Рассмотренные выше приемы расчета характеристик выборочной совокупности (дисперсии, средней и предельной ошибок и т.д.) предусматривают достаточно большую численность выборки (п > 30). В то же время не всегда возможен и целесообразен большой объем выборки. В практике производственных наблюдений и в научно-исследовательской работе часто приходится пользоваться небольшими по объему выборками, численность которых не превышает 30 единиц (агрономические и зоотехнические опыты, проверка качества продукции, связанная с уничтожением образцов и др). В статистике они получили название малых выборок. Согласно выборки с численностью более 30 единиц называют большими выборками.
Небольшой объем выборки уменьшает ее точность по сравнению с большой выборкой. Однако доказано, что результаты, полученные с малыми выборками, также можно распространять на генеральную совокупность. Но здесь необходимо учитывать некоторые особенности, в частности, при расчете среднего квадратического отклонения. При малом объеме выборки следует пользоваться незміщеною оценкой дисперсии 52.
Основы теории малых выборок разработал английский математик-статистик В.Госсет (псевдоним Стьюдент). Исследования Стьюдента показали, что при небольшой численности совокупности среднее квадратическое отклонение в выборке значительно отличается от среднего квадратического отклонения в генеральной совокупности.
Поскольку среднее квадратическое отклонение генеральной совокупности является одним из параметров кривой нормального распределения, то использовать функцию нормального распределения для оценки параметров генеральной совокупности по данным малых выборок в силу получения больших ошибок неправомерно.
При расчете средней ошибки по выборках малой численности всегда надо пользоваться незміщеною оценкой дисперсии
где п - 1 - число степеней свободы вариации (к), под которым понимают число единиц, способных принимать произвольные значения, не меняя их общей характеристики (средней).
Например, проведено три наблюдения: х1 = 4; х2 = 2; х3 = 6. Средняя величина
Итак, свободно варьирующих величин остается только две, потому что третья может быть найдена по известным двумя величинами и средней:
Следовательно, для данного примера число степеней свободы вариации равен 2 (к = п - 1 = 3 - 1 = 2).
Стьюдент обосновал закон распределения отклонений выборочных средних от генеральной средней для малых выборок. Согласно распределения Стьюдента вероятность того, что предельная ошибка не превысит и-кратную среднюю ошибку в малых выборках зависит от величины и численности выборки.
Теоретическое нормированное отклонение для малых выборок получило название и-критерия в отличие от и-критерию нормального распределения, который применяется в больших выборках. Значение и-критерия Стьюдента приводятся в специальных таблицах (прил. 3).
Рассмотрим порядок определения средней и предельной ошибки для малой выборки на таком примере. Допустим, для определения величины потерь при уборке картофеля проведено перекопку пяти случайно отобранных площадок по 4 м2. Потери по площадкам составляли (кг); 0,6; 0,2; 0,8; 0,4; 0,5.
Средняя величина потерь
Судя по отдельным наблюдениям, величина потерь сильно варьирует и средняя только по пяти наблюдениях может иметь большую ошибку.
Для расчета ошибок выборки определим несмещенную оценку дисперсии
Рассчитаем среднюю ошибку выборочной средней, где вместо среднего квадратического отклонения используется его незміщена оценка:
По таблицам Стьюдента (прил. 3) установим, что при доверительной вероятности Г = 0,95 (уровень значимости а = 0,05) и при к = п - 1 = 5 - 1 = 4 степенях свободы вариации и = 2,78. Тогда предельная ошибка выборки равна
Итак, с вероятностью Р = 0,95 можно утверждать, что величина потерь на всем поле составит 0,5 ± 0,28 кг, или от 0,22 до 0,78 кг из расчета на 4 м2.
Как видим из примера, пределы случайных колебаний при малых выборках достаточно велики и могут быть сокращены за счет увеличения численности выборки и уменьшения колебания (дисперсии) признаки.
Если бы мы использовали для расчета доверительных границ генеральной средней таблицу интеграла вероятностей (прил. 2), то и было бы равным 1,96 и єх = іИзі = 1,96 o 0,10 = 0,20 кг, т.е. доверительный интервал был бы более узким (от 0,30 до 0,70 кг).
Малые выборки в силу своей небольшой численности даже при самой тщательной организации наблюдения не отражают достаточно точно показатели генеральной совокупности. Поэтому результаты малых выборок редко используются для установления надежных границ, в которых находятся характеристики генеральной совокупности.
Критерий Стьюдента применяется главным образом для проверки статистических гипотез о существенности различий между показателями двух или нескольких малых выборок (см. раздел 7).
Помимо собственно случайной выборки с ее четким вероятностным обоснованием существуют и другие выборки, которые не являются абсолютно случайными, однако широко применяются. Следует заметить, что строгое применение собственно случайного отбора единиц из генеральной совокупности далеко не всегда возможно на практике. К таким выборкам относятся механическая выборка, типическая, серийная (или гнездовая), многофазовая и ряд других.
Редко бывает, чтобы генеральная совокупность была однородной, это скорее исключение, нежели правило. Поэтому при наличии в составе генеральной совокупности различных типов явления часто желательно обеспечить более равномерное представительство в выборочной совокупности различных типов. Эта цель успешно достигается при применении типической выборки. Главная трудность заключается в том, что мы должны иметь дополнительную информацию о всей генеральной совокупности, что в ряде случаев является затруднительным.
Типическую выборку называют еще расслоенной или стратифицированной выборкой; ее применяют также в целях более равномерного представления в выборке различных районов, и в этом случае выборку называют районированной.
