triedriska hörn. Sats. Varje plan vinkel i en trihedrisk vinkel är mindre än summan av dess andra två plana vinklar. Bevis. Betrakta den trihedriska vinkeln SABC. Låt den största av dess plana vinklar vara vinkeln ASC. Då ojämlikheterna?ASB? ?ASC< ?ASC + ?BSC; ?BSC ? ?ASC < ?ASC + ?ASB. Таким образом, остается доказать неравенство?ASС < ?ASB + ?BSC. Отложим на грани ASC угол ASD, равный ASB, и точку B выберем так, чтобы SB = SD. Тогда треугольники ASB и ASD равны (по двум сторонам и углу между ними) и, следовательно, AB = AD. Воспользуемся неравенством треугольника AC < AB + BC. Вычитая из обеих его частей AD = AB, получим неравенство DC < BC. В треугольниках DSC и BSC одна сторона общая (SC), SD = SB и DC < BC. В этом случае против большей стороны лежит больший угол и, следовательно, ?DSC < ?BSC. Прибавляя к обеим частям этого неравенства угол ASD, равный углу ASB, получим требуемое неравенство?ASС < ?ASB + ?BSC.
Bild 3 från presentationen "Polyedrisk vinkel" till geometrilektioner på ämnet "Vinklar i rymden"Mått: 960 x 720 pixlar, format: jpg. För att ladda ner en gratis bild för användning på geometrilektion, högerklicka på bilden och klicka på "Spara bild som...". Du kan ladda ner hela presentationen "Polyhedral angle.ppt" i ett 329 KB zip-arkiv.
Ladda ner presentationenVinklar i rymden
"Vinkeln mellan linjer i rymden" - I kuben A ... D1, hitta vinkeln mellan linjerna: A1C1 och B1D1. Svar: 45o. Svar: 90o. I kuben A...D1 hitta vinkeln mellan linjerna: AB1 och BC1. Vinkel mellan linjer i rymden. I kuben A...D1 hitta vinkeln mellan linjerna: AA1 och BD1. I kuben A…D1 hitta vinkeln mellan linjerna: AA1 och BC1. Svar: I kuben A...D1 hitta vinkeln mellan linjerna: AA1 och BC.
"Dihedral angle geometri" - vinkel RSV - linjär för en dihedral vinkel med kant AC. RMT-vinkel - linjär för dihedrisk vinkel med RMCT. K. V. Geometry 10 "A" klass 2008-03-18. Dihedral vinkel. linjen BO är vinkelrät mot kanten CA (genom egenskapen för en liksidig triangel). På gränsen till ASV. (2) På gränsen till MTC. KDBA KDBC.
"Inskriven vinkel" - 2:a fallet. F. Dokument: Spetsen är inte på cirkeln. A. Fall 3. 2. Lektionens ämne: Inskrivna vinklar. b). Upprepning av material. Problemlösning. Problem #1? Läxa.
"Trihedrisk vinkel" - Konsekvenser. 1) För att beräkna vinkeln mellan en rät linje och ett plan är formeln tillämplig: . Given: Оabc – trihedrisk vinkel; ?(b; c) = ?; ?(a; c) = ?; ?(a; b) = ?. Bevis I. Låt?< 90?; ? < 90?; (ABC)?с. Трехгранный угол. Тогда?ОВС = 90? – ? < ?ОВА (следствие из формулы трех косинусов). Формула трех косинусов.
glida 1
glida 2
Sats. I en trihedrisk vinkel är summan av de plana vinklarna mindre än 360 och summan av två av dem är större än den tredje. Given: Оabc – trihedrisk vinkel; (b; c) =; (a; c) =; (a; b) = . Grundläggande egenskap hos en trihedrisk vinkel. Bevisa: ++< 360 ; 2) + > ; + > ; + > .
