기능성 시리즈. 파워 시리즈.
계열의 수렴 범위

이유 없이 웃는 것은 달랑베르의 상징이다

기능적 순위의 시간이 다가왔습니다. 주제, 특히 이번 수업을 성공적으로 익히려면 일반 숫자 계열에 대한 올바른 이해가 필요합니다. 계열이 무엇인지 잘 이해하고 계열의 수렴을 검사하기 위한 비교 기준을 적용할 수 있어야 합니다. 따라서 해당 주제를 이제 막 공부하기 시작했거나 고등 수학의 초보자라면, 필요한세 가지 수업을 순서대로 진행하세요. 인형용 행,달랑베르 징후. 코시 징후그리고 교대로 행. 라이프니츠의 테스트. 확실히 세 가지 모두! 만약 거기에 기본 지식숫자 시리즈 문제를 해결하는 기술이 있으면 새로운 자료가 많지 않기 때문에 기능 시리즈에 대처하는 것이 매우 간단합니다.

이 강의에서 우리는 함수 급수의 개념(정확히 무엇인지)을 살펴보고, 실제 작업의 90%에서 발견되는 거듭제곱 급수에 대해 알아보고, 반지름을 찾는 일반적인 문제를 해결하는 방법을 배웁니다. 전력 계열의 수렴, 수렴 간격 및 수렴 영역. 다음으로, 나는 다음에 관한 자료를 고려하는 것이 좋습니다 파워 시리즈로 기능 확장, 그리고 " 구급차"를 초보자에게 제공해드립니다. 잠시 숨을 고르고 나면 다음 단계로 넘어갑니다.

또한 기능성 시리즈 섹션에도 수많은 제품이 있습니다. 근사 계산에 대한 응용, 그리고 어떤 면에서는 일반적으로 교육 문헌에서 별도의 장이 제공되는 푸리에 시리즈가 눈에 띕니다. 기사가 하나밖에 없는데, 기사가 길고 추가 예시가 정말 많아요!

이제 랜드마크가 설정되었습니다.

기능급수와 멱급수의 개념

한계가 무한대인 경우, 그러면 솔루션 알고리즘도 작업을 완료하고 작업에 대한 최종 답변을 제공합니다. "시리즈는 "(또는 ")에서 수렴합니다. 이전 단락의 사례 번호 3을 참조하세요.

극한이 0도 무한대도 아닌 것으로 판명된 경우, 그러면 실제로 가장 일반적인 사례 1번이 있습니다. 계열이 특정 간격으로 수렴됩니다.

이 경우 한도는 입니다. 계열의 수렴 간격을 찾는 방법은 무엇입니까? 우리는 불평등을 해소합니다:

안에 모든 작업 이런 유형의 불평등의 왼쪽에 있어야합니다 한도 계산 결과, 그리고 부등식의 오른쪽에는 - 엄격하게 단위. 나는 왜 그러한 불평등이 있고 왜 오른쪽에 불평등이 있는지 정확히 설명하지 않을 것입니다. 수업은 실무 지향적이며 내 이야기가 교직원을 매달리지 않고 일부 정리가 더 명확해진 것이 이미 매우 좋습니다.

모듈을 사용하여 이중 불평등을 해결하는 기술은 기사의 첫해에 자세히 논의되었습니다. 기능 영역, 하지만 편의상 모든 작업에 대해 최대한 자세히 설명하겠습니다. 학교 규칙에 따른 모듈러스로 불평등을 확장 . 이 경우:

절반이 끝났습니다.

두 번째 단계에서는 발견된 구간의 끝에서 계열의 수렴을 조사하는 것이 필요합니다.

먼저 구간의 왼쪽 끝을 가져와 이를 거듭제곱 계열로 대체합니다.

~에

우리는 일련의 숫자를 얻었고 수렴 여부를 조사해야 합니다(이전 수업에서 이미 익숙한 작업).

1) 계열이 번갈아 가며 나타납니다.
2) - 계열의 항은 계수가 감소합니다. 또한 시리즈의 각 다음 멤버는 절대값이 이전 멤버보다 작습니다. 이는 감소가 단조롭다는 것을 의미합니다.
결론: 시리즈가 수렴됩니다.

모듈로 구성된 시리즈를 사용하여 우리는 다음과 같은 방법을 정확히 알아낼 것입니다.
– 수렴(일반화 고조파 계열의 "표준" 계열).

따라서 결과 숫자 계열은 절대적으로 수렴합니다.

~에 – 수렴합니다.

! 나는 당신에게 상기시켜줍니다 모든 수렴하는 양수 계열도 절대적으로 수렴합니다.

따라서 멱급수는 발견된 구간의 양쪽 끝에서 절대적으로 수렴합니다.

답변:연구 중인 전력 계열의 수렴 영역:

또 다른 형태의 답변에는 생명권이 있습니다. 다음과 같은 경우 계열이 수렴됩니다.

