Preliminarne informacije
Opseg bilo koje ravne geometrijske figure u ravni definiran je kao zbir dužina svih njegovih strana. Trougao nije izuzetak od ovoga. Prvo dajemo pojam trokuta, kao i vrste trokuta u zavisnosti od stranica.
Definicija 1
Trougao ćemo nazvati geometrijskom figurom, koja se sastoji od tri tačke povezane segmentima (slika 1).
Definicija 2
Tačke unutar Definicije 1 zvaćemo vrhove trougla.
Definicija 3
Segmenti u okviru definicije 1 zvaćemo stranice trougla.
Očigledno je da će svaki trougao imati 3 vrha kao i 3 stranice.
Ovisno o međusobnom odnosu stranica, trokuti se dijele na skale, jednakokračne i jednakostranične.
Definicija 4
Za trokut se kaže da je razmjeran ako nijedna njegova stranica nije jednaka nijednoj drugoj.
Definicija 5
Trougao ćemo nazvati jednakokračnim ako su mu dvije stranice jednake jedna drugoj, ali nisu jednake trećoj strani.
Definicija 6
Trokut se naziva jednakostraničan ako su mu sve stranice jednake jedna drugoj.
Sve vrste ovih trouglova možete vidjeti na slici 2.
Kako pronaći obim razmjernog trougla?
Neka nam je dat skalirani trokut sa dužinama stranica jednakim $α$, $β$ i $γ$.
zaključak: Da biste pronašli opseg razmjernog trokuta, zbrojite sve dužine njegovih stranica.
Primjer 1
Nađite obim razmjernog trougla jednak $34$ cm, $12$ cm i $11$ cm.
$P=34+12+11=57$ cm
Odgovor: $57 vidi.
Primjer 2
Pronađite obim pravouglog trougla čiji su kraci $6$ i $8$ cm.
Prvo, pronalazimo dužinu hipotenusa ovog trokuta koristeći Pitagorinu teoremu. Označi ga onda sa $α$
$α=10$ Prema pravilu za izračunavanje obima skalenskog trougla dobijamo
$P=10+8+6=24$ cm
Odgovor: $24 vidi.
Kako pronaći obim jednakokračnog trougla?
Neka nam je dat jednakokraki trougao čije će stranice biti jednake $α$, a dužina baze jednaka $β$.
Po definiciji perimetra stana geometrijska figura, razumemo
$P=α+α+β=2α+β$
zaključak: Da biste pronašli obim jednakokračnog trougla, dodajte dvostruku dužinu njegovih stranica dužini njegove osnove.
Primjer 3
Nađite obim jednakokračnog trougla ako su njegove stranice $12$ cm, a osnova $11$ cm.
Iz gornjeg primjera to vidimo
$P=2\cdot 12+11=35$ cm
Odgovor: $35 vidi.
Primjer 4
Pronađite obim jednakokračnog trougla ako je njegova visina povučena do osnove $8$ cm, a osnova $12$ cm.
Razmotrite cifru prema stanju problema:
Pošto je trougao jednakokračan, $BD$ je također medijana, dakle $AD=6$ cm.
Po Pitagorinoj teoremi, iz trougla $ADB$ nalazimo stranicu. Označi ga onda sa $α$
Prema pravilu za izračunavanje perimetra jednakokračnog trougla, dobijamo
$P=2\cdot 10+12=32$ cm
Odgovor: $32 vidi.
Kako pronaći obim jednakostraničnog trougla?
Neka nam je dat jednakostranični trokut sa dužinama svih strana jednakim $α$.
Po definiciji perimetra ravne geometrijske figure, dobijamo to
$P=α+α+α=3α$
zaključak: Da biste pronašli obim jednakostraničnog trougla, pomnožite dužinu stranice trokuta sa 3$.
Primjer 5
Nađite obim jednakostraničnog trougla ako je njegova stranica $12$ cm.
Iz gornjeg primjera to vidimo
$P=3\cdot 12=36$ cm
Sadržaj:
Perimetar je ukupna dužina granica 2D oblika. Ako želite pronaći obim trokuta, morate dodati dužine svih njegovih stranica; ako ne znate dužinu barem jedne strane trougla, morate je pronaći. Ovaj članak će vam reći (a) kako pronaći obim trokuta s obzirom na tri poznate stranice; (b) kako pronaći obim pravouglog trougla kada su poznate samo dvije stranice; (c) kako pronaći obim bilo kojeg trougla kada su date dvije stranice i ugao između njih (koristeći zakon kosinusa).
Koraci
1 Na tri date strane
- 1 Da biste pronašli perimetar, koristite formulu: P \u003d a + b + c, gdje su a, b, c duljine tri strane, P je perimetar.
- 2
Pronađite dužine sve tri strane. U našem primjeru: a = 5, b = 5, c = 5.
- To je jednakostranični trougao jer su sve tri stranice iste dužine. Ali gornja formula vrijedi za bilo koji trokut.
- 3
Dodajte dužine sve tri strane da biste pronašli perimetar. U našem primjeru: 5 + 5 + 5 = 15, odnosno P = 15.
- Drugi primjer: a = 4, b = 3, c = 5. P = 3 + 4 + 5 = 12.
- 4
Ne zaboravite u svoj odgovor uključiti mjernu jedinicu. U našem primjeru, stranice se mjere u centimetrima, tako da vaš konačni odgovor mora uključivati i centimetre (ili jedinice navedene u opisu problema).
- U našem primjeru svaka strana je 5 cm, pa je konačni odgovor P = 15 cm.
2 Zadane su dvije strane pravokutnog trougla
- 1 Setite se Pitagorine teoreme. Ova teorema opisuje odnos između stranica pravouglog trougla i jedna je od najpoznatijih i primijenjenih teorema u matematici. Teorema kaže da su u bilo kojem pravokutnom trokutu stranice povezane sljedećim odnosom: a 2 + b 2 \u003d c 2, gdje su a, b noge, c hipotenuza.
- 2 Nacrtajte trougao i označite stranice kao a, b, c. Najduža stranica pravokutnog trougla je hipotenuza. Leži nasuprot pravog ugla. Označite hipotenuzu sa "c". Noge (susedne strane pravi ugao) označiti kao "a" i "b".
- 3
Zamijenite vrijednosti poznatih strana u Pitagorinu teoremu (a 2 + b 2 = c 2). Umjesto slova zamijenite brojeve date u uslovu zadatka.
- Na primjer, a = 3 i b = 4. Zamijenite ove vrijednosti u Pitagorinu teoremu: 3 2 + 4 2 = c 2 .
- Drugi primjer: a = 6 i c = 10. Tada: 6 2 + b 2 = 10 2
- 4
Riješite rezultirajuću jednačinu da pronađete nepoznatu stranu. Da biste to učinili, prvo kvadrirajte poznate dužine stranica (samo pomnožite broj koji vam je dat). Ako tražite hipotenuzu, saberite kvadrate dviju stranica i izvucite iz rezultirajućeg zbroja Kvadratni korijen. Ako tražite nogu, oduzmite kvadrat poznate noge od kvadrata hipotenuze i uzmite kvadratni korijen rezultirajućeg količnika.
- U prvom primjeru: 3 2 + 4 2 = c 2 ; 9 + 16 \u003d c 2; 25=c2; √25 = s. Dakle, c = 25.
- U drugom primjeru: 6 2 + b 2 = 10 2 ; 36 + b 2 \u003d 100. Prenesite 36 na desnu stranu jednačine i dobijete: b 2 = 64; b = √64. Dakle, b = 8.
- 5
- U našem prvom primjeru: P = 3 + 4 + 5 = 12.
- U našem drugom primjeru: P = 6 + 8 + 10 = 24.
3 Prema dvije date stranice i kut između njih
- 1 Bilo koja strana trokuta može se naći korištenjem zakona kosinusa ako su vam date dvije stranice i ugao između njih. Ova teorema se odnosi na sve trokute i vrlo je korisna formula. Kosinus teorem: c 2 \u003d a 2 + b 2 - 2abcos (C), gdje su a, b, c stranice trokuta, A, B, C su uglovi nasuprot odgovarajućih strana trokuta.
- 2 Nacrtajte trougao i označite stranice kao a, b, c; označite uglove naspram odgovarajućih strana kao A, B, C (to jest, ugao nasuprot strani "a", označite ga kao "A" i tako dalje).
- Na primjer, dat je trokut sa stranicama 10 i 12 i uglom između njih od 97°, odnosno a = 10, b = 12, C = 97°.
