I den här lektionen kommer vi att ge en strikt definition av en monomial och titta på olika exempel från läroboken. Låt oss komma ihåg reglerna för att multiplicera potenser med samma baser. Låt oss definiera standardformen för en monomial, koefficienten för monomialen och dess bokstavsdel. Låt oss överväga två huvudsakliga typiska operationer på monomialer, nämligen reduktion till en standardform och beräkning av ett specifikt numeriskt värde för en monomial för givna värden av de bokstavliga variablerna som ingår i den. Låt oss formulera en regel för att reducera en monomial till standardform. Låt oss lära oss hur man löser standardproblem med alla monomialer.
Ämne:Monomialer. Aritmetiska operationer på monomialer
Lektion:Begreppet monomial. Standardform av monomial
Tänk på några exempel:
3. 
;
Låt oss hitta gemensamma drag för de givna uttrycken. I alla tre fallen är uttrycket produkten av tal och variabler upphöjda till en potens. Utifrån detta ger vi monomiell definition : Ett monomial är ett algebraiskt uttryck som består av produkten av potenser och tal.
Nu ger vi exempel på uttryck som inte är monomialer:
Låt oss hitta skillnaden mellan dessa uttryck och de tidigare. Den består i att det i exemplen 4-7 finns additions-, subtraktions- eller divisionsoperationer, medan det i exemplen 1-3, som är monomialer, inte finns dessa operationer.
Här är några fler exempel:
Uttryck nummer 8 är en monomial eftersom det är produkten av en potens och ett tal, medan exempel 9 inte är en monomial.
Nu ska vi ta reda på det åtgärder på monomialer .
1. Förenkling. Låt oss titta på exempel nr 3 ;och exempel nr 2 /
I det andra exemplet ser vi bara en koefficient - , varje variabel förekommer bara en gång, det vill säga variabeln " A" representeras i en enda kopia som "", på samma sätt visas variablerna "" och "" bara en gång.
I exempel nr 3, tvärtom, finns det två olika koefficienter - och vi ser variabeln "" två gånger - som "" och som "", på samma sätt visas variabeln "" två gånger. Det vill säga att detta uttryck bör förenklas, så kommer vi fram till den första åtgärden som utförs på monomial är att reducera monomial till standardform . För att göra detta kommer vi att reducera uttrycket från exempel 3 till standardform, sedan kommer vi att definiera denna operation och lära oss hur man reducerar någon monomial till standardform.
Så, överväg ett exempel:
Den första åtgärden i operationen av reduktion till standardform är alltid att multiplicera alla numeriska faktorer:
;
Resultatet av denna åtgärd kommer att anropas koefficienten för monomialen .
Därefter måste du multiplicera potenserna. Låt oss multiplicera potenserna av variabeln " X"enligt regeln för att multiplicera potenser med samma baser, som säger att när man multiplicerar, adderas exponenterna:
Låt oss nu multiplicera potenserna" på»:
;
Så här är ett förenklat uttryck:
;
Vilken monom som helst kan reduceras till standardform. Låt oss formulera standardiseringsregeln :
Multiplicera alla numeriska faktorer;
Placera den resulterande koefficienten på första plats;
Multiplicera alla grader, det vill säga få bokstavsdelen;
Det vill säga, varje monomial kännetecknas av en koefficient och en bokstavsdel. När vi blickar framåt noterar vi att monomer som har samma bokstavsdel kallas liknande.
Nu måste vi träna teknik för att reducera monomer till standardform . Tänk på exempel från läroboken:
Uppgift: få monomialen till standardform, namnge koefficienten och bokstavsdelen.
För att slutföra uppgiften kommer vi att använda regeln för att reducera en monomial till en standardform och egenskaperna hos makter.
1. 
;
3. 
