Tre ekvationer med tre okända

64. Tre ekvationer med tre okända. Låt nu vi tillsammans lösa tre ekvationer med tre okända:

3x + 2y – 5z = 8
x + 3y – 2z = 9
4x + 5y – 6z = 26.

Genom att komma ihåg allt tidigare har vi redan rätt att tänka i förväg att här kan godtyckliga värden inte ges till någon av de okända och att här kommer vi att hitta en unik lösning (ett nummer för varje okänt).

Samtidigt har vi redan skissat en väg för hur vi ska uppnå detta. I föregående stycke lärde vi oss från två ekvationer med tre okända för att bestämma två okända till den tredje. Från våra tre ekvationer, låt oss välja de två som verkar enklast för oss, till exempel 1:a och 2:a:

3x + 2y – 5z = 8
x + 3y – 2z = 9

och utifrån dem definierar vi x och y i termer av z

Låt oss nu ersätta de erhållna uttrycken för x – a och för y – a i den tredje ekvationen, och vi får:

(4(6 + 11z)) / 7 + (5(19 + z)) / 7 – 6z = 26

det vill säga vi fick en ekvation med ett okänd z, som vi kan lösa. Låt oss först befria det från bråk, för vilket vi multiplicerar båda delarna med 7.

4(6 + 11z) + 5(19+z) – 42z = 182.

Låt oss öppna parenteserna

24 + 44z + 95 + 5z – 42z = 182.

Låt oss flytta de kända termerna till höger och göra en reduktion av liknande termer:

7z = 63, varav z = 9.

Nu från formlerna (1) och (2) får vi:

x = (6 + 11 9) / 7 = 15 och y = (19 + 9) / 7 = 4.

Ett annat exempel:

2x + 3y = 11
5y + 2z = 3
4z + 3x = 66

Från de två första ekvationerna bestämmer vi 2 okända till den tredje: vi ser att vi kan bestämma x från y från den första ekvationen och z från y från den andra:

x = (11 – 3y) / 2 och z = (3 – 5y) / 2.

Låt oss ersätta de resulterande uttrycken i den tredje ekvationen i stället för z och x:

(4(3 – 5y)) / 2 + (3(11 – 3y)) / 2 = 66.

Härifrån får vi:

4(3 – 5y) + 3(11 – 3y) = 132

12 – 20 år + 33 – 9 år = 132

x = (11 – 3 (–3)) / 2 = 10
z = (3 – 5 · (–3)) / 2 = 9.

I dessa två exempel höll vi oss till följande plan; Vi väljer från dessa tre ekvationer vilka två som helst som är mer bekväma, och från dem bestämmer vi två okända till den tredje - vi ersätter de resulterande uttrycken i stället för dessa okända i den tredje ekvationen.

Andra planer är också möjliga. Låt oss förklara dem med följande exempel:

1. 3x – 4y + 3z = 19
4x – 6y + z = 22
7x – 18y = 33.

Vi ser att den tredje ekvationen bara innehåller 2 okända, x och y. Därför ska vi försöka få fram från de två första ekvationerna med tre okända en ny ekvation med två okända, nämligen även med x och y, - sedan får vi två ekvationer med två okända som vi kan lösa. För detta ändamål kommer vi att utesluta det okända z från de två första ekvationerna genom att utjämna koefficienterna, för vilka vi lämnar den 1:a ekvationen oförändrad, och multiplicerar båda delarna av den andra med –3. Vi får:

3x – 4y + 3z = 19
–12x + 18y – 3z = –66.

Om vi adderar dessa ekvationer med delar får vi:

–9x + 14y = –47

9x – 14y = 47.

Låt oss lägga till ytterligare en tredjedel av dessa ekvationer och lösa dem tillsammans med metoden att utjämna koefficienterna:

Att ersätta detta x – ett värde i ekvationen

9x – 14y = 47,

54 – 14 år = 47,

14y = 7 och y = ½

Ersätter de erhållna värdena för x och y med den enklaste av dessa ekvationer, nämligen ekvationen

4x – 6y + z = 22,

24 – 3 + z = 22,

2. 3x + 5y – 9z = 29
5x + 2y – 6z = 17
4x – 10y + 3z = 17

Låt oss skissera nästa plan: låt oss först välja 2 av dessa tre ekvationer och från dem, genom att utjämna koefficienterna, får vi en ekvation med två okända; sedan väljer vi det andra ekvationsparet från data och från dem får vi på samma sätt den andra ekvationen med samma två okända. Om man tillämpar dessa ekvationer kommer det att vara bekvämt att utföra denna plan i följande ordning: 1) ta de första och andra ekvationerna och från dem, eliminera metoden för att utjämna koefficienterna y, får vi en ekvation med x och z; 2) ta 1:a och 3:e ekvationerna och exkludera även y från dem och få den andra ekvationen med okända x och z; 3) lös de resulterande 2 ekvationerna med okända x och z också med metoden för ekvation av koefficienter.