glida 3
Bevis I. Låt< 90 ; < 90 ; (ABC) с. Тогда ОВС = 90 – < ОВА (следствие из формулы трех косинусов). Аналогично, ОАС = 90 – < ОAВ. Следовательно, = 180 – (ОАB + ОBA) < 180 – ((90 –) + (90 –)) = + . Если < 90 , то остальные два неравенства пункта 2) доказываются аналогично, а если 90 , то они – очевидны. Дано: Оabc – трехгранный угол; (b; c) = ; (a; c) = ; (a; b) = . Доказать: 2) + > ; + > ; + > .
glida 4
Formel med tre cosinus. Konsekvenser. 1) För att beräkna vinkeln mellan en linje och ett plan är formeln tillämplig: 2) Vinkeln mellan en linje och ett plan är den minsta av de vinklar som denna linje bildar med linjerna i detta plan.
glida 5
II. På kanterna av den givna vinkeln lägger vi åt sidan punkterna A’, B’ och C’ så att |OA’| = |OB'| = |OC'| Då är trianglarna A'OB', B'OC' och C'OA' likbenta, och deras vinklar vid baserna 1 - 6 är spetsiga. För triedriska vinklar med hörn A', B' och C' tillämpar vi olikheterna som bevisats i stycke I: C'A'B'< 1 + 6; А’B’C’ < 2 + 3; B’С’А’ < 4 + 5. Сложим эти неравенства почленно, тогда 180 < (1 + 2) + (3 + 4) + (5 + 6) = = (180 –) + (180 –) + (180 –) + + < 360 . Дано: Оabc – трехгранный угол; (b; c) = ; (a; c) = ; (a; b) = . Доказать: + + < 360 ; 2) + > ; + > ; + > .
glida 6
III. Betrakta strålen c', som är komplementär till strålen c, och för den trihedriska vinkeln Oabc' använder vi den olikhet som bevisats i paragraf II för en godtycklig trihedrisk vinkel: (180 –) + (180 –) +< 360 + >. De andra två ojämlikheterna bevisas på liknande sätt. Given: Оabc – trihedrisk vinkel; (b; c) =; (a; c) =; (a; b) = . Bevisa: ++< 360 ; 2) + >; + > ; + > . Med'
Bild 7
Följd. I en vanlig triangulär pyramid är den platta vinkeln vid spetsen mindre än 120.
Bild 8
Definition. Triedriska vinklar sägs vara lika om alla deras motsvarande plan och dihedriska vinklar är lika. Tecken på likhet med trihedriska vinklar. Triedriska vinklar är lika om de är lika: två plana vinklar och en dihedrisk vinkel mellan dem; 2) två dihedriska vinklar och en platt vinkel mellan dem; 3) tre platta hörn; 4) tre dihedriska vinklar. Ris. 4b
Bild 9
. . Givet en trihedrisk vinkel Oabc. Låta< 90 ; < 90 ; тогда рассмотрим (ABC) с По теореме косинусов из CАВ: |AB|2 = |AC|2 + |BC|2 – 2|AC| |BC| cos Аналог теоремы косинусов Аналогично, из OАВ: |AB|2 = |AO|2 + |BO|2 – 2|AO| |BO| cos . Вычтем из второго равенства первое и учтем, что |AO|2 – |AC|2 = |CO|2 = |BO|2 – |BC|2: 2|CO|2 – 2|AO| |BO| cos + 2|AC| |BC| = 0 . ; ; ; тогда cos = cos cos + sin synd cos Låt oss ersätta:
glida 10
II. Låt > 90; > 90 , betrakta sedan strålen c', komplementär till c, och den motsvarande trihedriska vinkeln Oabc', där de plana vinklarna - och - är spetsiga, och den plana vinkeln och den dihedriska vinkeln är desamma. Enligt I .: cos \u003d cos (-) cos (-) + sin (-) sin (-) cos cos \u003d cos cos + sin sin cos
glida 1
Figuren som bildas av den angivna ytan och en av de två delarna av utrymmet som begränsas av den kallas en polyedrisk vinkel. Den gemensamma vertexen S kallas spetsen för den polyedriska vinkeln. Strålarna SA1, …, SAn kallas kanterna på den polyedriska vinkeln, och själva planvinklarna A1SA2, A2SA3, …, An-1SAn, AnSA1 kallas ytorna på den polyedriska vinkeln. En polyedrisk vinkel betecknas med bokstäverna SA1…An, som indikerar vertex och punkter på dess kanter. Den yta som bildas av en ändlig uppsättning plana vinklar A1SA2, A2SA3, …, An-1SAn, AnSA1 med en gemensam vertex S, där angränsande vinklar inte har några gemensamma punkter, förutom punkter med en gemensam stråle, och vinklar som inte är angränsande har inga gemensamma punkter, förutom en gemensam vertex, kommer vi att kalla en polyedrisk yta.
