Definition. Vektorprodukten av vektor a och vektor b är en vektor betecknad med symbolen [α, b] (eller l x b), så att 1) längden av vektorn [a, b] är lika med (p, där y är vinkeln mellan vektorerna a och b (fig. 31), 2) vektorn [a, b) är vinkelrät mot vektorerna a och b, dvs. vinkelrätt mot planet för dessa vektorer; 3) vektorn [a, b] är riktad på ett sådant sätt att från slutet av denna vektor ses det kortaste varvet från a till b ske moturs (fig. 32). Ris. 32 Fig.31 Med andra ord bildar vektorerna a, b och [a, b) en högertrippel av vektorer, dvs. ordnade som tummen, pekfingret och långfingret höger hand . Om vektorerna a och b är kolinjära kommer vi att anta att [a, b] = 0. Per definition är längden på vektorprodukten numeriskt lika med arean Sa av ett parallellogram (fig. 33), konstruerat på den multiplicerade vektorerna a och b som sidor: 6.1 . Egenskaper för en vektorprodukt 1. En vektorprodukt är lika med en nollvektor om och endast om minst en av de multiplicerade vektorerna är noll eller när dessa vektorer är kolinjära (om vektorerna a och b är kolinjära, då är vinkeln mellan dem antingen 0 eller 7r). Detta kan lätt erhållas från det faktum att om vi anser att nollvektorn är kolinär med vilken vektor som helst, så kan villkoret för kollineariteten för vektorerna a och b uttryckas på följande sätt: 2. Vektorprodukten är antikommutativ, dvs. . Faktum är att vektorerna (a, b) har samma längd och är kolinjära. Riktningarna för dessa vektorer är motsatta, eftersom från slutet av vektorn [a, b] kommer den kortaste svängen från a till b att ses ske moturs, och från slutet av vektorn [b, a] - medurs (fig. 34). 3. Vektorprodukten har en fördelningsegenskap i förhållande till addition 4. Den numeriska faktorn A kan tas ur vektorproduktens tecken 6.2. Vektorprodukt av vektorer specificerade av koordinater Låt vektorerna a och b specificeras av deras koordinater i basen. Med hjälp av fördelningsegenskapen för vektorprodukten hittar vi vektorprodukten av vektorer som ges av koordinater. Blandat arbete. Låt oss skriva ner vektorprodukterna av koordinatenhetsvektorer (Fig. 35): Därför, för vektorprodukten av vektorerna a och b, får vi från formel (3) följande uttryck Formel (4) kan skrivas i en symbolisk, lätt att komma ihåg form om vi använder 3:e ordningens determinant: Om vi expanderar denna determinant över elementen i den första raden får vi (4). Exempel. 1. Hitta arean av ett parallellogram konstruerat på vektorer. Erforderlig area Därför finner vi = varifrån 2. Hitta arean av triangeln (fig. 36). Det är tydligt att arean b"d för triangeln OAO är lika med halva arean S av parallellogrammet O AC B. Genom att beräkna vektorprodukten (a, b| av vektorerna a = OA och b = ob, får vi alltså Anmärkning. Vektorprodukten är inte associativ, dvs likheten ((a, b),c) = [a, |b,c)) är inte sann i det allmänna fallet. Till exempel, för a = ss j har vi § 7. Blandad produkt av vektorer Låt oss ha tre vektorer a, b och c. Multiplicera vektorerna a och 1> vektoriellt. Som ett resultat får vi vektorn [a, 1>]. Multiplicera den skalärt med vektorn c: ( k b), c). Talet ([a, b], e) kallas den blandade produkten av vektorerna a, b. c och betecknas med symbolen (a, 1), e). 7.1. Geometrisk betydelse för den blandade produkten Låt oss avsätta vektorerna a, b och c från den isolerade punkten O (Fig. 37). Om alla fyra punkterna O, A, B, C ligger i samma plan (vektorerna a, b och c kallas i detta fall i samma plan), så är den blandade produkten ([a, b], c) = 0. Detta följer av det faktum att vektorn [a, b| är vinkelrät mot det plan som vektorerna a och 1 ligger i, och därför mot vektor c. / Om punkterna O, A, B, C inte ligger i samma plan (vektorerna a, b och c är icke-koplanära) kommer vi att konstruera en parallellepiped på kanterna OA, OB och OS (Fig. 38 a). Enligt definitionen av en vektorprodukt har vi (a,b) = So c, där So är arean av parallellogrammet OADB, och c är enhetsvektorn vinkelrät mot vektorerna a och b och så att trippel a , b, c är högerhänt, dvs. vektorerna a, b och c är placerade som tummen, pekfingret och långfingret på höger hand (fig. 38 b). Genom att multiplicera båda sidor av den sista likheten till höger skalärt med vektorn c, erhåller vi vektorprodukten av vektorer som ges av koordinater. Blandat arbete. Antalet pc c är lika med höjden h för den konstruerade parallellepipeden, taget med "+"-tecknet om vinkeln mellan vektorerna c och c är spetsig (trippel a, b, c - höger), och med "-" tecken om vinkeln är trubbig (trippel a, b, c - vänster), så att den blandade produkten av vektorerna a, b och c är lika med volymen V av parallellepipeden byggd på dessa vektorer som på kanter, om trippel a, b, c är höger och -V, om trippel a , b, c - vänster. Baserad geometrisk betydelse blandad produkt kan vi dra slutsatsen att genom att multiplicera samma vektorer a, b och c i valfri annan ordning kommer vi alltid att få antingen +7 eller -K. Tillverkarens märke Fig. 38 referens kommer bara att bero på vilken typ av trippel de multiplicerade vektorerna bildar - höger eller vänster. Om vektorerna a, b, c bildar en högerhänt trippel så kommer även trippelna b, c, a och c, a, b att vara högerhänta. Samtidigt trippels alla tre b, a, c; a, c, b och c, b, a - vänster. Således, (a,b, c) = (b,c, a) = (c,a,b) = -(b,a,c) = -(a,c,b) = -(c,b, A). Vi betonar återigen att den blandade produkten av vektorer är lika med noll endast om de multiplicerade vektorerna a, b, c är koplanära: (a, b, c är koplanära) 7.2. Blandprodukt i koordinater Låt vektorerna a, b, c ges av deras koordinater i basen i, j, k: a = (x\,y\,z]), b= (x2,y2>z2), c = (x3, uz, 23). Låt oss hitta ett uttryck för deras blandade produkt (a, b, c). Vi har en blandad produkt av vektorer specificerade av deras koordinater i basen i, J, k, lika med tredje ordningens determinant, vars linjer är sammansatta av koordinaterna för den första, andra och tredje av de multiplicerade vektorerna. Det nödvändiga och tillräckliga villkoret för samplanariteten för vektorerna a y\, Z|), b = (хъ У2.22), с = (жз, з, 23) kommer att skrivas i följande form У| z, ag2y2-2=0. Uz Exempel. Kontrollera om vektorerna „ = (7,4,6), b = (2, 1,1), c = (19, II, 17) är i samma plan. Vektorerna som övervägs kommer att vara koplanära eller icke-samplanära, beroende på om determinanten är lika med noll eller inte. Om vi expanderar den till elementen i den första raden får vi D = 7-6-4-15 + 6-3 = 0^ - vektorerna n, b, c är i samma plan. 7.3. Dubbelkorsprodukt Dubbelkorsprodukten [a, [b, c]] är en vektor vinkelrät mot vektorerna a och [b, c]. Därför ligger den i planet för vektorerna b och c och kan expanderas till dessa vektorer. Det kan visas att formeln [a, [!>, c]] = b(a, e) - c(a, b) är giltig. Övningar 1. Tre vektorer AB = c, Ж? = o och CA = b fungerar som triangelns sidor. Uttryck i termer av a, b och c vektorerna som sammanfaller med medianerna AM, DN, CP i triangeln. 2. Vilket villkor måste vektorerna p och q vara sammankopplade så att vektorn p + q delar vinkeln mellan dem på mitten? Det antas att alla tre vektorerna är relaterade till ett gemensamt ursprung. 3. Beräkna längden på diagonalerna i ett parallellogram som är konstruerat på vektorerna a = 5p + 2q och b = p - 3q, om det är känt att |p| = 2v/2, |q| = 3H-(p7ci) = f. 4. Beteckna med a och b de sidor av romben som sträcker sig från den gemensamma vertexen, bevisa att diagonalerna på romben är vinkelräta mot varandra. 5. Beräkna skalärprodukten av vektorerna a = 4i + 7j + 3k och b = 31 - 5j + k. 6. Hitta enhetsvektorn a0 parallell med vektorn a = (6, 7, -6). 7. Hitta projektionen av vektorn a = l+ j- kHa vektor b = 21 - j - 3k. 8. Hitta cosinus för vinkeln mellan vektorerna IS “w, om A(-4,0,4), B(-1,6,7), C(1,10,9). 9. Hitta enhetsvektorn р° samtidigt vinkelrätt mot vektorn a = (3, 6, 8) och Ox-axeln. 10. Beräkna sinus för vinkeln mellan diagonalerna i parallellogrammet konstruerat på vektorerna a = 2i+J-k, b=i-3j + k som på sidorna. Beräkna höjden h för en parallellepiped byggd på vektorerna a = 31 + 2j - 5k, b = i- j + 4knc = i-3j + k, om ett parallellogram byggt på vektorerna a och I tas som bas. Svar
Definition. Vektorprodukten av vektor a (multiplikand) och en icke-kollinjär vektor (multiplikand) är den tredje vektorn c (produkt), som är konstruerad enligt följande:
1) dess modul är numeriskt lika med arean av parallellogrammet i fig. 155), byggd på vektorer, d. v. s. den är lika med riktningen vinkelrät mot planet för nämnda parallellogram;
3) i detta fall väljs vektorns c riktning (från två möjliga) så att vektorerna c bildar ett högerhänt system (§ 110).
Beteckning: eller
Tillägg till definitionen. Om vektorerna är kolinjära, då med tanke på att figuren (villkorligt) är ett parallellogram, är det naturligt att tilldela nollarea. Därför anses vektorprodukten av kolinjära vektorer vara lika med nollvektorn.
Eftersom nollvektorn kan tilldelas vilken riktning som helst, motsäger detta avtal inte punkterna 2 och 3 i definitionen.
Anmärkning 1. I termen ”vektorprodukt” anger det första ordet att resultatet av åtgärden är en vektor (till skillnad från en skalär produkt, jfr § 104, anmärkning 1).
Exempel 1. Hitta vektorprodukten där är huvudvektorerna för det högra koordinatsystemet (Fig. 156).
1. Eftersom längderna på huvudvektorerna är lika med en skalenhet, är arean av parallellogrammet (kvadrat) numeriskt lika med en. Detta betyder att modulen för vektorprodukten är lika med ett.
2. Eftersom vinkelrät mot planet är en axel, är den önskade vektorprodukten en vektor kolinjär med vektorn k; och eftersom båda av dem har modul 1, är den önskade vektorprodukten lika med antingen k eller -k.
3. Av dessa två möjliga vektorer måste den första väljas, eftersom vektorerna k bildar ett högerhänt system (och vektorerna ett vänsterhänt).
Exempel 2. Hitta korsprodukten
Lösning. Som i exempel 1 drar vi slutsatsen att vektorn är lika med antingen k eller -k. Men nu måste vi välja -k, eftersom vektorerna bildar ett högerhänt system (och vektorer bildar ett vänsterhänt). Så,
Exempel 3. Vektorer har längder lika med 80 respektive 50 cm och bildar en vinkel på 30°. Ta mätaren som längdenhet och hitta längden på vektorprodukten a
Lösning. Arean av ett parallellogram byggt på vektorer är lika med Längden på den önskade vektorprodukten är lika med
Exempel 4. Hitta längden på vektorprodukten av samma vektorer, ta centimeter som längdenhet.
Lösning. Eftersom arean av ett parallellogram konstruerat på vektorer är lika, är längden på vektorprodukten lika med 2000 cm, dvs.
Från en jämförelse av exempel 3 och 4 är det tydligt att vektorns längd inte bara beror på faktorernas längder utan också på valet av längdenhet.
Fysisk betydelse av en vektorprodukt. Av de många fysiska kvantiteter, representerad av vektorprodukten, betraktar vi endast kraftmomentet.
Låt A vara punkten där kraften appliceras. Kraftmomentet i förhållande till punkt O kallas en vektorprodukt. Eftersom modulen för denna vektorprodukt är numeriskt lika med arean av parallellogrammet (fig. 157), då momentets modul är lika med produkten av basen och höjden, d.v.s. kraften multiplicerad med avståndet från punkt O till den räta linje längs vilken kraften verkar.
Inom mekaniken är det bevisat att för jämvikt fast Det är nödvändigt att inte bara summan av vektorer som representerar krafterna som appliceras på kroppen är lika med noll, utan också summan av kraftmomenten. I det fall där alla krafter är parallella med ett plan kan tillägget av vektorer som representerar moment ersättas med addition och subtraktion av deras storlek. Men med godtyckliga kraftriktningar är en sådan ersättning omöjlig. I enlighet med detta definieras vektorprodukten exakt som en vektor och inte som ett tal.
