Decimallogaritm 9. Logaritm. Decimal logaritm. Decimala och naturliga logaritmer

DEFINITION

Decimallogaritm kallas bas 10-logaritmen:

Title="Renderd av QuickLaTeX.com">!}

Denna logaritm är lösningen exponentiell ekvation. Ibland (särskilt i utländsk litteratur) betecknas också decimallogaritmen som , även om de två första beteckningarna också är inneboende i den naturliga logaritmen.

De första tabellerna med decimallogaritmer publicerades engelsk matematiker Henry Briggs (1561-1630) 1617 (vilket är anledningen till att utländska forskare ofta kallar decimallogaritmer fortfarande Briggs), men dessa tabeller innehöll fel. Baserat på tabellerna (1783) av den slovenske och österrikiska matematikern Georg Barthalomew Vega (Juri Veha eller Vehovec, 1754-1802) publicerade den tyske astronomen och lantmätaren Karl Bremiker (1804-1877) 1857 den första felfria upplagan. Med deltagande av den ryska matematikern och läraren Leonty Filippovich Magnitsky (Telyatin eller Telyashin, 1669-1739) publicerades de första logaritmtabellerna i Ryssland 1703. Decimallogaritmer användes i stor utsträckning för beräkningar.

Egenskaper för decimallogaritmer

Denna logaritm har alla egenskaper som är inneboende i en logaritm till en godtycklig bas:

1. Grundläggande logaritmisk identitet:

5. .

7. Övergång till en ny bas:

Decimallogaritmfunktionen är en funktion. Grafen för denna kurva kallas ofta logaritmisk.

Egenskaper för funktionen y=lg x

1) Definitionens omfattning: .

2) Flera betydelser: .

3) Allmän funktion.

4) Funktionen är icke-periodisk.

5) Funktionens graf skär x-axeln i punkten .

6) Tecknets konstansintervall: title="Renderd av QuickLaTeX.com" height="16" width="44" style="vertical-align: -4px;"> для !} det för .

\(a^(b)=c\) \(\vänsterpil\) \(\log_(a)(c)=b\)

Låt oss förklara det enklare. Till exempel är \(\log_(2)(8)\) lika med den potens som \(2\) måste höjas till för att få \(8\). Av detta är det tydligt att \(\log_(2)(8)=3\).

Exempel:		\(\log_(5)(25)=2\)		därför att \(5^(2)=25\)
		\(\log_(3)(81)=4\)		därför att \(3^(4)=81\)
		\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)		därför att \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

Argument och bas för logaritmen

Varje logaritm har följande "anatomi":

Argumentet för en logaritm skrivs vanligtvis på dess nivå, och basen skrivs i sänkt skrift närmare logaritmtecknet. Och det här inlägget lyder så här: "logaritm av tjugofem till bas fem."

Hur räknar man ut logaritmen?

För att beräkna logaritmen måste du svara på frågan: till vilken potens ska basen höjas för att få argumentet?

Till exempel, beräkna logaritmen: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) Till vilken effekt måste \(4\) höjas för att få \(16\)? Självklart den andra. Det är därför:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) Till vilken effekt måste \(\sqrt(5)\) höjas för att få \(1\)? Vilken kraft gör någon nummer ett? Noll såklart!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) Till vilken effekt måste \(\sqrt(7)\) höjas för att få \(\sqrt(7)\)? För det första är alla tal i första potensen lika med sig själv.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) Till vilken effekt måste \(3\) höjas för att få \(\sqrt(3)\)? Från vi vet att det är en bråkdel, vilket betyder Roten urär makten för \(\frac(1)(2)\) .

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Exempel : Beräkna logaritmen \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Lösning :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		Vi måste hitta värdet på logaritmen, låt oss beteckna det som x. Låt oss nu använda definitionen av en logaritm: \(\log_(a)(c)=b\) \(\vänsterpil\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		Vad förbinder \(4\sqrt(2)\) och \(8\)? Två, eftersom båda talen kan representeras av tvåor: \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		Till vänster använder vi gradens egenskaper: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) och \((a^(m))^(n)= a^(m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		Grunderna är lika, vi går vidare till jämlikhet mellan indikatorer
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		Multiplicera båda sidor av ekvationen med \(\frac(2)(5)\)
		Den resulterande roten är värdet på logaritmen

Svar : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Varför uppfanns logaritmen?