–6 – 3z = 15 eller 3z = –21 och z = –7.

Låt oss ersätta värdena som erhållits för x och z i ekvationen

5x + 2y – 6z = 17.

–15 + 2år + 42 = 17

2y = –10 och y = –5.

3. 4x – 2y + z = 4
5x + 3y – z = 11
3x + 7y – 2z = 7

Låt oss göra följande plan: 1) från den första ekvationen bestämmer vi z i termer av x och y; 2) vi ersätter det resulterande uttrycket i stället för z i 2:a och 3:e ekvationerna, och vi får två ekvationer med två okända, nämligen med x och y; 3) lös de två resulterande ekvationerna.

1) z = 4 – 3x + 2y,

2) 5x + 3y – (4 – 3x + 2y) = 11
3x + 7y – 2(4 – 3x + 2y) = 7

Låt oss förenkla var och en av dessa ekvationer:

1:a: 5x + 3y – 4 + 3x – 2y = 11 eller 8x + y = 15.

2:a: 3x + 7y – 8 + 6x – 4y = 7 eller 9x + 3y = 15 eller 3x + y = 5.

3) Subtrahera med delar från den första ekvationen den andra:

8x + y = 15
3x + y = 5
–-----------
5x = 10, därav x = 2.

4) Ersätt värdet som erhållits för x i ekvationen

Låt oss ersätta dessa värden x – a och y – a i uttrycket för z:

z = 4 – 3x + 2y.

Låt oss skapa en ekvation för ett plan som går genom de givna punkterna M 1 och M 2 och en godtycklig punkt M (x, y, z) parallell med vektorn.

Vektorer och vektorn måste vara i samma plan, dvs.

() = 0

Planekvation:

Ekvation av ett plan med en punkt och två vektorer,

i linje med planet.

Låt två vektorer och , kolinjära plan ges. Sedan för en godtycklig punkt M(x, y, z) som hör till planet måste vektorerna vara i samma plan.

Planekvation:

Ekvation av ett plan med punkt och normalvektor.

Sats. Om en punkt M 0 (x 0, y 0, z 0) ges i rymden, så har ekvationen för planet som passerar genom punkten M 0 vinkelrätt mot normalvektorn (A, B, C) formen:

Bevis. För en godtycklig punkt M(x, y, z) som hör till planet, komponerar vi en vektor. Därför att vektor är normalvektorn, då är den vinkelrät mot planet, och därför vinkelrät mot vektorn. Sedan den skalära produkten

Således får vi planets ekvation

Teoremet har bevisats.

Ekvation för ett plan i segment.

Om i den allmänna ekvationen Ax + Bi + Cz + D = 0 dividerar vi båda sidor med (-D)

byter ut , får vi ekvationen för planet i segment:

Siffrorna a, b, c är skärningspunkterna för planet med x-, y- och z-axlarna.

Ekvation för ett plan i vektorform.

- radievektor för den aktuella punkten M(x, y, z),

En enhetsvektor som har en vinkelrät riktning som faller på ett plan från origo.

a, b och g är de vinklar som denna vektor bildar med x-, y- och z-axlarna.

p är längden på denna vinkelrät.

I koordinater ser denna ekvation ut så här:

xcosa + ycosb + zcosg - p = 0.

Avstånd från en punkt till ett plan.

Avståndet från en godtycklig punkt M 0 (x 0, y 0, z 0) till planet Ax+By+Cz+D=0 är:

Exempel. Hitta ekvationen för planet, med vetskap om att punkten P(4; -3; 12) är basen för den vinkelräta som tappas från origo till detta plan.

Så A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, vi använder formeln:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + C(z – z 0) = 0.

Exempel. Hitta ekvationen för ett plan som går genom två punkter P(2; 0; -1) och

Q(1; -1; 3) vinkelrätt mot planet 3x + 2y – z + 5 = 0.

