64. 3개의 미지수가 있는 3개의 방정식. 이제 3개의 미지수가 있는 3개의 방정식을 함께 풀어야 합니다.
3x + 2y - 5z = 8
x + 3y - 2z = 9
4x + 5y - 6z = 26.
위의 모든 것을 기억하면서 우리는 이미 여기서 임의의 값을 미지의 값에 부여할 수 없으며 여기에서 고유한 솔루션(각 미지수에 대해 하나의 숫자)을 찾을 것이라고 미리 생각할 권리가 있습니다.
동시에 이를 달성하는 방법에 대한 경로가 이미 설명되어 있습니다. 이전 단락에서 우리는 3개의 미지수가 있는 2개의 방정식에서 2개의 미지수를 결정하는 방법을 배웠습니다. 예를 들어 첫 번째와 두 번째와 같이 가장 간단한 두 가지 방정식을 세 가지 방정식 중에서 선택하겠습니다.
3x + 2y - 5z = 8
x + 3y - 2z = 9
그리고 그들로부터 우리는 x와 y를 통해 z를 정의합니다.
이제 x - a 및 y - a에 대한 결과 표현식을 세 번째 방정식으로 대체하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.
(4(6 + 11z)) / 7 + (5(19 + z)) / 7 – 6z = 26
즉, 우리는 풀 수 있는 하나의 알려지지 않은 z를 가진 하나의 방정식을 얻었습니다. 첫째, 우리는 그것을 분수로부터 해방시켜 두 부분에 7을 곱합니다.
4(6 + 11z) + 5(19 + z) – 42z = 182.
괄호를 열어보자
24 + 44z + 95 + 5z - 42z = 182.
알려진 용어를 오른쪽으로 이동하고 유사한 용어를 줄입니다.
7z = 63, 여기서 z = 9.
이제 공식 (1)과 (2)에서 다음을 얻습니다.
x = (6 + 11 9) / 7 = 15 및 y = (19 + 9) / 7 = 4.
다른 예시:
2x + 3년 = 11
5y + 2z = 3
4z + 3x = 66
처음 두 방정식에서 세 번째 방정식까지 2개의 미지수를 결정해 보겠습니다. 첫 번째 방정식에서 x에서 y까지를 결정하고 두 번째 방정식에서 z에서 y까지를 결정하는 것이 가능하다는 것을 정확히 알 수 있습니다.
x = (11 - 3y) / 2 및 z = (3 - 5y) / 2.
z와 x 대신에 얻은 표현식을 세 번째 방정식으로 대체합니다.
(4(3 - 5년)) / 2 + (3(11 - 3년)) / 2 = 66.
여기에서 우리는 다음을 얻습니다.
4(3 - 5년) + 3(11 - 3년) = 132
12 - 20세 + 33 - 9세 = 132
x = (11 – 3 (–3)) / 2 = 10
z \u003d (3-5 (-3)) / 2 \u003d 9.
이 두 가지 예에서 우리는 다음 계획을 따랐습니다. 우리는이 세 가지 방정식 중에서 더 편리한 두 가지를 선택하고 그 중에서 두 가지 미지수를 세 번째까지 결정합니다. - 세 번째 방정식에서 이러한 미지수 대신 결과 표현식을 대체합니다.
다른 계획도 가능합니다. 다음 예를 들어 설명해 보겠습니다.
1. 3x - 4y + 3z = 19
4x - 6y + z = 22
7x - 18년 = 33.
세 번째 방정식에는 2개의 미지수(x와 y)만 있음을 알 수 있습니다. 따라서 우리는 3개의 미지수가 있는 처음 두 방정식에서 2개의 미지수가 있는 새로운 방정식, 즉 x와 y도 얻으려고 시도할 것입니다. 이를 위해 계수를 균등화하여 처음 두 방정식에서 알려지지 않은 z를 제거합니다. 첫 번째 방정식은 변경하지 않고 두 번째 방정식의 두 부분에 -3을 곱합니다. 우리는 다음을 얻습니다.
3x - 4년 + 3z = 19
-12x + 18y - 3z = -66.
이 방정식을 하나씩 추가하면 다음을 얻습니다.
-9배 + 14년 = -47
9x - 14년 = 47.
여기에 세 번째 방정식을 추가하고 계수를 균등화하는 방법으로 공동으로 해결합니다.