För att förstå detta, låt oss lösa ekvationen: \(3^(x)=9\). Matcha bara \(x\) för att få ekvationen att fungera. Naturligtvis \(x=2\).

Lös nu ekvationen: \(3^(x)=8\).Vad är x lika med? Det är poängen.

De smartaste kommer att säga: "X är lite mindre än två." Hur exakt skriver man detta nummer? För att svara på denna fråga uppfanns logaritmen. Tack vare honom kan svaret här skrivas som \(x=\log_(3)(8)\).

Jag vill betona att \(\log_(3)(8)\), gillar vilken logaritm som helst är bara ett tal. Ja, det ser ovanligt ut, men det är kort. För om vi ville skriva det som en decimal skulle det se ut så här: \(1.892789260714.....\)

Exempel : Lös ekvationen \(4^(5x-4)=10\)

Lösning :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\) och \(10\) kan inte föras till samma bas. Det betyder att du inte kan klara dig utan en logaritm. Låt oss använda definitionen av logaritm: \(a^(b)=c\) \(\vänsterpil\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		Låt oss vända ekvationen så att X är till vänster
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		Före oss. Låt oss flytta \(4\) åt höger. Och var inte rädd för logaritmen, behandla den som ett vanligt tal.
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		Dividera ekvationen med 5
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		Det här är vår rot. Ja, det ser ovanligt ut, men de väljer inte svaret.

Svar : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Decimala och naturliga logaritmer

Som anges i definitionen av en logaritm kan dess bas vara vilket positivt tal som helst utom ett \((a>0, a\neq1)\). Och bland alla möjliga baser finns det två som förekommer så ofta att en speciell kort notation uppfanns för logaritmer med dem:

Naturlig logaritm: en logaritm vars bas är Eulers tal \(e\) (lika med ungefär \(2,7182818...\)), och logaritmen skrivs som \(\ln(a)\).

Det är, \(\ln(a)\) är samma som \(\log_(e)(a)\)

Decimallogaritm: En logaritm vars bas är 10 skrivs \(\lg(a)\).

Det är, \(\lg(a)\) är samma som \(\log_(10)(a)\), där \(a\) är ett tal.

Grundläggande logaritmisk identitet

Logaritmer har många egenskaper. En av dem kallas "Basic Logarithmic Identity" och ser ut så här:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

Denna egenskap följer direkt av definitionen. Låt oss se exakt hur denna formel kom till.

Låt oss komma ihåg en kort notation av definitionen av logaritm:

om \(a^(b)=c\), då \(\log_(a)(c)=b\)

Det vill säga \(b\) är detsamma som \(\log_(a)(c)\). Då kan vi skriva \(\log_(a)(c)\) istället för \(b\) i formeln \(a^(b)=c\). Det visade sig \(a^(\log_(a)(c))=c\) - den huvudsakliga logaritmiska identiteten.

Du kan hitta andra egenskaper hos logaritmer. Med deras hjälp kan du förenkla och beräkna värdena för uttryck med logaritmer, som är svåra att beräkna direkt.

Exempel : Hitta värdet för uttrycket \(36^(\log_(6)(5))\)

Lösning :

Svar : \(25\)

Hur skriver man ett tal som en logaritm?

Som nämnts ovan är vilken logaritm som helst bara ett tal. Det omvända är också sant: vilket tal som helst kan skrivas som en logaritm. Till exempel vet vi att \(\log_(2)(4)\) är lika med två. Då kan du istället för två skriva \(\log_(2)(4)\).