;
Kommentarer till det första exemplet: Först, låt oss avgöra om detta uttryck verkligen är ett monomial, för att göra detta, låt oss kontrollera om det innehåller operationer för multiplikation av tal och potenser och om det innehåller operationer med addition, subtraktion eller division. Vi kan säga att detta uttryck är ett monomialt eftersom ovanstående villkor är uppfyllt. Därefter, enligt regeln för att reducera en monomial till en standardform, multiplicerar vi de numeriska faktorerna:
- vi hittade koefficienten för en given monomial;
; ; ; det vill säga den bokstavliga delen av uttrycket erhålls:;
Låt oss skriva ner svaret: ;
Kommentarer till det andra exemplet: Enligt regeln utför vi:
1) multiplicera numeriska faktorer:
2) multiplicera potenserna:
Variabler presenteras i en enda kopia, det vill säga de kan inte multipliceras med någonting, de skrivs om utan ändringar, graden multipliceras:
Låt oss skriva ner svaret:
;
I det här exemplet är koefficienten för monomialen lika med ett, och bokstavsdelen är .
Kommentarer till det tredje exemplet: a I likhet med de tidigare exemplen utför vi följande åtgärder:
1) multiplicera numeriska faktorer:
;
2) multiplicera potenserna:
;
Låt oss skriva ner svaret: ;
I det här fallet är koefficienten för monomialen "", och bokstavsdelen 
.
Låt oss nu överväga andra standardoperationen på monomialer . Eftersom ett monomial är ett algebraiskt uttryck som består av bokstavliga variabler som kan anta specifika numeriska värden, har vi ett aritmetiskt numeriskt uttryck som måste utvärderas. Det vill säga, nästa operation på polynom är beräkna deras specifika numeriska värde .
Låt oss titta på ett exempel. Monomial given:
denna monomial har redan reducerats till standardform, dess koefficient är lika med en och bokstavsdelen
Tidigare sa vi att ett algebraiskt uttryck inte alltid kan beräknas, det vill säga de variabler som ingår i det kan inte få något värde. När det gäller en monomial kan variablerna som ingår i den vara vilken som helst; detta är en egenskap hos monomialen.
Så i det givna exemplet måste du beräkna värdet på monomialen vid , , , .
Monomial är en av huvudtyperna av uttryck som studeras i skolalgebrakursen. I det här materialet kommer vi att berätta vad dessa uttryck är, definiera deras standardform och visa exempel och också förstå relaterade begrepp, såsom graden av en monomial och dess koefficient.
Vad är en monomial
Skolböcker ger vanligtvis följande definition av detta begrepp:
Definition 1
Monomial inkluderar tal, variabler, såväl som deras potenser med naturliga exponenter och olika typer verk sammanställda från dem.
Utifrån denna definition kan vi ge exempel på sådana uttryck. Således kommer alla nummer 2, 8, 3004, 0, - 4, - 6, 0, 78, 1 4, - 4 3 7 att vara monomer. Alla variabler, till exempel x, a, b, p, q, t, y, z, kommer också att vara monomer per definition. Detta inkluderar även potenser av variabler och tal, till exempel 6 3, (− 7, 41) 7, x 2 och t 15, samt uttryck av formen 65 · x, 9 · (− 7) · x · y 3 · 6, x · x · y 3 · x · y 2 · z osv. Observera att ett monomer kan innehålla ett tal eller variabel, eller flera, och de kan nämnas flera gånger i ett polynom.
Sådana typer av tal som heltal, rationella tal och naturliga tal hör också till monomer. Du kan även inkludera reella och komplexa tal här. Således kommer uttryck av formen 2 + 3 · i · x · z 4, 2 · x, 2 · π · x 3 också att vara monomer.
Vad är standardformen för en monomial och hur man konverterar ett uttryck till det
För att underlätta användningen reduceras först alla monomialer till en speciell form som kallas standard. Låt oss formulera specifikt vad detta innebär.
Definition 2
Standardform av monomial kallas dess form där det är produkten av en numerisk faktor och naturliga krafter av olika variabler. Den numeriska faktorn, även kallad koefficienten för monomialen, skrivs vanligtvis först på vänster sida.