- 3
Zamijenite vrijednosti koje su vam date u formulu i pronađite nepoznatu stranu "c". Prvo kvadrirajte dužine poznatih stranica i dodajte rezultirajuće vrijednosti. Zatim pronađite kosinus ugla C (pomoću kalkulatora ili online kalkulatora). Pomnožite dužine poznatih stranica sa kosinusom datog ugla i sa 2 (2abcos(C)). Oduzmite rezultujuću vrednost od zbira kvadrata dve strane (a 2 + b 2), i dobićete c 2 . Uzmite kvadratni korijen ove vrijednosti da biste pronašli dužinu nepoznate stranice "c". U našem primjeru:
- c 2 \u003d 10 2 + 12 2 - 2 × 10 × 12 × cos (97)
- c 2 \u003d 100 + 144 - (240 × -0,12187)
- c 2 \u003d 244 - (-29,25)
- c2 = 244 + 29,25
- c2 = 273,25
- c = 16,53
- 4
Dodajte dužine tri strane da biste pronašli perimetar. Podsjetimo da se perimetar izračunava po formuli: P = a + b + c.
- U našem primjeru: P = 10 + 12 + 16,53 = 38,53.
Perimetar je veličina koja podrazumijeva dužinu svih strana ravne (dvodimenzionalne) geometrijske figure. Za različite geometrijske oblike, postoje različiti načini za pronalaženje perimetra.
U ovom članku ćete naučiti kako pronaći perimetar oblika. Različiti putevi, u zavisnosti od njegovih poznatih lica.
U kontaktu sa
Moguće metode:
- poznate su sve tri strane jednakokračnog ili bilo kojeg drugog trougla;
- kako pronaći obim pravokutnog trougla sa dva poznata lica;
- dva lica i ugao koji se nalazi između njih (kosinus formula) poznati su bez srednje linije i visine.
Prva metoda: poznate su sve strane figure
Kako pronaći obim trougla kada su sva tri lica poznata, morate koristiti sljedeću formulu: P = a + b + c, gdje su a,b,c poznate dužine svih strana trougla, P je obim figure.
Na primjer, poznate su tri strane figure: a = 24 cm, b = 24 cm, c = 24 cm Ovo je pravilna jednakokračna figura, za izračunavanje perimetra koristimo formulu: P = 24 + 24 + 24 = 72 cm.
Ova formula radi za bilo koji trokut, samo trebate znati dužine svih njegovih stranica. Ako je barem jedan od njih nepoznat, trebate koristiti druge metode, o kojima ćemo govoriti u nastavku.
Drugi primjer: a = 15 cm, b = 13 cm, c = 17 cm Izračunajte obim: P = 15 + 13 + 17 = 45 cm.
Veoma je važno u primljenom odgovoru označiti mjernu jedinicu. U našim primjerima, dužine stranica su u centimetrima (cm), međutim, postoje različiti zadaci u kojima su prisutne druge mjerne jedinice.
Druga metoda: pravokutni trokut i njegove dvije poznate stranice
U slučaju kada je u zadatku koji treba riješiti dat pravokutni lik čije su dužine dva lica poznate, a treće nije, potrebno je koristiti Pitagorinu teoremu.
Opisuje odnos između strana pravokutnog trougla. Formula opisana ovom teoremom jedna je od najpoznatijih i najčešće korištenih teorema u geometriji. Dakle, evo same teoreme:
Stranice svakog pravouglog trougla su opisane sljedećom jednačinom: a^2 + b^2 = c^2, gdje su a i b kraci figure, a c hipotenuza.
- Hipotenuza. Uvek se nalazi nasuprot pravog ugla (90 stepeni), a ujedno je i najduža strana trougla. U matematici je uobičajeno da se hipotenuza označava slovom c.
- Noge- to su strane pravouglog trougla koje pripadaju pravom uglu i označene su slovima a i b. Jedna od nogu je ujedno i visina figure.
Dakle, ako uslovi zadatka određuju dužine dva od tri lica takve geometrijske figure, koristeći Pitagorinu teoremu, potrebno je pronaći dimenziju trećeg lica, a zatim koristiti formulu iz prve metode.
Na primjer, znamo dužinu 2 kraka: a = 3 cm, b = 5 cm. Zamijenite vrijednosti u teoremu: 3^2 + 4^2 = c^2 => 9 + 16 = c^2 => 25 = c ^2 => c = 5 cm Dakle, hipotenuza takvog trougla je 5 cm. Inače, ovaj primjer je najčešći i zove se. Drugim riječima, ako su dva kraka figure 3 cm i 4 cm, tada će hipotenuza biti 5 cm, respektivno.
