Finns det symmetri i världen omkring oss? Symmetri. "Symmetri och världen omkring oss"

Ignatovskaya Elena, Dorokhov Anatoly

Se sig om! Vi beundrar en ljus blomma, en vacker fjäril, en mystisk snöflinga, höga träd, kyrkkupoler, vackra skulpturer och smala idrottare. Vad är grunden för denna skönhet? Symmetri är tilltalande för ögat och förknippas ofta med skönhet. "Symmetri är idén genom vilken människan försökte förstå och skapa ordning, skönhet och perfektion", skrev den berömda vetenskapsmannen G. Weil. Många processer som sker i världen kan övervägas med hjälp av en matematisk modell. Efter att ha studerat de matematiska grunderna för symmetribegreppet kommer vi att lära oss att se världens skönhet och skapa den med våra egna händer!

Projektmetoden tillåter skolbarn att gå från att bemästra färdig kunskap till sitt medvetna tillägnande.

Detta projekt förbereddes av elever i 8:e klass medan de studerade ämnet "Axial och central symmetri." Dess mål är att utveckla begreppet symmetri, förmågan att se symmetrifenomen i omvärlden, utöka förståelsen för matematikens tillämpningsområden och dess koppling till andra ämnen. Förutom huvudmålen strävade vi efter ytterligare ett: att beröra den vackra, olika typer av konst.

Projektet försvarades på skolans vetenskapliga och praktiska konferens "Mathematics in the Modern World", det används av läraren i matematiklektionerna när han studerar ämnet "Axial and Central Symmetry".

Ladda ner:

Förhandsvisning:

Världen omkring oss är en värld av symmetri

Ignatovskaya Elena, Dorokhov Anatoly, elever i 8 "B" klass, Sigodina Larisa Vladimirovna,

matematiklärare

MBOU "Blagoveshchensk Secondary Education School No. 1"

Bild 1

Begreppet symmetri går igenom hela den mänskliga kreativitetens månghundraåriga historia. Sedan urminnes tider har många folk haft idén om symmetri i vid mening - som motsvarighet till balans och harmoni. Uppfattnings- och uttrycksformer inom många vetenskaps- och konstområden är ytterst baserade på symmetri, används och manifesteras i specifika begrepp och medel som är inneboende i enskilda vetenskapsområden och typer av konst. Idag inbjuder vi dig att överväga manifestationen av denna idé på olika områden.

Bild 2

Symmetri (från grekiskan "proportionalitet") är egenskapen hos ett geometriskt objekt att kombineras med sig själv under vissa transformationer som bildar en grupp.

Idén om symmetri är ofta utgångspunkten i hypoteser och teorier från forskare från tidigare århundraden, som trodde på universums matematiska harmoni och såg i denna harmoni en manifestation av den gudomliga principen. De gamla grekerna trodde att universum var symmetriskt bara för att symmetri är vackert.

Bild 3

Huvudtyperna av symmetri är axiell, central och spegel.

Bild 4

Två punkter A och A 1 kallas symmetriska med avseende på linje a om denna linje går genom mitten av segmentet AA 1 och vinkelrätt mot den.

Bild 5

Central symmetri.

Två punkter A och A 1 kallas symmetriska med avseende på punkt O om O är mittpunkten av segment AA 1.

Bild 6

Bild 7

Titta på ett lönnlöv, en snöflinga, en fjäril. Gemensamt för dem är att de är symmetriska. Ett vanligt löv föll från ett träd på din ärm. Dess form är inte slumpmässig, den är helt naturlig. Arket är liksom limmat ihop från två identiska halvor, en av dessa halvor är placerad spegelvänd i förhållande till den andra. Bladet har spegelsymmetri, men det har också axiell symmetri.

Bild 8

Åh, symmetri! Jag sjunger din hymn!

Jag känner igen dig överallt i världen.

Du är i Eiffeltornet, i en liten mygga.

Du är i en julgran nära en skogsstig.

Med dig i vänskap är en tulpan och en ros, och en snösvärm - skapandet av frost!

Bild 9

När vi ser oss omkring kan vi märka symmetri.

Bild 10

Låt oss titta på exempel på geometriska former som har symmetri.

En likbent triangel, en rektangel, en kvadrat, en cirkel och en liksidig triangel har axiell symmetri.

Bild 11

Central symmetri kan ses i ett parallellogram, cirkel, kvadrat, rektangel.

Glida 12 Symmetri i algebra.

En parabel har axiell symmetri, medan en kubisk parabel har central symmetri.

Bild 13

Pytagoreerna uppmärksammade fenomenen symmetri i levande natur redan i antikens Grekland i samband med utvecklingen av harmoniläran (500-talet f.Kr.). På 1800-talet dök det upp enstaka verk om symmetri i växt- och djurvärlden.

Människokroppen är byggd på principen om bilateral symmetri. De flesta av oss

ser hjärnan som en enda struktur, i verkligheten är den uppdelad i två halvor. Dessa två delar - de två hemisfärerna - passar tätt intill varandra. I full överensstämmelse med människokroppens allmänna symmetri är varje halvklot en nästan exakt spegelbild av den andra.

Bild 14

Den vertikala orienteringen av kroppsaxeln kännetecknar trädets symmetri. Blad, blommor, grenar och frukter har en uttalad symmetri.

Bild 15

Symmetri förekommer allmänt i naturen, särskilt hos växter, såsom symmetri av en blomma. En blomma anses vara symmetrisk när varje perianth består av lika många delar. Blommor som har parade delar anses vara blommor med dubbel symmetri, etc. Trippelsymmetri är vanligt för enhjärtbladiga, medan femhjärtbladiga symmetri är vanligt för tvåhjärtbladiga.

Bild 16

Symmetri hos djur betyder överensstämmelse i storlek, form och kontur, såväl som det relativa arrangemanget av kroppsdelar placerade på motsatta sidor av skiljelinjen.

Sfärisk symmetri förekommer hos radiolarier och solfiskar, vars kroppar är sfäriska till formen, och delarna är fördelade runt sfärens mitt och sträcker sig från den. Sådana organismer har varken främre, bakre eller laterala delar av kroppen; varje plan som dras genom mitten delar djuret i lika delar.

Med radiell eller radiell symmetri har kroppen formen av en kort eller lång cylinder eller kärl med en central axel, från vilken delar av kroppen sträcker sig radiellt. Dessa är koelenterater, tagghudingar och sjöstjärnor.

Med bilateral symmetri finns det tre symmetriaxlar, men bara ett par symmetriska sidor. Eftersom de andra två sidorna - buk och rygg - inte liknar varandra. Denna typ av symmetri är karakteristisk för de flesta djur, inklusive insekter, fiskar, amfibier, reptiler, fåglar och däggdjur.

Bild 17

Symmetriprinciperna är ett verktyg inom fysiken för att hitta nya naturlagar. Bland de symmetriska principerna finns Galileos och Einsteins relativitetsprincip.

Bild 18- 19 Symmetri i kemi.

Symmetri upptäcks på atomnivå i studiet av materia. Det manifesterar sig i geometriskt ordnade atomstrukturer av molekyler som är otillgängliga för direkt observation.

År 1810 byggde D. Dalton, som ville visa sina lyssnare hur atomer kombineras för att bilda kemiska föreningar, trämodeller av kulor och stavar. Dessa modeller visade sig vara utmärkta visuella hjälpmedel.

En vattenmolekyl har ett symmetriplan. Ingenting förändras om du byter parade atomer i en molekyl; ett sådant utbyte är ekvivalent med speglingsoperationen. Alla fasta ämnen är kristaller och kristaller har symmetri.

På bilden ser du kristaller av topas, beryl och rökkvarts.

Symmetrin av den yttre formen är tydligt synlig i figuren. Kristaller av bergsalt, kvarts, aragonit.

Bild 20-23

Varje snöflinga är en liten kristall av fruset vatten. Formen på snöflingor kan vara mycket olika, men de har alla symmetri. Riktiga naturliga snöflingor har alltid sex symmetriaxlar.

Bild 24-26

Symmetri spelar en stor roll i konst, särskilt tydlig i ornament och arkitektur.