이 x – 값을 방정식에 대입
9x - 14년 = 47,
54 - 14세 = 47,
14y = 7 및 y = ½
x와 y에 대해 얻은 값을 가장 간단한 방정식, 즉 방정식으로 대체
4x - 6y + z = 22,
24 - 3 + z = 22,
2. 3x + 5y - 9z = 29
5x + 2y - 6z = 17
4x - 10년 + 3z = 17
개요를 보자 다음 계획: 우리는 먼저 이 세 가지 방정식 중 두 가지를 선택하고 그 중에서 계수를 균등화하는 방법으로 두 개의 미지수를 가진 하나의 방정식을 얻습니다. 그런 다음 데이터에서 두 번째 방정식 쌍을 선택하고 같은 방식으로 동일한 두 개의 미지수를 가진 두 번째 방정식을 얻습니다. 이 방정식을 적용하면 다음과 같은 순서로 이 계획을 실행하는 것이 편리할 것입니다. 2) 첫 번째와 세 번째 방정식을 취하여 y를 제외하고 알려지지 않은 x와 z를 갖는 두 번째 방정식을 얻습니다. 3) 우리는 계수 방정식의 방법에 의해 알려지지 않은 x와 z로 얻은 2개의 방정식을 풉니다.
–6 – 3z = 15 또는 3z = –21 및 z = –7.
x와 z에 대해 얻은 값을 방정식에 대입하십시오.
5x + 2y - 6z = 17.
-15 + 2년 + 42 = 17
2y = -10이고 y = -5입니다.
3. 4x - 2y + z = 4
5x + 3y - z = 11
3x + 7y - 2z = 7
다음과 같은 계획을 세웁니다. 1) 첫 번째 방정식에서 z부터 x, y까지를 정의합니다. 2) 두 번째 및 세 번째 방정식에서 z 대신 결과 표현식을 대체합니다. - 우리는 두 개의 미지수, 즉 x와 y로 두 개의 방정식을 얻습니다. 3) 얻은 두 방정식을 풉니다.
1) z = 4 - 3x + 2y,
2) 5x + 3y - (4 - 3x + 2y) = 11
3x + 7y - 2(4 - 3x + 2y) = 7
다음 방정식을 각각 단순화해 보겠습니다.
1위: 5x + 3y - 4 + 3x - 2y = 11 또는 8x + y = 15.
두 번째: 3x + 7y - 8 + 6x - 4y = 7 또는 9x + 3y = 15 또는 3x + y = 5.
3) 첫 번째 방정식에서 두 번째 방정식을 빼십시오.
8x + y = 15
3x + y = 5
–-----------
5x = 10이므로 x = 2입니다.
4) x에 대해 얻은 값을 방정식에 대입합니다.
이 x - a 및 y - a 값을 z에 대한 표현식으로 대체하십시오.
z = 4 – 3x + 2y.
주어진 점 M 1과 M 2를 통과하는 평면과 벡터에 평행한 임의의 점 M(x, y, z)의 방정식을 작성해 봅시다.
벡터 
벡터는 동일 평면에 있어야 합니다.
(
) = 0
평면 방정식:
한 점과 두 벡터에 대한 평면 방정식,
공선 평면.
두 벡터를 놓고 공선 평면이 주어집니다. 그런 다음 평면에 속하는 임의의 점 M(x, y, z)에 대해 벡터는 동일 평면에 있어야 합니다.
평면 방정식:
점과 법선 벡터에 의한 평면의 방정식.
정리. 공간에 점 M 0 (x 0, y 0, z 0)이 주어지면 법선 벡터 (A, B, C)에 수직인 점 M 0을 통과하는 평면의 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.
증거. 평면에 속하는 임의의 점 M(x, y, z)에 대해 벡터를 구성합니다. 왜냐하면 벡터 - 법선 벡터이면 평면에 수직이므로 벡터에 수직입니다. 그런 다음 스칼라 곱
따라서 우리는 평면의 방정식을 얻습니다.
정리가 입증되었습니다.
세그먼트의 평면 방정식.
일반 방정식 Ax + Wu + Cz + D \u003d 0에서 두 부분을 (-D)로 나눕니다.
,
교체 
, 우리는 세그먼트에서 평면의 방정식을 얻습니다.
숫자 a, b, c는 각각 평면과 x, y, z 축의 교차점입니다.
벡터 형태의 평면 방정식.
- 현재 지점의 반지름 벡터 M(x, y, z),
원점에서 평면으로 떨어지는 수직선의 방향을 갖는 단위 벡터.
a, b 및 g는 이 벡터가 x, y, z축과 이루는 각도입니다.
p는 이 수직선의 길이입니다.
좌표에서 이 방정식의 형식은 다음과 같습니다.
xcosa + ycosb + zcosg - p = 0.
점에서 평면까지의 거리.
임의의 점 M 0 (x 0, y 0, z 0)에서 평면 Ax + Vy + Cz + D \u003d 0까지의 거리는 다음과 같습니다.
예.점 P(4; -3; 12)가 원점에서 이 평면으로 떨어지는 수직선의 밑면임을 알고 평면의 방정식을 찾으십시오.
따라서 A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, 공식 사용:
A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) = 0.