För tydlighetens skull, låt oss välja flera monomialer av standardformen: 6 (detta är en monomial utan variabler), 4 · a, − 9 · x 2 · y 3, 2 3 5 · x 7. Detta inkluderar även uttrycket x y(här kommer koefficienten att vara lika med 1), − x 3(här är koefficienten - 1).
Nu ger vi exempel på monomialer som måste föras till standardform: 4 a 2 a 3(här måste du kombinera samma variabler), 5 x (− 1) 3 y 2(här måste du kombinera de numeriska faktorerna till vänster).
Vanligtvis, när en monomial har flera variabler skrivna med bokstäver, skrivs bokstavsfaktorerna i alfabetisk ordning. Det är till exempel att föredra att skriva 6 a b 4 c z 2, hur b 4 6 a z 2 c. Ordningen kan dock bli en annan om syftet med beräkningen kräver det.
Vilken monom som helst kan reduceras till standardform. För att göra detta måste du utföra alla nödvändiga identitetstransformationer.
Begreppet grad av en monomial
Det medföljande konceptet för graden av monomial är mycket viktigt. Låt oss skriva ner definitionen av detta begrepp.
Definition 3
Genom monomialens kraft, skrivet i standardform, är summan av exponenterna för alla variabler som ingår i dess notation. Om det inte finns några variabler i den, och själva monomialen skiljer sig från 0, kommer dess grad att vara noll.
Låt oss ge exempel på krafter hos en monomial.
Exempel 1
Således har monomial a grad lika med 1, eftersom a = a 1. Om vi har en monomiell 7, kommer den att ha grad noll, eftersom den inte har några variabler och skiljer sig från 0. Och här är inspelningen 7 a 2 x y 3 a 2 kommer att vara en monomial av 8:e graden, eftersom summan av exponenterna för alla grader av variablerna som ingår i den kommer att vara lika med 8: 2 + 1 + 3 + 2 = 8 .
Monomialet reducerat till standardform och det ursprungliga polynomet kommer att ha samma grad.
Exempel 2
Vi visar dig hur man beräknar graden av en monomial 3 x 2 y 3 x (− 2) x 5 y. I standardform kan det skrivas som − 6 x 8 y 4. Vi beräknar graden: 8 + 4 = 12 . Detta betyder att graden av det ursprungliga polynomet också är lika med 12.
Begreppet monomial koefficient
Om vi har en monomial reducerad till standardform som innehåller minst en variabel, talar vi om det som en produkt med en numerisk faktor. Denna faktor kallas en numerisk koefficient eller monomial koefficient. Låt oss skriva ner definitionen.
Definition 4
Koefficienten för en monomial är den numeriska faktorn för en monomial reducerad till standardform.
Låt oss ta som exempel koefficienterna för olika monomialer.
Exempel 3
Alltså i uttrycket 8 och 3 koefficienten blir talet 8 och in (− 2 , 3) x y z de kommer − 2 , 3 .
Särskild uppmärksamhet bör ägnas åt koefficienterna lika med ett och minus ett. Som regel är de inte uttryckligen angivna. Man tror att i en monomial av standardformen, där det inte finns någon numerisk faktor, är koefficienten lika med 1, till exempel i uttrycken a, x · z 3, a · t · x, eftersom de kan vara betraktas som 1 · a, x · z 3 – Hur 1 x z 3 etc.
På liknande sätt, i monomialer som inte har en numerisk faktor och som börjar med ett minustecken, kan vi betrakta - 1 som koefficienten.
Exempel 4
Till exempel kommer uttrycken − x, − x 3 · y · z 3 att ha en sådan koefficient, eftersom de kan representeras som − x = (− 1) · x, − x 3 · y · z 3 = (− 1) ) · x 3 y z 3 osv.
Om en monomial inte har en enda bokstavsfaktor alls, då kan vi prata om en koefficient i det här fallet. Koefficienterna för sådana monomial-tal kommer att vara dessa tal själva. Så till exempel kommer koefficienten för monomial 9 att vara lika med 9.
