Který typ monomiálu se nazývá jeho standardní forma. Definice jednočlenu, související pojmy, příklady. Jaký je standardní tvar jednočlenu a jak na něj převést výraz

V této lekci uvedeme přesnou definici monomiálu a podíváme se na různé příklady z učebnice. Připomeňme si pravidla pro násobení mocnin se stejnými základy. Definujme standardní tvar jednočlenu, koeficient jednočlenu a jeho písmennou část. Uvažujme dvě hlavní typické operace s monomiály, a to redukci na standardní tvar a výpočet konkrétní číselné hodnoty monomiálu pro dané hodnoty v něm obsažených doslovných proměnných. Formulujme pravidlo pro redukci monomiálu na standardní tvar. Pojďme se naučit, jak řešit standardní problémy s libovolnými monomily.

Podrobit:Monomials. Aritmetické operace s monočleny

Lekce:Koncept monomiálu. Standardní forma monomiálu

Zvažte několik příkladů:

3. ;

Pojďme najít společné rysy pro dané výrazy. Ve všech třech případech je výraz součinem čísel a proměnných umocněných na mocninu. Na základě toho dáváme monomiální definice : Monomial je algebraický výraz, který se skládá ze součinu mocnin a čísel.

Nyní uvedeme příklady výrazů, které nejsou jednočlenné:

Pojďme najít rozdíl mezi těmito výrazy a předchozími. Spočívá v tom, že v příkladech 4-7 jsou operace sčítání, odčítání nebo dělení, zatímco v příkladech 1-3, které jsou jednočlenné, tyto operace nejsou.

Zde je několik dalších příkladů:

Výraz číslo 8 je jednočlenný, protože je součin mocniny a čísla, zatímco příklad 9 jednočlenný není.

Teď to zjistíme akce na monomiály .

1. Zjednodušení. Podívejme se na příklad č. 3 ;a příklad č. 2 /

Ve druhém příkladu vidíme pouze jeden koeficient - , každá proměnná se vyskytuje pouze jednou, tedy proměnná " A"" je reprezentováno v jediné kopii jako "", podobně se proměnné "" a "" vyskytují pouze jednou.

V příkladu č. 3 jsou naopak dva různé koeficienty - a , proměnnou "" vidíme dvakrát - jako "" a jako "", obdobně se proměnná "" vyskytuje dvakrát. To znamená, že tento výraz by měl být zjednodušen, čímž se dostáváme první akcí prováděnou na monomiích je redukce monomií na standardní formu . K tomu zredukujeme výraz z příkladu 3 do standardního tvaru, poté nadefinujeme tuto operaci a naučíme se, jak zredukovat libovolný monomický tvar na standardní tvar.

Zvažte tedy příklad:

První akcí při operaci redukce na standardní formu je vždy vynásobení všech číselných faktorů:

;

Výsledek této akce bude vyvolán koeficient monomiálu .

Dále musíte znásobit síly. Vynásobme mocniny proměnné" X„podle pravidla pro násobení mocnin se stejnými základy, které říká, že při násobení se exponenty sčítají:

Nyní znásobme síly" na»:

;

Zde je tedy zjednodušený výraz:

;

Jakýkoli monomiál lze zredukovat na standardní formu. Pojďme formulovat standardizační pravidlo :

Vynásobte všechny číselné faktory;

Umístěte výsledný koeficient na první místo;

Vynásobte všechny stupně, to znamená, že získáte část písmene;

To znamená, že jakýkoli monomial je charakterizován koeficientem a písmennou částí. Při pohledu do budoucna si všimneme, že monočleny, které mají stejnou část písmene, se nazývají podobné.

Teď musíme zapracovat technika pro redukci monomiálů na standardní formu . Zvažte příklady z učebnice:

Zadání: uveďte jednodílný znak do standardní podoby, pojmenujte koeficient a písmennou část.

Ke splnění úkolu použijeme pravidlo pro zmenšení jednočlenu na standardní tvar a vlastnosti mocnin.