Begreppet symmetri går igenom hela den mänskliga kreativitetens månghundraåriga historia. Det finns redan vid ursprunget till mänsklig utveckling. Människan har länge använt symmetri i arkitekturen. Det ger harmoni och fullständighet till antika tempel, torn av medeltida slott och moderna byggnader. Till exempel byggnaden av Bolsjojteatern i Moskva. Skönheten i denna byggnad är förknippad med symmetri. Ett annat exempel är St. Basil's Cathedral på Röda torget i Moskva. Detta är en sammansättning av tio olika tempel, varje tempel är geometriskt symmetriskt. Dock har katedralen som helhet varken spegel eller axiell symmetri.

Bild 27

Spets ger slående exempel på symmetri.

Bild 28

Symmetri användes av olika folk för att färglägga hushålls- och kulturföremål.

Bild 29

Ett periodiskt upprepande mönster på ett långt band kallas en prydnad. I praktiken finns ornament i olika former: väggmålningar, gjutjärn, gipsbasreliefer eller keramik. Ornament används av målare och konstnärer när de inreder ett rum. I många århundraden trodde människor på prydnadens skyddande kraft och trodde att den skyddar från problem och ger lycka och välstånd. Gradvis gick amulettens funktion förlorad, men dess huvuduppgift kvarstod - att göra föremålet mer elegant och attraktivt, konstnärligt uttrycksfullt.

Bild 30

Ornament täckte väggarna i antiken, du ser forntida egyptiska ornament. Ornamenten skapade av den moderna berömda holländska konstnären Escher är vackra. Den holländska konstnären Maurice Escher använder symmetrieffekter med enastående uppfinningsrikedom i sina ursprungliga, unika pusselmålningar. Är det inte sant att bilder av vita, röda och svarta ödlor tätt sammanflätade med varandra, som helt fyller hela bildens plan, uppfattas som en slags hymn till all genomträngande symmetri.

Bild 31

Spegelsymmetri kallas även heraldisk symmetri, eftersom det kan ses i olika länders vapensköldar. Den dubbelhövdade örnen tjänade den ryska staten väl, som en symbol för de förenade ryska länderna runt en rik stad och en intelligent, viljestark ledare. 1997 firades halvtusenårsdagen för det ryska vapnet. Under 5 århundraden har Rysslands historiska öde förändrats många gånger, men vårt lands statsemblem - dess figurativa namn har alltid tjänat fosterlandet och förblir dess huvudsymbol idag.

Bild 32

Vissa bokstäver har symmetri. Till exempel har bokstaven A. M, T, Sh, P en vertikal symmetriaxel. Bokstäverna B, Z, K, S, E, E har horisontell symmetri.

Och bokstäverna ZH, N, O, F, X har symmetri på båda axlarna. Symmetri kan också ses i orden: radar, ordning, kosack, koja. Sådana ord som läser likadant åt båda hållen kallas palindromer. Det finns också hela fraser med den här egenskapen (om du inte tar hänsyn till mellanrummen mellan orden): "Sök efter en taxi", "Argentina lockar en svart man",

"Argentinaren uppskattar den svarte mannen", "Lesha hittade en bugg på hyllan." Många poeter var förtjusta i dem.

Glida 33 Symmetri i musik.

Musikens själ, rytmen, består av korrekt periodisk upprepning av delar av ett musikaliskt verk. Den korrekta upprepningen av identiska delar som helhet är kärnan i musik. Vi kan med rätta tillämpa begreppet symmetri på ett musikaliskt verk, att detta verk är skrivet med noter. Komposition har den mest direkta relationen till symmetri. Den store tyske poeten J. W. Goethe hävdade att varje komposition är baserad på dold symmetri. Att behärska kompositionens lagar betyder att behärska symmetrins lagar.

Bild 34

Verkligen symmetriska föremål omger oss bokstavligen på alla sidor. Vi har att göra med symmetri varhelst det finns någon ordning. Symmetri är motsats till kaos, oordning. Det visar sig att symmetri är balans, ordning och reda, skönhet, perfektion.

Symmetri är mångsidig och allestädes närvarande. Hon skapar skönhet och harmoni.

Litteratur:

1. Vilenkin N.Ya. Bakom sidorna i en lärobok i matematik. Aritmetisk. Algebra. Geometri. En bok för elever i årskurserna 10–11 vid allmänna läroanstalter: - M: Prosveshchenie, 1996.

2. Polya D. Matematisk upptäckt - M.: Nauka, 1970

3. Batkin L. M. Leonardo da Vinci och egenskaperna hos renässansens kreativa tänkande. – M.: Konst, 1990

4. Gutkov A. Arkitekturens värld: arkitekturens språk. –M.: Mol. Guard, 1985

5. N.V. Korneva, Yu.E. Novoselova, E.S. Timakina 9:e klass integrerad lektion

"Symmetry in Geometry" - Tillämpning av symmetri inom olika områden av vetenskap och teknik. Hitta koordinaterna för en punkt. Figurer med axiell symmetri. CENTRAL SYMMETRY - symmetri kring en punkt, som specificeras enligt följande: Roterande. Här är centrum, här är axeln. Axiell och central symmetri i växtvärlden. Skruva.

"Spegelsymmetri" - Spegelsymmetri. Symmetriplan. De mest symmetriska figurerna. Mycket känd, men ibland mystisk. Att konstruera en bild med spegelsymmetri liknar reflektion i en spegel. Spegelsymmetri är symmetri i förhållande till ett plan.

"Symmetry in the World" - Det vanligaste är dock rotationssymmetri av 5:e ordningen. Varför genomsyrar symmetri hela världen omkring oss? Axialsymmetri är tydligt synlig hos fjärilar. Trädgrenar kan ha en glidande symmetriaxel. Symmetri i den livlösa naturen. I naturen är det som är vackert alltid ändamålsenligt, och det som är ändamålsenligt är alltid vackert.

"Symmetri i naturen" - Fenomenet symmetri i levande natur uppmärksammades redan i antikens Grekland. Axialsymmetri är ganska vanligt i livet och naturen. Axial central. Låt oss överväga två typer av symmetri. Det grekiska ordet symmetri betyder ordagrant proportionalitet. Studiet av olika typer av symmetri representerar en stor och viktig gren av geometrin, nära besläktad med många grenar av naturvetenskap och teknik, allt från textilproduktion till subtila frågor om materiens struktur.

"Symmetry in Architecture" - Här såg vi dessa typer av symmetri: Var annars, om inte här, kunde jultomten bosätta sig? Varje kolumn är rotationssymmetri! På bilden: Domkyrkans hovensemble på natten. Rom, Akropolis. Triumfportar i St. Petersburg för att hedra de ryska vapenens seger. Är det inte sant - inte värre än utomlands! Länder och städer.

"Axiell symmetri" - Symmetri i antik och modern arkitektur. Symmetri i naturen. Bokstäverna i det ryska språket kan också betraktas ur symmetrisynpunkt. Och rosen föll på Azors tass. Är figurerna symmetriska kring en rät linje? Symmetriskt bedrägeri. Symmetri av de enklaste figurerna. Tusentals sådana meningar har skrivits. Mönstren på de berömda Pavlovo Posad-sjalarna innehåller en kombination av återkommande element.

Det finns totalt 32 presentationer i ämnet

Möte av den matematiska cirkeln "Symmetri och världen omkring oss"

På geometrilektioner i 8:e klass lärde vi oss att det finns följande transformationer av figurer: (bild nummer 2)
Symmetri om en punkt
Symmetri om en rak linje
Parallell överföring
Sväng

Begränsningen av tid för att studera ett visst ämne innebär dock att det på geometrilektionerna är mycket kort tid kvar för att ta reda på vilka välbekanta geometriska lagar, och i synnerhet typer av transformationer, det vill säga typer av symmetri, som finns i livet runt omkring. oss.

Därför beslutade vi i matematikcirkeln att ge svar på sådana problematiska frågor som: (bild nr 3)
Vilka symmetrilagar verkar i området som intresserar oss?
Varför skapar naturen symmetri? Vad strävar hon efter när hon skapar symmetri?
Ska det finnas symmetri i allt i livet?

För att hitta svar på dessa frågor studerade vi följande utbildningsfrågor i valbara kurser: (bild nr 4)
Vad är "symmetri" i matematik?
Vilka typer av symmetri finns det? Vilka egenskaper har de?
Var, i världen omkring oss, används egenskaperna hos symmetriska och symmetriskt placerade figurer?

För att ”visa” svaren på våra problematiska frågor ska vi nu upprepa tillsammans: Vad är ”symmetri” i matematik? Vilka typer av symmetri finns?
Och då får ni ordet för era rapporter. (bild nummer 5)

Nigmetov Timur och Safargaliev Ildar om ämnet: "Vilka typer av symmetri finns i växtvärlden
Belousova Vika och Albaeva Yulia om ämnet: "Vilka typer av symmetri finns i djurvärlden
Valeev Ildar och Chernov Andrey om ämnet: "Vilka typer av symmetri finns i tekniken"

Så, låt oss börja vår upprepning: (bild nummer 6)

Bilden visar tre schematiska bilder av ett ansikte. Vilken av dessa bilder är vacker? Bild under a) under b) eller c)

Men varför är det vackert? (bild nr 7)

Eftersom den här bilden har rotationssymmetri

Så vad är symmetri? (bild nr 8)
"Symmetri" är ett ord av grekiskt ursprung.
"sim" - s, "metron" - mått,
bokstavligen – "proportionalitet", vilket betyder skönhet, harmoni
(bild nr 9)
Symmetri! Vi sjunger din hymn
Du är i Eiffeltornet, i en liten midge,
Du är i granen nära skogsstigen
Barn studerar det i detalj,
Romben och torget har det
Men alla figurer med symmetri i världen
Vi kan fortfarande inte räkna det

Låt oss upprepa vilka typer av symmetri vi känner till:
(bild nr 10) 1. Konstruera en figur F och markera punkten O F
2. Markera punkten X Ф
3. Låt oss bygga en XO-stråle
4. Lägg åt sidan segmentet OU=OX

(Vi pratar om central symmetri)

(bild nr 11) 1. Konstruera en figur F och en rät linje "c"
2. Markera punkten X Ф
3. Låt oss konstruera en stråle XM vinkelrät mot den räta linjen med
4. Lägg åt sidan segmentet MA=ХМ
Vilken typ av symmetri talar vi om i det här fallet?
(Vi pratar om axiell symmetri)
Den räta linjen c kallas symmetriaxeln

I rymden är analogen till symmetriaxeln symmetriplanet. (bild nr 12) Till exempel är en kub symmetrisk med avseende på planet som passerar genom dess diagonal. Med hänsyn till båda fallen (symmetriaxel och symmetriplan), vad kallas denna typ av symmetri? (kallas spegel.)

Vilken typ av symmetri kommer vi att prata om i nästa fall, om de säger att detta är en transformation där varje punkt i figuren rör sig i samma riktning och på samma avstånd
(bild nr 13) Transfersymmetri (översättningssymmetri) är en transformation där varje punkt i en figur (kropp) rör sig i samma riktning och på samma avstånd

Den räta linjen AB kallas translationsaxeln, och avståndet a kallas translationselementet eller perioden [Ladda ner filen för att se bilden]

Låt oss komma ihåg det nu
(slide nr 14) Glidande symmetri
– detta är en transformation där axiell symmetri och parallell translation utförs sekventiellt

(slide nr 15) Rotationssymmetri
Ett föremål sägs ha rotationssymmetri om det ligger i linje med sig självt när det roteras kring någon axel
med en vinkel lika med (n=2,3,4.). I det här fallet talar de om rotationssymmetri, och den angivna axeln kallas rotationsaxeln av n:te ordningen

Rotationssymmetri kan också kallas radiell eller radiell symmetri
(bild nr 16)
Radiell, eller radiell, symmetri innebär att en figur kan vara självinriktad när den roteras runt en viss axel.

(bild nr 17) Spiralsymmetri
Spiralsymmetri demonstreras av figurerna "skruv" och "fjäder". Översättningsoperationer med samtidig rotation är tillämpliga på dem

Så vi upprepade tillsammans: vilka typer av symmetri finns i matematik. Nu, killar, ordet är givet till er. Du har studerat relevant litteratur och kan visa oss: vilka typer av symmetri som finns i naturen och i tekniken, dvs.
vi ska nu ge ett svar på vår första problematiska fråga: Vilka typer av symmetri verkar i området som intresserar dig?
Timur Nigmetov och Ildar Safargaliev kommer att prata om symmetri i växtvärlden (bild nr 18) Symmetri i den livlösa naturen
Vika Belousova och Yulia Albaeva kommer att prata om symmetri i djurvärlden
(bild nr 19) Symmetri i levande natur
Valiev Ildar och Chernov Andrey kommer att prata om symmetri inom teknik

Kamrat gäster, jag kommer att be er att ge ett betyg (i intervallet från 3 till 5 poäng) till elevparet som talar i tur och ordning. Detta kommer att vara en bedömning för deras praktiska del, jag kommer att ge en bedömning för att förbereda en rapport om utfört arbete. I slutet av vår lektion kommer en av er att meddela betyget för varje elevpar för presentationen (betyget kan kommenteras).

Symmetri finns inte bara i naturen och tekniken, utan också:
i brukskonst (bild nr 20)
inom arkitektur (bild nr 21)
i musik
i poesi
i målning
i fysik osv.
i världens folks prydnad
det vill säga symmetri finns bokstavligen överallt.
Idag i vår klass finns det en miniutställning av individuella komponenter av kläder från Bashkir och det ryska folket. I broderiet på klädattribut finns en prydnad: som geometrisk
(är ideologin om livet och det goda, såväl som växten.) Det som dock skiljer Bashkir-prydnaden från den ryska är den fullständiga frånvaron av realistiska bilder av djur, människor och landskap, vilket beror på påverkan av muslimsk kultur - på grund av islams förbud att avbilda levande varelser.
Killar, när jag föreslog att ni, tillsammans med andra ämnen, skulle ta upp ett ämne som prydnaden av basjkirerna och det ryska folket, då tog ni minsta motståndets väg och ingen tog upp detta komplexa, intressanta ämne för övervägande . Därför föreslår jag att skriva en forskningsartikel om detta ämne. Vad kommer detta forskningsarbete att bestå av, vilka steg består det av? Jag kommer att diskutera alla dessa punkter för dem som är intresserade av denna fråga.

Nu måste vi ändå svara på den sista problematiska frågan: Ska det finnas symmetri i allt i livet?
Vi lever alla i en symmetrisk värld, som bestäms av levnadsförhållandena på planeten Jorden, i första hand av gravitationen som finns här. Och troligtvis förstår en person undermedvetet att symmetri är en form av stabilitet och därför existens på vår planet. Därför strävar han intuitivt efter symmetri i konstgjorda saker.
Symmetri uppfattas av en person som en manifestation av regelbundenhet, och därför intern ordning. Externt uppfattas denna inre ordning som skönhet.
Symmetri gläder inte bara ögat och inspirerar poeter av alla tider och folk, utan tillåter levande organismer att bättre anpassa sig till sin miljö och helt enkelt överleva (bild nr 22)

Antisymmetri är motsatsen till symmetri, dess frånvaro. Ett exempel på antisymmetri i arkitekturen är St. Basil's Cathedral i Moskva, där symmetri är helt frånvarande i byggnaden som helhet. Det är dock förvånande att de enskilda delarna av denna katedral är symmetriska och skapar dess harmoni.
Dissymmetri är en partiell brist på symmetri, en störning av symmetri, uttryckt i närvaro av vissa symmetriska egenskaper och frånvaro av andra. Ett exempel på dissymmetri i en arkitektonisk struktur är Katarinapalatset i Tsarskoje Selo nära St. Petersburg.
Palatskyrkans närvaro rubbar symmetrin i byggnaden som helhet. Om vi inte tar hänsyn till denna kyrka, så blir palatset symmetriskt.

Så killar, borde det finnas symmetri i allt i livet? Vad tycker du och varför?
Låt oss sammanfatta vårt arbete:
Utvärderingspapper.
Klarade du det du tänkt dig?
Hade du tillräckliga kunskaper och färdigheter eller var du tvungen att lära dig något?
Vad var lätt att göra och vad hade du svårt för?

Kommunal utbildningsinstitution "Regional skola i byn KUCHUMBETOVO, PERELYUBSKY DISTRICT, SARATOV REGION"

ÖPPEN LEKTION OM PROJEKTET "SYMMETRI OCH VÄRLDEN RUNT OSS"

LEKTION FÖRBEREDAD OCH
UTFÖR AV LÄRAREN
MATEMATIK
KORSIKOVA S.A.

2008-2009 SKOLÅR

Figur 1g-Rubrik 1g-Rubrik 2g-Rubrik 3g-Rubrik 4g-Rubrik 5g-Rubrik 6g-Rubrik 7g-Rubrik 8g-Rubrik 915

Creative Research Paper Competition

"Symmetri och världen omkring oss"

Kompletterad av: Shvenzel Christina

6:e klass elev

Handledare:

Ostertag Z.D.

matematiklärare

Inledning……………………………………………………………………………………….2

Syftet med forskningsarbetet

Forskningsmål

Stadier av forskningsarbete

Forskningsmetoder

Avsedd praktisk tillämpning

1. Rörelse och typer av rörelse………………………………………………………….4

2. Symmetri och typer av symmetri………………………………………………………….4

3. Symmetri i växter………………………………………………………………………………………6

4. Symmetri i världen av insekter, fiskar, fåglar, djur………………………………..7

5. Symmetri i den livlösa naturen………………………………………………………………7

6. Symmetri i arkitektur………………………………………………………………8

7. Litteratur och symmetri………………………………………………………………..8

8. Symmetri i föremål för dekorativ och brukskonst………………………9

Slutsats………………………………………………………………………………………………..10

Resurser……………………………………………………………………………………….11

Ansökningar………………………………………………………………………………………………12-19

Introduktion

Symmetri är en idé genom vilken

människan har försökt i århundraden att förklara och skapa

ordning, skönhet och perfektion.

Hermann Weil

Begreppet symmetri går igenom hela den mänskliga kreativitetens månghundraåriga historia. Det finns redan vid ursprunget till mänsklig kunskap, det används i stor utsträckning av alla områden inom modern vetenskap utan undantag. Symmetriprinciperna spelar en viktig roll inom fysik och matematik, kemi och biologi, teknik och arkitektur, måleri och skulptur, poesi och musik. Naturlagarna som styr den outtömliga bilden av fenomen i deras mångfald är i sin tur underkastade symmetriprinciperna.

Ämnet för mitt kreativa forskningsarbete är "Symmetri och världen omkring oss."

Jag valde det här ämnet eftersom symmetri finns överallt. Jag skulle vilja lära känna det djupare i världen omkring oss, eftersom begreppet symmetri används flitigt inom alla områden av modern vetenskap.

Syftet med forskningsarbetet:

Ta reda på "Är symmetri harmoni och skönhet? jämvikt? hållbarhet?

Forskningsmål:

Hitta symmetriska figurer och föremål i världen omkring dig.

Bevisa att vi är omgivna av symmetriska föremål.

Definiera innebörden och användningen av symmetri.

Stadier av forskningsarbete:

välja ett forskningsämne av intresse, diskutera forskningsplanen och delresultaten, arbeta med olika informationskällor;

intermediära konsultationer med läraren, offentliga tal med presentationsmaterial.

Forskningsmetoder:

Insamling och strukturering av insamlat material i olika stadier av forskningen.

Att göra ritningar, ritningar, presentationer.

Avsedd praktisk tillämpning:

Förmågan att tillämpa de förvärvade kunskaperna vid lösning av ämnesproblem, i vardagen, när man studerar ämnen inte bara i matematiklektioner, utan även i andra ämnen.

Användning av forskningsresultat i form av presentationer av ämneslärare som hjälpmaterial vid genomförande av integrerade lektioner inom olika akademiska discipliner.

1. Rörelse. Typer av rörelse

Ett plans rörelse är en kartläggning av planet på sig själv, vilket bevarar avstånd. Typer av rörelse: rotation, parallell överföring.

Sväng.

En transformation där varje punkt A i en figur (kropp) roteras med samma vinkel α runt ett givet centrum O kallas rotation eller rotation av planet. Punkt O kallas rotationscentrum och vinkeln α kallas rotationsvinkel. Punkt O är en fast punkt för denna transformation.

Central symmetri är en rotation av en figur 180°.

Parallell överföring.

En transformation där varje punkt i en figur (kropp) rör sig i samma riktning med samma avstånd kallas parallell translation. För att specificera en parallell translationstransformation räcker det att specificera en vektor. (Bilaga 1).

2.Symmetri. Typer av symmetri

Enligt legenden uppfanns termen "symmetri" av skulptören Pythagoras av Rhegium, som bodde i staden Regulus. Han definierade avvikelse från symmetri med termen "asymmetri".

De gamla grekerna trodde att universum var symmetriskt bara för att det var vackert. De ansåg att sfären var den mest symmetriska och perfekta formen och drog slutsatsen att jorden är sfärisk.

Representanter för den första vetenskapliga skolan i mänsklighetens historia, anhängare av Pythagoras från Samos, föredrog att använda ordet "harmoni" istället för ordet "symmetri". Med användning av idén om harmoni och symmetri gillade forntida forskare att vända sig inte bara till sfäriska former utan också till vanliga polyedrar. Regelbundna polyedrar har ytor som är regelbundna polygoner av samma typ, och vinklarna mellan ytorna är lika. De gamla grekerna fastställde att det bara finns fem vanliga konvexa polyedrar, vars namn är förknippade med antalet ansikten - tetraeder, oktaeder, icosahedron, kub, dodekaeder. Alla vanliga polyedrar har spegelsymmetri.

Genom århundradena har termen "symmetri" fått olika tolkningar. "Symmetri är ett slags "genomsnittsmått", trodde Aristoteles.

Den romerske läkaren Galenos (2:a århundradet e.Kr.) förstod symmetri som sinnesfrid och balans. Leonardo da Vinci trodde att när man skapar ett konstverk spelas huvudrollen av proportionalitet och harmoni, genom vilken han förstod symmetri.

En matematiskt rigorös idé om symmetri bildades relativt nyligen - på 1800-talet.

Axiell symmetri.

Transformationen där varje punkt A i en figur (eller kropp) omvandlas till en punkt A som är symmetrisk till den i förhållande till någon axel l kallas axiell symmetri (l är symmetriaxeln). Om punkt A ligger på l. axel, då är den symmetrisk med sig själv, dvs. A sammanfaller med A."

Speciellt om figuren F, när symmetri om l-axeln transformeras, omvandlas till sig själv, kallas den symmetrisk kring l-axeln, och l-axeln kallas symmetriaxel.

Central symmetri.

En transformation som tar varje punkt A i en figur (kropp) till en punkt A som är symmetrisk till den i förhållande till mitten O kallas en transformation av central symmetri eller helt enkelt central symmetri.

Punkt O kallas symmetricentrum och är orörlig. Denna transformation har inga andra fixpunkter.

Om, när man transformerar central symmetri i förhållande till mitten O, omvandlas figuren F till sig själv, så kallas den symmetrisk i förhållande till mitten O. I detta fall kallas mitten O för figuren Fs symmetricentrum. av figurer som har ett symmetricentrum är ett parallellogram, en cirkel osv.

Glidande symmetri.

Glidande symmetri är en transformation där axiell symmetri och parallell translation utförs sekventiellt.

Alla listade transformationer kommer att kallas symmetritransformationer.

Följande egenskaper gäller för symmetritransformationer:

1) segmentet går in i ett lika segment;

2) vinkeln går in i en vinkel lika med den;

3) cirkeln förvandlas till en lika cirkel;

4) vilken polygon som helst omvandlas till en polygon som är lika med den, etc.

5) parallella linjer förvandlas till parallella, vinkelräta till vinkelräta.

Spegelsymmetri.

Inom geometri finns det en annan typ av symmetri - symmetri i förhållande till ett plan. Om en transformation av symmetri i förhållande till ett plan förvandlar en figur (kropp) till sig själv, så kallas figuren symmetrisk i förhållande till planet, och detta plan kallas symmetriplanet för denna figur. I vissa källor kallas denna symmetri för spegelsymmetri. Och spegeln kopierar inte bara objektet, utan byter också de delar av objektet som är fram och bak i förhållande till spegeln. I jämförelse med själva objektet visar sig dess spegelmotsvarighet vara inverterad längs en riktning vinkelrät mot spegelns plan.