Итак, под типической выборкой понимается такая выборка, при которой генеральная совокупность разделена на типические подгруппы, сформированные по одному или нескольким существенным признакам (например, население разделено на 3-4 подгруппы по величине среднедушевого дохода или по уровню образования - начальное, среднее, высшее и т.п.). Далее из всех типических групп можно вести отбор единиц в выборку несколькими способами, формируя:
а) типическую выборку с равномерным размещением, где из разных типов (слоев) отбирается равное число единиц. Эта схема работает хорошо, если в генеральной совокупности слои (типы) не очень сильно отличаются друг от друга по числу единиц;
б) типическую выборку с пропорциональным размещением, когда требуется (в отличие от равномерного размещения), чтобы доля (%) отбора для всех слоев была бы одинаковой (например, 5 или 10%);
в) типическую выборку с оптимальным размещением, когда учитывается степень вариации признаков в различных группах генеральной совокупности. При таком размещении пропорция отбора для групп с большой колеблемостью признака увеличивается, что в итоге приводит к уменьшению случайной ошибки.
Формула средней ошибки при типическом отборе похожа на обычную ошибку выборки для собственно случайной выборки с той лишь разницей, что вместо общей дисперсии проставляется средняя из частных внутригрупповых дисперсий, что, естественно, приводит к уменьшению погрешности по сравнению с собственно случайной выборкой. Однако ее применение не всегда возможно (по многим причинам). Если нет необходимости в большой точности, легче и дешевле использовать серийную выборку.
Серийная (гнездовая) выборка состоит в том, что в выборку отбираются не единицы совокупности (например, студенты), а отдельные серии или гнезда (например, учебные группы). Говоря иначе, при серийном (гнездовом) отборе единица наблюдения и единица отбора не совпадают: отбираются некоторые группы примыкающих друг к другу единиц (гнезда), а обследованию подлежат входящие в состав этих гнезд единицы. Так, например, при выборочном обследовании жилищных условий мы можем в случайном порядке выбрать некоторое число домовладений (единица отбора) и выяснить далее жилищные условия проживающих в этих домах семей (единицы наблюдения).
Серии (гнезда) состоят из единиц, связанных между собой территориально (районы, города и т.д.), организационно (предприятия, цеха и т.д.), или во времени (например, совокупность единиц выработанной за данный отрезок времени продукции).
Серийный отбор может быть организован в форме одноступенчатого, двухступенчатого или многоступенчатого отбора.
Случайно отобранные серии подвергаются сплошному исследованию. Таким образом, серийная выборка состоит из двух этапов случайного отбора серий и сплошного изучения этих серий. Серийный отбор дает значительную экономию в силах и средствах и поэтому часто используется на практике. Ошибка серийного отбора отличается от ошибки собственно случайного отбора тем, что вместо значения общей дисперсии используется межсерийная (межгрупповая) дисперсия, а вместо объема выборки - количество серий. Точность обычно не очень велика, но в ряде случаев это допустимо. Серийная выборка может быть повторной и бесповторной, а серии - равновеликими и неравновеликими.
Серийная выборка может быть организована по разным схемам. Например, можно сформировать выборочную совокупность в два этапа: сначала в случайном порядке выбираются подлежащие обследованию серии, затем из каждой отобранной серии также в случайном порядке отбирается определенное количество единиц, подлежащих непосредственному наблюдению (измерению, взвешиванию и пр.). Ошибка такой выборки будет зависеть от ошибки серийного отбора и от ошибки индивидуального отбора, т.е. многоступенчатый отбор дает, как правило, менее точные результаты по сравнению с одноступенчатым, что объясняется возникновением ошибок репрезентативности на каждой ступени выборки. В этом случае требуется использовать формулу ошибки выборки для комбинированного отбора.
Другой формой отбора является многофазовый отбор (1, 2, 3 фазы или этапа). Этот отбор по своей структуре отличается от многоступенчатого, так как при многофазном отборе пользуются на каждой фазе одними и теми же единицами отбора. Ошибки при многофазном отборе рассчитывают на каждой фазе отдельно. Главная особенность двухфазовой выборки состоит в том, что выборки отличаются друг от друга по трем критериям в зависимости: 1) от доли единиц, изученных на первой фазе выборки и вновь включенных во вторую и последующие фазы; 2) от соблюдения равенства шансов каждой единицы выборки первой фазы вновь быть объектом изучения; 3) от величины интервала, отделяющего фазы друг от друга.
Остановимся еще на одном виде отбора, а именно механическом (или систематическом). Этот отбор является, вероятно, самым распространенным. Это объясняется, видимо, тем, что из всех приемов выбора данный прием является простейшим. В частности, он значительно проще, чем случайный отбор, предполагающий умение пользоваться таблицами случайных чисел, и не требует дополнительных сведений о генеральной совокупности и ее структуре. К тому же механический отбор тесно переплетается с пропорциональным стратифицированным отбором, что приводит к снижению ошибки выборки.
Например, применение механического отбора членов жилищного кооператива из списка, составленного в порядке поступления в данный кооператив, обеспечит пропорциональное представительство членов кооператива с разным стажем. Использование этого же приема для отбора респондентов из списка лиц, составленного по алфавиту, обеспечивает равные шансы для фамилий, начинающихся на разные буквы, и т.п. Использование табельных или иных списков на предприятиях или в учебных заведениях и др. может обеспечить необходимую пропорциональность в представительстве работников с разным стажем. Заметим, что механический отбор широко применяется в социологии, при изучении общественного мнения и др.