1. ;

3. ;

Komentáře k prvnímu příkladu: Nejprve určíme, zda je tento výraz skutečně monočlen, zkontrolujme, zda obsahuje operace násobení čísel a mocnin a zda obsahuje operace sčítání, odčítání nebo dělení. Můžeme říci, že tento výraz je jednočlenný, protože je splněna výše uvedená podmínka. Dále podle pravidla pro redukci monomiálu na standardní tvar vynásobíme číselné faktory:

- našli jsme koeficient daného monomiálu;

; ; ; to znamená, že se získá doslovná část výrazu:;

Zapišme si odpověď: ;

Komentáře k druhému příkladu: Podle pravidla, které provádíme:

1) vynásobte číselné faktory:

2) vynásobte mocniny:

Proměnné jsou uvedeny v jedné kopii, to znamená, že je nelze s ničím násobit, jsou přepisovány beze změn, stupeň je násoben:

Zapišme si odpověď:

;

V tomto příkladu je koeficient jednočlenu roven jedné a písmenná část je .

Komentáře ke třetímu příkladu: a Podobně jako v předchozích příkladech provedeme následující akce:

1) vynásobte číselné faktory:

;

2) vynásobte mocniny:

;

Zapišme si odpověď: ;

V tomto případě je koeficient monomiálu „“ a písmenná část .

Nyní uvažujme druhý standardní provoz na monomilech . Protože monočlen je algebraický výraz sestávající z doslovných proměnných, které mohou nabývat konkrétních číselných hodnot, máme aritmetický číselný výraz, který je třeba vyhodnotit. To znamená, že další operace s polynomy je výpočet jejich konkrétní číselné hodnoty .

Podívejme se na příklad. Monomický daný:

tento jednočlen je již zredukován do standardní podoby, jeho koeficient je roven jedné a písmenná část

Již dříve jsme řekli, že algebraický výraz nelze vždy vypočítat, to znamená, že proměnné, které jsou v něm obsaženy, nemohou nabývat žádné hodnoty. V případě monočlenu mohou být v něm obsažené proměnné libovolné, což je vlastnost monočlenu.

V uvedeném příkladu tedy musíte vypočítat hodnotu monomiálu v , , , .

Monomiály jsou jedním z hlavních typů výrazů studovaných v kurzu školní algebry. V tomto materiálu vám řekneme, co tyto výrazy jsou, definujeme jejich standardní formu a ukážeme příklady a také porozumíme souvisejícím pojmům, jako je stupeň monomiálu a jeho koeficient.

Co je to monomial

Školní učebnice obvykle uvádějí následující definici tohoto pojmu:

Definice 1

Mezi mononomy patříčísla, proměnné a také jejich mocniny s přirozenými exponenty a různé typy díla z nich sestavená.

Na základě této definice můžeme uvést příklady takových výrazů. Všechna čísla 2, 8, 3004, 0, - 4, - 6, 0, 78, 1 4, - 4 3 7 tedy budou jednočlenné. Všechny proměnné, například x, a, b, p, q, t, y, z, budou také podle definice monočleny. Patří sem také mocniny proměnných a čísel, například 6 3, (− 7, 41) 7, x 2 a t 15, jakož i výrazy ve tvaru 65 · x, 9 · (− 7) · x · y 3 · 6, x · x · y 3 · x · y 2 · z atd. Vezměte prosím na vědomí, že monočlen může obsahovat jedno číslo nebo proměnnou nebo několik a mohou být uvedeny několikrát v jednom polynomu.

Takové typy čísel, jako jsou celá čísla, racionální čísla a přirozená čísla, také patří k monočlenům. Zde můžete také zahrnout reálná a komplexní čísla. Tedy výrazy ve tvaru 2 + 3 · i · x · z 4, 2 · x, 2 · π · x 3 budou také jednočlenné.

Jaký je standardní tvar jednočlenu a jak na něj převést výraz

Pro snadné použití jsou všechny monomily nejprve zredukovány na speciální formu nazývanou standard. Pojďme formulovat konkrétně, co to znamená.

Definice 2

Standardní forma monomiálu se nazývá jeho forma, ve které je součinem číselného faktoru a přirozených mocnin různých proměnných. Číselný faktor, nazývaný také koeficient monomiálu, se obvykle píše jako první na levé straně.

