2면체 각도 3면체 및 다면체 각도 프리젠테이션. 수학 수업 "이면체 각도. 다면체 각도." 수직 다면체 각도

삼각형 각도. 정리. 삼면체 각도의 모든 평면 각도는 다른 두 평면 각도의 합보다 작습니다. 증거. 삼면체 각도 SABC를 고려하십시오. 평면 각도 중 가장 큰 각도를 각도 ASC로 설정합니다. 그러면 불평등 ?ASB ? ?ASC< ?ASC + ?BSC; ?BSC ? ?ASC < ?ASC + ?ASB. Таким образом, остается доказать неравенство?ASС < ?ASB + ?BSC. Отложим на грани ASC угол ASD, равный ASB, и точку B выберем так, чтобы SB = SD. Тогда треугольники ASB и ASD равны (по двум сторонам и углу между ними) и, следовательно, AB = AD. Воспользуемся неравенством треугольника AC < AB + BC. Вычитая из обеих его частей AD = AB, получим неравенство DC < BC. В треугольниках DSC и BSC одна сторона общая (SC), SD = SB и DC < BC. В этом случае против большей стороны лежит больший угол и, следовательно, ?DSC < ?BSC. Прибавляя к обеим частям этого неравенства угол ASD, равный углу ASB, получим требуемое неравенство?ASС < ?ASB + ?BSC.

프레젠테이션 "다면체 각도"의 슬라이드 3"공간의 각도" 주제에 대한 기하학 수업

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공간의 각도

“공간에서 직선 사이의 각도” - 큐브 AD...D1에서 직선 사이의 각도: A1C1과 B1D1을 구합니다. 답: 45o. 답: 90o. 큐브 A...D1에서 선 AB1과 BC1 사이의 각도를 구합니다. 공간에서 직선 사이의 각도입니다. 큐브 A...D1에서 AA1과 BD1 선 사이의 각도를 찾습니다. 큐브 A...D1에서 선 AA1과 BC1 사이의 각도를 구합니다. 답: 큐브 A...D1에서 선 AA1과 BC 사이의 각도를 구하세요.

"2면체 각도 기하학" - 각도 RSV - 모서리 AC가 있는 2면체 각도에 대한 선형입니다. RMT 각도는 RMT와의 2면각에 대해 선형입니다. K.V. 기하학 10 "A" 클래스 2008년 3월 18일. 이면체 각도. 직선 BO는 모서리 CA에 수직입니다(정삼각형의 특성에 따라). DIA 직전. (2) MTK 가장자리. KDBA KDBC.

"내접 각도" - 사례 2. V. Doc: 정점이 원 위에 없습니다. A. 3건. 2. 수업 주제: 내접 각도. 비). 자료의 반복. 문제 해결. 문제 1번? 숙제.

"삼면체 각도" - 결과. 1) 직선과 평면 사이의 각도를 계산하려면 다음 공식을 적용할 수 있습니다. 주어진 값: Оabc – 삼면체 각도; ?(b;c) = ?; ?(a; c) = ?; ?(a; b) = ?. 증명 I. 하자?< 90?; ? < 90?; (ABC)?с. Трехгранный угол. Тогда?ОВС = 90? – ? < ?ОВА (следствие из формулы трех косинусов). Формула трех косинусов.

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정리. 삼면체 각도에서 평면 각도의 합은 360보다 작고 두 개의 합은 세 번째 각도보다 큽니다. 주어진 값: Оabc – 삼면체 각도; (b;c) = ; (a;c) = ; (a;b) = . 삼면체 각도의 주요 속성. 증명하다: + +< 360 ; 2) + > ; + > ; + > .

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증명 I. 하자< 90 ; < 90 ; (ABC) с. Тогда ОВС = 90 – < ОВА (следствие из формулы трех косинусов). Аналогично, ОАС = 90 – < ОAВ. Следовательно, = 180 – (ОАB + ОBA) < 180 – ((90 –) + (90 –)) = + . Если < 90 , то остальные два неравенства пункта 2) доказываются аналогично, а если 90 , то они – очевидны. Дано: Оabc – трехгранный угол; (b; c) = ; (a; c) = ; (a; b) = . Доказать: 2) + > ; + > ; + > .

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3개의 코사인 공식. 결과. 1) 직선과 평면 사이의 각도를 계산하려면 다음 공식을 적용합니다. 2) 직선과 평면 사이의 각도는 이 직선이 이 평면의 직선과 이루는 각도 중 가장 작은 각도입니다.

