Podívejme se, jak zkoumat funkci pomocí grafu. Ukazuje se, že pohledem na graf můžeme zjistit vše, co nás zajímá, a to:
- doména funkce
- funkční rozsah
- funkce nuly
- intervaly zvyšování a snižování
- maximální a minimální počet bodů
- největší a nejmenší hodnota funkce na segmentu.
Ujasněme si terminologii:
Úsečka je vodorovná souřadnice bodu.
Ordinovat- vertikální souřadnice.
Abscisa osa- vodorovná osa, nejčastěji nazývaná osa.
osa Y- vertikální osa nebo osa.
Argument- nezávislá proměnná, na které závisí hodnoty funkce. Nejčastěji indikováno.
Jinými slovy, vybereme , dosadíme funkce do vzorce a dostaneme .
Doména funkce - množina těch (a pouze těch) hodnot argumentů, pro které funkce existuje.
Označuje: nebo .
V našem obrázku je doménou definice funkce segment. Právě na tomto segmentu je vykreslen graf funkce. Jen tady tuto funkci existuje.
Rozsah funkcí je množina hodnot, které proměnná nabývá. Na našem obrázku se jedná o segment – od nejnižší po nejvyšší hodnotu.
Funkce nuly- body, kde je hodnota funkce nulová, tzn. V našem obrázku jsou to body a .
Funkční hodnoty jsou kladné kde . Na našem obrázku jsou to intervaly a .
Funkční hodnoty jsou záporné kde . Pro nás je to interval (nebo interval) od do .
Nejdůležitější pojmy - rostoucí a klesající funkce na nějaké sadě. Jako množinu můžete vzít segment, interval, sjednocení intervalů nebo celou číselnou řadu.
Funkce zvyšuje
Jinými slovy, čím více, tím více, to znamená, že graf jde doprava a nahoru.
Funkce klesá na množině je-li pro nějakou a patřící do množiny, nerovnost implikuje nerovnost .
U klesající funkce větší hodnota odpovídá menší hodnotě. Graf jde doprava a dolů.
V našem obrázku funkce roste na intervalu a klesá na intervalech a .
Pojďme definovat, co to je maximální a minimální body funkce.
Maximální bod- jedná se o vnitřní bod definičního oboru, takže hodnota funkce v něm je větší než ve všech bodech dostatečně blízko k němu.
Jinými slovy, maximální bod je bod, ve kterém je hodnota funkce více než v sousedních. Toto je místní „kopec“ na mapě.
V našem obrázku je maximální bod.
Minimální bod- vnitřní bod definičního oboru tak, že hodnota funkce v něm je menší než ve všech bodech dostatečně blízko k němu.
To znamená, že minimální bod je takový, že hodnota funkce v něm je menší než v jeho sousedech. Toto je místní „díra“ v grafu.
Na našem obrázku je minimální bod.
Pointa je hranice. Není to vnitřní bod definičního oboru, a proto neodpovídá definici maximálního bodu. Ostatně nemá žádné sousedy zleva. Stejně tak na našem grafu nemůže být minimální bod.
Nazývají se maximální a minimální body dohromady extrémní body funkce. V našem případě je to a .
Co dělat, když potřebujete najít např. minimální funkce v segmentu? V tomto případě je odpověď: . Protože minimální funkce je jeho hodnota v minimálním bodě.
Podobně maximum naší funkce je . Je dosaženo v bodě .
Můžeme říci, že extrémy funkce jsou rovny a .
Někdy problémy vyžadují nalezení největší a nejmenší hodnotu funkce na daném segmentu. Nemusí se nutně shodovat s extrémy.
V našem případě nejmenší funkční hodnota na segmentu se rovná minimu funkce a shoduje se s ním. Ale jeho největší hodnota v tomto segmentu je rovna . Dosahuje se na levém konci segmentu.
V každém případě jsou největší a nejmenší hodnoty spojité funkce na segmentu dosaženy buď v extrémních bodech, nebo na koncích segmentu.
1. Zlomková lineární funkce a její graf
Funkce ve tvaru y = P(x) / Q(x), kde P(x) a Q(x) jsou polynomy, se nazývá zlomková racionální funkce.
Pravděpodobně již znáte koncept racionálních čísel. Rovněž racionální funkce jsou funkce, které lze znázornit jako podíl dvou polynomů.
