Den här lektionen ger definitionen och egenskaperna hos en vanlig triangulär pyramid och dess specialfall, tetraedern (se nedan). Länkar till exempel på problemlösning finns i slutet av lektionen.
Definition
Vanlig triangulär pyramidär en pyramid vars bas är en regelbunden triangel, och spetsen projiceras in i mitten av basen.
Bilden visar:
ABC- Bas pyramider
OS - Höjd
KS - Apothem
OK - radien för cirkeln inskriven vid basen
AO - radien av en cirkel omskriven runt basen av en vanlig triangulär pyramid
SKO - dihedral vinkel mellan basen och ytan på pyramiden (i en vanlig pyramid är de lika)
Viktig. I en vanlig triangulär pyramid kanske längden på kanten (AS, BS, CS i figuren) inte är lika med längden på bassidan (AB, AC, BC i figuren). Om längden på kanten av en vanlig triangulär pyramid är lika med längden på sidan av basen, kallas en sådan pyramid en tetraeder (se nedan).
Egenskaper hos en vanlig triangulär pyramid:
- sidokanterna på en vanlig pyramid är lika
- alla sidoytor på en vanlig pyramid är likbenta trianglar
- i en vanlig triangulär pyramid kan du antingen passa en sfär eller beskriva den runt den
- om mitten av en sfär inskriven och omskriven runt en regelbunden triangulär pyramid sammanfaller, är summan av planvinklarna i toppen av pyramiden lika med π (180 grader), och var och en av dem är lika med π / 3 ( pi dividerat med 3 eller 60 grader).
- Arean av den laterala ytan av en vanlig pyramid är lika med hälften av produkten av omkretsen av basen och apotem
- pyramidens spets projiceras på basen in i mitten av en regelbunden liksidig triangel, som är mitten av incirkeln och skärningspunkten för medianerna
Formler för en vanlig triangulär pyramid
Formel för volymen av en vanlig triangulär pyramid:
V är volymen av en vanlig pyramid med en regelbunden (liksidig) triangel vid basen
h - höjden på pyramiden
a är längden på sidan av pyramidens bas
R - cirkumradius
r - radien för den inskrivna cirkeln
Eftersom en vanlig triangulär pyramid är ett specialfall av en vanlig pyramid, gäller formlerna som stämmer för en vanlig pyramid även för en vanlig triangulär pyramid - se formler för en vanlig pyramid.
Exempel på problemlösning:
Tetraeder
Ett specialfall av en vanlig triangulär pyramid är tetraeder.
Tetraeder- detta är en vanlig polyeder (regelbunden triangulär pyramid) där alla ytor är regelbundna trianglar.
För en tetraeder:
- Alla kanter är lika
- 4 ytor, 4 hörn och 6 kanter
- Alla dihedriska vinklar vid kanter och alla trihedriska vinklar vid hörn är lika
Medianen av en tetraeder- detta är ett segment som förbinder en vertex med skärningspunkten för medianerna på den motsatta sidan (medianerna för en liksidig triangel mittemot vertexen)
Bimedian av en tetraeder- detta är ett segment som förbinder mittpunkterna på korsande kanter (förbinder mittpunkterna på sidorna av en triangel, som är en av tetraederns ytor)
Tetraederns höjd- detta är ett segment som förbinder en vertex till en punkt på motsatt yta och vinkelrätt mot denna yta (det vill säga det är höjden från vilken yta som helst, som också sammanfaller med mitten av den omskrivna cirkeln).
Tetraeder har följande egenskaper:
- Alla medianer och bimedianer i en tetraeder skär varandra vid en punkt
- Denna punkt delar medianerna i förhållandet 3:1, räknat från vertex
- Denna punkt delar bimedianerna på mitten
Här kan du hitta grundläggande information om pyramider och relaterade formler och begrepp. Alla av dem studeras med en matematiklärare som förberedelse för Unified State Exam.
Betrakta ett plan, en polygon 
, som ligger i den och en punkt S, som inte ligger i den. Låt oss koppla S till alla hörn i polygonen. Den resulterande polyedern kallas en pyramid. Segmenten kallas sidoribbor. 
Polygonen kallas basen och punkten S är toppen av pyramiden. Beroende på talet n kallas pyramiden triangulär (n=3), fyrkantig (n=4), femkantig (n=5) och så vidare. Ett alternativt namn för en triangulär pyramid är tetraeder. Höjden på en pyramid är den vinkelräta som går ner från dess topp till basens plan. 
En pyramid kallas vanlig if en vanlig polygon, och basen av pyramidens höjd (basen av vinkelrät) är dess centrum.
Handledarens kommentar:
Blanda inte ihop begreppen "vanlig pyramid" och "vanlig tetraeder". I en vanlig pyramid är sidokanterna inte nödvändigtvis lika med kanterna på basen, men i en vanlig tetraeder är alla 6 kanterna lika. Detta är hans definition. Det är lätt att bevisa att likheten innebär att mitten P av polygonen sammanfaller med en bashöjd, så en vanlig tetraeder är en vanlig pyramid.
Vad är en apotem?