Normalvektorn till planet 3x + 2y – z + 5 = 0 är parallell med det önskade planet.

Vi får:

Exempel. Hitta ekvationen för planet som går genom punkterna A(2, -1, 4) och

B(3, 2, -1) vinkelrätt mot planet X + på + 2z – 3 = 0.

Den nödvändiga ekvationen för planet har formen: A x+B y+C z+ D = 0, normalvektor till detta plan (A, B, C). Vektorn (1, 3, -5) tillhör planet. Planet som ges till oss, vinkelrätt mot det önskade, har en normalvektor (1, 1, 2). Därför att Punkterna A och B hör till båda planen, och planen är alltså inbördes vinkelräta

Så normalvektorn är (11, -7, -2). Därför att punkt A tillhör det önskade planet, då måste dess koordinater uppfylla ekvationen för detta plan, dvs. 11x2 + 7x1 - 2x4 + D = 0; D = -21.

Totalt får vi planets ekvation: 11 x - 7y – 2z – 21 = 0.

Exempel. Hitta ekvationen för planet, med vetskap om att punkten P(4, -3, 12) är basen för den vinkelräta som tappas från origo till detta plan.

Hitta koordinaterna för normalvektorn = (4, -3, 12). Den nödvändiga ekvationen för planet har formen: 4 x – 3y + 12z+ D = 0. För att hitta koefficienten D, ersätter vi koordinaterna för punkt P i ekvationen:

16 + 9 + 144 + D = 0

Totalt får vi den nödvändiga ekvationen: 4 x – 3y + 12z – 169 = 0

Exempel. Angivna är koordinaterna för pyramidens hörn A 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1),

1) Hitta längden på kanten A 1 A 2.

2) Hitta vinkeln mellan kanterna A 1 A 2 och A 1 A 4.

3) Hitta vinkeln mellan kanten A 1 A 4 och ytan A 1 A 2 A 3.

Först hittar vi normalvektorn till ansiktet A 1 A 2 A 3 som vektorprodukten av vektorerna och .

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

Låt oss hitta vinkeln mellan normalvektorn och vektorn.

Den önskade vinkeln g mellan vektorn och planet kommer att vara lika med g = 90 0 - b.

4) Hitta arean av ansikte A 1 A 2 A 3.

5) Hitta volymen på pyramiden.

6) Hitta ekvationen för planet A 1 A 2 A 3.

Låt oss använda formeln för ekvationen för ett plan som passerar genom tre punkter.

2x + 2y + 2z – 8 = 0

x + y + z – 4 = 0;

När du använder datorversionen " Högre matematikkurs” du kan köra ett program som löser exemplet ovan för alla koordinater för pyramidens hörn.

För att starta programmet, dubbelklicka på ikonen:

I programfönstret som öppnas anger du koordinaterna för pyramidens hörn och trycker på Enter. På så sätt kan alla beslutspunkter erhållas en efter en.

Obs: För att köra programmet måste Maple-programmet (Ó Waterloo Maple Inc.) av valfri version, som börjar med MapleV Release 4, vara installerat på din dator.

Analytisk geometri.

Ekvation för en linje på ett plan.

Som bekant bestäms varje punkt på planet av två koordinater i något koordinatsystem. Koordinatsystemen kan vara olika beroende på val av underlag och ursprung.

Definition. Linjeekvation kallas förhållandet y = f(x) mellan koordinaterna för de punkter som utgör denna linje.

Observera att ekvationen för en linje kan uttryckas parametriskt, det vill säga att varje koordinat för varje punkt uttrycks genom någon oberoende parameter t.

Ett typiskt exempel är en rörlig punkts bana. I det här fallet spelas parameterns roll av tiden.

Ekvation för en rät linje på ett plan.

Definition. Vilken rät linje som helst på planet kan specificeras med en första ordningens ekvation

Axe + Wu + C = 0,

Dessutom är konstanterna A och B inte lika med noll samtidigt, dvs. A 2 + B 2 ¹ 0. Denna första ordningens ekvation kallas generell ekvation för en rät linje.