때로는 문제 설명에서 수렴 반경을 나타내도록 요구합니다. 고려된 예에서는 분명합니다.

실시예 2

멱급수의 수렴 영역 찾기

해결책:우리는 계열의 수렴 간격을 찾습니다. 사용하여달랑베르 징후 (그러나 BY 속성은 아닙니다! – 이러한 속성은 기능 시리즈에는 존재하지 않습니다):

시리즈는 다음과 같이 수렴합니다.

왼쪽우리는 떠나야 해 오직, 따라서 부등식의 양쪽에 3을 곱합니다.

– 시리즈가 번갈아 가며 진행됩니다.
– - 계열의 항은 계수가 감소합니다. 시리즈의 각 다음 멤버는 절대값이 이전 멤버보다 작습니다. 이는 감소가 단조롭다는 것을 의미합니다.

결론: 시리즈가 수렴됩니다.

수렴의 성격을 살펴보겠습니다.

이 계열을 발산 계열과 비교해 보겠습니다.
우리는 제한적인 비교 기준을 사용합니다:

0이 아닌 유한수가 얻어지는데, 이는 계열이 계열에서 발산한다는 의미입니다.

따라서 급수는 조건부로 수렴합니다.

2) 언제 – (증명된 것에 따라) 갈라집니다.

답변:연구 중인 전력 계열의 수렴 영역: . 계열이 조건부로 수렴하는 경우.

고려된 예에서, 전력 계열의 수렴 영역은 절반 구간이고, 구간의 모든 지점에서 전력 계열은 절대적으로 수렴, 그리고 그 시점에서 밝혀진 바와 같이 – 조건부로.

실시예 3

멱급수의 수렴 구간을 찾고, 찾은 구간의 끝에서 수렴하는지 조사합니다.

이는 다음에 대한 예입니다. 독립적인 결정.

드물지만 실제로 발생하는 몇 가지 예를 살펴보겠습니다.

실시예 4

시리즈의 수렴 영역을 찾으십시오.

해결책: d'Alembert의 테스트를 사용하여 이 계열의 수렴 간격을 찾습니다.

(1) 시리즈의 다음 멤버와 이전 멤버의 비율을 구성합니다.

(2) 4층 분수를 없앤다.

(3) 거듭제곱 연산의 규칙에 따라 큐브를 단일 거듭제곱 아래로 가져옵니다. 분자에서 우리는 교묘하게 차수를 확장합니다. 다음 단계에서 분수를 로 줄일 수 있도록 배열합니다. 계승에 대해 자세히 설명합니다.

(4) 큐브 아래에서 분자를 분모로 나누어 항으로 나타내면 . 우리는 줄일 수 있는 모든 것을 단번에 줄입니다. 우리는 한계 기호 너머의 요소를 취하는데, "동적" 변수 "en"에 의존하는 것이 없기 때문에 제거할 수 있습니다. 모듈러스 기호는 "x"에 대해 음수가 아닌 값을 취하기 때문에 그려지지 않습니다.

한계 내에서 0이 얻어지며 이는 최종 답을 제공할 수 있음을 의미합니다.

답변:시리즈는 다음과 같이 수렴합니다.

그러나 처음에는 "끔찍한 채우기"가 포함된 이 행을 해결하기 어려울 것 같았습니다. 솔루션이 눈에 띄게 줄어들기 때문에 한계의 0 또는 무한대는 거의 선물입니다!

실시예 5

계열의 수렴 영역 찾기

이것은 스스로 해결하는 예입니다. 조심하세요;-) 전체 해결책은 수업 마지막 부분에 있습니다.

기술적 기법의 사용 측면에서 참신한 요소를 포함하는 몇 가지 예를 더 살펴보겠습니다.

실시예 6

계열의 수렴 구간을 찾고 찾은 구간의 끝에서 수렴을 조사합니다.

해결책:멱급수의 공통항에는 부호 교대를 보장하는 요소가 포함됩니다. 솔루션 알고리즘은 완전히 보존되지만 한계를 그릴 때 모듈이 모든 "마이너스"를 파괴하므로 이 요소를 무시합니다(쓰지 않음).

d'Alembert의 검정을 사용하여 계열의 수렴 간격을 찾습니다.

표준 부등식을 만들어 보겠습니다.
시리즈는 다음과 같이 수렴합니다.
왼쪽우리는 떠나야 해 모듈만, 따라서 부등식의 양쪽에 5를 곱합니다.

이제 익숙한 방식으로 모듈을 엽니다.

이중 부등식 중간에 "X"만 남겨두면 부등식의 각 부분에서 2를 뺍니다.

– 연구중인 전력 계열의 수렴 간격.

발견된 구간의 끝에서 계열의 수렴을 조사합니다.

