Jsou uvedeny definice distribuční funkce. náhodná proměnná a Hustota pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny. Tyto pojmy jsou aktivně využívány v článcích o statistikách webových stránek. Jsou zvažovány příklady výpočtu distribuční funkce a hustoty pravděpodobnosti pomocí funkcí MS EXCEL..
Pojďme se představit základní pojmy statistiky, bez které nelze vysvětlit složitější pojmy.
Populace a náhodná veličina
Nechte nás populace(populace) N objektů, z nichž každý má určitou hodnotu nějaké číselné charakteristiky X.
Příkladem obecné populace (GS) je soubor závaží podobných dílů, které vyrábí stroj.
Vzhledem k tomu, že v matematické statistice se jakýkoli závěr dělá pouze na základě charakteristik X (abstrakce od objektů samotných), pak z tohoto pohledu populace představuje N čísel, mezi nimiž v obecný případ, může být stejný.
V našem příkladu je GS jednoduše číselné pole hodnot hmotnosti dílů. X je hmotnost jedné z částí.
Pokud z daného GS náhodně vybereme jeden objekt s charakteristikou X, pak hodnota X je náhodná proměnná. Podle definice jakékoli náhodná hodnota Má to distribuční funkce, který se obvykle označuje F(x).
Distribuční funkce
Distribuční funkce pravděpodobnosti náhodná proměnná X je funkce F(x), jejíž hodnota v bodě x je rovna pravděpodobnosti jevu X F(x) = P(X Vysvětleme použití našeho stroje jako příklad. Přestože se předpokládá, že náš stroj bude vyrábět pouze jeden typ dílu, je zřejmé, že hmotnost vyrobených dílů se bude od sebe mírně lišit. To je možné díky skutečnosti, že při výrobě by mohly být použity různé materiály a také se mohou mírně lišit podmínky zpracování atd. Nechte nejtěžší část vyrobenou strojem váží 200 g a nejlehčí - 190 g. Pravděpodobnost, že do pravděpodobnost, že vybraný díl X bude vážit méně než 200 g, se rovná 1. Pravděpodobnost, že bude vážit méně než 190 g, se rovná 0. Mezihodnoty jsou určeny formou distribuční funkce. Pokud je například proces nastaven na výrobu dílů o hmotnosti 195 g, pak je rozumné předpokládat, že pravděpodobnost výběru dílu lehčího než 195 g je 0,5. Typický graf Distribuční funkce pro spojitou náhodnou proměnnou je znázorněno na obrázku níže (fialová křivka, viz ukázkový soubor): Nápověda v MS EXCEL Distribuční funkce volal Integrální distribuční funkce (KumulativníRozděleníFunkce,
CDF). Zde jsou některé vlastnosti Distribuční funkce: Připomeňme vám to hustota distribuce je odvozeno z distribuční funkce, tj. „rychlost“ jeho změny: p(x)=(F(x2)-F(x1))/Dx s Dx inklinující k 0, kde Dx=x2-x1. Tito. Skutečnost, že hustota distribuce>1 pouze znamená, že distribuční funkce roste poměrně rychle (to je zřejmé z příkladu). Poznámka: Oblast zcela obsažená pod celou reprezentující křivkou hustota distribuce, se rovná 1. Poznámka: Připomeňme, že distribuční funkce F(x) je volána ve funkcích MS EXCEL kumulativní distribuční funkce. Tento výraz je přítomen v parametrech funkcí, například NORM.DIST (x; průměr; směrodatná_odchylka; integrální). Pokud by se funkce MS EXCEL měla vrátit distribuční funkce, pak parametr integrální, d.b. nastaveno na TRUE. Pokud potřebujete spočítat hustota pravděpodobnosti, pak parametr integrální, d.b. LHÁT. Poznámka: Pro diskrétní distribuce Pravděpodobnost, že náhodná veličina nabude určité