Men \(\log_(3)(9)\) är också lika med \(2\), vilket betyder att vi också kan skriva \(2=\log_(3)(9)\) . Likaså med \(\log_(5)(25)\), och med \(\log_(9)(81)\), etc. Det vill säga, visar det sig

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Således, om vi behöver, kan vi skriva två som en logaritm med vilken bas som helst var som helst (vare sig det är i en ekvation, i ett uttryck eller i en olikhet) - vi skriver helt enkelt basen i kvadrat som ett argument.

Det är samma sak med trippeln – den kan skrivas som \(\log_(2)(8)\), eller som \(\log_(3)(27)\), eller som \(\log_(4)( 64) \)... Här skriver vi basen i kuben som ett argument:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

Och med fyra:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

Och med minus ett:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1) )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\) \(...\)

Och med en tredjedel:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Alla tal \(a\) kan representeras som en logaritm med basen \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Exempel : Hitta meningen med uttrycket \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7)))\)

Lösning :

Svar : \(1\)

De grundläggande egenskaperna för logaritmen, logaritmgrafen, definitionsdomän, värdeuppsättning, grundläggande formler, ökande och minskande anges. Att hitta derivatan av en logaritm övervägs. Och även integralen, expansionen i kraftserie och representation med hjälp av komplexa tal.

Innehåll

Domän, uppsättning värden, ökande, minskande

Logaritmen är en monoton funktion, så den har inga extrema. De huvudsakliga egenskaperna för logaritmen presenteras i tabellen.

Domän	0 < x < + ∞	0 < x < + ∞
Värdeintervall	- ∞ < y < + ∞	- ∞ < y < + ∞
Monoton	monotont ökar	monotont minskar
Nollor, y = 0	x = 1	x = 1
Skär punkter med ordinataaxeln, x = 0	Nej	Nej
	+ ∞	- ∞
	- ∞	+ ∞

Privata värderingar

Logaritmen till bas 10 kallas decimallogaritm och betecknas enligt följande:

Logaritm till bas e kallad naturlig logaritm:

Grundformler för logaritmer

Egenskaper för logaritmen som härrör från definitionen av den inversa funktionen:

Den huvudsakliga egenskapen hos logaritmer och dess konsekvenser

Formel för basersättning

Logaritm är den matematiska operationen att ta en logaritm. När man tar logaritmer omvandlas produkter av faktorer till summor av termer.
Potentiering är den matematiska operationen invers till logaritm. Under potentiering höjs en given bas till den uttrycksgrad över vilken potentiering utförs. I detta fall omvandlas termernas summor till produkter av faktorer.

Bevis på grundläggande formler för logaritmer

Formler relaterade till logaritmer följer av formler för exponentialfunktioner och från definitionen av en invers funktion.

Betrakta egenskapen för exponentialfunktionen
.
Sedan
.
Låt oss tillämpa egenskapen för exponentialfunktionen
:
.

Låt oss bevisa basersättningsformeln.
;
.
Om vi ​​antar att c = b har vi:

Omvänd funktion

Inversen av logaritmen till basen a är exponentiell funktion med exponent a.

Om då

Om då

Derivat av logaritm

Derivata av logaritmen av modul x:
.
Derivata av n:e ordningen:
.
Härleda formler > > >

För att hitta derivatan av en logaritm måste den reduceras till basen e.
;
.

Väsentlig

Integralen av logaritmen beräknas genom att integrera med delar: .
Så,

Uttryck som använder komplexa tal

Tänk på den komplexa talfunktionen z:
.
Låt oss uttrycka ett komplext tal z via modul r och argument φ :
.
Sedan, med hjälp av egenskaperna hos logaritmen, har vi:
.
Eller

Men argumentet φ inte unikt definierad. Om du sätter
, där n är ett heltal,
då blir det samma nummer för olika n.

Därför är logaritmen, som funktion av en komplex variabel, inte en funktion med ett värde.

Power serie expansion

När utbyggnaden sker:

Referenser:
I. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbok i matematik för ingenjörer och studenter, "Lan", 2009.