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II. 이 각도의 가장자리에 점 A', B' 및 C'를 배치하여 |OA'| = |오비'| = |OC'| 그런 다음 삼각형 A'OB', B'OC' 및 C'OA'는 이등변이고 밑변 1~6에서의 각도는 예각입니다. 정점 A', B' 및 C'가 있는 삼면체 각도의 경우 단락 I에서 입증된 부등식을 적용합니다. C'A'B'< 1 + 6; А’B’C’ < 2 + 3; B’С’А’ < 4 + 5. Сложим эти неравенства почленно, тогда 180 < (1 + 2) + (3 + 4) + (5 + 6) = = (180 –) + (180 –) + (180 –) + + < 360 . Дано: Оabc – трехгранный угол; (b; c) = ; (a; c) = ; (a; b) = . Доказать: + + < 360 ; 2) + > ; + > ; + > .

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III. 광선 c'를 생각해 봅시다 – 광선 c에 상보적이며 삼면체 각도 Оabc'에 대해 임의의 삼면체 각도에 대해 단락 II에서 입증된 부등식을 사용합니다: (180 –) + (180 –) +< 360 + >. 다른 두 부등식도 비슷하게 증명됩니다. 주어진 값: Оabc – 삼면체 각도; (b;c) = ; (a;c) = ; (a;b) = . 증명하다: + +< 360 ; 2) + >; + > ; + > . 와 함께'

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결과. 정삼각형 피라미드에서 꼭지점의 평면 각도는 120보다 작습니다.

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정의. 3면체 각도는 해당 평면과 2면체 각도가 모두 같으면 같다고 합니다. 삼면체 각도의 평등 신호. 삼면체 각도는 각각 동일하면 동일합니다. 두 개의 평면 각도와 그 사이의 2면체 각도; 2) 두 개의 2면체 각도와 그 사이의 평평한 각도; 3) 세 개의 평평한 각도; 4) 세 개의 2면체 각도. 쌀. 4b

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. . 주어진 삼면체 각도 Oabc. 허락하다< 90 ; < 90 ; тогда рассмотрим (ABC) с По теореме косинусов из CАВ: |AB|2 = |AC|2 + |BC|2 – 2|AC| |BC| cos Аналог теоремы косинусов Аналогично, из OАВ: |AB|2 = |AO|2 + |BO|2 – 2|AO| |BO| cos . Вычтем из второго равенства первое и учтем, что |AO|2 – |AC|2 = |CO|2 = |BO|2 – |BC|2: 2|CO|2 – 2|AO| |BO| cos + 2|AC| |BC| = 0 . ; ; ; тогда cos = cos cos + sin 신코스다음을 바꾸자:

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II. > 90 이라고 하자; > 90인 경우 c에 상보적인 광선 c'와 해당 삼면체 각도 Oabc'를 고려합니다. 여기서 평면 각도 – 및 –는 예각이고 평면 각도와 2면체 각도는 동일합니다. I.에 따르면: cos = cos(-) cos(-) + sin(-) sin(-) cos cos = cos cos + sin sin cos

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지정된 표면과 이에 의해 제한된 공간의 두 부분 중 하나에 의해 형성된 도형을 다면체 각도라고 합니다. 공통 꼭지점 S를 다면체 각의 꼭지점이라고 합니다. 광선 SA1, ..., SAn을 다면체 각도의 모서리라고 하고 평면 각도 자체 A1SA2, A2SA3, ..., An-1SAn, AnSA1을 다면체 각도의 면이라고 합니다. 다면체 각도는 문자 SA1...An으로 표시되며 모서리의 꼭지점과 점을 나타냅니다. 공통 꼭지점 S를 갖는 유한한 평면 각도 집합 A1SA2, A2SA3, ..., An-1SAn, AnSA1로 구성된 표면으로, 이웃 각도에는 공통 광선의 점을 제외하고는 공통점이 없고 이웃하지 않는 각도가 있습니다. 모서리에는 공통 꼭지점을 제외하고 공통점이 없는 표면을 다면체 표면이라고 합니다.

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다면체의 각은 면의 수에 따라 삼면체, 사면체, 오각형 등이 됩니다.

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삼면체 각도

정리. 삼면체 각도의 모든 평면 각도는 다른 두 평면 각도의 합보다 작습니다. 증명: 삼면체 각도 SABC를 고려하십시오. 평면 각도 중 가장 큰 각도를 각도 ASC로 설정합니다. 그러면 부등식 ASB ASC가 충족됩니다.

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재산. 삼면체 각도의 평면 각도의 합은 360°보다 작습니다. 마찬가지로 정점 B와 C가 있는 삼면체 각도의 경우 다음 부등식이 성립합니다.

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볼록 다면체 각도

즉, 임의의 두 점과 함께 이를 연결하는 세그먼트를 완전히 포함하는 경우 다면체 각도를 볼록이라고 합니다. 그림은 볼록 및 비볼록 다면체 각도의 예를 보여줍니다. 성질: 볼록다면체각의 모든 평면각의 합은 360°보다 작다. 증명은 삼면체 각도에 대한 해당 속성의 증명과 유사합니다.

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수직 다면체 각도

그림은 삼면체, 사면체 및 오각형 수직 각도의 예를 보여줍니다. 수직 각도는 동일합니다.

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다면체 각도 측정

전개된 2면각의 각도 값은 해당 선형 각도의 각도 값으로 측정되며 180°와 같으므로 두 개의 전개된 2면각으로 구성된 전체 공간의 각도 값은 다음과 같다고 가정합니다. 360°. 도 단위로 표현되는 다면체 각도의 크기는 주어진 다면체 각도가 차지하는 공간의 양을 나타냅니다. 예를 들어, 정육면체의 삼면체 각도는 공간의 8분의 1을 차지하므로 각도 값은 360°입니다: 8 = 45°. 정n각형 프리즘의 삼면체 각도는 측면 가장자리의 2면체 각도의 절반과 같습니다. 이 2면각이 동일하다는 것을 고려하면 프리즘의 3면각이 동일하다는 것을 알 수 있습니다.

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삼각형 각도 측정*

2면각의 관점에서 3면각의 크기를 표현하는 공식을 유도해 보겠습니다. 삼면체 각도의 꼭지점 S 근처에 있는 단위 구를 설명하고 이 구와 삼면체 각도 모서리의 교차점을 A, B, C로 표시하겠습니다. 삼면체 각도의 면의 평면은 이 구를 다음과 같이 나눕니다. 이 삼면체 각도의 이면체 각도에 해당하는 6개의 쌍으로 동일한 구형 이각형입니다. 구면삼각형 ABC와 대칭구면삼각형 A"B"C"는 세 정삼각형의 교점이므로, 2면체각의 합 2배는 360o에 3면체각의 4배를 더한 값, 즉 SA +SB + SC = 180o가 됩니다. + 2SABC.

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다면체 각도 측정*

SA1…An을 볼록한 n면 각도로 둡니다. 이를 삼면체 각도로 나누고 대각선 A1A3, ..., A1An-1을 그리고 결과 공식을 적용하면 다음과 같습니다.  SA1 + ... + SAn = 180о(n – 2) + 2SA1… 안. 다면체 각도는 숫자로도 측정할 수 있습니다. 실제로 모든 공간의 360도는 숫자 2π에 해당합니다. 결과 공식에서 각도에서 숫자로 이동하면 다음과 같습니다. SA1+ …+SAn = π(n – 2) + 2SA1…An.

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연습 1

평평한 각도를 갖는 삼면체 각도가 있을 수 있습니까? a) 30°, 60°, 20°; b) 45°, 45°, 90°; c) 30°, 45°, 60°? 대답이 없습니다. b) 아니오; c) 그렇죠.

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연습 2

꼭지점에서 교차하는 면이 다음을 형성하는 다면체의 예를 들어보세요. a) 삼면체 각도; b) 사면체 각도; c) 오각형. 답: a) 사면체, 정육면체, 십이면체; b) 팔면체; c) 정이십면체.

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연습 3

삼면체 각도의 두 평면 각도는 70°와 80°입니다. 세 번째 평면각의 경계는 무엇입니까? 답: 10o

슬라이드 13

연습 4

삼면체 각도의 평면 각도는 45°, 45°, 60°입니다. 평면각이 45°인 평면 사이의 각도를 구합니다. 답: 90o.

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연습 5

삼면체 각도에서 두 평면 각도는 45°와 같습니다. 그들 사이의 2면각은 옳습니다. 세 번째 평면 각도를 구합니다. 답: 60o.

슬라이드 15

연습 6

삼면체 각도의 평면 각도는 60°, 60°, 90°입니다. 동일한 세그먼트 OA, OB, OC는 꼭지점의 가장자리에 배치됩니다. 90° 각도 평면과 ABC 평면 사이의 2면각을 구합니다. 답: 90o.

슬라이드 16

연습 7

삼면체 각도의 각 평면 각도는 60°입니다. 가장자리 중 하나에 3cm에 해당하는 세그먼트가 상단에서 배치되고 수직선이 끝에서 반대면으로 떨어집니다. 이 수직선의 길이를 구하세요. 답: 보세요

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연습 8

면에서 등거리에 있는 삼면체 각의 내부 점의 궤적을 찾습니다. 답변: 정점이 삼면체 각도의 꼭지점인 광선으로, 이면체 각도를 반으로 나누는 평면의 교차선에 있습니다.

슬라이드 18

연습 9

모서리에서 등거리에 있는 삼면체 각도의 내부 점의 자취를 찾습니다. 답변: 정점이 삼면체 각도의 정점인 광선으로, 평면 각도의 이등분선을 통과하고 이러한 각도의 평면에 수직인 평면의 교차선에 있습니다.

슬라이드 19

연습 10

4면체의 2면체 각도는 다음과 같습니다. , 여기서 70o30"입니다. 4면체의 3면체 각도는 15o45"입니다. 답 : 15o45". 사면체의 삼면체 각도의 대략적인 값을 찾으십시오.

슬라이드 20

연습 11

팔면체의 사면체 각도의 대략적인 값을 찾으십시오. 팔면체의 2면체 각도는 다음과 같습니다. , 여기서는 109о30"입니다. 팔면체의 사면체 각도는 38о56"입니다. 답: 38o56".

슬라이드 21

연습 12

정이십면체의 오면체 각도의 대략적인 값을 찾으세요. 정이십면체의 2면체 각도는 다음과 같습니다. , 여기서는 138о11"입니다. 정이십면체의 5면체 각도는 75о28"입니다. 답: 75o28".

슬라이드 22

연습 13

정십이면체의 2면체 각도는 다음과 같습니다. , 여기서 116o34"입니다. 정십이면체의 3면체 각도는 84o51"입니다. 답 : 84o51". 정십이면체의 삼면체 각도의 대략적인 값을 찾으십시오.

슬라이드 23

연습 14

정사각형 피라미드 SABCD에서 밑면의 한 변이 2cm, 높이가 1cm인 경우 이 피라미드의 꼭지점에서 사면체 각도를 구합니다. 해결 방법: 주어진 피라미드는 큐브를 큐브 중앙에 정점이 있는 6개의 동일한 피라미드로 나눕니다. 결과적으로 피라미드 꼭대기의 4면 각도는 360° 각도의 1/6입니다. 60o와 같습니다. 답: 60o.

슬라이드 24

연습 15

정삼각형 피라미드에서 측면 모서리는 1과 같고 꼭지점의 각도는 90°입니다. 이 피라미드의 꼭지점에서 삼면체 각도를 구하세요. 해결책: 표시된 피라미드는 팔면체를 팔면체의 중심 O에 꼭짓점을 갖는 8개의 동일한 피라미드로 나눕니다. 따라서 피라미드 꼭대기의 3면 각도는 360° 각도의 1/8입니다. 45o와 같습니다. 답: 45o.

슬라이드 25

연습 16

정삼각형 피라미드에서 측면 모서리는 1과 같고 높이는 이 피라미드의 꼭지점에서 삼면체 각도를 찾습니다. 해결책: 표시된 피라미드가 깨졌습니다. 정사면체정사면체의 중앙에 꼭지점이 있는 4개의 동일한 피라미드로 나뉩니다. 결과적으로 피라미드 꼭대기의 3면 각도는 360° 각도의 1/4입니다. 90o와 같습니다. 답: 90o.