hodnoty, se také často nazývá hustota pravděpodobnosti (pravděpodobnostní hmotnostní funkce (pmf)). Nápověda v MS EXCEL hustota pravděpodobnosti lze dokonce nazvat „funkcí měření pravděpodobnosti“ (viz funkce BINOM.DIST()). Je jasné, že za účelem výpočtu hustota pravděpodobnosti pro určitou hodnotu náhodné veličiny potřebujete znát její rozdělení. najdeme hustota pravděpodobnosti pro N(0;l) při x=2. Chcete-li to provést, musíte napsat vzorec =NORMAL.ST.DIST(2;FALSE)=0,054 nebo =NORMAL.DIST(2;0;1;FALSE). Připomeňme vám to pravděpodobnostže spojitá náhodná veličina bude mít konkrétní hodnotu x je 0. Pro spojitá náhodná veličina X lze vypočítat pouze podle pravděpodobnosti události, že X nabude hodnoty obsažené v intervalu (a; b). 1) Najděte pravděpodobnost, že náhodná proměnná distribuovaná (viz obrázek výše) nabude kladné hodnoty. Podle majetku Distribuční funkce pravděpodobnost je F(+∞)-F(0)=1-0,5=0,5. NORM.ST.DIST(9,999E+307;PRAVDA) -NORM.ST.DIST(0;PRAVDA) =1-0,5. 2) Najděte pravděpodobnost, že se náhodná proměnná rozloží , nabylo záporné hodnoty. Podle definice Distribuční funkce pravděpodobnost je F(0)=0,5. V MS EXCEL pro zjištění této pravděpodobnosti použijte vzorec =NORMAL.ST.DIST(0;PRAVDA) =0,5. 3) Najděte pravděpodobnost, že se náhodná proměnná rozloží standardní normální rozdělení, bude mít hodnotu obsaženou v intervalu (0; 1). Pravděpodobnost je rovna F(1)-F(0), tzn. od pravděpodobnosti výběru X z intervalu (-∞;1) je třeba odečíst pravděpodobnost výběru X z intervalu (-∞;0). V MS EXCEL použijte vzorec =NORM.ST.DIST(1,PRAVDA) - NORM.ST.DIST(0,PRAVDA). Všechny výpočty uvedené výše se vztahují na náhodnou proměnnou rozdělenou přes standardní normální zákon N(0;1). Je zřejmé, že hodnoty pravděpodobnosti závisí na konkrétním rozdělení. V článku distribuční funkce najděte bod, pro který F(x) = 0,5, a potom najděte úsečku tohoto bodu. Abscisa bodu =0, tzn. pravděpodobnost, že náhodná proměnná X nabude hodnoty<0, равна 0,5. V MS EXCEL použijte vzorec =NORM.ST.REV(0,5) =0. Jednoznačně vypočítat hodnotu náhodná proměnná umožňuje vlastnost monotónnosti distribuční funkce. Inverzní distribuční funkce počítá , které se používají např. při . Tito. v našem případě je číslo 0 0,5 kvantil normální distribuce. V ukázkovém souboru můžete vypočítat další kvantil tato distribuce. Například kvantil 0,8 je 0,84. V anglické literatuře inverzní distribuční funkcečasto označovaná jako funkce procentního bodu (PPF). Poznámka: Při výpočtu kvantily v MS EXCEL se používají následující funkce: NORM.ST.INV(), LOGNORM.INV(), CHI2.INR(), GAMMA.INR() atd. Více o distribucích prezentovaných v MS EXCEL si můžete přečíst v článku. Průběžné s. PROTI. lze specifikovat pomocí funkce zvané hustota rozdělení nebo hustota pravděpodobnosti nebo funkce diferenciálního rozdělení. Hustota distribuce pravděpodobnosti spojitého s. PROTI. X se nazývá funkce f(x) - první derivace distribuční funkce F(x): Z této definice vyplývá, že distribuční funkce je primitivní funkcí hustoty distribuce. Popsat rozdělení pravděpodobnosti diskrétního s. PROTI. rozdělení hustoty není použitelné. Pravděpodobnostní význam hustoty distribuce. Tedy limit poměru pravděpodobnosti, že spojité s. PROTI. bude nabývat hodnoty patřící do intervalu (x, x +∆x), do délky tohoto intervalu (pro ∆x → 0) rovné hodnotě hustoty rozložení v bodě x. Funkce hustoty charakterizuje každou hodnotu spojité náhodné veličiny samostatně, nikoli celý rozsah, jak je tomu u distribuční funkce. Pravděpodobnost zasažení spojitého s. PROTI. v daném intervalu. Podle Newtonova-Leibnizova vzorce: P(a< X
