Konstruktion av trigonometriska funktioner med hjälp av geometriska transformationer. Transformationer av grafer för trigonometriska funktioner med modul. funktionen ökar med intervaller

ÄMNE: Transformationer av grafer för trigonometriska funktioner med modul.

MÅL: Övervägande att erhålla grafer över trigonometriska funktioner i formen

y= f(|x|) ;y = | f(x)| .

Utveckla matematisk logik och uppmärksamhet.

UNDER Lektionerna:

Org. ögonblick: Meddelande om ämnet, målen och målen för lektionen.

Lärare: Idag måste vi lära oss hur man graferar funktioner y = sin |x|; y = cos|x|

Y = |A sin x +b| ; Y = |A cos x +b| genom att använda vår kunskap om transformationer av transcendentala funktioner av formen y = f(|x|) och y = |f(x)| . Du kanske frågar "Vad är det här för?" Faktum är att funktionernas egenskaper ändras i det här fallet, men det syns bäst, som du vet, på grafen.

Låt oss komma ihåg hur dessa funktioner skrivs med hjälp av definitionen

Barn: f(|x|) =

|f(x)| =

Lärare: Så, för att plotta funktionen y =f(|x|), om grafen för funktionen är känd

y =f{ x), måste du lämna den delen av grafen för funktionen y = på platsf(x), som

motsvarar den icke-negativa delen av definitionsdomänen för funktionen y =f(x). Återspeglar detta

del är symmetrisk kring y-axeln får vi en annan del av grafen motsvarande

negativ del av definitionsdomänen.

Det vill säga, på grafen ser det ut så här: y = f (x)

(Dessa grafer är ritade på tavlan. Barn i anteckningsböcker)

Nu, baserat på detta, kommer vi att konstruera en graf över funktionerna y = sin |x|; Y = |sin x | ; Y = |2 sin x + 2|

Fig 1. Y = sin x

Figur 2. Y = sin |x|

Låt oss nu plotta funktionerna Y = |sin x | och Y = |2 sin x + 2|

Att plotta funktionen y = \f(x)\, om grafen för funktionen y = är kändf(x), måste du lämna på plats den delen därf(x) > HANDLA OM, och symmetriskt visa dess andra del relativt x-axeln, därf(x) < 0.

ALGEBRA
Lektioner för årskurs 10

Ämne.Plotta trigonometriska funktioner

Mål med lektionen: plotta funktionerna y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x.

Bildande av färdigheter för att konstruera grafer av funktioner: y = Asin (kx + b), y = Acos (kx + b), y = Atg (kx + b), y = Actg (kx + b).

I. Kontrollera läxor

1. En elev återger lösningen till övning nr 24 (1-3).

2. Frontalkonversation:

1) Nämn fenomen i naturen som upprepas med jämna mellanrum.

2) Ge definitionen av en periodisk funktion.

3) Om funktionen y = f (x) har en period av talet T, blir perioden för denna funktion talet 2T, 3T ...? Motivera ditt svar.

4) Hitta den minsta positiva perioden av funktionerna:

a) y = cos; b) y = sin; c) y = tg; d) y = .

5) periodisk funktion y = C? Om ja, ange perioden för denna funktion.

II. Plotta funktionen y = sin x

För att plotta funktionen y = sin x använder vi enhetscirkeln. Låt oss konstruera en enhetscirkel med en radie på 1 cm (2 celler). Till höger kommer vi att konstruera ett koordinatsystem, som i Fig. 57.

Låt oss plotta punkterna på OX-axeln; π; ; 2 π (respektive 3 celler, 6 celler, 9 celler, 12 celler). Låt oss dela upp den första fjärdedelen av enhetscirkeln i tre lika delar och segmentet av abskissaxeln i samma antal delar. Låt oss överföra värdet på sinus till motsvarande punkter på OX-axeln. Vi får de punkter som måste kopplas ihop med en jämn linje. Sedan delar vi den andra, tredje och fjärde fjärdedelen av enhetscirkeln i tre lika delar och överför värdet på sinus till motsvarande punkt på OX-axeln. Genom att konsekvent förbinda alla erhållna punkter får vi en graf av funktionen y = sin x på intervallet.

