Bernulijev zakon je posljedica zakona održanja energije za stacionarni tok idealne (tj. bez unutrašnjeg trenja) nestišljivog fluida:
gustina tečnosti,
Brzina protoka,
Visina na kojoj se nalazi predmetni fluidni element,
Pritisak u tački u prostoru u kojoj se nalazi centar mase fluidnog elementa koji se razmatra,
Ubrzanje gravitacije.
Konstanta na desnoj strani se obično naziva pritisak, odnosno ukupni pritisak, kao i Bernoulli integral. Dimenzija svih pojmova je jedinica energije po jedinici zapremine tečnosti.
Ova relacija, koju je izveo Daniel Bernoulli 1738. godine, nazvana je po njemu Bernulijeva jednačina. (Ne treba se brkati sa diferencijalna jednadžba Bernuli.)
Za horizontalne cijevi h= 0 i Bernoullijeva jednačina ima oblik: 
.
Ovaj oblik Bernoullijeve jednadžbe može se dobiti integracijom Ojlerove jednačine za stabilan jednodimenzionalni tok fluida, sa konstantnom gustinom ρ: 
.
Prema Bernoullijevom zakonu, ukupan pritisak u stalnom toku fluida ostaje konstantan duž toka.
Totalni pritisak sastoji se od hidrostatičkog (ρ gh), atmosferski (p) i dinamički pritisak.
Iz Bernoullijevog zakona proizlazi da kako se poprečni presjek protoka smanjuje, zbog povećanja brzine, odnosno dinamičkog pritiska, statički pritisak opada. Ovo je glavni razlog za Magnusov efekat. Bernulijev zakon važi i za laminarne tokove gasa. Fenomen smanjenja tlaka s povećanjem protoka leži u osnovi rada različitih tipova mjerača protoka (na primjer, Venturi cijev), vodenih i parnih mlaznih pumpi.
Bernoullijev zakon vrijedi u svom čistom obliku samo za tekućine čiji je viskozitet nula, odnosno tekućine koje se ne lijepe za površinu cijevi. U stvari, eksperimentalno je utvrđeno da je brzina fluida na površini solidan je skoro uvek tačno nula (osim u slučajevima razdvajanja mlaza u nekim retkim uslovima).
Bernoullijev zakon se može primijeniti na protok idealne nestišljive tekućine kroz malu rupu na bočnom zidu ili dnu široke posude.
Prema Bernoullijevom zakonu, izjednačavamo ukupne pritiske na gornjoj površini tečnosti i na izlazu iz rupe:
,
str 0 - atmosferski pritisak,
h- visina stuba tečnosti u posudi,
v- brzina protoka tečnosti.
Odavde: . Ovo je Torricellijeva formula. Pokazuje da kada idealna nestlačiva tekućina iscuri iz rupe u širokoj posudi, tekućina poprima brzinu koju bi tijelo koje slobodno pada s visine dobilo h.
Bernoulli integral.
Dajmo jednadžbi zamaha drugačiji oblik. Da bismo to učinili, koristit ćemo dobro poznatu formulu vektorske analize
stavljajući ga u njega. Dakle, jednakost je tačna
Međutim, jednačina zamaha će imati oblik Gromeka–Lamb jednačine
(2.79)
Kao što ćemo kasnije vidjeti, ovaj oblik jednačine je izuzetno zgodan za analizu protoka idealnog fluida.
Razmotrimo prvo slučaj stacionarnog toka, tj. postavimo , i pomnožimo (2.48) skalarno sa vektorom . Onda dobijamo
(2.80)
Pošto masene sile imaju potencijal P, onda
U isto vrijeme neka postoji funkcija pritiska
Protoci u kojima gustina zavisi samo od pritiska nazivaju se barotropni. Gradijent funkcije je jednak
može se smatrati vektorom volumetrijskog djelovanja površinskih sila, a sama funkcija kao potencijal volumetrijskog djelovanja površinskih sila.
Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, (2.80) daje
Iznos u zagradama se poziva Bernoullijev trinom i označeno kao IN: 
.
dakle, 
, gdje znači derivacija uzeta duž strujne linije. Iz toga slijedi B=konst ili
(2.83)
Podsjetimo da ova relacija vrijedi duž strujne linije. Prilikom prelaska s jedne strujne linije na drugu, konstanta se u principu može promijeniti. Jednakost (2.83) će vrijediti za cijelo područje protoka ako je , što je moguće za ili za .
Jednakost (2.83) se zove Bernoulli integral. Često se naziva i relacija (2.83). Bernulijeva teorema (jednačina).
U mehanici fluida (a posebno u hidraulici), najčešći slučaj je Bernoullijev integral za nestišljivu tekućinu. Hajde da stavimo ρ=konst. Onda 
. Pretpostavićemo da je tečnost samo pod uticajem gravitacije, tj. 
, Gdje y– os usmjerena okomito prema gore. Tako Bernulijeva teorema prihvata sljedeći obrazac:
(2.84)
Ako sve članove podijelimo sa ubrzanjem gravitacije g i označimo konstantu sa N*, onda možemo pisati
, (2.85)
gdje je specifična težina; N*– hidraulička visina
i dati Bernoullijevoj teoremi klasičnu formulaciju:
za stacionarno kretanje teškog idealnog nestišljivog fluida, hidraulička visina N*, jednak zbiru brzine, pijezometrijskog i nivelmanskog at visine, ostaje konstantan duž bilo koje strujne linije (ili linije vrtloga).
Zanemarujući gravitaciju, Bernoullijevoj teoremi se može dati jednostavniji oblik:
(2.86)
Prvi pojam na lijevoj strani naziva se pijezometrijski pritisak ili statički pritisak, drugi se naziva pritisak brzine ili dinamički pritisak. Desna strana predstavlja ukupni pritisak ili pritisak stagnacije.
Razmotrimo sada adijabatski tok vode u okviru idealnog fluida bez težine. U skladu sa Tate-ovom jednačinom imaćemo
Međutim, Bernoullijeva teorema za kompresibilnu vodu će izgledati ovako:
(2.87)
Pretpostavimo da fluid poprima parametre u tački u kojoj brzina postaje nula. Ako u stvarnosti ne postoji takva tačka, onda se može zamisliti zamišljeno kretanje idealne kompresibilne tekućine, koja je adijabatski usporava. Količine se u ovom slučaju nazivaju pritiskom i gustinom stagnacije, respektivno. Pod ovom pretpostavkom, jednačina (2.87) poprima oblik
(2.88)
Bernoulli integral. - koncept i vrste. Klasifikacija i karakteristike kategorije "Bernoulli Integral." 2017, 2018.
Dajmo jednadžbi zamaha drugačiji oblik. Da bismo to učinili, koristit ćemo dobro poznatu formulu vektorske analize
stavljajući ga u njega. Dakle, jednakost je tačna
Dakle, jednačina zamaha će imati oblik Gromeka–Lamb jednačine
(2.79)
Kao što ćemo kasnije vidjeti, ovaj oblik jednačine je izuzetno zgodan za analizu protoka idealnog fluida.
Razmotrimo prvo slučaj stacionarnog toka, tj. postavimo , i pomnožimo (2.48) skalarno sa vektorom . Onda dobijamo
(2.80)
Pošto masene sile imaju potencijal P, onda
Uz to, neka postoji funkcija pritiska
Protoci u kojima gustina zavisi samo od pritiska nazivaju se barotropni. Gradijent funkcije je jednak
može se smatrati vektorom volumetrijskog djelovanja površinskih sila, a sama funkcija kao potencijal volumetrijskog djelovanja površinskih sila.
Tako (2.80) daje
Iznos u zagradama se poziva Bernoullijev trinom i označeno kao IN: 
.
dakle, 
, gdje znači derivacija uzeta duž strujne linije. Iz toga slijedi B=konst ili
(2.83)
Podsjetimo da ova relacija vrijedi duž strujne linije. Prilikom prelaska s jedne strujne linije na drugu, konstanta se u principu može promijeniti. Jednakost (2.83) će vrijediti za cijelo područje protoka ako je , što je moguće za ili za .
Jednakost (2.83) se zove Bernoulli integral. Često se naziva i relacija (2.83). Bernulijeva teorema (jednačina).
U mehanici fluida (a posebno u hidraulici), najčešći slučaj je Bernoullijev integral za nestišljivu tekućinu. Hajde da stavimo ρ=konst. Onda 
. Pretpostavićemo da je tečnost samo pod uticajem gravitacije, tj. 
