Корень энной степени примеры для самостоятельного решения. Корень степени n: основные определения. Замечание по поводу порядка действий

Министерство общего и профессионального образования РО

государственное бюджетное образовательное учреждение

начального профессионального образования Ростовской области

профессиональное училище № 5

Практическая работа

по дисциплине ОДП. 01. "Математика: алгебра и начала

математического анализа; геометрия"

по теме : «Преобразования выражений, содержащих корни, степени и логарифмы ».

для обучающихся I курса

г. Ростов-на-Дону

2017 г.

Раздел № 1. Алгебра.

Тема 1.2. Корни, степени и логарифмы.

Практическое занятие № 1.

Тема: «Преобразования выражений, содержащих корни, степени и логарифмы».

Цель: знать свойства радикалов, степеней и логарифмов; уметь их применять при выполнении преобразований выражений, содержащих корни, степени и логарифмы.

Количество часов : 1 час.

Теоретический материал.

Корни.

Действие, посредством которого отыскивается корень n -ой степени, называется извлечением корня n -ой степени.

Определение. Арифметическим корнем натуральной степени n ≥ 2 из неотрицательного числа а называется неотрицательное число, n -ая степень которого равна а.

Арифметический корень второй степени называется также квадратным корнем, а корень третьей степени - кубическим корнем.

Например.

Вычислить:

Арифметический корень n -ой степени обладает следующими свойствами:

если а ≥ 0, в > 0 и n , m - натуральные числа, причем n ≥ 2, m ≥ 2, то

1. 3.

2. 4.

Примеры применения свойств арифметического корня.

Свойства степени с рациональным показателем.

Для любых рациональных чисел р и к и любых а > 0 и в > 0 верны равенства:

1. ; 2. ;

3. ; 4. ;

5. .

Примеры применения свойств степени:

1). 7*

4). .

Логарифм числа

Определение. Логарифмом положительного числа b по основанию а, где a > 0, a ≠ 1, называется показатель степени, в которую надо возвести число a , чтобы получить b .

a = b - основное логарифмическое тождество.

Свойства логарифмов

Пусть a > 0, a ≠ 1, b >0, с >0, к – любое действительное число. Тогда справедливы формулы:

1 . log ( bc ) = logb + logc , 4. logb = ,

2. log = logb - log c, 5. log а = 1 ,

3. log b = к * logb , 6. log 0 = 1 .

Примеры применения формул:

log2 + log 18 = log( 2 * 18 ) = log 36 = 2;

log 48 - log 4 = log = log 12 = 1;

log 9 = * log 9 = .

Решить самостоятельно .

Задания.

1 вариант

1. Вычислите:

1) ; 4) log ;

2) ; 5) 0,5;

3) ; 6) 3 log 2 - log 64.

2, если х = 7.

3. Сравните числа: log 11 и log 19.

4. Упростите: 1) ; 2) .

5. Вычислите: log log log 3.

_________________________________________________________________

2 вариант

1. Вычислите:

1) ; 4) log 64;

2) ; 5) ;

3) ; 6) 2 log 3 - log 81.

2. Найдите значение выражения: 3, если у = 2.

3. Сравните числа: log и log .

4. Упростите: 1) ; 2) .

5. Вычислите: log log log 2.

__________________________________________________________________

Критерии оценки:

11 правильных заданий - «5»;

9 - 10 правильных заданий - «4»;

7 - 8 правильных заданий - «3».

Башмаков. М. И. Математика: учебник для НПО и СПО. - М. :

Издательский центр «Академия», 2013.

Алимов Ш.А. и др. Алгебра и начала анализа. 10 (11) кл. – М.: 2012.

Алгебра. 9 кл.: Учебник, задачник для общеобразоват. учреждений/

А.Г. Мордкович и др. – М.: Мнемозина, 2009.

Алгебра. 8 кл.: Учебник, задачник для общеобразоват. учреждений/

А.Г. Мордкович и др. – М.: Мнемозина, 2008.