b}= F(b)
– F(a), Tím pádem Nalezení distribuční funkce ze známé funkce hustoty. Za předpokladu, že v předchozím vzorci a = -∞, b = x a nahrazení integrační proměnné x hodnotou t, máme: F(x) = P(X x)=P(-∞<
X
х}, proto Nemovitost 1. Hustota distribuce je nezáporná funkce: f(x)0 (protože integrální distribuční funkce je neklesající funkcí a hustota distribuce je její první derivace). Vlastnost 2: Důkaz. Nevlastní integrál Geometricky to znamená, že celá plocha křivočarého lichoběžníku ohraničená osou 0x a distribuční křivkou je rovna jedné. V Možný graf hustoty distribuce (příklad) f 1 (x) – hustota rozložení výherní velikosti v 1. hře f 2 (x) – hustota rozložení výherní velikosti ve 2. hře Která hra je výhodnější? Tyto charakteristiky umožňují řešit mnoho problémů bez znalosti distribučního zákona náhodných veličin. Očekávaná hodnota toto je vážený průměr hodnot náhodné veličiny X, do které vstupuje úsečka každého bodu x i s „váhou“ rovnou odpovídající pravděpodobnosti. Matematické očekávání se někdy nazývá jednoduše průměrná hodnota r.v. Označení: m x nebo M [X]. Pro diskrétní náhodnou veličinu M [X] = Móda– to je nejpravděpodobnější hodnota náhodné veličiny (ta, pro kterou pravděpodobnost p i , resp. hustota rozdělení f(x) dosahuje maxima). Označení: Existují unimodální distribuce (mají jeden režim), polymodální distribuce (mají několik režimů) a animodální (nemají žádný režim)
unimodálníVýpočet hustoty pravděpodobnosti pomocí funkcí MS EXCEL
Výpočet pravděpodobností pomocí funkcí MS EXCEL
Místo +∞ je do vzorce zadaná hodnota 9,999E+307= 9,999*10^307, což je maximální číslo, které lze zadat do buňky MS EXCEL (takříkajíc nejblíže +∞).
Vlastnosti distribuční hustoty
vyjadřuje pravděpodobnost jevu, že náhodná veličina nabude hodnoty patřící do intervalu (-∞, ∞). Je zřejmé, že taková událost je jistá, její pravděpodobnost je tedy rovna jedné.
zejména, pokud všechny možné hodnoty náhodné veličiny patří do intervalu (a,b), pak 
.
Numerické charakteristiky náhodných veličin. .
Charakteristika polohy náhodné veličiny na číselné ose.
Pro spojitou náhodnou veličinu
Medián– je to hodnota náhodné veličiny x m, pro kterou platí následující rovnost:
P(X< х m }= P{X >x m)
Medián dělí oblast ohraničenou f(x) na polovinu
Pokud je hustota rozdělení náhodné veličiny symetrická a unimodální, pak M[X], a x m se shodují
M[X], , x m – nenáhodné veličiny
Vlastnosti distribuční hustoty
Nejprve si připomeňme, co je hustota distribuce:
Zvažte vlastnosti hustoty distribuce:
Vlastnost 1: Funkce hustoty distribuce $\varphi (x)$ je nezáporná:
Důkaz.
Víme, že distribuční funkce $F(x)$ je neklesající funkce. Z definice vyplývá, že $\varphi \left(x\right)=F"(x)$ a derivace neklesající funkce je nezáporná funkce.
Geometricky tato vlastnost znamená, že graf funkce $\varphi \left(x\right)$ hustoty rozdělení je buď nad nebo na samotné ose $Ox$ (obr. 1)
Obrázek 1. Ilustrace $\varphi (x)\ge 0$ nerovnosti.
