Elena Ignatovska, Anatolij Dorohov
Pogledaj okolo! Divimo se sjajnom cvijetu, prekrasnom leptiru, misterioznoj pahuljici, visokim drvećem, crkvenim kupolama, prekrasnim skulpturama i vitkim sportašima. Šta je osnova ove lepote? Simetrija je ugodna oku i često se povezuje s ljepotom. “Simetrija je ideja kroz koju je čovjek pokušao da shvati i stvori red, ljepotu i savršenstvo”, napisao je poznati naučnik G. Weil. Mnogi procesi koji se dešavaju u svijetu mogu se promatrati pomoću matematički model. Proučivši matematičke osnove koncepta simetrije, naučit ćemo vidjeti ljepotu svijeta i stvoriti je vlastitim rukama!
Projektna metoda omogućava školarcima da od savladavanja gotovih znanja pređu na njihovo svjesno sticanje.
Ovaj projekat su pripremili učenici 8. razreda tokom izučavanja teme „Aksijalna i centralna simetrija“. Njegov cilj je razviti koncept simetrije, sposobnost sagledavanja fenomena simetrije u okolnom svijetu, proširiti razumijevanje područja primjene matematike i njene povezanosti sa drugim predmetima. Pored osnovnih ciljeva, težili smo još jednom: dodirivanju lepog, raznim vrstama umetnosti.
Projekat je odbranjen na školskom naučno-praktičnom skupu „Matematika u savremenom svetu“, koristi ga nastavnik na časovima matematike prilikom proučavanja teme „Aksijalna i centralna simetrija“.
Skinuti:
Pregled:
Svijet oko nas je svijet simetrije
Ignatovskaja Elena, Dorohov Anatolij, učenici 8 "B" razreda, Sigodina Larisa Vladimirovna,
nastavnik matematike
MBOU "Blagoveshchensk Srednja obrazovna škola br. 1"
Slajd 1
Koncept simetrije se proteže kroz čitavu vekovnu istoriju ljudskog stvaralaštva. Od davnina, mnogi narodi su imali ideju o simetriji u širem smislu - kao ekvivalentu ravnoteže i harmonije. Oblici percepcije i izražavanja u mnogim oblastima nauke i umetnosti su u krajnjoj liniji zasnovani na simetriji, koriste se i manifestuju u specifičnim pojmovima i sredstvima svojstvenim pojedinim oblastima nauke i vrstama umetnosti. Danas vas pozivamo da razmislite o manifestaciji ove ideje u različitim oblastima.
Slajd 2
Simetrija (od grčkog "proporcionalnost") je svojstvo geometrijskog objekta da se kombinuje sa samim sobom pod određenim transformacijama koje čine grupu.
Ideja simetrije često je polazna tačka u hipotezama i teorijama naučnika prošlih vekova, koji su verovali u matematičku harmoniju univerzuma i u tom skladu videli manifestaciju božanskog principa. Stari Grci su vjerovali da je svemir simetričan samo zato što je simetrija lijepa.
Slajd 3
Glavne vrste simetrije su aksijalna, centralna i zrcalna.
Slajd 4
Dvije tačke A i A 1 nazivaju se simetričnim u odnosu na pravu a ako ova prava prolazi sredinom segmenta AA 1 i okomito na njega.
Slajd 5
Centralna simetrija.
Dvije tačke A i A 1 nazivaju se simetričnim u odnosu na tačku O ako je O središte segmenta AA 1.
Slajd 6
Ako transformacija simetrije u odnosu na ravan transformira figuru (tijelo) u sebe, tada se figura naziva simetričnom u odnosu na ravan, i dati avion– ravan simetrije ove figure. U nekim izvorima ova simetrija se naziva zrcalna simetrija.
Slajd 7
Pogledajte javorov list, pahuljicu, leptira. Zajedničko im je da su simetrični. Na rukav ti je pao običan list sa drveta. Njegov oblik nije slučajan, on je strogo prirodan. List je, takoreći, zalijepljen iz dvije identične polovice, jedna od ovih polovina nalazi se kao ogledalo u odnosu na drugu. List ima zrcalnu simetriju, ali ima i aksijalnu simetriju.
Slajd 8
Oh, simetrija! Pevam tvoju himnu!
Prepoznajem te svuda u svetu.
Jeste li unutra ajfelova kula, u maloj mušici.
Nalazite se u božićnom drvcu u blizini šumske staze.
Sa tobom u prijateljstvu je tulipan i ruža, i snježni roj - stvaranje mraza!
Slajd 9
Gledajući okolo, možemo uočiti simetriju.
Slajd 10
Pogledajmo primjere geometrijskih oblika koji imaju simetriju.
Jednakokraki trokut, pravougaonik, kvadrat, krug i jednakostranični trokut imaju osnu simetriju.
Slajd 11
Centralna simetrija se može vidjeti u paralelogramu, krugu, kvadratu, pravokutniku.
Slajd 12 Simetrija u algebri.
Parabola ima aksijalnu simetriju, dok kubična parabola ima centralnu simetriju.
Slajd 13
Fenomen simetrije u živoj prirodi ponovo je skrenuo pažnju Ancient Greece Pitagorejci u vezi sa razvojem doktrine harmonije (5. vek pne). U 19. stoljeću pojavljuju se izolirani radovi o simetriji u biljnom i životinjskom svijetu.
Ljudsko tijelo je izgrađeno na principu bilateralne simetrije. Većina nas
posmatra mozak kao jedinstvenu strukturu, u stvarnosti je podijeljen na dvije polovine. Ova dva dijela - dvije hemisfere - čvrsto pristaju jedna uz drugu. U potpunom skladu sa opštom simetrijom ljudskog tela, svaka hemisfera je skoro tačna zrcalna slika druge.
Slajd 14
Vertikalna orijentacija ose tela karakteriše simetriju drveta. Listovi, cvjetovi, grane i plodovi imaju izraženu simetriju.
Slajd 15
Simetrija se široko javlja u prirodi, posebno u biljkama, kao što je simetrija cvijeta. Cvijet se smatra simetričnim kada se svaki perianth sastoji od jednakog broja dijelova. Cvijeće koje ima uparene dijelove smatra se cvijećem dvostruke simetrije, itd. Trostruka simetrija je uobičajena za monokotiledone, dok je petostruka simetrija uobičajena za dvosupnice.
Slajd 16
Simetrija kod životinja znači podudarnost veličine, oblika i obrisa, kao i relativan raspored dijelova tijela koji se nalaze na suprotne strane linija razdvajanja.
Sferna simetrija se javlja kod radiolarija i sunčanica, čija su tijela sfernog oblika, a dijelovi su raspoređeni oko središta sfere i protežu se od njega. Takvi organizmi nemaju ni prednje, ni zadnje, ni bočne dijelove tijela; bilo koja ravan povučena kroz centar dijeli životinju na jednake polovine.
Kod radijalne ili radijalne simetrije tijelo ima oblik kratkog ili dugačkog cilindra ili posude sa središnjom osom, iz koje se radijalno protežu dijelovi tijela. To su koelenterati, bodljikaši i morske zvijezde.
Kod bilateralne simetrije postoje tri ose simetrije, ali samo jedan par simetričnih stranica. Jer druge dvije strane - trbušna i dorzalna - nisu slične jedna drugoj. Ova vrsta simetrije je karakteristična za većinu životinja, uključujući insekte, ribe, vodozemce, gmizavce, ptice i sisare.
Slajd 17
Principi simetrije su oruđe u fizici za pronalaženje novih zakona prirode. Među simetričnim principima je Galilejev i Ajnštajnov princip relativnosti.
Slajd 18- 19 Simetrija u hemiji.
Simetrija je otkrivena na atomskom nivou u proučavanju materije. Ona se manifestuje u geometrijski uređenim atomskim strukturama molekula koje su nedostupne direktnom posmatranju.
Godine 1810. D. Dalton, želeći da pokaže svojim slušaocima kako se atomi kombinuju da bi formirali hemijska jedinjenja, napravio je drvene modele kuglica i šipki. Ovi modeli su se pokazali kao odlična vizualna pomagala.
Molekul vode ima ravan simetrije. Ništa se ne mijenja ako zamijenite uparene atome u molekulu; takva razmjena je ekvivalentna operaciji zrcaljenja. Sve čvrste materije su kristali, a kristali imaju simetriju.
Na slici vidite kristale topaza, berila i dimljenog kvarca.
Na slici je jasno vidljiva simetrija vanjskog oblika. Kristali kamene soli, kvarca, aragonita.
Slajd 20-23
Svaka pahulja je mali kristal smrznute vode. Oblik pahuljica može biti vrlo raznolik, ali svi imaju simetriju. Prave prirodne pahulje uvijek imaju šest osi simetrije.
