Preliminär information
Omkretsen av en platt geometrisk figur på ett plan definieras som summan av längderna på alla dess sidor. Triangeln är inget undantag från detta. Först presenterar vi konceptet med en triangel, liksom typerna av trianglar beroende på sidorna.
Definition 1
Vi kommer att kalla en triangel för en geometrisk figur som är uppbyggd av tre punkter som är förbundna med varandra genom segment (Fig. 1).
Definition 2
Inom ramen för definition 1 kommer vi att kalla punkterna för triangelns hörn.
Definition 3
Inom ramen för definition 1 kommer segmenten att kallas triangelns sidor.
Uppenbarligen kommer vilken triangel som helst att ha 3 hörn, såväl som tre sidor.
Beroende på sidornas förhållande till varandra delas trianglar in i skalan, likbent och liksidig.
Definition 4
Vi kallar en triangel för skala om ingen av dess sidor är lika med någon annan.
Definition 5
Vi kommer att kalla en triangel likbent om två av dess sidor är lika med varandra, men inte lika med den tredje sidan.
Definition 6
Vi kallar en triangel liksidig om alla dess sidor är lika med varandra.
Du kan se alla typer av dessa trianglar i figur 2.
Hur hittar man omkretsen av en skalentriangel?
Låt oss ges en skalentriangel vars sidolängder är lika med $α$, $β$ och $γ$.
Slutsats: För att hitta omkretsen av en skalentriangel måste du lägga till alla längderna på dess sidor tillsammans.
Exempel 1
Hitta omkretsen av skalentriangeln lika med $34$ cm, $12$ cm och $11$ cm.
$P=34+12+11=57$ cm
Svar: $57$ cm.
Exempel 2
Hitta omkretsen rät triangel, vars ben är lika med $6$ och $8$ cm.
Låt oss först hitta längden på hypotenuserna i denna triangel med hjälp av Pythagoras sats. Låt oss då beteckna det med $α$
$α=10$ Enligt regeln för att beräkna omkretsen av en skalentriangel får vi
$P=10+8+6=24$ cm
Svar: $24$ se.
Hur hittar man omkretsen av en likbent triangel?
Låt oss ges en likbent triangel, längderna på sidorna blir lika med $α$, och längden på basen blir lika med $β$.
Per definition av omkretsen av ett plan geometrisk figur, det förstår vi
$P=α+α+β=2α+β$
Slutsats: För att hitta omkretsen av en likbent triangel, lägg till två gånger längden på dess sidor till längden på dess bas.
Exempel 3
Hitta omkretsen av en likbent triangel om dess sidor är $12$ cm och dess bas är $11$ cm.
Från exemplet som diskuterats ovan ser vi det
$P=2\cdot 12+11=35$ cm
Svar: $35$ cm.
Exempel 4
Hitta omkretsen av en likbent triangel om dess höjd dras till basen är $8$ cm och basen är $12$ cm.
Låt oss titta på ritningen enligt problemförhållandena:
Eftersom triangeln är likbent är $BD$ också medianen, därför $AD=6$ cm.
Med hjälp av Pythagoras sats, från triangeln $ADB$, hittar vi den laterala sidan. Låt oss då beteckna det med $α$
Enligt regeln för att beräkna omkretsen av en likbent triangel får vi
$P=2\cdot 10+12=32$ cm
Svar: $32$ se.
Hur hittar man omkretsen av en liksidig triangel?
Låt oss ges en liksidig triangel vars längder på alla sidor är lika med $α$.
Genom att bestämma omkretsen av en platt geometrisk figur får vi det
$P=α+α+α=3α$
Slutsats: För att hitta omkretsen av en liksidig triangel, multiplicera längden på sidan av triangeln med $3$.
Exempel 5
Hitta omkretsen av en liksidig triangel om dess sida är $12$ cm.
Från exemplet som diskuterats ovan ser vi det
$P=3\cdot 12=36$ cm
Innehåll:
Omkretsen är den totala längden av gränserna för en tvådimensionell form. Om du vill hitta omkretsen av en triangel, måste du lägga till längderna på alla dess sidor; Om du inte vet längden på minst en sida av triangeln måste du hitta den. Den här artikeln kommer att berätta för dig (a) hur du hittar omkretsen av en triangel givet tre kända sidor; (b) hur man hittar omkretsen av en rätvinklig triangel när endast två sidor är kända; (c) hur man hittar omkretsen av en triangel när de ges två sidor och vinkeln mellan dem (med hjälp av cosinussatsen).
Steg
1 Enligt dessa tre sidor
- 1 För att hitta omkretsen använd formeln: P = a + b + c, där a, b, c är längden på de tre sidorna, P är omkretsen.
- 2
Hitta längden på alla tre sidorna. I vårt exempel: a = 5, b = 5, c = 5.
- Det är en liksidig triangel eftersom alla tre sidorna är lika långa. Men formeln ovan gäller för vilken triangel som helst.
- 3
Lägg till längderna på alla tre sidorna för att hitta omkretsen. I vårt exempel: 5 + 5 + 5 = 15, det vill säga P = 15.
- Ett annat exempel: a = 4, b = 3, c = 5. P = 3 + 4 + 5 = 12.
- 4
Glöm inte att ange måttenheten i ditt svar. I vårt exempel mäts sidorna i centimeter, så ditt slutliga svar bör även innehålla centimeter (eller de enheter som anges i problemformuleringen).
- I vårt exempel är varje sida 5 cm, så det slutliga svaret är P = 15 cm.
2 För två givna sidor i en rätvinklig triangel
- 1 Kom ihåg Pythagoras sats. Denna sats beskriver förhållandet mellan sidorna i en rätvinklig triangel och är en av de mest kända och tillämpade satserna inom matematik. Satsen säger att i vilken rätvinklig triangel som helst är sidorna relaterade genom följande relation: a 2 + b 2 = c 2, där a, b är benen, c är hypotenusan.
- 2 Rita en triangel och märk sidorna som a, b, c. Den längsta sidan av en rätvinklig triangel är hypotenusan. Den ligger mitt emot en rät vinkel. Märk hypotenusan som "c". Ben (sidorna intill rätt vinkel) betecknas som "a" och "b".
- 3
Ersätt värdena på de kända sidorna i Pythagoras sats (a 2 + b 2 = c 2). Byt ut siffrorna i problemformuleringen istället för bokstäver.
- Till exempel, a = 3 och b = 4. Ersätt dessa värden i Pythagoras sats: 3 2 + 4 2 = c 2.
- Ett annat exempel: a = 6 och c = 10. Sedan: 6 2 + b 2 = 10 2
- 4
Lös den resulterande ekvationen för att hitta den okända sidan. För att göra detta, kvadrat först de kända längderna på sidorna (multiplicera helt enkelt talet som du fått med sig själv). Om du letar efter hypotenusan, lägg till kvadraterna på de två sidorna och extrahera från den resulterande summan Roten ur. Om du letar efter ett ben, subtrahera kvadraten på det kända benet från kvadraten på hypotenusan och ta kvadratroten av den resulterande kvoten.
- I det första exemplet: 3 2 + 4 2 = c 2 ; 9 + 16 = c2; 25= c2; √25 = s. Så c = 25.
- I det andra exemplet: 6 2 + b 2 = 10 2 ; 36 + b 2 = 100. Flytta 36 till höger sida av ekvationen och få: b 2 = 64; b = √64. Så b = 8.
- 5
- I vårt första exempel: P = 3 + 4 + 5 = 12.
- I vårt andra exempel: P = 6 + 8 + 10 = 24.
3 Enligt två givna sidor och vinkeln mellan dem
- 1 Vilken sida som helst i en triangel kan hittas med hjälp av cosinuslagen om du får två sidor och vinkeln mellan dem. Denna sats gäller vilken triangel som helst och är en mycket användbar formel. Cosinussats: c 2 = a 2 + b 2 - 2abcos(C), där a, b, c är triangelns sidor, A, B, C är vinklarna mitt emot motsvarande sidor i triangeln.
- 2 Rita en triangel och märk sidorna som a, b, c; märk vinklarna mittemot motsvarande sidor som A, B, C (det vill säga vinkeln motsatt sida "a", märk som "A" och så vidare).
- Till exempel, givet en triangel med sidorna 10 och 12 och en vinkel mellan dem på 97°, det vill säga a = 10, b = 12, C = 97°.