Je-li zlomková racionální funkce podílem dvou lineárních funkcí - polynomů prvního stupně, tzn. funkce formuláře
y = (ax + b) / (cx + d), pak se nazývá zlomková lineární.
Všimněte si, že ve funkci y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (jinak se funkce stane lineární y = ax/d + b/d) a že a/c ≠ b/d (jinak funkce je konstantní). Lineární zlomková funkce je definována pro všechna reálná čísla kromě x = -d/c. Grafy zlomkových lineárních funkcí se tvarem neliší od grafu y = 1/x, který znáte. Zavolá se křivka, která je grafem funkce y = 1/x nadsázka. Při neomezeném nárůstu x v absolutní hodnotě funkce y = 1/x neomezeně klesá v absolutní hodnotě a obě větve grafu se blíží k úsečce: pravá shora a levá zdola. Čáry, ke kterým se větve hyperboly blíží, se nazývají její asymptoty.
Příklad 1
y = (2x + 1) / (x – 3).
Řešení.
Vyberme celou část: (2x + 1) / (x – 3) = 2 + 7/(x – 3).
Nyní je snadné vidět, že graf této funkce získáme z grafu funkce y = 1/x následujícími transformacemi: posun o 3 jednotkové segmenty doprava, protažení podél osy Oy 7krát a posunutí o 2 segmenty jednotky směrem nahoru.
Podobným způsobem lze zapsat libovolný zlomek y = (ax + b) / (cx + d) se zvýrazněním „celé části“. V důsledku toho jsou grafy všech zlomkových lineárních funkcí hyperboly, posunuté různými způsoby podél souřadnicových os a natažené podél osy Oy.
Sestavit graf libovolného zlomku lineární funkce Zlomek definující tuto funkci není vůbec nutné transformovat. Protože víme, že graf je hyperbola, bude stačit najít přímky, ke kterým se jeho větve blíží - asymptoty hyperboly x = -d/c a y = a/c.
Příklad 2
Najděte asymptoty grafu funkce y = (3x + 5)/(2x + 2).
Řešení.
Funkce není definována, při x = -1. To znamená, že přímka x = -1 slouží jako vertikální asymptota. Abychom našli horizontální asymptotu, zjistěme, k čemu se blíží hodnoty funkce y(x), když argument x vzroste v absolutní hodnotě.
Chcete-li to provést, vydělte čitatel a jmenovatel zlomku x:
y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).
Jako x → ∞ bude mít zlomek tendenci k 3/2. To znamená, že vodorovná asymptota je přímka y = 3/2.
Příklad 3
Nakreslete graf funkce y = (2x + 1)/(x + 1).
Řešení.
Vyberme „celou část“ zlomku:
(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 – 1) / (x + 1) = 2 (x + 1) / (x + 1) – 1/(x + 1) =
2 – 1/(x + 1).
Nyní je dobře vidět, že graf této funkce získáme z grafu funkce y = 1/x následujícími transformacemi: posunem o 1 jednotku doleva, symetrickým zobrazením vzhledem k Ox a posunem o 2 segmenty jednotky nahoru podél osy Oy.
Doména D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).
Rozsah hodnot E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).
Průsečíky s osami: c Oy: (0; 1); c Ox: (-1/2; 0). Funkce se zvyšuje v každém intervalu definičního oboru.
Odpověď: Obrázek 1.
2. Zlomková racionální funkce
Uvažujme zlomkovou racionální funkci tvaru y = P(x) / Q(x), kde P(x) a Q(x) jsou polynomy stupně vyššího než první.
Příklady takových racionálních funkcí:
y = (x 3 – 5x + 6) / (x 7 – 6) nebo y = (x – 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).
Pokud funkce y = P(x) / Q(x) představuje podíl dvou polynomů stupně vyššího než první, pak bude její graf zpravidla složitější a někdy může být obtížné jej přesně sestrojit. , se všemi detaily. Často však stačí použít techniky podobné těm, které jsme již představili výše.
Nechť zlomek je vlastní zlomek (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:
P(x)/Q(x) = A 1 /(x – K 1) m1 + A 2 /(x – K 1) m1-1 + … + A m1 /(x – K 1) + …+
L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+
+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+
+ (M 1 x + N 1) / (x 2 + pt x + q t) m1 + ... + (M 1 x + N 1) / (x 2 + pt x + qt).
Je zřejmé, že graf zlomkové racionální funkce lze získat jako součet grafů elementárních zlomků.
