Číselné řady jsou nekonečné množiny čísel. Příklady sekvencí zahrnují: sekvenci všech členů nekonečné geometrické progrese, sekvenci přibližných hodnot ( x 1 = 1, x 2 = 1,4, x 3= 1,41, ...), posloupnost obvodů pravidelných n-gons vepsané do daného kruhu. Ujasněme si pojem číselná posloupnost.
Definice 1. Pokud každé číslo n z přirozené řady čísel 1, 2, 3,..., P,... přiděleno reálné číslo x p, pak množina reálných čísel
x 1 , x 2 , x 3 , …, x n , …(2.1)
volal číselná posloupnost, nebo jen sekvence. .
Čísla x 1, x 2, x 3, ..., x p,...zavoláme Prvky, nebo členů sekvence (2.1), symbol x str - Všeobecné prvek nebo člen posloupnosti a číslo P - jeho číslo. Sekvenci (2.1) zkrátíme symbolem (x p). Například symbol (1/ n) označuje posloupnost čísel
Jinými slovy, posloupnost může být chápána jako nekonečná množina očíslovaných prvků nebo množina dvojic čísel (n, x n), ve kterém první číslo nabývá po sobě jdoucích hodnot 1, 2, 3, .... Sekvence je považována za danou, pokud je specifikována metoda pro získání některého z jejích prvků. Například vzorec x p = -1 + (-1)n definuje posloupnost 0, 2, 0, 2,... .
Geometricky je posloupnost na číselné ose znázorněna jako posloupnost bodů, jejichž souřadnice se rovnají odpovídajícím členům posloupnosti. Na Obr. 2.1 ukazuje sekvenci ( x n} = {1/n) na číselné řadě.
Pojem konvergentní posloupnosti
Definice 2.Číslo A volal limit sekvence{x n} , pokud pro jakékoli kladné číslo ε existuje takové číslo Nže přede všemi n > N nerovnost platí
Zavolá se posloupnost, která má limitu konvergentní. Pokud má posloupnost jako limit číslo A, pak se to píše takto:
Zavolá se posloupnost, která nemá žádné omezení divergentní.
Definice 3. Posloupnost, jejíž limit je číslo A= 0, voláno infinitezimální posloupnost.
Poznámka 1. Nechte sekvenci ( x n) má jako limit počet A. Pak sekvence (α n} = {x n - a) je nekonečně malý, tzn. jakýkoli prvek x str konvergentní posloupnost s limitou A, mohou být zastoupeny ve tvaru
kde α n- prvek nekonečně malé posloupnosti (α n} .
Poznámka 2 Nerovnice (2.2) je ekvivalentní nerovnostem (viz vlastnost 4 modulu čísla ze sekce 1.5)
To znamená, že kdy n > N všechny prvky sekvence ( x n) se nacházejí v ε-sousedství body A(obr. 2.2), a číslo N určeno hodnotou ε.
Je zajímavé podat geometrický výklad této definice. Protože posloupnost je nekonečná množina čísel, pak pokud konverguje v libovolném ε-okolí bodu A na číselné ose je nekonečný počet bodů - prvků této posloupnosti, přičemž konečný počet prvků zůstává mimo ε-okolí. Proto se často nazývá limita posloupnosti kondenzační bod.
Poznámka 3. Neomezená sekvence nemá žádné finále omezit. Může však mít nekonečný limit, který je napsán takto:
Pokud jsou od určitého čísla všechny členy posloupnosti kladné (záporné), zapište
Pokud ( x n) je nekonečně malá posloupnost, pak (1 /x str} - nekonečně dlouhá sekvence mající nekonečnou limitu ve smyslu (2.3) a naopak.
Uveďme příklady konvergentních a divergentních posloupností.
Příklad 1 Ukažte pomocí definice limitu sekvence, že .
Řešení. Vezměme libovolné číslo ε > 0. Protože
pak aby byla splněna nerovnost (2.2), stačí vyřešit nerovnost 1 / ( n + 1) < ε, откуда получаем n> (1 - ε) / ε. Dost na přijetí N= [(1 - ε)/ε] ( celá částčísla (1 - ε)/ ε)* tak, aby nerovnost |x str - 1| < ε выполнялосьпривсех n > N.
* Symbol [ A] znamená celočíselnou část čísla A, tj. největší celé číslo nepřesahující A. Například = 2, = 2, = 0, [-0, 5] = -1, [-23,7] = -24.
Příklad 2 Ukažte, že sekvence ( x n} = (-1)n, nebo -1, 1, -1, 1,... nemá žádné omezení.
Řešení. Ve skutečnosti, jakékoli číslo považujeme za limitu: 1 nebo -1, s ε< 0,5 неравенство (2.2), определяющее предел последовательности, не удовлетворяется - вне ε -окрестности этих чисел остается бесконечное число элементов x str: Všechny liché prvky jsou -1, sudé prvky jsou 1.
Základní vlastnosti konvergentních posloupností
Uveďme základní vlastnosti konvergentních posloupností, které jsou formulovány formou vět v kurzu vyšší matematiky.
1.Pokud všechny prvky nekonečně malé posloupnosti{x n} rovná se stejnému číslu c, pak c = 0.
2. Konvergentní posloupnost má pouze jednu limitu.
3.Konvergentní posloupnost je omezená.
4.Součet (rozdíl) konvergentních posloupností{x n} A{y n} je konvergentní posloupnost, jejíž limita je rovna součtu (rozdílu) limit posloupností{x str} A{y p}.