Slajd 24-26
Simetrija igra veliku ulogu u umjetnosti, posebno jasna u ornamentima i arhitekturi.
Koncept simetrije se proteže kroz čitavu vekovnu istoriju ljudskog stvaralaštva. Nalazi se već u izvorima ljudskog razvoja. Čovjek je dugo koristio simetriju u arhitekturi. Daje sklad i potpunost antičkim hramovima, kulama srednjovjekovnih dvoraca i modernim građevinama. Na primjer, zgrada Boljšoj teatra u Moskvi. Ljepota ove građevine povezana je sa simetrijom. Drugi primjer je Katedrala Vasilija Vasilija na Crvenom trgu u Moskvi. Ovo je kompozicija od deset različitih hramova, svaki hram je geometrijski simetričan. Međutim, katedrala u cjelini nema ni ogledalnu ni osnu simetriju.
Slajd 27
Čipka pruža upečatljive primjere simetrije.
Slajd 28
Simetriju su koristili različiti narodi za bojenje kućnih i kulturnih predmeta.
Slajd 29
Uzorak koji se periodično ponavlja na dugoj vrpci naziva se ornament. U praksi se ornamenti nalaze u različitim oblicima: zidne slike, liveno gvožđe, gipsani bareljefi ili keramika. Ornamente koriste slikari i umjetnici prilikom ukrašavanja prostorija. Ljudi su stoljećima vjerovali u zaštitnu moć ornamenta, vjerujući da štiti od nevolja i donosi sreću i blagostanje. Postupno se gubila funkcija amajlije, ali je ostao njegov glavni zadatak - učiniti predmet elegantnijim i privlačnijim, umjetnički izražajnijim.
Slajd 30
Ukrasi su prekrivali zidove u davna vremena, vidite drevne egipatske ukrase. Ornamenti koje je kreirao moderni poznati holandski umjetnik Escher su prekrasni. Holandski umjetnik Maurice Escher koristi efekte simetrije sa izuzetnom genijalnošću u svojim originalnim, jedinstvenim slikama slagalice. Nije li istina da se slike bijelih, crvenih i crnih guštera čvrsto isprepletene jedna s drugom, koje u potpunosti ispunjavaju cijelu ravan slike, doživljavaju kao svojevrsnu himnu sveprožimajućej simetriji.
Slajd 31
Simetrija ogledala se naziva i heraldička simetrija, kao što se može vidjeti u grbovima različite zemlje. Dvoglavi orao je dobro služio ruskoj državi, kao simbol ujedinjenih ruskih zemalja oko bogatog grada i inteligentnog vođe snažne volje. Godine 1997. proslavljena je pola milenijuma ruskog grba. Tokom 5 stoljeća, istorijska sudbina Rusije promijenila se mnogo puta, ali državni grb naše zemlje - njegovo figurativno ime je uvijek služilo domovini, a danas ostaje njen glavni simbol.
Slajd 32
Neka slova imaju simetriju. Na primjer, slovo A. M, T, Sh, P ima vertikalnu os simetrije. Slova B, Z, K, S, E, E imaju horizontalnu simetriju.
A slova ZH, N, O, F, X imaju simetriju na obje ose. Simetrija se može vidjeti i u riječima: radar, red, kozak, koliba. Takve riječi koje čitaju isto u oba smjera nazivaju se palindromi. Tu su i čitave fraze sa ovim svojstvom (ako ne uzimate u obzir razmake između riječi): “Traži taksi”, “Argentina privlači crnca”,
"Argentinac cijeni crnca", "Lesha je pronašao bubu na polici." Mnogi pjesnici su ih voljeli.
Slajd 33 Simetrija u muzici.
Duša muzike, ritam, sastoji se od pravilnog periodičnog ponavljanja delova muzičkog dela. Pravilno ponavljanje identičnih delova u celini je suština muzike. S pravom možemo primijeniti koncept simetrije na muzičko djelo, da je ovo djelo napisano pomoću nota. Kompozicija ima najdirektniju vezu sa simetrijom. Veliki njemački pjesnik J. W. Goethe tvrdio je da je svaka kompozicija zasnovana na skrivenoj simetriji. Ovladati zakonima kompozicije znači savladati zakone simetrije.
Slajd 34
Zaista simetrični objekti okružuju nas doslovno sa svih strana. Mi se bavimo simetrijom gdje god postoji bilo kakav red. Simetrija je suprotstavljena haosu, neredu. Ispostavilo se da je simetrija ravnoteža, urednost, lepota, savršenstvo.
Simetrija je raznolika i sveprisutna. Ona stvara lepotu i harmoniju.
književnost:
1. Vilenkin N.Ya. Iza stranica udžbenika matematike. Aritmetika. Algebra. Geometrija. Knjiga za učenike od 10. do 11. razreda obrazovne institucije: - M: Obrazovanje, 1996.
2. Polya D. Matematičko otkriće - M.: Nauka, 1970
3. Batkin L. M. Leonardo da Vinci i karakteristike renesansnog kreativnog mišljenja. – M.: Umetnost, 1990
4. Gutkov A. Svijet arhitekture: Jezik arhitekture. –M.: Mol. Stražar, 1985
5. N.V. Korneva, Yu.E. Novoselova, E.S. Timakina 9. razred integrisani čas
“Simetrija u geometriji” - Primena simetrije u različitim oblastima nauke i tehnologije. Pronalaženje koordinata tačke. Figure sa aksijalnom simetrijom. CENTRALNA SIMETRIJA - simetrija oko tačke, koja je određena na sledeći način: Rotaciona. Ovdje je centar, ovdje je os. Aksijalna i centralna simetrija u biljnom svijetu. Screw.
“Simetrija ogledala” - Simetrija ogledala. Ravan simetrije. Najsimetričnije figure. Veoma poznat, ali ponekad i misteriozan. Izgradnja slike pomoću zrcalne simetrije je slična refleksiji u ogledalu. Zrcalna simetrija je simetrija u odnosu na ravan.
"Simetrija u svijetu" - Ipak, najčešća je rotirajuća simetrija 5. reda. Zašto simetrija prožima cijeli svijet oko nas? Aksijalna simetrija je jasno vidljiva kod leptira. Grane drveća mogu imati kliznu os simetrije. Simetrija u neživoj prirodi. U prirodi, ono što je lepo uvek je svrsishodno, a ono što je svrsishodno je uvek lepo.
“Simetrija u prirodi” - Fenomen simetrije u živoj prirodi primijećen je još u staroj Grčkoj. Aksijalna simetrija je prilično česta u životu i prirodi. Axial Central. Razmotrimo dvije vrste simetrije. Grčka riječ simetrija doslovno znači proporcionalnost. Proučavanje različitih tipova simetrije predstavlja veliku i važnu granu geometrije, usko povezanu sa mnogim granama prirodnih nauka i tehnologije, u rasponu od proizvodnje tekstila do suptilnih pitanja strukture materije.
“Simetrija u arhitekturi” - Ovdje smo vidjeli ove vrste simetrije: Gdje bi se još, ako ne ovdje, Djed Mraz mogao nastaniti? Svaki stupac je rotirajuća simetrija! Na fotografiji: ansambl katedralnog dvora noću. Rim, Akropolj. Trijumfalna vrata u Sankt Peterburgu u čast pobjede ruskog oružja. Zar nije - ništa gore nego u inostranstvu! Zemlje i gradovi.
“Aksijalna simetrija” - Simetrija u antičkoj i modernoj arhitekturi. Simetrija u prirodi. Slova ruskog jezika se mogu posmatrati i sa stanovišta simetrije. I ruža je pala na Azorovu šapu. Da li su figure simetrične u odnosu na pravu liniju? Simetrična obmana. Simetrija najjednostavnijih figura. Napisano je na hiljade takvih rečenica. Dezeni čuvenih Pavlovo Posadskih šalova sadrže kombinaciju ponavljajućih elemenata.
U ovoj temi ima ukupno 32 prezentacije
Sastanak matematičkog kruga “Simetrija i svijet oko nas”
Na časovima geometrije u 8. razredu naučili smo da postoje sljedeće transformacije figura: (slajd broj 2)
Simetrija oko tačke
Simetrija oko prave linije
Paralelni prijenos
Okreni se
Međutim, ograničenje vremena za proučavanje određene teme znači da na časovima geometrije ostaje vrlo malo vremena da se sazna koji su poznati geometrijski zakoni, a posebno vrste transformacija, odnosno vrste simetrije, prisutne u životu oko sebe. nas.
Stoga smo u krugu matematike odlučili dati odgovore na takva problematična pitanja kao što su: (slajd br. 3)
Koji zakoni simetrije djeluju u području koje nas zanima?