- 3
Ersätt värdena som du fått i formeln och hitta den okända sidan "c". Kvadra först längden på de kända sidorna och lägg till de resulterande värdena. Hitta sedan cosinus för vinkel C (med hjälp av en miniräknare eller online-räknare). Multiplicera längden på de kända sidorna med cosinus för den givna vinkeln och med 2 (2abcos(C)). Subtrahera det resulterande värdet från summan av kvadraterna på de två sidorna (a 2 + b 2), och du får c 2. Ta kvadratroten av detta värde för att hitta längden på den okända sidan "c". I vårt exempel:
- c 2 = 10 2 + 12 2 - 2 × 10 × 12 × cos(97)
- c 2 = 100 + 144 – (240 × -0,12187)
- c 2 = 244 – (-29,25)
- c2 = 244 + 29,25
- c2 = 273,25
- c = 16,53
- 4
Lägg till längderna på de tre sidorna för att hitta omkretsen. Kom ihåg att omkretsen beräknas med formeln: P = a + b + c.
- I vårt exempel: P = 10 + 12 + 16,53 = 38,53.
Omkrets är en kvantitet som antyder längden på alla sidor av en platt (tvådimensionell) geometrisk figur. För olika geometriska former finns det olika sätt att hitta omkretsen.
I den här artikeln kommer du att lära dig hur du hittar omkretsen av en figur. olika sätt, beroende på dess kända ansikten.
I kontakt med
Möjliga metoder:
- alla tre sidorna av en likbent eller någon annan triangel är kända;
- hur man hittar omkretsen av en rätvinklig triangel givet dess två kända ytor;
- två ytor och vinkeln som ligger mellan dem (cosinusformel) utan mittlinje och höjd är känd.
Första metoden: alla sidor av figuren är kända
Hur man hittar omkretsen av en triangel när alla tre ytorna är kända, måste du använda följande formel: P = a + b + c, där a,b,c är de kända längderna på alla sidor av triangeln, P är figurens omkrets.
Till exempel är tre sidor av figuren kända: a = 24 cm, b = 24 cm, c = 24 cm. Detta är en vanlig likbent figur; för att beräkna omkretsen använder vi formeln: P = 24 + 24 + 24 = 72 cm.
Denna formel gäller för vilken triangel som helst., du behöver bara veta längden på alla dess sidor. Om minst en av dem är okänd måste du använda andra metoder, som vi kommer att diskutera nedan.
Ett annat exempel: a = 15 cm, b = 13 cm, c = 17 cm Beräkna omkretsen: P = 15 + 13 + 17 = 45 cm.
Det är mycket viktigt att markera måttenheten i det mottagna svaret. I våra exempel anges längderna på sidorna i centimeter (cm), men det finns olika uppgifter där andra måttenheter finns.
Andra metoden: en rätvinklig triangel och dess två kända sidor
I det fall då uppgiften som måste lösas ges en rektangulär figur, vars längder på två ytor är kända, men den tredje inte är det, är det nödvändigt att använda Pythagoras sats.
Beskriver förhållandet mellan ytorna i en rätvinklig triangel. Formeln som beskrivs av denna sats är en av de mest kända och mest använda satserna inom geometri. Så själva satsen:
Sidorna i en rätvinklig triangel beskrivs med följande ekvation: a^2 + b^2 = c^2, där a och b är figurens ben och c är hypotenusan.
- Hypotenusa. Den är alltid placerad mittemot den räta vinkeln (90 grader), och är också den längsta kanten på triangeln. I matematik är det vanligt att beteckna hypotenusan med bokstaven c.
- Ben- det här är kanterna på en rätvinklig triangel som hör till en rät vinkel och betecknas med bokstäverna a och b. Ett av benen är också höjden på figuren.
Således, om villkoren för problemet anger längden på två av de tre sidorna av en sådan geometrisk figur, med hjälp av Pythagoras sats är det nödvändigt att hitta dimensionen på den tredje ytan och sedan använda formeln från den första metoden.
Till exempel vet vi längden på 2 ben: a = 3 cm, b = 5 cm. Ersätt värdena i satsen: 3^2 + 4^2 = c^2 => 9 + 16 = c^2 => 25 = c ^2 => c = 5 cm. Så hypotenusan för en sådan triangel är 5 cm. Förresten, detta exempel är det vanligaste och kallas. Med andra ord, om två ben i en figur är 3 cm och 4 cm, blir hypotenusan 5 cm respektive.