В целях снижения величины ошибки и особенно расходов на проведение выборочного исследования широко используются разные комбинации отдельных видов отбора (механического, серийного, индивидуального, многофазного и т.п.) В таких случаях следует рассчитывать более сложные ошибки выборок, которые состоят из ошибок, имеющих место на разных этапах исследования.
Малая выборка - это совокупность единиц меньше 30. Малые выборки встречаются на практике довольно часто. Например, число заболеваний редкими болезнями или число единиц, обладающих редким признаком; кроме того, к малой выборке прибегают, когда исследование стоит дорого или исследование связано с уничтожением продукции или образцов. Широкое применение малые выборки получили в сфере обследования качества продукции. Теоретические основы для определения ошибок малой выборки были заложены английским ученым У. Госсетом (псевдоним Стьюдент).
Необходимо помнить, что при определении ошибки для малой выборки следует вместо численности выборки брать величину (n – 1) или же до определения средней ошибки выборки рассчитывать так называемую исправленную дисперсию выборки (в знаменателе вместо n следует ставить (n – 1)). Отметим, что такая поправка делается только один раз - при расчете выборочной дисперсии или при определении ошибки. Величина (n – 1) носит название степени свободы. Кроме того, нормальное распределение заменяется t -распределением (распределением Стьюдента), которое табулировано и зависит от количества степеней свободы. Единственным параметром распределения Стьюдента является величина (n – 1). Еще раз подчеркнем, что поправка (n – 1) важна и существенна лишь при малых по численности выборочных совокупностях; при n > 30 и выше различие сходит на нет, приближаясь к нулю.
До сих пор шла речь о случайных выборках, т.е. таких, когда выбор единиц из генеральной совокупности производится случайно (или почти случайно) и все единицы имеют равную (или почти равную) вероятность попасть в выборку. Однако отбор единиц может быть основан на принципе неслучайного отбора, когда во главу угла ставится принцип доступности и целенаправленности. В таких случаях нельзя говорить о репрезентативности полученной выборки, а исчисление ошибок репрезентативности можно производить, лишь имея сведения о генеральной совокупности.
Известны несколько схем формирования неслучайной выборки, которые получили значительное распространение и используются главным образом в социологических исследованиях: отбор доступных единиц наблюдения, отбор по нюрнбергскому методу, целевая выборка при определении экспертов и др. Важное значение имеет также квотная выборка, которая формируется исследователем по небольшому количеству существенных параметров и дает очень близкое совпадение с генеральной совокупностью. Говоря иначе, квотный отбор должен обеспечить исследователю почти полное совпадение выборочной и генеральной совокупностей по избранным им параметрам. Целенаправленное достижение близости двух совокупностей по ограниченному кругу показателей достигается, как правило, с помощью выборки существенно меньшего объема, чем при использовании случайного отбора. Именно это обстоятельство делает квотный отбор привлекательным для исследователя, не имеющего возможности ориентироваться на самовзвешивающуюся случайную выборку большого объема. Следует добавить, что сокращение объема выборки чаще всего сочетается с уменьшением денежных затрат и сроков проведения исследования, что увеличивает преимущества указанного способа отбора. Отметим также, что при квотной выборке имеется довольно значительная предварительная информация о структуре генеральной совокупности. Главное преимущество здесь состоит в том, что объем выборки существенно меньше, чем при случайной выборке. Выделенные признаки (чаще всего социально-демографические - пол, возраст, образование) должны тесно коррелировать с изучаемыми характеристиками генеральной совокупности, т.е. объекта исследования.
Как уже указывалось, выборочный метод дает возможность получить сведения о генеральной совокупности с гораздо меньшими затратами средств, времени и усилий, чем при сплошном наблюдении. Понятно также, что сплошное изучение всей генеральной совокупности в ряде случаев невозможно, например при проверке качества продукции, образцы которой уничтожаются.
Вместе с этим, однако, следует указать, что генеральная совокупность не является полностью «черным ящиком» и кое-какими сведениями о ней мы все же располагаем. Проводя, например, выборочное исследование, касающееся жизни, быта, имущественного положения, доходов и расходов студентов, их мнений, интересов и т.п., мы все же располагаем сведениями об общей их численности, группировке по полу, возрасту, семейному положению, местожительству, курсе обучения и другими характеристиками. Эти сведения всегда используются в выборочном исследовании.
Существует несколько разновидностей распространения выборочных характеристик на генеральную совокупность: способ прямого пересчета и способ поправочных коэффициентов. Пересчет выборочных характеристик производится, как правило, с учетом доверительных интервалов и может быть выражен в абсолютных и относительных величинах.
Здесь вполне уместно подчеркнуть, что бóльшая часть статистической информации, касающейся экономической жизни общества в самых разных ее проявлениях и видах, основана на выборочных данных. Конечно, они дополняются и данными сплошного учета, и сведениями, полученными в результате переписей (населения, предприятий и пр.). Так, например, все сведения бюджетной статистики (о доходах и расходах населения), приводимые Росстатом, основаны на данных выборочного исследования. Сведения о ценах, размерах производства, объемах торговли, выраженные в соответствующих индексах, также в значительной мере основаны на выборочных данных.
Статистические гипотезы и статистические критерии. Основные понятия
Понятия статистического критерия и статистической гипотезы тесно связаны с выборкой. Статистическая гипотеза (в отличие от других научных гипотез) состоит в предположении о некоторых свойствах генеральной совокупности, которые можно проверить, опираясь на данные случайной выборки. При этом следует помнить, что полученный результат имеет вероятностный характер. Следовательно, итог исследования, подтверждающий справедливость выдвинутой гипотезы, почти никогда не может служить основанием для ее окончательного принятия, и наоборот, результат, несовместный с ней, вполне достаточен для отклонения выдвинутой гипотезы как ошибочной или ложной. Это так, потому что полученный результат может быть совместным и с другими гипотезами, а не только с выдвинутой.