Zašto priroda stvara simetriju? Čemu teži kada stvara simetriju?
Da li u svemu u životu treba da postoji simetrija?
Da bismo pronašli odgovore na ova pitanja, proučavali smo izborni predmeti ovakva edukativna pitanja: (slajd broj 4)
Šta je "simetrija" u matematici?
Koje vrste simetrije postoje? Koja su njihova svojstva?
Gdje se u svijetu oko nas koriste svojstva simetričnih i simetrično smještenih figura?
Kako bismo „pokazali“ odgovore na naša problematična pitanja, sada ćemo zajedno ponoviti: Šta je „simetrija“ u matematici? Koje vrste simetrije postoje?
A onda ćete vi imati riječ za svoje izvještaje. (slajd broj 5)
Nigmetov Timur i Safargaliev Ildar na temu: „Koje vrste simetrije se nalaze u biljnom svijetu
Belousova Vika i Albaeva Julia na temu: „Koje vrste simetrije se nalaze u životinjskom svijetu
Valeev Ildar i Chernov Andrey na temu: "Koje vrste simetrije se nalaze u tehnologiji"
Dakle, počnimo naše ponavljanje: (slajd broj 6)
Na slajdu su prikazane tri šematske slike lica. Koja je od ovih slika prelijepa? Slika pod a) pod b) ili c)
Ali zašto je lepa? (slajd br. 7)
Zato što ova slika ima rotacionu simetriju
Dakle, šta je simetrija? (slajd br. 8)
"Simetrija" je riječ grčkog porijekla.
“sim” - s, “metron” - mjera,
bukvalno – „proporcionalnost“, što znači lepota, harmonija
(slajd br. 9)
Simetrija! Pevamo tvoju himnu
Ti si u Ajfelovom tornju, u maloj mušici,
Nalazite se u božićnom drvcu blizu šumske staze
Djeca to detaljno proučavaju,
Imaju ga romb i kvadrat
Ali sve figure sa simetrijom na svijetu
Još uvijek ne možemo to izbrojati
Ponovimo koje vrste simetrije poznajemo:
(slajd br. 10) 1. Konstruišite figuru F i označite tačku O F
2. Označite tačku X F
3. Napravimo XO gredu
4. Odvojite segment OU=OX
(Govorimo o centralnoj simetriji)
(slajd br. 11) 1. Konstruirajte figuru F i pravu liniju “c”
2. Označite tačku X F
3. Konstruirajmo zraku XM okomitu na pravu liniju sa
4. Odvojite segment MA=HM
O kojoj vrsti simetrije govorimo u ovom slučaju?
(Govorimo o aksijalnoj simetriji)
Prava linija c naziva se osa simetrije
U prostoru, analog osi simetrije je ravan simetrije. (slajd br. 12) Na primjer, kocka je simetrična u odnosu na ravan koja prolazi kroz njenu dijagonalu. Uzimajući u obzir oba slučaja (os simetrije i ravan simetrije), kako se zove ova vrsta simetrije? (zove se ogledalo.)
O kakvoj ćemo simetriji govoriti u sljedećem slučaju, ako kažu da je to transformacija u kojoj se svaka točka figure kreće u istom smjeru i na istoj udaljenosti
(slajd br. 13) Transfer simetrija (translaciona simetrija) je transformacija u kojoj se svaka tačka figure (tijela) kreće u istom smjeru i na istoj udaljenosti
Prava linija AB naziva se translaciona os, a udaljenost a naziva se translacijski element ili period [Preuzmite datoteku da vidite sliku]
A sada da se prisjetimo toga
(slajd br. 14) Klizna simetrija
– ovo je transformacija u kojoj se aksijalna simetrija i paralelna translacija izvode sekvencijalno
(slajd br. 15) Rotaciona simetrija
Za objekt se kaže da ima rotacijsku simetriju ako se poravna sa samim sobom kada se rotira oko neke ose
pod uglom jednakim (n=2,3,4.). U ovom slučaju govore o rotacijskoj simetriji, a naznačena os se naziva osom rotacije n-tog reda
Rotaciona simetrija se takođe može nazvati radijalnom ili radijalnom simetrijom
(slajd br. 16)
Radijalna, ili radijalna, simetrija znači da figura može biti samoporavnana kada se rotira oko određene ose.
(slajd br. 17) Helikalna simetrija
Zavojnu simetriju demonstriraju figure “vijak” i “opruga”. Na njih se primjenjuju operacije prevođenja s istovremenom rotacijom
Dakle, zajedno smo ponovili: koje vrste simetrije postoje u matematici. Sada vam je data reč. Proučili ste relevantnu literaturu i možete nam pokazati: koje vrste simetrije se nalaze u prirodi i tehnologiji, tj.
sada ćemo dati odgovor na naše prvo problematično pitanje: Koje vrste simetrije djeluju u području koje vas zanima?
Timur Nigmetov i Ildar Safargaliev govoriće o simetriji u biljnom svetu (slajd br. 18) Simetrija u neživoj prirodi
Vika Belousova i Julia Albaeva govorit će o simetriji u životinjskom svijetu
(slajd br. 19) Simetrija u živoj prirodi
Valiev Ildar i Chernov Andrey govorit će o simetriji u tehnologiji
Drugovi gosti, zamoliću vas da date ocenu (u rasponu od 3 do 5 poena) paru učenika koji govore redom. Ovo će biti ocjena za njihov praktični dio, ja ću dati ocjenu za izradu izvještaja o obavljenom poslu. Na kraju naše lekcije, jedan od vas će objaviti ocjenu za svaki par učenika za prezentaciju (ocjenu se može komentirati).
Simetrija se nalazi ne samo u prirodi i tehnologiji, već i:
u primijenjenoj umjetnosti (slajd br. 20)
u arhitekturi (slajd br. 21)
u muzici
u poeziji
u slikarstvu
u fizici itd.
u ukrasu naroda svijeta
to jest, simetrija je bukvalno svuda.
Danas u našem razredu postoji mini izložba pojedinačnih komponenti odjeće baškirskog i ruskog naroda. U vezu na atributima odjeće nalazi se ornament: kao geometrijski
(je ideologija Života i dobra, i biljke). Međutim, ono što baškirski ornament razlikuje od ruskog je potpuno odsustvo realističnih slika životinja, ljudi i pejzaža, što je posljedica utjecaja muslimanske kulture - zbog zabrana islama da se prikazuju živa bića.
Ljudi, kada sam predložio da, uz druge teme, uzmete u razmatranje i takvu temu kao što je ornament baškirskog i ruskog naroda, onda ste krenuli putem manjeg otpora i ovom složenom, zanimljiva tema niko to nije uzeo u obzir. Stoga predlažem da napišem istraživački rad na ovu temu. Od čega će se sastojati ovaj istraživački rad, iz kojih se faza sastoji? O svim ovim tačkama ću razgovarati sa onima koji su zainteresovani za ovo pitanje.
Sada još uvijek moramo odgovoriti na posljednje problematično pitanje: da li u svemu u životu treba postojati simetrija?
Svi živimo u simetričnom svijetu, koji je određen životnim uslovima na planeti Zemlji, prije svega gravitacijom koja postoji ovdje. I, najvjerovatnije, podsvjesno osoba razumije da je simetrija oblik stabilnosti, a time i postojanja na našoj planeti. Stoga, u stvarima koje je napravio čovjek, on intuitivno teži simetriji.
Simetriju osoba doživljava kao manifestaciju pravilnosti, a time i unutrašnjeg poretka. Spolja, ovaj unutrašnji poredak se doživljava kao lepota.
Simetrija ne samo da raduje oko i inspiriše pesnike svih vremena i naroda, već omogućava živim organizmima da se bolje prilagode svom okruženju i jednostavno prežive (slajd br. 22)
Antisimetrija je suprotnost simetriji, njeno odsustvo. Primjer antisimetrije u arhitekturi je Katedrala Vasilija Vasilija u Moskvi, gdje je simetrija potpuno odsutna u zgradi u cjelini. Međutim, iznenađujuće je da su pojedini dijelovi ove katedrale simetrični i stvaraju njen sklad.
Disimetrija je djelomični nedostatak simetrije, poremećaj simetrije, izražen u prisustvu nekih simetričnih svojstava i odsustvu drugih. Primjer disimetrije u arhitektonskoj strukturi je Katarininska palača u Carskom Selu u blizini Sankt Peterburga.
Prisutnost dvorske crkve narušava simetriju zgrade u cjelini. Ako ovu crkvu ne uzmemo u obzir, onda palata postaje simetrična.
Dakle, ljudi, treba li u svemu da postoji simetrija u životu? Šta mislite i zašto?
Hajde da sumiramo naš rad:
Evaluacijski papir.
Da li ste ostvarili ono što ste zacrtali?