Vlastnost 2: Nevlastní integrál funkce hustoty distribuce v rozsahu od $-\infty $ do $+\infty $ se rovná 1:
Důkaz.
Připomeňme si vzorec pro zjištění pravděpodobnosti, že náhodná veličina bude spadat do intervalu $(\alpha ,\beta)$:
Obrázek 2
Najděte pravděpodobnost, že náhodná veličina bude spadat do intervalu $(-\infty ,+\infty $):
Obrázek 3
Je zřejmé, že náhodná veličina bude vždy spadat do intervalu $(-\infty ,+\infty $), proto je pravděpodobnost takového zásahu rovna jedné. Dostaneme:
Geometricky druhá vlastnost znamená, že plocha křivočarého lichoběžníku ohraničená grafem distribuční hustoty $\varphi (x)$ a osou x je číselně rovna jedné.
Můžeme také formulovat inverzní vlastnost:
Vlastnost 3: Jakákoli nezáporná funkce $f(x)\ge 0$ splňující rovnost $\int\limits^(+\infty )_(-\infty )(f\left(x\right)dx)=1$ je funkce hustoty rozdělení nějaká spojitá náhodná veličina.
Pravděpodobnostní význam hustoty distribuce
Dejme proměnné $x$ přírůstek $\trojúhelník x$.
Pravděpodobnostní význam hustoty rozdělení: Pravděpodobnost, že spojitá náhodná veličina $X$ bude nabývat hodnot z intervalu $(x,x+\trojúhelník x)$, je přibližně rovna součinu hustoty rozdělení pravděpodobnosti v bodě $x$ o přírůstek $\trojúhelník x$:
Obrázek 4. Geometrické znázornění pravděpodobnostního významu hustoty rozdělení spojité náhodné veličiny.
Příklady řešení úloh pomocí vlastností distribuční hustoty
Příklad 1
Funkce hustoty pravděpodobnosti má tvar:
Obrázek 5.
- Najděte koeficient $\alpha $.
- Sestrojte graf hustoty distribuce.
- Uvažujme nevlastní integrál $\int\limits^(+\infty )_(-\infty )(\varphi \left(x\right)dx)$, dostaneme:
Obrázek 6.
Pomocí vlastnosti 2 získáme:
\[-2\alpha =1,\] \[\alpha =-\frac(1)(2).\]
To znamená, že funkce hustoty distribuce má tvar:
Obrázek 7.
- Sestavíme jeho graf:
Postavení 8.
Příklad 2
Funkce hustoty distribuce má tvar $\varphi \left(x\right)=\frac(\alpha )(chx)$
(Připomeňme, že $chx$ je hyperbolický kosinus).
Najděte hodnotu koeficientu $\alpha $.
Řešení. Použijme druhou vlastnost:
\[\int\limits^(+\infty )_(-\infty )(\frac(\alpha )(chx)dx)=1,\] \[\alpha \int\limits^(+\infty )_ (-\infty )(\frac(dx)(chx))=1,\] \[\int\limits^(+\infty )_(-\infty )(\frac(dx)(chx))=( \mathop(lim)_(a\to -\infty ) \int\limits^0_a(\frac(dx)(chx))\ )+(\mathop(lim)_(b\to +\infty ) \int \limits^b_0(\frac(dx)(chx))\ )\]
Protože $chx=\frac(e^x+e^(-x))(2)$, tak
\[\int(\frac(dx)(chx))=2\int(\frac(dx)(e^x+e^(-x)))=2\int(\frac(de^x)( (1+e)^(2x)))=2arctge^x+C\]
\[\int\limits^(+\infty )_(-\infty )(\frac(dx)(chx))=(\mathop(lim)_(a\to -\infty ) \left(-2arctge^ a\right)\ )+(\mathop(lim)_(b\to +\infty ) \left(2arctge^b\right)\ )=\pi \]
Proto:
\[\pi \alpha =1,\] \[\alpha =\frac(1)(\pi )\]
1. Hustota pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny
Distribuční funkce spojité náhodné veličiny je její komplexní pravděpodobnostní charakteristikou. Má to ale tu nevýhodu, že z něj lze těžko soudit povahu rozložení náhodné veličiny v malém okolí toho či onoho bodu na číselné ose. Vizuálnější znázornění povahy rozložení spojité náhodné veličiny v blízkosti různých bodů poskytuje funkce nazývaná hustota rozdělení pravděpodobnosti nebo zákon diferenciálního rozdělení náhodné veličiny. V této otázce se budeme zabývat funkcí hustoty pravděpodobnosti a jejími vlastnostmi.
Nechť existuje spojitá náhodná veličina X s distribuční funkcí. Vypočítejme pravděpodobnost, že tato náhodná veličina spadne do elementární oblasti 
:
Porovnejme tuto pravděpodobnost s délkou úseku 
:
Výsledný vztah se nazývá průměrná pravděpodobnost, což je na jednotku délky tohoto úseku.
S ohledem na distribuční funkci F(X) diferencovatelný, předejme v rovnosti (1) k limitě at 
; pak dostaneme:
Limit poměru pravděpodobnosti dopadu spojité náhodné veličiny na elementární úsek od x do x+∆x k délce tohoto úseku ∆x, když ∆x má tendenci k nule, nazývá se hustota rozdělení náhodné veličiny v bodě x a označuje seF (X).
Na základě rovnosti (2) je hustota distribuce F(X) rovna derivaci distribuční funkce F(X), tj.
.
Význam hustoty distribuce F(X) je, že udává, jak často se náhodná proměnná objevuje X v nějakém sousedství bodu X při opakování experimentů.
Křivka znázorňující hustotu distribuce F(X) se nazývá náhodná veličina distribuční křivka. Přibližný pohled na distribuční křivku je uveden na obr. 1.
Všimněte si, že pokud možné hodnoty náhodné proměnné vyplňují určitý konečný interval, pak hustota distribuce F(X) = 0 mimo tento interval.
Zvolme elementární řez ∆ na ose x X, sousedící s bodem X(obr. 2) a zjistěte pravděpodobnost zásahu náhodné veličiny X
do této oblasti. Na jedné straně je tato pravděpodobnost rovna přírůstku 
distribuční funkce F(X), odpovídající přírůstek ∆
X=
dx
argument X. S na druhé straně pravděpodobnost zásahu náhodné proměnné X
na elementární děj dxS přesnost až do infinitesimál vyššího řádu než ∆ X rovná F(X)
dx
(protože ∆
F(X)≈
dF(x) =F
(X)
dx).
Geometricky se jedná o oblast elementárního obdélníku s výškou F(X)
a základ dx
(obr. 2). Velikost F
(X)
dx
volal prvek pravděpodobnosti...
Je třeba poznamenat, že ne všechny náhodné proměnné, jejichž možné hodnoty plynule vyplňují určitý interval, jsou spojité náhodné proměnné. Existují takové náhodné proměnné, jejichž možné hodnoty plynule vyplňují určitý interval, ale pro které není distribuční funkce všude spojitá, ale v určitých bodech má nespojitosti. Takové náhodné proměnné se nazývají smíšený. Například v problému detekce signálu v šumu je amplituda užitečného signálu smíšená náhodná proměnná X, který může mít jakoukoli hodnotu, pozitivní i negativní.
Uveďme nyní přesnější definici spojité náhodné veličiny.
Náhodná hodnotaXse nazývá spojitý, pokud jeho distribuční funkceF(x\ je spojitý podél celé osy Ox a hustoty distribuceF (X) existuje všude, snad kromě konečného počtu bodů.
Uvažujme vlastnosti hustoty distribuce.
Nemovitost 1.Distribuční hustota je nezáporná, tj. 
Tato vlastnost přímo vyplývá ze skutečnosti, že hustota distribuce 
je derivace neklesající distribuční funkce F(X).
Nemovitost 2. Distribuční funkce náhodné veličiny je rovna integrálu hustoty v intervalu od – ∞ do x, tj.