5.Součin konvergentních posloupností{x n} A{y n} je konvergentní posloupnost, jejíž limita je rovna součinu limit posloupností{x n} A{y n} .
6.Podíl dvou konvergentních posloupností{x n} A{y n} za předpokladu, že limit posloupnosti{y n} se liší od nuly, existuje konvergentní posloupnost, jejíž limita je rovna podílu limit posloupností{x n} A{y p} .
7. Pokud prvky konvergentní posloupnosti{x n} splnit nerovnost x p ≥ b (x p ≤ b) od určitého čísla, pak limita a této posloupnosti vyhoví nerovnosti a ≥ b (a ≤ b).
8.Součin infinitezimální posloupnosti a omezené posloupnosti nebo čísla je nekonečně malá posloupnost.
9.Součin konečného počtu infinitezimálních posloupností je nekonečně malá posloupnost.
Podívejme se na aplikaci těchto vlastností na příkladech.
Příklad 3. Najděte limitu.
Řešení. Na nčitatel a jmenovatel zlomku tíhnou k nekonečnu, tzn. Je nemožné okamžitě aplikovat větu o limitě kvocientu, protože předpokládá existenci konečných limit posloupností. Transformujme tuto posloupnost vydělením čitatele a jmenovatele n 2. Aplikováním vět o limitě kvocientu, limitě součtu a znovu limitě kvocientu postupně zjistíme
Příklad 4. x str) = at P.
Řešení. Zde, stejně jako v předchozím příkladu, čitatel a jmenovatel nemají konečné limity, a proto je třeba nejprve provést příslušné transformace. Dělení čitatele a jmenovatele n, dostaneme
Protože čitatel obsahuje součin infinitezimální posloupnosti a omezené posloupnosti, pak na základě vlastnosti 8 nakonec získáme
Příklad 5. Najděte limitu posloupnosti ( x n) = at P .
Řešení. Zde není možné přímo aplikovat větu o limitě součtu (rozdílu) posloupností, protože ve vzorci pro ( nejsou žádné konečné limity členů x n} . Vynásobte a vydělte vzorec pro ( x n) na konjugovaný výraz:
Číslo e
Zvažte pořadí ( x n} , jehož společný termín je vyjádřen vzorcem
V kurzu kalkulu je prokázáno, že tato posloupnost monotónně narůstá a má limit. Tento limit se nazývá číslo E. Proto z definice
Číslo E hraje velkou roli v matematice. Dále zvážíme metodu pro její výpočet s požadovanou přesností. Všimněte si zde, že číslo E je iracionální; jeho přibližná hodnota je E = 2,7182818... .
Definice limit posloupnosti a funkce, vlastnosti limit, první a druhá pozoruhodná limita, příklady.
Konstantní číslo A volal omezit sekvence(x n), jestliže pro libovolné libovolně malé kladné číslo ε > 0 existuje číslo N takové, že všechny hodnoty x n, pro které n>N splňují nerovnost
Zapište to následovně: nebo x n → a.
Nerovnice (6.1) je ekvivalentní dvojité nerovnosti
a - ε< x n < a + ε которое означает, что точки x n, začínající od nějakého čísla n>N, leží uvnitř intervalu (a-ε , a+ε), tzn. spadají do jakéhokoli malého ε-okolí bodu A.
Zavolá se posloupnost, která má limitu konvergentní, v opačném případě - divergentní.
Pojem limity funkce je zobecněním konceptu limity posloupnosti, protože limitu posloupnosti lze považovat za limitu funkce x n = f(n) celočíselného argumentu. n.
Nechť je dána funkce f(x) a nechť A - limitní bod obor definice této funkce D(f), tzn. takový bod, jehož libovolné okolí obsahuje body množiny D(f) jiné než A. Tečka A může nebo nemusí patřit do množiny D(f).
Definice 1. Konstanta A se nazývá omezit funkcí f(x) na x→ a, pokud pro libovolnou sekvenci (x n ) hodnot argumentů mající tendenci A, odpovídající posloupnosti (f(x n)) mají stejnou limitu A.
Tato definice se nazývá určení limity funkce podle Heineho, nebo " v sekvenčním jazyce”.
Definice 2. Konstanta A se nazývá omezit funkcí f(x) na x→a, pokud je dáno libovolné, libovolně malé kladné číslo ε, lze najít takové δ >0 (v závislosti na ε), že pro všechny X, ležící v ε-okolí čísla A, tj. Pro X, uspokojující nerovnost
0 < x-a < ε , значения функции f(x) будут лежать в
ε-окрестности числа А, т.е. |f(x)-A| < ε
Tato definice se nazývá definováním limity funkce podle Cauchyho, nebo “v jazyce ε - δ"
Definice 1 a 2 jsou ekvivalentní. Má-li funkce f(x) jako x → a omezit, rovno A, to je zapsáno ve tvaru
V případě, že posloupnost (f(x n)) roste (nebo klesá) bez omezení pro jakoukoli metodu aproximace X na váš limit A, pak řekneme, že funkce f(x) má nekonečný limit, a napište to ve tvaru:
Zavolá se proměnná (tj. posloupnost nebo funkce), jejíž limita je nula nekonečně malý.
Zavolá se proměnná, jejíž limita je rovna nekonečnu nekonečně velký.
K nalezení limity v praxi se používají následující věty.
Věta 1 . Pokud existuje každý limit
(6.4)
(6.5)
(6.6)
Komentář. Výrazy ve tvaru 0/0, ∞/∞, ∞-∞ 0*∞ jsou nejisté, například poměr dvou nekonečně malých nebo nekonečně velkých veličin a nalezení limity tohoto typu se nazývá „odhalení nejistoty“.