Под статистическим критерием понимается свод правил, которые позволяют ответить на вопрос, при каких результатах наблюдения гипотеза отклоняется, а при каких нет. Другими словами, статистический критерий - это некое решающее правило, обеспечивающее принятие истинной (верной) гипотезы и отклонение ложной гипотезы с большой степенью вероятности. Статистические критерии бывают односторонними и двусторонними, параметрическими и непараметрическими, более или менее мощными. Некоторые критерии применяются часто, другие используются реже. Часть критериев предназначена для решения специальных вопросов, а некоторые критерии могут использоваться при решении широкого класса задач. Эти критерии получили повсеместное распространение в социологии, экономике, психологии, естественных науках и т.д.
Введем некоторые основные понятия статистической проверки гипотез. Проверка гипотезы начинается с выдвижения нулевой гипотезы Н 0 , т.е. некоторого предположения исследователя, а также конкурирующей, альтернативной гипотезы Н 1 , которая противоречит основной. Например: Н 0: , Н 1: или Н 0: , Н 1: (где а - генеральная средняя).
Основная цель исследователя при проверке гипотезы заключается в том, чтобы отвергнуть выдвигаемую им гипотезу. Как писал Р. Фишер, цель проверки любой гипотезы - ее отклонить. Проверка гипотезы строится от противного. Следовательно, если мы считаем, что, например, средняя заработная плата рабочих, полученная по данным конкретной выборки и равная 186 денежным единицам в месяц, не совпадает с действительным размером заработной платы по всей генеральной совокупности, то в качестве нулевой гипотезы принимается, что эти зарплаты равны.
Конкурирующая гипотеза Н 1 может быть сформулирована по-разному:
Н 1: , Н 1: , Н 1: .
Далее определяется ошибка I рода (a), которая устанавливает вероятность того, что верная гипотеза будет отклонена. Очевидно, что такая вероятность должна быть небольшой (обычно от 0,01 до 0,1, чаще всего по умолчанию 0,05, или так называемый 5%-ный уровень значимости). Эти уровни вытекают из метода выборочного наблюдения, согласно которому двукратная или трехкратная ошибка представляет собой те пределы, за которые чаще всего не выходит случайная вариация выборочных характеристик. Ошибка II рода (b) - это вероятность того, что будет принята неверная гипотеза. Как правило, более «опасна» ошибка I рода; именно она фиксируется статистиком. Если в начале исследования мы хотим фиксировать a и b одновременно (например, a = 0,05; b = 0,1), то для этого необходимо сначала рассчитать объем выборки.
Критическая зона (или область) - это совокупность значений критерия, при которых Н 0 отклоняется. Критической точкой Т кр называется точка, отделяющая область принятия гипотезы от области отклонения, или критической зоны.
Как уже упоминалось, ошибка I рода (a) - это вероятность отклонения верной гипотезы. Чем меньше a, тем меньше вероятность совершить ошибку I рода. Но вместе с тем при уменьшении a (например, с 0,05 до 0,01) труднее отклонить нулевую гипотезу, что, собственно говоря, и ставит перед собой исследователь. Подчеркнем еще раз, что дальнейшее снижение a до 0,05 и далее фактически приведет к тому, что все гипотезы, верные и ложные, попадут в область принятия нулевой гипотезы, и сделает невозможным провести их различие.
Ошибка II рода (b) возникает в тех случаях, когда принимается Н 0 , но на самом деле верна альтернативная ей гипотеза Н 1 . Величина g = 1 – b называется мощностью критерия. Ошибка II рода (т.е. ошибочное принятие ложной гипотезы) уменьшается с возрастанием объема выборки и увеличением уровня значимости. Из этого следует, что нельзя одновременно уменьшить a и b. Это достигается лишь при увеличении объема выборки (что не всегда возможно).
Чаще всего задачи проверки гипотезы сводятся к сравнению двух выборочных средних или долей; к сопоставлению генеральной средней (или доли) с выборочной; сравнению эмпирического и теоретического распределений (критерии согласия); сравнению двух выборочных дисперсий (c 2 -критерий); сравнению двух выборочных коэффициентов корреляции или коэффициентов регрессии и некоторым другим сравнениям.
Решение о принятии или отклонении нулевой гипотезы заключается в сопоставлении фактического значения критерия с табличным (теоретическим). Если фактическое значение меньше табличного, то делается вывод, что расхождение носит случайный, несущественный характер и нулевую гипотезу отклонить нельзя. Обратная ситуация (фактическое значение больше табличного) ведет к отклонению нулевой гипотезы.
При проверке статистических гипотез чаще всего используются таблицы нормального распределения, распределения c 2 (читается: хи-квадрат), t -распределения (распределения Стьюдента) и F -распределения (распределения Фишера).
Метод малых выборок имеет ряд преимуществ перед методом больших выборок. Основными преимуществами его являются, во-первых, уменьшение объема вычислительных работ, во-вторых, возможность следить за динамикой изменения точности процесса во времени, чего нельзя сделать с помощью метода больших выборок. Метод больших выборок может дать представление лишь о точности и устойчивости процесса в период взятия выборки, которые могут сохраниться и в дальнейшем, если после взятия выборки условия протекания процесса не изменяются. В действительности такой неизменности производственных условий заранее предвидеть нельзя. Например, при работе на прутковом автомате в течение смены производится несколько раз замена материала (смена прутка), смена инструмента в связи с износом, поднастройка станка и т.д., которые могут вносить значительные коррективы в полученные ранее параметры распределения. Метод малых выборок, если последние берут в течение всей смены регулярно через определенные промежутки времени, позволяет получить полную картину состояния процесса в течение исследуемого периода, выяснить степень его устойчивости, а также выявить причины недостаточной устойчивости процесса во времени, если она есть.
