Геометрические модели классифицируют на предметные, расчетные и познавательные. Среди геометрических моделей можно выделить плоские и объемные модели. Предметные модели тесно связаны с визуальным наблюдением. Информация, получаемая с предметных моделей, включает в себя сведения о форме и размерах объекта, о его расположении относительно других. Чертежи машин, технических приспособлений и их деталей выполняют с соблюдением ряда условных обозначений, особых правил и определенного масштаба. Чертежи могут быть монтажными, общего вида, сборочными, табличными, габаритными, наружных видов, пооперационными и т.д. Чертежи также различают по отраслям производства: машиностроительные, приборостроительные, строительные, горно-геологические, топографические и т.п. Чертежи земной поверхности называются картами. Чертежи различают по методу изображений: ортогональный чертеж, аксонометрия, перспектива, проекции с числовыми отметками, аффинные проекции, стереографические проекции, кинеперспектива и т.п. К предметным моделям относятся чертежи, карты, фотографии, макеты, телевизионные изображения и т.п. Предметные модели тесно связаны с визуальным наблюдением. Среди предметных геометрических моделей можно выделить плоские и объемные модели. Предметные модели существенно различаются по способу исполнения: чертежи, рисунки, картины, фотографии, киноленты, рентгенограммы, макеты, модели, скульптуры и т.п. В зависимости от стадии проектирования чертежи различают на чертежи технического предложения, эскизного и технического проектов, рабочие чертежи. Чертежи также различают на подлинники, оригиналы и копии.
Графические построения могут служить для получения численных решений различных задач. Графически можно выполнять алгебраические действия (складывать, вычитать, умножать, делить), дифференцировать, интегрировать и решать уравнения. При вычислении алгебраических выражений числа изображаются направленными отрезками. Для нахождения разности или суммы чисел соответствующие им отрезки откладываются на прямой линии. Умножение и деление осуществляется построением пропорциональных отрезков, которые отсекаются на сторонах угла прямыми параллельными линиями. Комбинация действий умножения и сложения позволяет вычислять суммы произведений и взвешенное среднее. Графическое возведение в целую степень заключается в последовательном повторении умножения. Графическим решением уравнений является значение абсциссы точки пересечения кривых. Графически можно вычислять определенный интеграл, строить график производной, т.е. дифференцировать и интегрировать, а также решать уравнения. Геометрические модели для графических вычислений необходимо отличать от номограмм и расчетных геометрических моделей (РГМ). Графические вычисления требуют каждый раз последовательности построений. Номограммы и РГМ представляют собой геометрические изображения функциональных зависимостей и не требуют для нахождения численных значений новых построений. Номограммы и РГМ используются для вычислений и исследований функциональных зависимостей. Вычисления на РГМ и номограммах заменяется считыванием ответов с помощью элементарных операций, указанных в ключе номограммы. Основными элементами номограмм являются шкалы и бинарные поля. Номограммы подразделяются на элементарные и составные номограммы. Номограммы также различают по операции в ключе. Принципиальное различие РГМ и номограммы состоит в том, что для построения РГМ используются геометрические методы, а для построения номограмм аналитические методы. Номография – переход от аналитической машины к геометрической машине.
К познавательным моделям относятся графики функций, диаграммы и графы. Графическая модель зависимости одних переменных величин от других называется графиком функций. Графики функций можно строить по заданной его части или по графику другой функции, используя геометрические преобразования. Графическое изображение, наглядно показывающее соотношение каких-либо величин, является диаграммой. Столбчатая диаграмма, представляющая собой совокупность смежных прямоугольников, построенных на одной прямой и представляющих распределение каких-либо величин по количественному признаку, называется гистограммой. Геометрические модели, изображающие отношения между элементами множества называются графами. Графы – модели порядка и образа действия. На этих моделях нет расстояний, углов, безразлично соединение точек прямой или кривой. В графах различаются только вершины, ребра и дуги. Впервые графы использовались в ходе решения головоломок. В настоящее время графы эффективно используются в теории планирования и управления, теории расписаний, социологии, биологии, в решении вероятностных и комбинаторных задач и т.п.
Особое значение имеют теоретические геометрические модели. В аналитической геометрии геометрические образы исследуются средствами алгебры на основе метода координат. В проективной геометрии изучаются проективные преобразования и неизменные свойства фигур, независящие от них. В начертательной геометрии изучаются пространственные фигуры и методы решения пространственных задач при помощи построения их изображений на плоскости. Свойства плоских фигур рассматриваются в планиметрии, а свойства пространственных фигур – в стереометрии. В сферической тригонометрии изучаются зависимости между углами и сторонами сферических треугольников. Теория фотограмметрии и стерео- и фотограмметрии позволяет определять формы, размеры и положения объектов по их фотографическим изображениям в военном деле, космических исследованиях, геодезии и картографии. Современная топология изучает непрерывные свойства фигур и их взаимного расположения. Фрактальная геометрия (введена в науку в 1975 Б. Мандельбротом), изучающая общие закономерности процессов и структур в природе, благодаря современным компьютерным технологиям стала одним из самых плодотворных и прекрасных открытий в математике. Фракталы пользовались бы еще большей популярностью, если бы опирались на достижения современной теории начертательной геометрии.
Задачи классической начертательной геометрии можно условно разделить на позиционные, метрические и конструктивные задачи.
В технических дисциплинах используются статические геометрические модели, которые помогают сформировать представления об определенных предметах, их конструктивных особенностях, о входящих в их состав элементах, и динамические или функциональные геометрические модели, которые позволяют демонстрировать кинематику, функциональные связи или же технические и технологические процессы. Очень часто геометрические модели позволяют проследить ход таких явлений, которые обычному наблюдению не поддаются и могут быть представлены на основании имеющихся знаний. Изображения позволяют не только представить устройство определенных машин, приборов и оборудования, но одновременно охарактеризовать их технологические особенности и функциональные параметры.
Чертежи дает не только геометрическую информацию о форме деталей узла. По нему понимается принцип работы узла, перемещение деталей относительно друг друга, преобразование движений, возникновение усилий, напряжений, преобразование энергии в механическую работу и т.п. В техническом вузе чертежи и схемы имеют место во всех изучаемых общетехнических и специальных дисциплинах (теоретическая механика, сопротивление материалов, конструкционные материалы, электромеханика, гидравлика, технология машиностроения, станки и инструменты, теория машин и механизмов, детали машин, машины и оборудование и др.). Для передачи различной информации чертежи дополняют различными знаками и символами, а для их словесного описания используются новые понятия, в основу формирования которых положены фундаментальные понятия физики, химии и математики.
Особенно интересным является использование геометрических моделей для проведения аналогий между геометрическими законами и реальными объектами для анализа сущности явления и оценки теоретического и практического значения математических рассуждений и анализа сущности математического формализма. Отметим, общепринятые средства передачи приобретаемого опыта, знаний и восприятия (речь, письменность, живопись и т. д.) являются заведомо гомоморфной проекционной моделью реальной действительности. Понятия о проекционном схематизме и операции проектирования относятся к начертательной геометрии и имеют своё обобщение в теории геометрического моделирования.Проекционные геометрические модели, получаемые в результате операции проецирования, могут быть совершенными, несовершенными (различной степени несовершенства) и распавшимися. С геометрической точки зрения, любой объект может иметь множество проекций, различающихся как положением центра проектирования и картины, так и их размерностью, т.е. реальные явления природы и общественных отношений допускают различные описания, отличающиеся друг от друга степенью достоверности и совершенства. Основой научного исследования и источником всякой научной теории является наблюдение и эксперимент, который всегда имеет целью выявления некоторой закономерности. Все эти обстоятельства послужили основанием для использования аналогий между различными видами проекционных геометрических моделей, полученных при гомоморфном моделировании, и моделями, возникающими в результате исследования.
Геометрическая модель–
представление о внешних признаках
реального объекта.
Геометрическая компьютерная
модель – представление
информационной модели с
помощью средств компьютерной
графики.
Геометрическое моделирование подразделяется на:
oo
o
проектирование каркасов - геометрическая
модель строится из ограниченного набора
графических примитивов (отрезки, дуги,
конические кривые).
поверхностей - моделирование
многообразий второго порядка (сфер,
цилиндров, конусов и т.д).
объемных тел - основным объектом
моделирования является трехмерное
объемное тело.
Виды и свойства моделей
oЛиниями можно описать отдельные геометрические свойства предметов, представить
характерные черты объектов. Они могут быть пространственными и двумерными. Кривые
линии служат в качестве строительного материала для создания поверхностей и тел.
o
Поверхности, как и линии, являются математическими абстракциями, дающими
представление об отдельных свойствах предметов, и служат строительным материалом
для создания тел.
o
Совокупность стыкующихся по границам поверхностей называется оболочкой. Для
моделирования нужно описать совокупность поверхностей, отделяющих внутренний объем
предмета от остальной части пространства.
o
Для геометрического моделирования предметов, занимающих конечный объем, в
математике используются объекты, называемые твердыми телами или просто телами. При
моделировании тел строятся поверхности, отделяющие занимаемую ими часть
пространства от остальной части пространства.
Модели двумерной графики
РастроваяВекторная
Трехмерная
Фрактальная
Растровая модель
ДостоинстваНедостатки
простота оцифровки (сканирования или жестко фиксированное количество
фотосъемки с возможным
пикселов в растре.
последующим сканированием
отпечатка (слайда)).
возможность очень тонкой
корректировки изображений
интерференция
Простота процедуры преобразования
отсутствие внутренней структуры,
пиксельной модели в изображение при соответствующей структуре
выводе на экран или печать
изображенных объектов
большой объем памяти и длительное
время обработки
Векторная модель
ДостоинстваНедостатки
Достаточно малый объем занимаемой
памяти
Включение в состав векторной модели
множества типов объектов затрудняет
изучение ее устройства
Векторное изображение может быть
структурировано с произвольной
степенью детализации
Построение векторной модели
изображения представляет собой
задачу, плохо поддающуюся
автоматизации
Объекты векторной модели
изображения легко
преобразовываются, их
масштабирование не влечет за собой
ни искажения изображения, ни утраты
визуальной информации
Векторная модель изображения не
дает пользователю инструментов,
соответствующих традиционной
технике живописи
В векторной модели текст,
представляется отдельной категорией
объектовпроцесс эволюции
программ векторной
графики наиболее быстро
движется именно в
направлении повышения
реалистичности
векторных изображений,
и новые объекты
векторной модели
(сетчатые заливки, тени,
градиентная
прозрачность) в
значительной степени
расширяют
изобразительные возможности векторной
Модели представления информации о трехмерных объектах
Полигональные(сетчатые)
Воксельные
Функциональные
Полигональные (сетчатые) модели
Полигональные (сетчатые) модели
ДостоинстваНедостатки
соответствует не изображению, а форме
объектов и несет в себе больше
информации о них, чем любая модель
двухмерной графики
алгоритмы визуализации и выполнения
топологических операций (например,
построение сечений) довольно сложны
дает возможность автоматически решать при построении сложных моделей число
задачи построения иллюзии перспективы, граней растет с поражающей
теней и бликов при различном освещении стремительностью, что не только делает
сетчатую модель не слишком компактной,
но и требует колоссальной
вычислительной мощности
модель дает возможность с
минимальными затратами труда строить
изображение смоделированной сцены в
любом ракурсе
аппроксимация плоскими гранями
приводит к значительной погрешности,
особенно при моделировании сложных
поверхностей
будучи по своей природе векторной,
сохраняет многие достоинства, присущие
векторной модели изображения
повышенные требования к пользователю,
подразумевая у него наличие развитого
пространственного воображения
Воксельная модель
Воксельная модель
ВОКСЕЛЬНАЯ МОДЕЛЬДостоинства
Недостатки
возможность представлять
внутренность объекта, а не только
внешний слой
большое количество информации,
необходимое для представления
объемных данных
простая процедура отображения
объемных сцен
значительные затраты памяти,
ограничивающие разрешающую
способность, точность моделирования
простое выполнение топологических
операций (например, чтобы показать
сечение пространственного тела,
достаточно воксели сделать
прозрачными)
проблемы при увеличении или
уменьшении изображения; например, с
увеличением ухудшается разрешающая
способность изображения
Функциональные модели
Достоинства функциональных моделей
легкая процедура расчетакоординат каждой точки;
небольшой объем
информации для
описания сложных форм;
возможность строить
поверхности на основе
скалярных данных без
предварительной
триангуляции.
Шуховская башня – пример использования
гиперболоида вращения
Геометрической параметризацией называется
параметрическое моделирование, при котором
геометрия каждого параметрического объекта
пересчитывается в зависимости от положения
родительских объектов, его параметров и
переменных.
Геометрическая параметризация
oo
Хорошая идея – изменить один или несколько
параметров и посмотреть, как будет вести себя при
этом вся модель.
Конструктор, в случае параметрического
проектирования, создает математическую модель
объектов с параметрами, при изменении которых
происходят изменения конфигурации детали,
взаимные перемещения деталей в сборке и т.п.
Геометрические операции над моделями
Над телами, как и над другими геометрическимиобъектами, можно выполнять операции –
совокупность действий над одним или несколькими
исходными телами, которая приводит к рождению
нового тела. Одними из основных операций для
двух тел являются булевы операции.
o Булевыми операциями называют операции
объединения, пересечения и вычитания тел, так
как они выполняют одноименные операции над
внутренними объемами тел (над множествами
точек пространства, находящимися внутри тел).
Операция объединения
o Результатом операции объединения двух тел является тело,которое содержит точки, принадлежащие внутреннему
объему как первого, так и второго тела.
o суть операции: нужно найти линии пересечения граней тел,
удалить ту часть первого тела, которая попала внутрь второго
тела и ту часть второго тела, которая попала внутрь первого
тела, а из всего остального построить новое тело.
Два исходных тела
Объединение тел
Операция пересечения
o Результатом операции пересечения двух тел является тело,которое содержит точки, принадлежащие внутреннему объему
как первого, так и второго тела.
o Суть операции пересечения тел: нужно найти линии
пересечения тел, удалить ту часть первого тела, которая не
попала внутрь второго, и ту часть второго тела, которая не
попала внутрь первого, а из всего остального построить новое
тело.
Два исходных тела
Пересечение тел
Операция вычитания
o Результатом операции вычитания двух тел является тело, котороесодержит точки, принадлежащие внутреннему объему первого, но не
принадлежащие внутреннему объему второго тела.
o Суть операции вычитания тел: нужно найти линии пересечения тел,
удалить ту часть первого тела, которая попала внутрь второго, и ту часть
второго тела, которая не попала внутрь первого, а из всего остального
построить новое тело. Результат операции зависит от того какое тело
вычитается.
Два исходных тела
Разность тел
Подсистемы графического и геометрического моделирования (ГГМ) занимают центральное место в САПП. Конструирование изделий в них, как правило, проводится в интерактивном режиме при оперировании геометрическими моделями, т.е. математическими объектами, отображающими форму изделия, состав сборочных узлов и возможно некоторые дополнительные параметры (масса, цвета поверхности и т.п.).
В подсистемах ГГМ типичный маршрут обработки данных включает в себя получение проектного решения в прикладной программе, его представление в виде геометрической модели (геометрическое моделирование), подготовку проектного решения к визуализации, собственно визуализацию при помощи ПК при необходимости корректировку решения в интерактивном режиме.
Две последние операции реализуются на базе вычислительных средств ГГМ. Когда говорят о математическом обеспечении ГГМ, имеют в виду, прежде всего модели, методы и алгоритмы для геометрического моделирования и подготовки к визуализации.
Различают математическое обеспечение двумерного (2D) и трехмерного (3D) ГГМ.
Основные применения 2D ГГМ подготовка чертежной документации в САПП, топологическое проектирование печатных плат и кристаллов БИС в САПП электронной промышленности.
В процессе 3D моделирования создаются геометрические модели, т.е. модели, отражающие геометрические свойства изделий. Различают геометрические модели каркасные (проволочные), поверхностные, объемные (твердотельные).
Каркасная модель представляет форму изделия в виде конечного множества линий, лежащих на поверхностях изделия. Для каждой линии известны координаты концевых точек и указана их инцидентность ребрам или поверхностям. Оперировать каркасной моделью на дальнейших операциях САПП неудобно, и поэтому каркасные модели в настоящее время используют редко.
Поверхностная модель отображает форму изделия с помощью задания ограничивающих ее поверхностей, например, в виде совокупности данных о гранях, ребрах и вершинах.
Особое место занимают модели изделий с поверхностями сложной формы, так называемыми скульптурными поверхностями . К таким изделиям относятся, например, корпуса микросхем, компьютеров, рабочих станций) и др.
Объемные модели отличаются тем, что в них в явной форме содержатся сведения о принадлежности элементов внутреннему или внешнему по отношению к изделию пространству.
Рассмотренные модели отображают тела с замкнутыми объемами, являющиеся так называемыми многообразиями (manifold). Некоторые системы геометрического моделирования допускают оперирование немногообразными моделями (nonmanifold ), примерами которых могут быть модели тел, касающихся друг друга в одной точке или вдоль прямой. Немногообразные модели удобны в процессе конструирования, когда на промежуточных этапах полезно работать одновременно с трехмерными и двумерными моделями, не задавая толщины стенок конструкции, и т.п.
Систематизация геометрических моделей
Сгеометрическими моделями приходится иметь дело математику и физику, инженеру и конструктору, ученому и рабочему, врачу и художнику, космонавту и фотографу. Однако до сих пор не существует какого-либо систематического руководства по геометрические моделям и их применению. Объясняется это прежде всего тем, что слишком широк и разнообразен круг геометрических моделей.
Геометрические модели могут являться воплощением замысла проектировщика и служат для создания нового объекта. Имеет место и обратная схема, когда по объекту делается модель, например, при реставрации или ремонте.
Геометрические модели классифицируют на предметные (чертежи, карты, фотографии, макеты, телевизионные изображения и т.п.), расчетные и познавательные. Предметные модели тесно связаны с визуальным наблюдением. Информация, получаемая с предметных моделей, включает в себя сведения о форме и размерах объекта, о его расположении относительно других.
Чертежи машин, сооружений, технических приспособлений и их деталей выполняют с соблюдением ряда условных обозначений, особых правил и определенного масштаба. Различают чертежи деталей, монтажные, общего вида, сборочные, табличные, габаритные, наружных видов, пооперационные и т.д. В зависимости от стадии проектирования чертежи различают на чертежи технического предложения, эскизного и технического проектов, рабочие чертежи. Чертежи также различают по отраслям производства: машиностроительные, приборостроительные, строительные, горно-геологические, топографические и т.п. Чертежи земной поверхности называются картами. Чертежи различают по методу изображений: ортогональный чертеж, аксонометрия, перспектива, числовые отметки, аффинные проекции, стереографические проекции, киноперспектива и т.д.
Геометрические модели существенно различаются по способу исполнения: чертежи подлинники, оригиналы, копии, рисунки, картины, фотографии, киноленты, рентгенограммы, кардиограммы, макеты, модели, скульптуры и т.д. Среди геометрических моделей можно выделить плоские и объемные.
Графические построения могут служить для получения численных решений различных задач. При вычислении алгебраических выражений числа изображаются направленными отрезками. Для нахождения разности или суммы чисел соответствующие им отрезка откладываются на прямой. Умножение и деление осуществляется построением пропорциональных отрезков, которые отсекаются на сторонах угла параллельными прямыми. Комбинация действий умножения и сложения позволяет вычислять суммы произведений и взвешенное среднее. Графическое возведение в целую степень заключается в последовательном повторении умножения. Графическим решением уравнений является значение абсциссы точки пересечения кривых. Графически можно вычислять определенный интеграл, строить график производной, т.е. дифференцировать, и интегрировать дифференциальные уравнения. Геометрические модели для графических вычислений необходимо отличать от номограмм и расчетных геометрических моделей (РГМ). Графические вычисления требуют каждый раз последовательности построений. Номограммы и РГМ представляют собой геометрические изображения функциональных зависимостей и не требуют для нахождения численных значений новых построений. Номограммы и РГМ используются для вычислений и исследований функциональных зависимостей. Вычисления на РГМ и номограммах заменяется считыванием ответов с помощью элементарных операций, указанных в ключе номограммы. Основными элементами номограмм являются шкалы и бинарные поля. Номограммы подразделяют на элементарные и составные. Номограммы также различают по операции в ключе. Принципиальное различие РГМ и номограммы состоит в том, что для построения РГМ используются геометрические методы, а для построения номограмм – аналитические методы.
Геометрические модели, изображающие отношения между элементами множества называются графами . Графы – модели порядка и образа действия. На этих моделях нет расстояний, углов, безразлично соединение точек прямой или кривой линией. В графах различаются только вершины, ребра и дуги. Впервые графы использовались в ходе решения головоломок. В настоящее время графы эффективно используются в теории планирования и управления, теории расписаний, социологии, биологии, электронике, в решений вероятностных и комбинаторных задач и т.п.
Графическая модель функциональной зависимости называется графиком. Графики функций можно строить по заданной его части или по графику другой функции, используя геометрические преобразования.
Графическое изображение, наглядно показывающее соотношение каких-либо величин, является диаграммой. Например, диаграмма состояния (фазовая диаграмма), графически изображает соотношение между параметрами состояния термодинамической равновесной системы. Столбчатая диаграмма, представляющая собой совокупность смежных прямоугольников, построенных на одной прямой и представляющих распределение каких-либо величин по количественному признаку, называется гистограммой.
Особо важное значение имеют теоретические геометрические модели. В аналитической геометрии геометрические образы исследуются средствами алгебры на основе метода координат. В проективной геометрии изучаются проективные преобразования и неизменные свойства фигур, независящие от них. В начертательной геометрии изучаются пространственные фигуры и методы решения пространственных задач при помощи построения их изображений на плоскости. Свойства плоских фигур рассматриваются в планиметрии, свойства пространственных фигур – в стереометрии. В сферической тригонометрии изучаются зависимости между углами и сторонами сферических треугольников. Теория фотограмметрии и стереофотограмметрии позволяет определять формы, размеры и положения объектов по их фотографическим изобра
Геометрическое моделирование
Векторная и растровая графика.
Графика бывает двух видов - векторная и растровая. Основное отличие - в принципе хранения изображения. Векторная графика описывает изображение с помощью математических формул. Основное преимущество векторной графики состоит в том, что при изменении масштаба изображения оно не теряет своего качества. Отсюда следует и еще одно преимущество - при изменении размеров изображения не изменяется размер файла.Растровая графика - это прямоугольная матрица, состоящая из множества очень мелких неделимых точек (пикселей).
Растровое изображение можно сравнить с детской мозаикой, когда картинка составляется из цветных квадратиков. Компьютер запоминает цвета всех квадратиков подряд в определенном порядке. Поэтому растровые изображения требуют для хранения большего объема памяти. Их сложно масштабировать и еще сложнее редактировать. Чтобы увеличить изображение, приходится увеличивать размер квадратиков, и тогда рисунок получается "ступенчатым". Для уменьшения растрового рисунка приходится несколько соседних точек преобразовывать в одну или выбрасывать лишние точки. В результате изображение искажается, его мелкие детали становятся неразборчивыми. Этих недостатков лишена векторная графика. В векторных редакторах рисунок запоминается как совокупность геометрических фигур - контуров, представленных в виде математических формул. Чтобы пропорционально увеличить объект, достаточно просто изменить одно число: коэффициент масштабирования. Никаких искажений ни при увеличении, ни при уменьшении рисунка не возникает. Поэтому, создавая рисунок, вы можете не думать о его конечных размерах - вы всегда можете изменить их.
Ве́кторная гра́фика - это использование геометрических примитивов, таких как точки, линии, сплайны и многоугольники, для представления изображений в компьютерной графике. Рассмотрим, к примеру, окружность радиуса r. Список информации, необходимой для полного описания окружности, таков:
радиус r ;
координаты центра окружности;
цвет и толщина контура (возможно прозрачный);
цвет заполнения (возможно прозрачный).
Преимущества этого способа описания графики над растровой графикой:
Минимальное количество информации передаётся намного меньшему размеру файла (размер не зависит от величины объекта).
Соответственно, можно бесконечно увеличить, например, дугу окружности, и она останется гладкой. С другой стороны, если кривая представлена в виде ломаной линии, увеличение покажет, что она на самом деле не кривая.
При увеличении или уменьшении объектов толщина линий может быть постоянной.
Параметры объектов хранятся и могут быть изменены. Это означает, что перемещение, масштабирование, вращение, заполнение и т. д. не ухудшат качества рисунка. Более того, обычно указывают размеры в аппаратно-независимых единицах ((англ.)), которые ведут к наилучшей возможной растеризации на растровых устройствах.
У векторной графики есть два фундаментальных недостатка.
Не каждый объект может быть легко изображен в векторном виде. Кроме того, количество памяти и времени на отображение зависит от числа объектов и их сложности.
Перевод векторной графики в растр достаточно прост. Но обратного пути, как правило, нет - трассировка растра обычно не обеспечивает высокого качества векторного рисунка.
Векторные графические редакторы, типично, позволяют вращать, перемещать, отражать, растягивать, скашивать, выполнять основные аффинные преобразования над объектами, изменять z-order и комбинировать примитивы в более сложные объекты.
Более изощрённые преобразования включают булевы операции на замкнутых фигурах: объединение, дополнение, пересечение и т. д.
Векторная графика идеальна для простых или составных рисунков, которые должны быть аппаратно-независимыми или не нуждаются в фотореализме. К примеру, PostScript и PDF используют модель векторной графи
Линии и ломаные линии.
Многоугольники.
Окружности и эллипсы.
Кривые Безье.
Безигоны.
Текст (в компьютерных шрифтах, таких как TrueType, каждая буква создаётся из кривых Безье).
Этот список неполон. Есть разные типы кривых (Catmull-Rom сплайны, NURBS и т.д.), которые используются в различных приложениях.
Также возможно рассматривать растровое изображение как примитивный объект, ведущий себя как прямоугольник.
Основные виды геометрических моделей
Геометрические модели дают внешнее представление об объекте-оригинале и характеризуются одинаковыми с ним пропорциями геометрических размеров. Эти модели подразделяются на двумерные и трехмерные. Эскизы, схемы, чертежи, графики, живописные работы представляют собой примеры двумерных геометрических моделей, а макеты зданий, автомобилей, самолетов и т.д. – это трехмерные геометрические модели.
Трёхмерная графика оперирует с объектами в трёхмерном пространстве. Обычно результаты представляют собой плоскую картинку, проекцию. Трёхмерная компьютерная графика широко используется в кино, компьютерных играх.
В трёхмерной компьютерной графике все объекты обычно представляются как набор поверхностей или частиц. Минимальную поверхность называют полигоном. В качестве полигона обычно выбирают треугольники.
Всеми визуальными преобразованиями в 3D-графике управляют матрицы (см. также: аффинное преобразование в линейной алгебре). В компьютерной графике используется три вида матриц:
матрица поворота
матрица сдвига
матрица масштабирования
Любой полигон можно представить в виде набора из координат его вершин. Так, у треугольника будет 3 вершины. Координаты каждой вершины представляют собой вектор (x, y, z). Умножив вектор на соответствующую матрицу, мы получим новый вектор. Сделав такое преобразование со всеми вершинами полигона, получим новый полигон, а преобразовав все полигоны, получим новый объект, повёрнутый/сдвинутый/промасштабированный относительно исходного
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Системы геометрического моделирования
Системы геометрического моделирования позволяют работать с формами в трехмерном пространстве. Они были созданы для того, чтобы преодолеть проблемы, связанные с использованием физических моделей в процессе проектирования, такие как - сложность получения сложных форм с точными размерами, а также сложностью извлечения необходимых сведений из реальных моделей для их точного воспроизведения.
Эти системы создают среду, подобную той, в которой создаются физические модели. Другими словами, в системе геометрического моделирования разработчик изменяет форму модели, добавляет и удаляет ее части, детализируя форму визуальной модели. Визуальная модель может выглядеть также как и физическая, но она нематериальна. Однако трехмерная визуальная модель хранится в компьютере вместе со своим математическим описанием, благодаря чему устраняется главный недостаток физической модели - необходимость выполнения измерений для последующего прототипирования или серийного производства. Системы геометрического моделирования делятся на каркасные, поверхностные, твердотельные и немногообразные.
Системы каркасного моделирования
В системах каркасного моделирования форма представляется в виде набора характеризующих ее линий и конечных точек. Линии и точки используются для предоставления трехмерных объектов на экране, а изменение формы осуществляется путем изменения положения и размеров отрезков и точек. Другими словами, визуальная модель представляет собой каркасный чертеж формы, а соответствующее математическое описание представляет собой набор уравнений кривых, координат точек и сведений о связности кривых и точек. Сведения о связности описывают принадлежность точек к конкретным кривым, а также пересечение кривых друг с другом. Системы каркасного моделирования были популярны в ту пору, когда ГМ только начало зарождаться. Их популярность объяснялась тем, что в системах каркасного моделирования создание форм выполнялось через последовательность простых действий, так что пользователям было достаточно легко создавать формы самостоятельно. Однако визуальная модель, состоящая из одних лишь линий, может быть неоднозначной. Более того, соответствующее математическое описание не содержит сведений о внутренних и внешних поверхностях моделируемого объекта. Без этих сведений невозможно рассчитать массу объекта, определить траектории перемещения или создать сетку для конечноэлементного анализа, несмотря на то, что объект кажется трехмерным. Поскольку эти операции являются неотъемлемой частью процесса проектирования, системы каркасного моделирования были постепенно вытеснены системами поверхностного и твердотельного моделирования.
Системы поверхностного моделирования
В системах поверхностного моделирования математическое описание визуальной модели включает в себя не только сведения о характеристических линиях и их конечных точках, но и данные о поверхностях. При работе с отображаемой на экране моделью изменяются уравнения поверхностей, уравнения кривых и координаты точек. Математическое описание может включать сведения о связности поверхностей - как поверхности соединяются друг с другом и по каким кривым. В некоторых приложениях эти сведения могут оказаться очень полезными.
Существуют три стандартных метода создания поверхностей в системах поверхностного моделирования:
1) Интерполяция входных точек.
2) Интерполяция криволинейных точек.
3) Трансляция или вращение заданной кривой.
Системы поверхностного моделирования используются для создания моделей со сложными поверхностями, потому что визуальная модель позволяет оценить эстетичность проекта, а математическое описание позволяет построить программы с точными расчетами траекторий движения.
Системы твердотельного моделирования
Предназначены для работы с объектами, состоящими из замкнутого объема, или монолита. В системах твердотельного моделирования, в отличии от систем каркасного и поверхностного моделирования, не допускается создание набора поверхностей или характеристических линий, если они не образуют замкнутого объема. Математическое описание объекта, созданного в системе твердотельного моделирования содержит сведения, по которым система может определить, где находится линия либо точка: внутри объема, снаружи него или на его границе. При этом можно получить любую информацию об объеме тела, а значит, могут быть использованы приложения, работающие с объектом на уровне объема, а не на поверхностях.
Однако системы твердотельного моделирования требуют большего количества входных данных по сравнению с количеством данных, дающих математическое описание. Если бы система требовала от пользователя ввода всех данных для полного математического описания, она стала бы слишком сложной для пользователей, и они бы отказались от нее. Поэтому разработчики таких систем стараются представить простые и естественные функции, чтобы пользователи могли работать с объемными формами, не вдаваясь в подробности математического описания.
Функции моделирования, поддерживаемые большинством систем твердотельного моделирования, могут быть разделены на пять основных групп:
1) Функции создания примитивов, а также функции добавления, вычитания объема - булевские операторы. Эти функции позволяют проектировщику быстро создать форму, близкую к окончательной форме детали.
2) Функции создания объемных тел путем перемещения поверхности. Функция заметания позволяет создавать объемное тело трансляцией или вращением области, заданной на плоскости.
3) Функции, предназначенные главным образом для изменения существующей формы. Типичными примерами являются функции скругления или плавного сопряжения и поднятия.
4) Функции позволяющие непосредственно манипулировать составляющими объемных тел, то есть по вершинам, ребрам и граням.
5) Функции, используя которые проектировщик может моделировать твердое тело при помощи свободных форм.
Немногообразные системы моделирования
Системы твердотельного моделирования позволяют пользователю создавать тела с замкнутым объемом, то есть, говоря математическим языком, тела, представляющие собой многообразия. Другими словами, такие системы запрещают создание структур, не являющихся многообразными. Нарушениями условия многообразности являются, например касание двух поверхностей в одной точке, касание двух поверхностей вдоль открытой или замкнутой кривой, два замкнутых объема с общей гранью, ребром или вершиной, а также поверхности, образующие структуры типа сот.
Запрет на создание немногообразных моделей считался одним из достоинств систем твердотельного моделирования, поскольку благодаря этому любую созданную в такой системе модель можно было бы изготовить. Если же пользователь хочет работать с системой геометрического моделирования на протяжении всего процесса разработки, это достоинство оборачивается другой стороной.
Абстрактная модель со смешением измерений удобна тем, что она не стесняет творческую мысль конструктора. Модель со смешанными измерениями может содержать свободные ребра, слоистые поверхности и объемы. Абстрактная модель полезна также тем, что она может служить основой для проведения анализа. На каждом этапе процесса проектирования могут применяться свои аналитические средства. Например, методом конечных элементов, непосредственно на исходном представлении модели, что позволяет автоматизировать обратную связь между этапами проектирования и анализа, которая в настоящий момент реализуется конструктором самостоятельно. Немногообразные модели незаменимы как этап развития проекта от неполного описания на низких уровнях до готового объемного тела. Системы немногообразного моделирования позволяют использовать каркасные, поверхностные, твердотельные и сотовые модели одновременно в одной и той же среде моделирования, расширяя диапазон доступных моделей.
Описание поверхностей
Важной составной частью геометрических моделей является описание поверхностей. Если поверхности детали -- плоские грани, то модель может быть выражена достаточно просто определенной информацией о гранях, ребрах, вершинах детали. При этом обычно используется метод конструктивной геометрии. Представление с помощью плоских граней имеет место и в случае более сложных поверхностей, если эти поверхности аппроксимировать множествами плоских участков -- полигональными сетками. Тогда можно поверхностную модель задать одной из следующих форм:
1) модель есть список граней, каждая грань представлена упорядоченным списком вершин (циклом вершин); эта форма характеризуется значительной избыточностью, так как каждая вершина повторяется в нескольких списках;
2) модель есть список ребер, для каждого ребра заданы инцидентные вершины и грани. Однако аппроксимация полигональными сетками при больших размерах ячеек сетки дает заметные искажения формы, а при малых размерах ячеек оказывается неэффективной по вычислительным затратам. Поэтому более популярны описания неплоских поверхностей кубическими уравнениями в форме Безье или 5-сплайнов.
Знакомство с этими формами удобно выполнить, показав их применение для описания геометрических объектов первого уровня -- пространственных кривых.
Примечание. Геометрическими объектами нулевого, первого и второго уровней называют соответственно точки, кривые, поверхности.
В подсистемах МГиГМ используются параметрически задаваемые кубические кривые
геометрический конструктивный моделирование поверхность
x(t) = axt3 + bxt2 + cxt + dx ;
y(t) = ay t3 +X by t2 + cy t + dy ;
z(t) = a.t3 + b_t2 + cj + d_,
где 1 > t > 0. Такими кривыми описывают сегменты аппроксимируемой кривой, т. е. аппроксимируемую кривую разбивают на сегменты и каждый сегмент аппроксимируют уравнениями (3.48).
Применение кубических кривых обеспечивает (соответствующим выбором четырех коэффициентов в каждом из трех уравнений) выполнение четырех условий сопряжения сегментов. В случае кривых Безье этими условиями являются прохождение кривой сегмента через две заданные концевые точки и равенство в этих точках касательных векторов соседних сегментов. В случае 5-сплайнов выполняются условия непрерывности касательного вектора и кривизны (т. е. первой и второй производных) в двух концевых точках, что обеспечивает высокую степень гладкости кривой, хотя прохождение аппроксимирующей кривой через заданные точки здесь не обеспечивается. Применение полиномов выше третьей степени не рекомендуется, так как велика вероятность появления волнистости.
В случае формы Безье коэффициенты в (3.48) определяются, во-первых, подстановкой в (3.48) значений (=0к(=1и координат заданных концевых точек Р, и Р4 соответственно, во-вторых, подстановкой в выражения производных
dx/dt = За t2 + 2b + с, X X х"
dy/dt = За, Г2 + 2byt + с,
dz/dt = 3a.t2 + 2b.t + с.
тех же значений / = 0 и / = 1 и координат точек Р2 и Р3, задающих направления касательных векторов (рис. 3.27). В результате для формы Безье получаем
Кривая Безье. (3.27)
для которых матрица М имеет иной вид и представлена в табл. 3.12, а векторы Gx, Gy, G содержат соответствующие координаты точек Р, 1; Р, Р, + 1, Р, + 2.
Покажем, что в точках сопряжения для первой и второй производных аппроксимирующего выражения выполняются условия непрерывности, что требуется по определению В-сплайна. Обозначим участок аппроксимирующего В-сплайна, соответствующий участку [Р, Р +1] исходной кривой, через . Тогда для этого участка и координаты х в точке сопряжения Q/+ , имеем t = 1 и
Для участка в той же точке Qi+| имеем t = 0 и
т. е. равенство производных в точке сопряжения на соседних участках подтверждает непрерывность касательного вектора и кривизны. Естественно, что значение х координаты х точки Qi+1 аппроксимирующей кривой на участке .
равно значению х, подсчитанному для той же точки на участке , но значения координат узловых точек х и х+] аппроксимирующей и аппроксимируемой кривых не совпадают.
Аналогично можно получить выражения для форм Безье и 5-сплайнов применительно к поверхностям с учетом того, что вместо (3.48) используются кубические зависимости от двух переменных.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Статические и динамические модели. Анализ имитационных систем моделирования. Система моделирования "AnyLogic". Основные виды имитационного моделирования. Непрерывные, дискретные и гибридные модели. Построение модели кредитного банка и ее анализ.
дипломная работа , добавлен 24.06.2015
Задачи оптимизации сложных систем и подходы к их решению. Программная реализация анализа сравнительной эффективности метода изменяющихся вероятностей и генетического алгоритма с бинарным представлением решений. Метод решения задачи символьной регрессии.
диссертация , добавлен 02.06.2011
Характеристика основных принципов создания математических моделей гидрологических процессов. Описание процессов дивергенции, трансформации и конвергенции. Ознакомление с базовыми компонентами гидрологической модели. Сущность имитационного моделирования.
презентация , добавлен 16.10.2014
Основной тезис формализации. Моделирование динамических процессов и имитационное моделирование сложных биологических, технических, социальных систем. Анализ моделирования объекта и выделение всех его известных свойств. Выбор формы представления модели.
реферат , добавлен 09.09.2010
Эффективность макроэкономического прогнозирования. История возникновения моделирования экономики в Украине. Особенности моделирования сложных систем, направления и трудности моделирования экономики. Развитие и проблемы современной экономики Украины.
реферат , добавлен 10.01.2011
Основные проблемы эконометрического моделирования. Использование фиктивных переменных и гармонических трендов. Метод наименьших квадратов и выборочная дисперсия. Смысл коэффициента детерминации. Расчет функции эластичности. Свойства линейной модели.
контрольная работа , добавлен 06.11.2009
Теоретические и методологические основы моделирования развития фирм с рентноориентированным управлением. Экономико-математические основы моделирования динамически сложных систем. Функция заимствования: понятие, сущность, свойства, аналитический вид.
дипломная работа , добавлен 04.02.2011
Создание комбинированных моделей и методов как современный способ прогнозирования. Модель на основе ARIMA для описания стационарных и нестационарных временных рядов при решении задач кластеризации. Модели авторегрессии AR и применение коррелограмм.
презентация , добавлен 01.05.2015
Методика получения оценок, используемых в процедурах проектирования управленческих решений. Прикладное использование модели многофакторной линейной регрессии. Создание ковариационной матрицы данных и производных от неё паттернов проектирования решений.
статья , добавлен 03.09.2016
Анализ сложных систем. Проведение экономического исследования с применением технологии компьютерного моделирования. Построение блок-схем, маршрутов потоков сообщений. Разработка модели работы автобусного маршрута. Многовариантные расчеты модели.