Pro názornost vybereme několik monočlenů standardního tvaru: 6 (jedná se o monočlen bez proměnných), 4 · a, − 9 · x 2 · y 3, 2 3 5 · x 7. Patří sem i výraz x y(zde bude koeficient roven 1), − x 3(zde je koeficient - 1).

Nyní uvádíme příklady monomií, které je třeba uvést do standardní podoby: 4 a 2 a 3(zde musíte zkombinovat stejné proměnné), 5 x (− 1) 3 y 2(zde je třeba kombinovat číselné faktory vlevo).

Typicky, když monomial má několik proměnných napsaných písmeny, faktory dopisu jsou psány v abecedním pořadí. Například je lepší psát 6 a b 4 c z 2, jak b 4 6 a z 2 c. Pořadí však může být jiné, vyžaduje-li to účel výpočtu.

Jakýkoli monomiál lze zredukovat na standardní formu. Chcete-li to provést, musíte provést všechny potřebné transformace identity.

Pojem stupně monomiálu

Velmi důležitý je doprovodný koncept stupně monomiálu. Zapišme si definici tohoto pojmu.

Definice 3

Silou monomiálu, zapsaný ve standardním tvaru, je součtem exponentů všech proměnných, které jsou zahrnuty v jeho zápisu. Pokud v něm není jediná proměnná a samotný monomial je odlišný od 0, pak bude jeho stupeň nulový.

Uveďme příklady mocnin jednočlenu.

Příklad 1

Jednočlen a má tedy stupeň rovný 1, protože a = a 1. Pokud máme monomiální 7, pak bude mít stupeň nula, protože nemá žádné proměnné a liší se od 0. A tady je záznam 7 a 2 x y 3 a 2 bude monomiál 8. stupně, protože součet exponentů všech stupňů proměnných v něm zahrnutých bude roven 8: 2 + 1 + 3 + 2 = 8 .

Monomial zredukovaný na standardní tvar a původní polynom bude mít stejný stupeň.

Příklad 2

Pojďme si ukázat, jak vypočítat stupeň monomiálu 3 x 2 y 3 x (− 2) x 5 y. Ve standardním tvaru může být zapsán jako − 6 x 8 y 4. Vypočítáme stupeň: 8 + 4 = 12 . To znamená, že stupeň původního polynomu je také roven 12.

Pojem monomiální koeficient

Máme-li monomiál zredukovaný na standardní tvar, který obsahuje alespoň jednu proměnnou, pak o něm mluvíme jako o součinu s jedním číselným faktorem. Tento faktor se nazývá číselný koeficient nebo monomiální koeficient. Zapišme si definici.

Definice 4

Koeficient monomiálu je číselný faktor monomiálu zredukovaný na standardní tvar.

Vezměme si jako příklad koeficienty různých monočlenů.

Příklad 3

Tedy ve výrazu 8 a 3 koeficient bude číslo 8 a in (− 2, 3) x y z budou − 2 , 3 .

Zvláštní pozornost by měla být věnována koeficientům rovný jedné a mínus jedna. Zpravidla nejsou výslovně uvedeny. Předpokládá se, že v monomiálu standardního tvaru, ve kterém není žádný číselný faktor, je koeficient roven 1, například ve výrazech a, x · z 3, a · t · x, protože mohou být považováno za 1 · a, x · z 3 – Jak 1 x z 3 atd.

Podobně v monočlenech, které nemají číselný faktor a začínají znaménkem mínus, můžeme za koeficient považovat -1.

Příklad 4

Například výrazy − x, − x 3 · y · z 3 budou mít takový koeficient, protože je lze reprezentovat jako − x = (− 1) · x, − x 3 · y · z 3 = (− 1 ) · x 3 y z 3 atd.

Pokud monomiál nemá vůbec jednopísmenný faktor, pak můžeme v tomto případě mluvit o koeficientu. Koeficienty takových jednočlenných čísel budou tato čísla sama. Takže například koeficient monomiálu 9 se bude rovnat 9.