예.두 점 P(2; 0; -1)을 지나는 평면의 방정식을 구하고
Q(1; -1; 3)은 평면 3x + 2y - z + 5 = 0에 수직입니다.
평면 3x + 2y - z + 5 = 0에 대한 법선 벡터는 원하는 평면과 평행합니다.
우리는 다음을 얻습니다.
예.점 A(2, -1, 4)를 지나는 평면의 방정식을 구하고
평면에 수직인 В(3, 2, -1) 엑스 + ~에 + 2지 – 3 = 0.
원하는 평면 방정식의 형식은 다음과 같습니다. 엑스+비 와이+씨 지+ D = 0, 이 평면에 대한 법선 벡터(A, B, C). 벡터(1, 3, -5)는 평면에 속합니다. 원하는 평면에 수직인 우리에게 주어진 평면은 법선 벡터(1, 1, 2)를 갖습니다. 왜냐하면 점 A와 B는 두 평면에 속하고 평면은 서로 수직입니다.
따라서 법선 벡터는 (11, -7, -2)입니다. 왜냐하면 점 A가 원하는 평면에 속하면 그 좌표는 이 평면의 방정식을 만족해야 합니다. 11x2 + 7x1 - 2x4 + D = 0; 디 = -21.
전체적으로 평면의 방정식을 얻습니다. 11 엑스 - 7와이 – 2지 – 21 = 0.
예.점 P(4, -3, 12)가 원점에서 이 평면까지 내린 수직선의 밑변임을 알고 평면의 방정식을 구하십시오.
법선 벡터 = (4, -3, 12)의 좌표를 찾습니다. 원하는 평면 방정식의 형식은 다음과 같습니다. 4 엑스 – 3와이 + 12지+ D = 0. 계수 D를 찾기 위해 점 Р의 좌표를 방정식에 대입합니다.
16 + 9 + 144 + D = 0
전체적으로 원하는 방정식을 얻습니다. 4 엑스 – 3와이 + 12지 – 169 = 0
예.피라미드 꼭지점 A 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1)의 좌표가 주어지면,
1) 모서리 A 1 A 2의 길이를 구합니다.
2) 모서리 A 1 A 2와 A 1 A 4 사이의 각도를 찾습니다.
3) 모서리 A 1 A 4와 면 A 1 A 2 A 3 사이의 각도를 찾습니다.
먼저, 벡터와 의 벡터 곱으로 면 A 1 A 2 A 3에 대한 법선 벡터를 찾습니다.
= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);
법선 벡터와 벡터 사이의 각도를 찾으십시오.
벡터와 평면 사이의 원하는 각도 g는 g = 90 0 - b와 같습니다.
4) 얼굴 A 1 A 2 A 3의 면적을 찾습니다.
5) 피라미드의 부피를 구합니다.
6) 평면 A 1 A 2 A 3의 방정식을 찾습니다.
세 점을 통과하는 평면의 방정식에 대한 공식을 사용합니다.
2x + 2y + 2z - 8 = 0
x + y + z - 4 = 0;
"의 PC 버전을 사용하는 경우 고등 수학 과정” 피라미드 꼭지점의 모든 좌표에 대해 위의 예를 해결하는 프로그램을 실행할 수 있습니다.
아이콘을 두 번 클릭하여 프로그램을 시작합니다.
 |
열리는 프로그램 창에서 피라미드 꼭지점의 좌표를 입력하고 Enter 키를 누릅니다. 따라서 모든 결정 포인트를 하나씩 얻을 수 있습니다.
참고: 프로그램을 실행하려면 컴퓨터에 Maple(Ó Waterloo Maple Inc.)이 설치되어 있어야 하며 MapleV Release 4로 시작하는 모든 버전이 있어야 합니다.
분석 기하학.
평면 위의 직선 방정식.
알려진 바와 같이 평면의 모든 점은 일부 좌표계의 두 좌표에 의해 결정됩니다. 좌표계는 기준과 원점의 선택에 따라 다를 수 있습니다.
정의.선 방정식는 이 선을 구성하는 점들의 좌표 사이의 관계 y = f(x)입니다.
선 방정식은 파라메트릭 방식으로 표현될 수 있습니다. 즉, 각 점의 각 좌표는 일부 독립적인 매개변수를 통해 표현됩니다. 티.
대표적인 예가 움직이는 점의 궤적입니다. 이때 시간은 매개변수 역할을 한다.
평면 위의 직선의 방정식.
정의.
평면의 모든 선은 1차 방정식으로 주어질 수 있습니다.
아 + 우 + C = 0,
또한 상수 A, B는 동시에 0이 아닙니다. A 2 + B 2 ¹ 0. 이 1차 방정식은 직선의 일반 방정식.
값에 따라 상수 A, B C, 다음과 같은 특별한 경우가 가능합니다.
C \u003d 0, A ¹ 0, B ¹ 0-선이 원점을 통과합니다.