Exempel på figurer av spegelreflektioner av varandra inkluderar höger och vänster hand på en person, höger och vänster ben. (Bilaga 2).

3. Symmetri i växter

Noggrann observation avslöjar att grunden för skönheten i många former skapade av naturen är symmetri, eller snarare alla dess typer - från de enklaste till de mest komplexa. Jag studerade växtvärlden och fick reda på att löv, grenar, blommor och frukter har uttalad central-, spegel- och rotationssymmetri. Blommors symmetri av former och färger ger dem skönhet och som regel har de många symmetriaxlar.

(Bilaga 3).

4. Symmetri i världen av insekter, fiskar, fåglar, djur

Symmetri finns också i djurvärlden. Men till skillnad från växtvärlden observeras symmetri i djurvärlden inte så ofta. Jag studerade utseendet på insekter, fåglar, djur och drog slutsatsen att symmetri av former, färger på insekter, fåglar ger skönhet och tjänar till balans. Tänk till exempel en fjäril. Vi kan mentalt dela den på längden i två spegelliknande lika delar. Även det fläckiga mönstret på dess vingar lyder denna geometri. Allt lyder denna "bladsymmetri". Låt oss också notera människokroppens spegelsymmetri (vi pratar om skelettets utseende och struktur). Denna symmetri har alltid varit och är huvudkällan till vår estetiska beundran för den välproportionerade människokroppen.

(Bilaga 4).

5. Symmetri i den livlösa naturen

Inverkan av sådana naturliga faktorer som vind, vatten, solljus på utseendet på jordens yta är mycket spontan och ofta kaotisk. Men sanddyner, småsten vid havet och kratern på en utdöd vulkan har som regel geometriskt regelbundna former. Det är kristaller som för med sig charmen med symmetri till den livlösa naturens värld. Hur många frågor uppstår i en person som tittar på snöflingor?

Forskare blev intresserade av snöflingor relativt nyligen och helt av en slump. De undrade varför de alla var olika och samtidigt symmetriska. Som ett resultat visade det sig att en snöflinga är en grupp kristaller som bildas av mer än tvåhundra ispartiklar. Snökristaller bildas av vattenmolekyler ordnade i perfekt ordning. Varje snöflinga är bildad av en hexagonal vattenmolekyl, varför alla snöflingor är hexagonala. Enligt experter är den huvudsakliga egenskapen som bestämmer formen på en kristall den starka bindningen mellan vattenmolekyler, liknande anslutningen av länkar i en kedja. Därav symmetrin. Symmetri är egenskapen hos kristaller att anpassa sig till varandra i olika positioner genom rotationer, parallella överföringar och reflektioner. Jag fick reda på att det finns två huvudformer av snöflingor - en sexkantig platta och en sexkantig stjärna. Men inom deras gränser är en mängd olika kombinationer möjliga, nu finns det cirka 130 av dem (bilaga 5).

6. Symmetri i arkitektur

Mänsklig kreativitet i alla dess yttringar tenderar mot symmetri. Symmetri är tydligast i arkitekturen. De antika arkitekterna använde sig särskilt briljant av symmetri i arkitektoniska strukturer. Efter att ha studerat olika fotografier drog jag slutsatsen att användningen av symmetri i byggnadsdesign, symmetriska element i dekoration, såväl som symmetriskt placerade byggnader skapar skönhet och harmoni.

(Bilaga 6).

7. Litteratur och symmetri

I litterära verk finns en symmetri av bilder, positioner och tänkande. Låt oss till exempel minnas lagen om vedergällning i grekisk tragedi, där den skyldige blir ett offer för samma brott.

Bokstäverna i det ryska språket kan också betraktas ur symmetrisynpunkt. Vertikal symmetriaxel: A; D; L; M; P; T; F; Sh.

Horisontell symmetriaxel: B; E; Z; TILL; MED; E; YU.

Både vertikala och horisontella symmetriaxlar: F; N; HANDLA OM; X.

På det ryska språket finns "symmetriska ord - palindromer, som kan läsas lika i två riktningar: översvämning, hö, hydda, kosack, kock, pop. (Bilaga 7).

8. Symmetri i föremål av dekorativ och brukskonst

Principen om symmetri används i konstruktionen av prydnaden. Ornament (av latin Ornamentum – dekoration) är ett mönster som består av återkommande, rytmiskt ordnade element.

Designen var nästan uteslutande geometrisk, bestående av strikta former av cirkel, halvcirkel, spiral, kvadrat, romb, triangel och deras olika kombinationer.

Inom folkkonsten har varje nationell kultur utvecklat sitt eget ornamentsystem - motiv, former, platser på ytan som ska dekoreras. De vanligaste antika grekiska ornamenten - meander och akantus - har blivit klassiska. Ordet "slingrande" kommer från namnet på en mycket slingrande flod i Mindre Asien. Numera heter det Great Menderes. Acanthus är ett släkte av örtartade växter som är vanliga i Medelhavsområdet. Den har stora blad och vackert böjda stjälkar.

Prydnadskonsten nådde perfektion i den muslimska östern. Det kännetecknas av en kombination av geometriska motiv och växtmotiv, eftersom Koranen förbjöd avbildning av människor och djur. Därefter, spridda över hela Europa, kallades denna typ av prydnad "arabesque" (från italienska Arabesko - arabiska). I islamiska länder regerar "arabesken" i arkitektonisk inredning.

Ornament nådde en hög utvecklingsnivå i medeltida Ryssland. Rysk prydnad kännetecknas av både geometriska och blommiga former, såväl som bilder av fåglar, djur, fantastiska djur och mänskliga figurer. I en platt prydnad är ett av de mest använda motiven den så kallade "flätan" - olika typer av sammanflätning av remsor som band, bälten, blomstammar. Det är svårt att träffa en person som inte har beundrat ornament. Ett exempel är parkett. (Bilaga 8).

Slutsats

Vid insamling av material för kreativt forskningsarbete lärde jag mig mycket nytt och lärde mig att tillämpa den inhämtade geometriska kunskapen för att beskriva och analysera de mönster som finns i omvärlden. Jag fick också möjlighet att bekanta mig med populärvetenskaplig litteratur om problemet med förhållandet mellan symmetri och konst, litteratur och arkitektur och sökte efter den information som var nödvändig för att bekräfta eller vederlägga fakta. Jag utvecklade också en idé om symmetri som en del av matematikvetenskapen, som uppstod från behoven av mänsklig praktik och utvecklades från dem, såväl som dess egna interna lagar. Den forskning jag genomförde visade att symmetri, som finns i livet, i konsten, i arkitekturen och i naturen, är en av principerna för en harmonisk konstruktion av världen. Symmetrins "inflytandesfär" är verkligen obegränsad. Överallt definierar hon naturens harmoni, vetenskapens visdom och konstens skönhet.

Under undersökningen kom jag fram till följande slutsatser:

Symmetri används i stor utsträckning inom alla vetenskapsområden.

Symmetri låter dig förbättra och påskynda processen att skapa nya saker (mönster, ornament, applikationer, etc.).

Symmetri är harmoni och skönhet, balans och stabilitet.

På en spegelyta

En mal sitter.

Från att veta sanningen

Oändligt långt borta.

För förmodligen

Och han vet inte

Vad finns i ytan på en spegel?

Självreflekterad.

(Leonid Martynov)

Resurser

1. Glazer G.D. Geometri. – 12:e upplagan - M., "Enlightenment", 1992.

2. Kompaneets A.S. Symmetri i mikro- och makrovärlden. - M., Nauka, 1978.

3. Nalivkin D.V. Element av symmetri av den organiska världen. – Izv. Biol. Vetenskaplig forskning Institutet vid Perm University, vol. 3, 1952, nummer. 8, sid. 291-297.

4. Oparin A.I. Livets uppkomst på jorden - M., 1987, 458 s.

5. Rudenko V. N. Geometri årskurs 7-9 - M.: Utbildning, 1994.

6. Skopets Z.A. Geometriska miniatyrer. - M., "Enlightenment", 1990.

7. Tarasov L.V. Denna fantastiska symmetriska värld. – M.: Utbildning, 1982.

8. Urmantsev Yu.A. Symmetri i naturen och symmetrins natur. M., Mysl, 1974. sid. 230.

9. Samling av Microsoft-bilder.

Bilaga 1

Rörelse och typer av rörelse.