Om längden på ett av benen är okänd är det nödvändigt att transformera formeln enligt följande: c^2 - a^2 = b^2. Och vice versa för det andra benet.
Låt oss fortsätta med exemplet. Nu måste du vända dig till standardformeln för att hitta omkretsen av en figur: P = a + b + c. I vårt fall: P = 3 + 4 + 5 = 12 cm.
Tredje metoden: på två ytor och vinkeln mellan dem
På gymnasiet, såväl som på universitetet, måste man oftast vända sig till den här metoden hitta omkretsen. Om villkoren för problemet anger längden på två sidor, såväl som dimensionen på vinkeln mellan dem, du måste använda cosinussatsen.
Detta teorem gäller absolut vilken triangel som helst, vilket gör den till en av de mest användbara inom geometri. Själva satsen ser ut så här: c^2 = a^2 + b^2 - (2 * a * b * cos(C)), där a,b,c är standardlängderna på ytorna, och A,B och C är vinklar som ligger mitt emot triangelns motsvarande ytor. Det vill säga, A är vinkeln motsatt sida a och så vidare.
Låt oss föreställa oss att en triangel beskrivs, vars sidor a och b är 100 cm respektive 120 cm, och vinkeln mellan dem är 97 grader. Det vill säga a = 100 cm, b = 120 cm, C = 97 grader.
Allt du behöver göra i det här fallet är att ersätta alla kända värden i cosinussatsen. Längden på de kända ytorna kvadratiseras, varefter de kända sidorna multipliceras mellan varandra och med två och multipliceras med cosinus för vinkeln mellan dem. Därefter måste du lägga till kvadraterna på ansikten och subtrahera det andra värdet som erhålls från dem. Kvadratroten tas från slutvärdet - detta kommer att vara den tredje, tidigare okända sidan.
Efter att alla tre sidor av figuren är kända, återstår det att använda standardformeln för att hitta omkretsen av den beskrivna figuren från den första metoden, som vi redan älskar.
Varje triangel är lika med summan av längderna på dess tre sidor. Allmän formel för att hitta omkretsen av trianglar:
P = a + b + c
Var Pär omkretsen av triangeln, a, b Och c- hans sidor.
Du kan hitta den genom att lägga till längderna på dess sidor sekventiellt eller genom att multiplicera längden på sidan med 2 och lägga till längden på basen till produkten. Den allmänna formeln för att hitta omkretsen av likbenta trianglar kommer att se ut så här:
P = 2a + b
Var Pär omkretsen av en likbent triangel, a- någon av sidorna, b- bas.
Du kan hitta den genom att lägga till längderna på dess sidor i följd eller genom att multiplicera längden på någon av dess sidor med 3. Den allmänna formeln för att hitta omkretsen av liksidiga trianglar kommer att se ut så här:
P = 3a
Var Pär omkretsen av en liksidig triangel, a- någon av dess sidor.
Fyrkant
För att mäta arean av en triangel kan du jämföra den med ett parallellogram. Tänk på en triangel ABC:
Om du tar en triangel som är lika med den och placerar den så att du får ett parallellogram, får du ett parallellogram med samma höjd och bas som den givna triangeln:
I detta fall är den gemensamma sidan av trianglarna hopvikta diagonalen för det bildade parallellogrammet. Från parallellograms egenskaper är det känt att diagonalen alltid delar parallellogrammet i två lika trianglar, vilket innebär att arean av varje triangel är lika med halva arean av parallellogrammet.
Eftersom arean av ett parallellogram är lika med produkten av dess bas och dess höjd, kommer arean av triangeln att vara lika med hälften av denna produkt. Så för Δ ABC området kommer att vara lika
Tänk nu på en rätvinklig triangel:
Två lika räta trianglar kan vikas till en rektangel genom att placera deras hypotenusa mot varandra. Eftersom arean av en rektangel är lika med dess produkt intilliggande sidor, då är arean av denna triangel lika med:
Av detta kan vi dra slutsatsen att arean av en rätvinklig triangel är lika med produkten av benen dividerat med 2.
