Podle Cramerových vzorců;
Gaussova metoda;
Řešení: Kronecker-Capelliho věta. Systém je konzistentní právě tehdy, když je hodnost matice tohoto systému rovna hodnosti jeho rozšířené matice, tzn. r(A)=r(A 1), kde
Rozšířená matice systému vypadá takto:
Vynásobte první řádek ( –3 ), a druhý až ( 2 ); Poté přidejte prvky prvního řádku k odpovídajícím prvkům druhého řádku; odečtěte třetí od druhého řádku. Ve výsledné matici ponecháme první řádek beze změny.
6 ) a prohoďte druhý a třetí řádek:
Vynásobte druhý řádek ( –11 ) a přidejte k odpovídajícím prvkům třetího řádku.
Vydělte prvky třetího řádku ( 10 ).
Pojďme najít determinant matice A.
Proto, r(A)=3 . Rozšířená hodnost Matrix r(A 1) je také stejný 3 , tj.
r(A)=r(A 1)=3 Þ Systém je kooperativní.
1) Při zkoumání konzistence systému byla rozšířená matice transformována pomocí Gaussovy metody.
Gaussova metoda je následující:
1. Zmenšení matice na trojúhelníkový tvar, tj. pod hlavní diagonálou by měly být nuly (přímý pohyb).
2. Z poslední rovnice najdeme x 3 a dosadíme ho do druhého, najdeme x 2 a vědět x 3, x 2 dosadíme je do první rovnice, najdeme x 1(zvrátit).
Napišme Gaussovsky transformovanou rozšířenou matici
ve formě soustavy tří rovnic:
Þ x 3 = 1
x 2 = x 3Þ x 3 = 1
2x 1 = 4 + x 2 + x 3Þ 2x 1 = 4+1+1Þ
Þ 2x 1=6 Þ x 1 = 3
.
2) Řešme soustavu pomocí Cramerových vzorců: je-li determinant soustavy rovnic Δ odlišný od nuly, pak soustava má jednoznačné řešení, které najdeme pomocí vzorců
Vypočítejme determinant soustavy Δ:
Protože Pokud je determinant systému odlišný od nuly, pak má systém podle Cramerova pravidla jedinečné řešení. Vypočítejme determinanty Δ 1 , Δ 2 , Δ 3 . Získávají se z determinantu soustavy Δ nahrazením odpovídajícího sloupce sloupcem volných koeficientů.
Neznámé najdeme pomocí vzorců:
Odpověď: x 1 = 3, x 2 = 1, x 3 = 1 .
3) Řešme soustavu pomocí maticového počtu, tedy pomocí inverzní matice.
A×X=B Þ X=A-1 × B, Kde A -1– inverzní matice k A,
Sloupec volných členů,
Matice-sloupec neznámých.
Inverzní matice se vypočítá pomocí vzorce:
Kde D- maticový determinant A, A ij– algebraické doplňky prvku a ij matrice A. D= 60 (z předchozího odstavce). Determinant je nenulový, proto je matice A invertibilní a její inverzní matici lze najít pomocí vzorce (*). Pojďme najít algebraické doplňky pro všechny prvky matice A pomocí vzorce:
A ij =(-1 )i+j M ij .
x 1, x 2, x 3 změnily každou rovnici na identitu, pak byly nalezeny správně.
Příklad 6. Vyřešte soustavu Gaussovou metodou a najděte dvě základní řešení soustavy.
Metoda inverzní matice není těžké, pokud víte obecné zásady pracovat s maticovými rovnicemi a samozřejmě umět provádět elementární algebraické operace.
Řešení soustavy rovnic metodou inverzní matice. Příklad.
Nejpohodlnější způsob, jak pochopit metodu inverzní matice, je s jasným příkladem. Vezměme si soustavu rovnic:
Prvním krokem k řešení tohoto systému rovnic je nalezení determinantu. Převeďme tedy náš systém rovnic do následující matice:
A najdeme potřebný determinant:
Vzorec používaný k řešení maticových rovnic je následující:
Pro výpočet X tedy potřebujeme určit hodnotu matice A-1 a vynásobit ji b. K tomu nám pomůže další vzorec:
V tomto případě bude transponovaná matice- tedy ten samý původní, ale psaný ne do řádků, ale do sloupců.