Jeste li imali dovoljno znanja i vještina ili ste morali nešto naučiti?
Šta je bilo lako, a sa čime ste imali poteškoća?
Opštinska obrazovna ustanova "Područna škola u selu KUČUMBETOVO, OKRUG PERELJUBSKI, SARATOVSKA REGIJA"
OTVORENA LEKCIJA NA PROJEKTU “SIMETRIJA I SVIJET OKO NAS”
PRIPREMLJENA LEKCIJA I
VODI NASTAVNIK
MATEMATIKA
KORSIKOVA S.A.
ŠKOLSKA GODINA 2008-2009
Slika 1g-Naslov 1g-Naslov 2g-Naslov 3g-Naslov 4g-Naslov 5g-Naslov 6g-Naslov 7g-Naslov 8g-Naslov 915
Konkurs kreativnih istraživačkih radova
"Simetrija i svijet oko nas"
Završila: Shvenzel Christina
Učenik 6. razreda
Supervizor:
Ostertag Z. D.
nastavnik matematike
Uvod…………………………………………………………………………………………….2
Target istraživački rad
Ciljevi istraživačkog rada
Faze istraživačkog rada
Metode istraživanja
Navodno praktična upotreba
1. Kretanje i vrste kretanja………………………………………………………….4
2. Simetrija i vrste simetrije………………………………………………………….4
3. Simetrija u biljkama……………………………………………………………………………………………6
4. Simetrija u svijetu insekata, riba, ptica, životinja…………………………..7
5. Simetrija u neživoj prirodi………………………………………………………7
6. Simetrija u arhitekturi…………………………………………………………8
7. Literatura i simetrija…………………………………………………………………..8
8. Simetrija u predmetima dekorativne i primijenjene umjetnosti………………………9
Zaključak……………………………………………………………………………………………..10
Resursi…………………………………………………………………………………………….11
Prijave…………………………………………………………………………………12-19
Uvod
Simetrija je ideja po kojoj
čovjek vekovima pokušava da objasni i stvori
red, lepota i savršenstvo.
Hermann Weil
Koncept simetrije se proteže kroz čitavu vekovnu istoriju ljudskog stvaralaštva. Nalazi se već na izvorima ljudskog znanja, naširoko ga koriste svi pravci bez izuzetka. moderna nauka. Principi simetrije igraju važnu ulogu u fizici i matematici, hemiji i biologiji, tehnologiji i arhitekturi, slikarstvu i skulpturi, poeziji i muzici. Zakoni prirode koji upravljaju neiscrpnom slikom pojava u njihovoj raznolikosti, zauzvrat, podliježu principima simetrije.
Tema mog kreativnog istraživačkog rada je „Simetrija i svijet oko nas“.
Odabrao sam ovu temu jer se simetrija nalazi posvuda. Želeo bih da ga dublje upoznam u svetu oko nas, jer se koncept simetrije široko koristi u svim oblastima moderne nauke.
Svrha istraživačkog rada:
Saznajte „Da li je simetrija harmonija i ljepota? ravnoteža? održivost?
Ciljevi istraživanja:
Pronađite simetrične figure i predmete u svijetu oko vas.
Dokažite da smo okruženi simetričnim objektima.
Definirajte značenje i upotrebu simetrije.
Faze istraživačkog rada:
odabir teme istraživanja od interesa, diskusija o planu istraživanja i međurezultatima, rad sa različitim izvorima informacija;
međukonsultacije sa nastavnikom, javnom nastupu uz prezentaciju prezentacijskog materijala.
Metode istraživanja:
Prikupljanje i strukturiranje prikupljenog materijala u različitim fazama istraživanja.
Izrada crteža, crteža, prezentacija.
Predviđena praktična primena:
Sposobnost primjene stečenog znanja pri rješavanju predmetnih zadataka, u svakodnevnom životu, prilikom proučavanja tema ne samo na časovima matematike, već iu drugim predmetima.
Upotreba rezultata istraživanja u vidu prezentacija predmetnih nastavnika kao pomoćni materijal prilikom izvođenja integrisane nastave iz različitih akademskih disciplina.
1. Kretanje. Vrste kretanja
Kretanje aviona je preslikavanje aviona na sebe, uz očuvanje udaljenosti. Vrste kretanja: rotacija, paralelni prijenos.
Okreni se.
Transformacija u kojoj se svaka tačka A figure (tijela) rotira za isti ugao α oko datog centra O naziva se rotacija ili rotacija ravni. Tačka O naziva se centar rotacije, a ugao α se naziva ugao rotacije. Tačka O je fiksna tačka ove transformacije.
Centralna simetrija je rotacija figure za 180°.
Paralelni prijenos.
Transformacija u kojoj se svaka tačka figure (tijela) kreće u istom smjeru za istu udaljenost naziva se paralelna translacija. Da biste specificirali paralelnu transformaciju translacije, dovoljno je navesti vektor. (Aneks 1).
2.Simetrija. Vrste simetrije
Prema legendi, termin "simetrija" izmislio je vajar Pitagora iz Regija, koji je živio u gradu Regulusu. Odstupanje od simetrije definisao je pojmom “asimetrija”.
Stari Grci su vjerovali da je svemir simetričan samo zato što je lijep. Smatrajući sferu najsimetričnijom i najsavršenijim oblikom, zaključili su da je Zemlja sferna.
Predstavnici prve naučne škole u istoriji čovečanstva, sledbenici Pitagore sa Samosa, radije su koristili reč „harmonija“ umesto reči „simetrija“. Široko koristeći ideju harmonije i simetrije, drevni naučnici voleli su da se okreću ne samo sfernim oblicima, već i pravilnim poliedrima. Pravilni poliedri imaju lica koja su pravilni poligoni istog tipa, a uglovi između strana su jednaki. Stari Grci su ustanovili da postoji samo pet pravilnih konveksnih poliedara, čija su imena povezana s brojem lica - tetraedar, oktaedar, ikosaedar, kocka, dodekaedar. Svi pravilni poliedri imaju zrcalnu simetriju.
Prolazeći kroz vekove, pojam "simetrija" dobija različita tumačenja. „Simetrija je neka vrsta „prosečne mere“, verovao je Aristotel.
Rimski lekar Galen (2. vek nove ere) razumeo je simetriju kao duševni mir i ravnotežu. Leonardo da Vinci je to vjerovao kada je stvarao umjetničko djelo glavna uloga igra proporcionalnosti i harmonije, kojom je shvatio simetriju.
Matematički rigorozna ideja o simetriji nastala je relativno nedavno - u 19.
Aksijalna simetrija.
Transformacija u kojoj se svaka tačka A figure (ili tijela) transformira u tačku A koja joj je simetrična u odnosu na neku os l naziva se aksijalna simetrija (l je os simetrije). Ako tačka A leži na l osi, onda je simetrična samoj sebi, tj. A se poklapa sa A."
Konkretno, ako se pri transformaciji simetrije oko l ose figura F transformiše u sebe, onda se ona naziva simetrična oko l ose, a l osa se naziva osom simetrije.
Centralna simetrija.
Transformacija koja svaku tačku A figure (tijela) vodi u tačku A koja joj je simetrična u odnosu na centar O naziva se transformacija centralne simetrije ili jednostavno centralna simetrija.
Tačka O se naziva središtem simetrije i nepokretna je. Ova transformacija nema drugih fiksnih tačaka.
Ako se pri transformaciji centralne simetrije u odnosu na centar O figura F transformira u sebe, onda se ona naziva simetričnom u odnosu na centar O. U ovom slučaju, centar O se naziva središtem simetrije figure F. Primjeri od figura koje imaju centar simetrije su paralelogram, krug itd.
Klizna simetrija.
Klizna simetrija je transformacija u kojoj se aksijalna simetrija i paralelna translacija izvode sekvencijalno.
Sve navedene transformacije će se zvati transformacijama simetrije.
Sljedeća svojstva vrijede za transformacije simetrije:
1) segment ide u jednak segment;
2) ugao prelazi u njemu jednak ugao;
3) krug se pretvara u jednak krug;
4) bilo koji poligon se pretvara u njemu jednak poligon, itd.
5) paralelne prave prelaze u paralelne, okomite u okomite.
Zrcalna simetrija.
U geometriji postoji još jedna vrsta simetrije - simetrija u odnosu na ravan. Ako transformacija simetrije u odnosu na ravan transformiše lik (tijelo) u sebe, tada se figura naziva simetrična u odnosu na ravan, a ova ravan se naziva ravan simetrije ove figure. U nekim izvorima ova simetrija se naziva zrcalna simetrija. A ogledalo ne samo da kopira objekat, već i menja delove predmeta koji su napred i nazad u odnosu na ogledalo. U poređenju sa samim predmetom, njegov zrcalni pandan ispada da je obrnut duž pravca okomitog na ravan ogledala.