glida 2
Beroende på antalet ytor är polyedriska vinklar trihedriska, tetraedriska, pentaedriska, etc.
glida 3
TRIEDRA HÖRN
Sats. Varje plan vinkel i en trihedrisk vinkel är mindre än summan av dess andra två plana vinklar. Bevis. Betrakta den trihedriska vinkeln SABC. Låt den största av dess plana vinklar vara vinkeln ASC. Sedan ojämlikheterna ASB ASC
glida 4
Fast egendom. Summan av planvinklarna för en trihedrisk vinkel är mindre än 360°. På liknande sätt gäller följande olikheter för triedriska vinklar med hörn B och C: ABС
glida 5
KONVEXA POLYEDRA VINKLAR
En polyedrisk vinkel kallas konvex om den är en konvex figur, det vill säga, tillsammans med två av dess punkter, innehåller den helt segmentet som förbinder dem. Figuren visar exempel på konvexa och icke-konvexa polyedriska vinklar. Egenskap: Summan av alla plana vinklar för en konvex polyedrisk vinkel är mindre än 360°. Beviset liknar beviset för motsvarande egenskap för en trihedrisk vinkel.
glida 6
Vertikala polyedriska vinklar
Figurerna visar exempel på triedriska, tetraedriska och pentaedriska vertikala vinklar. Vertikala vinklar är lika.
Bild 7
Mätning av polyedriska vinklar
Eftersom gradvärdet för en utvecklad dihedrisk vinkel mäts med gradvärdet för motsvarande linjära vinkel och är lika med 180°, kommer vi att anta att gradvärdet för hela rummet, som består av två utvecklade dihedriska vinklar, är 360° . Värdet på en polyedrisk vinkel, uttryckt i grader, visar vilken del av utrymmet den givna polyedriska vinkeln upptar. Till exempel upptar den trihedriska vinkeln för en kub en åttondel av utrymmet och därför är dess gradvärde 360o:8 = 45o. Den trihedriska vinkeln i ett regelbundet n-gonalt prisma är lika med halva dihedriska vinkeln vid sidokanten. Med tanke på att denna dihedriska vinkel är lika, får vi att prismats trihedriska vinkel är lika.
Bild 8
Mätning av triedriska vinklar*
Vi härleder en formel som uttrycker värdet av en trihedrisk vinkel i termer av dess dihedriska vinklar. Låt oss beskriva en enhetssfär nära spetsen S för den trihedriska vinkeln och beteckna skärningspunkterna för kanterna på den trihedriska vinkeln med denna sfär A, B, C. Planen för den trihedriska vinkelns ytor delar upp denna sfär i sex parvis lika sfäriska digoner som motsvarar de dihedriska vinklarna för den givna trihedriska vinkeln. Den sfäriska triangeln ABC och den sfäriska triangeln A "B" C symmetriska till den är skärningspunkten mellan tre digoner. Därför är den dubbla summan av de dihedriska vinklarna 360o plus det fyrdubbla värdet för den trihedriska vinkeln, eller SA + SB + SC = 180o + 2SABC.
Bild 9
Mätning av polyedriska vinklar*
Låt SA1…An vara en konvex n-sidig vinkel. Om vi delar upp det i triedriska vinklar, ritar diagonalerna A1A3, …, A1An-1 och applicerar den resulterande formeln på dem, kommer vi att ha: SA1 + … + SAn = 180о(n – 2) + 2SA1…An. Polyedriska vinklar kan också mätas med siffror. Trehundrasextio grader av hela rymden motsvarar faktiskt talet 2π. Om vi går från grader till tal i den resulterande formeln kommer vi att ha: SA1+ …+SAn = π(n – 2) + 2SA1…An.