Věta 2.
těch. lze jít na limit založený na mocnině s konstantním exponentem, zejména 
Věta 3.
(6.11)
Kde E» 2.7 - základ přirozeného logaritmu. Vzorce (6.10) a (6.11) se nazývají první pozoruhodná mez a druhá pozoruhodná mez.
V praxi se také používají důsledky vzorce (6.11):
(6.12)
(6.13)
(6.14)
zejména limit,
Pokud x → a a zároveň x > a, pak pište x →a + 0. Pokud konkrétně a = 0, pak místo symbolu 0+0 napište +0. Podobně, jestliže x→a a zároveň x 
. Je volána funkce f(x). kontinuální na místě x 0 pokud limit
(6.15)
Podmínku (6.15) lze přepsat jako:
to znamená, že přechod k limitě pod znaménkem funkce je možný, pokud je v daném bodě spojitá.
Pokud je porušena rovnost (6.15), pak to říkáme na x = x o funkce f(x) Má to mezera Uvažujme funkci y = 1/x. Definiční doménou této funkce je množina R, kromě x = 0. Bod x = 0 je limitním bodem množiny D(f), jelikož v libovolném jejím okolí, tzn. v libovolném otevřeném intervalu obsahujícím bod 0 jsou body z D(f), ale on sám do této množiny nepatří. Hodnota f(x o)= f(0) není definována, takže v bodě x o = 0 má funkce nespojitost.
Je volána funkce f(x). souvisle vpravo v bodě x o je-li limit
A kontinuální vlevo v bodě x o, je-li limit
Spojitost funkce v bodě xo je ekvivalentní jeho kontinuitě v tomto bodě vpravo i vlevo.
Aby funkce byla v bodě spojitá xo, např. vpravo, je nutné za prvé, aby existovala konečná limita, a za druhé, aby tato limita byla rovna f(x o). Pokud tedy není splněna alespoň jedna z těchto dvou podmínek, pak funkce bude mít diskontinuitu.
1. Pokud limita existuje a není rovna f(x o), pak to říkají funkce f(x) na místě x o má prasknutí prvního druhu, nebo skok.
2. Pokud je limita +∞ nebo -∞ nebo neexistuje, pak říkají, že v směřovat xo funkce má diskontinuitu druhý druh.
Například funkce y = ctg x jako x → +0 má limitu rovnou +∞, což znamená, že v bodě x=0 má nespojitost druhého druhu. Funkce y = E(x) (celočíselná část X) v bodech s celou úsečkou má nespojitosti prvního druhu nebo skoky.
Zavolá se funkce, která je spojitá v každém bodě intervalu kontinuální V . Spojitá funkce je reprezentována plnou křivkou.
Mnoho problémů spojených s neustálým růstem nějaké veličiny vede k druhé pozoruhodné hranici. Mezi takové úkoly patří například: růst ložisek podle zákona složeného úročení, růst populace země, rozpad radioaktivních látek, množení bakterií atd.
Uvažujme příklad Ya I. Perelmana, poskytující výklad čísla E v problému složeného úroku. Číslo E existuje limit 
. Ve spořitelnách se k fixnímu kapitálu ročně přidávají úroky. Pokud se přistoupení provádí častěji, pak kapitál roste rychleji, protože větší množství se podílí na tvorbě úroků. Vezměme si čistě teoretický, velmi zjednodušený příklad. Ať je v bance uloženo 100 denierů. Jednotky na základě 100 % ročně. Pokud se úrokové peníze přidají k fixnímu kapitálu až po roce, pak do této doby 100 den. Jednotky se změní na 200 peněžních jednotek. Nyní se podívejme, v co se 100 denize promění. jednotek, pokud se k fixnímu kapitálu každých šest měsíců přidávají úroky. Po šesti měsících 100 den. Jednotky poroste o 100 × 1,5 = 150 a po dalších šesti měsících - o 150 × 1,5 = 225 (den. jednotek). Pokud se přistoupení provádí každou 1/3 roku, pak po roce 100 den. Jednotky se změní na 100 × (1 +1/3) 3 ≈ 237 (den. jednotky). Zvýšíme podmínky pro přidání úrokových peněz na 0,1 roku, až 0,01 roku, až 0,001 roku atd. Pak ze 100 den. Jednotky po roce to bude:
100×(1+1/10) 10 ≈ 259 (den. jednotky),
100×(1+1/100) 100 ≈ 270 (den. jednotky),
100×(1+1/1000) 1000 ≈271 (den. jednotky).
Při neomezeném krácení podmínek pro přičítání úroků akumulovaný kapitál neroste donekonečna, ale blíží se určité hranici rovnající se přibližně 271. Kapitál uložený ve výši 100 % ročně nemůže vzrůst více než 2,71krát, i když naběhlý úrok byly přidány do hlavního města každou sekundu, protože limit
Příklad 3.1. Pomocí definice limity číselné řady dokažte, že posloupnost x n =(n-1)/n má limitu rovnou 1.
Řešení. Musíme dokázat, že bez ohledu na to, jaké ε > 0 vezmeme, pro to existuje přirozené číslo N takové, že pro všechna n > N platí nerovnost |x n -1|< ε
Vezměte libovolné ε > 0. Protože x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, pak k nalezení N stačí vyřešit nerovnost 1/n<ε. Отсюда n>1/ε, a proto N lze považovat za celočíselnou část 1/ε N = E(1/ε). Tím jsme dokázali, že limit .