Om du märker ett fel i texten, markera det och tryck på Ctrl+Enter
Monomialär ett uttryck som är produkten av två eller flera faktorer, som var och en är ett tal uttryckt med en bokstav, siffror eller potens (med en icke-negativ heltalsexponent):
2a, a 3 x, 4abc, -7x
Eftersom produkten av identiska faktorer kan skrivas som en potens, är en enskild potens (med en icke-negativ heltalsexponent) också en monom:
(-4) 3 , x 5 ,
Eftersom ett tal (heltal eller bråktal), uttryckt med en bokstav eller siffror, kan skrivas som produkten av detta tal med ett, kan varje enskilt tal också betraktas som ett monom:
x, 16, -a,
Standardform av monomial
Standardform av monomialär en monomial som bara har en numerisk faktor, som måste skrivas i första hand. Alla variabler är i alfabetisk ordning och visas endast en gång i en monomial.
Variablers tal, variabler och potenser tillhör också monomer av standardformen:
7, b, x 3 , -5b 3 z 2 - monomer av standardform.
Den numeriska faktorn för en monomial av standardform kallas koefficienten för monomialen. Monomialkoefficienter lika med 1 och -1 skrivs vanligtvis inte.
Om en monomial av standardform inte har en numerisk faktor, antas det att koefficienten för monomialen är lika med 1:
x 3 = 1 x 3
Om en monomial av standardform inte har en numerisk faktor och föregås av ett minustecken, antas det att koefficienten för monomialen är lika med -1:
-x 3 = -1 · x 3
Reducera en monomial till standardform
För att få en monomial till standardform måste du:
- Multiplicera numeriska faktorer om det finns flera av dem. Höj en numerisk faktor till en potens om den har en exponent. Sätt den numeriska faktorn först.
- Multiplicera alla samma variabler så att varje variabel endast visas en gång i monomialen.
- Ordna variablerna efter den numeriska faktorn i alfabetisk ordning.
Exempel. Presentera monomialen i standardform:
a) 3 yx 2 (-2) y 5 x; b) 6 före Kristus· 0,5 ab 3
Lösning:
a) 3 yx 2 (-2) y 5 x= 3 (-2) x 2 xyy 5 = -6x 3 y 6
b) 6 före Kristus· 0,5 ab 3 = 6 0,5 abb 3 c = 3ab 4 c
Kraften hos en monomial
Kraften hos en monomialär summan av exponenterna för alla bokstäver som ingår i den.
Om ett monomial är ett tal, det vill säga att det inte innehåller variabler, anses dess grad vara lika med noll. Till exempel:
5, -7, 21 är monomer av noll grad.
Därför, för att hitta graden av en monomial, måste du bestämma exponenten för var och en av bokstäverna som ingår i den och lägga till dessa exponenter. Om exponenten för en bokstav inte anges betyder det att den är lika med en.
Exempel:
Så hur mår du x exponenten är inte specificerad, vilket betyder att den är lika med 1. Monomialen innehåller inga andra variabler, vilket betyder att dess grad är lika med 1.
En monomial innehåller bara en variabel till andra potensen, vilket betyder att graden av denna monomial är 2.
3) ab 3 c 2 d
Index aär lika med 1, exponent b- 3, indikator c- 2, indikator d- 1. Graden av denna monomial är lika med summan av dessa indikatorer.
Lektion om ämnet: "Standardform av en monomial. Definition. Exempel"
Ytterligare material
Kära användare, glöm inte att lämna dina kommentarer, recensioner, önskemål. Allt material har kontrollerats av ett antivirusprogram.
Läromedel och simulatorer i Integral webbutik för årskurs 7
Elektronisk lärobok "Understandable Geometry" för årskurs 7-9
Multimedialärobok "Geometri på 10 minuter" för årskurs 7-9
Monomial. Definition
Monomialär ett matematiskt uttryck som är produkten av en primfaktor och en eller flera variabler.Monomal inkluderar alla tal, variabler, deras potenser med en naturlig exponent:
42; 3; 0; 62; 23; b3; yxa 4; 4x3; 5a2; 12xyz 3 .