1) 값을 우리의 거듭제곱 시리즈로 대체합니다. :

승수는 자연 "en"에 대한 부호 대체를 제공하지 않으므로 매우 주의하십시오. 우리는 결과적인 마이너스를 계열 외부로 가져가서 잊어버립니다. 그 이유는 그것이 (모든 요소 상수와 마찬가지로) 숫자 계열의 수렴 또는 발산에 어떤 식으로든 영향을 미치지 않기 때문입니다.

다시한번 주의해주세요그 값을 멱급수의 일반항에 대입하는 과정에서 우리 인자가 감소했다는 것입니다. 이런 일이 발생하지 않으면 제한을 잘못 계산했거나 모듈을 잘못 확장했음을 의미합니다.

따라서 수렴을 위해 숫자 계열을 검토해야 합니다. 여기서 가장 쉬운 방법은 제한 비교 기준을 사용하고 이 계열을 발산 고조파 계열과 비교하는 것입니다. 하지만 솔직히 말해서 비교의 제한 기호가 너무 지겨워서 솔루션에 다양성을 추가하겠습니다.

따라서 시리즈는 다음과 같이 수렴합니다.

불평등의 양변에 9를 곱합니다.

우리는 옛날 농담을 기억하면서 두 부분에서 루트를 추출합니다.

모듈 확장:

모든 부분에 하나를 추가하십시오.

– 연구중인 전력 계열의 수렴 간격.

발견된 구간의 끝에서 거듭제곱 계열의 수렴을 조사해 보겠습니다.

1) 이면 다음과 같은 숫자 계열이 얻어집니다.

자연값 "en"에 대해 승수는 흔적도 없이 사라졌습니다.