Алгебра. 7 кл.: Учебник, задачник для общеобразоват. учреждений/

А.Г. Мордкович и др. – М.: Мнемозина, 2007.

Форма отчетности: проверка выполнения заданий преподавателем

Чтобы успешно использовать на практике операцию извлечения корня, нужно познакомиться со свойствами этой операции.
Все свойства формулируются и доказываются только для неотрицательных значений переменных, содержащихся под знаками корней.

Теорема 1. Корень n-й степени (n=2, 3, 4,...) из произведения двух неотрицательных чипсел равен произведению корней n-й степени из этих чисел:

Замечание:

1. Теорема 1 остается справедливой и для случая, когда подкоренное выражение представляет собой произведение более чем двух неотрицательных чисел.

Теорема 2. Если , и n - натуральное число, большее 1, то справедливо равенство

Краткая (хотя и неточная) формулировка, которую удобнее использовать на практике: корень из дроби равен дроби от корней.

Теорема 1 позволяет нам перемножать только корни одинаковой степени , т.е. только корни с одинаковым показателем.

Теорема 3.Если , k - натуральное число и n - натуральное число, большее 1, то справедливо равенство

Иными словами, чтобы возвести корень в натуральную степень, достаточно возвести в эту степень подкоренное выражение.
Это - следствие теоремы 1. В самом деле, например, для к = 3 получаем: Точно так же можно рассуждать в случае любого другого натурального значения показателя к.

Теорема 4.Если , k, n - натуральные числа, большее 1, то справедливо равенство

Иными словами, чтобы извлечь корень из корня, достаточно перемножить показатели корней.
Например,

Будьте внимательны! Мы узнали, что над корнями можно осуществлять четыре операции: умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня (из корня). А как же обстоит дело со сложением и вычитанием корней? Никак.
Например, вместо нельзя написать В самом деле, Но ведь очевидно, что

Теорема 5.Если показатели корня и подкоренного выражения умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то значение корня не изменится, т.е.

Примеры решения заданий

Пример 1. Вычислить

Решение. Воспользовавшись первым свойством корней (теорема 1), получим:

Пример 2. Вычислить
Решение. Обратим смешанное число в неправильную дробь.
Имеем Воспользовавшись вторым свойством корней (теорема 2 ), получим:

Пример 3. Вычислить:

Решение. Любая формула в алгебре, как вам хорошо известно, используется не только «слева направо», но и «справа налево». Так, первое свойство корней означает, что можно представить в виде и, наоборот, можно заменить выражением . То же относится и ко второму свойству корней. Учитывая это, выполним вычисления.

Предварительный просмотр:

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 2

ОД.10 Математика

Тема: Преобразование алгебраических, рациональных, иррациональных, степенных выражений.

Вид занятия: Практическое занятие

Цель занятия	учебная	Проверить знания и практические умения студентов по преобразованию алгебраических, рациональных, иррациональных, степенных выражений.
	воспитательная и развивающая	Способствовать овладению необходимыми навыками самостоятельной учебной деятельности; содействовать развитию умений применять полученные знания в типовых условиях
Межпредметные связи	обеспечивающие	Математика (школьный курс)
	обеспечиваемые	Физика, химия, техническая механика, экономика, курсовое и дипломное проектирование

Обеспечение урока:

Использование ИКТ (информационно – коммуникационных технологий)

(мультимедийные презентации, проекционное оборудование, интерактивная доска, персональный компьютер, компьютерное тестирование)

Наглядные пособия и раздаточный материал: методические указания для практической работы №2, плакаты: «Свойства степени», «Свойства корня n-ой степени», «Формулы сокращенного умножения»

Литература: Колмогоров А.Н. и др. Алгебра и начала анализа. 10 (11) кл. – М.: Просвещение, 2012.

Цель работы:

Выполнить действия по преобразованию алгебраических, рациональных, иррациональных, степенных выражений.

КОРНИ НАТУРАЛЬНОЙ СТЕПЕНИ ИЗ ЧИСЛА, ИХ СВОЙСТВА.