Bild 10
Övning 1
Kan det finnas en trihedrisk vinkel med plana hörn: a) 30°, 60°, 20°; b) 45°, 45°, 90°; c) 30°, 45°, 60°? Inget svar; b) nej; c) ja.
glida 11
Övning 2
Ge exempel på polyedrar vars ytor, som skär varandra vid hörnen, endast bildar: a) triedriska vinklar; b) tetraedriska hörn; c) femsidiga hörn. Svar: a) Tetraeder, kub, dodekaeder; b) oktaeder; c) ikosaeder.
glida 12
Övning 3
De två plana vinklarna för en trihedrisk vinkel är 70° och 80°. Vad är gränsen för den tredje planvinkeln? Svar: 10o
glida 13
Övning 4
De plana vinklarna för en trihedrisk vinkel är 45°, 45° och 60°. Hitta vinkeln mellan plan med plana vinklar på 45°. Svar: 90o.
Bild 14
Övning 5
I en trihedrisk vinkel är två plana vinklar 45° vardera; den dihedriska vinkeln mellan dem är rätt. Hitta det tredje platta hörnet. Svar: 60o.
glida 15
Övning 6
De plana vinklarna för en trihedrisk vinkel är 60°, 60° och 90°. Lika segment OA, OB, OC är plottade på dess kanter från vertex. Hitta den dihedriska vinkeln mellan 90° vinkelplanet och ABC-planet. Svar: 90o.
glida 16
Övning 7
Varje plan vinkel i en trihedrisk vinkel är 60°. På en av dess kanter läggs ett segment lika med 3 cm av från toppen, och en vinkelrät sänks från dess ände till den motsatta sidan. Hitta längden på denna vinkelrät. Svar: se
Bild 17
Övning 8
Hitta platsen för inre punkter i en trihedrisk vinkel på samma avstånd från dess ytor. Svar: En stråle vars spets är spetsen för en trihedrisk vinkel som ligger på skärningslinjen för de plan som delar de tvåsidiga vinklarna på mitten.
Bild 18
Övning 9
Hitta platsen för inre punkter i en trihedrisk vinkel på samma avstånd från dess kanter. Svar: En stråle vars spets är spetsen för en trihedrisk vinkel som ligger på skärningslinjen för plan som går genom halveringslinjerna för planvinklar och vinkelrät mot dessa vinklars plan.
Bild 19
Övning 10
För tetraederns dihedriska vinklar har vi: , varifrån 70o30". För tetraederns trihedriska vinklar har vi: 15o45". Svar: 15o45". Hitta de ungefärliga värdena för tetraederns trihedriska vinklar.
Bild 20
Övning 11
Hitta de ungefärliga värdena för oktaederns tetraedriska vinklar. För oktaederns dihedriska vinklar har vi: , varifrån 109o30". För oktaederns tetraedriska vinklar har vi: 38o56". Svar: 38o56".
glida 21
Övning 12
Hitta de ungefärliga värdena för de femsidiga vinklarna på icosahedron. För ikosaederns dihedriska vinklar har vi: , varifrån 138o11". För ikosaederns pentaedriska vinklar har vi: 75o28". Svar: 75o28".
glida 22
Övning 13
För dodekaederns dihedriska vinklar har vi: , varifrån 116o34". För dodekaederns trihedriska vinklar har vi: 84o51". Svar: 84o51". Hitta de ungefärliga värdena för dodekaederns trihedriska vinklar.
glida 23
Övning 14
I en vanlig fyrkantig pyramid SABCD är sidan av basen 2 cm, höjden är 1 cm. Hitta den tetraedriska vinkeln i toppen av denna pyramid. Lösning: De angivna pyramiderna delar kuben i sex lika stora pyramider med hörn i kubens mitt. Därför är den 4-sidiga vinkeln i toppen av pyramiden en sjättedel av 360°-vinkeln, dvs. lika med 60o. Svar: 60o.
glida 24
Övning 15
I en vanlig triangulär pyramid är sidokanterna lika med 1, vinklarna i toppen är 90o. Hitta den trihedriska vinkeln på toppen av denna pyramid. Lösning: De angivna pyramiderna delar upp oktaedern i åtta lika stora pyramider med hörn i mitten O av oktaedern. Därför är den 3-sidiga vinkeln i toppen av pyramiden en åttondel av 360°-vinkeln, d.v.s. lika med 45o. Svar: 45o.