수렴 영역 기능 계열은 구성원이 숫자 축의 특정 집합 E에 정의된 함수인 계열입니다. 예를 들어, 계열의 항은 구간으로 정의되고, 계열의 항은 구간으로 정의됩니다. 기능 계열(1)이 수렴하면 Ho € E 점에 수렴한다고 합니다. FUNCTIONAL SERIES 수렴 영역 균일 수렴 Weierstrass 테스트 균일하게 수렴하는 함수 계열 수치 계열의 특성 계열 (1)이 집합 D C E의 각 점 x에서 수렴하고 집합 D에 속하지 않는 각 점에서 발산하는 경우, 계열이 집합 D에 수렴한다고 말합니다. , D는 계열의 수렴 영역이라고 합니다. 급수(1)가 집합 D에 수렴하면 급수(1)가 집합 D에 절대적으로 수렴한다고 합니다. 급수(1)이 집합 D에 수렴하는 경우 그 합 S는 D에 정의된 함수가 됩니다. 일부 기능 계열의 수렴 영역은 예를 들어 Dapambert의 검정, Cauchy의 검정과 같이 양의 항이 있는 계열에 대해 확립된 알려진 충분한 기준을 사용하여 찾을 수 있습니다. 예 1. 계열 M의 수렴 영역 찾기 숫자 계열은 p > 1에 대해 수렴하고 p ^ 1에 대해 발산하므로 p - Igx를 가정하면 이 계열을 얻습니다. 이는 Igx > T에서 수렴됩니다. 즉, x > 10이면 Igx ^ 1이면 발산합니다. 즉, 0시에< х ^ 10. Таким образом, областью сходимости ряда является луч Пример 2. Найти область сходимости ряда 4 Рассмотрим ряд Члены этого ряда положительны при всех значениях х. Применим к нему признак Даламбера. Имеем пе При ех < 1. т.е. при, этот ряд будет сходиться. Следовательно, заданный ряд сходится абсолютно на интервале При х >A =이므로 행 0은 분기됩니다. x = 0에서 급수의 발산은 명백합니다. 예 3. 계열의 수렴 영역 찾기 주어진 계열의 항은 세트에서 정의되고 연속됩니다. Kosh 기준을 사용하여 모든 것을 찾습니다. 결과적으로 계열은 모든 x 값에 대해 발산됩니다. 함수 급수(1)의 n번째 부분합을 Sn(x)로 표시하겠습니다. 이 계열이 집합 D에 수렴하고 그 합이 5(g)와 같으면 집합 D에 수렴하는 계열의 합이 다음과 같은 형식으로 표현될 수 있습니다. n-m 나머지 기능 시리즈 (1). x € D의 모든 값에 대해 관계가 유지됩니다. 즉, 수렴 계열의 나머지 Rn(x)는 x 6 D가 무엇이든 n oo로 0이 되는 경향이 있습니다. 균일 수렴 모든 수렴 함수 계열 중에서 소위 균일 수렴 계열이 중요한 역할을 합니다. 그 합이 S(x)와 같은 집합 D에 수렴하는 함수 계열이 주어졌다고 가정합니다. n번째 부분합 정의를 살펴보겠습니다. 함수 계열 함수 계열 수렴 영역 균일 수렴 Weierstrass 테스트 균일하게 수렴하는 함수 계열의 속성은 집합 PS1)에서 임의의 숫자 e > O에 대해 숫자 Γ > O가 있어 모든 숫자에 대해 불평등이 유지되는 경우 균일하게 수렴한다고 합니다. n > N 그리고 집합 fI의 모든 x에 대해. 논평. 여기서 숫자 N은 모든 x € Yu에 대해 동일합니다. z에 의존하지 않고 숫자 e의 선택에 의존하므로 N = N(e)라고 씁니다. 집합 ft에서 함수 S(x)로의 함수 계열 £ /n(®)의 균일 수렴은 종종 다음과 같이 표시됩니다. 집합 ft에서 계열 /n(x)의 균일 수렴에 대한 정의는 다음과 같이 쓸 수 있습니다. 논리 기호를 사용하여 좀 더 간략하게: 균일한 수렴 함수 범위의 의미를 기하학적으로 설명하겠습니다. 세그먼트 [a, 6]을 집합 ft로 취하고 함수의 그래프를 구성해 보겠습니다. 숫자 n > N 및 모든 a에 대해 유지되는 부등식 | G [a, b]는 다음 형식으로 작성될 수 있습니다. 얻은 부등식은 숫자 n > N을 갖는 모든 함수 y = 5n(x)의 그래프가 곡선 y에 의해 제한되는 £-대역 내에 완전히 포함된다는 것을 보여줍니다. = S(x) - e 및 y = 5(g) + e(그림 1). 예 1은 구간에서 균일하게 수렴합니다. 이 급수는 부호가 교대하고 임의의 x € [-1,1]에 대한 라이프니츠 기준의 조건을 충족하므로 구간 (-1,1]에서 수렴합니다. S(x )가 그 합이고 Sn (x)가 n번째 부분합입니다. 절대값의 나머지 계열은 첫 번째 항의 절대값을 초과하지 않습니다. e를 취하면 불평등 |은 다음과 같이 충족됩니다. 여기에서 n > \라는 것을 알 수 있습니다. 숫자(여기서 [a]는 a를 초과하지 않는 가장 큰 정수를 나타냄)를 취하면 부등식 |e는 모든 숫자 n > N 및 모든 x € [-1, 1). 이는 이 계열이 [-1,1) 구간에서 균일하게 수렴한다는 것을 의미합니다. I. 집합 D에 수렴하는 모든 함수 계열이 예 2에서 균일하게 수렴하는 것은 아닙니다. 계열이 일정 간격으로 수렴하지만 균일하지는 않음을 보여 드리겠습니다. 4 계열의 n번째 부분합 £„(*)를 계산해 보겠습니다. 우리는 차이 S(x) - 5(x)(계열의 나머지 부분)의 절대값이 동일한 경우 이 계열이 세그먼트에서 수렴되는 지점과 그 합을 얻습니다. 그런 숫자 e를 취해봅시다. n에 대한 부등식을 해결해 보겠습니다. 어디에서(이후 및 Inx로 나눌 때 부등식의 부호가 반대 방향으로 변경됨)를 얻습니다. 불평등은 언제 만족될 것인가? 따라서 세그먼트의 모든 x에 대해 부등식이 각각에 대해 동시에 충족되는 x와 독립적인 숫자 N(e)가 있습니다. , 존재하지 않는다. 세그먼트 0을 더 작은 세그먼트로 대체하면 후자에서 이 계열은 함수 S0에 균일하게 수렴됩니다. 사실, for, and for for 모든 x를 동시에 §3. Weierstrass의 테스트 기능 계열의 균일한 수렴에 대한 충분한 테스트는 Weierstrass의 정리에 의해 제공됩니다. 정리 1(Weierstrass 테스트) 집합 Q의 모든 x에 대해 절대값의 함수 계열의 항은 수렴 숫자 계열의 해당 멤버 P = 1을 양수 항, 즉 모든 x € Q에 대해 초과하지 않는다고 가정합니다. 그런 다음 함수 계열(1 ) 집합 P에서 절대적이고 균일하게 수렴합니다. 