Na to bychom neměli zapomínat metoda inverzní matice, stejně jako Cramerova metoda, je vhodná pouze pro systémy, ve kterých je determinant větší nebo menší než nula. Pokud je determinant roven nule, musíte použít Gaussovu metodu.
Dalším krokem je sestavení matice nezletilých, což je následující schéma:
V důsledku toho jsme dostali tři matice - vedlejší, algebraické sčítání a transponovanou matici algebraických sčítání. Nyní můžete přistoupit k samotnému sestavení inverzní matice. Vzorec už známe. V našem příkladu to bude vypadat takto.
Systém m lineární rovnice s n neznámými nazývaný systém formuláře
Kde a ij A b i (i=1,…,m; b=1,…,n) jsou některá známá čísla a x 1,…,x n– neznámý. V označení koeficientů a ij první index i označuje číslo rovnice a druhé j– počet neznámých, na kterých tento koeficient stojí.
Koeficienty pro neznámé zapíšeme ve formě matice 
, kterému budeme říkat matice systému.
Čísla na pravé straně rovnic jsou b 1,…,b m se nazývají volných členů.
Celek nčísla c 1,…,c n volal rozhodnutí dané soustavy, pokud se každá rovnice soustavy stane rovností po dosazení čísel do ní c 1,…,c n místo odpovídajících neznámých x 1,…,x n.
Naším úkolem bude hledat řešení systému. V tomto případě mohou nastat tři situace:
Nazýváme soustavu lineárních rovnic, která má alespoň jedno řešení spoj. Jinak, tzn. pokud systém nemá řešení, pak je volán nespojující.
Zvažme způsoby, jak najít řešení systému.
MATRIXOVÁ METODA PRO ŘEŠENÍ SYSTÉMŮ LINEÁRNÍCH ROVNIC
Matice umožňují stručně zapsat soustavu lineárních rovnic. Nechť je dána soustava 3 rovnic se třemi neznámými:
Zvažte systémovou matici 
a matice sloupce neznámých a volných výrazů 
Pojďme najít práci
těch. jako výsledek součinu získáme levé strany rovnic této soustavy. Potom pomocí definice maticové rovnosti lze tento systém zapsat do tvaru
nebo kratší A∙X=B.
Tady jsou matrice A A B jsou známé a matice X neznámý. Je potřeba to najít, protože... jeho prvky jsou řešením tohoto systému. Tato rovnice se nazývá maticová rovnice.
Nechť je determinant matice různý od nuly | A| ≠ 0. Potom se maticová rovnice vyřeší následovně. Vynásobte obě strany rovnice vlevo maticí A-1, inverzní k matici A: . Od A-1 A = E A E∙X = X, pak získáme řešení maticové rovnice ve tvaru X = A-1 B .
Všimněte si, že protože inverzní matici lze nalézt pouze pro čtvercové matice, maticová metoda může řešit pouze ty systémy, ve kterých počet rovnic se shoduje s počtem neznámých. Maticový záznam soustavy je však možný i v případě, kdy počet rovnic není roven počtu neznámých, pak matice A nebude čtvercový a proto není možné najít řešení systému ve formuláři X = A-1 B.
Příklady.Řešení soustav rovnic.
CRAMEROVO PRAVIDLO
Uvažujme systém 3 lineárních rovnic se třemi neznámými:
Determinant třetího řádu odpovídající systémové matici, tzn. složený z koeficientů pro neznámé,
volal determinant systému.
Složme další tři determinanty takto: nahraďte postupně 1, 2 a 3 sloupce v determinantu D sloupcem volných členů
Pak můžeme dokázat následující výsledek.
Věta (Cramerovo pravidlo). Je-li determinant soustavy Δ ≠ 0, pak uvažovaná soustava má jediné řešení a
Důkaz. Uvažujme tedy soustavu 3 rovnic se třemi neznámými. Vynásobme 1. rovnici soustavy algebraickým doplňkem A 11živel 11, 2. rovnice – zapnuto A 21 a 3. – dne A 31:
Přidejme tyto rovnice:
Podívejme se na každou ze závorek a pravou stranu této rovnice. Větou o expanzi determinantu v prvcích 1. sloupce
Podobně lze ukázat, že a .
Konečně je snadné si toho všimnout 
Získáme tedy rovnost: .
Proto, .
Rovnosti a jsou odvozeny podobně, z čehož vyplývá tvrzení věty.