Корень n – степени : , n - показатель корня , а – подкоренное выражение

Если n – нечетное число, то выражение имеет смысл при а

Если n – четное число, то выражение имеет смысл при

Арифметический корень:

Корень нечетной степени из отрицательного числа:

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА КОРНЕЙ

1. Правило извлечения корня из произведения:

1. Правило извлечения корня из корня:

1. Правило вынесения множителя из под знака корня:

1. Внесение множителя под знак корня:

1. Показатель корня и показатель подкоренного выражения можно умножить на одно и тоже число.

1. Правило возведения корня в степень.

СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ

A – основание степени, n – показатель степени

Свойства:

1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, а основание остается неизменным.

1. При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитаются, а основание остается неизменным.

1. При возведении степени в степень показатели перемножаются.

1. При возведении в степень произведения двух чисел, каждое число возводят в эту степень, а результаты перемножают.

1. Если в степень возводят частное двух чисел, то в эту степень возводят числитель и знаменатель, а результат делят друг на друга.

СТЕПЕНЬ С ЦЕЛЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ

1. По определению :

Свойства:

1. Пусть r рациональное число , тогда

при r>0 > при r

7 . Для любого рациональных чисел r и s из неравенства > следует

> при a>1 при

Формулы сокращённого умножения.

Пример 1. Упростите выражение .

Решение

Применим свойства степеней (умножение степеней с одинаковым основанием и деление степеней с одинаковым основанием): .

Ответ: 9m 7 .

Пример 2. Сократить дробь:

Решение. Так область определения дроби все числа, кроме х ≠ 1 и х ≠ -2.Вместе с тем .Сократив дробь, получим .Область определения полученной дроби: х ≠ -2, т.е. шире, чем область определения первоначальной дроби. Поэтому дроби и равны при х ≠ 1 и х ≠ -2.

Пример 3. Сократить дробь:

Пример 4. Упростить:

Пример 5 .Упростить:

Пример 6. Упростить:

Пример 7. Упростить:

Пример 8. Упростить:

Пример 9. Вычислить: .

Решение.

Пример 10. Упростить выражение:

Решение.

Пример 11 .Сократить дробь , если

Решение. .

Пример 12. Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби

Решение.В знаменателе имеем иррациональность 2-й степени, поэтому помножим и числитель, и знаменатель дроби на сопряженное выражение, то есть сумму чисел и , тогда в знаменателе будем иметь разность квадратов, которая и ликвидирует иррациональность.

ВАРИАНТ - I 1. Упростите выражение: 5. Упростить: 10. Выполните действие: 8. Сократите дробь 9. Выполните действие

ВАРИАНТ - II 1. Упростите выражение: 2. Найдите значение выражения: 3. Представьте степень с дробным показателем в виде корня 4. Привести указанное выражение к виду 5. Упростить: 6. Замените арифметические корни степенями с дробным показателем 7. Представьте выражение в виде дроби, знаменатель которой не содержит знака корня 10. Выполните действие: 8. Сократите дробь 9. Выполните действие

ВАРИАНТ - III 1. Выполните действие: 2. Найдите значение выражения: 3. Представьте степень с дробным показателем в виде корня 4. Привести указанное выражение к виду , где а -рациональное число, b – натуральное число 5. Упростить: 6. Замените арифметические корни степенями с дробным показателем 7. Представьте выражение в виде дроби, знаменатель которой не содержит знака корня 10. Выполните действие: 8. Сократите дробь 9. Выполните действие

ВАРИАНТ - IV 1. Выполните действие: 2. Найдите значение выражения: 3. Представьте степень с дробным показателем в виде корня 4. Привести указанное выражение к виду , где а- рациональное число, b – натуральное число 5. Упростить: 6. Замените арифметические корни степенями с дробным показателем 7. Представьте выражение в виде дроби, знаменатель которой не содержит знака корня 10. Выполните действие: 8. Сократите дробь 9. Выполните действие 3. Представьте степень с дробным показателем в виде корня 4. Привести указанное выражение к виду , где а- рациональное число, b – натуральное число 5. Упростить: 6. Замените арифметические корни степенями с дробным показателем 7. Представьте выражение в виде дроби, знаменатель которой не содержит знака корня 10. Выполните действие: 8. Сократите дробь 9. Выполните действие