그리고 Tek은 정리의 조건에 따라 급수(1)의 항이 전체 집합 Q에 대해 조건(3)을 충족하므로 비교를 통해 급수 2 \fn(x)\가 임의의 x € I에 대해 수렴하고 , 결과적으로 급수 (1)은 P에 절대적으로 수렴합니다. 급수(1)의 균일한 수렴을 증명해 보겠습니다. Sn(x)와 an은 각각 급수 (1)과 (2)의 부분합을 나타냅니다. 우리는 임의의 (임의로 작은) 숫자 e > 0을 취합니다. 그런 다음 숫자 계열 (2)의 수렴으로부터 숫자 N = N(e)의 존재를 따르므로 모든 숫자 n > N에 대해 -e가 됩니다. (e) 그리고 모든 xbP에 대해, 즉 계열 (1)은 집합 P에 균일하게 수렴합니다. 비고. 숫자 계열(2)은 기능 계열(1)에 대해 종종 메이저화 또는 메이저라고도 합니다. 예 1. 계열의 균일한 수렴을 조사합니다. 부등식은 모든 항목에 적용됩니다. 그리고 모두를 위해. 숫자 계열이 수렴됩니다. Weierstrass 기준 덕분에 고려 중인 기능 계열은 전체 축에서 절대적으로 균일하게 수렴됩니다. 예 2. 계열의 균일한 수렴을 조사합니다. 계열의 항은 정의되고 구간 [-2,2|에서 연속됩니다. 임의의 자연수 n에 대한 간격 [-2,2)이므로 불평등이 유지됩니다. 숫자 계열은 Weierstrass의 기준에 따라 수렴하므로 원래 기능 계열은 세그먼트에서 절대적으로 균일하게 수렴합니다. 논평. 함수 계열(1)은 수치적 주요 계열(2)이 없는 경우 집합 Piv에 균일하게 수렴할 수 있습니다. 즉, Weierstrass 기준은 균일한 수렴에 대한 충분한 기준일 뿐 필수는 아닙니다. 예. 위(예)에서 보듯이 계열은 세그먼트 1-1,1]에 균일하게 수렴합니다. 그러나 이에 대한 주요 수렴수 계열(2)은 없습니다. 실제로 모든 자연 n과 모든 x € [-1,1)에 대해 불평등이 충족되고 평등이 달성됩니다. 따라서 원하는 대급수(2)의 구성원은 반드시 조건을 만족해야 하지만 수열 FUNCTIONAL SERIES 수렴 영역 균일 수렴 Weierstrass 테스트 균일하게 수렴하는 함수 계열의 특성이 발산됩니다. 이는 급수 £op도 발산한다는 것을 의미합니다. 균일하게 수렴하는 함수 계열의 속성 균일하게 수렴하는 함수 계열은 다음과 같은 속성을 갖습니다. 중요한 속성 . 정리 2. 간격 [a, b]에 균일하게 수렴하는 계열의 모든 항에 [a, 6]에 제한된 동일한 함수 d(x)를 곱하면 결과 함수 계열은 균일하게 수렴됩니다. 구간 [a, b\에서 계열 £ fn(x)는 함수 5(x)로 균일하게 수렴하고 함수 d(x)는 경계가 설정됩니다. 즉, 정의에 따라 상수 C > 0이 존재합니다. 임의의 숫자 e > 0에 대한 급수의 균일 수렴에는 모든 n > N 및 모든 x € [a, b]에 대해 부등식이 충족되는 숫자 N이 있습니다. 여기서 5n(ar)은 다음의 부분 합입니다. 고려중인 시리즈. 그러므로 우리는 모든 사람을 위해 그것을 갖게 될 것입니다. 계열은 [a, b| 함수 정리 3으로. 함수 급수의 모든 항 fn(x)가 연속이고 급수는 구간 [a, b\. 그러면 계열의 합 S(x)는 이 구간에서 연속입니다. M 세그먼트 [o, b]에서 임의의 두 점 ig + Ax를 취하겠습니다. 이 급수는 간격 [a, b]에서 균일하게 수렴하므로 모든 숫자 e > O에 대해 숫자 N = N(e)가 있어 모든 i > N에 대해 부등식이 충족됩니다. 여기서 5(g)는 급수 fn(x)의 부분합. 이러한 부분합 5n(x)는 [a, 6]에서 연속적인 유한 개수의 함수 fn(x)의 합과 같이 구간 [a, 6]에서 연속입니다. 따라서 고정된 숫자 no > N(e) 및 주어진 숫자 e에 대해 숫자 6 = 6(e) > 0이 있으며 조건 |을 만족하는 증분 Ax에 대해 부등식은 다음과 같이 유지됩니다. 합계 S(x)는 다음 형식으로 표시될 수 있습니다. 부등식 (1)과 (2)를 고려하여 조건 |을 만족하는 증분 Ax에 대해 다음을 얻습니다. 이는 합 Six)가 점 x에서 연속임을 의미합니다. x는 세그먼트 [a, 6]의 임의의 점이므로 5(x)는 |a, 6|에서 연속입니다. 논평. 항이 구간 [a, 6)에서는 연속이지만 (a, 6]에서는 불균등하게 수렴하는 함수 계열은 합계로서 불연속 함수를 가질 수 있습니다. 예 1. 구간 |0,1에서 함수 계열을 고려합니다. ). n번째 부분합을 계산해 보면, 계열의 항은 연속이지만 세그먼트에서는 불연속입니다. 입증된 정리로 인해 이 급수는 구간에서 균일하게 수렴하지 않습니다. 예제 2. 계열을 생각해 보세요. 위에 표시된 것처럼 이 계열은 Weierstrass의 테스트에 따라 균일하게 수렴합니다. 1과 숫자 계열이 수렴하기 때문입니다. 결과적으로 x > 1인 경우 이 계열의 합은 연속입니다. 논평. 이 함수를 리만 함수(Riemann function)라고 합니다(이 함수는 정수론에서 큰 역할을 합니다). 정리 4(기능 계열의 용어별 통합에 관한) 계열의 모든 항 fn(x)가 연속이고 계열이 구간 [a, b]에서 함수 S(x)로 균일하게 수렴한다고 가정합니다. 그러면 등식이 유지됩니다. 함수 f(x)의 연속성과 구간 [a, 6]에서 이 급수의 균일한 수렴으로 인해 그 합 5(x)는 연속적이므로 적분 가능합니다. [o, b]에 대한 급수의 균일한 수렴으로부터 차이점을 고려해 보겠습니다. 모든 e > 0에 대해 모든 숫자에 대해 n > N(e)이고 모든 숫자에 대해 N(e) > 0이 되는 숫자가 있습니다. x € [a, 6] 부등식은 충족됩니다. 계열 fn(0이 균일하게 수렴하지 않으면 일반적으로 말해서 항별로 적분할 수 없습니다. 즉, 정리 5(함수 계열의 항별 차별화) 수렴하는 급수 00의 모든 항이 연속 도함수를 가지며 이러한 도함수로 구성된 급수는 간격 [a, b]에서 균일하게 수렴합니다. 그러면 어느 점에서든 동일성이 참입니다. 즉, 이 급수는 다음과 같이 미분할 수 있습니다. M 임의의 두 점을 취하고 정리 4에 따라 다음을 얻습니다. 함수 o-(x)는 균일하게 수렴하는 연속 함수 계열의 합으로 연속입니다. 따라서 등식을 미분하면 우리는 연습을 얻습니다. 다음 기능 계열의 수렴 영역을 찾습니다. Weierstrass 테스트를 사용하여 표시된 간격에서 이러한 기능 계열의 균일한 수렴을 증명합니다.