Ako je dužina jednog od krakova nepoznata, potrebno je transformirati formulu na sljedeći način: c^2 - a^2 = b^2. I obrnuto za drugu nogu.
Nastavimo primjer. Sada se morate obratiti standardnoj formuli za pronalaženje perimetra figure: P = a + b + c. U našem slučaju: P = 3 + 4 + 5 = 12 cm.
Treći metod: pomoću dva lica i ugla između njih
U srednjoj školi, kao i na fakultetu, najčešće se morate obratiti ovu metodu pronalaženje perimetra. Ako uslovi zadatka specificiraju dužine dviju stranica, kao i dimenziju ugla između njih, tada koristiti zakon kosinusa.
Ova teorema vrijedi za apsolutno svaki trokut, što ga čini jednim od najkorisnijih u geometriji. Sama teorema izgleda ovako: c^2 \u003d a^2 + b^2 - (2 * a * b * cos (C)), gdje su a, b, c standardne dužine lica, a A, B i C su uglovi koji leže nasuprot odgovarajućih strana trougla. To jest, A je ugao suprotnoj strani a, i tako dalje.
Zamislite da je opisan trokut čije su stranice a i b 100 cm, odnosno 120 cm, a ugao između njih je 97 stepeni. To jest, a = 100 cm, b = 120 cm, C = 97 stepeni.
Sve što treba učiniti u ovom slučaju je zamijeniti sve poznate vrijednosti u kosinus teoremu. Dužine poznatih lica se kvadriraju, nakon čega se poznate stranice množe jedna s drugom i sa dva i pomnože kosinusom ugla između njih. Zatim morate dodati kvadrate lica i oduzeti drugu vrijednost dobivenu od njih. Kvadratni korijen se izvlači iz konačne vrijednosti - ovo će biti treća, ranije nepoznata strana.
Nakon što su sva tri lica figure poznata, ostaje nam koristiti standardnu formulu za pronalaženje perimetra opisane figure iz prve metode, u koju smo se već zaljubili.
Bilo koji trougao jednak je zbiru dužina njegove tri strane. Opća formula za pronalaženje perimetra trokuta je:
P = a + b + c
Gdje P je obim trougla a, b I c- njegove strane.
Može se naći tako što se dužine njegovih stranica zbrajaju u nizu ili tako da se dužina stranice pomnoži sa 2 i doda dužina baze proizvodu. Opća formula za pronalaženje perimetra jednakokračnih trokuta izgledat će ovako:
P = 2a + b
Gdje P je obim jednakokračnog trokuta, a- bilo koju stranu, b- baza.
Možete ga pronaći dodavanjem dužina njegovih stranica u nizu ili množenjem dužine bilo koje od njegovih stranica sa 3. Opća formula za pronalaženje perimetra jednakostraničnih trokuta izgledat će ovako:
P = 3a
Gdje P je obim jednakostraničnog trougla, a- bilo koju njegovu stranu.
Square
Da biste izmjerili površinu trokuta, možete ga usporediti s paralelogramom. Zamislite trougao ABC:
Ako uzmete trokut jednak njemu i pričvrstite ga tako da dobijete paralelogram, dobićete paralelogram iste visine i osnove kao i ovaj trokut:
U ovom slučaju, zajednička stranica trokuta presavijenih zajedno je dijagonala formiranog paralelograma. Iz svojstva paralelograma se zna da dijagonala uvijek dijeli paralelogram na dva jednaka trokuta, što znači da je površina svakog trokuta jednaka polovini površine paralelograma.
Pošto je površina paralelograma jednaka umnošku njegove osnove i visine, površina trokuta će biti jednaka polovini ovog proizvoda. Dakle za Δ ABC površina će biti jednaka
Sada razmotrite pravougli trokut:
Dva jednaka pravougaona trougla mogu se saviti u pravougaonik ako su hipotenuzom naslonjeni jedan na drugi. Budući da je površina pravokutnika jednaka njegovom proizvodu susjedne stranke, tada je površina trokuta:
Iz ovoga možemo zaključiti da je površina bilo kojeg pravokutnog trokuta jednaka umnošku nogu podijeljenih sa 2.