Vykreslování grafů zlomkových racionálních funkcí
Zvažme několik způsobů, jak sestrojit grafy zlomkové racionální funkce.
Příklad 4.
Nakreslete graf funkce y = 1/x 2 .
Řešení.
Z grafu funkce y = x 2 sestrojíme graf y = 1/x 2 a použijeme techniku „dělení“ grafů.
Doména D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).
Rozsah hodnot E(y) = (0; +∞).
Nejsou zde žádné průsečíky s osami. Funkce je sudá. Zvyšuje pro všechna x z intervalu (-∞; 0), snižuje pro x od 0 do +∞.
Odpověď: Obrázek 2.
Příklad 5.
Graf funkce y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x).
Řešení.
Doména D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).
y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) = (x – 3) (x – 1) / (-3 (x – 3)) = -(x – 1)/3 = -x/ 3 + 1/3.
Zde jsme použili techniku faktorizace, redukce a redukce na lineární funkci.
Odpověď: Obrázek 3.
Příklad 6.
Nakreslete graf funkce y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1).
Řešení.
Definiční obor je D(y) = R. Protože funkce je sudá, je graf symetrický podle ordináty. Než vytvoříme graf, transformujme výraz znovu a zvýrazněme celou část:
y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) = 1 – 2/(x 2 + 1).
Všimněte si, že izolace části celého čísla ve vzorci zlomkové racionální funkce je jednou z hlavních při sestavování grafů.
Jestliže x → ±∞, pak y → 1, tzn. přímka y = 1 je vodorovná asymptota.
Odpověď: Obrázek 4.
Příklad 7.
Uvažujme funkci y = x/(x 2 + 1) a pokusme se přesně najít její největší hodnotu, tzn. nejvyšší bod v pravé polovině grafu. K přesné konstrukci tohoto grafu dnešní znalosti nestačí. Je zřejmé, že naše křivka nemůže „vystoupat“ příliš vysoko, protože jmenovatel rychle začne „předbíhat“ čitatele. Podívejme se, zda se hodnota funkce může rovnat 1. K tomu potřebujeme vyřešit rovnici x 2 + 1 = x, x 2 – x + 1 = 0. Tato rovnice nemá žádné reálné kořeny. To znamená, že náš předpoklad je nesprávný. Chcete-li najít co nejvíce velká důležitost funkce, musíte zjistit, v jakém největším A bude mít rovnice A = x/(x 2 + 1) řešení. Původní rovnici nahraďme kvadratickou: Аx 2 – x + А = 0. Tato rovnice má řešení, když 1 – 4А 2 ≥ 0. Odtud najdeme nejvyšší hodnotu A = 1/2. 
Odpověď: Obrázek 5, max y(x) = ½.
Máte ještě otázky? Nevíte si rady s grafem funkcí?
Chcete-li získat pomoc od lektora, zaregistrujte se.
První lekce je zdarma!
webové stránky, při kopírování celého materiálu nebo jeho části je vyžadován odkaz na zdroj.
Lineární funkce je funkcí tvaru y=kx+b, kde x je nezávislá proměnná, kab jsou libovolná čísla.
Grafem lineární funkce je přímka.
1. Chcete-li vykreslit funkční graf, potřebujeme souřadnice dvou bodů patřících do grafu funkce. Chcete-li je najít, musíte vzít dvě hodnoty x, dosadit je do rovnice funkce a použít je k výpočtu odpovídajících hodnot y.
Například pro vykreslení funkce y= x+2 je vhodné vzít x=0 a x=3, pak se souřadnice těchto bodů budou rovnat y=2 ay=3. Dostaneme body A(0;2) a B(3;3). Spojme je a získáme graf funkce y= x+2:
2.
Ve vzorci y=kx+b se číslo k nazývá koeficient úměrnosti:
je-li k>0, pak funkce y=kx+b roste
pokud k
Koeficient b ukazuje posunutí grafu funkce podél osy OY:
pokud b>0, pak graf funkce y=kx+b získáme z grafu funkce y=kx posunutím jednotek b nahoru podél osy OY
pokud b
Obrázek níže ukazuje grafy funkcí y=2x+3; y = 1/2 x + 3; y=x+3
Všimněte si, že ve všech těchto funkcích je koeficient k Nad nulou, a funkce jsou vzrůstající. Navíc, čím větší je hodnota k, tím větší je úhel sklonu přímky ke kladnému směru osy OX.