Статистический анализ малыми выборками производится следующим образом. Выборки объемом n = 5-10 шт. берутся через определенные фиксированные промежутки времени (например, через 15-30 мин). Период времени для отбора проб устанавливается опытным путем и зависит от производительности станка, объема выборки и степени устойчивости технологического процесса. Для каждой выборки нужно вычислить и S . Далее необходимо для каждых двух смежных выборок проверить гипотезу однородности дисперсий выборок при помощи F - критерия Фишера.
Если гипотеза подтверждается, то это свидетельствует о стабильности рассеивания или о том, что сравниваемые выборки взяты из одной и той же генеральной совокупности. При подтверждении гипотезы однородности дисперсий двух выборок следует проверить гипотезу однородности двух выборочных средних по t -критерию Стьюдента.
Подтверждение гипотезы равенства двух смежных выборочных средних означает, что центр настройки оборудования не изменится в момент взятия данной выборки и остался таким, каким был при взятии предыдущей выборки, т.е. процесс находится в стабильном состоянии. Когда гипотеза равенства двух средних выборок не подтверждается, это свидетельствует о смещении центра настройки станка во время взятия данной выборки. Так как выборки берутся через определенные промежутки времени, то при обнаружении смещения центра настройки или изменения зоны рассеивания можно определить период времени, через который наступило нарушение стабильности процесса.
Обнаружив факт нарушения стабильности процесса, можно установить и область, в которой следует искать причину этого явления. Неоднородность выборочных дисперсий, свидетельствующая о нестабильности рассеивания, указывает на то, что причину этого следует искать в станке или в механических свойствах обрабатываемого материала. Неоднородность выборочных средних говорит о смещении центра настройки (причину искать в инструменте).
Таким образом, беря в течение смены через определенные интервалы времени малые выборки из текущей продукции станка, вычислены средние и дисперсии выборок путем сравнения и оценки их расхождения при помощи F и t- критериев, можно установить моменты разладок процесса и даже источники этих разладок.
А.М. Носовский1*, А.Э. Пихлак2, В.А. Логачев2, И.И. Чурсинова3, Н.А. Мутьева2 СТАТИСТИКА МАЛЫХ ВЫБОРОК В МЕДИЦИНСКИХ ИССЛЕДОВАНИЯХ
"Государственный научный центр Российской Федерации - Институт медико-биологических проблем Российской академии наук, 123007, Москва, Россия; 2ГБОУ ВПО «Московский государственный медико-стоматологический университет имени А.И.Евдокимова» Минздрава России, 127473, Москва, Россия; 3АНО «Артрологическая больница НПО СКАЛ», 109044, Москва, Россия
*Носовский Андрей Максимович, E-mail: [email protected]
♦ Экспериментально найдены характеристики статистических критериев. В результате вычисляли значение статистик W. Ансари-Бредли (Ansari-Bradly) и К. Клотца (Klotz). Для каждой исходной статистики вычисляется нормальная аппроксимация (Z-статистика) и уровень значимости p нулевой гипотезы об отсутствии различий в разбросе значений двух выборок. Если p>
Предлагаемые методы математической статистики позволяют подтверждать достоверность различий полученных результатов даже в небольших группах наблюдений, если различия достаточно значимы. Иллюстрацией служили клинические примеры пациентов с костно-суставной патологией. Ключевые слова: малая выборка, мощность критерия, коксартроз, подагрический полиартрит
A.M. Nosovskiy1, A.E.Pikhlak2, V.A. Logachev2, I.I. Chursinova3, N.AMuteva2 SMALL-DATA STATISTICS ANALYSIS IN MEDICAL STUDIES
1The state research center-institute of medical biological problems of the Russia academy of medical sciences, 123007 Moscow, Russia; 2Moscow State University of Medicine and Dentistry named after A.I. Evdokimov, 127473 Moscow, Russia; 3Arthrology hospital of scientific and practical association SKAL, 109044 Moscow, Russia
♦ The experimentally was found characteristics of statistical criteria. As a result, calculated the value of the statistics by W. An-sari-Bradly and K. Klotz. For each source of statistics calculated normal approximation (Z-statistics) and the significance level of p of the null hypothesis of no difference in the spread of the values of the two samples. Atp>0.05 the null hypothesis can be accepted. Suggested methods of mathematical statistics can be confirming the accuracy of the differences of the results, even in small groups of observations, if the differences are significant enough.
We used medical cases of patients with joint and bone pathology.
Key words: small data analysis, power of criteria, coxarthrosis, gouty arthritis
Принципы доказательной медицины предъявляют высокие требования к достоверности сравнительной оценки полученных результатов исследований. Это становится тем более важным, что большинство врачей имеет весьма поверхностное представление о методиках статистической обработки, ограничиваясь в своих публикациях помимо вычисления процентов, в лучшем случае /-критерием Стьюдента.
Однако для проведения полноценного анализа результатов исследования в ряде случаев этого бывает недостаточно. Не вызывает обычно сомнений достоверность выявленных закономерностей, когда число наблюдений составляет несколько тысяч или даже сотен. А если это - несколько десятков? А если мы имеем лишь несколько случаев? Ведь в медицине встречаются достаточно редкие заболевания, хирурги порой выполняют уникальные операции, когда количество наблюдений совсем невелико. Где та грань, тот необходимый и достаточный объем исследований, позволяющий утверждать о несомненном наличии той или иной закономерности?