.
(3)
Nemovitost 3.Pravděpodobnost zasažení spojité náhodné veličinyXna web 
rovný integrálu hustoty distribuce převzaté z této sekce, tj.
.
(4)
Nemovitost 4. Integrál nad nekonečnými limity hustoty distribuce se rovná jednotě:
.
Pokud má interval možných hodnot náhodné veličiny konečné meze A A b,
pak hustota distribuce F(X)= 0 mimo mezeru
a vlastnost 4 pak lze zapsat takto:
.
Příklad. Náhodná hodnota X podléhá zákonu rozdělení s hustotou
.
Požadované:
1) Najděte koeficient A.
2) Najděte pravděpodobnost, že náhodná veličina spadne do oblasti od 0 do .
Řešení. 1) K určení koeficientu A Použijme vlastnost 4 hustoty distribuce:
,
kde 
.
2) Podle vzorce (4) máme:
.
Móda 
spojitá náhodná veličina X nazývá se jeho hodnota, při které je hustota rozložení maximální.
Medián 
spojitá náhodná veličina X je hodnota, pro kterou je stejně pravděpodobné, že náhodná veličina bude menší nebo větší 
, to je:
Geometricky je mod úsečkou bodu distribuční křivky, jehož pořadnice je maximální (pro diskrétní náhodnou veličinu je modem úsečka bodu polygonu s maximální pořadnicí).
Geometricky je medián úsečkou bodu, ve kterém je oblast ohraničená distribuční křivkou rozdělena na polovinu.
Všimněte si, že pokud je rozdělení unimodální a symetrické, pak jsou matematické očekávání, modus a medián stejné.
Všimněte si také, že třetí ústřední moment 
nebo asymetrie slouží jako charakteristika „šikmosti“ distribuce. Pokud je rozdělení symetrické vzhledem k matematickému očekávání, pak pro distribuční křivku (histogram) 
. Čtvrtý centrální bod 
slouží pro charakteristiky vrcholového nebo plochého rozdělení. Tyto distribuční vlastnosti jsou popsány pomocí tzv přebytek. Vzorce pro hledání asymetrie a špičatosti jsme probrali v předchozí přednášce.
2.Normální rozdělení
Mezi rozděleními spojitých náhodných veličin zaujímá ústřední místo normální zákon nebo zákon Gaussova rozdělení, jehož hustota pravděpodobnosti má tvar:
,
(5)
Kde 
– parametry normálního rozdělení.
Protože normální rozdělení závisí na dvou parametrech 
A 
, pak se také nazývá dvouparametrové rozdělení.
Zákon normálního rozdělení platí v případech, kdy náhodná veličina X je výsledkem velkého množství různých faktorů. Každý faktor zvlášť stojí za to X ovlivňuje nevýznamně a nelze určit, který z nich je významnější než ostatní. Příklady náhodných veličin, které mají normální rozdělení, zahrnují: odchylku skutečných rozměrů dílů zpracovávaných na stroji od jmenovitých rozměrů, chyby měření, odchylky při střelbě a další.
Dokažme, že ve vzorci (5) je parametr A je matematické očekávání a parametr 
- standardní odchylka:
.
První z integrálů je roven nule, protože integrand je lichý. Druhý integrál je známý jako Poissonův integrál:
.
Pojďme vypočítat rozptyl:
.
Graf hustoty pravděpodobnosti normálního rozdělení se nazývá normální Gaussova křivka (obr. 3).
Všimněme si některých vlastností křivky:
1.Funkce hustoty pravděpodobnosti je definována na celé číselné ose, tzn 
.
2. Funkční rozsah 
, tedy Gaussova křivka se nachází nad osou x a neprotíná ji.
3. Větve Gaussovy křivky asymptoticky tíhnou k ose 
, to je 
4. Křivka je symetrická k přímce 
. Pro normální rozdělení se tedy matematické očekávání shoduje s modem a mediánem rozdělení.
5.Funkce má jedno maximum v bodě úsečky 
, rovnat se 
. S přibývajícím 
Gaussova křivka se stává plošší a jak klesá 
– více „špičatá“.