Příklad 3.2. Najděte limitu posloupnosti dané společným členem
.
Řešení. Aplikujme limitu věty o součtu a najdeme limitu každého členu. Protože n → ∞, čitatel a jmenovatel každého členu směřuje k nekonečnu a nemůžeme přímo použít větu o kvocientové limitě. Proto nejprve transformujeme x n, dělící čitatel a jmenovatel prvního členu n 2, a druhý na n. Potom pomocí limity kvocientu a limity věty o součtu zjistíme:
Příklad 3.3. 
. Najít .
Zde jsme použili větu o limitě stupně: limita stupně se rovná stupni limity báze.
Příklad 3.4. Najít ( 
).
Řešení. Je nemožné aplikovat větu o limitě diference, protože máme neurčitost tvaru ∞-∞. Převedeme obecný termínový vzorec:
Příklad 3.5. Je dána funkce f(x)=2 1/x. Dokažte, že neexistuje žádný limit.
Řešení. Použijme definici 1 limity funkce prostřednictvím posloupnosti. Vezměme posloupnost ( x n ) konvergující k 0, tzn. Ukažme, že hodnota f(x n)= se chová pro různé posloupnosti odlišně. Nechť x n = 1/n. Samozřejmě, pak limit 
Vyberme nyní jako x n posloupnost se společným členem x n = -1/n, rovněž směřující k nule. 
Proto neexistuje žádný limit.
Příklad 3.6. Dokažte, že neexistuje žádný limit.
Řešení. Nechť x 1 , x 2 ,..., x n ,... je posloupnost, pro kterou
. Jak se chová posloupnost (f(x n)) = (sin x n) pro různá x n → ∞
Jestliže x n = p n, pak sin x n = sin (str n) = 0 pro všechny n a limit If
x n = 2 p n+ p /2, pak sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 pro všechny n a tedy limit. Takže neexistuje.
Definice. Pokud je každé přirozené číslo n spojené s číslem xn, pak říkáme, že posloupnost je daná
x1, x2, …, xn = (xn)
Společný prvek posloupnosti je funkcí n.
Tímto způsobem lze sekvenci považovat za funkci.
Sekvenci můžete specifikovat různými způsoby - hlavní věc je, že je uveden způsob získání jakéhokoli člena sekvence.
Příklad. (xn) = ((-1)n) nebo (xn) = -1; 1; -1; 1; ...
(xn) = (sinn/2) nebo (xn) = 1; 0; 1; 0; ...
Pro sekvence lze definovat následující operace:
Násobení posloupnosti číslem m: m(xn) = (mxn), tzn. mx1, mx2,…
Sčítání (odčítání) sekvencí: (xn) (yn) = (xn yn).
Součin sekvencí: (xn)(yn) = (xnyn).
Sekvenční kvocient: při (yn) 0.
Ohraničené a neohraničené posloupnosti.
Definice. Posloupnost (xn) se nazývá omezená, pokud existuje číslo M>0 takové, že pro libovolné n platí následující nerovnost:
těch. všechny členy posloupnosti patří do intervalu (-M; M).
Definice. O posloupnosti (xn) se říká, že je ohraničená výše, pokud pro libovolné n existuje číslo M takové, že xn M.
Definice. O posloupnosti (xn) se říká, že je níže ohraničená, pokud pro libovolné n existuje číslo M takové, že xn M
Příklad. (xn) = n - ohraničené níže (1, 2, 3, …).
Definice. Číslo a se nazývá limita posloupnosti (xn), jestliže pro libovolné kladné >0 existuje číslo N takové, že pro všechna n > N je splněna podmínka: Píše se: lim xn = a.
V tomto případě se říká, že posloupnost (xn) konverguje k a jako n.
Vlastnost: Pokud zahodíte libovolný počet členů posloupnosti, pak se získají nové posloupnosti, a pokud jedna z nich konverguje, pak konverguje i druhá.
Příklad. Dokažte, že limita posloupnosti je lim.
Nechť platí pro n > N, tzn. . To platí, pokud tedy N je považováno za celočíselnou část, pak platí výše uvedené tvrzení.
Příklad. Ukažte, že pro n má posloupnost 3 limitu 2.
Celkem: (xn) = 2 + 1/n; 1/n = xn - 2
Je zřejmé, že existuje číslo n takové, že, tzn. lim(xn) = 2.
Teorém. Sekvence nemůže mít více než jeden limit.
Důkaz. Předpokládejme, že posloupnost (xn) má dvě limity a a b, které se navzájem nerovnají.
xn a; xn b; a b.
Pak podle definice existuje číslo >0 takové, že
Posloupnost čísel.
Definice. Je-li každé přirozené číslo n spojené s číslem xn, pak říkáme, že dané subsekvence
x1, x2, …, xn = (xn)
Společný prvek posloupnost je funkcí n.
Tímto způsobem lze sekvenci považovat za funkci.
Sekvenci můžete specifikovat různými způsoby - hlavní věc je, že je uveden způsob získání jakéhokoli člena sekvence.
Příklad.(xn) = ((-1)n) nebo (xn) = -1; 1; -1; 1; ...
(xn) = (sinpn/2) nebo (xn) = 1; 0; 1; 0; ...
Pro sekvence můžete definovat následující operace:
1) Násobení posloupnosti číslem m: m(xn) = (mxn), tj. mx1, mx2, ...
2) Sčítání (odečítání) sekvencí: (xn) ± (yn) = (xn ± yn).