Iz ovih primjera može se zaključiti da površina bilo kojeg trokuta jednaka je umnošku dužine baze i visine spuštene na bazu, podijeljeno sa 2. Opća formula za pronalaženje površine trokuta izgledat će ovako:
| S = | ah a |
| 2 |
Gdje S je površina trougla, a- njen temelj h a- visina spuštena do osnove a.
Preliminarne informacije
Opseg bilo koje ravne geometrijske figure u ravni definiran je kao zbir dužina svih njegovih strana. Trougao nije izuzetak od ovoga. Prvo dajemo pojam trokuta, kao i vrste trokuta u zavisnosti od stranica.
Definicija 1
Trougao ćemo nazvati geometrijskom figurom, koja se sastoji od tri tačke povezane segmentima (slika 1).
Definicija 2
Tačke unutar Definicije 1 zvaćemo vrhove trougla.
Definicija 3
Segmenti u okviru definicije 1 zvaćemo stranice trougla.
Očigledno je da će svaki trougao imati 3 vrha kao i 3 stranice.
Ovisno o međusobnom odnosu stranica, trokuti se dijele na skale, jednakokračne i jednakostranične.
Definicija 4
Za trokut se kaže da je razmjeran ako nijedna njegova stranica nije jednaka nijednoj drugoj.
Definicija 5
Trougao ćemo nazvati jednakokračnim ako su mu dvije stranice jednake jedna drugoj, ali nisu jednake trećoj strani.
Definicija 6
Trokut se naziva jednakostraničan ako su mu sve stranice jednake jedna drugoj.
Sve vrste ovih trouglova možete vidjeti na slici 2.
Kako pronaći obim razmjernog trougla?
Neka nam je dat skalirani trokut sa dužinama stranica jednakim $α$, $β$ i $γ$.
zaključak: Da biste pronašli opseg razmjernog trokuta, zbrojite sve dužine njegovih stranica.
Primjer 1
Nađite obim razmjernog trougla jednak $34$ cm, $12$ cm i $11$ cm.
$P=34+12+11=57$ cm
Odgovor: $57 vidi.
Primjer 2
Pronađite obim pravouglog trougla čiji su kraci $6$ i $8$ cm.
Prvo, pronalazimo dužinu hipotenusa ovog trokuta koristeći Pitagorinu teoremu. Označi ga onda sa $α$
$α=10$ Prema pravilu za izračunavanje obima skalenskog trougla dobijamo
$P=10+8+6=24$ cm
Odgovor: $24 vidi.
Kako pronaći obim jednakokračnog trougla?
Neka nam je dat jednakokraki trougao čije će stranice biti jednake $α$, a dužina baze jednaka $β$.
Po definiciji perimetra ravne geometrijske figure, dobijamo to
$P=α+α+β=2α+β$
zaključak: Da biste pronašli obim jednakokračnog trougla, dodajte dvostruku dužinu njegovih stranica dužini njegove osnove.
Primjer 3
Nađite obim jednakokračnog trougla ako su njegove stranice $12$ cm, a osnova $11$ cm.
Iz gornjeg primjera to vidimo
$P=2\cdot 12+11=35$ cm
Odgovor: $35 vidi.
Primjer 4
Pronađite obim jednakokračnog trougla ako je njegova visina povučena do osnove $8$ cm, a osnova $12$ cm.
Razmotrite cifru prema stanju problema:
Pošto je trougao jednakokračan, $BD$ je također medijana, dakle $AD=6$ cm.
Po Pitagorinoj teoremi, iz trougla $ADB$ nalazimo stranicu. Označi ga onda sa $α$
Prema pravilu za izračunavanje perimetra jednakokračnog trougla, dobijamo
$P=2\cdot 10+12=32$ cm
Odgovor: $32 vidi.
Kako pronaći obim jednakostraničnog trougla?
Neka nam je dat jednakostranični trokut sa dužinama svih strana jednakim $α$.
Po definiciji perimetra ravne geometrijske figure, dobijamo to
$P=α+α+α=3α$
zaključak: Da biste pronašli obim jednakostraničnog trougla, pomnožite dužinu stranice trokuta sa 3$.
Primjer 5
Nađite obim jednakostraničnog trougla ako je njegova stranica $12$ cm.
Iz gornjeg primjera to vidimo
$P=3\cdot 12=36$ cm