Bild 25
Övning 16
I en vanlig triangulär pyramid är sidokanterna lika med 1, och höjden Hitta den triedriska vinkeln i toppen av denna pyramid. Lösning: De angivna pyramiderna går sönder vanlig tetraeder i fyra lika stora pyramider med hörn i mitten av tetraedern. Därför är den 3-sidiga vinkeln i toppen av pyramiden en fjärdedel av 360°-vinkeln, dvs. är lika med 90o. Svar: 90o.
Visa alla bilder
glida 1
POLYEDRASKA VINKLAR Figuren som bildas av den angivna ytan och en av de två delarna av rymden som begränsas av den kallas en polyedrisk vinkel. Den gemensamma vertexen S kallas spetsen för den polyedriska vinkeln. Strålarna SA1, …, SAn kallas kanterna på den polyedriska vinkeln, och själva planvinklarna A1SA2, A2SA3, …, An-1SAn, AnSA1 kallas ytorna på den polyedriska vinkeln. En polyedrisk vinkel betecknas med bokstäverna SA1…An, som indikerar vertex och punkter på dess kanter. En yta som bildas av en ändlig uppsättning plana vinklar A1SA2, A2SA3, …, An-1SAn, AnSA1 med en gemensam vertex S, där de intilliggande hörnen inte har några gemensamma punkter, förutom punkterna för en gemensam stråle, och de icke- angränsande hörn har inga gemensamma punkter, förutom en gemensam vertex, kommer att kallas en polyedrisk yta.glida 2
POLYEDRA HÖRN Beroende på antalet ytor är polyedriska vinklar trihedriska, tetraedriska, pentaedriska, etc.
glida 3
TRIEDRA VINKLAR Teorem. Varje plan vinkel i en trihedrisk vinkel är mindre än summan av dess andra två plana vinklar. Bevis. Betrakta den trihedriska vinkeln SABC. Låt den största av dess plana vinklar vara vinkeln ASC. Sedan ojämlikheterna ASB ASC
glida 4
TRIEDRA HÖRN Fastighet. Summan av planvinklarna för en trihedrisk vinkel är mindre än 360°. På liknande sätt gäller följande olikheter för triedriska vinklar med hörn B och C: ABC
glida 5
KONVEX POLYEDRA VINKLAR En polyedrisk vinkel kallas konvex om den är en konvex figur, det vill säga att den tillsammans med två av dess punkter helt innehåller segmentet som förbinder dem. Figuren visar exempel på konvexa och icke-konvexa polyedriska vinklar. Fast egendom. Summan av alla plana vinklar för en konvex polyedrisk vinkel är mindre än 360°. Beviset liknar beviset för motsvarande egenskap för en trihedrisk vinkel.
glida 6
Vertikala polyedriska vinklar Figurerna visar exempel på triedriska, tetraedriska och pentaedriska vertikala vinklar Sats. Vertikala vinklar är lika.
Bild 7
Mätning av polyedriska vinklar Eftersom gradvärdet för en utvecklad dihedrisk vinkel mäts med gradvärdet för motsvarande linjära vinkel och är lika med 180°, kommer vi att anta att gradvärdet för hela rummet, som består av två utvecklade dihedriska vinklar , är 360°. Värdet på en polyedrisk vinkel, uttryckt i grader, visar vilken del av utrymmet den givna polyedriska vinkeln upptar. Till exempel upptar den trihedriska vinkeln för en kub en åttondel av utrymmet och därför är dess gradvärde 360o:8 = 45o. Den trihedriska vinkeln i ett regelbundet n-gonalt prisma är lika med halva dihedriska vinkeln vid sidokanten. Med tanke på att denna dihedriska vinkel är lika, får vi att prismats trihedriska vinkel är lika.