4.1. 기능 시리즈 : 기본 개념, 융합 영역

정의 1. 구성원이 하나 또는 하나의 기능인 시리즈
특정 집합에 정의된 여러 독립변수를 호출합니다. 기능 범위.

하나의 독립 변수의 함수인 함수 계열을 생각해 보세요. 엑스. 첫 번째 합계 N계열의 구성원은 주어진 기능 계열의 부분 합입니다. 일반회원 의 기능이 있습니다 엑스, 특정 지역에서 정의됩니다. 기능성 시리즈를 시점에서 고려하라 . 해당 숫자 계열의 경우 수렴합니다. 즉 이 계열의 부분합에는 제한이 있습니다.
(어디 − 숫자 계열의 합), 그 점은 호출됩니다. 수렴점기능 범위 . 숫자 계열의 경우 갈라지면 그 점을 호출합니다. 분기점기능 범위.

정의 2. 융합영역기능 범위 이러한 모든 값의 집합이라고 합니다. 엑스, 기능 계열이 수렴됩니다. 모든 수렴점으로 구성된 수렴 영역은 다음과 같이 표시됩니다. . 참고하세요 아르 자형.

기능 계열은 지역에서 수렴됩니다. , 만약 있다면 그것은 숫자 시리즈처럼 수렴하며 그 합은 어떤 함수가 될 것입니다 . 이것이 소위 제한 기능시퀀스 : .

함수 계열의 수렴 영역을 찾는 방법 ? d'Alembert 기호와 유사한 기호를 사용할 수 있습니다. 행의 경우 구성하다 고정된 한도를 고려하세요. 엑스:
. 그 다음에 불평등의 해결책이다 그리고 방정식을 풀면 (우리는 방정식의 해만 취합니다.
해당 숫자 계열이 수렴하는 것).

실시예 1. 계열의 수렴 영역을 찾으십시오.

해결책. 나타내자 , . 한도를 구성하고 계산해 봅시다
, 계열의 수렴 영역은 불평등에 의해 결정됩니다. 그리고 방정식 . 방정식의 근이 되는 점에서 원래 계열의 수렴을 더 조사해 보겠습니다.

그리고 만약에 , , 그러면 우리는 발산하는 계열을 얻습니다. ;

b) 만일 , , 그 다음 시리즈 조건부로 수렴합니다(

라이프니츠의 기준, 예 1, 강의 3, 섹션. 3.1).

따라서 수렴영역은 시리즈는 다음과 같습니다: .

4.2. 멱급수: 기본 개념, 아벨의 정리

소위 기능 계열의 특별한 경우를 고려해 보겠습니다. 파워 시리즈 , 어디
.

정의 3. 파워 시리즈형태의 함수형 계열이라고 합니다.

어디 − 호출되는 상수 계열의 계수.

멱급수는 거듭제곱이 증가하는 방식으로 배열된 "무한 다항식"입니다. . 임의의 숫자 시리즈 ~이다
파워 시리즈의 특별한 경우 .