Parallell överföring

Bilaga 2

Symmetri och typer av symmetri.

Axialsymmetri Central symmetri

Glidande symmetri

Spegelsymmetri

Vi vänjer oss vid begreppet symmetri från barndomen. Vi vet att en fjäril är symmetrisk: dess högra och vänstra vingar är samma; ett symmetriskt hjul vars sektorer är identiska; symmetriska mönster av ornament, stjärnor av snöflingor.

En verkligt omfattande litteratur ägnas åt problemet med symmetri. Från läroböcker och vetenskapliga monografier till verk som uppmärksammar inte så mycket teckningar och formler, utan till konstnärliga bilder.

Själva termen "symmetri" på grekiska betyder "proportionalitet", vilket forntida filosofer förstod som ett specialfall av harmoni - koordinationen av delar inom helheten. Sedan urminnes tider har många folk haft idén om symmetri i vid mening - som motsvarighet till balans och harmoni.

Symmetri är ett av universums mest grundläggande och ett av de mest allmänna mönstren: den livlösa, levande naturen och samhället. Vi träffar henne överallt. Begreppet symmetri går igenom hela den mänskliga kreativitetens månghundraåriga historia. Den finns redan vid ursprunget till mänsklig kunskap; det används i stor utsträckning av alla områden inom modern vetenskap utan undantag. Verkligen symmetriska objekt omger oss bokstavligen på alla sidor, vi har att göra med symmetri varhelst någon ordning observeras. Det visar sig att symmetri är balans, ordning och reda, skönhet, perfektion. Det är mångsidigt, allestädes närvarande. Hon skapar skönhet och harmoni. Symmetri genomsyrar bokstavligen hela världen omkring oss, varför ämnet jag har valt alltid kommer att vara relevant.

Symmetri uttrycker bevarandet av något trots vissa förändringar eller bevarandet av något trots en förändring. Symmetri förutsätter oföränderligheten inte bara hos objektet självt, utan också för någon av dess egenskaper i förhållande till transformationer som utförs på objektet. Vissa objekts oföränderlighet kan observeras i förhållande till olika operationer - rotationer, translationer, ömsesidigt utbyte av delar, reflektioner etc. I detta avseende urskiljs olika typer av symmetri. Låt oss titta på alla typer mer i detalj.

AXIAL SYMMETRI.

Symmetri kring en rät linje kallas axiell symmetri (spegelreflektion kring en rät linje).

Om punkt A ligger på l-axeln är den symmetrisk med sig själv, dvs A sammanfaller med A1.

Speciellt om, när symmetri transformeras med avseende på l-axeln, figuren F transformerar in i sig själv, kallas den symmetrisk med avseende på l-axeln, och l-axeln kallas dess symmetriaxel.

CENTRAL SYMMETRI.

En figur kallas centralsymmetrisk om det finns en punkt i förhållande till vilken varje punkt i figuren är symmetrisk med någon punkt i samma figur. Nämligen: rörelse som ändrar riktning till motsatta är central symmetri.

Punkt O kallas symmetricentrum och är orörlig. Denna transformation har inga andra fixpunkter. Exempel på figurer som har ett symmetricentrum är ett parallellogram, en cirkel osv.

De välbekanta begreppen rotation och parallell translation används i definitionen av så kallad translationssymmetri. Låt oss titta på översättningssymmetri mer detaljerat.

1. VÄND

Den cirkulära cylinderns rotationssymmetri är intressant. Den har ett oändligt antal roterande axlar av 2:a ordningen och en roterande axel av oändligt hög ordning.

2. PARALLELLÖVERFÖRING

En transformation där varje punkt i en figur (kropp) rör sig i samma riktning med samma avstånd kallas parallell translation.

För att specificera en parallell translationstransformation räcker det att specificera vektorn a.

3. GLIDSYMMETRI

Glidande symmetri är en transformation där axiell symmetri och parallell translation utförs sekventiellt. Glidande symmetri är en isometri av det euklidiska planet. Glidande symmetri är en sammansättning av symmetri med avseende på någon linje l och translation till en vektor parallell med l (denna vektor kan också vara noll).

Glidsymmetri kan representeras som en sammansättning av 3 axiella symmetrier (Chales sats).

SPEGEL SYMMETRI

Vad kan vara mer lik min hand eller mitt öra än deras egen reflektion i spegeln? Och ändå kan handen som jag ser i spegeln inte sättas i stället för den riktiga handen.

Immanuel Kant.

Om en transformation av symmetri i förhållande till ett plan förvandlar en figur (kropp) till sig själv, så kallas figuren symmetrisk i förhållande till planet, och detta plan kallas symmetriplanet för denna figur. Denna symmetri kallas spegelsymmetri. Som namnet i sig antyder förbinder spegelsymmetri ett objekt och dess reflektion i en plan spegel. Två symmetriska kroppar kan inte "kapslas in i varandra", eftersom i jämförelse med själva föremålet visar sig dess spegel-spegel-dubbel vara utvänd i riktningen vinkelrätt mot spegelns plan.

Symmetriska figurer, för alla deras likheter, skiljer sig avsevärt från varandra. Det dubbla som observeras i spegeln är inte en exakt kopia av själva föremålet. Spegeln kopierar inte bara objektet, utan byter (representerar) de främre och bakre delarna av objektet i förhållande till spegeln. Till exempel, om din mullvad är på din högra kind, så är din dubbla glasögon på vänster sida. Håll upp en bok mot spegeln så ser du att bokstäverna verkar vända ut och in. Allt i spegeln är omarrangerat från höger till vänster.

Kroppar kallas spegellika kroppar om de med rätt förskjutning kan bilda två halvor av en spegelsymmetrisk kropp.

2. 2 Symmetri i naturen

En figur har symmetri om det finns en rörelse (icke-identisk transformation) som omvandlar den till sig själv. Till exempel har en figur rotationssymmetri om den översätts till sig själv genom någon rotation. Men i naturen, med hjälp av matematik, skapas inte skönhet, som i teknik och konst, utan bara registreras och uttrycks. Det gläder inte bara ögat och inspirerar poeter av alla tider och folk, utan tillåter levande organismer att bättre anpassa sig till sin miljö och helt enkelt överleva.

Strukturen för alla levande former är baserad på principen om symmetri. Från direkt observation kan vi härleda geometrins lagar och känna deras ojämförliga perfektion. Denna ordning, som är en naturlig nödvändighet, eftersom ingenting i naturen tjänar rent dekorativa syften, hjälper oss att hitta den allmänna harmoni som hela universum bygger på.

Vi ser att naturen utformar vilken levande organism som helst enligt ett visst geometriskt mönster, och universums lagar har en tydlig motivering.

Principerna för symmetri ligger till grund för relativitetsteorin, kvantmekaniken, fasta tillståndets fysik, atom- och kärnfysik samt partikelfysik. Dessa principer uttrycks tydligast i naturlagarnas invariansegenskaper. Vi talar inte bara om fysiska lagar, utan även andra, till exempel biologiska.

På tal om symmetrins roll i den vetenskapliga kunskapsprocessen, bör vi särskilt lyfta fram användningen av metoden för analogier. Enligt den franske matematikern D. Polya "finns det kanske inga upptäckter vare sig i elementär eller högre matematik, eller kanske på något annat område som skulle kunna göras utan analogier." De flesta av dessa analogier är baserade på gemensamma rötter , allmänna mönster som visar sig på samma sätt på olika nivåer i hierarkin.

Så, i den moderna förståelsen, är symmetri en allmän vetenskaplig filosofisk kategori som kännetecknar strukturen i organisationen av system. Den viktigaste egenskapen för symmetri är bevarandet (invarians) av vissa egenskaper (geometriska, fysiska, biologiska, etc.) i förhållande till väldefinierade transformationer. Den matematiska apparaten för att studera symmetri idag är teorin om grupper och teorin om invarianter.

Symmetri i växtvärlden

Växternas specifika struktur bestäms av egenskaperna hos den livsmiljö som de anpassar sig till. Alla träd har en bas och en topp, en "topp" och en "botten" som utför olika funktioner. Betydelsen av skillnaden mellan de övre och nedre delarna, såväl som tyngdkraftens riktning, bestämmer den vertikala orienteringen av "träkonens" rotationsaxel och symmetriplanen. Ett träd, med hjälp av sitt rotsystem, absorberar fukt och näringsämnen från jorden, det vill säga underifrån, och de återstående vitala funktionerna utförs av kronan, det vill säga ovan. Samtidigt är riktningar i ett plan vinkelrätt mot vertikalen praktiskt taget oskiljbara för ett träd; i alla dessa riktningar kommer luft, ljus och fukt lika mycket in i trädet.

Trädet har en vertikal roterande axel (konaxel) och vertikala symmetriplan.

När vi vill rita ett blad av en växt eller en fjäril måste vi ta hänsyn till deras axiella symmetri. Mellanribban för bladet fungerar som en symmetriaxel. Blad, grenar, blommor och frukter har en uttalad symmetri. Bladen kännetecknas av spegelsymmetri. Samma symmetri finns även i blommor, men hos dem uppträder ofta spegelsymmetri i kombination med rotationssymmetri. Det finns också frekventa fall av figurativ symmetri (akaciegrenar, rönnträd).

I färgernas mångfaldiga värld finns roterande axlar av olika ordning. Det vanligaste är dock 5:e ordningens rotationssymmetri. Denna symmetri finns i många vilda blommor (klocka, förgätmigej, pelargon, nejlika, johannesört, cinquefoil), i blommorna på fruktträd (körsbär, äpple, päron, mandarin, etc.), i blommorna av frukt- och bärväxter (jordgubbar, hallon, viburnum, fågelkörsbär, rönn, nypon, hagtorn) etc.

Akademikern N. Belov förklarar detta faktum med det faktum att axeln av 5:e ordningen är ett slags instrument för kampen för tillvaron, "försäkring mot förstenning, kristallisering, vars första steg skulle vara deras fångst av nätet." En levande organism har faktiskt inte en kristallin struktur i den meningen att inte ens dess individuella organ har ett rumsligt gitter. Ordnade strukturer är dock representerade mycket brett i den.

I sin bok "This Right, Left World" skriver M. Gardner: "På jorden uppstod livet i sfäriskt symmetriska former och började sedan utvecklas längs två huvudlinjer: en värld av växter med konsymmetri bildades och världen av djur med bilateral symmetri."

I naturen finns det kroppar som har spiralformad symmetri, det vill säga inriktning med sin ursprungliga position efter rotation med en vinkel runt en axel, med en ytterligare förskjutning längs samma axel.

Om är ett rationellt tal, så visar sig den roterande axeln också vara translationsaxeln.

Bladen på stjälken är inte ordnade i en rak linje, utan omger grenen i en spiral. Summan av alla föregående steg i spiralen, från toppen, är lika med värdet av det efterföljande steget A+B=C, B+C=D, etc.

Spiralsymmetri observeras i arrangemanget av löv på stjälkarna hos de flesta växter. Ordnade i en spiral längs stammen, tycks bladen breda ut sig åt alla håll och blockerar inte varandra från ljuset, vilket är oerhört nödvändigt för växtlivet. Detta intressanta botaniska fenomen kallas phyllotaxis (bokstavligen "bladarrangemang").

En annan manifestation av phyllotaxis är strukturen av blomställningen hos en solros eller fjällen av en grankotte, där fjällen är ordnade i form av spiraler och spiralformade linjer. Detta arrangemang är särskilt tydligt hos ananas, som har mer eller mindre hexagonala celler som bildar rader som löper i olika riktningar.

Symmetri i djurvärlden

Symmetriformens betydelse för ett djur är lätt att förstå om den hänger ihop med levnadssätt och miljöförhållanden. Symmetri hos djur betyder överensstämmelse i storlek, form och kontur, såväl som det relativa arrangemanget av kroppsdelar placerade på motsatta sidor av skiljelinjen.

Rotationssymmetri av 5:e ordningen finns också i djurvärlden. Detta är en symmetri där ett objekt riktar in sig själv när det roteras runt en roterande axel 5 gånger. Exempel inkluderar sjöstjärnan och sjöborreskalet. Hela huden på sjöstjärnor är som om den är täckt av små plattor av kalciumkarbonat, nålar sträcker sig från några av plattorna, av vilka några är rörliga. En vanlig sjöstjärna har 5 symmetriplan och 1 rotationsaxel av 5:e ordningen (detta är den högsta symmetrin bland djur). Hennes förfäder verkar ha haft lägre symmetri. Detta bevisas i synnerhet av stjärnlarvernas struktur: de, liksom de flesta levande varelser, inklusive människor, har bara ett symmetriplan. Sjöstjärnor har inte ett horisontellt symmetriplan: de har en "topp" och en "botten". Sjöborrar är som levande nålkuddar; deras sfäriska kropp bär långa och rörliga nålar. Hos dessa djur smälte hudens kalkplattor samman och bildade ett sfäriskt ryggsköld. Det finns en mun i mitten av den nedre ytan. De ambulakrala benen (vatten-kärlsystemet) är samlade i 5 ränder på skalets yta.

Men till skillnad från växtvärlden observeras rotationssymmetri sällan i djurvärlden.

Insekter, fiskar, ägg och djur kännetecknas av en skillnad mellan riktningarna "framåt" och "bakåt", som är oförenlig med rotationssymmetri.

Rörelseriktningen är en fundamentalt vald riktning, med avseende på vilken det inte finns någon symmetri hos någon insekt, någon fågel eller fisk, något djur. I denna riktning rusar djuret efter mat, i samma riktning flyr det från sina förföljare.

Förutom rörelseriktningen bestäms symmetrin hos levande varelser av en annan riktning - tyngdkraftens riktning. Båda riktningarna är betydelsefulla; de definierar symmetriplanet för ett djurväsen.

Bilateral (spegel) symmetri är den karakteristiska symmetrin för alla representanter för djurvärlden. Denna symmetri är tydligt synlig i fjärilen. Symmetrin mellan vänster och höger vingar framträder här med nästan matematisk rigor.

Vi kan säga att varje djur (liksom insekter, fiskar, fåglar) består av två enantiomorfer - den högra och vänstra halvan. Enantiomorfer är också parade delar, varav en faller in i den högra och den andra i den vänstra halvan av djurets kropp. Således är enantiomorfer höger och vänster öra, höger och vänster öga, höger och vänster horn, etc.

En förenkling av levnadsvillkoren kan leda till en kränkning av den bilaterala symmetrin, och djur från att vara bilateralt symmetriska blir radiellt symmetriska. Detta gäller tagghudingar (sjöstjärnor, sjöborrar, crinoider). Alla marina djur har radiell symmetri, där delar av kroppen strålar bort från en central axel, som ekrarna på ett hjul. Djurens aktivitetsgrad korrelerar med deras typ av symmetri. Radiellt symmetriska tagghudingar är vanligtvis dåligt rörliga, rör sig långsamt eller är fästa vid havsbotten. Kroppen av en sjöstjärna består av en central skiva och 5-20 eller fler strålar som strålar ut från den. På matematiskt språk kallas denna symmetri rotationssymmetri.

Låt oss slutligen notera människokroppens spegelsymmetri (vi pratar om skelettets utseende och struktur). Denna symmetri har alltid varit och är huvudkällan till vår estetiska beundran för den välproportionerade människokroppen. Låt oss för närvarande inte ta reda på om en absolut symmetrisk person faktiskt existerar. Alla kommer naturligtvis att ha en mullvad, en hårstrå eller någon annan detalj som bryter den yttre symmetrin. Det vänstra ögat är aldrig exakt detsamma som det högra, och mungiporna är på olika höjd, åtminstone för de flesta. Ändå är detta bara mindre inkonsekvenser. Ingen kommer att tvivla på att en person utåt är symmetriskt byggd: vänster hand motsvarar alltid höger och båda händerna är exakt likadana.

Alla vet att likheten mellan våra händer, öron, ögon och andra delar av kroppen är densamma som mellan ett föremål och dess reflektion i en spegel. Det är frågorna om symmetri och spegelreflektion som uppmärksammas här.

Många konstnärer ägnade stor uppmärksamhet åt människokroppens symmetri och proportioner, åtminstone så länge de styrdes av viljan att följa naturen så nära som möjligt i sina verk.