Primjeri figura međusobnog odraza ogledala uključuju desnu i lijevu ruku osobe, desnu i lijevu kost. (Dodatak 2).
3. Simetrija u biljkama
Pažljivo promatranje otkriva da je osnova ljepote mnogih oblika koje je stvorila priroda simetrija, odnosno sve njene vrste - od najjednostavnijih do najsloženijih. učio sam biljni svijet i otkrili da listovi, grane, cvjetovi i plodovi imaju izraženu centralnu, zrcalnu i rotirajuću simetriju. Simetrija oblika i boja cvijeća daje im ljepotu i, po pravilu, imaju mnogo osi simetrije.
(Dodatak 3).
4. Simetrija u svijetu insekata, riba, ptica, životinja
Simetrija se nalazi i u životinjskom svijetu. Međutim, za razliku od biljnog svijeta, simetrija se u životinjskom svijetu ne opaža tako često. učio sam izgled insekata, ptica, životinja i zaključio da simetrija oblika, boja insekata, ptica daje ljepotu i služi za ravnotežu. Razmotrite, na primjer, leptira. Možemo ga mentalno podijeliti po dužini na dva jednaka dijela poput ogledala. Čak se i pjegavi uzorak na njegovim krilima povinuje ovoj geometriji. Sve se pokorava ovoj "simetriji lista". Zapazimo i zrcalnu simetriju ljudskog tijela (govorimo o izgledu i strukturi skeleta). Ova simetrija je oduvijek bila i jeste glavni izvor našeg estetskog divljenja prema dobro proporcionalnom ljudskom tijelu.
(Dodatak 4).
5. Simetrija u neživoj prirodi
Uticaj na izgled zemljine površine prirodni faktori kao što su vetar, voda, sunčeva svetlost, vrlo spontane i često haotične prirode. Međutim, pješčane dine, šljunak na obali mora i krater ugašenog vulkana po pravilu imaju geometrijski pravilne oblike. Upravo kristali unose čar simetrije u svijet nežive prirode. Koliko se pitanja pojavljuje kod osobe koja gleda u pahulje?
Naučnici su se za snježne pahulje zainteresirali relativno nedavno i sasvim slučajno. Pitali su se zašto su svi različiti i u isto vrijeme simetrični. Kao rezultat toga, pokazalo se da je snježna pahulja grupa kristala formiranih od više od dvije stotine ledenih čestica. Snježni kristali se formiraju od molekula vode raspoređenih u savršenom redu. Svaka pahulja je formirana od heksagonalne molekule vode, zbog čega su sve pahulje heksagonalne. Prema mišljenju stručnjaka, glavna karakteristika, koji određuje oblik kristala, je jaka veza između molekula vode, slična povezivanju karika u lancu. Otuda simetrija. Simetrija je svojstvo kristala da se međusobno poravnavaju u različitim položajima kroz rotacije, paralelne transfere i refleksije. Saznao sam da postoje dva glavna oblika pahuljica - heksagonalna ploča i šestougaona zvijezda. Ali u njihovim granicama moguće su razne kombinacije, sada ih ima oko 130 (Prilog 5).
6. Simetrija u arhitekturi
Ljudska kreativnost u svim svojim manifestacijama teži simetriji. Simetrija je najjasnije vidljiva u arhitekturi. Antički arhitekti su posebno briljantno koristili simetriju u arhitektonskim strukturama. Proučavajući različite fotografije, zaključio sam da upotreba simetrije u dizajnu zgrada, simetričnih elemenata u dekoraciji, kao i simetrično smještenih objekata stvaraju ljepotu i sklad.
(Dodatak 6).
7. Literatura i simetrija
U književnim djelima postoji simetrija slika, pozicija i mišljenja. Prisjetimo se, na primjer, zakona odmazde u grčkoj tragediji, gdje krivac postaje žrtva istog zločina.
Slova ruskog jezika se mogu posmatrati i sa stanovišta simetrije. Vertikalna osa simetrije: A; D; L; M; P; T; F; Sh.
Horizontalna osa simetrije: B; E; Z; TO; WITH; E; YU.
I vertikalne i horizontalne ose simetrije: F; N; O; X.
U ruskom jeziku postoje „simetrične riječi - palindromi, koji se mogu čitati podjednako u dva smjera: poplava, sijeno, koliba, kozak, kuhar, pop. (Dodatak 7).
8. Simetrija u predmetima dekorativne i primenjene umetnosti
U konstrukciji ornamenta koristi se princip simetrije. Ornament (od latinskog Ornamentum – ukras) je uzorak koji se sastoji od ponavljajućih, ritmički poredanih elemenata.
Dizajn je bio gotovo isključivo geometrijski, sastojao se od strogih oblika kruga, polukruga, spirale, kvadrata, romba, trokuta i njihovih različitih kombinacija.
U narodnom stvaralaštvu svaka nacionalna kultura razvila je svoj sistem ornamentike – motive, oblike, lokacije na površini koja se ukrašava. Najčešći starogrčki ukrasi - meandar i akant - postali su klasični. Reč "meandar" dolazi od imena veoma krivudave reke u Maloj Aziji. Danas se zove Veliki Menderes. Acanthus je rod zeljaste biljke uobičajene u mediteranskoj regiji. Ima velike listove i lijepo zakrivljene stabljike.
Ornamentalna umjetnost dostigla je savršenstvo na muslimanskom istoku. Karakterizira ga kombinacija geometrijskih i biljnih motiva, budući da je Kuran zabranjivao prikazivanje ljudi i životinja. Kasnije, šireći se po cijeloj Europi, ova vrsta ukrasa nazvana je "arabeska" (od talijanskog Arabesko - arapski). U islamskim zemljama "arabeska" dominira u arhitektonskom dekoru.
Ornament je dostigao visok stepen razvoja u srednjovekovnoj Rusiji. Ruski ornament karakteriziraju i geometrijski i cvjetni oblici, kao i slike ptica, životinja, fantastičnih životinja i ljudskih figura. U ravnom ornamentu jedan od najčešće korištenih motiva je takozvana "pletenica" - razne vrste preplitanja traka kao što su trake, kaiševi, stabljike cvijeća. Teško je sresti osobu koja se nije divila ukrasima. Jedan primjer je parket. (Dodatak 8).
Zaključak
Prikupljajući materijal za kreativno-istraživački rad, naučio sam puno novih stvari i naučio da stečeno geometrijsko znanje primjenjujem za opisivanje i analizu obrazaca koji postoje u svijetu oko mene. Imao sam priliku da se upoznam i sa naučno-popularnom literaturom o problemu odnosa simetrije i umjetnosti, književnosti i arhitekture, te tragao za informacijama potrebnim za potvrdu ili pobijanje činjenica. Razvio sam i ideju o simetriji kao dijelu nauke matematike, koja je proizašla iz potreba ljudske prakse i razvila se iz njih, kao i vlastitih unutrašnjih zakona. Istraživanje koje sam sproveo pokazalo je da je simetrija koja se nalazi u životu, umetnosti, arhitekturi i prirodi jedan od principa harmonične izgradnje sveta. „Sfera uticaja“ simetrije je zaista neograničena. Svugdje ona definira harmoniju prirode, mudrost nauke i ljepotu umjetnosti.
Tokom istraživanja došao sam do sljedećih zaključaka:
Simetrija se široko koristi u svim oblastima nauke.
Simetrija vam omogućava da poboljšate i ubrzate proces stvaranja novih stvari (uzorci, ukrasi, aplikacije, itd.).
Simetrija je harmonija i lepota, ravnoteža i stabilnost.
Na površini ogledala
Moljac sjedi.
Od saznanja istine
Beskonačno daleko.
Jer vjerovatno
A on ne zna
Šta je na površini ogledala?
Selfrefled.
(Leonid Martynov)
Resursi
1. Glazer G.D. Geometrija. – 12. izdanje – M., “Prosvjeta”, 1992.
2. Kompaneets A.S. Simetrija u mikro- i makro svetu - M., Nauka, 1978.
3. Nalivkin D.V. Elementi simetrije organski svijet. – Izv. Biol. Naučno istraživanje Institut na Univerzitetu Perm, tom 3, 1952, br. 8, str. 291-297.
4. Oparin A.I. Pojava života na Zemlji - M., 1987, 458 str.
5. Rudenko V. N. Geometrija 7-9 razredi - M.: Obrazovanje, 1994.
6. Skopets Z.A. Geometrijske minijature - M., "Prosvjeta", 1990.
7. Tarasov L.V. Ovaj neverovatan simetričan svet. – M.: Obrazovanje, 1982.
8. Urmantsev Yu.A. Simetrija u prirodi i priroda simetrije. M., Mysl, 1974. str. 230.
9. Kolekcija Microsoft slika.
Aneks 1
Kretanje i vrste kretanja.