ВАРИАНТ - VI 1. Упростите выражение: 2. Найдите значение выражения: 3. Представьте степень с дробным показателем в виде корня 4. Привести указанное выражение к виду , где -а рациональное число, b – натуральное число 5. Упростить: 6. Замените арифметические корни степенями с дробным показателем 7. Представьте выражение в виде дроби, знаменатель которой не содержит знака корня 10. Выполните действие 8. Сократите дробь 9. Выполните действие

Методические указания для выполнения практического занятия «Преобразование выражений, содержащих корни натуральной степени из числа», по дисциплине: Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия, созданы в помощь студентам, для успешной работы на занятие и подготовки к данному практическому занятию.

Скачать:

Предварительный просмотр:

комитет образования и науки Волгоградской области

государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение

«Волжский политехнический техникум»

ДЛЯ СТУДЕНТОВ

ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКОГО ЗАНЯТИЯ

«Преобразование выражений, содержащих корни натуральной степени из числа»

Учебная дисциплина: Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия.

Специальности: 23.02.03, 13.02.11, 15.02.07

Курс: 1

2016-2017 г.

Введение

Методические указания для выполнения практического занятия «Преобразование выражений, содержащих корни натуральной степени из числа», по дисциплине: Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия, созданы в помощь студентам, для успешной работы на занятие и подготовки к данному практическому занятию.

Приступая к выполнению практического задания, студенты должны внимательно прочитать цели занятия, ознакомиться с общими сведения и примерами выполнения заданий, с критериями оценивания работы, ответить на контрольные вопросы для закрепления теоретического материала.

Наличие положительной оценки по практическому занятию необходимо для получения допуска к экзамену, поэтому в случае отсутствия на уроке по любой причине или получения неудовлетворительной оценки за практическое занятие, студенты должны найти время для его выполнения или пересдачи.

Если в процессе подготовки к практическому занятию или при решении задач у студентов возникают вопросы, разрешить которые самостоятельно не удается, необходимо обратиться к преподавателю для получения разъяснений или указаний в дни проведения дополнительных занятий.

Время проведения дополнительных занятий можно узнать у преподавателя или посмотреть на двери 122 кабинета.

Практическое занятие 3

Преобразование выражений, содержащих корни натуральной степени из числа.

Цели :

знать:

понятие корня n-степени из числа;

свойства корней натуральной степени;

уметь:

преобразовывать выражения, содержащие корни натуральной степени;

Продолжительность занятия: 2 часа

Общие сведения и примеры выполнения заданий:

При выполнении заданий по данной теме нужно помнить:

1. Определение корня:

2. Свойства корней:

Где m, n – натуральные числа.

3. Формулы сокращённого умножения:

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 ;

(a – b) 2 = a 2 – 2ab + b 2 ;

a 2 – b 2 = (a + b) ∙ (a – b);

Рассмотрим примеры выполнения заданий.

1. Расположите в порядке возрастания числа .

Решение.

Поскольку , то в порядке возрастания числа будут расположены так: и

Найдите значение выражения:

Пример 1.

Пример 2.

Пример 3.

Пример 4.

2. Найдите значение выражения:

3. Найдите значение выражения:

Критерии оценивания работы:

На «3»:

Найдите значение выражения.

На «4»:

2) Найдите значение выражения, при данных значениях ;

Упростить.

На «5»:

3) Найдите значение выражения.

Контрольные вопросы:

1. Перечислите основные свойства корней.

2. Формулы сокращенного умножения.

Задания для самостоятельной подготовки к практическому занятию:

Задание 1

Расположите в порядке возрастания числа;

Найдите значение выражения;

1вариант
2вариант