Этот вопрос имеет важнейшее значение не только при оценке уже проведенных исследований, но и при планировании научной работы. Достаточно ли провести наблюдение за 20 пациентами или необходимо минимум 40? А может быть, хватит и 10 случаев? От своевременного и правильного ответа на этот вопрос зависит не только достоверность сделанных выводов, но и сроки проведения исследований, их стоимость, потребность в кадрах, оснащении и т.д.
Современная статистика знает довольно много приемов, с помощью которых можно определять достоверность результатов даже при небольшом числе наблюдений. Это - методы «малой выборки». Принято считать, что начало статистике малых выборок было положено в первом десятилетии XX века публикацией работы У Гос -
сета, где он под псевдонимом «Стьюдент» (студент) постулировал так называемое /-распределение. В отличие от теории нормального распределения, теория ^распределения для малых выборок не требует априорного знания или точных оценок математического ожидания и дисперсии генеральной совокупности, а также не требует допущений относительно параметров. В /-распределении одно из отклонений от выборочного среднего всегда фиксировано, так как сумма всех таких отклонений должна равняться нулю. Это сказывается на сумме квадратов при вычислении выборочной дисперсии как несмещённой оценки дисперсии генеральной совокупности и ведёт к тому, что число степеней свободы df получается равным числу измерений минус единица для каждой выборки. Отсюда, в формулах и процедурах вычисления /-статистики для проверки нулевой гипотезы df=w-1. Известны также классические работы крупнейшего английского статистика Р.А. Фишера (в честь которого получило свое название ^-распределение) по дисперсионному анализу - статистическому методу, явно ориентированному на анализ малых выборок. Из многочисленных статистик, которые можно обоснованно применять к малым выборкам, можно упомянуть: критерий точной вероятности Фишера; двухфак-торный непараметрический (ранговый) дисперсионный анализ Фридмана; коэффициент ранговой корреляции / Кендалла; коэффициент конкордации Кендалла; Я-критерий Краскела-Уоллеса для непараметрического (рангового) однофакторного дисперсионного анализа; ^/-критерий Манна-Уитни; медианный критерий; критерий знаков; коэффициент ранговой корреляции г Спирме-на; /-критерий Уилкоксона.
Определённого ответа на вопрос, какой объем должна иметь выборка, чтобы её можно было считать малой, не существует. Однако условной границей между малой и большой выборкой принято считать df=30. Основанием
для этого в какой-то мере произвольного решения служит результат сравнения /-распределения (для малых выборок) с нормальным распределением (г). Расхождение значений / и г имеет тенденцию возрастать с уменьшением и снижаться с увеличением Фактически, 1 начинает тесно приближаться к ъ задолго до предельного случая, когда /=г. Простое визуальное изучение табличных значений / позволяет увидеть, что это приближение становиться довольно быстрым, начиная с ^=30 и выше. Сравнительные величины / (при ^=30) и г равны соответственно: 2,04 и 1,96 для р=0,05; 2,75 и 2,58 для р=0,01; 3,65 и 3,29 для р=0,001.
В математической статистике употребляют коэффициент доверия /, значения функции табулированы при разных его значениях, при этом получают соответствующие уровни доверительной вероятности (табл. 1) .
Коэффициент доверия позволяет вычислить предельную ошибку выборки АХ, вычисляемую по формуле АХср=1цср, т.е. предельная ошибка выборки равна /-кратному числу средних ошибок выборки .
Таким образом, величина предельной ошибки выборки может быть установлена с определённой вероятностью. Как видно из последней графы таблицы 1, вероятность появления ошибки равной или большей утроенной средней ошибки выборки, т. е. АХс =3цс крайне мала и равна 0,003 (1-0,997). Такие маловероятные события считаются практически невозможными, а потому величину АХ =3цс можно принять за предел возможной ошибки выбо рки р3].
Интервал, в который с данной степенью вероятности будет заключена неизвестная величина оцениваемого параметра, называют доверительным, а вероятность Р - доверительной вероятностью . Чаще всего доверительную вероятность принимают равной 0,95 или 0,99, тогда коэффициент доверия 1 равен соответственно 1,96 и 2,58.
Это означает, что доверительный интервал с заданной вероятностью заключает в себе генеральную среднюю.
Чем больше величина предельной ошибки выборки, тем больше величина доверительного интервала и тем, следовательно, ниже точность оценки .
Применение данного подхода может быть проиллюстрировано наблюдением за 20 пациентами с коксартрозом, находившихся на лечении в Артрологической больнице НПО «СКАЛ» (Научно-производственное объединение «Специализированное курсовое амбулаторное лечение») г. Москвы.
При проверке статистической гипотезы возможны ошибки. Есть два рода ошибок. Ошибка первого рода заключается в том, что отвергают нулевую гипотезу, в то время как в действительности эта гипотеза верна. Ошибка второго рода состоит в том, что принимают нулевую гипотезу, в то время как в действительности эта гипотеза неверна.
Вероятность ошибки первого рода называется уровнем значимости и обозначается а. Таким образом, а=Р{Ш¥ | Н0}, т.е. уровень значимости а - это вероятность события {Це¥}, вычисленная в предположении, что верна нулевая гипотеза Н0.
