Rješavanje složenih logaritamskih nejednačina. Manovljev rad "logaritamske nejednakosti na ispitu". Kako riješiti logaritamske nejednakosti

Mislite li da ima još vremena do ispita i da ćete imati vremena da se pripremite? Možda je to tako. Ali u svakom slučaju, što ranije student počne sa obukom, to će uspješnije polagati ispite. Danas smo odlučili posvetiti članak logaritamskim nejednačinama. Ovo je jedan od zadataka, što znači mogućnost da dobijete dodatni bod.

Da li već znate šta je logaritam (log)? Zaista se nadamo. Ali čak i ako nemate odgovor na ovo pitanje, to nije problem. Vrlo je lako razumjeti šta je logaritam.

Zašto baš 4? Trebate podići broj 3 na takav stepen da dobijete 81. Kada shvatite princip, možete preći na složenije proračune.

Prošli ste kroz nejednakosti prije nekoliko godina. I od tada ih stalno susrećete u matematici. Ako imate problema s rješavanjem nejednakosti, pogledajte odgovarajući odjeljak.
Sada, kada smo se upoznali sa konceptima odvojeno, preći ćemo na njihovo razmatranje uopšte.

Najjednostavnija logaritamska nejednakost.

Najjednostavnije logaritamske nejednakosti nisu ograničene na ovaj primjer, postoje još tri, samo s različitim predznacima. Zašto je ovo potrebno? Da bolje razumijemo kako riješiti nejednakost logaritmima. Sada dajemo primjereniji primjer, još uvijek prilično jednostavan, kompleksne logaritamske nejednakosti ostavljamo za kasnije.

Kako to riješiti? Sve počinje od ODZ-a. Trebali biste znati više o tome ako želite uvijek lako riješiti bilo koju nejednakost.

Šta je ODZ? DPV za logaritamske nejednakosti

Skraćenica označava raspon važećih vrijednosti. U zadacima za ispit ova formulacija se često pojavljuje. DPV vam je koristan ne samo u slučaju logaritamskih nejednakosti.

Pogledajte ponovo gornji primjer. Na osnovu toga ćemo razmotriti ODZ, kako biste razumjeli princip, a rješenje logaritamskih nejednakosti ne postavlja pitanja. Iz definicije logaritma slijedi da 2x+4 mora biti veće od nule. U našem slučaju to znači sljedeće.

Ovaj broj mora biti pozitivan po definiciji. Riješite gore prikazanu nejednakost. To se može učiniti čak i usmeno, ovdje je jasno da X ne može biti manji od 2. Rješenje nejednakosti će biti definicija raspona prihvatljivih vrijednosti.
Pređimo sada na rješavanje najjednostavnije logaritamske nejednakosti.

Same logaritme odbacujemo iz oba dijela nejednakosti. Šta nam ostaje kao rezultat? jednostavna nejednakost.

Lako je to riješiti. X mora biti veći od -0,5. Sada kombinujemo dve dobijene vrednosti u sistem. dakle,

Ovo će biti područje dopuštenih vrijednosti za razmatranu logaritamsku nejednakost.

Zašto je ODZ uopšte potreban? Ovo je prilika da se iskorijene netačni i nemogući odgovori. Ako odgovor nije u rasponu prihvatljivih vrijednosti, onda odgovor jednostavno nema smisla. Ovo vrijedi dugo pamtiti, jer na ispitu često postoji potreba za traženjem ODZ-a, a ne tiče se samo logaritamskih nejednakosti.

Algoritam za rješavanje logaritamske nejednakosti

Rješenje se sastoji od nekoliko koraka. Prvo, potrebno je pronaći raspon prihvatljivih vrijednosti. U ODZ-u će postojati dvije vrijednosti, ovo smo razmotrili iznad. Sljedeći korak je rješavanje same nejednakosti. Metode rješenja su sljedeće:

• metoda zamjene množitelja;
• raspadanje;
• metoda racionalizacije.

Ovisno o situaciji, treba koristiti jednu od gore navedenih metoda. Idemo direktno na rješenje. Otkrit ćemo najpopularniju metodu koja je prikladna za rješavanje USE zadataka u gotovo svim slučajevima. Zatim ćemo razmotriti metodu dekompozicije. Može pomoći ako naiđete na posebno "škakljivu" nejednakost. Dakle, algoritam za rješavanje logaritamske nejednakosti.

Primjeri rješenja :

Nije uzalud uzeli upravo takvu nejednakost! Obratite pažnju na bazu. Zapamtite: ako je veći od jedan, predznak ostaje isti prilikom pronalaženja raspona važećih vrijednosti; u suprotnom, znak nejednakosti se mora promijeniti.

Kao rezultat, dobijamo nejednakost:

Sada lijevu stranu dovodimo u oblik jednačine jednak nuli. Umjesto znaka “manje od” stavljamo “jednako”, rješavamo jednačinu. Tako ćemo pronaći ODZ. Nadamo se da će sa rješenjem takvih jednostavna jednačina nećeš imati problema. Odgovori su -4 i -2. To nije sve. Ove tačke morate prikazati na grafikonu, postaviti "+" i "-". Šta je potrebno učiniti za ovo? Zamijenite brojeve iz intervala u izraz. Gdje su vrijednosti pozitivne, stavljamo "+".