6. Gaussova křivka má dva inflexní body se souřadnicemi 
A 
.
7.Pokud, s nezměněným 
změnit matematické očekávání, pak se Gaussova křivka posune podél osy 
: doprava – při zvýšení A, a doleva – při snižování.
8. Šikmost a špičatost pro normální rozdělení jsou nulové.
Najděte pravděpodobnost, že náhodná veličina rozložená podle normálního zákona spadne do oblasti 
. Je známo že
.
.
Použití variabilní náhrady
,
.
(6)
Integrální 
není vyjádřen elementárními funkcemi, proto k výpočtu integrálu (6) používají tabulky hodnot speciální funkce, která se nazývá Laplaceova funkce, a má tvar:
.
Po jednoduchých transformacích získáme vzorec pro pravděpodobnost náhodné veličiny spadající do daného intervalu 
:
.
(7)
Laplaceova funkce má následující vlastnosti:
1.
.
2.
je zvláštní funkce.
3.
.
Graf distribuční funkce je na obr. 4. Obr.
Nechť je třeba vypočítat pravděpodobnost, že odchylka normálně rozdělené náhodné veličiny X v absolutní hodnotě nepřesahuje dané kladné číslo 
, tedy pravděpodobnost nerovnosti 
.
Použijme vzorec (7) a lichou vlastnost Laplaceovy funkce:
.
Položme 
a vybrat si 
. Pak dostaneme:
.
To znamená, že pro normálně rozloženou náhodnou veličinu s parametry A A 
naplnění nerovnosti 
je téměř jistá událost. Toto je takzvané pravidlo „tři sigma“.
Disperze spojitá náhodná veličina X, jejíž možné hodnoty patří do celé osy Ox, je určena rovností: 
Účel služby. Online kalkulačka je určena k řešení problémů, ve kterých buď hustota distribuce f(x) nebo distribuční funkce F(x) (viz příklad). Obvykle v takových úkolech musíte najít matematické očekávání, směrodatná odchylka, funkce grafu f(x) a F(x).
Instrukce. Vyberte typ zdrojových dat: distribuční hustotu f(x) nebo distribuční funkci F(x).
Distribuční hustota f(x) je dána: 
Distribuční funkce F(x) je dána: 
Spojitá náhodná veličina je specifikována hustotou pravděpodobnosti 
(Rayleighův distribuční zákon – používá se v radiotechnice). Najděte M(x) , D(x) .
Náhodná veličina X se nazývá kontinuální
, pokud její distribuční funkce F(X)=P(X< x) непрерывна и имеет производную.
Distribuční funkce spojité náhodné veličiny se používá k výpočtu pravděpodobnosti náhodné veličiny spadající do daného intervalu:
P(α< X < β)=F(β) - F(α)
Navíc pro spojitou náhodnou veličinu nezáleží na tom, zda jsou její hranice zahrnuty v tomto intervalu nebo ne:
P(α< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
Hustota distribuce
spojitá náhodná veličina se nazývá funkce
f(x)=F’(x) , derivace distribuční funkce.
Vlastnosti distribuční hustoty
1. Hustota rozdělení náhodné veličiny je nezáporná (f(x) ≥ 0) pro všechny hodnoty x.2. Normalizační podmínka:
Geometrický význam podmínky normalizace: plocha pod křivkou hustoty distribuce je rovna jednotce.
3. Pravděpodobnost náhodné veličiny X spadající do intervalu od α do β lze vypočítat pomocí vzorce
Geometricky je pravděpodobnost, že spojitá náhodná veličina X spadne do intervalu (α, β) rovna ploše křivočarého lichoběžníku pod křivkou hustoty distribuce na základě tohoto intervalu.
4. Distribuční funkce je vyjádřena pomocí hustoty takto:
Hodnota hustoty rozdělení v bodě x není rovna pravděpodobnosti přijetí této hodnoty, u spojité náhodné veličiny lze mluvit pouze o pravděpodobnosti pádu do daného intervalu. Nechat)