멱급수의 특별한 경우를 고려해 보겠습니다. :
. 어떤 종류인지 알아보자
이 계열의 수렴 영역 .

정리 1(아벨의 정리). 1) 전력 계열의 경우 한 지점에 수렴한다 , 그러면 어떤 경우에도 절대적으로 수렴합니다. 엑스, 불평등이 유지되는 .

2) 멱급수가 다음에서 발산하는 경우 , 그러면 어떤 경우에도 발산됩니다. 엑스, 이를 위해 .

증거. 1) 조건에 따라 멱급수는 다음 점에 수렴합니다. ,

즉, 숫자 계열이 수렴됩니다.

(1)

그리고 필요한 수렴 기준에 따르면, 그것의 공통 항은 0이 되는 경향이 있습니다. . 그러므로 그런 수가 있다. 시리즈의 모든 구성원은 이 숫자로 제한됩니다.
.

이제 어떤 것이든 고려해 보겠습니다. 엑스, 이를 위해 , 그리고 일련의 절대값을 만듭니다: .
이 시리즈를 다른 형식으로 작성해 보겠습니다. , 그런 다음 (2).

불평등으로부터
우리는 얻습니다. 열

계열(2)의 해당 항보다 큰 항으로 구성됩니다. 열 분모를 갖는 기하학적 수열의 수렴 계열을 나타냅니다. , 그리고 , 왜냐하면 . 결과적으로 급수 (2)는 다음과 같이 수렴합니다. . 따라서 전력 계열은 절대적으로 일치합니다.

2) 시리즈를 보자 에서 갈라진다 , 다시 말해서,

숫자 계열이 갈라짐 . 어떤 경우에도 이를 증명해 보겠습니다. 엑스 () 시리즈가 다양합니다. 그 증거는 모순이다. 일부를 위해 보자

고정 ( ) 계열이 수렴한 다음 모든 항목에 대해 수렴됩니다. (이 정리의 첫 번째 부분 참조) 특히, , 이는 정리 1의 조건 2)와 모순됩니다. 정리가 입증되었습니다.

결과. 아벨의 정리를 사용하면 멱급수의 수렴점 위치를 판단할 수 있습니다. 요점이라면 는 거듭제곱 계열의 수렴 지점이고, 그 다음 간격은 수렴점으로 가득 차 있습니다. 분기점이 점인 경우 , 저것
무한한 간격 발산점으로 채워져 있습니다(그림 1).

쌀. 1. 계열의 수렴과 발산의 간격

그런 숫자가 있다는 걸 알 수 있어요 그건 모두들 앞에서
파워 시리즈 절대적으로 수렴하고, 언제 - 갈라진다. 계열이 한 점 0에만 수렴하면 다음과 같이 가정합니다. , 그리고 계열이 모든 것에 대해 수렴하는 경우 , 저것 .

정의 4. 수렴 간격파워 시리즈 이러한 간격을 호출합니다. 그건 모두들 앞에서 이 계열은 수렴하며, 더욱이 절대적으로 모든 사람을 위해 엑스, 이 간격 밖에 있으면 계열이 분기됩니다. 숫자 아르 자형~라고 불리는 수렴 반경파워 시리즈.

논평. 간격이 끝나면 거듭제곱 계열의 수렴 또는 발산 문제는 각 특정 계열에 대해 별도로 해결됩니다.

멱급수의 수렴 간격과 반경을 결정하는 방법 중 하나를 보여드리겠습니다.

전력 계열을 고려하십시오. 그리고 표시하다 .

구성원의 일련의 절대 값을 만들어 보겠습니다.

그리고 여기에 d'Alembert의 검정을 적용합니다.

존재하게 놔두세요

d'Alembert의 검정에 따르면 계열은 다음과 같이 수렴합니다. , 그리고 다음과 같은 경우에 분기됩니다. . 따라서 계열은 에서 수렴하고 수렴 간격은 다음과 같습니다. . 시리즈가 분기되면 이후 .
표기법 사용 , 우리는 거듭제곱 계열의 수렴 반경을 결정하는 공식을 얻습니다.

어디 - 멱급수 계수.

한계가 밝혀진 경우 , 그러면 우리는 가정합니다 .

거듭제곱 계열의 수렴 간격과 반경을 결정하기 위해 급진적인 Cauchy 테스트를 사용할 수도 있습니다. 계열의 수렴 반경은 다음 관계식에서 결정됩니다. .

정의 5. 일반화 파워 시리즈 일련의 형태라고 불린다.

. 파워시리즈라고도 불린다. .
이러한 계열의 경우 수렴 구간의 형식은 다음과 같습니다. , 어디 - 수렴 반경.

일반화된 거듭제곱 계열에 대한 수렴 반경을 찾는 방법을 보여드리겠습니다.

저것들. , 어디 .