Odgovori: x ne može biti veći od -4 i manji od -2.

Pronašli smo raspon važećih vrijednosti samo za lijevu stranu, sada moramo pronaći raspon važećih vrijednosti za desnu stranu. Ovo nikako nije lakše. Odgovor: -2. Presijecamo oba primljena područja.

I tek sada počinjemo rješavati samu nejednakost.

Pojednostavimo što je više moguće kako bismo lakše odlučili.

Ponovo koristimo metodu intervala u rješenju. Preskočimo proračune, kod njega je već sve jasno iz prethodnog primjera. Odgovori.

Ali ova metoda je prikladna ako logaritamska nejednakost ima iste baze.

Rješavanje logaritamskih jednačina i nejednačina sa različitim bazama uključuje početno svođenje na jednu bazu. Zatim koristite gornju metodu. Ali ima još toga težak slučaj. Razmotrite jednu od najčešćih složene vrste logaritamske nejednakosti.

Logaritamske nejednakosti s promjenjivom bazom

Kako riješiti nejednakosti sa takvim karakteristikama? Da, i takve se mogu naći na ispitu. Rješavanje nejednačina na sljedeći način također će imati blagotvoran učinak na vaše obrazovni proces. Pogledajmo pitanje detaljno. Ostavimo teoriju po strani i pređimo odmah na praksu. Za rješavanje logaritamskih nejednakosti dovoljno je jednom se upoznati s primjerom.

Za rješavanje logaritamske nejednakosti prikazanog oblika potrebno je desnu stranu svesti na logaritam s istom osnovom. Princip liči na ekvivalentne prelaze. Kao rezultat, nejednakost će izgledati ovako.

Zapravo, ostaje da se napravi sistem nejednakosti bez logaritama. Koristeći metodu racionalizacije, prelazimo na ekvivalentan sistem nejednakosti. Shvatićete samo pravilo kada zamenite odgovarajuće vrednosti i pratite njihove promene. Sistem će imati sljedeće nejednakosti.

Koristeći metodu racionalizacije pri rješavanju nejednakosti, morate zapamtiti sljedeće: morate oduzeti jedan od baze, x, po definiciji logaritma, oduzima se od oba dijela nejednačine (desni s lijeve strane), dva izrazi se množe i postavljaju pod originalni predznak u odnosu na nulu.

Dalje rješenje se provodi metodom intervala, ovdje je sve jednostavno. Važno je da shvatite razlike u metodama rješenja, tada će sve početi lako funkcionirati.

Postoje mnoge nijanse u logaritamskim nejednačinama. Najjednostavnije od njih je dovoljno lako riješiti. Kako to učiniti da se svaki od njih riješi bez problema? Već ste dobili sve odgovore u ovom članku. Sada je pred vama duga praksa. Konstantno vježbajte rješavanje raznih zadataka u okviru ispita i moći ćete dobiti najveći rezultat. Sretno u Vašem teškom radu!

LOGARITAMSKE NEJEDNAKOSTI U UPOTREBI

Sečin Mihail Aleksandrovič

Mala akademija nauka za studente Republike Kazahstan "Tragač"

MBOU "Sovjetska srednja škola br. 1", 11. razred, grad. Sovjetski sovjetski okrug

Gunko Ljudmila Dmitrijevna, učiteljica MBOU "Sovjetska srednja škola br. 1"

Sovjetski okrug

Cilj rada: proučavanje mehanizma za rješavanje logaritamskih C3 nejednačina primjenom nestandardnih metoda, identifikacija zanimljivosti logaritam.

Predmet studija:

3) Naučite rješavati specifične logaritamske C3 nejednačine koristeći nestandardne metode.

Rezultati:

Sadržaj

Uvod……………………………………………………………………………………………………….4

Poglavlje 1. Pozadina……………………………………………………………………...5

Poglavlje 2. Zbirka logaritamskih nejednačina ………………………… 7

2.1. Ekvivalentni prijelazi i generalizirana metoda intervala…………… 7

2.2. Metoda racionalizacije …………………………………………………………… 15

2.3. Nestandardna zamjena………………………………………………………………………………………………………………. ..... 22

2.4. Zadaci sa zamkama…………………………………………………… 27

Zaključak……………………………………………………………………………… 30

Književnost…………………………………………………………………………………. 31

Uvod

Ja sam 11. razred i planiram da upišem fakultet gdje je matematika osnovni predmet. I zato mnogo radim sa zadacima iz dela C. U zadatku C3 treba da rešite nestandardnu ​​nejednakost ili sistem nejednakosti, obično povezan sa logaritmima. Pripremajući se za ispit, naišao sam na problem nedostatka metoda i tehnika za rješavanje ispitnih logaritamskih nejednakosti ponuđenih u C3. Metode koje se proučavaju u školski program na ovu temu, ne daju osnovu za rješavanje zadataka C3. Nastavnica matematike mi je predložila da samostalno radim sa C3 zadacima pod njenim vodstvom. Osim toga, zanimalo me je pitanje: postoje li logaritmi u našem životu?