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슬라이드 1

다면체 각도 지정된 표면과 이에 의해 제한된 공간의 두 부분 중 하나로 형성된 도형을 다면체 각도라고 합니다. 공통 꼭지점 S를 다면체 각의 꼭지점이라고 합니다. 광선 SA1, ..., SAn을 다면체 각도의 모서리라고 하고 평면 각도 자체 A1SA2, A2SA3, ..., An-1SAn, AnSA1을 다면체 각도의 면이라고 합니다. 다면체 각도는 문자 SA1...An으로 표시되며 모서리의 꼭지점과 점을 나타냅니다. 공통 꼭지점 S를 갖는 유한한 평면 각도 집합 A1SA2, A2SA3, ..., An-1SAn, AnSA1로 구성된 표면으로, 이웃 각도는 공통 광선의 점 외에는 공통점이 없고 인접하지 않은 모서리는 다음과 같습니다. 공통 꼭지점 외에는 공통점이 없으므로 이를 다면체 표면이라고 부릅니다.

슬라이드 2

다면체 각도 면의 수에 따라 다면체 각도는 삼면체, 사면체, 오각형 등이 됩니다.

슬라이드 3

삼면체 각도 정리. 삼면체 각도의 모든 평면 각도는 다른 두 평면 각도의 합보다 작습니다. 증거. 삼면체 각도 SABC를 고려하십시오. 평면 각도 중 가장 큰 각도를 각도 ASC로 설정합니다. 그런 다음 불평등 ASB ASC가 충족됩니다.

슬라이드 4

삼각각 속성. 삼면체 각도의 평면 각도의 합은 360°보다 작습니다. 마찬가지로 정점 B와 C가 있는 삼면체 각도의 경우 다음 부등식이 성립합니다. ABC

슬라이드 5

볼록 다면체 각도 볼록 도형인 경우 다면체 각도를 볼록이라고 합니다. 즉, 두 개의 점과 함께 이를 연결하는 세그먼트를 완전히 포함합니다. 그림은 볼록한 다면체 각도와 볼록하지 않은 다면체 각도의 예를 보여줍니다. 재산. 볼록 다면체 각도의 모든 평면 각도의 합은 360°보다 작습니다. 증명은 삼면체 각도에 대한 해당 속성의 증명과 유사합니다.

슬라이드 6

수직 다면체 각도 그림은 삼면체, 사면체 및 오면체 수직 각도 정리의 예를 보여줍니다. 수직 각도는 동일합니다.

슬라이드 7

다면체 각도 측정 전개된 2면각의 각도 값은 해당 선형 각도의 각도 값으로 측정되며 180°와 같으므로 두 개의 전개된 2면각으로 구성된 전체 공간의 각도 값은, 360°와 같습니다. 도 단위로 표현되는 다면체 각도의 크기는 주어진 다면체 각도가 차지하는 공간의 양을 나타냅니다. 예를 들어, 정육면체의 삼면체 각도는 공간의 8분의 1을 차지하므로 각도 값은 360°입니다: 8 = 45°. 정n각형 프리즘의 삼면체 각도는 측면 가장자리의 2면체 각도의 절반과 같습니다. 이 2면각이 동일하다는 것을 고려하면 프리즘의 3면각이 동일하다는 것을 알 수 있습니다.

슬라이드 8

삼각각 측정* 삼각각의 크기를 2면각을 통해 표현하는 공식을 유도해 보겠습니다. 삼면체 각도의 꼭지점 S 근처에 있는 단위 구를 설명하고 이 구와 삼면체 각도 모서리의 교차점을 A, B, C로 표시하겠습니다. 삼면체 각도의 면의 평면은 이 구를 다음과 같이 나눕니다. 주어진 3면체 각도의 2면체 각도에 해당하는 6개의 쌍으로 동일한 구형 이각형입니다. 구면삼각형 ABC와 대칭 구면삼각형 A"B"C"는 세 정삼각형의 교차점입니다. 따라서 2면체 각도의 두 배 합은 360o에 3면체 각도의 4배를 더한 값, 즉 SA + SB + SC = 180o + 2입니다. SABC.

슬라이드 9

다면체 각도 측정* SA1…An을 볼록한 n면체 각도라고 가정합니다. 이를 삼면체 각도로 나누고 대각선 A1A3, ..., A1An-1을 그리고 결과 공식을 적용하면 SA1 + ... + SAn = 180о(n – 2) + 2 SA1…An이 됩니다. 다면체 각도는 숫자로도 측정할 수 있습니다. 실제로 모든 공간의 360도는 숫자 2π에 해당합니다. 결과 공식에서 각도에서 숫자로 이동하면 SA1+ …+ SAn = π (n – 2) + 2 SA1…An이 됩니다.

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