I moderna målarskolor tas huvudets vertikala storlek oftast som en enda åtgärd. Med ett visst antagande kan vi anta att kroppens längd är åtta gånger huvudets storlek. Huvudets storlek är proportionell inte bara mot kroppens längd, utan också till storleken på andra delar av kroppen. Alla människor är byggda på denna princip, varför vi i allmänhet är lika varandra. Men våra proportioner är bara ungefär konsekventa, och därför är människor bara lika, men inte lika. Symmetriska är vi alla i alla fall! Dessutom framhåller vissa konstnärer särskilt denna symmetri i sina verk.

Vår egen spegelsymmetri är väldigt bekväm för oss, den tillåter oss att röra oss rakt och svänga höger och vänster lika lätt. Spegelsymmetri är lika praktiskt för fåglar, fiskar och andra aktivt rörliga varelser.

Bilateral symmetri innebär att ena sidan av ett djurs kropp är en spegelbild av den andra sidan. Denna typ av organisation är karakteristisk för de flesta ryggradslösa djur, särskilt annelider och leddjur - kräftdjur, spindeldjur, insekter, fjärilar; för ryggradsdjur - fiskar, fåglar, däggdjur. Bilateral symmetri uppträder först hos plattmaskar, där de främre och bakre ändarna av kroppen skiljer sig från varandra.

Låt oss överväga en annan typ av symmetri som finns i djurvärlden. Detta är spiralsymmetri eller spiralsymmetri. Spiralsymmetri är symmetri med avseende på kombinationen av två transformationer - rotation och translation längs rotationsaxeln, det vill säga det finns rörelse längs skruvens axel och runt skruvens axel.

Exempel på naturliga propellrar är: beta av en narval (en liten val som lever i norra haven) - vänster propeller; snigelskal – höger skruv; Pamirvädurens horn är enantiomorfer (ett horn är vridet i en vänsterhänt spiral och det andra i en högerhänt spiral). Spiralsymmetri är inte idealisk, till exempel blir skalet på blötdjur smalare eller vidgar i slutet. Även om extern spiralformad symmetri är sällsynt hos flercelliga djur, har många viktiga molekyler som levande organismer är uppbyggda av - proteiner, deoxiribonukleinsyror - DNA en spiralformad struktur.

Symmetri i den livlösa naturen

Kristallsymmetri är egenskapen hos kristaller att anpassa sig till sig själva i olika positioner genom rotation, reflektion, parallell translation eller en del eller kombination av dessa operationer. Symmetrin för den yttre formen (snittet) av en kristall bestäms av symmetrin i dess atomära struktur, vilket också bestämmer symmetrin för kristallens fysiska egenskaper.

Låt oss ta en närmare titt på de mångfacetterade formerna av kristaller. Först och främst är det tydligt att kristaller av olika ämnen skiljer sig från varandra i sina former. Stensalt är alltid kuber; bergkristall - alltid hexagonala prismor, ibland med huvuden i form av triedriska eller hexagonala pyramider; diamant - oftast vanliga oktaedrar (oktaedrar); is är hexagonala prismor, mycket lik bergskristall, och snöflingor är alltid sexuddiga stjärnor. Vad fångar ditt öga när du tittar på kristaller? Först och främst deras symmetri.

Många tycker att kristaller är vackra, sällsynta stenar. De finns i olika färger, är vanligtvis genomskinliga och, bäst av allt, har en vacker, regelbunden form. Oftast är kristaller polyedrar, deras sidor (ansikten) är perfekt plana och deras kanter är strikt raka. De gläder ögat med det underbara ljusspelet i deras kanter och den fantastiska korrektheten i deras struktur.

Kristaller är dock inte alls museala rariteter. Kristaller omger oss överallt. De fasta ämnen som vi bygger hus och maskiner av, de ämnen som vi använder i vardagen - nästan alla tillhör kristaller. Varför ser vi inte detta? Faktum är att man i naturen sällan stöter på kroppar i form av separata enkristaller (eller, som man säger, enkristaller). Oftast finns ämnet i form av tätt vidhäftade kristallina korn av mycket liten storlek - mindre än en tusendels millimeter. Denna struktur kan endast ses genom ett mikroskop.

Kroppar som består av kristallina korn kallas finkristallina eller polykristallina ("poly" - på grekiska "många").

Naturligtvis bör även finkristallina kroppar klassas som kristaller. Sedan visar det sig att nästan alla fasta kroppar runt omkring oss är kristaller. Sand och granit, koppar och järn, färger - allt detta är kristaller.

Det finns undantag; glas och plast består inte av kristaller. Sådana fasta ämnen kallas amorfa.

Att studera kristaller innebär att studera nästan alla kroppar runt omkring oss. Det är tydligt hur viktigt det här är.

Enkristaller känns omedelbart igen på sin vanliga form. Plana ytor och raka kanter är en karakteristisk egenskap hos kristallen; formens riktighet är utan tvekan relaterad till riktigheten av kristallens inre struktur. Om en kristall är särskilt långsträckt i en viss riktning, betyder det att strukturen av kristallen i den riktningen på något sätt är speciell.

Det finns ett symmetricentrum i en kub av stensalt, i en diamants oktaeder och i stjärnan på en snöflinga. Men i en kvartskristall finns inget symmetricentrum.

Den mest exakta symmetrin uppnås i kristallvärlden, men även här är det inte idealiskt: sprickor och repor som är osynliga för ögat gör alltid lika ansikten något annorlunda från varandra.

Alla kristaller är symmetriska. Det betyder att man i varje kristallin polyeder kan hitta symmetriplan, symmetriaxlar, ett symmetricentrum eller andra symmetrielement så att identiska delar av polyedern är i linje med varandra.

Alla symmetrielement upprepar samma delar av figuren, alla ger den symmetrisk skönhet och fullständighet, men symmetrins centrum är det mest intressanta. Inte bara formen utan också många fysiska egenskaper hos kristallen kan bero på om en kristall har ett symmetricentrum eller inte.

Honeycombs är ett riktigt designmästerverk. De består av ett antal hexagonala celler. Detta är den tätaste förpackningen, vilket möjliggör den mest fördelaktiga placeringen av larven i cellen och, med största möjliga volym, den mest ekonomiska användningen av byggmaterialet - vax.

III Slutsats

Symmetri genomsyrar bokstavligen allt runt omkring och fångar till synes helt oväntade områden och föremål.Den, som manifesterar sig i den materiella världens mest olikartade föremål, återspeglar utan tvekan dess mest allmänna, mest grundläggande egenskaper. Symmetriprinciperna spelar en viktig roll inom fysik och matematik, kemi och biologi, teknik och arkitektur, måleri och skulptur, poesi och musik.

Vi ser att naturen utformar vilken levande organism som helst enligt ett visst geometriskt mönster, och universums lagar har en tydlig motivering. Därför är studiet av symmetrin hos olika naturliga föremål och jämförelsen av dess resultat ett bekvämt och pålitligt verktyg för att förstå de grundläggande lagarna för materiens existens.

Naturlagarna som styr den outtömliga bilden av fenomen i deras mångfald är i sin tur underkastade symmetriprinciperna. Det finns många typer av symmetri, både i växt- och djurvärlden, men med all mångfald av levande organismer fungerar symmetriprincipen alltid, och detta faktum betonar återigen harmonin i vår värld. Symmetri ligger bakom saker och fenomen, uttrycker något gemensamt, karakteristiskt för olika objekt, medan asymmetri är förknippat med den individuella förkroppsligandet av denna gemensamma sak i ett specifikt objekt.

Så på planet har vi fyra typer av rörelser som omvandlar figur F till en lika stor figur F1:

1) parallell överföring;

2) axiell symmetri (reflektion från en rät linje);

3) rotation runt en punkt (Delvis fall - central symmetri);

4) "glidande" reflektion.

I rymden läggs spegelsymmetri till ovanstående typer av symmetri.

Jag tror att det abstrakta målet har uppnåtts. När jag skrev min uppsats var den största svårigheten för mig att dra mina egna slutsatser. Jag tror att mitt arbete kommer att hjälpa skolbarn att utöka sin förståelse för symmetri. Jag hoppas att min uppsats kommer att ingå i matematikklassrummets metodfond.