Imajući to na umu, odabrana je tema:

"Logaritamske nejednakosti na ispitu"

Cilj rada: proučavanje mehanizma za rješavanje C3 problema korištenjem nestandardnih metoda, otkrivajući zanimljive činjenice o logaritmu.

Predmet studija:

1) Pronađite potrebne informacije o nestandardnim metodama za rješavanje logaritamskih nejednačina.

2) Pronađite dodatne informacije o logaritmima.

3) Naučite rješavati specifične C3 probleme koristeći nestandardne metode.

Rezultati:

Praktični značaj leži u proširenju aparata za rješavanje problema C3. Ovaj materijal se može koristiti u nekim časovima, za vođenje kružoka, fakultativne nastave iz matematike.

Proizvod projekta će biti zbirka "Logaritamske C3 nejednačine sa rješenjima".

Poglavlje 1. Pozadina

Tokom 16. vijeka, broj približnih proračuna se brzo povećao, prvenstveno u astronomiji. Poboljšanje instrumenata, proučavanje kretanja planeta i drugi radovi zahtijevali su kolosalne, ponekad i višegodišnje, proračune. Astronomija je bila u stvarnoj opasnosti da se utopi u neispunjenim proračunima. Poteškoće su se pojavile iu drugim oblastima, na primjer, u poslovima osiguranja, bile su potrebne tabele složenih kamata za različite procentualne vrijednosti. Glavna poteškoća je bila množenje, dijeljenje višecifrenih brojeva, posebno trigonometrijske veličine.

Otkriće logaritama zasnivalo se na dobro poznatim svojstvima progresija do kraja 16. veka. O komunikaciji među članovima geometrijska progresija q, q2, q3, ... i aritmetička progresija njihovi pokazatelji su 1, 2, 3, ... Arhimed je govorio u "Psalmitu". Drugi preduvjet je bio proširenje koncepta stepena na negativne i razlomke. Mnogi autori su istakli da množenje, dijeljenje, podizanje na stepen i vađenje korijena eksponencijalno odgovaraju u aritmetici - istim redoslijedom - sabiranje, oduzimanje, množenje i dijeljenje.

Ovdje je bila ideja o logaritmu kao eksponentu.

U istoriji razvoja doktrine logaritma prošlo je nekoliko faza.

Faza 1

Logaritme su izumili najkasnije 1594. nezavisno škotski baron Napier (1550-1617), a deset godina kasnije švajcarski mehaničar Burgi (1552-1632). Obojica su željeli da pruže novo pogodno sredstvo aritmetičkih proračuna, iako su ovom problemu pristupili na različite načine. Napier je kinematički izrazio logaritamsku funkciju i tako ušao u novo polje teorije funkcija. Bürgi je ostao na osnovu razmatranja diskretnih progresija. Međutim, definicija logaritma za oba nije slična modernoj. Izraz "logaritam" (logaritam) pripada Napieru. Nastao je kombinacijom grčkih riječi: logos - "odnos" i ariqmo - "broj", što je značilo "broj odnosa". U početku je Napier koristio drugačiji termin: numeri artificiales - "vještački brojevi", za razliku od numeri naturalts - "prirodni brojevi".

Godine 1615., u razgovoru s Henryjem Briggsom (1561-1631), profesorom matematike na Gresh koledžu u Londonu, Napier je predložio da se uzme nula za logaritam od jedan, a 100 za logaritam od deset, ili, što znači isto , samo 1. Ovako decimalni logaritmi i štampane su prve logaritamske tablice. Kasnije je Briggsove tabele dopunio holandski knjižar i matematičar Andrian Flakk (1600-1667). Napier i Briggs, iako su prije ikoga došli do logaritma, objavili su svoje tablice kasnije od drugih - 1620. godine. Znakove log i log uveo je 1624. I. Kepler. Termin "prirodni logaritam" uveo je Mengoli 1659. godine, zatim N. Mercator 1668. godine, a londonski učitelj Džon Spadel objavio je tabele prirodnih logaritama brojeva od 1 do 1000 pod nazivom "Novi logaritmi".

Na ruskom jeziku prve logaritamske tablice objavljene su 1703. Ali u svim logaritamskim tablicama napravljene su greške u proračunu. Prve tabele bez grešaka objavljene su 1857. u Berlinu u obradi njemačkog matematičara K. Bremikera (1804-1877).

Faza 2

Dalji razvoj teorije logaritama povezan je sa širom primjenom analitičke geometrije i infinitezimalnog računa. Do tada je uspostavljena veza između kvadrature jednakostranične hiperbole i prirodnog logaritma. Teorija logaritama ovog perioda povezana je sa imenima brojnih matematičara.

Njemački matematičar, astronom i inženjer Nikolaus Mercator u svom eseju

"Logarithmotechnics" (1668) daje niz koji daje proširenje ln(x + 1) u smislu

moći x:

Ovaj izraz tačno odgovara toku njegove misli, iako, naravno, nije koristio znakove d, ..., već glomaznije simbole. Sa otkrićem logaritamskih nizova, tehnika izračunavanja logaritama se promijenila: počeli su se određivati ​​pomoću beskonačnih nizova. U svojim predavanjima "Elementarna matematika sa višeg gledišta", čitanim 1907-1908, F. Klein je predložio korištenje formule kao polazne tačke za izgradnju teorije logaritama.