Paralelni prijenos
Dodatak 2
Simetrija i vrste simetrije.
Aksijalna simetrija Centralna simetrija
Klizna simetrija
Zrcalna simetrija
Od djetinjstva se navikavamo na koncept simetrije. Znamo da je leptir simetričan: njegovo desno i lijevo krilo su isto; simetrični točak čiji su sektori identični; simetrične šare ornamenata, zvijezde pahuljica.
Problemu simetrije posvećena je zaista velika literatura. Od udžbenika i naučnih monografija do radova koji obraćaju pažnju ne toliko na crteže i formule, koliko na umetničke slike.
Sam izraz "simetrija" na grčkom znači "proporcionalnost", što su antički filozofi shvaćali kao poseban slučaj harmonije - koordinacije dijelova unutar cjeline. Od davnina su mnogi narodi imali ideju o simetriji u širem smislu - kao ekvivalentu ravnoteže i harmonije.
Simetrija je jedan od najosnovnijih i jedan od najopštijih obrazaca univerzuma: neživa, živa priroda i društvo. Srećemo je svuda. Koncept simetrije se proteže kroz čitavu vekovnu istoriju ljudskog stvaralaštva. Nalazi se već u izvorima ljudskog znanja; široko ga koriste sve oblasti moderne nauke bez izuzetka. Istinski simetrični objekti okružuju nas bukvalno sa svih strana; mi imamo posla sa simetrijom gdje god se uoči bilo kakav red. Ispostavilo se da je simetrija ravnoteža, urednost, lepota, savršenstvo. Raznolik je, sveprisutan. Ona stvara lepotu i harmoniju. Simetrija doslovno prožima cijeli svijet oko nas, zbog čega će tema koju sam odabrao uvijek biti relevantna.
Simetrija izražava očuvanje nečega uprkos nekim promjenama ili očuvanje nečega uprkos promjeni. Simetrija pretpostavlja nepromjenjivost ne samo samog objekta, već i bilo kojeg njegovog svojstva u odnosu na transformacije izvršene na objektu. Nepromjenjivost pojedinih objekata može se uočiti u odnosu na različite operacije - rotacije, translacije, međusobne zamjene dijelova, refleksije itd. U tom smislu razlikuju se različite vrste simetrije. Pogledajmo sve vrste detaljnije.
AKSIJALNA SIMETRIJA.
Simetrija oko prave linije naziva se aksijalna simetrija (zrcalni odraz oko prave linije).
Ako tačka A leži na l osi, onda je simetrična sama sebi, tj. A se poklapa sa A1.
Konkretno, ako se pri transformaciji simetrije u odnosu na os l figura F transformira u sebe, onda se ona naziva simetričnom u odnosu na os l, a osa l se naziva njezinom osom simetrije.
CENTRALNA SIMETRIJA.
Figura se naziva centralno simetrična ako postoji tačka u odnosu na koju je svaka tačka figure simetrična nekoj tački iste figure. Naime: kretanje koje mijenja smjerove u suprotne je centralna simetrija.
Tačka O se naziva središtem simetrije i nepokretna je. Ova transformacija nema drugih fiksnih tačaka. Primjeri figura koje imaju centar simetrije su paralelogram, krug itd.
Poznati koncepti rotacije i paralelnog prevođenja koriste se u definiciji takozvane translacijske simetrije. Pogledajmo simetriju prijevoda detaljnije.
1. TURN
Transformacija u kojoj se svaka tačka A figure (tijela) rotira za isti ugao α oko datog centra O naziva se rotacija ili rotacija ravni. Tačka O naziva se centar rotacije, a ugao α se naziva ugao rotacije. Tačka O je fiksna tačka ove transformacije.
Zanimljiva je rotacijska simetrija kružnog cilindra. Ima beskonačan broj rotacionih osa 2. reda i jednu rotacionu os beskonačno visokog reda.
2. PARALELNI TRANSFER
Transformacija u kojoj se svaka tačka figure (tijela) kreće u istom smjeru za istu udaljenost naziva se paralelna translacija.
Da biste specificirali paralelnu translacionu transformaciju, dovoljno je navesti vektor a.
3. KLIZNA SIMETRIJA
Klizna simetrija je transformacija u kojoj se aksijalna simetrija i paralelna translacija izvode sekvencijalno. Klizna simetrija je izometrija euklidske ravni. Klizna simetrija je kompozicija simetrije u odnosu na neku pravu l i translacija u vektor paralelan sa l (ovaj vektor može biti i nula).
Klizna simetrija se može predstaviti kao kompozicija od 3 aksijalne simetrije (Chalesov teorem).
MIRROR SYMMETRY
Šta bi moglo biti sličnije mojoj ruci ili mom uhu od njihovog vlastitog odraza u ogledalu? A ipak ruka koju vidim u ogledalu ne može se staviti na mjesto prave ruke.
Immanuel Kant.
Ako transformacija simetrije u odnosu na ravan transformiše lik (tijelo) u sebe, tada se figura naziva simetrična u odnosu na ravan, a ova ravan se naziva ravan simetrije ove figure. Ova simetrija se naziva zrcalna simetrija. Kao što samo ime govori, zrcalna simetrija povezuje predmet i njegov odraz u ravnom ogledalu. Dva simetrična tijela ne mogu se „ugnijezditi jedno u drugo“, jer se u poređenju sa samim predmetom njegov dvojnik ogledala-ogledalo ispostavlja da je okrenut duž pravca okomitog na ravan zrcala.
Simetrične figure, uz sve svoje sličnosti, značajno se razlikuju jedna od druge. Dvostruko posmatrano u ogledalu nije tačna kopija samog objekta. Ogledalo ne samo da kopira objekat, već menja (predstavlja) prednji i zadnji deo objekta u odnosu na ogledalo. Na primjer, ako vam je mladež na desnom obrazu, onda je vaš dvojnik u ogledalu na lijevom. Držite knjigu do ogledala i videćete da slova izgledaju izvrnuta naopačke. Sve u ogledalu je preuređeno s desna na lijevo.
Tijela se nazivaju zrcalno jednakim tijelima ako, uz pravilan pomak, mogu formirati dvije polovice zrcalno simetričnog tijela.
2. 2 Simetrija u prirodi
Figura ima simetriju ako postoji kretanje (neidentična transformacija) koje je pretvara u samu sebe. Na primjer, figura ima rotacijsku simetriju ako je prevedena u sebe nekom rotacijom. Ali u prirodi, uz pomoć matematike, ljepota se ne stvara, kao u tehnici i umjetnosti, već se samo bilježi i izražava. Ona ne samo da raduje oko i inspiriše pesnike svih vremena i naroda, već omogućava živim organizmima da se bolje prilagode svom okruženju i jednostavno prežive.
Struktura svakog živog oblika zasniva se na principu simetrije. Iz neposrednog posmatranja možemo zaključiti zakone geometrije i osjetiti njihovo neuporedivo savršenstvo. Ovaj poredak, koji je prirodna nužnost, budući da ništa u prirodi ne služi isključivo u dekorativne svrhe, pomaže nam da pronađemo opći sklad na kojem se temelji cijeli svemir.
Vidimo da priroda dizajnira svaki živi organizam prema određenom geometrijskom uzorku, a zakoni svemira imaju jasno opravdanje.
Principi simetrije su u osnovi teorije relativnosti, kvantne mehanike, fizike čvrstog stanja, atomske i nuklearne fizike, fizike elementarne čestice. Ovi principi su najjasnije izraženi u svojstvima invarijantnosti zakona prirode. Ne govorimo samo o fizičkim zakonima, već i o drugim, na primjer, biološkim.
Govoreći o ulozi simetrije u procesu naučna saznanja, posebno treba istaći upotrebu metode analogija. Prema francuskom matematičaru D. Polya, „možda nema otkrića ni u elementarnoj ni u višoj matematici, ili, možda, u bilo kojoj drugoj oblasti koja bi se mogla napraviti bez analogija.“ Većina ovih analogija zasniva se na zajedničkim korijenima , opšti obrasci, koji se pojavljuju na isti način na različitim nivoima hijerarhije.
Dakle, u savremenom shvatanju, simetrija je opšta naučna filozofska kategorija koja karakteriše strukturu organizacije sistema. Najvažnija imovina simetrija je očuvanje (invarijantnost) određenih karakteristika (geometrijskih, fizičkih, bioloških, itd.) u odnosu na dobro definisane transformacije. Matematički aparat za proučavanje simetrije danas je teorija grupa i teorija invarijanti.