만약에 , 저것 , 그리고 수렴 지역 아르 자형; 만약에 , 저것 및 수렴지역 .

실시예 2. 계열의 수렴 영역 찾기 .

해결책. 나타내자 . 제한을 두자

불평등 해결: , 따라서 간격은

수렴은 다음과 같은 형식을 갖습니다. , 그리고 아르 자형= 5. 또한 수렴 구간의 끝을 조사합니다.
ㅏ) , , 우리는 시리즈를 얻습니다 , 이는 발산된다;
비) , , 우리는 시리즈를 얻습니다 , 수렴
조건부로. 따라서 수렴 영역은 다음과 같습니다. , .

답변:수렴지역 .

예시 3.열 사람마다 다름 , 왜냐하면 ~에 , 수렴 반경 .

예시 4.이 계열은 모든 R, 수렴 반경에 대해 수렴합니다. .

기능 범위 정식으로 작성된 표현이라고 합니다

유1 (엑스) + 유 2 (엑스) + 유 3 (엑스) + ... + 유 N ( 엑스) + ... , (1)

어디 유1 (엑스), 유 2 (엑스), 유 3 (엑스), ..., 유 N ( 엑스), ... - 독립 변수의 함수 시퀀스 엑스.

시그마를 사용한 함수 계열의 약식 표기: .

기능 계열의 예는 다음과 같습니다. :

(2)

(3)

독립 변수 제공 엑스어떤 가치 엑스0 이를 기능 계열 (1)에 대체하면 숫자 계열을 얻습니다.

유1 (엑스 0 ) + 유 2 (엑스 0 ) + 유 3 (엑스 0 ) + ... + 유 N ( 엑스 0 ) + ...

결과 숫자 계열이 수렴하면 기능 계열(1)이 다음에 대해 수렴한다고 합니다. 엑스 = 엑스0 ; 만약 그것이 발산한다면, 급수 (1)이 다음에서 발산한다고 말해지는 것입니다. 엑스 = 엑스0 .

예 1. 함수 계열의 수렴 조사(2) 값에서 엑스= 1 및 엑스 = - 1 .
해결책. ~에 엑스= 1 우리는 숫자 시리즈를 얻습니다

이는 라이프니츠의 기준에 따라 수렴됩니다. ~에 엑스= - 1 우리는 숫자 시리즈를 얻습니다

이는 – 1에 의해 발산하는 고조파 급수의 곱으로 발산됩니다. 따라서 급수(2)는 다음에서 수렴합니다. 엑스= 1이고 다음에서 발산합니다. 엑스 = - 1 .

기능 계열 (1)의 수렴에 대한 검사가 구성원 정의 영역의 독립 변수의 모든 값에 대해 수행되면 이 영역의 포인트는 두 세트로 나뉩니다. 가치를 위해 엑스, 그 중 하나를 취하면 계열 (1)은 수렴하고 다른 하나는 발산합니다.

기능 계열이 수렴하는 독립 변수의 값 집합을 융합의 영역 .

예시 2. 기능 계열의 수렴 영역 찾기

해결책. 계열의 용어는 전체 수직선과 형식에 정의됩니다. 기하학적 진행분모가 있는 큐= 죄 엑스. 따라서 계열은 다음과 같이 수렴합니다.

다음과 같은 경우에 분기됩니다.

(값은 불가능). 그러나 값과 다른 값에 대해서는 엑스. 따라서 계열은 모든 값에 대해 수렴됩니다. 엑스, 제외하고 . 수렴 영역은 이러한 점을 제외한 전체 수직선입니다.

실시예 3. 기능 계열의 수렴 영역 찾기

해결책. 급수의 항은 분모와 함께 기하학적 수열을 형성합니다. 큐=ln 엑스. 따라서 급수는 , 또는 , wherece 로 수렴합니다. 이것은 이 계열의 수렴 영역입니다.

예 4. 함수 계열의 수렴 조사

해결책. 임의의 값을 취해보자. 이 값으로 우리는 숫자 시리즈를 얻습니다.

(*)

그 공통 용어의 극한을 찾아보자

결과적으로 계열(*)은 임의로 선택한 항목에 대해 분기됩니다. 어떤 값에서도 엑스. 수렴 영역은 공집합입니다.

기능 계열과 그 속성의 균일한 수렴

개념으로 넘어가자 기능 계열의 균일한 수렴 . 허락하다 에스(엑스)는 이 계열의 합이며, 에스N ( 엑스) - 합계 N이 시리즈의 첫 번째 멤버. 기능 범위 유1 (엑스) + 유 2 (엑스) + 유 3 (엑스) + ... + 유 N ( 엑스) + ... 는 구간 [에서 균일하게 수렴한다고 합니다. ㅏ, 비] , 임의의 작은 숫자인 경우 ε > 0 그런 숫자가 있어요 N그건 모두들 앞에서 N ≥ N불평등이 해소될 것이다