Faza 3

Definicija logaritamska funkcija kao funkcija inverzne

eksponencijalni, logaritam kao eksponent date baze

nije formulisano odmah. Djelo Leonharda Ojlera (1707-1783)

Dalje je poslužio "Uvod u analizu infinitezimalnih" (1748).

razvoj teorije logaritamske funkcije. dakle,

Prošle su 134 godine od kada su prvi put uvedeni logaritmi

(računajući od 1614. godine) prije nego što su matematičari došli do definicije

koncept logaritma, koji je sada osnova školskog predmeta.

Poglavlje 2. Zbirka logaritamskih nejednakosti

2.1. Ekvivalentni prijelazi i generalizirana metoda intervala.

Ekvivalentni prelazi

ako je a > 1

ako je 0 < а < 1

Metoda generaliziranog intervala

Ova metoda najuniverzalniji u rješavanju nejednakosti gotovo bilo kojeg tipa. Shema rješenja izgleda ovako:

1. Dovedite nejednakost u takav oblik, gdje se funkcija nalazi na lijevoj strani
, i 0 na desnoj strani.

2. Pronađite opseg funkcije
.

3. Pronađite nule funkcije
, odnosno riješiti jednačinu
(a rješavanje jednadžbe je obično lakše nego rješavanje nejednačine).

4. Nacrtajte domen definicije i nule funkcije na realnoj liniji.

5. Odredite znakove funkcije
u primljenim intervalima.

6. Odaberite intervale u kojima funkcija uzima potrebne vrijednosti i zapišite odgovor.

Primjer 1

Rješenje:

Primijenite metodu intervala

gdje

Za ove vrijednosti, svi izrazi pod predznacima logaritma su pozitivni.

odgovor:

Primjer 2

Rješenje:

1st način . ODZ je određena nejednakošću x> 3. Uzimanje logaritma za takve x u bazi 10, dobijamo

Posljednja nejednakost se može riješiti primjenom pravila dekompozicije, tj. poređenje faktora sa nulom. Međutim, u ovom slučaju je lako odrediti intervale konstantnosti funkcije

tako da se može primijeniti intervalna metoda.

Funkcija f(x) = 2x(x- 3.5)lgǀ x- 3ǀ je kontinuirano za x> 3 i nestaje u tačkama x 1 = 0, x 2 = 3,5, x 3 = 2, x 4 = 4. Dakle, određujemo intervale konstantnosti funkcije f(x):

odgovor:

2nd way . Primijenimo ideje metode intervala direktno na izvornu nejednakost.

Za ovo, podsjećamo da su izrazi a b- a c i ( a - 1)(b- 1) imaju jedan znak. Zatim naša nejednakost za x> 3 je ekvivalentno nejednakosti

ili

Posljednja nejednakost rješava se metodom intervala

odgovor:

Primjer 3

Rješenje:

Primijenite metodu intervala

odgovor:

Primjer 4

Rješenje:

Od 2 x 2 - 3x+ 3 > 0 za sve realne x, To

Za rješavanje druge nejednakosti koristimo metodu intervala

U prvoj nejednakosti vršimo promjenu

tada dolazimo do nejednakosti 2y 2 - y - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те y, koji zadovoljavaju nejednakost -0,5< y < 1.

Odakle, jer

dobijamo nejednakost

koji se sprovodi sa x, za koji 2 x 2 - 3x - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов

Sada, uzimajući u obzir rješenje druge nejednakosti sistema, konačno dobijamo

odgovor:

Primjer 5

Rješenje:

Nejednakost je ekvivalentna skupu sistema

ili

Primijenite intervalnu metodu ili

Odgovori:

Primjer 6

Rješenje:

Nejednakost je ravna sistemu

Neka

Onda y > 0,

i prva nejednakost

sistem poprima oblik

ili, širenje

kvadratni trinom za množitelje,

Primjenom intervalne metode na posljednju nejednakost,

vidimo da njegova rješenja zadovoljavaju uslov y> 0 će biti sve y > 4.

Dakle, originalna nejednakost je ekvivalentna sistemu:

Dakle, rješenja nejednakosti su sva

2.2. metoda racionalizacije.

Ranije metoda racionalizacije nejednakosti nije bila riješena, nije bila poznata. Ovo je nova moderna efikasan metod rješenja eksponencijalnih i logaritamskih nejednakosti" (citat iz knjige Kolesnikove S.I.)
Čak i da ga je učiteljica poznavala, postojao je strah - ali poznaje li ga stručnjak za USE i zašto ga ne daju u školi? Bilo je situacija kada je nastavnik rekao učeniku: "Odakle ti to? Sedi - 2."
Sada se metoda svuda promoviše. A za stručnjake postoje smjernice vezane za ovu metodu, a u „Najpotpunijim izdanjima standardne opcije..." rješenje C3 koristi ovu metodu.
METOD JE ODLICAN!

"Čarobni sto"

U drugim izvorima

Ako a >1 i b >1, zatim log a b >0 i (a -1)(b -1)>0;

Ako a >1 i 0

ako je 0<a<1 и b >1, zatim log a b<0 и (a -1)(b -1)<0;

ako je 0<a<1 и 00 i (a -1)(b -1)>0.