En pyramids apotem är höjden på dess sidoyta. Om pyramiden är regelbunden, är alla dess apotemer lika. Det omvända är inte sant. 
En matematiklärare om sin terminologi: 80 % av arbetet med pyramider är byggt genom två typer av trianglar:
1) Innehåller apotem SK och höjd SP
2) Innehåller den laterala kanten SA och dess projektion PA 
För att förenkla referenser till dessa trianglar är det bekvämare för en matematiklärare att ringa den första av dem apotek, och andra costal. Tyvärr hittar du inte denna terminologi i någon av läroböckerna, och läraren måste introducera den ensidigt.
Formel för volymen av en pyramid:
1) 
, var är arean av pyramidens bas, och är höjden på pyramiden
2) , där är radien för den inskrivna sfären och är arean av pyramidens totala yta.
3) 
, där MN är avståndet mellan två korsande kanter, och är arean av parallellogrammet som bildas av mittpunkterna på de fyra återstående kanterna.
Egenskapen för basen av höjden på en pyramid:
Punkt P (se figur) sammanfaller med mitten av den inskrivna cirkeln vid basen av pyramiden om något av följande villkor är uppfyllt:
1) Alla apotemer är lika
2) Alla sidoytor är lika lutande mot basen
3) Alla apotemer lutar lika mycket till pyramidens höjd
4) Pyramidens höjd är lika lutande mot alla sidoytor
Matematiklärarens kommentar: Observera att alla punkter har en sak gemensamt allmän egendom: på ett eller annat sätt är sidoytor inblandade överallt (apotemer är deras element). Därför kan handledaren erbjuda en mindre exakt, men mer bekväm för inlärning, formulering: punkt P sammanfaller med mitten av den inskrivna cirkeln, pyramidens bas, om det finns någon likvärdig information om dess sidoytor. För att bevisa det räcker det att visa att alla apotemtrianglar är lika.
Punkt P sammanfaller med mitten av en cirkel omskriven nära pyramidens bas om ett av tre villkor är sant:
1) Alla sidokanter är lika
2) Alla sidoribbor är lika lutande mot basen
3) Alla sidoribbor är lika lutande mot höjden
- apotem- höjden på sidoytan på en vanlig pyramid, som dras från dess vertex (dessutom är apotem längden på vinkelrät, som sänks från mitten vanlig polygon på den första av dess sidor);
- sidoytor (ASB, BSC, CSD, DSA) - trianglar som möts i spetsen;
- laterala revben ( SOM , B.S. , C.S. , D.S. ) — gemensamma sidor av sidoytorna;
- toppen av pyramiden (t. S) - en punkt som förbinder sidoribborna och som inte ligger i basens plan;
- höjd ( SÅ ) - ett vinkelrätt segment dras genom toppen av pyramiden till planet för dess bas (ändarna av ett sådant segment kommer att vara toppen av pyramiden och basen av vinkelrät);
- diagonal sektion av pyramiden- en del av pyramiden som passerar genom toppen och diagonalen på basen;
- bas (ABCD) - en polygon som inte tillhör pyramidens spets.
Pyramidens egenskaper.
1. När alla sidokanter har samma storlek:
- det är lätt att beskriva en cirkel nära pyramidens bas, och toppen av pyramiden kommer att projiceras in i mitten av denna cirkel;
- sidoribborna bildar lika vinklar med basens plan;
- Dessutom gäller även motsatsen, dvs. när sidoribborna bildar lika stora vinklar med basens plan, eller när en cirkel kan beskrivas runt pyramidens bas och toppen av pyramiden kommer att projiceras in i mitten av denna cirkel, betyder det att alla sidokanter av pyramiden är lika stora.
2. När sidoytorna har en lutningsvinkel mot basplanet med samma värde, då:
- det är lätt att beskriva en cirkel nära pyramidens bas, och toppen av pyramiden kommer att projiceras in i mitten av denna cirkel;
- höjderna på sidoytorna är lika långa;
- arean på sidoytan är lika med ½ produkten av basens omkrets och höjden på sidoytan.
3. En sfär kan beskrivas runt en pyramid om det vid basen av pyramiden finns en polygon runt vilken en cirkel kan beskrivas (ett nödvändigt och tillräckligt villkor). Sfärens centrum kommer att vara skärningspunkten för planen som passerar genom mitten av pyramidens kanter vinkelrätt mot dem. Av detta teorem drar vi slutsatsen att en sfär kan beskrivas både runt vilken triangulär som helst och runt vilken vanlig pyramid som helst.
4. En sfär kan inskrivas i en pyramid om halvledarplanen för den inre dihedriska vinklar pyramiderna skär varandra vid 1:a punkten (ett nödvändigt och tillräckligt villkor). Denna punkt kommer att bli sfärens centrum.
Den enklaste pyramiden.
Baserat på antalet vinklar är pyramidens bas uppdelad i triangulär, fyrkantig, och så vidare.
Det kommer att finnas en pyramid triangulär, fyrkantig, och så vidare, när basen av pyramiden är en triangel, en fyrkant och så vidare. En triangulär pyramid är en tetraeder - en tetraeder. Fyrkantig - femkantig och så vidare.