Se även:

Intervallet för acceptabla värden (APV) för logaritmen

Låt oss nu prata om begränsningar (ODZ - intervallet av tillåtna värden för variabler).

Vi kommer ihåg att till exempel kvadratroten inte kan tas från negativa tal; eller om vi har ett bråk, så kan nämnaren inte vara lika med noll. Logaritmer har liknande begränsningar:

Det vill säga att både argumentet och basen måste vara större än noll, men basen kan ännu inte vara lika.

Varför är det så?

Låt oss börja med en enkel sak: låt oss säga det. Då finns till exempel inte siffran, eftersom oavsett vilken makt vi höjer till så visar det sig alltid. Dessutom finns det inte för någon. Men samtidigt kan det vara lika med vad som helst (av samma anledning - lika i vilken grad som helst). Därför är föremålet inte av intresse, och det kastades helt enkelt ut ur matematiken.

Vi har ett liknande problem i fallet: till vilken positiv makt den är, men den kan inte höjas till en negativ makt alls, eftersom detta kommer att resultera i division med noll (låt mig påminna dig om det).

När vi står inför problemet med att höja till en bråkdel (som representeras som en rot: . Till exempel (det vill säga), men den existerar inte.

Därför är det lättare att slänga negativa skäl än att mixtra med dem.

Tja, eftersom vår bas a bara kan vara positiv, så kommer vi alltid att få en strikt positiv siffra, oavsett vilken makt vi höjer den till. Så argumentet måste vara positivt. Till exempel existerar inte, eftersom det inte på något sätt kommer att finnas negativt tal(och till och med noll, därför inte heller existerar).

I problem med logaritmer är det första du behöver göra att skriva ner ODZ. Låt mig ge dig ett exempel:

Låt oss lösa ekvationen.

Låt oss komma ihåg definitionen: en logaritm är den makt till vilken basen måste höjas för att få ett argument. Och enligt villkoret är denna grad lika med: .

Vi får det vanliga andragradsekvation: . Låt oss lösa det med hjälp av Vietas sats: summan av rötterna är lika, och produkten. Lätt att hämta, det är siffror och.

Men om du omedelbart tar och skriver båda dessa siffror i svaret kan du få 0 poäng för problemet. Varför? Låt oss fundera på vad som händer om vi ersätter dessa rötter i den initiala ekvationen?

Detta är helt klart felaktigt, eftersom basen inte kan vara negativ, det vill säga roten är "tredje part".

För att undvika sådana obehagliga fallgropar måste du skriva ner ODZ redan innan du börjar lösa ekvationen:

Sedan, efter att ha fått rötterna och, kastar vi omedelbart roten och skriver det korrekta svaret.

Exempel 1(försök att lösa det själv) :

Hitta roten till ekvationen. Om det finns flera rötter, ange den minsta av dem i ditt svar.

Lösning:

Först av allt, låt oss skriva ODZ:

Låt oss nu komma ihåg vad en logaritm är: till vilken kraft behöver du höja basen för att få argumentet? Till den andra. Det är:

Det verkar som om den mindre roten är lika. Men det är inte så: enligt ODZ är roten tredje part, det vill säga den är inte en rot alls given ekvation. Således har ekvationen bara en rot: .

Svar: .

Grundläggande logaritmisk identitet

Låt oss komma ihåg definitionen av logaritm i allmän form:

Låt oss ersätta logaritmen med den andra likheten:

Denna jämlikhet kallas grundläggande logaritmisk identitet. Även om detta i grund och botten är jämlikhet - bara skrivet annorlunda definition av logaritm:

Detta är kraften som du måste höja för att få.

Till exempel:

Lös följande exempel:

Exempel 2.

Hitta meningen med uttrycket.

Lösning:

Låt oss komma ihåg regeln från avsnittet:, det vill säga när man höjer en potens till en potens multipliceras exponenterna. Låt oss tillämpa det:

Exempel 3.

Bevisa det.

Lösning:

Egenskaper för logaritmer

Tyvärr är uppgifterna inte alltid så enkla - ofta måste du först förenkla uttrycket, föra det till sin vanliga form, och först då kommer det att vara möjligt att beräkna värdet. Detta är lättast att göra om du vet egenskaper hos logaritmer. Så låt oss lära oss de grundläggande egenskaperna hos logaritmer. Jag kommer att bevisa var och en av dem, för vilken regel som helst är lättare att komma ihåg om du vet var den kommer ifrån.

Alla dessa egenskaper måste komma ihåg, utan dem kan de flesta problem med logaritmer inte lösas.

Och nu om alla egenskaper hos logaritmer mer i detalj.

Egendom 1:

Bevis:

Låt det vara då.

Vi har: osv.

Egenskap 2: Summan av logaritmer

Summan av logaritmer med samma baser är lika med produktens logaritm: .

Bevis:

Låt det vara då. Låt det vara då.

Exempel: Hitta betydelsen av uttrycket: .

Lösning: .

Formeln du just lärt dig hjälper till att förenkla summan av logaritmer, inte skillnaden, så dessa logaritmer kan inte kombineras direkt. Men du kan göra tvärtom - "dela" den första logaritmen i två: Och här är den utlovade förenklingen:
.
Varför är detta nödvändigt? Tja, till exempel: vad är det lika med?

Nu är det uppenbart att.

Nu förenkla det själv:

Uppgifter:

Svar:

Egenskap 3: Skillnad mellan logaritmer:

Bevis:

Allt är exakt detsamma som i punkt 2:

Låt det vara då.

Låt det vara då. Vi har:

Exemplet från föregående stycke blir nu ännu enklare:

Ett mer komplicerat exempel: . Kan du komma på hur du löser det själv?

Här bör det noteras att vi inte har en enda formel om logaritmer i kvadrat. Det här är något som liknar ett uttryck - det kan inte förenklas direkt.

Låt oss därför ta en paus från formler om logaritmer och fundera på vilken typ av formler vi oftast använder i matematik? Sedan 7:an!

Detta -. Du måste vänja dig vid att de finns överallt! De förekommer i exponentiella, trigonometriska och irrationella problem. Därför måste de kommas ihåg.

Om man tittar noga på de två första termerna blir det tydligt att detta skillnad på rutor:

Svar att kontrollera:

Förenkla det själv.

Exempel

Svar.

Egenskap 4: Ta exponenten ur logaritmargumentet:

Bevis: Och här använder vi också definitionen av logaritm: låt då. Vi har: osv.

Denna regel kan förstås så här:

Det vill säga att graden av argumentet flyttas före logaritmen som en koefficient.

Exempel: Hitta meningen med uttrycket.

Lösning: .

Bestäm själv:

Exempel:

Svar:

Egenskap 5: Att ta exponenten från basen av logaritmen:

Bevis: Låt det vara då.

Vi har: osv.
Kom ihåg: från grunder graden uttrycks som motsatsen nummer, till skillnad från föregående fall!

Egenskap 6: Ta bort exponenten från basen och argumentet för logaritmen:

Eller om graderna är desamma: .

Fastighet 7: Övergång till ny bas:

Bevis: Låt det vara då.

Vi har: osv.

Egenskap 8: Byt bas och argument för logaritmen:

Bevis: Detta är ett specialfall av formel 7: om vi ersätter får vi: , etc.

Låt oss titta på några fler exempel.

Exempel 4.

Hitta meningen med uttrycket.

Vi använder egenskap hos logaritmer nr 2 - summan av logaritmer med samma bas är lika med produktens logaritm:

Exempel 5.

Hitta meningen med uttrycket.

Lösning:

Vi använder egenskapen för logaritmerna nr 3 och nr 4:

Exempel 6.

Hitta meningen med uttrycket.

Lösning:

Låt oss använda egenskap nr 7 - gå vidare till bas 2:

Exempel 7.

Hitta meningen med uttrycket.

Lösning:

Hur gillar du artikeln?

Om du läser dessa rader har du läst hela artikeln.

Och det är coolt!

Berätta nu hur du gillar artikeln?

Har du lärt dig hur man löser logaritmer? Om inte, vad är problemet?

Skriv till oss i kommentarerna nedan.

Och ja, lycka till på dina prov.

På Unified State Exam och Unified State Exam och i livet i allmänhet

Så vi har två makter. Om du tar numret från den nedersta raden kan du enkelt hitta kraften till vilken du måste höja två för att få detta nummer. Till exempel, för att få 16, måste du höja två till den fjärde potensen. Och för att få 64 måste du höja två till den sjätte potensen. Detta kan ses från tabellen.

Och nu, faktiskt, definitionen av logaritmen:

Basen a logaritmen av x är den potens till vilken a måste höjas för att få x.

Notation: log a x = b, där a är basen, x är argumentet, b är vad logaritmen faktiskt är lika med.

Till exempel, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (bas 2-logaritmen av 8 är tre eftersom 2 3 = 8). Med samma framgång log 2 64 = 6, eftersom 2 6 = 64.

Operationen att hitta logaritmen för ett tal till en given bas kallas logaritmisering. Så låt oss lägga till en ny rad i vår tabell:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	log 2 4 = 2	log 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

Tyvärr beräknas inte alla logaritmer så lätt. Försök till exempel att hitta log 2 5. Siffran 5 finns inte i tabellen, men logiken säger att logaritmen kommer att ligga någonstans på intervallet. Eftersom 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Sådana tal kallas irrationella: talen efter decimalkomma kan skrivas i oändlighet, och de upprepas aldrig. Om logaritmen visar sig vara irrationell är det bättre att lämna det så: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Det är viktigt att förstå att en logaritm är ett uttryck med två variabler (basen och argumentet). Många blandar först ihop var grunden finns och var argumentationen finns. För att undvika irriterande missförstånd, titta bara på bilden:

Före oss ligger inget annat än definitionen av en logaritm. Kom ihåg: logaritm är en potens, i vilken basen måste byggas in för att få fram ett argument. Det är basen som höjs till en kraft - den är markerad i rött på bilden. Det visar sig att basen alltid är i botten! Jag berättar för mina elever denna underbara regel redan vid första lektionen – och ingen förvirring uppstår.

Vi har listat ut definitionen – allt som återstår är att lära sig hur man räknar logaritmer, d.v.s. bli av med "logg"-tecknet. Till att börja med noterar vi att två viktiga fakta följer av definitionen:

1. Argumentet och basen måste alltid vara större än noll. Detta följer av definitionen av en grad av en rationell exponent, till vilken definitionen av en logaritm reduceras.
2. Basen måste vara annorlunda än en, eftersom en i någon grad fortfarande förblir en. På grund av detta är frågan "till vilken makt måste man höjas för att få två" meningslös. Det finns ingen sådan examen!

Sådana begränsningar kallas intervall av acceptabla värden(ODZ). Det visar sig att ODZ för logaritmen ser ut så här: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Observera att det inte finns några begränsningar för talet b (värdet på logaritmen). Till exempel kan logaritmen mycket väl vara negativ: log 2 0,5 = −1, eftersom 0,5 = 2 −1.

Men nu överväger vi bara numeriska uttryck, där det inte är nödvändigt att känna till VA för logaritmen. Alla begränsningar har redan tagits i beaktande av författarna till problemen. Men när logaritmiska ekvationer och ojämlikheter kommer in i bilden blir DL-kraven obligatoriska. Grunden och argumentationen kan trots allt innehålla mycket starka konstruktioner som inte nödvändigtvis motsvarar ovanstående restriktioner.

Låt oss nu titta på det allmänna schemat för beräkning av logaritmer. Den består av tre steg:

1. Uttryck basen a och argumentet x som en potens med minsta möjliga bas större än ett. Längs vägen är det bättre att bli av med decimaler;
2. Lös ekvationen för variabel b: x = a b ;
3. Det resulterande talet b kommer att vara svaret.