, Gdje y– os usmjerena okomito prema gore. Tako Bernulijeva teorema poprima sljedeći oblik:
(2.84)
Ako sve članove podijelimo s ubrzanjem gravitacije g i označimo konstantu sa N*, onda možemo pisati
, (2.85)
gdje je specifična težina; N*- hidraulička visina,
i dati Bernoullijevoj teoremi klasičnu formulaciju:
za stacionarno kretanje teškog idealnog nestišljivog fluida, hidraulička visina N*, jednak zbiru brzine, pijezometrijskog i nivelmanskog at visine, ostaje konstantan duž bilo koje strujne linije (ili linije vrtloga).
Zanemarujući gravitaciju, Bernoullijevoj teoremi se može dati jednostavniji oblik:
(2.86)
Prvi pojam na lijevoj strani naziva se pijezometrijski pritisak ili statički pritisak, drugi se naziva pritisak brzine ili dinamički pritisak. Desna strana predstavlja ukupni pritisak ili pritisak stagnacije.
Razmotrimo sada adijabatski tok vode u okviru idealnog fluida bez težine. U skladu sa Tate-ovom jednačinom imaćemo
Tako će Bernoullijeva teorema za kompresibilnu vodu izgledati ovako:
(2.87)
Pretpostavimo da fluid poprima parametre u tački u kojoj brzina postaje nula. Ako u stvarnosti ne postoji takva tačka, onda se može zamisliti zamišljeno kretanje idealne kompresibilne tekućine, adijabatski je usporavajući. Količine se u ovom slučaju nazivaju pritisak i gustina stagnacije, respektivno. Pod ovom pretpostavkom, jednačina (2.87) poprima oblik
(2.88)
Bernoullijeva jednadžba jedna od osnovnih jednadžbi mehanike fluida, koja pri ustaljenom kretanju nestišljivog idealnog fluida u jednoličnom polju gravitacije ima oblik:
Gh + p/ρ + v 2 /2 = C, (1)
gdje je v brzina tečnosti, ρ je njena gustina, p je pritisak u njoj, h je visina čestice tečnosti iznad određene horizontalne ravni, g je ubrzanje slobodnog pada, C je konstanta vrednosti na svakom streamline, ali in opšti slučaj mijenja svoju vrijednost pri prelasku s jedne strujne linije na drugu.
Zbir prva dva člana na lijevoj strani jednačine (1) jednak je ukupnom potencijalu, a treći član je jednak kinetičkoj energiji, izraženoj u jedinicama. masa tečnosti; Posljedično, cijela jednačina izražava zakon održanja mehaničke energije za fluid koji se kreće i uspostavlja važan odnos između v, p i h. Na primjer, ako se, pri konstantnom h, brzina protoka duž strujne linije povećava, tada se tlak smanjuje, i obrnuto. Ovaj zakon se koristi prilikom mjerenja brzine pomoću mjernih cijevi i drugih aerodinamičkih mjerenja.
Bernulijeva jednačina je također predstavljena u obliku
h + p/γ + v 2 /2g = C ili
γh + p + ρv 2 /2 = C (2)
(gde je γ =ρg specifična težina tečnosti). U 1. jednakosti svi pojmovi imaju dimenziju dužine i nazivaju se odgovarajućim geometrijskim (nivelmanskim), pijezometrijskim i brzinskim visinama, a u 2. - dimenzijama pritiska i nazivaju se težinski, statički i dinamički pritisak.
U opštem slučaju, kada je fluid kompresibilan (gas), ali barotropan, tj. p u njemu zavisi samo od ρ, i kada se njegovo kretanje dešava u bilo kom osim u potencijalnom polju zapreminskih (masenih) sila (vidi polje sile), Bernoullijevo jednačina se dobija kao posledica Ojlerovih jednačina mehanike fluida i ima oblik:
P+∫ dp/ρ + v 2 /2 = C, (3)
gdje je P potencijalna energija (potencijal) zapreminskog polja sile, izražena u jedinicama. masa tečnosti. Kada plinovi teku, vrijednost P se malo mijenja duž strujne linije i može se uključiti u konstantu, predstavljajući (3) u obliku:
∫ dp/ρ + v 2 /2 = C. (4)
U tehničkim aplikacijama za prosječan protok presjek kanal, koristite tzv. generalizovana Bernulijeva jednačina: čuvajući oblik jednačina (1) i (3), lijeva strana uključuje rad sila trenja i savladavanja hidrauličkog otpora, kao i mehanički rad tekućine ili plina (rad kompresora ili turbina ) sa odgovarajućim znakom. Generalizirana jednačina Bernuli se široko koristi u hidraulici pri proračunu protoka tečnosti i gasova u cevovodima i u mašinstvu za proračun kompresora, turbina, pumpi i drugih hidrauličnih i gasnih mašina.
