정의. 벡터 a와 벡터 b의 벡터 곱은 기호 [α, b](또는 l x b)로 표시되는 벡터입니다. 따라서 1) 벡터 [a, b]의 길이는 (p입니다. 여기서 y는 벡터 a와 b 사이의 각도(그림 31) 2) 벡터 [a, b)는 벡터 a와 b에 수직입니다. 이 벡터의 평면에 수직입니다. 3) 벡터 [a, b]는 이 벡터의 끝에서 a에서 b까지의 가장 짧은 회전이 시계 반대 방향으로 발생하는 방식으로 향합니다(그림 32). 쌀. 32 그림 31 즉, 벡터 a, b 및 [a, b)는 벡터의 오른쪽 삼중항을 형성합니다. 즉, 엄지, 검지, 중지처럼 배열되어 있습니다. 오른손 . 벡터 a와 b가 동일선상에 있으면 [a, b] = 0이라고 가정합니다. 정의에 따라 벡터 곱의 길이는 곱해진 평행사변형(그림 33)의 면적 Sa와 수치적으로 동일합니다. 벡터 a와 b를 변으로 사용: 6.1. 벡터 곱의 속성 1. 벡터 곱은 곱해진 벡터 중 적어도 하나가 0이거나 이러한 벡터가 동일 선상에 있는 경우에만(벡터 a와 b가 동일 선상에 있으면 두 벡터 사이의 각도는) 0 벡터와 같습니다. 0 또는 7r). 이는 영 벡터가 임의의 벡터와 동일 선상에 있다고 생각하면 벡터 a와 b의 공선성에 대한 조건은 다음과 같이 표현될 수 있다는 사실에서 쉽게 얻을 수 있습니다. 2. 벡터 곱은 반교환적입니다. 즉, 항상 . 실제로 벡터 (a, b)는 길이가 동일하고 동일선상에 있습니다. 벡터 [a, b]의 끝에서 a에서 b로의 가장 짧은 회전이 시계 반대 방향으로 발생하고 벡터 [b, a]의 끝에서 시계 방향으로 발생하므로 이러한 벡터의 방향은 반대입니다(그림 1). 34). 3. 벡터 곱은 덧셈과 관련된 분배 특성을 갖습니다. 4. 숫자 요소 A는 벡터 곱의 부호에서 제거될 수 있습니다. 6.2. 좌표로 지정된 벡터의 벡터 곱 벡터 a와 b를 기저의 좌표로 지정합니다. 벡터 곱의 분포 특성을 사용하여 좌표로 주어진 벡터의 벡터 곱을 찾습니다. 혼합 작업. 좌표 단위 벡터의 벡터 곱을 적어 보겠습니다 (그림 35). 따라서 벡터 a와 b의 벡터 곱에 대해 식 (3)에서 다음 식을 얻습니다. 식 (4)는 기호로 쓸 수 있습니다. 3차 행렬식을 사용하면 기억하기 쉬운 형식입니다. 이 행렬식을 첫 번째 행의 요소로 확장하면 (4)를 얻습니다. 예. 1. 벡터로 구성된 평행사변형의 면적을 구합니다. 필요한 면적 따라서 = whence를 찾습니다. 2. 삼각형의 면적을 찾습니다(그림 36). 삼각형 OAO의 면적 b"d는 평행사변형 O AC B의 면적 S의 절반과 같다는 것이 분명합니다. 벡터 a = OA 및 b = ob의 벡터 곱(a, b|)을 계산하면 다음을 얻습니다. 비고. 벡터 곱은 결합적이지 않습니다. 즉, 일반적인 경우에는 동등성((a, b),c) = [a, |b,c))이 참이 아닙니다. 예를 들어, a = ss j의 경우 § 7. 벡터의 혼합 곱 세 개의 벡터 a, b, c가 있다고 하자. 벡터 a와 1>을 벡터적으로 곱하면 벡터 [a, 1>]를 얻고, 벡터 c에 스칼라 곱하면: ( k b), c). 숫자 ([a, b], e)는 벡터 a, b의 혼합 곱이라고 합니다. c이며 기호 (a, 1), e)로 표시됩니다. 7.1. 혼합곱의 기하학적 의미 고립점 O(그림 37)로부터 벡터 a, b, c를 따로 떼어 놓자. 네 점 O, A, B, C가 모두 동일한 평면에 있는 경우(이 경우 벡터 a, b 및 c를 동일 평면이라고 함) 혼합 곱([a, b], c) = 0입니다. 이는 다음과 같습니다. 벡터 [a, b| 는 벡터 a와 1이 있는 평면에 수직이므로 벡터 c에 수직입니다. / 점 O, A, B, C가 동일한 평면에 있지 않으면(벡터 a, b 및 c가 동일 평면에 있지 않음) OA, OB 및 OS 가장자리에 평행육면체를 구성합니다(그림 38a). 벡터 곱의 정의에 따르면 (a,b) = So c가 있습니다. 여기서 So는 평행사변형 OADB의 면적이고 c는 벡터 a와 b에 수직인 단위 벡터이며 트리플 a , b, c는 오른손잡이입니다. 벡터 a, b, c는 각각 오른손의 엄지, 검지, 중지로 위치한다(그림 38b). 오른쪽의 마지막 등식의 양쪽에 벡터 c를 스칼라로 곱하면 좌표로 지정된 벡터의 벡터 곱을 얻습니다. 혼합 작업. 숫자 pc c는 구성된 평행육면체의 높이 h와 같습니다. 