Bild 8
Mätning av triedriska vinklar* Låt oss härleda en formel som uttrycker värdet av en trihedrisk vinkel i termer av dess dihedriska vinklar. Vi beskriver en enhetssfär nära spetsen S för den trihedriska vinkeln och betecknar skärningspunkterna för kanterna på den trihedriska vinkeln med denna sfär A, B, C. Planen på den trihedriska vinkelns ytor delar upp denna sfär i sex parvis lika sfäriska digoner som motsvarar de dihedriska vinklarna för den givna trihedriska vinkeln. Den sfäriska triangeln ABC och dess symmetriska sfäriska triangel A"B"C" är skärningspunkten mellan tre digoner. Därför är två gånger summan av de dihedriska vinklarna 360o plus fyrdubbla den trihedriska vinkeln, eller SA + SB + SC = 180o + 2 SABC .
Bild 9
Mätning av polyedriska vinklar* Låt SA1…An vara en konvex n-sidig vinkel. Om vi delar upp det i triedriska vinklar, ritar diagonalerna A1A3, …, A1An-1 och applicerar den resulterande formeln på dem, kommer vi att ha: SA1 + … + SAn = 180о(n – 2) + 2 SA1…An. Polyedriska vinklar kan också mätas med siffror. Trehundrasextio grader av hela rymden motsvarar faktiskt talet 2π. Om vi går från grader till tal i den resulterande formeln kommer vi att ha: SA1+ …+ SAn = π (n – 2) + 2 SA1…An.
glida 10
Övning 1 Kan det finnas en trihedrisk vinkel med plana hörn: a) 30°, 60°, 20°; b) 45°, 45°, 90°; c) 30°, 45°, 60°? Inget svar; b) nej; c) ja.
glida 11
Övning 2 Ge exempel på polyedrar vars ytor, som skär varandra i hörnen, endast bildar: a) trihedriska vinklar; b) tetraedriska hörn; c) femsidiga hörn. Svar: a) Tetraeder, kub, dodekaeder; b) oktaeder; c) ikosaeder.
glida 12
Övning 3 De två plana vinklarna för en trihedrisk vinkel är 70° och 80°. Vad är gränsen för den tredje planvinkeln? Svar: 10o< < 150о.
glida 13
Övning 4 De plana vinklarna för en trihedrisk vinkel är 45°, 45° och 60°. Hitta vinkeln mellan plan med plana vinklar på 45°. Svar: 90o.
glida 14
Övning 5 I en trihedrisk vinkel är två platta vinklar lika med 45 °; den dihedriska vinkeln mellan dem är rätt. Hitta det tredje platta hörnet. Svar: 60o.
glida 15
Uppgift 6 De plana vinklarna för en trihedrisk vinkel är 60°, 60° och 90°. Lika segment OA, OB, OC är plottade på dess kanter från vertex. Hitta den dihedriska vinkeln mellan 90° vinkelplanet och ABC-planet. Svar: 90o.
glida 16
Övning 7 Varje plan vinkel i en trihedrisk vinkel är 60°. På en av dess kanter läggs ett segment lika med 3 cm av från toppen, och en vinkelrät sänks från dess ände till den motsatta sidan. Hitta längden på denna vinkelrät.
glida 17
Övning 8 Hitta platsen för inre punkter i en triedrisk vinkel på samma avstånd från dess ytor. Svar: En stråle vars spets är spetsen för en trihedrisk vinkel som ligger på skärningslinjen för de plan som delar de tvåsidiga vinklarna på mitten.
glida 18
Övning 9 Hitta platsen för inre punkter i en trihedrisk vinkel på samma avstånd från dess kanter. Svar: En stråle vars spets är spetsen för en trihedrisk vinkel som ligger på skärningslinjen för plan som går genom halveringslinjerna för planvinklar och vinkelrät mot dessa vinklars plan.