Från dessa exempel kan vi dra slutsatsen att Arean av en triangel är lika med produkten av basens längd och basens höjd, dividerat med 2. Den allmänna formeln för att hitta arean av trianglar kommer att se ut så här:
| S = | a ha |
| 2 |
Var Sär arean av triangeln, a- dess grund, h a- höjd sänkt till basen a.
Preliminär information
Omkretsen av en platt geometrisk figur på ett plan definieras som summan av längderna på alla dess sidor. Triangeln är inget undantag från detta. Först presenterar vi konceptet med en triangel, liksom typerna av trianglar beroende på sidorna.
Definition 1
Vi kommer att kalla en triangel för en geometrisk figur som är uppbyggd av tre punkter som är förbundna med varandra genom segment (Fig. 1).
Definition 2
Inom ramen för definition 1 kommer vi att kalla punkterna för triangelns hörn.
Definition 3
Inom ramen för definition 1 kommer segmenten att kallas triangelns sidor.
Uppenbarligen kommer vilken triangel som helst att ha 3 hörn, såväl som tre sidor.
Beroende på sidornas förhållande till varandra delas trianglar in i skalan, likbent och liksidig.
Definition 4
Vi kallar en triangel för skala om ingen av dess sidor är lika med någon annan.
Definition 5
Vi kommer att kalla en triangel likbent om två av dess sidor är lika med varandra, men inte lika med den tredje sidan.
Definition 6
Vi kallar en triangel liksidig om alla dess sidor är lika med varandra.
Du kan se alla typer av dessa trianglar i figur 2.
Hur hittar man omkretsen av en skalentriangel?
Låt oss ges en skalentriangel vars sidolängder är lika med $α$, $β$ och $γ$.
Slutsats: För att hitta omkretsen av en skalentriangel måste du lägga till alla längderna på dess sidor tillsammans.
Exempel 1
Hitta omkretsen av skalentriangeln lika med $34$ cm, $12$ cm och $11$ cm.
$P=34+12+11=57$ cm
Svar: $57$ cm.
Exempel 2
Hitta omkretsen av en rätvinklig triangel vars ben är $6$ och $8$ cm.
Låt oss först hitta längden på hypotenuserna i denna triangel med hjälp av Pythagoras sats. Låt oss då beteckna det med $α$
$α=10$ Enligt regeln för att beräkna omkretsen av en skalentriangel får vi
$P=10+8+6=24$ cm
Svar: $24$ se.
Hur hittar man omkretsen av en likbent triangel?
Låt oss ges en likbent triangel, längderna på sidorna blir lika med $α$, och längden på basen blir lika med $β$.
Genom att bestämma omkretsen av en platt geometrisk figur får vi det
$P=α+α+β=2α+β$
Slutsats: För att hitta omkretsen av en likbent triangel, lägg till två gånger längden på dess sidor till längden på dess bas.
Exempel 3
Hitta omkretsen av en likbent triangel om dess sidor är $12$ cm och dess bas är $11$ cm.
Från exemplet som diskuterats ovan ser vi det
$P=2\cdot 12+11=35$ cm
Svar: $35$ cm.
Exempel 4
Hitta omkretsen av en likbent triangel om dess höjd dras till basen är $8$ cm och basen är $12$ cm.
Låt oss titta på ritningen enligt problemförhållandena:
Eftersom triangeln är likbent är $BD$ också medianen, därför $AD=6$ cm.
Med hjälp av Pythagoras sats, från triangeln $ADB$, hittar vi den laterala sidan. Låt oss då beteckna det med $α$
Enligt regeln för att beräkna omkretsen av en likbent triangel får vi
$P=2\cdot 10+12=32$ cm
Svar: $32$ se.
Hur hittar man omkretsen av en liksidig triangel?
Låt oss ges en liksidig triangel vars längder på alla sidor är lika med $α$.
Genom att bestämma omkretsen av en platt geometrisk figur får vi det
$P=α+α+α=3α$
Slutsats: För att hitta omkretsen av en liksidig triangel, multiplicera längden på sidan av triangeln med $3$.
Exempel 5
Hitta omkretsen av en liksidig triangel om dess sida är $12$ cm.
Från exemplet som diskuterats ovan ser vi det
$P=3\cdot 12=36$ cm