Det är allt! Om logaritmen visar sig vara irrationell kommer detta att synas redan i första steget. Kravet på att basen ska vara större än ett är mycket viktigt: detta minskar sannolikheten för fel och förenklar beräkningarna avsevärt. Det är samma sak med decimalbråk: om du omedelbart omvandlar dem till vanliga, blir det många färre fel.

Låt oss se hur detta schema fungerar med hjälp av specifika exempel:

Uppgift. Beräkna logaritmen: log 5 25

1. Låt oss föreställa oss basen och argumentet som en potens av fem: 5 = 5 1 ; 25 = 52;
2. Låt oss skapa och lösa ekvationen:
   log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2;
3. Vi fick svaret: 2.

Uppgift. Beräkna logaritmen:

Uppgift. Beräkna logaritmen: log 4 64

1. Låt oss föreställa oss basen och argumentet som en potens av två: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
2. Låt oss skapa och lösa ekvationen:
   log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3;
3. Vi fick svaret: 3.

Uppgift. Beräkna logaritmen: log 16 1

1. Låt oss föreställa oss basen och argumentet som en potens av två: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
2. Låt oss skapa och lösa ekvationen:
   log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0;
3. Vi fick svaret: 0.

Uppgift. Beräkna logaritmen: log 7 14

1. Låt oss föreställa oss basen och argumentet som en sjupotens: 7 = 7 1 ; 14 kan inte representeras som en sjupotens, eftersom 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Av föregående stycke följer att logaritmen inte räknas;
3. Svaret är ingen förändring: log 7 14.

En liten notis till sista exemplet. Hur kan du vara säker på att ett tal inte är en exakt potens av ett annat tal? Det är väldigt enkelt - bara inkludera det i primära faktorer. Och om sådana faktorer inte kan samlas in i potenser med samma exponenter, är det ursprungliga talet inte en exakt potens.

Uppgift. Ta reda på om de är det exakta befogenheter siffror: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - exakt grad, eftersom det finns bara en multiplikator;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - är inte en exakt potens, eftersom det finns två faktorer: 3 och 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - exakt grad;
35 = 7 · 5 - återigen inte en exakt potens;
14 = 7 · 2 - återigen inte en exakt grad;

Låt oss också notera att vi själva primtalär alltid exakta grader av sig själva.

Decimal logaritm

Vissa logaritmer är så vanliga att de har ett speciellt namn och symbol.

Decimallogaritmen för x är logaritmen till basen 10, dvs. Potensen till vilken talet 10 måste höjas för att få talet x. Beteckning: lg x.

Till exempel log 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - osv.

Från och med nu, när en fras som "Hitta lg 0.01" dyker upp i en lärobok, vet att detta inte är ett stavfel. Detta är en decimallogaritm. Men om du inte är bekant med den här notationen kan du alltid skriva om den:
log x = log 10 x

Allt som är sant för vanliga logaritmer är också sant för decimallogaritmer.

Naturlig logaritm

Det finns en annan logaritm som har sin egen beteckning. På vissa sätt är det ännu viktigare än decimal. Vi talar om den naturliga logaritmen.

Den naturliga logaritmen för x är logaritmen till basen e, dvs. den potens till vilken talet e måste höjas för att få talet x. Beteckning: ln x .

Många kommer att fråga: vad är siffran e? Detta är ett irrationellt tal, dess exakta värde kan inte hittas och skrivas ner. Jag kommer bara att ge de första siffrorna:
e = 2,718281828459...

Vi kommer inte att gå in i detalj om vad detta nummer är och varför det behövs. Kom bara ihåg att e är basen för den naturliga logaritmen:
ln x = log e x

Således ln e = 1; ln e2 = 2; ln e 16 = 16 - osv. Å andra sidan är ln 2 ett irrationellt tal. I allmänhet är den naturliga logaritmen för alla rationella tal irrationell. Förutom, naturligtvis, för en: ln 1 = 0.

För naturliga logaritmer är alla regler som är sanna för vanliga logaritmer giltiga.