Simetrija u biljnom svijetu
Specifična struktura biljaka određena je karakteristikama staništa na koje se prilagođavaju. Svako drvo ima bazu i vrh, „vrh” i „dno” koji obavljaju različite funkcije. Značaj razlike između gornjeg i donjeg dijela, kao i smjer gravitacije, određuju vertikalnu orijentaciju rotacijske ose „drvenog konusa“ i ravni simetrije. Drvo uz pomoć svog korijenskog sistema upija vlagu i hranjive tvari iz tla, odnosno odozdo, a preostale vitalne funkcije obavlja krošnja, odnosno iznad. Istovremeno, pravci u ravni okomitoj na vertikalu se praktično ne razlikuju za drvo; u svim ovim pravcima vazduh, svetlost i vlaga podjednako ulaze u drvo.
Drvo ima vertikalnu rotirajuću os (os konusa) i vertikalne ravni simetrije.
Kada želimo nacrtati list biljke ili leptira, moramo voditi računa o njihovoj aksijalnoj simetriji. Srednja žica za list služi kao os simetrije. Listovi, grane, cvijeće i plodovi imaju izraženu simetriju. Listove karakterizira zrcalna simetrija. Ista simetrija nalazi se i kod cvijeća, ali se kod njih zrcalna simetrija često pojavljuje u kombinaciji s rotacijskom. Česti su i slučajevi figurativne simetrije (grane bagrema, stabla rovke).
U raznolikom svijetu boja nalaze se rotacijske osi različitih redova. Međutim, najčešća je rotacijska simetrija 5. reda. Ova simetrija se nalazi u velikom broju divljih cvijeća (zvono, zaboravnica, geranijum, karanfil, kantarion, petolist), u cvjetovima voćaka (trešnja, jabuka, kruška, mandarina itd.), u cvjetovima voćnog i bobičastog bilja (jagode, maline, viburnum, ptičja trešnja, oren, šipak, glog) itd.
Akademik N. Belov ovu činjenicu objašnjava činjenicom da je os 5. reda svojevrsni instrument borbe za egzistenciju, „osiguranje od okamenjenosti, kristalizacije, čiji bi prvi korak bilo njihovo hvatanje u mrežu“. Zaista, živi organizam nema kristalnu strukturu u smislu da čak ni njegovi pojedinačni organi nemaju prostornu rešetku. Međutim, uređene strukture su u njemu vrlo široko zastupljene.
U svojoj knjizi “Ovaj desni, lijevi svijet” M. Gardner piše: “Na Zemlji je život nastao u sferno simetričnim oblicima, a zatim se počeo razvijati po dvije glavne linije: formiran je svijet biljaka sa simetrijom konusa i svijet životinja sa bilateralnom simetrijom.”
U prirodi postoje tijela koja imaju spiralnu simetriju, odnosno poravnanje sa svojim prvobitnim položajem nakon rotacije za ugao oko ose, uz dodatni pomak duž iste ose.
Ako je racionalan broj, onda se ispostavlja da je rotirajuća os i translaciona os.
Listovi na stabljici nisu raspoređeni u pravu liniju, već spiralno okružuju granu. Zbir svih prethodnih koraka spirale, počevši od vrha, jednak je vrijednosti sljedećeg koraka A+B=C, B+C=D, itd.
Helikalna simetrija se uočava u rasporedu listova na stabljikama većine biljaka. Postavljeni kao vijak duž stabljike, listovi kao da se rašire u svim smjerovima i ne blokiraju jedni druge od svjetlosti, koja je izuzetno neophodna za život biljaka. Ovaj zanimljivi botanički fenomen naziva se filotaksija (bukvalno "raspored listova").
Još jedna manifestacija filotaksije je struktura cvasti suncokreta ili ljuskice jele, u kojoj su ljuske raspoređene u obliku spirala i spiralnih linija. Ovaj raspored je posebno jasan kod ananasa koji ima više ili manje heksagonalne ćelije koje formiraju redove koji se kreću u različitim smjerovima.
Simetrija u životinjskom svijetu
Značaj oblika simetrije za životinju je lako razumjeti ako je povezan s načinom života i uvjetima okoline. Simetrija kod životinja znači podudarnost veličine, oblika i obrisa, kao i relativni raspored dijelova tijela koji se nalaze na suprotnim stranama razdjelne linije.
Rotaciona simetrija 5. reda nalazi se iu životinjskom svetu. Ovo je simetrija u kojoj se objekt poravnava sam sa sobom kada se 5 puta rotira oko rotacijske ose. Primjeri uključuju morsku zvijezdu i školjku morskog ježa. Cijela koža morske zvijezde kao da je optočena malim pločama kalcijum karbonata; iz nekih ploča se protežu iglice, od kojih su neke pokretne. Obična morska zvijezda ima 5 ravni simetrije i 1 os rotacije 5. reda (ovo je najveća simetrija među životinjama). Čini se da su njeni preci imali nižu simetriju. To dokazuje, posebno, struktura zvjezdanih ličinki: one, kao i većina živih bića, uključujući ljude, imaju samo jednu ravan simetrije. Morske zvijezde nemaju horizontalnu ravan simetrije: imaju "vrh" i "dno". Morski ježevi su kao živi jastučići; njihovo sferično tijelo nosi dugačke i pokretne igle. Kod ovih životinja, vapnenačke ploče kože su se spojile i formirale sferni omotač. U središtu donje površine nalaze se usta. Ambulakralne noge (vodeno-vaskularni sistem) skupljene su u 5 pruga na površini školjke.
Međutim, za razliku od biljnog svijeta, rotacijska simetrija se rijetko opaža u životinjskom svijetu.
Insekte, ribe, jaja i životinje karakterizira razlika između smjerova "naprijed" i "nazad" koja nije kompatibilna s rotacijskom simetrijom.
Smjer kretanja je temeljno odabran smjer, u odnosu na koji nema simetrije ni u jednom insektu, nijednoj ptici ili ribi, nijednoj životinji. U tom smjeru životinja juri za hranom, u istom smjeru bježi od svojih progonitelja.
Osim smjera kretanja, simetriju živih bića određuje još jedan smjer - smjer gravitacije. Oba pravca su značajna; oni definiraju ravan simetrije životinjskog bića.
Bilateralna (zrcalna) simetrija je karakteristična simetrija svih predstavnika životinjskog svijeta. Ova simetrija je jasno vidljiva kod leptira. Simetrija lijevog i desnog krila ovdje se pojavljuje s gotovo matematičkom strogošću.
Možemo reći da se svaka životinja (kao i insekti, ribe, ptice) sastoji od dva enantiomorfa - desne i lijeve polovice. Enantiomorfi su također upareni dijelovi, od kojih jedan pada u desnu, a drugi u lijevu polovicu tijela životinje. Dakle, enantiomorfi su desno i lijevo uho, desno i lijevo oko, desni i lijevi rog itd.
Pojednostavljivanje životnih uslova može dovesti do narušavanja bilateralne simetrije, a životinje od bilateralne simetrije postaju radijalno simetrične. Ovo se odnosi na bodljokože (morske zvijezde, morski ježevi, krinoidi). Sve morske životinje imaju radijalnu simetriju, u kojoj dijelovi tijela zrače daleko od središnje ose, poput žbica točka. Stupanj aktivnosti životinja korelira s njihovom vrstom simetrije. Radijalno simetrični bodljikaši su obično slabo pokretni, kreću se sporo ili su pričvršćeni za morsko dno. Tijelo morske zvijezde sastoji se od centralnog diska i 5-20 ili više zraci koji zrače iz njega. Matematičkim jezikom, ova simetrija se naziva rotaciona simetrija.
Zapazimo na kraju zrcalnu simetriju ljudskog tijela (govorimo o izgledu i strukturi skeleta). Ova simetrija je oduvijek bila i jeste glavni izvor našeg estetskog divljenja prema dobro proporcionalnom ljudskom tijelu. Hajde da za sada ne otkrivamo postoji li apsolutno simetrična osoba. Svako će, naravno, imati mladež, pramen kose ili neki drugi detalj koji narušava vanjsku simetriju. Lijevo oko nikada nije potpuno isto kao desno, a uglovi usana su u različitim visinama, barem kod većine ljudi. Ipak, ovo su samo manje nedosljednosti. Niko neće sumnjati da je osoba spolja građena simetrično: lijeva ruka uvijek odgovara desnoj, a obje ruke su potpuno iste.
Svima je poznato da je sličnost između naših ruku, ušiju, očiju i drugih dijelova tijela ista kao između predmeta i njegovog odraza u ogledalu. Ovdje se posvećuje pažnja pitanjima simetrije i zrcalne refleksije.
Mnogi umjetnici su pomno pazili na simetriju i proporcije ljudskog tijela, barem sve dok su bili vođeni željom da u svojim radovima što bliže prate prirodu.