벡터 c와 c 사이의 각도가 예각(삼중 a, b, c - 오른쪽)인 경우 "+" 기호를 사용하고 "-"를 사용하여 취합니다. 각도가 둔각(삼중 a, b, c - 왼쪽)인 경우 부호를 지정합니다. 따라서 벡터 a, b 및 c의 혼합 곱은 모서리와 마찬가지로 이러한 벡터를 기반으로 하는 평행육면체의 부피 V와 같습니다. a, b, c 트리플이 오른쪽이고, a, b, c 트리플이 왼쪽이면 -V입니다. 기반을 둔 기하학적 의미 혼합 곱의 경우 동일한 벡터 a, b 및 c를 다른 순서로 곱하면 항상 +7 또는 -K를 얻게 된다는 결론을 내릴 수 있습니다. 제조사 마크 그림. 38 참조는 곱해진 벡터가 어떤 종류의 삼중 형태(오른쪽 또는 왼쪽)를 형성하는지에만 의존합니다. 벡터 a, b, c가 오른쪽 트리플을 형성하면 트리플 b, c, a 및 c, a, b도 오른쪽이 됩니다. 동시에 세 개의 트리플 b, a, c 모두; a, c, b 및 c, b, a - 왼쪽. 따라서 (a,b, c) = (b,c, a) = (c,a,b) = -(b,a,c) = -(a,c,b) = -(c,b , ㅏ). 벡터의 혼합 곱은 곱해진 벡터 a, b, c가 동일 평면에 있는 경우에만 0과 동일하다는 점을 다시 강조합니다. (a, b, c는 동일 평면에 있음) 7.2. 좌표의 혼합곱 벡터 a, b, c를 i, j, k를 기준으로 한 좌표로 지정합니다. a = (x\,y\,z]), b= (x2,y2>z2), c = (x3, uz, 23). 혼합된 생성물(a, b, c)에 대한 표현을 찾아보겠습니다. 우리는 3차 행렬식과 동일한 기저 i, J, k의 좌표로 지정된 벡터의 혼합 곱을 가지며, 그 선은 각각 곱해진 벡터의 첫 번째, 두 번째 및 세 번째 좌표로 구성됩니다. 벡터 a y\, Z|), b = (хъ У2.22), с = (жз, з, 23)의 동일 평면성에 대한 필요충분조건은 다음 형식 У|로 작성됩니다. z, ag2 y2 -2 =0. 예를 들어요. 벡터 " = (7,4,6), b = (2, 1,1), c = (19, II, 17)이 동일 평면에 있는지 확인하십시오. 고려 중인 벡터는 행렬식이 0인지 아닌지에 따라 동일 평면 또는 비동일 평면이 됩니다. 이를 첫 번째 행의 요소로 확장하면 D = 7-6-4-15 + 6-3 =을 얻습니다. 0^ - 벡터 n, b, c는 동일 평면에 있습니다. 7.3. 이중 교차곱 이중 교차곱 [a, [b, c]]는 벡터 a 및 [b, c]에 수직인 벡터입니다. 따라서 이는 벡터 b와 c의 평면에 있으며 이러한 벡터로 확장될 수 있습니다. [a, [!>, c]] = b(a, e) - c(a, b) 공식이 유효하다는 것을 알 수 있습니다. 연습문제 1. 세 개의 벡터 AB = c, F? = o 및 CA = b는 삼각형의 변 역할을 합니다. 삼각형의 중앙값 AM, DN, CP와 일치하는 벡터를 a, b 및 c로 표현합니다. 2. 벡터 p + q가 두 벡터 사이의 각도를 반으로 나누기 위해 벡터 p와 q가 연결되어야 하는 조건은 무엇입니까? 세 벡터는 모두 공통 원점과 관련이 있다고 가정합니다. 3. |p| = 2v/2, |q| = 3H-(p7ci) = f. 4. 공통 꼭지점에서 연장된 마름모의 변을 a와 b로 표시하여 마름모의 대각선이 서로 수직임을 증명합니다. 5. 벡터 a = 4i + 7j + 3k와 b = 31 - 5j + k의 스칼라 곱을 계산합니다. 6. 벡터 a = (6, 7, -6)과 평행한 단위 벡터 a0을 찾습니다. 7. 벡터 a = l+ j- kHa 벡터 b = 21 - j - 3k의 투영을 찾습니다. 8. A(-4,0,4), B(-1,6,7), C(1,10.9)인 경우 벡터 IS “w 사이의 각도의 코사인을 구합니다. 9. 동시에 단위 벡터 р°를 구합니다. 벡터에 수직 a = (3, 6, 8) 및 Ox 축. 10. 측면에서와 같이 벡터 a = 2i+J-k, b=i-3j + k에 구성된 평행사변형의 대각선 사이 각도의 사인을 계산합니다. 벡터 a와 I를 기반으로 한 평행사변형을 기본으로 삼은 경우 벡터 a = 31 + 2j - 5k, b = i- j + 4knc = i-3j + k를 기반으로 한 평행육면체의 높이 h를 계산합니다. 답변
정의. 벡터 a(피승수)와 비공선형 벡터(피승수)의 벡터 곱은 세 번째 벡터 c(곱)이며 다음과 같이 구성됩니다.