1.4. Energetske jednačine
Bernulijeva jednačina i integral. Rješavanje Eulerovih jednadžbi (1.76) dovodi do jedne od najvažnijih jednadžbi hidrodinamike - Bernoullijeve jednačine. Pomnožimo prvu od Ojlerovih jednačina (1.76) sa dx, drugi - na dy, treći - na dz, a zatim ih dodajte pojam po pojam. Kao rezultat dobijamo
Integrirajmo (1.108) duž elementarnog toka pod sljedećim pretpostavkama:
Razmotrimo pojedinačne sume uključene u (1.108).
S obzirom na to 
,
,
, predstavljamo zbir na lijevoj strani u obliku
,
(1.109)
Gdje u stvarna puna brzina u datoj tački.
Na osnovu druge i treće pretpostavke, projekcije ubrzanja masenih sila na koordinatne osi će biti X= Y= 0, Z=- g. Tada prvi zbir na desnoj strani (1.108) poprima oblik
Xdx+ Ydy+ Zdz=- gdz . (1.110)
Zbog prve pretpostavke, svi parametri protoka, uključujući pritisak, ne ovise o vremenu i funkcije su samo koordinata, tj. str = str(x, y, z). Prema tome, izraz u zagradama za drugi član na desnoj strani (1.108) je ukupna razlika pritiska, tj.
.
(1.111)
Zamjenom (1.109), (1.110), (1.111) u (1.108) i sakupljanjem svih članova na lijevoj strani dobijamo
.
(1.112)
Izraz (1.112) se zove Bernulijeva diferencijalna jednadžba.
Jedinica mjerenja pojmova jednačine (1.112) je J/kg.
Bernulijeva jednačina se može predstaviti u drugim oblicima množenjem svih njenih članova sa ρ ,
(1.113)
ili dijeljenje po g
.
(1.114)
U ovom slučaju, jedinice mjerenja svih članova jednačine (1.113) su Pa, a (1.114) su m.
Integrisanim jednačinama (1.112) - (1.114) dobijamo izraze
;
(1.115)
;
(1.116)
.
(1.117)
Jednačine (1.115)-(1.117) se nazivaju Bernulijevim integralom.
Energetsko značenje Bernoullijevog integrala. Uzimanje ρ = const, kao rezultat integracije jednadžbe (1.112) dobijamo
konst. (1.118)
Jedinica mjerenja svih članova jednačine (1.118), kao i (1.112) je J/kg.
Pokretna čestica tečnosti ima sasvim određenu zalihu mehaničke energije. Ako apsolutno čvrsto tijelo ima rezervu potencijalne energije položaja u polju gravitacije i kinetičke energije, onda tečna čestica, kao elastično tijelo, također ima rezervu potencijalne energije stanja. Ova energija je veća, što je veći volumen tečnosti i veći je pritisak, a manifestuje se u tome što npr. upumpavanje tečnosti u posudu može dovesti do uništenja posude, a komprimovani gas može obaviti rad tokom ekspanzije. .
Dakle, ukupna mehanička energija tečne čestice E može se definisati kao zbir E = P P +P With +K, Gdje P n potencijalna energija položaja u polju gravitacije; P c je potencijalna energija stanja; TO- kinetička energija.
Potencijalna energija pozicije može se izračunati korištenjem formule opće mehanike P P = mgz, Gdje m masa tečne čestice, kg; z visina njegovog položaja iznad horizontalne referentne ravni, m.
Razmotrimo specifičnu energiju po jedinici mase tečnosti. Specifična potencijalna energija pozicije je 
a u Bernoullijevom integralu (1.118) je predstavljen prvim članom.
Potencijalna energija stanja se izračunava po formuli P c = pV, Gdje str- pritisak, Pa; V zapremina tečne čestice, m3.
Specifična potencijalna energija stanja 
u Bernoullijevom integralu (1.118) predstavljen je drugim članom.
Kinetička energija čestice tekućine 
.
Specifična kinetička energija 
u Bernoullijevom integralu (1.118) predstavljen je trećim članom.
Ukupna mehanička energija tečne čestice je stoga određena zbrojem 
, a specifična mehanička energija će biti
.
(1.119)
Upoređujući (1.118) i (1.119), dolazimo do energetskog značenja Bernulijevog integrala: specifična mehanička energija idealnog nestišljivog fluida ostaje konstantna duž elementarne struje. Dakle, Bernoullijev integral izražava zakon održanja mehaničke energije za elementarni tok, odnosno on je energetska jednačina.