Eftersom funktionen y = sin x är periodisk med en period av 2 π, då för att konstruera en graf av funktionen y = sin x på hela linjen OX, räcker det att parallellt flytta den konstruerade grafen längs OX-axeln med 2 π , 4 π, 6 π ... enheter till vänster och till höger (fig. 58).

En kurva som är en graf över funktionen y = sin x kallas en sinusvåg.

Utföra övningar____________________________

1. Konstruera grafer över funktioner.

a) y = sin; b) y = sin 2x; c) y = 2 sin x; d) y = sin (-x).

Svar: a) fig. 59; b) fig. 60; c) fig. 61; d) ris. 62.

III. Plotta funktionen y = cos x

Som ni vet är cos x = sin, därför är y = cos x och y = sin samma funktioner. För att konstruera en graf av funktionen y = sin använder vi geometriska transformationer av grafer: först konstruerar vi (fig. 63) en graf för funktionen y = sin x, sedan y = sin (-x) och slutligen y = sin .

Utföra övningar________________________________

1. Rita en graf över funktionerna:

a) y = cos; b) y = cos; c) y = cos x; d) y = | för x |.

Svar: a) fig. 64; b) fig. 65; c) fig. 66; d) ris. 67.

IV. Rita en graf för funktionen y = tg x

Vi konstruerar en graf för funktionen y = tan x med hjälp av en tangentlinje på ett intervall vars längd är lika med perioden π för denna funktion. Låt oss konstruera en enhetscirkel med en radie på 2 cm (4 celler) och rita en linje med tangenter. Till höger kommer vi att konstruera ett koordinatsystem, som i Fig. 68.

Låt oss plotta punkterna på OX-axeln; (6 celler). Dela den första och fjärde fjärdedelen av cirkeln i 3 lika delar och vart och ett av segmenten och i samma antal delar. Låt oss hitta värdena för tangenterna för talen; ; 0; ; med hjälp av tangentlinjen (koordinaterna för punkterna ; ; ; ; tangentlinjen). Låt oss överföra tangentvärdena till motsvarande punkter på OX-axeln. Genom att konsekvent koppla alla erhållna punkter får vi en graf av funktionen y = tan x på intervallet.

Eftersom funktionen y = tg x är periodisk med perioden π, för att konstruera en graf av funktionen y = tg x på hela den räta linjen OX, räcker det att parallellt flytta den konstruerade grafen längs OX-axeln med π, 2 π, 3 π, 4 π ... enheter till vänster och till höger (bild 69).

Grafen för funktionen y = tan x kallas tangent.

Gör övningar

1. Rita funktionerna

a) y = tan 2x; b) y = tgx; c) y = tan x + 2; d) y = tan (-x).

Svar: a) fig. 70; b) fig. 71; c) fig. 72; d) ris. 73.

V. Plotta funktionen y = cot x

Grafen för funktionen y = ctg x kan enkelt erhållas med formeln ctg x = tg och två geometriska transformationer (Fig. 74): symmetri kring ΟΥ-axeln, parallell translation längs OX-axeln på.

IV. Läxa

Avsnitt I § 6. Frågor och uppgifter för att upprepa avsnitt I nr 50-51. Övningar nr 28 (a-d).

V. Lektionssammanfattning

Algoritm för att konstruera grafer Grafen för funktionen y = sin (x-a) kan erhållas genom att parallellföra grafen för funktionen y = sinx längs Ox-axeln med en enhet åt höger. Grafen för funktionen y = sin (x+a) kan erhållas genom att parallellförflytta grafen för funktionen y = sinx längs Ox-axeln med en enhet åt vänster.