1) 해당 모듈은 그림 1의 평행사변형 면적과 수치적으로 동일합니다. 155), 벡터를 기반으로 합니다. 즉, 언급된 평행사변형의 평면에 수직인 방향과 같습니다.
3) 이 경우 벡터 c의 방향은 벡터 c가 오른쪽 방향 시스템을 형성하도록 (가능한 두 가지 방향 중에서) 선택됩니다(§ 110).
명칭: 또는
정의에 추가합니다. 벡터가 동일선상에 있는 경우 그림을 (조건부로) 평행사변형으로 간주하면 영역을 0으로 지정하는 것이 당연합니다. 따라서 동일선상 벡터의 벡터 곱은 널 벡터와 동일한 것으로 간주됩니다.
널 벡터는 어떤 방향으로도 지정될 수 있으므로 이 합의는 정의의 단락 2 및 3과 모순되지 않습니다.
비고 1. "벡터 곱"이라는 용어에서 첫 번째 단어는 작업의 결과가 벡터임을 나타냅니다(스칼라 곱과 반대, § 104, 설명 1 참조).
예 1. 올바른 좌표계의 주요 벡터가 있는 벡터 곱을 찾습니다(그림 156).
1. 메인 벡터의 길이는 1 스케일 단위와 같으므로 평행사변형(정사각형)의 면적은 수치적으로 1과 같습니다. 이는 벡터 곱의 모듈러스가 1과 같다는 것을 의미합니다.
2. 평면에 수직인 것이 축이기 때문에 원하는 벡터 곱은 벡터 k와 동일 선상에 있는 벡터입니다. 둘 다 모듈러스 1을 갖기 때문에 원하는 벡터 곱은 k 또는 -k와 같습니다.
3. 이 두 개의 가능한 벡터 중에서 첫 번째 벡터를 선택해야 합니다. 왜냐하면 벡터 k는 오른쪽 방향 시스템을 형성하고(벡터는 왼쪽 방향 시스템)을 형성하기 때문입니다.
예 2. 외적 찾기
해결책. 예제 1에서와 같이 벡터가 k 또는 -k와 같다고 결론을 내립니다. 그러나 이제 벡터가 오른쪽 시스템을 형성하므로(그리고 벡터는 왼쪽 시스템을 형성하므로) -k를 선택해야 합니다. 그래서,
예 3. 벡터의 길이는 각각 80cm와 50cm이고 각도는 30°입니다. 미터를 길이의 단위로 삼아 벡터곱의 길이를 구하시오.
해결책. 벡터를 기반으로 한 평행사변형의 면적은 다음과 같습니다. 원하는 벡터 곱의 길이는 다음과 같습니다.
예 4. 길이 단위로 센티미터를 사용하여 동일한 벡터의 벡터 곱의 길이를 구합니다.
해결책. 벡터로 구성된 평행사변형의 면적이 동일하므로 벡터 곱의 길이는 2000cm입니다. 즉,
예제 3과 4를 비교하면 벡터의 길이는 요인의 길이뿐만 아니라 길이 단위의 선택에도 따라 달라짐이 분명합니다.
벡터 제품의 물리적 의미.많은 것 중 물리량, 벡터 곱으로 표시되는 경우 힘의 순간만 고려합니다.
A를 힘의 적용 지점으로 설정합니다. 점 O에 대한 힘의 순간을 벡터 곱이라고 합니다. 이 벡터 곱의 계수는 수치적으로 평행사변형의 면적과 동일하므로(그림 157) 순간 계수는 밑면과 높이의 곱, 즉 힘에 점 O에서 힘이 작용하는 직선까지의 거리를 곱한 것과 같습니다.
역학에서는 평형이 성립한다는 것이 증명되었습니다. 단단한몸체에 가해지는 힘을 나타내는 벡터의 합이 0일 뿐만 아니라 힘의 모멘트의 합도 0과 같아야 합니다. 모든 힘이 하나의 평면에 평행한 경우 모멘트를 나타내는 벡터의 추가는 해당 크기의 추가 및 빼기로 대체될 수 있습니다. 그러나 임의의 힘 방향으로 그러한 교체는 불가능합니다. 이에 따라 벡터 곱은 숫자가 아닌 벡터로 정확하게 정의됩니다.