Gornje rezonovanje je jednostavno, ali značajno pojednostavljuje rješenje logaritamskih nejednačina.

Primjer 4

log x (x 2 -3)<0

Rješenje:

Primjer 5

log 2 x (2x 2 -4x +6)≤log 2 x (x 2 +x )

Rješenje:

Odgovori. (0; 0,5) U .

Primjer 6

Da bismo riješili ovu nejednakost, umjesto nazivnika pišemo (x-1-1) (x-1), a umjesto brojnika proizvod (x-1) (x-3-9 + x).

Odgovori : (3;6)

Primjer 7

Primjer 8

2.3. Nestandardna zamjena.

Primjer 1

Primjer 2

Primjer 3

Primjer 4

Primjer 5

Primjer 6

Primjer 7

log 4 (3 x -1) log 0,25

Napravimo zamjenu y=3 x -1; tada ova nejednakost poprima oblik

log 4 log 0,25
.

Jer log 0,25 = -log 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y , tada ćemo posljednju nejednakost prepisati kao 2log 4 y -log 4 2 y ≤.

Napravimo zamjenu t =log 4 y i dobijemo nejednakost t 2 -2t +≥0, čije su rješenje intervali - .

Dakle, da bismo pronašli vrijednosti y, imamo skup dvije najjednostavnije nejednakosti
Rješenje ove kolekcije su intervali 0<у≤2 и 8≤у<+.

Prema tome, originalna nejednakost je ekvivalentna skupu dvije eksponencijalne nejednakosti,
odnosno agregati

Rješenje prve nejednakosti ovog skupa je interval 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+. Dakle, originalna nejednakost vrijedi za sve vrijednosti x iz intervala 0<х≤1 и 2≤х<+.

Primjer 8

Rješenje:

Nejednakost je ravna sistemu

Rješenje druge nejednačine, koja određuje ODZ, bit će skup tih x,

za koji x > 0.

Da bismo riješili prvu nejednakost, izvršimo promjenu

Tada dobijamo nejednakost

ili

Skup rješenja posljednje nejednačine nalazi se metodom

intervali: -1< t < 2. Откуда, возвращаясь к переменной x, dobijamo

ili

Mnogi od njih x, koji zadovoljavaju posljednju nejednakost

pripada ODZ-u ( x> 0), dakle, predstavlja rješenje sistema,

a time i originalna nejednakost.

odgovor:

2.4. Zadaci sa zamkama.

Primjer 1

.

Rješenje. ODZ nejednakosti je sve x koji zadovoljava uslov 0 . Dakle, svi x iz intervala 0

Primjer 2

log 2 (2x +1-x 2)>log 2 (2x-1 +1-x)+1.. ? Poenta je da je drugi broj očigledno veći od

Zaključak

Nije bilo lako pronaći posebne metode za rješavanje C3 problema iz velikog broja različitih obrazovnih izvora. U toku obavljenog rada bio sam u mogućnosti da proučavam nestandardne metode za rješavanje složenih logaritamskih nejednačina. To su: ekvivalentni prelazi i generalizovana metoda intervala, metoda racionalizacije , nestandardna zamjena , zadaci sa zamkama na ODZ. Ove metode nedostaju u školskom programu.

Koristeći različite metode, riješio sam 27 nejednakosti ponuđenih na USE u dijelu C, odnosno C3. Ove nejednakosti sa rješenjima po metodama činile su osnovu zbirke „Logaritamske C3 nejednakosti s rješenjima“, koja je postala projektni proizvod mog djelovanja. Potvrđena je hipoteza koju sam iznio na početku projekta: C3 problemi se mogu efikasno riješiti ako su ove metode poznate.

Osim toga, otkrio sam zanimljive činjenice o logaritmima. Bilo mi je zanimljivo to uraditi. Moji projektni proizvodi će biti korisni i studentima i nastavnicima.

Zaključci:

Time je cilj projekta postignut, problem je riješen. I stekao sam najpotpunije i najraznovrsnije iskustvo u projektnim aktivnostima u svim fazama rada. U toku rada na projektu moj glavni razvojni uticaj bio je na mentalnu kompetenciju, aktivnosti vezane za logičke mentalne operacije, razvoj kreativne kompetencije, lične inicijative, odgovornosti, istrajnosti i aktivnosti.

Garancija uspjeha pri izradi istraživačkog projekta za Postao sam: značajno školsko iskustvo, sposobnost izvlačenja informacija iz različitih izvora, provjeravanja njihove pouzdanosti, rangiranja prema značaju.

Pored neposredno predmetnih znanja iz matematike, proširio je svoje praktične veštine u oblasti informatike, stekao nova znanja i iskustva iz oblasti psihologije, uspostavio kontakte sa kolegama iz razreda, te naučio da sarađuje sa odraslima. U toku projektnih aktivnosti razvijale su se organizacione, intelektualne i komunikativne općeobrazovne vještine i sposobnosti.