Ganska ofta är det svårt att avgöra om ett givet matematiskt uttryck hänvisar till en monomial eller inte. Till exempel $\frac(4a^3)(5)$. Är detta en monomial eller inte? För att svara på denna fråga behöver vi förenkla uttrycket, dvs. närvarande i formen: $\frac(4)(5)*a^3$.
Vi kan med säkerhet säga att detta uttryck är ett monomial.
Standardform av monomial
När du utför beräkningar är det lämpligt att reducera monomialen till standardform. Detta är den mest kortfattade och begripliga inspelningen av en monomial.Förfarandet för att reducera en monomial till standardform är som följer:
1. Multiplicera koefficienterna för de monomiala (eller numeriska faktorerna) och placera det resulterande resultatet på första plats.
2. Välj alla potenser med samma bokstavsbas och multiplicera dem.
3. Upprepa punkt 2 för alla variabler.
Exempel.
I. Reducera den givna monomialen $3x^2zy^3*5y^2z^4$ till standardform.
Lösning.
1. Multiplicera koefficienterna för monomialen $15x^2y^3z * y^2z^4$.
2. Nu presenterar vi liknande termer $15x^2y^5z^5$.
II. Reducera den givna monomialen $5a^2b^3 * \frac(2)(7)a^3b^2c$ till standardform.
Lösning.
1. Multiplicera koefficienterna för den monomiala $\frac(10)(7)a^2b^3*a^3b^2c$.
2. Nu presenterar vi liknande termer $\frac(10)(7)a^5b^5c$.
1. Positiv heltalskoefficient. Låt oss ha en monomial +5a, eftersom det positiva talet +5 anses sammanfalla med det aritmetiska talet 5, då
5a = a ∙ 5 = a + a + a + a + a.
Även +7xy² = xy² ∙ 7 = xy² + xy² + xy² + xy² + xy² + xy² + xy²; +3a³ = a³ ∙ 3 = a³ + a³ + a³; +2abc = abc ∙ 2 = abc + abc och så vidare.
Baserat på dessa exempel kan vi fastställa att den positiva heltalskoefficienten visar hur många gånger bokstavsfaktorn (eller: produkten av bokstavsfaktorer) av en monomial upprepas av addenden.
Du bör vänja dig vid detta så till den grad att du direkt i din fantasi föreställer dig att t.ex. i ett polynom
3a + 4a² + 5a³
Det handlar om att först upprepas a² 3 gånger som term, sedan upprepas a³ 4 gånger som term och sedan upprepas a 5 gånger som term.
Dessutom: 2a + 3b + c = a + a + b + b + b + c
x³ + 2xy² + 3y³ = x³ + xy² + xy² + y³ + y³ + y³, etc.
2. Positiv bråkkoefficient. Låt oss ha en monomial +a. Eftersom det positiva talet + sammanfaller med det aritmetiska talet, så är +a = a ∙, vilket betyder: vi måste ta tre fjärdedelar av talet a, d.v.s.
Därför: den positiva bråk-koefficienten visar hur många gånger och vilken del av bokstavsfaktorn för monomialen som upprepas av tillägget.
Polynom 
bör lätt representeras i formen:
etc.
3. Negativ koefficient. Genom att känna till multiplikationen av relativa tal kan vi enkelt fastställa att till exempel (+5) ∙ (–3) = (–5) ∙ (+3) eller (–5) ∙ (–3) = (+5) ∙ (+ 3) eller i allmänhet a ∙ (–3) = (–a) ∙ (+3); även a ∙ (–) = (–a) ∙ (+), etc.
Därför, om vi tar en monomial med en negativ koefficient, till exempel –3a, då
–3a = a ∙ (–3) = (–a) ∙ (+3) = (–a) ∙ 3 = – a – a – a (–a tas som term 3 gånger).
Från dessa exempel ser vi att den negativa koefficienten visar hur många gånger bokstavsdelen av ett monomial, eller dess bestämda bråk, taget med ett minustecken, upprepas av termen.