0) kan erhållas från grafen för funktionen y = sin x genom att sträcka den (vid 00) kan erhållas från grafen för funktionen y = sin x genom att sträcka den (vid 0 7 Algoritm för att konstruera grafer Grafen för funktionen y = sin (Kx) (K>0) kan erhållas från grafen för funktionen y = sin x genom att sträcka den (vid 01 komprimering med K gånger) längs Ox-axeln. 0) kan erhållas från grafen för funktionen y = sin x genom att sträcka den (vid 0 0) kan erhållas från grafen för funktionen y = sin x genom att sträcka den (vid 01 genom att komprimera den med en faktor K ) längs Ox-axeln."> 0) kan erhållas från grafen för funktionen y = sin x genom att sträcka den (vid 00) kan erhållas från grafen för funktionen y = sin x genom att sträcka den (vid 0 titel ="Algorithm för att konstruera grafer Grafen för funktionen y = sin (Kx) (K>0) kan erhållas från grafen för funktionen y = sin x genom att sträcka den (vid 0)

8 Kompression och töjning till ordinatan Rita graf funktionen y = sin2 x Graf funktionen y = sin K > 1 komprimering 0 1 komprimering 0 1 komprimering 0 1 komprimering 0 1 komprimering 0 title="8 Сжатие и растяжение к оси ординат Построить график функции у = sin2 х Построить график функции у = sin K > 1 сжатие 0 !}

0) kan erhållas från grafen för funktionen y = sin x genom att sträcka den (för K>1 genom att sträcka med en faktor K) längs Oy-axeln. Grafen för funktionen y = Кsin (x) (К>0) kan erhållas från grafen för funktionen y = sinx dess с" title="Graphing algorithm: Grafen för funktionen y = Кsin ( x) (К>0) kan erhållas från grafen för funktionen y = sin x genom att sträcka den (för K>1 genom att sträcka den med en faktor K) längs Oy-axeln. Grafen för funktionen y = Ksin (x) (K>0) kan erhållas från grafen för funktionen y = sinx den med" class="link_thumb"> 9 !} Algoritm för att konstruera grafer: Grafen för funktionen y = Ksin (x) (K>0) kan erhållas från grafen för funktionen y = sin x genom att sträcka den (för K>1, sträcka den med en faktor K ) längs Oy-axeln. Grafen för funktionen y = Кsin (x) (К>0) kan erhållas från grafen för funktionen y = sinx genom att komprimera den (vid 01 sträckning med K gånger) längs Оу-axeln. Grafen för funktionen y = Ksin (x) (K>0) kan erhållas från grafen för funktionen y = sinx dess c "> 0) kan erhållas från grafen för funktionen y = sin x genom att sträcka den (för K>1 genom att sträcka ut K gånger) längs axeln Oy. Grafen för funktionen y = Ksin (x) (K>0) kan erhållas från grafen för funktionen y = sinx genom att komprimera den (med 01 sträckning) med K gånger) längs Oy-axeln. Grafen för funktionen y = Ksin (x) (K>0) kan erhållas från grafen för funktionen y = sinx den med" title=" Algoritm för att konstruera grafer : Grafen för funktionen y = Ksin (x) (K>0) kan erhållas från grafen för funktionen y = sin x genom att sträcka den (för K> 1 sträckning med K gånger) längs Oy-axeln. av funktionen y = Ksin (x) (K>0) kan erhållas från grafen för funktionen y = sinx den med"> title="Algoritm för att konstruera grafer: Grafen för funktionen y = Ksin (x) (K>0) kan erhållas från grafen för funktionen y = sin x genom att sträcka den (för K>1, sträcka den med en faktor K ) längs Oy-axeln. Grafen för funktionen y = Кsin (x) (К>0) kan erhållas från grafen för funktionen y = sinx den med">!}

1 stretch 0 1 stretch 0 10 10 Kompression och stretching till x-axeln K > 1 stretching 0 1 stretching 0 1 stretching 0 1 stretching 0 1 stretching 0 title="10 Kompression och stretching till x-axeln K > 1 stretching 0