Književnost

1. Korjanov A. G., Prokofjev A. A. Sistemi nejednakosti sa jednom promenljivom (tipični zadaci C3).

2. Malkova A. G. Priprema za Jedinstveni državni ispit iz matematike.

3. S. S. Samarova, Rješenje logaritamskih nejednačina.

4. Matematika. Zbornik radova za obuku priredio A.L. Semjonov i I.V. Yashchenko. -M.: MTsNMO, 2009. - 72 str.-

rješenje nejednakosti u modu online rješenje skoro svaku datu nejednakost online. Matematički nejednakosti na mreži da reši matematiku. Pronađite brzo rješenje nejednakosti u modu online. Stranica www.site vam omogućava da pronađete rješenje skoro svaki dat algebarski, trigonometrijski ili transcendentna nejednakost na mreži. Kada proučavate gotovo bilo koji dio matematike u različitim fazama, morate odlučiti nejednakosti na mreži. Da biste odmah dobili odgovor, i što je najvažnije tačan, potreban vam je resurs koji vam to omogućava. Hvala www.site rješavanje nejednakosti na mreži trajat će nekoliko minuta. Glavna prednost www.site kod rješavanja matematičkih nejednakosti na mreži- je brzina i tačnost izdatog odgovora. Stranica je u stanju riješiti bilo koje algebarske nejednakosti na mreži, trigonometrijske nejednakosti na mreži, transcendentalne nejednakosti na mreži, i nejednakosti sa nepoznatim parametrima u modu online. nejednakosti služe kao moćan matematički aparat rješenja praktični zadaci. Uz pomoć matematičke nejednakosti moguće je izraziti činjenice i odnose koji na prvi pogled mogu izgledati zbunjujuće i složene. nepoznate količine nejednakosti može se naći formulisanjem problema u matematički jezik u formi nejednakosti I odlučiti primljeni zadatak u režimu online na web stranici www.site. Bilo koji algebarska nejednakost, trigonometrijske nejednakosti ili nejednakosti koji sadrži transcendentalno lako vam nudi odlučiti online i dobiti pravi odgovor. Izučavajući prirodne nauke, neminovno se susreće sa potrebom rješenje nejednačina. U ovom slučaju, odgovor mora biti tačan i mora biti primljen odmah u režimu online. Stoga, za rješavanje matematičkih nejednakosti online preporučujemo stranicu www.site, koja će postati vaš nezamjenjiv kalkulator rješavanje algebarskih nejednakosti online, trigonometrijske nejednakosti na mreži, i transcendentalne nejednakosti na mreži ili nejednakosti sa nepoznatim parametrima. Za praktične probleme pronalaženja intravolskih rješenja raznih matematičke nejednakosti resurs www.. Rješavanje nejednakosti na mreži sami, korisno je provjeriti primljeni odgovor koristeći online rješenje nejednakosti na web stranici www.site. Nejednakost je potrebno pravilno zapisati i odmah dobiti online rješenje, nakon čega ostaje samo uporediti odgovor s vašim rješenjem nejednakosti. Provjera odgovora neće potrajati više od minute, dovoljno rješavanje nejednakosti na mreži i uporedi odgovore. Ovo će vam pomoći da izbjegnete greške u odluka i na vrijeme ispraviti odgovor rješavanje nejednakosti na mreži bilo algebarski, trigonometrijski, transcendentan ili nejednakost sa nepoznatim parametrima.

Logaritamske nejednakosti

U prethodnim lekcijama smo se upoznali sa logaritamskim jednadžbama i sada znamo šta su i kako ih riješiti. A današnja lekcija će biti posvećena proučavanju logaritamskih nejednakosti. Koje su to nejednakosti i koja je razlika između rješavanja logaritamske jednadžbe i nejednačina?

Logaritamske nejednačine su nejednakosti koje imaju promjenljivu pod znakom logaritma ili u njegovoj osnovi.

Ili se također može reći da je logaritamska nejednakost nejednakost u kojoj će njena nepoznata vrijednost, kao u logaritamskoj jednadžbi, biti pod znakom logaritma.

Najjednostavnije logaritamske nejednakosti izgledaju ovako:

gdje su f(x) i g(x) neki izrazi koji zavise od x.

Pogledajmo ovo koristeći sljedeći primjer: f(x)=1+2x+x2, g(x)=3x−1.

Rješavanje logaritamskih nejednačina

Prije rješavanja logaritamskih nejednačina, vrijedi napomenuti da su, kada se riješe, slične eksponencijalnim nejednačinama, odnosno:

Prvo, kada prelazimo sa logaritma na izraze pod znakom logaritma, takođe treba da uporedimo bazu logaritma sa jedinicom;

Drugo, kada rješavamo logaritamsku nejednakost korištenjem promjene varijabli, moramo rješavati nejednakosti s obzirom na promjenu dok ne dobijemo najjednostavniju nejednakost.

Ali smo mi razmatrali slične momente rješavanja logaritamskih nejednačina. Pogledajmo sada prilično značajnu razliku. Vi i ja znamo da logaritamska funkcija ima ograničenu domenu definicije, pa kada prelazite s logaritma na izraze koji su pod znakom logaritma, morate uzeti u obzir raspon prihvatljivih vrijednosti (ODV).

Odnosno, treba imati na umu da prilikom rješavanja logaritamske jednadžbe prvo možemo pronaći korijene jednadžbe, a zatim provjeriti ovo rješenje. Ali rješavanje logaritamske nejednakosti neće funkcionirati na ovaj način, budući da će prijeći s logaritma na izraze pod znakom logaritma, biti potrebno zapisati ODZ nejednakosti.