Ve všech funkcích b=3 - a vidíme, že všechny grafy protínají osu OY v bodě (0;3)
Nyní zvažte grafy funkcí y=-2x+3; y = - 1/2 x + 3; y=-x+3
Tentokrát ve všech funkcích koeficient k méně než nula a funkcí klesají. Koeficient b=3 a grafy, stejně jako v předchozím případě, protínají osu OY v bodě (0;3)
Uvažujme grafy funkcí y=2x+3; y=2x; y=2x-3
Nyní jsou ve všech funkčních rovnicích koeficienty k rovné 2. A máme tři rovnoběžné přímky.
Ale koeficienty b jsou různé a tyto grafy protínají osu OY v různých bodech:
Graf funkce y=2x+3 (b=3) protíná osu OY v bodě (0;3)
Graf funkce y=2x (b=0) protíná osu OY v bodě (0;0) - počátku.
Graf funkce y=2x-3 (b=-3) protíná osu OY v bodě (0;-3)
Pokud tedy známe znaménka koeficientů k a b, pak si můžeme hned představit, jak vypadá graf funkce y=kx+b.
Li k 0
Li k>0 a b>0, pak graf funkce y=kx+b vypadá takto:
Li k>0 a b, pak graf funkce y=kx+b vypadá takto:
Li k, pak graf funkce y=kx+b vypadá takto:
Li k=0, pak se funkce y=kx+b změní na funkci y=b a její graf vypadá takto:
Pořadnice všech bodů na grafu funkce y=b se rovnají b If b=0, pak graf funkce y=kx (přímá úměrnost) prochází počátkem:
3. Samostatně si povšimněme grafu rovnice x=a. Grafem této rovnice je přímka rovnoběžná s osou OY, jejíž všechny body mají úsečku x=a.
Například graf rovnice x=3 vypadá takto:
Pozornost! Rovnice x=a není funkce, takže odpovídá jedna hodnota argumentu různé významy funkce, což neodpovídá definici funkce.
4. Podmínka pro rovnoběžnost dvou čar:
Graf funkce y=k 1 x+b 1 je rovnoběžný s grafem funkce y=k 2 x+b 2, jestliže k 1 =k 2
5. Podmínka, aby dvě přímky byly kolmé:
Graf funkce y=k 1 x+b 1 je kolmý na graf funkce y=k 2 x+b 2, pokud k 1 *k 2 =-1 nebo k 1 =-1/k 2
6. Průsečíky grafu funkce y=kx+b se souřadnicovými osami.
S osou OY. Úsečka libovolného bodu náležejícího k ose OY je rovna nule. Proto, abyste našli průsečík s osou OY, musíte do rovnice funkce místo x dosadit nulu. Dostaneme y=b. To znamená, že průsečík s osou OY má souřadnice (0; b).
S osou OX: Pořadnice libovolného bodu patřícího k ose OX je nula. Proto, abyste našli průsečík s osou OX, musíte do rovnice funkce místo y dosadit nulu. Dostaneme 0=kx+b. Proto x=-b/k. To znamená, že průsečík s osou OX má souřadnice (-b/k;0):
Funkce sestavení
Nabízíme vám službu pro vytváření grafů funkcí online, ke které patří veškerá práva společnosti Desmos. Pro zadání funkcí použijte levý sloupec. Můžete zadat ručně nebo pomocí virtuální klávesnice v dolní části okna. Pro zvětšení okna s grafem můžete skrýt levý sloupec i virtuální klávesnici.
Výhody online mapování
- Vizuální zobrazení zadaných funkcí
- Vytváření velmi složitých grafů
- Konstrukce grafů zadaných implicitně (například elipsa x^2/9+y^2/16=1)
- Možnost ukládat grafy a dostávat na ně odkaz, který bude dostupný všem na internetu
- Ovládání měřítka, barvy čáry
- Možnost vykreslování grafů po bodech, pomocí konstant
- Vykreslování několika funkčních grafů současně
- Vykreslování v polárních souřadnicích (použijte r a θ(\theta))
S námi je snadné vytvářet online grafy různé složitosti. Stavba je provedena okamžitě. Služba je žádaná pro hledání průsečíků funkcí, pro zobrazení grafů pro jejich další přesun do dokumentu Wordu jako ilustrace při řešení problémů a pro analýzu behaviorálních rysů funkčních grafů. Optimálním prohlížečem pro práci s grafy na této webové stránce je Google Chrome. Při použití jiných prohlížečů není zaručena správná funkce.