13 Skift längs ordinataaxeln Bygg en graf av funktionen y=sins+3 Bygg en graf av funktionen y=sins-3 + upp - ner y = sinx y = sinx + 3 y = sinx y = sinx Transformation av grafen

Xy1-2 Kontroll: y1 = sinx; y2 = sinx + 2; y 3 = sinx

Rita trigonometriska funktioner i 11:e klass

Matematiklärare i den första kvalifikationskategorin, MAOU "Gymnasium No. 37", Kazan

Spiridonova L.V.

Trigonometriska funktioner för numeriska argument
y=sin(x)+m Och y=cos(x)+m
Rita grafer över funktioner i formuläret y=sin(x+t) Och y=cos(x+t)
Rita grafer över funktioner i formuläret y=A · sin(x) Och y=A · cos(x)
Exempel

Trigonometriska funktioner numeriskt argument.

y=sin(x)

y=cos(x)

Plotta en funktion y = sinx .

Egenskaper för funktionen y = synd ( x ) .

alla reella tal ( R )

2. Förändringsområde (Värdeområde) ,E(y)= [ - 1; 1 ] .

3. Funktion y = synd ( x) udda, eftersom sin(-x ) = - sin x

π .

sin(x+2 π ) = sin(x).

5. Kontinuerlig funktion

Nedåtgående: [ π /2; 3 π /2 ] .

6. Ökande: [ - π /2; π /2 ] .

Plotta en funktion y = cos x .

Graf över funktionen y = för x erhållits genom överföring

graf för funktion y = synd x kvar på π /2.

Egenskaper för funktionen y = co s ( x ) .

1. Definitionsdomänen för en funktion är mängden

alla reella tal ( R )

2. Förändringsområde (Värdeområde), E(y)= [ - 1; 1 ] .

3. Funktion y = cos (X) till och med, därför att cos(- X ) = cos (X)

Funktionen är periodisk, med huvudperiod 2 π .

för( X + 2 π ) = cos (X) .

5. Kontinuerlig funktion

Nedåtgående: [ 0 ; π ] .

6. Ökande: [ π ; 2 π ] .

Konstruktion

grafer formens funktioner

y = synd ( x ) +m

Och

y = cos (X) + m.

0 , eller ned om m " width="640"

Parallell överföring av grafen längs Oy-axeln

Graf över en funktion y=f(x) + m erhålls genom parallell överföring av grafen för funktionen y=f(x) , upp på m enheter om m 0 ,

eller ner om m .

0 y m 1 x" width="640"

Omvandling: y= synd ( x ) +m

Flytta y= synd ( x ) längs axeln y upp om m 0

0 y m 1 x" width="640"

Omvandling: y= cos ( x ) +m

Flytta y= cos ( x ) längs axeln y upp , Om m 0

Omvandling: y=synd ( x ) +m

Flytta y= synd ( x ) längs axeln y ner, Om m 0

Omvandling: y=cos ( x ) +m

Flytta y= cos ( x ) längs axeln y ner om m 0

Konstruktion

grafer formens funktioner

y = synd ( x + t )

Och

y = cos ( X + t )

0 och till höger om t 0." width="640"

Parallell överföring av grafen längs Ox-axeln

Graf över en funktion y = f(x + t) erhålls genom parallell överföring av grafen för funktionen y=f(x) längs axeln X på |t| skala enheter vänster, Om t 0

Och höger , Om t 0.

0 y 1 x t" width="640"

Omvandling: y = sin(x + t)

flytta y= f(x) längs axeln X vänster, Om t 0

0 y 1 x t" width="640"

Omvandling: y= cos(x + t)

flytta y= f(x) längs axeln X vänster, Om t 0

Omvandling: y=sin(x+t)

flytta y= f(x) längs axeln X höger, Om t 0

Omvandling: y= cos(x + t)

flytta y= f(x) längs axeln X höger, Om t 0

1 och 0 a 1" width="640"

Rita grafer över funktioner i formuläret y = A · synd ( x ) Och y = A · cos ( x ) , vid a 1 och 0 A 1

1 och kompression till Ox-axeln med en koefficient på 0 A." width="640"

Kompression och stretching längs Ox-axeln

Graf över en funktion y=A · f(x ) får vi genom att sträcka ut grafen för funktionen y= f(x) med koefficient A längs Ox-axeln, if A 1 Och kompression till Ox-axeln med koefficienten 0 A .

1 låt a=1,5 y 1 x -1" width="640"

Omvandling: y = en synd ( x ), en 1

låt a=1,5

1 låt a=1,5 y 1 x" width="640"

Omvandling: y = a · cos ( x ), en 1

låt a=1,5

Omvandling: y = en synd ( x ) , 0

låt a=0,5

Omvandling: y = a cos ( x ), 0

låt a=0,5



synd (

y=sin(x) → y=sin(x- π )

synd (



synd (

- 1

y=cos(x) → y=cos(2x) → y= - cos(2x) → y= - cos(2x)+3

synd

- 1

y=sin(x) → y=sin(x/3) → y=sin(x/3)-2

- 1

y=sin(x) → y=2sin(x) → y=2sin(x)-1



 

cos

cos x+2

cos x

- 1

y= cos(x) → y=1/2 cos(x) → y=-1/2 cos(x) → y=-1/2 cos(x) +2

- 1

y=cos (x) → y=cos(2x) → y= - cos(2x) →

Sammanfattning av algebralektion och början av analys i 10:e klass

om ämnet: "Transformation av grafer för trigonometriska funktioner"

Syftet med lektionen: att systematisera kunskap om ämnet "Egenskaper och grafer för trigonometriska funktioner y=sin (x), y=cos (x)".

Lektionens mål:

upprepa egenskaperna för trigonometriska funktioner y=sin (x), y=cos (x);
upprepa reduktionsformler;
omvandling av grafer för trigonometriska funktioner;
utveckla uppmärksamhet, minne, logiskt tänkande; intensifiera mental aktivitet, förmågan att analysera, generalisera och resonera;
främja hårt arbete, flit för att uppnå mål, intresse för ämnet.

Lektionsutrustning: IKT

Lektionstyp: lära sig nya saker

Under lektionerna

Före lektionen ritar 2 elever grafer från sina läxor på tavlan.

Organiseringstid:

Hej grabbar!

Idag i lektionen kommer vi att transformera graferna för trigonometriska funktioner y=sin (x), y=cos (x).

Muntligt arbete:

Kollar läxor.

lösa pussel.

Att lära sig nytt material

Alla transformationer av funktionsgrafer är universella - de är lämpliga för alla funktioner, inklusive trigonometriska. Här kommer vi att begränsa oss till en kort påminnelse om de viktigaste transformationerna av grafer.

Transformation av funktionsgrafer.

Funktionen y = f (x) är given. Vi börjar bygga alla grafer från grafen för denna funktion, sedan utför vi åtgärder med den.

Fungera

Vad ska man göra med schemat

y = f(x) + a

Vi höjer alla punkter i den första grafen med en enhet upp.

y = f(x) – a

Vi sänker alla punkter i den första grafen en enhet.

y = f(x + a)

Vi flyttar alla punkter i den första grafen med en enhet åt vänster.

y = f (x – a)

Vi flyttar alla punkter i den första grafen med en enhet åt höger.

y = a*f (x),a>1

Vi fixar nollorna på plats, flyttar de övre punkterna högre en gånger och sänker de nedre lägre med en gång.