Уровень значимости и мощности критерия объединяются в понятии функции мощности критерия - функции, определяющей вероятность того, что нулевая гипотеза будет отвергнута. Функция мощности зависит от критической области ¥ и действительного распределения результатов наблюдений. В параметрической
Таблица 1
Коэффициент доверия t и соответствующие уровни доверительной вероятности
t 1,00 1,96 2,00 2,58 3,00
F(0 0,683 0,950 0,954 0,990 0,997
задаче проверки гипотез распределение результатов наблюдений задается параметром 0. В этом случае функция мощности обозначается М(¥,0) и зависит от критической области ¥ и действительного значения исследуемого параметра 0. Если Н0: 0=00, Н1: 0=01, то М(¥,00) = а, М(¥,01)=1-в, где а - вероятность ошибки первого рода, в - вероятность ошибки второго рода. Тогда, мощность критерия - это вероятность того, что нулевая гипотеза будет отвергнута, когда альтернативная гипотеза верна.
Функция мощности М(¥,0) в случае одномерного параметра 0 обычно достигает минимума, равного а, при 0=00, монотонно возрастает при удалении от 00 и приближается к 1 при | 0 - 00 | ^ да.
Оценим необходимую мощность статистических критериев (рис. 1), которые могли бы быть применены для анализа лечения 20 пациентов с коксартрозом.
Как видим, при среднеквадратическом отклонении равном 3,0, что бывает крайне редко, будут получены результаты с высокой степенью надёжности /><0,05, если разность между средними будет превышать 8. Но уже при среднеквадратическом отклонении равном 1,5, эта разность должна превышать всего 4.
Для определения уровня значимости р обычно используется приближенная нормальная 2-аппроксимация соответствующей статистики. Такая аппроксимация дает хорошее приближение при достаточно больших размерах выборок. При малом объеме выборки и значениях р, близких к 0,05, мы проверяли вывод о нулевой гипотезе срав-
Power Curve alpha=0,05, sigma=
Power Curve alpha=0,05, sigma=1,
True Difference Between Means
True Difference Between Means
Рис. 1. Экспериментально найденные характеристики статистических
критериев.
Таблица 2 .
Группы наблюдения
Группа 1 Группа 2 Группа 3 Всего наблюдений
Нимесулид, витамины, хондропротекторы, лечебная физкультура + + + 20
Физиотерапия --- + + 15
Массаж... --- + 8
Боль при движении
Боль в покое 43±13 27±17
нением вычисленного значения статистики с критическим значением в таблице соответствующего распределения из статистического справочника.
Критерии различия сдвига (положения). Мы использовали эти критерии для проверки следующих гипотез:
♦ отсутствие различий во взаимном положении (медианах) двух исследованных выборках;
♦ сдвиг выборок друг относительно друга равен некоторому значению d;
♦ медиана одной анализируемой выборки равна значению d.
В случае б) необходимо было предварительно все значения второй выборки уменьшить на величину d: yi=yi-d.
В случае в) необходимо подготовить вспомогательную парную выборку, все элементы которой равны d.
В результате вычисляли:
♦ значение статистики W. Вилкоксона (Wilco-xon) - сумма рангов Rxi элементов одной из выборок в объединенной ранжированной выборке;
♦ значение статистики V Ван дер Вардена (van der Varden), основанную на использовании метода «произвольных меток».
Для каждой статистики вычислялась нормальная аппроксимация (Z-статистика) и уровень значимости P нулевой гипотезы об отсутствии различий в сдвиге по отношению друг к другу. Если p>0,05 нулевая гипотеза может быть принята.
Некоторые пакеты и авторы предлагают использовать ^/-критерий Манна-Уитни (Mann-Whitney) и критерий Вальда-Вольфовица (Vald-Wolfowitz). Однако давно уже доказано , что критерий Манна-Уитни эквивалентен, т.е. обладает теми же возможностями, что и крите-
Таблица 3 .
Средние показатели интенсивности боли (в баллах по ВАШ)
Группа 1 (n= 5) Группа 2 (n=7) Группа 3 (n= =8)
Показатель Начало наблюдения Конец наблюдения Снижение боли Начало наблюдения Конец наблюдения Снижение боли Начало наблюдения Конец наблюдения Снижение боли
Таблица 4.
Данные лабораторного обследования больного Б.
№ Показатель Норма Результат предпослед- Результат последнего
него посещения посещения
Гематокрит, % 40-48 38,7
Лимфоциты, % 19-37 42
СОЭ, мм/час 2-10 39
Мочевая кислота, мкмоль/л 200-416 504
Креатинин, мкмоль/л 44-106 238
Паратиреоидный гормон, пг/мл 7-53 76,8
Фибриноген, г/л 1,69-3,92 5,7
Белок в моче, г/л 0-0,1 1
43,5 39 10 489 202 101 3
Предпоследнее
Последнее
Рис. 2. р-значения клинических показателей больного Б. при предпоследнем и последнем обследовании.
рий Вилкоксона, а критерий Вальда-Вольфовица страдает сравнительно малой чувствительностью.
Критерии различия масштаба (рассеяния). Мы использовали эти критерии для проверки следующих гипотез:
♦ гипотеза об отсутствии различий в масштабах (в разбросе или рассеянии значений) исследуемых выборок;
♦ гипотеза о том, что отношение масштабов выборок равна заданной величине g.
В последнем случае необходимо предварительно изменить значения второй выборки у1=(у1-т0)^ , где т0 -общая медиана двух исследуемых спектров.
Если медианы генеральных совокупностей, из которых извлечены выборки, не равны по величине, но их
применить, предварительно модифицировав одну из выборок, например, в выборку yi=yi-m2+mr
Если же медианы не равны и не известны, то следует подтвердить гипотезу об отсутствии различий сдвига или же использовать метод для обнаружения произвольных альтернатив.