A \u003d 0, B ¹ 0, C ¹ 0 ( By + C \u003d 0)-선은 Ox 축과 평행합니다.
B \u003d 0, A ¹ 0, C ¹ 0 (Ax + C \u003d 0)-선은 Oy 축과 평행합니다.
B \u003d C \u003d 0, A ¹ 0-직선이 Oy 축과 일치합니다.
A \u003d C \u003d 0, B ¹ 0-직선이 Ox 축과 일치합니다.
직선의 방정식은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다. 다양한 형태주어진 초기 조건에 따라.
점과 법선 벡터에 의한 직선의 방정식.
정의. 데카르트 직교 좌표계에서 성분 (A, B)가 있는 벡터는 방정식 Ax + By + C = 0으로 주어진 선에 수직입니다.
예.벡터 (3, -1)에 수직인 점 A(1, 2)를 통과하는 직선의 방정식을 찾으십시오.
A \u003d 3 및 B \u003d -1에서 직선의 방정식을 작성합시다 : 3x-y + C \u003d 0. 계수 C를 찾기 위해 주어진 점 A의 좌표를 결과 표현식으로 대체합니다.
우리는 3-2 + C \u003d 0, 따라서 C \u003d -1을 얻습니다.
합계: 원하는 방정식: 3x - y - 1 \u003d 0.
두 점을 지나는 직선의 방정식.
두 점 M 1 (x 1, y 1, z 1) 및 M 2 (x 2, y 2, z 2)가 공간에 주어진 다음이 점을 통과하는 직선의 방정식은 다음과 같습니다.
분모 중 하나라도 0이면 해당 분자를 0으로 설정해야 합니다.
평면에서 위에 쓰여진 직선의 방정식은 다음과 같이 단순화됩니다.
x 1 ¹ x 2 및 x \u003d x 1인 경우 x 1 \u003d x 2인 경우.
분수 = k 라고 합니다 기울기 계수똑바로.
예.점 A(1, 2)와 B(3, 4)를 지나는 직선의 방정식을 구합니다.
위 공식을 적용하면 다음을 얻습니다.
점과 기울기에 의한 직선의 방정식.
직선 Ax + Vy + C = 0의 일반 방정식이 다음 형식으로 이어지는 경우:
그리고 를 나타내면 결과 방정식이 호출됩니다. 기울기가 k인 직선의 방정식.
점 위의 직선과 방향 벡터의 방정식.
법선 벡터를 통과하는 직선의 방정식을 고려하여 점과 유추하여 점을 통과하는 직선 할당과 직선의 지향 벡터를 입력할 수 있습니다.
정의. 구성 요소가 Aa 1 + Ba 2 = 0 조건을 만족하는 0이 아닌 각 벡터(a 1 , a 2)를 직선의 방향 벡터라고 합니다.
아 + 우 + C = 0.
예.방향 벡터가 (1, -1)이고 점 A(1, 2)를 통과하는 직선의 방정식을 구합니다.
Ax + By + C = 0 형식으로 원하는 직선의 방정식을 찾을 것입니다. 정의에 따라 계수는 다음 조건을 충족해야 합니다.
1×A + (-1)×B = 0, 즉 A = B.
그러면 직선의 방정식은 Ax + Ay + C = 0 또는 x + y + C/A = 0의 형식을 갖습니다.
x = 1, y = 2에서 우리는 С/A = -3을 얻습니다. 원하는 방정식:
세그먼트의 직선 방정식.
직선 Ah + Wu + C = 0 C ¹ 0의 일반 방정식에서 -C로 나누면 다음을 얻습니다. 
또는
기하학적 감각그 계수에서 계수 ㅏ x축과 선의 교차점의 좌표이고, 비- 직선과 Oy 축의 교차점 좌표.
예.선 x - y + 1 = 0의 일반 방정식이 주어집니다. 세그먼트에서 이 선의 방정식을 찾으십시오.
C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.
직선의 정규 방정식.
방정식의 양변에 Ax + Wy + C = 0을 숫자로 나눈 경우 
, 호출 정규화 계수, 우리는 얻을
Xcosj + ysinj - p = 0 -
직선의 정규방정식.
정규화 계수의 부호 ±는 m × С가 되도록 선택해야 합니다.< 0.
p는 원점에서 직선까지 내린 수직선의 길이이고, j는 이 수직선이 Ox축의 양의 방향과 이루는 각도입니다.
예.라인 12x - 5y - 65 = 0의 일반 방정식이 주어지면 이 라인에 대해 다양한 유형의 방정식을 작성해야 합니다.
세그먼트에서 이 직선의 방정식: 
이 선과 기울기의 방정식: (5로 나누기)
직선의 정규 방정식:
; cosj = 12/13; sinj = -5/13; p=5.