Grafen kommer att "sträcka sig" upp och ner, nollorna förblir på plats.

y = a*f(x), a<1

Vi fixar nollorna, de övre punkterna kommer att gå ner flera gånger, de lägre kommer att stiga en gång. Grafen kommer att "krympa" mot x-axeln.

y = -f(x)

Spegla den första grafen runt x-axeln.

y = f (ax), a<1

Fixa en punkt på ordinataaxeln. Varje segment på abskissaxeln ökas med en gång. Grafen kommer att sträcka sig från ordinataaxeln i olika riktningar.

y = f (ax), a >1

Fixera en punkt på ordinataaxeln, reducera varje segment på abskissaxeln med en faktor. Grafen kommer att "krympa" mot y-axeln på båda sidor.

y = | f(x)|

De delar av grafen som ligger under abskissaxeln speglas. Hela grafen kommer att placeras i det övre halvplanet.

Lösningsscheman.

1)y = sin x + 2.

Vi bygger en graf y = sin x. Vi höjer varje punkt i grafen uppåt med 2 enheter (också nollor).

2)y = cos x – 3.

Vi bygger en graf y = cos x. Vi sänker varje punkt i grafen med 3 enheter.

3)y = cos (x - /2)

Vi bygger en graf y = cos x. Vi flyttar alla punkter med p/2 åt höger.

4)y = 2 sinx.

Vi bygger en graf y = sin x. Vi lämnar nollorna på plats, höjer de övre punkterna med 2 gånger och sänker de nedre med samma mängd.

PRAKTISKT ARBETE Rita grafer över trigonometriska funktioner med hjälp av programmet Advanced Grapher.

Låt oss plotta funktionen y = -cos 3x + 2.

Låt oss plotta funktionen y = cos x.
Låt oss reflektera det i förhållande till abskissaxeln.
Denna graf måste komprimeras tre gånger längs x-axeln.
Slutligen måste en sådan graf höjas upp med tre enheter längs y-axeln.

y = 0,5 sin x.

y = 0,2 för x-2

y = 5cos 0 .5 x

y= -3sin(x+π).

2) Hitta felet och åtgärda det.

V. Historiskt material. Ett meddelande om Euler.

Leonhard Euler är 1700-talets största matematiker. Född i Schweiz. Under många år bodde och arbetade han i Ryssland, medlem av St. Petersburgs akademi.

Varför ska vi känna till och komma ihåg namnet på denna vetenskapsman?

I början av 1700-talet var trigonometrin fortfarande inte tillräckligt utvecklad: det fanns inga konventionella notationer, formler skrevs i ord, det var svårt att lära sig dem, frågan om tecknen på trigonometriska funktioner i olika delar av en cirkel var oklar , och argumentet för en trigonometrisk funktion betydde bara vinklar eller bågar. Endast i Eulers verk fick trigonometri sin moderna form. Det var han som började överväga den trigonometriska funktionen hos ett tal, d.v.s. Argument började förstås inte bara som bågar eller grader, utan också som siffror. Euler härledde alla trigonometriska formler från flera grundläggande och effektiviserade frågan om tecknen på den trigonometriska funktionen i olika fjärdedelar av cirkeln. För att beteckna trigonometriska funktioner introducerade han symboliken: sin x, cos x, tan x, ctg x.

Vid tröskeln till 1700-talet dök en ny riktning upp i utvecklingen av trigonometri - analytisk. Om trigonometrins huvudsakliga mål innan detta ansågs vara lösningen av trianglar, ansåg Euler trigonometri som vetenskapen om trigonometriska funktioner. Den första delen: funktionsläran är en del av den allmänna funktionsläran, som studeras i matematisk analys. Del två: att lösa trianglar - kapitlet om geometri. Sådana innovationer gjordes av Euler.

VI. Upprepning

Självständigt arbete "Lägg till formeln."

VII. Lektionssammanfattning:

1) Vad lärde du dig för nytt i klassen idag?

2) Vad mer vill du veta?

3) Betygsättning.

ALGEBRA Lektioner för årskurs 10

ALGEBRA
Lektioner för årskurs 10