Osim toga, vrijedi zapamtiti da se teorija nejednakosti sastoji od realnih brojeva, koji su pozitivni i negativni brojevi, kao i broja 0.

Na primjer, kada je broj "a" pozitivan, tada se mora koristiti sljedeća notacija: a > 0. U ovom slučaju, i zbir i proizvod takvih brojeva također će biti pozitivni.

Osnovni princip rješavanja nejednakosti je zamijeniti je jednostavnijom nejednakošću, ali je najvažnije da ona bude ekvivalentna datoj. Dalje, dobili smo i nejednakost i ponovo je zamijenili onom koja ima jednostavniji oblik, i tako dalje.

Rješavajući nejednačine s promjenljivom, potrebno je pronaći sva njena rješenja. Ako dvije nejednačine imaju istu varijablu x, onda su takve nejednakosti ekvivalentne, pod uslovom da su njihova rješenja ista.

Prilikom izvođenja zadataka za rješavanje logaritamskih nejednačina potrebno je imati na umu da kada je a > 1, tada logaritamska funkcija raste, a kada je 0< a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.

Načini rješavanja logaritamskih nejednačina

Pogledajmo sada neke od metoda koje se koriste pri rješavanju logaritamskih nejednačina. Radi boljeg razumijevanja i asimilacije pokušat ćemo ih razumjeti na konkretnim primjerima.

Znamo da najjednostavnija logaritamska nejednakost ima sljedeći oblik:

U ovoj nejednakosti, V - je jedan od takvih znakova nejednakosti kao:<,>, ≤ ili ≥.

Kada je baza ovog logaritma veća od jedan (a>1), čineći prijelaz sa logaritama na izraze pod znakom logaritma, tada je u ovoj verziji znak nejednakosti sačuvan, a nejednakost će izgledati ovako:

što je ekvivalentno sledećem sistemu:

U slučaju kada je osnova logaritma veća od nule i manja od jedan (0

Ovo je ekvivalentno ovom sistemu:

Pogledajmo još primjera rješavanja najjednostavnijih logaritamskih nejednačina prikazanih na slici ispod:

Rješenje primjera

Vježbajte. Pokušajmo riješiti ovu nejednakost:

Odluka o površini dozvoljenih vrijednosti.

Pokušajmo sada pomnožiti njegovu desnu stranu sa:

Hajde da vidimo šta možemo da uradimo:

Pređimo sada na transformaciju sublogaritamskih izraza. Pošto je osnova logaritma 0< 1/4 <1, то от сюда следует, что знак неравенства изменится на противоположный:

3x - 8 > 16;
3x > 24;
x > 8.

A iz ovoga proizilazi da interval koji smo dobili u potpunosti pripada ODZ-u i da je rješenje takve nejednakosti.

Evo odgovora koji smo dobili:

Šta je potrebno za rješavanje logaritamskih nejednakosti?

Pokušajmo sada analizirati šta nam je potrebno za uspješno rješavanje logaritamskih nejednakosti?

Prvo usmjerite svu svoju pažnju i pokušajte da ne pogriješite prilikom izvođenja transformacija koje su date u ovoj nejednakosti. Također, treba imati na umu da je prilikom rješavanja ovakvih nejednakosti potrebno spriječiti proširenja i sužavanja ODZ nejednakosti, što može dovesti do gubitka ili sticanja stranih rješenja.

Drugo, kada rješavate logaritamske nejednakosti, morate naučiti logično razmišljati i razumjeti razliku između takvih koncepata kao što su sistem nejednakosti i skup nejednakosti, tako da možete lako odabrati rješenja nejednakosti, vodeći se njenim DHS-om.

Treće, da bi uspješno riješio takve nejednakosti, svako od vas mora savršeno dobro poznavati sva svojstva elementarnih funkcija i jasno razumjeti njihovo značenje. Takve funkcije uključuju ne samo logaritamske, već i racionalne, stepene, trigonometrijske itd., jednom riječju, sve one koje ste učili tokom školske algebre.

Kao što vidite, nakon što ste proučili temu logaritamskih nejednakosti, nema ništa teško u rješavanju ovih nejednakosti, pod uvjetom da ste pažljivi i uporni u postizanju svojih ciljeva. Da ne bi bilo problema u rješavanju nejednakosti, potrebno je što više trenirati, rješavajući različite zadatke i istovremeno zapamtiti glavne načine rješavanja takvih nejednakosti i njihovih sistema. Kod neuspješnih rješenja logaritamskih nejednakosti treba pažljivo analizirati svoje greške kako se ubuduće na njih više ne bi vraćali.

Zadaća

Za bolju asimilaciju teme i konsolidaciju obrađenog gradiva riješite sljedeće nejednakosti:

Sa njima su unutrašnji logaritmi.

primjeri:

\(\log_3⁡x≥\log_3⁡9\)
\(\log_3⁡ ((x^2-3))< \log_3⁡{(2x)}\)
\(\log_(x+1)⁡((x^2+3x-7))>2\)
\(\lg^2⁡((x+1))+10≤11 \lg⁡((x+1))\)

Kako riješiti logaritamske nejednačine:

Bilo koju logaritamsku nejednakost treba svesti na oblik \(\log_a⁡(f(x)) ˅ \log_a(⁡g(x))\) (simbol \(˅\) znači bilo koji od ). Ovaj oblik nam omogućava da se riješimo logaritama i njihovih baza prelaskom na nejednakost izraza pod logaritmima, odnosno na oblik \(f(x) ˅ g(x)\).