3) Součin sekvencí: (xn)×(yn) = (xn×yn).
4) Konkrétní sekvence: https://pandia.ru/text/78/342/images/image002_181.gif" width="59" height="27 src=">
to znamená, že všechny členy posloupnosti patří do intervalu (-M; M).
Definice. ohraničené výše
Definice. Zavolá se sekvence (xn). ohraničené níže, jestliže pro libovolné n existuje číslo M takové, že
Příklad.(xn) = n – ohraničené níže (1, 2, 3, … ).
Definice. Číslo A volal omezit posloupnost (xn), pokud pro jakékoli kladné e>0 existuje číslo N takové, že pro všechna n > N je splněna podmínka:
https://pandia.ru/text/78/342/images/image004_113.gif" width="67" height="44 src=">.
Nechť platí https://pandia.ru/text/78/342/images/image006_83.gif" width="41" height="41"> pro n > N. To platí pro , tedy pokud vezmeme celou část , pak platí výše uvedené tvrzení.
Příklad. Ukažte, že pro n®¥ je sekvence 3, 
má limit 2.
Celkem: (xn) = 2 + 1/n; 1/n = xn – 2
Je zřejmé, že existuje číslo n takové, že https://pandia.ru/text/78/342/images/image011_52.gif" width="76" height="85 src=">
Zapišme si výraz:
A protože e- žádnýčíslo a poté https://pandia.ru/text/78/342/images/image014_41.gif" width="61" height="27">.
Důkaz. Z xn ® A následuje to. Ve stejný čas:
https://pandia.ru/text/78/342/images/image017_33.gif" width="83" height="29">, tj. Věta je dokázána.
Teorém. Lixn ® A, pak sekvence (xn) je omezený.
Je třeba poznamenat, že obrácené tvrzení není pravdivé, tj. ohraničenost posloupnosti neznamená její konvergenci.
Například sekvence 
nemá však žádný limit
Monotónní sekvence.
Definice. 1) Pokud xn+1 > xn pro všechna n, pak posloupnost roste.
2)Pokud xn+1 ³ xn pro všechna n, pak je posloupnost neklesající.
3) Pokud xn+1< xn для всех n, то последовательность убывающая.
4)Je-li xn+1 £ xn pro všechna n, pak je posloupnost nerostoucí
Všechny tyto sekvence se nazývají monotónní. Jsou volány rostoucí a klesající sekvence přísně monotónní.
Příklad.(xn) = 1/n – klesající a omezený
(xn) = n – rostoucí a neomezené.
Příklad. Dokažte, že sekvence (xn)=https://pandia.ru/text/78/342/images/image021_30.gif" width="127" height="41 src=">
Pojďme najít znaménko rozdílu: (xn)-(xn+1)= https://pandia.ru/text/78/342/images/image023_24.gif" width="143" height="44 src=">, tj. k. nÎN, pak je jmenovatel pro libovolné n kladný.
Tedy xn+1 > xn. Posloupnost se zvyšuje, což mělo být prokázáno.
Příklad. Zjistěte, zda se sekvence zvyšuje nebo snižuje
Pojďme to najít. Pojďme najít rozdíl 
Od nÎN pak 1 – 4n<0, т. е. хn+1 < xn. Последовательность монотонно убывает.
Je třeba poznamenat, že monotónní sekvence jsou omezeny alespoň na jedné straně.
Teorém. Monotónní ohraničená posloupnost má limitu.
Důkaz. Uvažujme monotónní neklesající posloupnost
x1 £ x2 £ x3 £ … £ xn £ xn+1 £ …
Tato posloupnost je shora omezena: xn £ M, kde M je určité číslo.
Protože jakákoli výše ohraničená numerická množina má jasnou horní mez, pak pro jakékoli e>0 existuje číslo N takové, že xN > a - e, kde a je nějaká horní mez množiny.
Protože (xn) je neklesající posloupnost, pak pro N > n a - e< xN £ xn,
Proto a - e< xn < a + e
E< xn – a < e или ôxn - aô< e, т. е. lim xn = a.
Pro ostatní monotónní sekvence je důkaz podobný.
Věta byla prokázána.
Číslo e.
Uvažujme posloupnost (xn) = .
Pokud je posloupnost (xn) monotónní a omezená, pak má konečnou limitu.
Podle Newtonova binomického vzorce:
nebo co je stejné
https://pandia.ru/text/78/342/images/image031_19.gif" width="633" height="93 src="> Každý výraz ve výrazu xn+1 je větší než odpovídající hodnota xn a , navíc k xn+1 je přidán ještě jeden kladný člen, takže posloupnost (xn) se zvyšuje.
Dokažme nyní, že pro žádné n jeho členy nepřesahují tři: xn< 3.
https://pandia.ru/text/78/342/images/image033_17.gif" width="76" height="56">- monotónně rostoucí a shora ohraničený, tj. má konečnou mez. Tato mez je obvykle označené písmenem e.
https://pandia.ru/text/78/342/images/image035_15.gif" width="83" height="49"> z toho vyplývá, že e £ 3. Zahození všech výrazů v rovnosti pro (xn), počínaje se čtvrtým máme:
https://pandia.ru/text/78/342/images/image037_13.gif" width="99" height="41 src=">
Číslo e je tedy obsaženo mezi čísly 2,5 a 3. Pokud vezmete více členů řady, můžete získat přesnější odhad hodnoty čísla e.
Lze ukázat, že číslo e je iracionální a jeho hodnota je 2,71828...
Podobně lze ukázat, že 
, rozšíření požadavků na x na libovolné reálné číslo:
Předpokládejme:
https://pandia.ru/text/78/342/images/image041_12.gif" width="152" height="41 src=">
https://pandia.ru/text/78/342/images/image043_11.gif" width="484" height="49">
Číslo e je základem přirozeného logaritmu.
https://pandia.ru/text/78/342/images/image045_9.gif" width="202" height="188 src=">
https://pandia.ru/text/78/342/images/image047_9.gif" width="253 height=41" height="41">, kde M = 1/ln10 "0,43429... je přechodový modul .
Limita funkce v bodě.
y f(x)
0 a - D a a + D x
Nechť je funkce f(x) definována v určitém okolí bodu x = a (tj. v bodě x = a funkce nemusí být definována)
Definice. Volá se číslo A omezit funkce f(x) pro x®a, pokud pro libovolné e>0 existuje číslo D>0 takové, že pro všechna x takové, že
0 < ïx - aï < D
nerovnost ïf(x) - Aï je pravdivá< e.
Stejná definice může být zapsána v jiném tvaru:
Pokud a-D< x < a + D, x ¹ a, то верно неравенство А - e < f(x) < A + e.
Zápis limity funkce v bodě:
Definice. Jestliže f(x) ® A1 pro x ® a pouze pro x< a, то https://pandia.ru/text/78/342/images/image051_7.gif" width="101" height="29 src=">volal omezit funkce f(x) v bodě x = a napravo.
na
Výše uvedená definice se týká případu, kdy funkce f(x) není definována v samotném bodě x = a, ale je definována v nějakém libovolně malém okolí tohoto bodu.
Také se nazývají limity A1 a A2 jednosměrné limity funkce f(x) v bodě x = a. Také se říká, že A- konečný limit funkce f(x).
Limita funkce jako argument má tendenci k nekonečnu.
Definice. Volá se číslo A omezit funkce f(x) pro x®¥, pokud pro libovolné číslo e>0 existuje číslo M>0 takové, že pro všechna x, ïxï>M platí nerovnost
https://pandia.ru/text/78/342/images/image054_9.gif" width="89" height="29 src=">
Graficky můžeme znázornit:
 |
y y
 |
Podobně můžete určit limity https://pandia.ru/text/78/342/images/image065_7.gif" width="92" height="29"> pro libovolné x Základní věty o limitách. Věta 1.
, kde C = konst. Následující věty platí za předpokladu, že funkce f(x) a g(x) mají pro x®a konečné limity. Věta 2.
Důkaz této věty bude uveden níže. Věta 3.
Následek.
https://pandia.ru/text/78/342/images/image070_5.gif" width="135" height="57"> kdy Věta 5.
LiF(X)>0 poblíž bodu x = a a , pak A>0. Podobně se určí znaménko limity v f(x).< 0, f(x) ³ 0, f(x) £ 0. Věta 6.
LiG(X)
£
F(X)
£
u(X) poblíž bodu x = a a https://pandia.ru/text/78/342/images/image073_5.gif" width="53" height="29 src=">. Definice.
Je volána funkce f(x). omezený v blízkosti bodu x = a, pokud existuje číslo M>0 takové, že ïf(x)ï Věta 7.
Pokud je funkceF(X) má konečnou limitu v x®
a, pak je omezena blízko bodu x = a. Důkaz.
Nechte, tzn https://pandia.ru/text/78/342/images/image076_5.gif" width="96" height="27 src=">, tzn. https://pandia.ru/text/78/342/images/image078_6.gif" width="84" height="29">. Funkce může být nekonečně malá, pouze pokud určíte, k jakému číslu má argument x tendenci. Pro různé hodnoty a může nebo nemusí být funkce nekonečně malá. Příklad. Funkce f(x) = xn je nekonečně malá pro x®0 a není nekonečně malá pro x®1, protože . Teorém.
Aby funkceF(X) v x®
a mělo limitu rovnou A, je nutné a postačující, aby v blízkosti bodu x = a byla podmínka splněna F(X) =
A +
A(X),
KdeA(x) – nekonečně malé v x®
A (A(X)®
0 v x®
A). Vlastnosti nekonečně malých funkcí:
1) Součet pevného počtu infinitezimálních funkcí pro x®a je také infinitezimální funkcí pro x®a. 2) Součin pevného počtu infinitezimálních funkcí pro x®a je také infinitezimální funkcí pro x®a. 3) Součin infinitezimální funkce a funkce ohraničené v blízkosti bodu x = a je infinitezimální funkcí pro x®a. 4) Podíl dělení infinitezimální funkce funkcí, jejíž limita není rovna nule, je nekonečně malá veličina. Pomocí konceptu infinitezimálních funkcí předkládáme důkaz některých výše uvedených teorémů o limitách. Důkaz teorému 2.
Představme si f(x) = A + a(x), g(x) = B + b(x), kde f(x) ± g(x) = (A + B) + a(x) + b(x) A + B = konst, a(x) + b(x) – infinitezimální, což znamená https://pandia.ru/text/78/342/images/image080_5.gif" width="185" height="29">, poté https://pandia.ru/text/78/342/images/image083_5.gif" width="369" height="29 src="> Věta byla prokázána. nekonečně malý. Definice.
Limita funkce f(x) v x®a, kde a je číslo, rovná se nekonečnu, jestliže pro libovolné číslo M>0 existuje číslo D>0 takové, že nerovnost je splněno pro všechny x splňující podmínku 0 < ïx - aï < D Nahráno https://pandia.ru/text/78/342/images/image085_4.gif" width="100" height="29 src="> a pokud je nahrazeno f(x) Definice.
Funkce je volána nekonečně velký v x®a, kde a je buď jedno z množství ¥, +¥ nebo -¥, pokud https://pandia.ru/text/78/342/images/image088_5.gif" width="100" height=" 44 src="> Porovnání infinitezimálních funkcí. Nechť a(x), b(x) a g(x) jsou infinitezimální funkce pro x ® a. Tyto funkce budeme označovat jako a, b a g. Tyto infinitezimální funkce lze porovnávat rychlostí jejich poklesu, tedy rychlostí jejich tendence k nule. Například funkce f(x) = x10 má tendenci k nule rychleji než funkce f(x) = x. Definice.
Jestliže , pak se zavolá funkce a nekonečně malý vyšší řád než funkce b. Definice.
Li Definice.
Jestliže pak jsou volány funkce a a b ekvivalentní infinitesimály. Napište ~ b. Příklad. Porovnejme funkce f(x) = x10 a f(x) = x, nekonečně malé pro x®0. https://pandia.ru/text/78/342/images/image093_5.gif" width="51" height="45 src="> je konečný a nenulový. Je však třeba poznamenat, že ne všechny infinitezimální funkce lze vzájemně porovnávat..gif" width="127" height="21">.gif" width="132" height="41">.gif" width ="79 " height="45 src="> 2) Jestliže a ~ b a b ~ g, pak a ~ g, 3) Pokud a ~ b, pak b ~ a, 4) Jestliže a ~ a1 a b ~ b1 a , pak a nebo Následek: a) pokud ~ a1 a https://pandia.ru/text/78/342/images/image105_5.gif" width="101" height="45 src="> b) pokud b ~ b1 a https://pandia.ru/text/78/342/images/image106_5.gif" width="101" height="45 src="> Vlastnost 4 je v praxi obzvláště důležitá, protože ve skutečnosti znamená, že limita poměru infinitesimálů se při jejich nahrazení ekvivalentními infinitesimály nemění. Tato skutečnost umožňuje při hledání limit nahradit infinitesimální funkce jim ekvivalentní, což může výpočet limit značně zjednodušit. Příklad. Najděte limit Protože tan5x ~ 5x a sin7x ~ 7x pro x ® 0, pak nahrazením funkcí ekvivalentními infinitezimálními dostaneme: https://pandia.ru/text/78/342/images/image109_5.gif" width="83" height="44 src=">. Od 1 – cosx = Jestliže a a b jsou nekonečná malá v x®a a b je nekonečná malá vyššího řádu než a, pak g = a + b je nekonečná malá, ekvivalentní a..gif" width="256" height="44 src =>>. Nějaké velké limity. První pozoruhodný limit.
, kde P(x) = a0xn + a1xn-1 +…+an, Q(x) = b0xm + b1xm-1 +…+bm jsou polynomy. https://pandia.ru/text/78/342/images/image117_5.gif" width="173" height="83 src="> Posloupnost je jedním ze základních pojmů matematiky. Posloupnost může být tvořena čísly, body, funkcemi, vektory atd. Posloupnost je považována za danou, pokud je specifikován zákon, podle kterého je každé přirozené číslo n spojeno s prvkem x n nějaké množiny. Posloupnost se zapisuje ve tvaru x 1, x 2, ..., x n, nebo stručně (x n). Prvky x 1, x 2, …, x n se nazývají členy posloupnosti, x 1 - první, x 2 - druhý, x n - společný (n-tý) člen posloupnosti. Nejčastěji uvažované jsou číselné posloupnosti, tedy posloupnosti, jejichž členy jsou čísla. Analytická metoda je nejjednodušší způsob, jak určit číselnou posloupnost. To se provádí pomocí vzorce vyjadřujícího n-tý člen posloupnosti x 1 přes její číslo n. Například pokud Další metoda je rekurentní (z latinského slova recidivy- „vracející se“), když je zadáno několik prvních členů sekvence a pravidlo, které vám umožní vypočítat každý následující člen přes předchozí. Například: Příklady číselných posloupností jsou aritmetický postup a geometrický postup. Je zajímavé sledovat chování členů posloupnosti, když číslo n nekonečně roste (to, že n roste do nekonečna, se zapisuje ve tvaru n → ∞ a zní: „n inklinuje k nekonečnu“). Uvažujme posloupnost se společným členem x n = 1/n: x 1 = 1, x 2 = 1/2; x 3 = 1/3, …, x 100 = 1/100, …. Všechny členy této posloupnosti jsou nenulové, ale čím větší n, tím méně x n se liší od nuly. Členy této posloupnosti inklinují k nule, jak n roste donekonečna. Říká se, že číslo nula je limitem této posloupnosti. Jiný příklad: x n = (−1) n /n - definuje sekvenci Členy této posloupnosti mají také tendenci k nule, ale někdy jsou větší než nula, jindy menší než nula – jejich limita. Uvažujme další příklad: x n = (n − 1)/(n + 1). Pokud x n reprezentujeme ve tvaru pak bude jasné, že tato posloupnost směřuje k jednotě. Definujme limitu posloupnosti. Číslo a se nazývá limita posloupnosti (x n), jestliže pro libovolné kladné číslo ε lze zadat číslo N takové, že pro všechna n > N platí nerovnost |x n − a|< ε. Pokud a je limita posloupnosti (x n), pak napište x n → a, nebo a = lim n→∞ x n (lim jsou první tři písmena latinského slova limetky- "limit") Tato definice bude jasnější, pokud ji uvedeme geometrický význam. Uzavřeme číslo