Beroende på värdena konstant A, B och C följande specialfall är möjliga:

C = 0, A ¹ 0, B ¹ 0 – den räta linjen går genom origo

A = 0, B ¹ 0, C ¹ 0 (By + C = 0) - rät linje parallell med Ox-axeln

B = 0, A ¹ 0, C ¹ 0 (Ax + C = 0) – rät linje parallell med Oy-axeln

B = C = 0, A ¹ 0 – den räta linjen sammanfaller med Oy-axeln

A = C = 0, B ¹ 0 – den räta linjen sammanfaller med Ox-axeln

Ekvationen för en rät linje kan representeras i i olika former beroende på alla givna initiala förutsättningar.

Ekvation för en rät linje från en punkt och en normalvektor.

Definition. I det kartesiska rektangulära koordinatsystemet är en vektor med komponenter (A, B) vinkelrät mot den räta linjen som ges av ekvationen Ax + By + C = 0.

Exempel. Hitta ekvationen för linjen som går genom punkten A(1, 2) vinkelrät mot vektorn (3, -1).

Med A = 3 och B = -1, låt oss komponera ekvationen för den räta linjen: 3x – y + C = 0. För att hitta koefficienten C, ersätter vi koordinaterna för den givna punkten A i det resulterande uttrycket.

Vi får: 3 – 2 + C = 0, därför C = -1.

Totalt: den obligatoriska ekvationen: 3x – y – 1 = 0.

Ekvation för en linje som går genom två punkter.

Låt två punkter M 1 (x 1, y 1, z 1) och M 2 (x 2, y 2, z 2) ges i rymden, då är ekvationen för linjen som går genom dessa punkter:

Om någon av nämnarna är noll, ska motsvarande täljare sättas lika med noll.

På planet är ekvationen för den räta linjen skriven ovan förenklad:

om x 1 ¹ x 2 och x = x 1, om x 1 = x 2.

Bråket = k kallas backe hetero.

Exempel. Hitta ekvationen för linjen som går genom punkterna A(1, 2) och B(3, 4).

Genom att tillämpa formeln som skrivits ovan får vi:

Ekvation för en rät linje med hjälp av en punkt och lutning.

Om den allmänna ekvationen för den räta linjen Ax + By + C = 0 reduceras till formen:

och beteckna , då kallas den resulterande ekvationen ekvation för en rät linje med lutning k.

Ekvation för en rät linje från en punkt och en riktningsvektor.

I analogi med punkten med tanke på ekvationen för en rät linje genom en normalvektor, kan du ange definitionen av en rät linje genom en punkt och den räta linjens riktningsvektor.

Definition. Varje vektor som inte är noll (a 1 , a 2) vars komponenter uppfyller villkoret Aa 1 + Ba 2 = 0 kallas en riktningsvektor för linjen

Axe + Wu + C = 0.

Exempel. Hitta ekvationen för en rät linje med en riktningsvektor (1, -1) och passerar genom punkten A(1, 2).

Vi kommer att leta efter ekvationen för den önskade linjen i formen: Ax + By + C = 0. I enlighet med definitionen måste koefficienterna uppfylla villkoren:

1×A + (-1)×B = 0, dvs. A = B.

Då har den räta linjens ekvation formen: Ax + Ay + C = 0, eller x + y + C/A = 0.

vid x = 1, y = 2 får vi C/A = -3, dvs. obligatorisk ekvation:

Ekvation för en rät linje i segment.

Om i den allmänna ekvationen för den räta linjen Ах + Ву + С = 0 С ¹ 0, då, dividerat med –С, får vi: eller

Geometrisk betydelse koefficienter är att koefficienten Aär koordinaten för skärningspunkten för linjen med Ox-axeln, och b– koordinaten för skärningspunkten mellan den räta linjen och Oy-axeln.

Exempel. Den allmänna ekvationen för linjen x – y + 1 = 0 ges. Hitta ekvationen för denna linje i segment.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Normal ekvation för en linje.

Om båda sidor av ekvationen Ax + By + C = 0 divideras med talet som kallas normaliserande faktor, då får vi

Xcosj + ysinj - p = 0 -

normal ekvation för en linje.

Tecknet ± för den normaliserande faktorn måste väljas så att m×С< 0.

p är längden på den vinkelräta som tappas från origo till den räta linjen, och j är vinkeln som bildas av denna vinkelrät med Ox-axelns positiva riktning.

Exempel. Givet den allmänna ekvationen för den räta linjen 12x – 5y – 65 = 0. Du måste skriva Olika typer ekvationer för denna linje.

ekvationen för denna linje i segment: