I planimetri är planet en av huvudfigurerna, därför är det mycket viktigt att ha en tydlig förståelse av det. Den här artikeln skapades för att täcka detta ämne. Först ges konceptet för ett plan, dess grafiska representation och beteckningarna för plan visas. Därefter betraktas planet tillsammans med en punkt, en rät linje eller ett annat plan, och alternativ uppstår från deras relativa positioner i rymden. I artikelns andra och tredje och fjärde stycken analyseras alla alternativ för den relativa positionen för två plan, en rät linje och ett plan, samt punkter och plan, de grundläggande axiomen och grafiska illustrationerna ges. Sammanfattningsvis ges de viktigaste metoderna för att definiera ett plan i rymden.

Sidnavigering.

Plan - grundläggande begrepp, symboler och bilder.

Det enklaste och mest grundläggande geometriska former V tredimensionellt utrymmeär en punkt, en linje och ett plan. Vi har redan en idé om en punkt och en linje på ett plan. Om vi ​​placerar ett plan på vilket punkter och linjer är avbildade i tredimensionellt rum, så får vi punkter och linjer i rymden. Idén om ett plan i rymden gör att vi kan få till exempel ytan på ett bord eller en vägg. Men ett bord eller en vägg har ändliga dimensioner, och planet sträcker sig bortom dess gränser till oändlighet.

Punkter och linjer i rymden betecknas på samma sätt som på ett plan - med stora respektive små latinska bokstäver. Till exempel punkterna A och Q, raderna a och d. Om två punkter som ligger på en linje anges, kan linjen betecknas med två bokstäver som motsvarar dessa punkter. Till exempel går den räta linjen AB eller BA genom punkterna A och B. Plan betecknas vanligtvis med små grekiska bokstäver, till exempel plan, eller.

När man löser problem blir det nödvändigt att avbilda plan i en ritning. Ett plan avbildas vanligtvis som ett parallellogram eller ett godtyckligt enkelt slutet område.

Ett plan betraktas vanligtvis tillsammans med punkter, räta linjer eller andra plan, och olika alternativ för deras relativa positioner uppstår. Låt oss gå vidare till deras beskrivning.

Planets och punktens relativa position.

Låt oss börja med axiomet: det finns punkter i varje plan. Från den följer det första alternativet för den relativa positionen för planet och punkten - punkten kan tillhöra planet. Med andra ord kan ett plan passera genom en punkt. För att indikera att en punkt tillhör ett plan används symbolen "". Till exempel, om planet passerar genom punkt A, kan du kort skriva .

Det bör förstås att på ett givet plan i rymden finns det oändligt många punkter.

Följande axiom visar hur många punkter i rymden som måste markeras för att de ska definiera ett specifikt plan: genom tre punkter som inte ligger på samma linje passerar ett plan och bara en. Om tre punkter som ligger i ett plan är kända, kan planet betecknas med tre bokstäver som motsvarar dessa punkter. Till exempel, om ett plan passerar genom punkterna A, B och C, kan det betecknas ABC.

Låt oss formulera ett annat axiom, som ger den andra versionen av planets och punktens relativa position: det finns minst fyra punkter som inte ligger i samma plan. Så en punkt i rymden kanske inte tillhör planet. I själva verket, i kraft av det föregående axiomet, passerar ett plan genom tre punkter i rymden, och den fjärde punkten kan eller kanske inte ligger på detta plan. När du skriver kort, använd symbolen "", vilket motsvarar frasen "hör inte hemma."

Till exempel, om punkt A inte ligger i planet, använd den korta notationen.

Rak linje och plan i rymden.

För det första kan en rak linje ligga i ett plan. I detta fall ligger åtminstone två punkter av denna linje i planet. Detta fastställs av axiomet: om två punkter på en linje ligger i ett plan, så ligger alla punkter på denna linje i planet. För att kort anteckna tillhörigheten för en viss linje till ett givet plan, använd symbolen "". Till exempel betyder notationen att den räta linjen a ligger i planet.

För det andra kan en rät linje skära ett plan. I det här fallet har den räta linjen och planet en enda gemensam punkt, som kallas skärningspunkten mellan den räta linjen och planet. När jag skriver kort betecknar jag skärningspunkten med symbolen "". Till exempel betyder notationen att den räta linjen a skär planet i punkt M. När ett plan skär en viss rät linje uppstår konceptet med en vinkel mellan den räta linjen och planet.

Separat är det värt att fokusera på en rät linje som skär planet och är vinkelrät mot någon rak linje som ligger i detta plan. En sådan linje kallas vinkelrät mot planet. För att kort anteckna vinkelräthet, använd symbolen "". För en mer djupgående studie av materialet kan du hänvisa till artikelns vinkelräthet av en rät linje och ett plan.

Av särskild betydelse när man löser problem relaterade till planet är planets så kallade normalvektor. En normalvektor för ett plan är vilken vektor som helst som inte är noll som ligger på en linje vinkelrät mot detta plan.

För det tredje kan en rät linje vara parallell med planet, det vill säga den kanske inte har gemensamma punkter i sig. När du skriver samtidighet kort, använd symbolen "". Till exempel, om linje a är parallell med planet, då kan vi skriva . Vi rekommenderar att du studerar detta fall mer i detalj genom att hänvisa till artikeln parallellitet mellan en linje och ett plan.

Det ska sägas att en rak linje som ligger i ett plan delar detta plan i två halvplan. Den räta linjen kallas i detta fall halvplanens gräns. Alla två punkter i samma halvplan ligger på samma sida av en linje, och två punkter av olika halvplan ligger på motsatta sidor av gränslinjen.

Inbördes arrangemang av plan.

Två plan i rymden kan sammanfalla. I det här fallet har de minst tre punkter gemensamma.

Två plan i rymden kan skära varandra. Skärningen mellan två plan är en rät linje, som fastställs av axiomet: om två plan har en gemensam punkt, så har de en gemensam rät linje på vilken alla de gemensamma punkterna för dessa plan ligger.

I detta fall uppstår konceptet med en vinkel mellan skärande plan. Av särskilt intresse är fallet när vinkeln mellan planen är nittio grader. Sådana plan kallas vinkelräta. Vi pratade om dem i artikeln vinkelrätt plan.

Slutligen kan två plan i rymden vara parallella, det vill säga har inga gemensamma punkter. Vi rekommenderar att du läser artikeln parallellism av plan för att få en fullständig förståelse av detta alternativ för det relativa arrangemanget av plan.

Metoder för att definiera ett plan.

Nu kommer vi att lista de viktigaste sätten att definiera ett specifikt plan i rymden.

För det första kan ett plan definieras genom att fixera tre punkter i rymden som inte ligger på samma räta linje. Denna metod är baserad på axiomet: genom tre punkter som inte ligger på samma linje finns det ett enda plan.

Om ett plan är fixerat och specificerat i det tredimensionella rummet genom att indikera koordinaterna för dess tre olika punkter som inte ligger på samma räta linje, så kan vi skriva ekvationen för planet som går genom de tre givna punkterna.

De följande två metoderna för att definiera ett plan är en konsekvens av den föregående. De är baserade på följderna av axiomet om ett plan som passerar genom tre punkter:

• ett plan passerar genom en linje och en punkt som inte ligger på den, och endast en (se även artikelekvationen för ett plan som passerar genom en linje och en punkt);
• Det finns bara ett plan som går genom två skärande linjer (vi rekommenderar att du läser materialet i artikeln: ekvation av ett plan som går genom två skärande linjer).

Det fjärde sättet att definiera ett plan i rymden bygger på att definiera parallella linjer. Kom ihåg att två linjer i rymden kallas parallella om de ligger i samma plan och inte skär varandra. Genom att ange två parallella linjer i rymden kommer vi alltså att bestämma det enda plan i vilket dessa linjer ligger.

Om ett plan ges på det indikerade sättet i tredimensionellt utrymme relativt ett rektangulärt koordinatsystem, så kan vi skapa en ekvation för ett plan som går genom två parallella linjer.

jag vet gymnasium I geometrilektioner bevisas följande teorem: genom en fast punkt i rymden passerar ett enda plan vinkelrätt mot en given linje. Således kan vi definiera ett plan om vi anger punkten genom vilken det passerar och en linje vinkelrät mot den.

Om ett rektangulärt koordinatsystem är fixerat i tredimensionellt utrymme och ett plan specificeras på det indikerade sättet, så är det möjligt att konstruera en ekvation för ett plan som går genom en given punkt vinkelrät mot en given rät linje.

Istället för en linje vinkelrät mot planet kan du ange en av normalvektorerna för detta plan. I det här fallet går det att skriva

Def. Två plan i rymden kallas parallella om de inte skär varandra, annars skär de varandra.

Sats 1: Om två skärande linjer i ett plan är parallella med två linjer i ett annat plan, så är dessa plan parallella.

Bevis:

Låt och ges plan, a1 och a2 vara linjer i planet som skär varandra i punkt A, låt b1 och b2 vara linjer parallella med dem, respektive

plan. Låt oss anta att planen inte är parallella, dvs. skära längs någon rät linje c. Enligt satsen är linjerna a1 och a2, som parallella med linjerna b1 och b2, parallella med planet, och därför är de inte

skär den räta linjen c som ligger i detta plan. I planet går alltså två linjer (a1 och a2) genom punkt A, parallellt med linje c. Men detta är omöjligt enligt det parallella axiomet. Vi har kommit fram till en motsägelse i CTD.

Vinkelräta plan: Två skärande plan kallas vinkelräta om det tredje planet, vinkelrätt mot skärningslinjen för dessa plan, skär dem längs vinkelräta linjer.

Sats 2: Om ett plan passerar genom en linje vinkelrät mot ett annat plan, så är dessa plan vinkelräta.

Bevis:

Låt vara ett plan med en linje vinkelrät mot det, låt vara ett plan som går genom linje b, och låt c vara en rät linje längs vilken plan och skär varandra. Låt oss bevisa att planen och är vinkelräta. Låt oss rita en linje a i planet genom skärningspunkten mellan linje b och planet,

vinkelrät mot rät linje c. Låt oss rita genom raka linjer a och in i planet. Den är vinkelrät mot linjen c, eftersom linjen c är vinkelrät mot linjerna a och b. Eftersom linjerna a och b är vinkelräta, är planen vinkelräta. etc.

42. Normalplanekvationen och dess egenskaper

Normal (normaliserad) planekvation

i vektorform:

där är enhetsvektorn, är avståndet för P. från origo. Ekvation (2) kan erhållas från ekvation (1) genom att multiplicera med en normaliserande faktor

(tecken och är motsatta).

43. Ekvationer för en rät linje i rymden: Allmänna ekvationer, kanoniska och parametriska ekvationer.

Kanoniska ekvationer:

Låt oss härleda ekvationen för den räta linjen som går igenom denna punkt och parallell med denna riktningsvektor. Observera att en punkt ligger på denna linje om och endast om vektorerna är kolinjära. Detta betyder att koordinaterna för dessa vektorer är proportionella:

Dessa ekvationer kallas kanoniska. Observera att en eller två koordinater för riktningsvektorn kan vara lika med noll. Men vi uppfattar det som proportioner: vi förstår det som jämlikhet.

Allmänna ekvationer:

(A1x+B1y+C1z+D1=0

(A2x+B2y+C2z+D2=0

Där koefficienterna A1-C1 inte är proportionella mot A2-C2, vilket motsvarar att specificera det som en skärningslinje för plan

Parametrisk:

Genom att skjuta upp vektorer från en punkt för olika värden som är kolinjära till riktningsvektorn, kommer vi att erhålla i slutet av de uppskjutna vektorerna olika punkter på vår linje. Av jämställdheten följer:

En variabel storhet kallas en parameter. Eftersom det för någon punkt på linjen finns ett motsvarande parametervärde och eftersom olika värden på parametern motsvarar olika punkter på linjen, finns det en en-till-en-överensstämmelse mellan parametervärdena och punkter på linjen . När parametern går igenom alla reella tal från till, går motsvarande punkt genom hela linjen.

44. Begreppet linjärt rymd. Axiom. Exempel på linjära utrymmen

Ett exempel på ett linjärt utrymme är mängden av alla geometriska vektorer.

Linjär, eller vektorPlats ovanför fältet P- det här är en icke-tom uppsättning L, på vilka operationer läggs in

tillägg, det vill säga att varje par av element i en uppsättning är associerad med ett element i samma uppsättning, betecknat

multiplikation med en skalär (det vill säga fältelementet P), det vill säga alla element och alla element kommer att associeras med ett element från, designat.

I detta fall ställs följande villkor på verksamheten:

För alla ( tilläggets kommutativitet);

För alla ( tillägg associativitet);

det finns ett element så att för alla ( förekomsten av ett neutralt element med avseende på addition), särskilt L inte tom;

för alla finns det ett sådant element (existensen av det motsatta elementet).

(associativitet av multiplikation med en skalär);

(multiplikation med ett neutralt (genom multiplikation) fältelementPsparar vektorn).

(fördelningsförmåga av multiplikation med en vektor i förhållande till addition av skalärer);

(fördelningsförmåga av multiplikation med en skalär i förhållande till vektoraddition).

Delar av uppsättningen L kallad vektorer och fältelementen P-skalärer. Egenskaper 1-4 sammanfaller med den abelska gruppens axiom.

De enklaste egenskaperna

Ett vektorrum är en Abelisk grupp genom addition.

Det neutrala elementet är det enda som följer av gruppegenskaper.

för vem som helst .

För alla är det motsatta elementet det enda som följer av gruppegenskaper.

för vem som helst .

för alla och.

för vem som helst .

Element av linjärt rymd kallas vektorer. Ett mellanslag kallas reellt om operationen att multiplicera vektorer med ett tal endast definieras för reella tal, och komplex om denna operation endast definieras för komplexa tal.

45. Grund och dimension för linjärt utrymme, samband mellan dem.

Slutsumman av blanketten

kallas en linjär kombination av element med koefficienter.

En linjär kombination kallas icke-trivial om åtminstone en av dess koefficienter skiljer sig från noll.

Element kallas linjärt beroende om det finns en icke-trivial linjär kombination av dem lika med θ. Annars kallas dessa element linjärt oberoende.

En oändlig delmängd av vektorer från L kallas linjärt beroende om någon ändlig delmängd av den är linjärt beroende, och linjärt oberoende om någon av dess ändliga delmängd är linjärt oberoende.

Antalet element (kardinalitet) för en maximal linjärt oberoende delmängd av ett utrymme beror inte på valet av denna delmängd och kallas utrymmets rang, eller dimension, och själva delmängden kallas en bas (Hamel-bas eller linjär basis). Baselement kallas också för basvektorer. Basens egenskaper:

Alla n linjärt oberoende element i ett n-dimensionellt utrymme utgör grunden för detta utrymme.

Vilken vektor som helst kan representeras (unikt) som en finit linjär kombination av baselement:

46. ​​Vektorkoordinater i en given bas. Linjära operationer med vektorer i koordinatform

klausul 4. Linjära operationer med vektorer insamordnaformuppgifter.

Låt vara grunden för rummet och vara dess två godtyckliga vektorer. Låt och vara en registrering av dessa vektorer i koordinatform. Låt vidare vara ett godtyckligt reellt tal. Med denna notation gäller följande teorem.

Sats. (Om linjära operationer med vektorer i koordinatform.)

Låt Ln vara ett godtyckligt n-dimensionellt utrymme, B = (e1,....,en) en fast bas i det. Då har varje vektor x som hör till Ln en en-till-en-överensstämmelse med en kolumn av dess koordinater i denna bas.

Två plan i rymden kan placeras antingen parallellt med varandra eller skära varandra.

Parallella plan. I projektioner med numeriska märken är ett tecken på parallellitet mellan plan på planen parallelliteten för deras horisontella linjer, höjdlikhet och sammanfallande av planens infallsriktningar: kvadrat. S || pl. L- h S || h L, l S= l L, pad. I. (Fig. 3.11).

Inom geologin kallas en platt, homogen kropp som består av en eller annan sten för ett lager. Skiktet begränsas av två ytor, varav den övre kallas taket och den nedre - sulan. Om skiktet betraktas över en relativt liten utsträckning, likställs taket och basen med plan, vilket erhålls i rymden geometrisk modell två parallella lutande plan.

Plan S är taket och plan L är botten av lagret (Fig. 3.12, A). Inom geologi kallas det kortaste avståndet mellan taket och basen sann kraft (i Fig. 3.12, A sann effekt indikeras med bokstaven H). Förutom den verkliga tjockleken används andra parametrar för bergskiktet i geologi: vertikal tjocklek - H in, horisontell tjocklek - L, synlig tjocklek - H-typ. Vertikal kraft i geologi kallar de avståndet från taket till botten av lagret, mätt vertikalt. Horisontell kraft lager är det kortaste avståndet mellan taket och basen, mätt i horisontell riktning. Synbar kraft – det kortaste avståndet mellan takets synliga fall och sulan (det synliga fallet är den rätlinjiga riktningen på strukturplanet, d.v.s. en rät linje som hör till planet). Således är den skenbara kraften alltid större än den sanna kraften. Det bör noteras att för horisontellt förekommande skikt sammanfaller de sanna, vertikala och synliga tjocklekarna.

Låt oss överväga tekniken för att konstruera parallella plan S och L, åtskilda från varandra på ett givet avstånd (Fig. 3.12, b).

På planen genom korsande linjer m Och n ges planet S. Det är nödvändigt att konstruera ett plan L parallellt med planet S och på avstånd från det på ett avstånd av 12 m (dvs den verkliga tjockleken är H = 12 m). L-planet är placerat under S-planet (S-planet är taket på lagret, L-planet är botten).

1) Plan S definieras på planen genom projektioner av konturlinjer.

2) På avsättningarnas skala, konstruera en infallslinje för planet S - u S. Vinkelrätt mot linjen u S avsätt ett givet avstånd på 12 m (den verkliga tjockleken av lager H). Under infallslinjen för planet S och parallellt med det, rita infallslinjen för planet L - u L. Bestäm avståndet mellan infallslinjerna för båda planen i horisontell riktning, det vill säga den horisontella tjockleken av skiktet L.

3) Ta bort den horisontella kraften från den horisontella på planen h S, parallellt med det, rita en horisontell linje av planet L med samma numeriska märke h L. Det bör noteras att om L-planet är beläget under S-planet, bör den horisontella kraften läggas i S-planets resningsriktning.

4) Baserat på tillståndet för parallellitet för två plan, ritas horisontella plan för L-planet på planen.

Skärande plan. Ett tecken på skärningspunkten mellan två plan är vanligtvis parallelliteten mellan projektionerna av deras horisontella linjer på planen. Skärningslinjen för två plan i detta fall bestäms av skärningspunkterna för två par med samma namn (som har samma numeriska märken) konturer (Fig. 3.13): ; . Genom att förbinda de resulterande punkterna N och M med en rak linje m, bestäm projektionen av den önskade skärningslinjen. Om planet S (A, B, C) och L(mn) är specificerade på planen som icke-horisontella, då konstruera deras skärningslinje t det är nödvändigt att konstruera två par horisontella linjer med identiska numeriska märken, som vid skärningspunkten kommer att bestämma projektionerna av punkterna R och F på den önskade linjen t(Fig. 3.14). Figur 3.15 visar fallet när två skär varandra

De horisontella planen S och L är parallella. Skärningslinjen för sådana plan kommer att vara en horisontell rät linje h. För att hitta en punkt A som hör till denna linje, rita ett godtyckligt hjälpplan T, som skär planen S och L. T-planet skär S-planet längs en rät linje A(C 1 D 2), och planet L är i en rät linje b(K1L2).

Skärningspunkt A Och b, tillhörande planen S respektive L, kommer att vara gemensamma för dessa plan: =A. Höjdpunkten för punkt A kan bestämmas genom att interpolera räta linjer a Och b. Det återstår att dra en horisontell linje genom A h 2.9, som är skärningslinjen för planen S och L.

Låt oss överväga ett annat exempel (fig. 3.16) på att konstruera skärningslinjen för det lutande planet S med det vertikala planet T. Den önskade räta linjen m bestäms av punkterna A och B, vid vilka de horisontella linjerna h 3 och h 4 plan S skär vertikalplanet T. Av ritningen kan man se att projektionen av skärningslinjen sammanfaller med projektionen av vertikalplanet: mº T. När man löser geologiska prospekteringsproblem kallas en sektion av ett eller en grupp av plan (ytor) med ett vertikalt plan en sektion. Den ytterligare vertikala projektionen av linjen konstruerad i exemplet i fråga m kallas profilen för ett snitt som gjorts av plan T i en given riktning.

Föreläsning nr 5. Inbördes arrangemang av linjer och plan

1. Den relativa positionen för två plan

För två plan är följande alternativ för ömsesidigt arrangemang möjliga: de är parallella eller skär varandra i en rak linje.

Från stereometri är det känt att två plan är parallella om två skärande linjer i ett plan är på motsvarande sätt parallella med två skärande linjer i ett annat plan. Detta tillstånd kallas ett tecken på parallellitet mellan plan.

Om två plan är parallella, så skär de något tredje plan längs parallella linjer. Baserat på detta, parallella plan R Och F deras spår är parallella räta linjer (fig. 50).

I det fall där två plan R Och F parallellt med axeln X, deras horisontella och frontala spår på godtyckliga relativ position plan kommer att vara parallella med x-axeln, dvs ömsesidigt parallella. Följaktligen, under sådana förhållanden, är spårens parallellitet ett tillräckligt tecken som kännetecknar parallelliteten hos själva planen. För att säkerställa att sådana plan är parallella måste du se till att deras profilspår också är parallella. P w och F w. Flygplan R Och F i figur 51 är parallella, men i figur 52 är de inte parallella, trots att P v || F v, och P h y || F h.

I fallet när planen är parallella är horisontalplanen i ett plan parallella med horisontalplanen i det andra. Fronterna på ett plan måste vara parallella med fronterna på det andra, eftersom dessa plan har parallella spår med samma namn.

För att konstruera två plan som skär varandra är det nödvändigt att hitta en rät linje längs vilken de två planen skär varandra. För att konstruera denna linje räcker det att hitta två punkter som hör till den.

Ibland, när planet ges av spår, är det lätt att hitta dessa punkter med hjälp av ett diagram och utan ytterligare konstruktioner. Här är riktningen för den linje som bestäms känd, och dess konstruktion är baserad på användningen av en punkt på diagrammet.

Det kan finnas flera positioner av en rät linje i förhållande till ett visst plan.

Låt oss betrakta tecknet på parallellitet mellan en linje och ett plan. Den raka linjen är parallellt med planet, när den är parallell med någon linje som ligger i detta plan. I figur 53 finns en rät linje AB parallellt med planet R, eftersom den är parallell med linjen MN, som ligger i detta plan.

När en linje är parallell med ett plan R, i detta plan genom någon av dess punkter är det möjligt att dra en linje parallell med den givna linjen. Till exempel, i figur 53 den räta linjen AB parallellt med planet R. Om genom en punkt M, tillhörande planet R, dra en rak linje N.M., parallell AB, då kommer den att ligga i planet R. I samma figur den räta linjen CD inte parallellt med planet R, eftersom rak KL, vilket är parallellt CD och passerar genom punkten TILL på ytan R, ligger inte i detta plan.

För att hitta skärningspunkten för en linje och ett plan är det nödvändigt att konstruera skärningslinjerna för två plan. Betrakta rak linje I och plan P (Fig. 54).

Låt oss överväga konstruktionen av planens skärningspunkt.

Genom någon rak linje I är det nödvändigt att rita ett hjälpplan F(utskjutande). Linje II definieras som skärningen av plan R Och F. Punkt K, som behöver byggas, ligger i skärningspunkten mellan linjerna I och II. Vid denna punkt skär den räta linjen I planet R.

I denna konstruktion är huvudpoängen med lösningen att rita ett hjälpplan F passerar genom denna linje. Du kan rita ett hjälpplan i allmän position. Att visa ett projektionsplan på ett diagram med denna räta linje är dock lättare än att rita ett allmänt positionsplan. I detta fall kan ett projektionsplan dras genom vilken rät linje som helst. Baserat på detta väljs hjälpplanet som projektionsplan.

En linje och ett plan är vinkelräta om två skärande linjer kan hittas på planet, vinkelräta mot den ursprungliga linjen. Det är lättast att betrakta planspår som ett sådant par av kontrolllinjer P h och P v (Fig. 55). Detta beror på det faktum att den räta vinkeln mellan vinkelrät mot planet och spåret P h ger en projektion på horisontalplanet utan förvrängning, och vinkeln mellan vinkelrät och kurva R v projiceras på frontalplanet V.

Så tecknet på vinkelräthet kan ställas in med en rak linje och ett plan på diagrammet.

En rät linje är vinkelrät mot ett plan när projektionerna av den räta linjen är vinkelräta mot spåren med samma namn på planet.

Fråga 7.

Två plan i rymden kan antingen vara ömsesidigt parallella, och i ett särskilt fall sammanfalla med varandra, eller skära varandra. Ömsesidigt vinkelräta plan är ett specialfall av korsande plan och kommer att diskuteras nedan.

Parallella plan. Plan är parallella om två skärande linjer i ett plan är parallella med två skärande linjer i ett annat plan. När man löser olika problem är det ofta nödvändigt att dra ett plan β genom en given punkt A, parallellt med ett givet plan α.

I fig. 81-planet α definieras av två skärande linjer a och b. Det erforderliga planet β definieras av räta linjer a1 och bl, parallella med a respektive b och som går genom en given punkt A1.

Skärande plan. Skärningslinjen för två plan är en rät linje, för att konstruera vilken det räcker för att bestämma två punkter gemensamma för båda planen, eller en punkt och riktningen för planens skärningslinje.

Innan vi överväger konstruktionen av skärningslinjen för två plan, kommer vi att analysera ett viktigt och hjälpproblem: vi kommer att hitta punkten K för skärningen av en allmän linje med det utskjutande planet.

Låt till exempel ges en rät linje a och ett horisontellt utskjutande plan α (fig. 82). Då måste den önskade punktens horisontella projektion K1 samtidigt ligga på den horisontella projektionen α1 av planet α och på den horisontella projektionen a1 av den räta linjen a, dvs. vid skärningspunkten mellan a1 och α1 (fig. 83). Den främre projektionen K2 för punkt K är placerad på projektionslinjen och på den frontala projektionen a2 av den räta linjen a.

Låt oss nu titta på ett av de speciella fallen av korsande plan, när ett av dem projicerar.

I fig. 84 visar det allmänna positionsplanet definierat av triangeln ABC och det horisontellt utskjutande planet a. Låt oss hitta två gemensamma punkter för dessa två plan. Uppenbarligen kommer dessa gemensamma punkter för planen ∆ABC och α att vara skärningspunkterna för sidorna AB och BC i triangeln ABC med det utskjutande planet α. Konstruktionen av sådana punkter D och E både på den rumsliga ritningen (fig. 84) och på diagrammet (fig. 85) orsakar inga svårigheter efter exemplet som diskuterats ovan.

Genom att koppla samman samma projektioner av punkterna D och E får vi projektionerna av skärningslinjen mellan planet ∆ ABC och planet α.

Sålunda sammanfaller den horisontella projektionen D1E1 av skärningslinjen för de givna planen med den horisontella projektionen av det utskjutande planet α - med dess horisontella spår α1.

Låt oss nu överväga allmänt fall. Låt två generella plan α och β ges i rymden (fig. 86). För att konstruera linjen för deras skärningspunkt är det nödvändigt, som noterats ovan, att hitta två punkter som är gemensamma för båda planen.

För att bestämma dessa punkter skärs de givna planen av två hjälpplan. Det är mer ändamålsenligt att ta projekterande plan och i synnerhet nivåplan som sådana plan. I fig. 86, skär det första hjälpplanet för nivån y vart och ett av dessa plan längs horisontalerna h och h1, vilka definierar punkt 1, gemensam för planen a och β. Denna punkt bestäms av skärningspunkten mellan de horisontella linjerna h2 och h3, längs vilka hjälpplanet δ skär vart och ett av dessa plan.