a do intervalu (a − ε, a + ε) (viz obrázek). Číslo a je limitou posloupnosti (x n), jestliže bez ohledu na malost intervalu (a − ε, a + ε) budou v tomto intervalu ležet všechny členy posloupnosti s čísly většími než některé N. Jinými slovy, mimo jakýkoli interval (a − ε, a + ε) může být pouze konečný počet členů posloupnosti. Pro uvažovanou posloupnost x n = (−1) n /n spadají všechny členy posloupnosti kromě prvních deseti do ε-okolí bodu nula při ε = 1/10 a všechny členy posloupnosti kromě prvních sta pro e = 1/100. Posloupnost, která má limitu, se nazývá konvergentní a posloupnost, která limitu nemá, se nazývá divergentní. Zde je příklad divergentní posloupnosti: x n = (−1) n . Jeho členy se střídavě rovnají +1 a -1 a nemají tendenci k žádné limitě. Pokud posloupnost konverguje, pak je omezená, to znamená, že existují čísla c a d taková, že všechny členy posloupnosti splňují podmínku c ≤ x n ≤ d. Z toho vyplývá, že všechny neomezené posloupnosti jsou divergentní. Toto jsou sekvence: Posloupnost inklinující k nule se nazývá infinitezimální. Jako základ lze použít koncept infinitezimálního obecná definice limita posloupnosti, protože limita posloupnosti (x n) je rovna a právě tehdy, když x n je reprezentovatelné jako součet x n = a + α n, kde α n je nekonečně malé. Uvažované posloupnosti (1/n), ((−1) n /n) jsou nekonečně malé. Posloupnost (n − 1)/(n + 1), jak vyplývá z (2), se od 1 liší o nekonečně malé 2/(n + 1), a proto je limita této posloupnosti 1. Pojem nekonečně velké posloupnosti má také velký význam v matematické analýze. O posloupnosti (x n) se říká, že je nekonečně velká, pokud je posloupnost (1/x n) nekonečně malá. Nekonečně velká posloupnost (x n) se zapisuje jako x n → ∞ nebo lim n→∞ x n = ∞ a říká se, že „má sklon k nekonečnu“. Zde jsou příklady nekonečně velkých sekvencí: (n 2), (2 n), (√ (n + 1)), (n - n 2). Zdůrazňujeme, že nekonečně velká posloupnost nemá limitu. Uvažujme posloupnosti (x n) a (y n). Je možné definovat sekvence s běžnými pojmy x n + y n , x n − y n , x n y n a (pokud y n ≠ 0) x n /y n . Platí následující věta, která se často nazývá věta o aritmetických operacích s limitami: pokud jsou posloupnosti (x n) a (y n) konvergentní, pak posloupnosti (x n + y n), (x n − y n), (x n y n), (x n / y n) také konvergují a platí následující rovnosti: V druhém případě je nutné kromě toho, že všechny členy posloupnosti (y n) jsou odlišné od nuly, požadovat, aby byla splněna podmínka lim n→∞ y n ≠ 0. Aplikací této věty lze nalézt mnoho limit. Najdeme například limitu posloupnosti se společným členem Reprezentující x n ve tvaru Ukažme, že limita čitatele a jmenovatele existuje: takže dostaneme: lim n→∞ x n = 2/1 =2. Důležitou třídou sekvencí jsou monotónní sekvence. Toto je název pro sekvence, které rostou (x n+1 > x n pro libovolné n), klesají (x n+1< x n), неубывающие (x n+1 ≥ x n) и невозрастающие (x n+1 ≤ x n). Последовательность (n − 1)/(n + 1) возрастающая, последовательность (1/n) убывающая. Можно доказать, что рекуррентно заданная последовательность (1) монотонно возрастает. Představme si, že posloupnost (x n) neklesá, tj. jsou splněny nerovnosti x 1 ≤ x 2 ≤ x 3 ≤ … ≤ x n ≤ x n+1 ≤ …, a nechť je navíc tato posloupnost ohraničena shora, to znamená, že všechna x n nepřesahují určité číslo d. Každý člen takové posloupnosti je větší nebo roven předchozímu, ale všechny nepřesahují d. Je zcela zřejmé, že tato posloupnost směřuje k nějakému číslu, které je buď menší než d, nebo rovno d. V průběhu matematické analýzy je dokázána věta, že neklesající a omezená nad posloupností má limitu (podobné tvrzení platí pro nerostoucí a omezenou pod posloupností). Tato pozoruhodná věta poskytuje dostatečné podmínky pro existenci limity. Z ní například vyplývá, že posloupnost oblastí pravidelných n-úhelníků vepsaných do kruhu o jednotkovém poloměru má limitu, protože je monotónně rostoucí a shora ohraničená. Limita této posloupnosti je označena π. Pomocí limity monotónní omezené posloupnosti je určeno číslo e, které hraje velkou roli v matematické analýze - základ přirozených logaritmů: e = lim n→∞ (1 + 1/n) n . Posloupnost (1), jak již bylo uvedeno, je monotónní a navíc shora ohraničená. Má to limit. Tuto hranici najdeme snadno. Je-li rovno a, pak číslo a musí splňovat rovnost a = √(2 + a). Řešením této rovnice dostaneme a = 2.Nekonečně velké funkce a jejich propojení s
, pak se nazývají a a b infinitezimály stejného řádu.
.
na x®0, poté https://pandia.ru/text/78/342/images/image112_5.gif" width="159" height="41">