Iz Bernoullijevog integrala također slijedi da se pojedine komponente specifične mehaničke energije mogu mijenjati, ali istovremeno dolazi do transformacije jedne vrste energije u drugu, tj. smanjenje jednog člana nužno mora biti praćeno povećanjem. u barem jednom od druga dva i obrnuto.
Zbir članova Bernoullijevog integrala (1.115) daje ukupnu količinu energije koju posjeduje jedinica mase ( e), (1.116) – jedinica zapremine ( str), (1.117) – jedinica gravitacije u odnosu na prihvaćenu ravan poređenja ( H).
Članovi 
,
,
express kinetička energija, iznosi 
,
,
- potencijalna energija, gdje gz,
ρgz,
z potencijalna energija pozicije, i 
,
,
potencijalna energija stanja, odnosno jedinice mase, zapremine, jedinice gravitacije. Takođe možemo reći da jednačine (1.116) i (1.117) izražavaju isto što i jednačina (1.99), ali na skali 
I 
respektivno.
Jednačina (1.115) je pogodna za korištenje kada se proučava kretanje plina promjenjive gustoće, na primjer, u pneumatskim mrežama i kompresorima.
Ako su promene pritiska tokom kretanja gasa neznatne 
a temperatura je konstantna, onda možemo pretpostaviti ρ
= konst. Pod ovim uslovima, zgodno je koristiti jednačinu (1.116), koja će poprimiti oblik
konst. (1.120)
Izraz (1.120) je pogodan za korištenje pri proučavanju kretanja zraka u ventilacijskim mrežama i ventilatorima.
Prilikom kretanja kapljice tekućine (vode, ulja, itd.), čija je gustina konstantna, najpogodnije je koristiti jednačinu (1.117) koja za ρ = const će poprimiti oblik
konst. (1.121)
Jednačina (1.121) se koristi u proračunima vodovodnih cjevovoda, hidrauličnih vodova i pumpi.
Često se koristi drugačiji prikaz jednačine (1.117). Označavajući indeksom 1 parametre protoka u prvom dijelu toka u smjeru kretanja fluida, a indeksom 2 - naknadno, možemo napisati
.
(1.122)
Geometrijsko značenje Bernoullijeve jednadžbe. Svi članovi jednačine (1.122) imaju dimenziju dužine, tako da možemo govoriti o tome geometrijskog smisla Bernoullijeve jednadžbe: z geometrijska (geodetska, nivelmanska) visina; 
- pijezometrijska visina; 
- brzina (dinamička) visina; 
visina gubitka energije (pritisak).
Evo drugih imena: z- geometrijski pritisak; 
- pijezometrijski pritisak; 
- pritisak brzine; 
gubitak pritiska; 
- puni pritisak.
Razmotrimo protok fluida u kanalu, mereći sve članove Bernulijeve jednačine (1.122) u različitim presecima (slika 1.30, merenja su prikazana za samo dva preseka 1-1 I 2-2 ). Uzmimo proizvoljnu horizontalnu ravan kao referentnu ravan 0-0 .
G
Rice. 1.30. Geometrijska interpretacija Bernulijeve jednadžbe
definirani su kao visina podizanja tekućine u pijezometrima, mjerena vertikalno od težišta odgovarajućih sekcija. Visine brzine 
definisani su kao razlike u nivoima tečnosti u pito cevima i pijezometrima smeštenim u odgovarajućim sekcijama (treba napomenuti da za precizno merenje vrednosti 
Pito cijev treba postaviti na tačku poprečnog presjeka gdje je lokalna brzina u jednak prosječna brzina v, što se ne može uvek uraditi, jer se pozicija ove tačke retko zna).
Visina gubitka energije 
na području ograničenom sekcijama 1-1
I 2-2
, će se odrediti kao razlika u nivoima tečnosti u pito cevima postavljenim u ovim sekcijama.
Ako se slična mjerenja izvedu za mnoge međupresjeke i gornji menisci tekućine u pitot cijevima se spoje glatkom linijom, onda se dobije linija a(vidi sliku 1.30), koji se zove puni potisni vod.
Spajanjem gornjeg meniska tečnosti u pijezometrima glatkom linijom, dobijamo liniju b(vidi sliku 1.30), koji se zove pijezometrijska linija.
Linija koja povezuje težišta presjeka naziva se os protoka.
