Metode rješavanja elementarnih trigonometrijskih nejednačina, kako na jediničnom krugu tako i na...

... ugao 1800-α= duž hipotenuze i oštrog ugla: => OB1=OB; A1B1=AB => x = -x1,y = y1=> Dakle, u školski predmet geometrije pojam trigonometrijske funkcije se uvodi geometrijskim sredstvima zbog njihove veće dostupnosti. Tradicionalna metodološka shema za proučavanje trigonometrijskih funkcija je sljedeća: 1) prvo se određuju trigonometrijske funkcije za oštar ugao pravougaonog...

… Zadaća 19(3.6), 20(2.4) Postavljanje cilja Ažuriranje osnovnih znanja Svojstva trigonometrijskih funkcija Formule redukcije Novi materijal Vrijednosti trigonometrijskih funkcija Rješavanje jednostavnih trigonometrijskih jednadžbi Pojačanje Rješavanje zadataka Cilj lekcije: danas ćemo izračunati vrijednosti trigonometrijskih funkcija i riješiti ...

... formulisana hipoteza je potrebna za rješavanje sljedećih problema: 1. Identificirati ulogu trigonometrijskih jednačina i nejednačina u nastavi matematike; 2. Razviti metodologiju za razvijanje sposobnosti rješavanja trigonometrijskih jednačina i nejednačina, u cilju razvijanja trigonometrijskih koncepata; 3. Eksperimentalno ispitati efikasnost razvijene metode. Za rješenja…

Trigonometrijske formule

Predstavljamo vašoj pažnji različite formule vezane za trigonometriju.

(8) Kotangens dvostrukog ugla

cotg(2α) =

ctg 2 (α) - 1 2ctg(α)

(9) Sinus trostrukog ugla sin(3α) = 3sin(α)cos 2 (α) - sin 3 (α) (10) Kosinus trostrukog ugla cos(3α) = cos 3 (α) - 3cos(α)sin 2 (α) (11) Kosinus zbroja/razlike cos(α±β) = cos(α)cos(β) ∓ sin(α)sin(β) (12) Sinus zbroja/razlike sin(α±β) = sin(α)cos(β) ± cos(α)sin(β) (13) Tangent sume/razlike (14) Kotangens zbira/razlike (15) Proizvod sinusa sin(α)sin(β) = ½(cos(α-β) - cos(α+β)) (16) Proizvod kosinusa cos(α)cos(β) = ½(cos(α+β) + cos(α-β)) (17) Umnožak sinusa i kosinusa sin(α)cos(β) = ½(sin(α+β) + sin(α-β)) (18) Zbir/razlika sinusa sin(α) ± sin(β) = 2sin(½(α±β))cos(½(α∓β)) (19) Zbir kosinusa cos(α) + cos(β) = 2cos(½(α+β))cos(½(α-β)) (20) Razlika kosinusa cos(α) - cos(β) = -2sin(½(α+β))sin(½(α-β)) (21) Zbir/razlika tangenti (22) Formula za smanjenje stepena sinusa sin 2 (α) = ½(1 - cos(2α)) (23) Formula za smanjenje stepena kosinusa cos 2 (α) = ½(1 + cos(2α)) (24) Zbir/razlika sinusa i kosinusa (25) Zbir/razlika sinusa i kosinusa sa koeficijentima (26) Osnovna relacija arksinusa i arkosinusa arcsin(x) + arccos(x) = π/2 (27) Osnovni odnos između arktangensa i arkkotangensa arctan(x) + arcctg(x) = π/2

Opšte formule

- štampana verzija

Definicije Sinus ugla α (oznaka grijeh(α)) je odnos kraka suprotnog ugla α prema hipotenuzi. Kosinus ugla α (oznaka cos(α)) je odnos kraka koji graniči sa uglom α prema hipotenuzi. Ugaona tangenta α (oznaka tan(α)) je omjer suprotne strane ugla α prema susjednoj strani. Ekvivalentna definicija je omjer sinusa ugla α i kosinusa istog ugla - sin(α)/cos(α). Kotangens ugla α (oznaka kotg (α)) je odnos kraka koji se nalazi uz ugao α prema suprotnom. Ekvivalentna definicija je omjer kosinusa ugla α i sinusa istog ugla - cos(α)/sin(α). Ostale trigonometrijske funkcije: secant — sec(α) = 1/cos(α); kosekans - cosec(α) = 1/sin(α). Bilješka Ne pišemo posebno znak * (množenje) - gdje su dvije funkcije napisane u nizu, bez razmaka, to se podrazumijeva. Clue Da biste dobili formule za kosinus, sinus, tangent ili kotangens višestrukih (4+) uglova, dovoljno ih je napisati prema formulama. kosinus, sinus, tangent ili kotangens zbira, ili svesti na prethodne slučajeve, svodeći na formule trostrukih i dvostrukih uglova. Dodatak Tabela derivata