В результате вычисляли значение статистик W. Ансари-Бредли (Ansari-Bradly) и К. Клотца (Klotz), которые являются концептуальными аналогами статистик Вилкоксона и Ван дер Вардена.
Для каждой исходной статистики вычисляется нормальная аппроксимация (Z-статистика) и уровень значимости P нулевой гипотезы об отсутствии различий в разбросе значений двух выборок. Если />>0.05, нулевая гипотеза может быть принята.
Таким образом, предлагаемые выше методы математической статистики позволяют подтверждать достоверность различий
полученных результатов даже в небольших группах наблюдений, если различия достаточно значимы.
Иллюстрацией могут служить два клинических примера пациентов с костно-суставной патологией.
Клинический пример № 1. У 20 пациентов с кок-сартрозом применяли базовый лечебный комплекс, включающий пероральный прием нимесулида, хондропротекторов, внутримышечные инъекции витаминов и лечебную физкультуру. Кроме этого у 15 из них применяли физиотерапевтическое лечение, а у 6 пациентов - массаж. Таким образом, образовалось 3 группы пациентов с небольшим (от 5 до 8) числом наблюдений (табл. 2).
Среди прочих параметров перед началом лечения и после завершения курса (21±2 дня) оценивали интенсивность боли при движении и в покое по 100-бальной визуальной аналоговой шкале (ВАШ).
Использовались следующие методы статистик W. Ансари-Бредли (Ansari-Bradly) и К. Клотца (Klotz) (табл. 3).
Согласно полученным данным (табл. 3) было отмечено, что снижение боли в покое в группе 1 в конце наблюдения не являлось достоверным. Однако по всем другим изучаемым параметрам выявлены достоверные значения. Рассматриваемый клинический пример свидетельствует о возможности получения достоверных результатов на малом количестве выборки.
В клиническом примере № 2 рассматриваются в динамике лабораторные данные больного Б., страдающего хроническим подагрическим полиартритом, подагрической не-фропатией с явлениями ХПН, которые находились за пределами референсных значений (табл. 4).
Рассчитаем вероятность того, что результаты анализа статистически достоверно выходят за границы клинической нормы. Для этого используем вероятностный калькулятор статистического пакета «STATISTICA 6.0». В данном случае p-значение характеризует ошибку первого рода: вероятность отклонить правильную гипотезу, когда на самом деле она верна. В большинстве случаев результаты предпоследнего посещения статистически достоверно отличаются от нормы (рис. 2). Поскольку пороговый уровень значимости в данном случае мы принимаем равным 0,05, то результаты гематокрита, лимфоцитов, СОЭ, фибриногена статистически значимо улучшились при последнем посещении. Соответственно, клинические показатели мочевой кислоты, креатинина, паратиреоидного гормона и белка в моче, с точки зрения математической статистики, не улучшились.
Таким образом, при планировании исследования важно учитывать мощность применяемых статистических критериев, которые определяются вариабельностью выборки и заданным уровнем значимости.
Предлагаемый подход может быть интересен специалистам в области персонифицированной медицины для
анализа в динамике применяемых методов лечения и лекарственных средств, при контроле за проводимыми лечебными и диагностическими мероприятиями.
ЛИТЕРАТУРА
1. Большев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. М.: Наука; 1995.
2. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука; 2003.
3. Кобзарь А.И. Прикладная математическая статистика. Для инженеров и научных работников. М.: ФИЗМАТЛИТ; 2006.
4. Правецкий Н.В., Носовский А.М., Матросова М.А., Холин С.Ф., Шакин В.В. Математическое обоснование достаточного количества измерений для достоверной оценки регистрируемых параметров в космической биологии и медицине. Космическая биология и авиакосмическая медицина. М.: Медицина; 1990; 5: 53-6.
5. ХоллендерМ., Вульф Д.А. Непараметрические методы статистики. М.: Финансы и статистика; 1983.
6. Носовский А.М. Применение вероятностных моделей на окружности в медико-биологических исследованиях. Космическая биология и авиакосмическая медицина. Тезисы докладов IX Всесоюзная конференция. Калуга, 19-21 июня 1990.
7. Носовский А.М., Правецкий Н.В., Холин С.Ф. Математический подход к оценке точности измерений физиологического параметра различными методами. Космическая биология и авиакосмическая медицина. М.: Медицина; 1991; 6: 53-5.
1. Bol"shev L.N., Smirnov N.V. Tables of Mathematical Statistics. Moscow: Nauka; 1995 (in Russian).
2. Korn G., Korn T. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. Moscow: Nauka; 2003 (in Russian).
3. Kobzar" A.I. Applied Mathematical Statistics. For engineers and scientists. Moscow: FIZMATLIT; 2006 (in Russian).
4. Pravetskiy N.V., Nosovskiy A.M., Matrosova M.A., Kholin S.F., Shakin V.V. Mathematical justification of a sufficient number of measurements for reliable evaluation of recorded parameters in space biology and medicine. Space Biology and Aerospace Medicine. Moscow: Meditsina; 1990; 5: 53-6 (in Russian).
5. Khollender M., Vul"f D.A. Non-parametric statistical methods. Moscow: Finansy i statistika; 1983 (in Russian).
6. Nosovskiy A.M. The use of probabilistic models on the circle in biomedical research. Space Biology and Aerospace Medicine. Abstracts of the IX All-Union Conference. Kaluga, June 19-21, 1990 (in Russian).
7. Nosovskiy A.M., Pravetskiy N.V., Kholin S.F. Mathematical approach to estimation accuracy of the physiological parameter by different methods. Space Biology and Aerospace Medicine. Moscow: Me-ditsina; 1991; 6: 53-5 (in Russian).