Pokud si všimnete chyby v textu, zvýrazněte ji a stiskněte Ctrl+Enter

Monomiální je výraz, který je součinem dvou nebo více faktorů, z nichž každý je číslo vyjádřené písmenem, číslicemi nebo mocninou (s nezáporným celým číslem):

2A, A 3 x, 4abc, -7x

Vzhledem k tomu, že součin identických faktorů lze zapsat jako mocninu, jedna mocnina (s nezáporným celočíselným exponentem) je také monomiála:

(-4) 3 , x 5 ,

Vzhledem k tomu, že číslo (celé číslo nebo zlomek), vyjádřené písmenem nebo čísly, lze zapsat jako součin tohoto čísla jednou, každé jednotlivé číslo lze také považovat za jednočlenné:

x, 16, -A,

Standardní forma monomiálu

Standardní forma monomiálu je jednočlen, který má pouze jeden číselný faktor, který musí být zapsán na prvním místě. Všechny proměnné jsou v abecedním pořadí a jsou obsaženy v monomiálu pouze jednou.

Čísla, proměnné a mocniny proměnných patří také k monočlenům standardního tvaru:

7, b, x 3 , -5b 3 z 2 - monomily standardního tvaru.

Číselný faktor monomiálu standardního tvaru se nazývá koeficient monomiálu. Monomiální koeficienty rovné 1 a -1 se obvykle nezapisují.

Pokud monomiál standardního tvaru nemá číselný faktor, pak se předpokládá, že koeficient monomiálu je roven 1:

x 3 = 1 x 3

Pokud jednočlen standardního tvaru nemá číselný faktor a předchází mu znaménko mínus, pak se předpokládá, že koeficient jednočlenu je roven -1:

-x 3 = -1 · x 3

Redukce monomiálu na standardní formu

Chcete-li převést monomiál do standardní formy, musíte:

Vynásobte číselné faktory, pokud jich je několik. Zvyšte číselný faktor na mocninu, pokud má exponent. Nejprve dejte číselný faktor.
Vynásobte všechny stejné proměnné tak, aby se každá proměnná objevila v monomiálu pouze jednou.
Uspořádejte proměnné za číselným faktorem v abecedním pořadí.

Příklad. Prezentujte monomiál ve standardním tvaru:

a) 3 yx 2 (-2) y 5 x; b) 6 bc · 0,5 3

a) 3 yx 2 (-2) y 5 xŘešení: x 2 xyy 5 = -6x 3 y 6
= 3 (-2) b) 6 bc · 0,5 b) 6 · 0,5b 3 3 = 6 0,5 = 3· 0,5 4 3 = 6 0,5

C

Síla jednočlenu Síla jednočlenu

je součet exponentů všech písmen v něm obsažených.

Pokud je jednočlen číslo, to znamená, že neobsahuje proměnné, pak se jeho stupeň považuje za rovný nule. Například:

5, -7, 21 jsou monomily nulového stupně.

Proto, abyste našli stupeň monomiálu, musíte určit exponent každého z písmen v něm obsažených a tyto exponenty sečíst. Pokud exponent písmena není uveden, znamená to, že je roven jedné.

Příklady: x Od

exponent není specifikován, to znamená, že je roven 1. Monomial neobsahuje další proměnné, to znamená, že jeho stupeň je roven 1.

3) · 0,5 3 3 = 6 0,5 2 Monomial obsahuje pouze jednu proměnnou k druhé mocnině, což znamená, že stupeň tohoto monomiálu je 2.

d A Indikátor b rovná se 1, exponent 3 = 6 0,5- 3, indikátor Monomial obsahuje pouze jednu proměnnou k druhé mocnině, což znamená, že stupeň tohoto monomiálu je 2.- 2, indikátor

- 1. Stupeň tohoto monomiálu se rovná součtu těchto ukazatelů.

Lekce na téma: "Standardní forma monomiálu. Definice. Příklady"
Doplňkové materiály

Vážení uživatelé, nezapomeňte zanechat své komentáře, recenze, přání. Všechny materiály byly zkontrolovány antivirovým programem.
Vzdělávací pomůcky a simulátory v internetovém obchodě Integral pro 7. ročník
Elektronická učebnice "Srozumitelná geometrie" pro ročníky 7-9

Multimediální učebnice "Geometrie za 10 minut" pro ročníky 7-9

Monomiální Monomiální. Definice

je matematický výraz, který je součinem prvočinitele a jedné nebo více proměnných.
Monomiály zahrnují všechna čísla, proměnné, jejich mocniny s přirozeným exponentem:

Poměrně často je obtížné určit, zda daný matematický výraz odkazuje na jednočlen nebo ne. Například $\frac(4a^3)(5)$. Je to monomiální nebo ne? Abychom na tuto otázku odpověděli, musíme výraz zjednodušit, tzn. přítomný ve tvaru: $\frac(4)(5)*a^3$.
S jistotou můžeme říci, že tento výraz je jednočlenný.