Ali kada pravite ovu tranziciju, postoji jedna vrlo važna suptilnost:
\(-\) ako je - broj i veći je od 1 - znak nejednakosti ostaje isti tokom prijelaza,
\(-\) ako je osnova broj veća od 0, ali manja od 1 (između nule i jedan), tada se znak nejednakosti mora obrnuti, tj.

primjeri:

\(\log_2⁡((8-x))<1\) ODZ: \(8-x>0\) \(-x>-8\) \(x<8\) Rješenje: \(\log\)\(_2\) \((8-x)<\log\)\(_2\) \({2}\) \(8-x\)\(<\) \(2\) \(8-2\(x>6\) Odgovor: \((6;8)\)

\(\log\)\(_(0,5⁡)\) \((2x-4)\)≥\(\log\)\(_(0,5)\) ⁡\(((x+ 1))\) ODZ: \(\početak(slučajevi)2x-4>0\\x+1 > 0\kraj(slučajevi)\) \(\početak(slučajevi)2x>4\\x > -1\kraj(slučajevi)\) \(\Leftrightarrow\) \(\početak(slučajevi)x>2\\x > -1\kraj(slučajevi) \) \(\Leftrightarrow\) \(x\in(2;\infty)\) Rješenje: \(2x-4\)\(≤\)\(x+1\) \(2x-x≤4+1\) \(x≤5\) Odgovor: \((2;5]\)

Veoma važno! U bilo kojoj nejednakosti, prijelaz sa oblika \(\log_a(⁡f(x)) ˅ \log_a⁡(g(x))\) na poređenje izraza pod logaritmima može se izvršiti samo ako:

Primjer . Riješite nejednačinu: \(\log\)\(≤-1\)

Rješenje:

\(\log\) \(_(\frac(1)(3))⁡(\frac(3x-2)(2x-3))\)\(≤-1\)	Hajde da ispišemo ODZ.
ODZ: \(\frac(3x-2)(2x-3)\) \(>0\)
\(⁡\frac(3x-2-3(2x-3))(2x-3)\)\(≥\) \(0\)	Otvaramo zagrade, dajemo.
\(⁡\frac(-3x+7)(2x-3)\) \(≥\) \(0\)	Pomnožimo nejednakost sa \(-1\), ne zaboravite da obrnete znak poređenja.
\(⁡\frac(3x-7)(2x-3)\) \(≤\) \(0\)
\(⁡\frac(3(x-\frac(7)(3)))(2(x-\frac(3)(2)))\)\(≤\) \(0\)	Napravimo brojevnu pravu i označimo tačke \(\frac(7)(3)\) i \(\frac(3)(2)\) na njoj. Imajte na umu da je tačka iz nazivnika izbušena, uprkos činjenici da nejednakost nije stroga. Činjenica je da ova tačka neće biti rješenje, jer će nas prilikom zamjene u nejednakosti dovesti do dijeljenja sa nulom.
\(x∈(\)\(\frac(3)(2)\) \(;\)\(\frac(7)(3)]\)	Sada crtamo ODZ na istoj numeričkoj osi i kao odgovor zapisujemo interval koji pada u ODZ.
	Zapišite konačni odgovor.

odgovor: \(x∈(\)\(\frac(3)(2)\) \(;\)\(\frac(7)(3)]\)

Primjer . Riješite nejednačinu: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)

Rješenje:

\(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)	Hajde da ispišemo ODZ.
ODZ: \(x>0\)	Idemo do rješenja.
Rješenje: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)	Pred nama je tipična kvadratno-logaritamska nejednakost. Mi radimo.
\(t=\log_3⁡x\) \(t^2-t-2>0\)	Proširite lijevu stranu nejednakosti u .
\(D=1+8=9\) \(t_1= \frac(1+3)(2)=2\) \(t_2=\frac(1-3)(2)=-1\) \((t+1)(t-2)>0\)
	Sada se morate vratiti na originalnu varijablu - x. Da bismo to učinili, prelazimo na , koji ima isto rješenje, i vršimo obrnutu zamjenu.
\(\left[ \begin(sakupljeno) t>2 \\ t<-1 \end{gathered} \right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left[ \begin{gathered} \log_3⁡x>2 \\ \log_3⁡x<-1 \end{gathered} \right.\)	Transformirajte \(2=\log_3⁡9\), \(-1=\log_3⁡\frac(1)(3)\).
\(\left[ \begin(sakupljeno) \log_3⁡x>\log_39 \\ \log_3⁡x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)	Pređimo na poređenje argumenata. Osnove logaritma su veće od \(1\), pa se predznak nejednačina ne mijenja.
\(\left[ \begin(sakupljeno) x>9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)	Kombinirajmo rješenje nejednačine i ODZ na jednoj slici.
	Hajde da zapišemo odgovor.

odgovor: \((0; \frac(1)(3))∪(9;∞)\)