Ponašanje ovih linija duž dužine toka l određuju takozvani nagibi.
Hidraulični nagib navedite količinu
,
(1.123)
određivanje ponašanja linije ukupnog pritiska.
Piezometrijski nagib
,
(1.124)
određuje ponašanje piezometrijske linije.
Geometrijski (geodetski) nagib
,
(1.125)
karakterizira ponašanje ose protoka.
U praktičnim proračunima češće se koriste prosječne vrijednosti nagiba, izračunate kao omjer razlika između odgovarajućih vrijednosti na početku i na kraju i dužine toka.
Budući da duž toka njegova ukupna energija kontinuirano opada zbog gubitaka, linija ukupnog pritiska uvijek opada. Hidraulički nagib (1.124) uvijek ostaje pozitivan.
Piezometrijska linija se može smanjiti ili povećati. Njegovo ponašanje zavisi i od gubitka pritiska i od prirode promene kinetičke energije. Kako se kanal širi, brzina protoka i tlačna visina se smanjuju. Ako je brzina smanjenja tlaka veća od brzine smanjenja ukupnog tlaka, tada će se piezometrijska linija povećati.
Dijagrami pritiska. U brojnim hidrauličkim problemima, preporučljivo je dati grafički prikaz Bernoullijeve jednadžbe za određeni kanal. Takvi grafikoni se nazivaju dijagrami pritiska. Oni vam omogućavaju da vrlo jasno analizirate ponašanje svakog člana u Bernoullijevoj jednačini kada fluid teče kroz kanal. Uz njihovu pomoć također je zgodno izvršiti neke numeričke proračune. Obično se dijagrami izrađuju na osnovu rezultata specifičnih proračuna, iscrtavaju vrijednosti tlaka na skali za svaki odjeljak. Razmotrimo princip konstruisanja dijagrama.
Rice. 1.31. Dijagram pritiska
Pustiti iz otvorene posude velike veličine tečnost teče u atmosferu kroz cev promenljivog preseka (slika 1.31). Odaberimo proizvoljnu horizontalnu ravan 0-0 kao referentnu ravan. Počnimo sa konstruisanjem dijagrama sa linijom ukupnog pritiska.Da bismo to učinili, određujemo ukupni tlak u presjeku koji se podudara sa slobodnom površinom tekućine u posudi. Dogovorimo se da koristimo višak pritisaka u Bernoullijevoj jednadžbi i prilikom njihovog konstruisanja. Zatim na slobodnoj površini 
.
Budući da površina posude znatno premašuje površinu poprečnog presjeka cijevi, tada će, u skladu s jednadžbom protoka, brzina tekućine u posudi biti vrlo mala u odnosu na brzinu u cijevi, pa će stoga , pritisak brzine se može zanemariti 
.
Dakle, ukupni pritisak je određen samo geometrijskim pritiskom (na dijagramu je označen tačkom a). Ukupni pritisak u narednim sekcijama procenićemo kao razliku između ukupnog pritiska u prethodnoj sekciji i gubitka pritiska u području između ovih sekcija
.
(1.126)
Gledajući malo unaprijed, napominjemo da postoje dvije vrste gubitaka tlaka: gubici zbog trenja uzrokovani viskoznošću tekućine i lokalni gubici uzrokovani oštrom promjenom konfiguracije protoka, koji su, za razliku od gubitaka zbog trenja (putovanja), smatra se koncentrisanim u jednom dijelu toka. Što je veća dužina kanala i brzina strujanja, i što je manji poprečni presjek (prečnik) kanala, to su gubici zbog trenja veći.
U odjeljku 1-1 odmah nakon ulaza protoka iz posude u cijev, ukupni tlak će biti manji od tlaka u posudi za iznos lokalnih ulaznih gubitaka. Oduzimanje od ukupnog pritiska u posudi (tačka a) ulazni gubitak h 1, dobili smo poen b, koji određuje ukupni pritisak u sekciji 1-1.
U dijelu cijevi između sekcija 1-1 i 2-2 doći će do gubitka tlaka uslijed trenja. Budući da cijev u ovom presjeku ima konstantan poprečni presjek, onda svuda po jedinici dužine postoje jednaki gubici, odnosno graf ukupnog pritiska će biti linearan. Oduzimajući od ukupne glave u sekciji 1-1 iznos gubitka pritiska usled trenja u sekciji h 2, dobijamo ukupan pritisak u sekciji 2-2 (tačka With). Povezivanje tačaka b I With prave linije, dobijamo grafikon ukupnog pritiska za prvi deo cevi.
Po analogiji sa ulazom u cijev, oduzimajući od ukupnog pritiska u sekciji 2-2 (tačka With) lokalni gubici zbog naglog širenja protoka h 3, dobijamo puni pritisak u sekciji 3-3 iza naglog širenja (tačka d), oduzimajući gubitke zbog trenja u drugom dijelu cijevi h 4, dobijamo ukupni pritisak u izlaznom delu 4-4 (tačka e).
Prilikom povezivanja tačaka d I e potrebno je uzeti u obzir da će gubici trenja po jedinici dužine (hidraulični nagib) na početku dionice (veliki prečnici) biti manji nego na kraju (mali prečnici). Posljedično, linija ukupnog pritiska će biti usmjerena konveksno prema gore. Tako smo dobili liniju punog pritiska abcde.
Pređimo sada na konstruisanje pijezometrijske linije. U tu svrhu oduzećemo pritisak brzine od ukupnog pritiska u svakoj sekciji, pošto
.
(1.127)
Na slobodnoj površini tečnosti u posudi, pritisak brzine je nula, a pijezometrijski pritisak se poklapa sa ukupnim pritiskom (tačka A).
U presjeku između sekcija 1-1 i 2-2, poprečni presjek cijevi, brzina i brzina tlak ostaju konstantni, a pijezometrijska linija ( 
) će biti paralelan sa linijom ukupnog pritiska.
Prilikom prelaska iz odjeljka 2-2 u dio 3-3 dolazi do naglog povećanja poprečnog presjeka, praćenog smanjenjem brzine i pritiska brzine. Stoga se pijezometrijski pritisak u sekciji 3-3 određuje oduzimanjem mnogo manje vrijednosti od ukupnog pritiska (segment 
) nego za dio 2-2 (segment 
).
U drugom dijelu cijevi, poprečni presjek se postupno smanjuje, što dovodi do postupnog povećanja brzine i tlaka brzine. Shodno tome, u svakom sljedećem dijelu potrebno je od ukupnog pritiska oduzimati sve veću vrijednost. Stoga se pijezometrijska linija kontinuirano udaljava od linije ukupnog pritiska. Piezometrijska linija završava u tački 
, koji se poklapa sa težištem izlaznog dijela 4-4. To se objašnjava činjenicom da atmosferski tlak i piezometrijski tlak opet djeluju u izlaznom dijelu 
u smislu viška pritiska jednak je nuli. Ukupni pritisak se sastoji od geometrije i brzine.
Analogno konstruisanju dijagrama pritiska na osnovu datog profila protoka, moguće je rešiti i inverzni problem: konstruisanje konfiguracije cevovoda na osnovu datih dijagrama pritiska.
Primjeri praktične upotrebe Bernoullijeve jednadžbe. Bernoullijeva jednadžba vam omogućava da dobijete proračunske formule za različite slučajeve kretanja fluida i riješite mnoge praktične probleme. Treba imati na umu da vrijedi samo za ustaljene tokove sa ravnim živim dijelovima.
Za praktičnu upotrebu Bernoullijeve jednadžbe pri rješavanju različitih zadataka, nacrtana su dva presjeka i horizontalna ravan - ravan poređenja. Potonje, kako bi bilo manje nepoznanica, izvodi se kroz težište jednog ili, ako je moguće, dva dijela, a zatim z 1 ili z 2 (ili oboje) će biti nula. Presjeci se izvode normalno na smjer kretanja fluida, a mjesta na kojima se izvode biraju se tako da presjeci budu ravni, da sadrže nepoznate količine koje treba odrediti i dovoljan broj poznatih veličina. Obično su takva mjesta slobodna površina tekućine, ulaz ili izlaz iz cjevovoda, priključne tačke mjernih instrumenata itd. Zatim, za odabrane sekcije, koje su numerirane duž smjera tekućine, Bernoullijeva jednačina je napisano, u njega se zamjenjuju numeričke vrijednosti veličina i izračunavaju se potrebne.
Prilikom rješavanja nekih zadataka potrebno je dodatno koristiti uslov kontinuiteta (kontinuiteta) toka i uzeti više od dva odsjeka.
Apsolutni pritisci se zamjenjuju u Bernoullijevu jednačinu. Pokažimo to jednostavnim primjerom (slika 1.32). Neka je potrebno odrediti brzinu protoka tečnosti iz rezervoara kroz rupu u zidu pri konstantnom pritisku (nivo tečnosti u rezervoaru je konstantan).
P
Rice. 1.32. Tečnost curi iz rupe
.
Mjerenje pritisaka i lokalnih brzina. Tečnost u mirovanju nema kinetičku energiju. Tada Bernulijev integral (1.118) poprima oblik
konst. (1.128)
Označava pritisak na slobodnoj površini tečnosti str 0 i njegovu koordinatu z 0 (slika 1.33), možemo dati jednačini (1.128) oblik
ili 
.
(1.129)
O
Rice. 1.33. Mjerenje tlaka pijezometrima
.
Potonja je osnovna jednadžba hidrostatike (1.26) i dobivena je ranije rješavanjem Eulerovih jednadžbi diferencijalne ravnoteže.
Uđimo u poentu IN(Sl. 1.33) zatvoreni pijezometar, koji je staklena cijev sa zatvorenim gornjim krajem iz koje je uklonjen zrak. Pod uticajem pritiska u tački IN tečnost se podiže na određenu visinu h’ . Da bismo ga izračunali, zapisujemo (1.26) za fluid koji miruje u pijezometru. Pošto je iz njega uklonjen vazduh, pritisak iznad tečnosti će biti nula.
,
(1.130)
.
(1.131)
Dakle, visina tekućine koja se diže u pijezometru na određenoj skali (1: g) određuje specifičnu potencijalnu energiju tečnog stanja, a izraz (1.131) se može koristiti za izračunavanje tlaka izmjerenog pomoću pijezometra. Formula (1.131) određuje metodu pretvaranja pritisaka izraženih visinom stupca tečnosti u dimenzionalne jedinice.
Kako je (1.26) dobijeno na osnovu (1.130), lako je vidjeti da u bilo koju tačku datog fluida u mirovanju postavljamo pijezometar, zbir koordinata z ova tačka i visina porasta tečnosti u pijezometru ostaje konstantna, tj. gornji meniskus tečnosti u pijezometru će uvek biti na istom nivou. Horizontalna ravan a- a(Sl. 1.33) provučen kroz gornje meniskuse tečnosti u pijezometrima se naziva tlačna ravnina konstruisan korišćenjem apsolutnog pritiska.
Zatvoreni pijezometar, kao što vidimo, mjeri apsolutni pritisak u tečnosti. Višak tlaka može se izmjeriti pomoću otvoreni pijezometar, što je staklena cijev otvorena na oba kraja.
Postavimo otvoreni pijezometar (vidi sliku 1.33) na tačku 
, koji se nalazi na istoj dubini ispod slobodne površine kao i točka IN. Iz (1.26) je jasno da su pritisci u tačkama 
I INće biti isti.
Atmosferski pritisak će delovati iznad slobodne površine tečnosti u pijezometru, pa na osnovu (1.26) možemo napisati 
, gdje
,
(1.132)
tj. visina tečnosti koja se diže u otvorenom pijezometru na skali (1: g) mjeri istu specifičnu potencijalnu energiju tečnog stanja, ali određena viškom pritiska.
WITH
Rice. 1.34. Mjerenje lokalnih brzina Pitot-Prandtl cijevi
(vidi sliku 1.33), povučen kroz gornje meniskuse tečnosti u otvorenim pijezometrima, nalaziće se ispod ravni a-
a do visine 
, što je lako provjeriti korištenjem (1.132) i (1.133).
Za mjerenje lokalnih brzina u zatvorenim kanalima, kretanje fluida u kojem se naziva tlak, koristi se Pitot-Prandtl cijev, koja je kombinacija Pitot cijevi i pijezometra (slika 1.34), koji se obično kombiniraju u jednu konstrukciju. .
Pitot-Prandtl cijev je umetnuta u struju tako da je otvoreni kraj Pitot cijevi usmjeren okomito na vektor brzine, a otvoreni kraj pijezometra je usmjeren tangencijalno.
Kao iu prethodnom slučaju, uvjet vrijedi i za pitotovu cijev
,
(1.133)
samo visina h I 
imaju drugačije značenje (vidi sliku 1.34).
Pošto tečnost klizi u blizini ulaznog dela pijezometra bez kočenja, u njoj će delovati isti pritisak kao u pokretnoj tečnosti, tj. 
. Za njega, na osnovu (1.70), možemo napisati (pošto atmosferski pritisak deluje na slobodnu površinu tečnosti u pijezometru, kao u Pitotovoj cevi) jednačinu