U modernim slikarskim školama, vertikalna veličina glave najčešće se uzima kao jedna mjera. Uz određenu pretpostavku, možemo pretpostaviti da je dužina tijela osam puta veća od veličine glave. Veličina glave je proporcionalna ne samo dužini tijela, već i veličini ostalih dijelova tijela. Svi ljudi su izgrađeni na ovom principu, zbog čega smo, generalno, slični jedni drugima. Međutim, naše su proporcije samo približno konzistentne, pa su ljudi samo slični, ali ne i isti. U svakom slučaju, svi smo simetrični! Osim toga, neki umjetnici posebno ističu ovu simetriju u svojim radovima.
Naša vlastita simetrija ogledala nam je vrlo zgodna, omogućava nam da se krećemo pravo i s jednakom lakoćom skrećemo desno i lijevo. Simetrija ogledala podjednako je pogodna za ptice, ribe i druga bića koja se aktivno kreću.
Bilateralna simetrija znači da je jedna strana tijela životinje odraz ogledala druga strana. Ovaj tip organizacije karakterističan je za većinu beskičmenjaka, posebno anelide i člankonošce - ljuskare, pauke, insekte, leptire; za kičmenjake - ribe, ptice, sisare. Bilateralna simetrija se najprije pojavljuje kod ravnih crva, kod kojih se prednji i stražnji krajevi tijela razlikuju jedan od drugog.
Razmotrimo još jednu vrstu simetrije koja se nalazi u životinjskom svijetu. Ovo je spiralna ili spiralna simetrija. Zavojna simetrija je simetrija u odnosu na kombinaciju dvije transformacije - rotacije i translacije duž ose rotacije, odnosno postoji kretanje duž ose vijka i oko ose vijka.
Primjeri prirodnih propelera su: kljova narvala (mali kit koji živi u sjevernim morima) - lijevi propeler; puževa školjka – desni vijak; Rogovi pamirskog ovna su enantiomorfi (jedan rog je uvijen u lijevoj spirali, a drugi u desnoj spirali). Spiralna simetrija nije idealna, na primjer, školjka mekušaca se sužava ili širi na kraju. Iako je vanjska spiralna simetrija rijetka kod višećelijskih životinja, mnoge važne molekule od kojih su izgrađeni živi organizmi - proteini, dezoksiribonukleinske kiseline - DNK imaju spiralnu strukturu.
Simetrija u neživoj prirodi
Kristalna simetrija je svojstvo kristala da se poravnavaju sami sa sobom u različitim položajima rotacijom, refleksijom, paralelnom translacijom ili dijelom ili kombinacijom ovih operacija. Simetrija vanjskog oblika (reza) kristala određena je simetrijom njegovog atomska struktura, što također određuje simetriju fizičkih svojstava kristala.
Pogledajmo pobliže višestruke oblike kristala. Prije svega, jasno je da su kristali različite supstance razlikuju jedni od drugih po svojim oblicima. Kamena sol je uvijek kocke; gorski kristal - uvijek heksagonalne prizme, ponekad sa glavama u obliku trokutnih ili šesterokutnih piramida; dijamant - najčešće pravilni oktaedri (oktaedri); Led su heksagonalne prizme, vrlo slične gorskom kristalu, a pahulje su uvijek šestokrake zvijezde. Šta vam upada u oči kada pogledate kristale? Prije svega, njihova simetrija.
Mnogi ljudi misle da su kristali lijepo, rijetko kamenje. Dolaze u različitim bojama, obično su prozirne i, najbolje od svega, imaju lijep, pravilan oblik. Najčešće su kristali poliedri, njihove strane (lice) su savršeno ravne, a rubovi su im strogo ravni. Oduševljavaju oko divnom igrom svjetla u svojim rubovima i zadivljujućom ispravnošću svoje strukture.
Međutim, kristali uopće nisu muzejska rijetkost. Kristali nas svuda okružuju. Čvrste materije od kojih gradimo kuće i mašine, supstance koje koristimo u svakodnevnom životu - gotovo sve pripadaju kristalima. Zašto ovo ne vidimo? Činjenica je da se u prirodi rijetko susreću tijela u obliku zasebnih monokristala (ili, kako se kaže, monokristala). Najčešće se tvar nalazi u obliku čvrsto prilijepljenih kristalnih zrna vrlo male veličine - manje od hiljaditi dio milimetra. Ova struktura se može vidjeti samo kroz mikroskop.
Tijela koja se sastoje od kristalnih zrna nazivaju se fino kristalna, ili polikristalna („poli“ - na grčkom „mnogo“).
Naravno, fino kristalna tela takođe treba klasifikovati kao kristale. Tada se ispostavlja da su gotovo sva čvrsta tijela oko nas kristali. Pijesak i granit, bakar i željezo, boje - sve su to kristali.
Postoje izuzeci; staklo i plastika se ne sastoje od kristala. Takve čvrste materije nazivaju se amorfnim.
Proučavanje kristala znači proučavanje gotovo svih tijela oko nas. Jasno je koliko je ovo važno.
Monokristali se odmah prepoznaju po pravilnom obliku. Ravne strane i ravne ivice su karakteristično svojstvo kristal; ispravnost forme je nesumnjivo povezana sa ispravnošću unutrašnja struktura kristal. Ako je kristal posebno izdužen u određenom smjeru, to znači da je struktura kristala u tom smjeru nekako posebna.
Postoji centar simetrije u kocki kamene soli, u oktaedru dijamanta i u zvijezdi pahulje. Ali u kristalu kvarca nema centra simetrije.
Najpreciznija simetrija se postiže u svijetu kristala, ali ni ovdje nije idealna: pukotine i ogrebotine nevidljive oku uvijek čine jednaka lica malo različita jedna od druge.
Svi kristali su simetrični. To znači da se u svakom kristalnom poliedru mogu naći ravni simetrije, osi simetrije, centar simetrije ili drugi elementi simetrije tako da su identični dijelovi poliedra međusobno poravnati.
Svi elementi simetrije ponavljaju iste dijelove figure, svi joj daju simetričnu ljepotu i potpunost, ali je centar simetrije najzanimljiviji. Da li kristal ima centar simetrije ili ne može odrediti ne samo njegov oblik, već i mnoge fizička svojstva kristal.
Saće je pravo dizajnersko remek-djelo. Sastoje se od niza heksagonalnih ćelija. Ovo je najgušće pakovanje koje omogućava najpovoljnije postavljanje larve u ćeliju i, uz maksimalnu moguću zapreminu, najekonomičniju upotrebu građevinskog materijala - voska.
III Zaključak
Simetrija prožima bukvalno sve oko sebe, hvatajući naizgled potpuno neočekivana područja i objekte.Ona, manifestirajući se u najrazličitijim objektima materijalnog svijeta, nesumnjivo odražava njegova najopštija, najosnovnija svojstva. Principi simetrije igraju važnu ulogu u fizici i matematici, hemiji i biologiji, tehnologiji i arhitekturi, slikarstvu i skulpturi, poeziji i muzici.
Vidimo da priroda dizajnira svaki živi organizam prema određenom geometrijskom uzorku, a zakoni svemira imaju jasno opravdanje. Stoga je proučavanje simetrije različitih prirodnih objekata i poređenje njegovih rezultata pogodan i pouzdan alat za razumijevanje osnovnih zakona postojanja materije.
Zakoni prirode koji upravljaju neiscrpnom slikom pojava u njihovoj raznolikosti, zauzvrat, podliježu principima simetrije. Postoji mnogo vrsta simetrije, kako u biljnom tako i u životinjskom svijetu, ali uz svu raznolikost živih organizama, princip simetrije uvijek djeluje, a ta činjenica još jednom naglašava harmoniju našeg svijeta. Simetrija je u osnovi stvari i pojava, izražavajući nešto zajedničko, karakteristično za različite predmete, dok je asimetrija povezana sa individualnim utjelovljenjem te zajedničke stvari u konkretnom objektu.
Dakle, na ravni imamo četiri tipa kretanja koja transformišu figuru F u jednaku figuru F1:
1) paralelni prenos;
2) aksijalna simetrija (odraz od prave linije);
3) rotacija oko tačke (Parcijalni slučaj - centralna simetrija);
4) „klizni” odraz.
U prostoru, zrcalna simetrija se dodaje gornjim vrstama simetrije.
Vjerujem da je cilj postavljen u apstraktu postignut. Kada sam pisao svoj esej, najveća poteškoća mi je bila izvlačenje vlastitih zaključaka. Mislim da će moj rad pomoći školarcima da prošire svoje razumijevanje simetrije. Nadam se da će moj esej biti uvršten u metodički fond kabineta matematike.