Standardní forma monomiálu

Při provádění výpočtů je vhodné zredukovat monomiál na standardní formu. Toto je nejvýstižnější a nejsrozumitelnější záznam monomiálu.

Postup pro redukci monomiálu na standardní formu je následující:
1. Vynásobte koeficienty monomiálu (nebo číselné faktory) a výsledný výsledek umístěte na první místo.
2. Vyberte všechny mocniny se stejným základem písmen a vynásobte je.
3. Opakujte bod 2 pro všechny proměnné.

Příklady.
I. Redukujte daný monomiál $3x^2zy^3*5y^2z^4$ na standardní tvar.

Řešení.
1. Vynásobte koeficienty monomiálu $15x^2y^3z * y^2z^4$.
2. Nyní uvádíme podobné výrazy $15x^2y^5z^5$.

II. Zmenšete daný monomiál $5a^2b^3 * \frac(2)(7)a^3b^2c$ na standardní tvar.

Řešení.
1. Vynásobte koeficienty monomiálu $\frac(10)(7)a^2b^3*a^3b^2c$.
2. Nyní uvedeme podobné výrazy $\frac(10)(7)a^5b^5c$.

1. Kladný celočíselný koeficient. Mějme jednočlenný +5a, protože kladné číslo +5 se považuje za shodné s aritmetickým číslem 5, pak

5a = a ∙ 5 = a + a + a + a + a.

Také +7xy² = xy² ∙ 7 = xy² + xy² + xy² + xy² + xy² + xy² + xy²; +3a³ = a³ ∙ 3 = a³ + a³ + a³; +2abc = abc ∙ 2 = abc + abc a tak dále.

Na základě těchto příkladů můžeme stanovit, že kladný celočíselný koeficient ukazuje, kolikrát se písmenný faktor (nebo: součin písmenových faktorů) jednočlenu opakuje sčítancem.

Na to byste si měli zvyknout do té míry, že si hned ve své představě představíte, že třeba v mnohočlenu

3a + 4a² + 5a³

záležitost se scvrkává na skutečnost, že nejprve a² se opakuje 3krát jako termín, poté a3 se opakuje 4krát jako termín a poté se a 5krát opakuje jako termín.

Také: 2a + 3b + c = a + a + b + b + b + c
x³ + 2xy² + 3y³ = x³ + xy² + xy² + y³ + y³ + y³ atd.

2. Kladný zlomkový koeficient. Mějme jednočlenný +a. Protože kladné číslo + se shoduje s aritmetickým číslem, pak +a = a ∙, což znamená: potřebujeme vzít tři čtvrtiny čísla a, tzn.

Tedy: zlomkový kladný koeficient ukazuje, kolikrát a jaká část písmenového faktoru jednočlenu se sčítancem opakuje.

Polynom by měl být snadno reprezentován ve tvaru:

a podobně.

3. Záporný koeficient. Když známe násobení relativních čísel, snadno zjistíme, že například (+5) ∙ (–3) = (–5) ∙ (+3) nebo (–5) ∙ (–3) = (+5) ∙ (+ 3) nebo obecně a ∙ (–3) = (–a) ∙ (+3); také a ∙ (–) = (–a) ∙ (+) atd.

Pokud tedy vezmeme monočlen se záporným koeficientem, například –3a, pak

–3a = a ∙ (–3) = (–a) ∙ (+3) = (–a) ∙ 3 = – a – a – a (–a se bere jako člen 3x).

Z těchto příkladů vidíme, že záporný koeficient ukazuje, kolikrát se písmenná část jednočlenu, nebo jeho určitý zlomek, braný se znaménkem mínus, opakuje u daného členu.