Poznamenáváme tedy, že pokud je determinant systému Δ ≠ 0, pak má systém jedinečné řešení a naopak. Je-li determinant soustavy roven nule, pak soustava má buď nekonečný počet řešení, nebo nemá řešení, tzn. nekompatibilní.
Příklady.Řešte soustavu rovnic
GAUSSOVA METODA
Výše diskutované metody lze použít k řešení pouze těch systémů, ve kterých se počet rovnic shoduje s počtem neznámých a determinant systému musí být odlišný od nuly. Gaussova metoda je univerzálnější a vhodná pro systémy s libovolným počtem rovnic. Spočívá v důsledném vylučování neznámých z rovnic soustavy.
Zvažte znovu systém z tři rovnice se třemi neznámými:
.
První rovnici ponecháme beze změny a z 2. a 3. vyloučíme členy obsahující x 1. Chcete-li to provést, vydělte druhou rovnici A 21 a vynásobte – A 11 a poté jej přidejte do 1. rovnice. Podobně vydělíme třetí rovnici o A 31 a vynásobte – A 11 a poté jej přidejte k prvnímu. V důsledku toho bude mít původní systém podobu:
Nyní z poslední rovnice odstraníme člen obsahující x 2. Chcete-li to provést, vydělte třetí rovnici, vynásobte a přidejte s druhou. Pak budeme mít soustavu rovnic:
Odtud, z poslední rovnice, to lze snadno najít x 3, pak z 2. rovnice x 2 a konečně od 1. x 1.
Při použití Gaussovy metody lze rovnice v případě potřeby prohodit.
Často se místo psaní nového systému rovnic omezují na psaní rozšířené matice systému:
a poté jej pomocí elementárních transformací převést do trojúhelníkového nebo diagonálního tvaru.
NA elementární transformace matice obsahují následující transformace:
- přeskupování řádků nebo sloupců;
- násobení řetězce číslem jiným než nula;
- přidání dalších řádků do jednoho řádku.
Příklady:Řešení soustav rovnic Gaussovou metodou.
Systém má tedy nekonečné množství řešení.
Dostaneme soustavu lineárních rovnic s 
neznámý:
Budeme předpokládat, že hlavní matice 
nedegenerované. Pak podle věty 3.1 existuje inverzní matice 
Násobení maticové rovnice 
do matrice 
vlevo pomocí definice 3.2 a také tvrzení 8) věty 1.1 získáme vzorec, na kterém je založena maticová metoda pro řešení soustav lineárních rovnic:
Komentář. Všimněte si, že maticová metoda pro řešení soustav lineárních rovnic má na rozdíl od Gaussovy metody omezené použití: tato metoda může řešit pouze soustavy lineárních rovnic, u kterých je za prvé počet neznámých roven počtu rovnic a za druhé, hlavní matice není singulární.
Příklad. Řešte soustavu lineárních rovnic maticovou metodou.
Je dána soustava tří lineárních rovnic se třemi neznámými 
Kde
Hlavní matice soustavy rovnic je nesingulární, protože její determinant je nenulový:
Inverzní matice 
Pojďme skládat pomocí jedné z metod popsaných v odstavci 3.
Pomocí vzorce maticové metody pro řešení soustav lineárních rovnic získáme
5.3. Cramerova metoda
Tato metoda je stejně jako maticová metoda použitelná pouze pro soustavy lineárních rovnic, ve kterých se počet neznámých shoduje s počtem rovnic. Cramerova metoda je založena na stejnojmenné větě:
Věta 5.2.
Systém 
lineární rovnice s 
neznámý
jehož hlavní matice je nesingulární, má jedinečné řešení, které lze získat pomocí vzorců
Kde 
determinant matice odvozený od základní matice 
soustavou rovnic jejím nahrazením 
sloupec se sloupcem volných členů.
Příklad.
Pojďme najít řešení soustavy lineárních rovnic uvažovaných v předchozím příkladu pomocí Cramerovy metody. Hlavní matice soustavy rovnic je nedegenerovaná, od r 
Pojďme vypočítat determinanty 
Pomocí vzorců uvedených ve větě 5.2 vypočítáme hodnoty neznámých:
6. Studium soustav lineárních rovnic.
Základní řešení
Studovat systém lineárních rovnic znamená určit, zda je tento systém kompatibilní nebo nekompatibilní, a pokud je kompatibilní, zjistit, zda je tento systém určitý nebo neurčitý.
Podmínka kompatibility pro soustavu lineárních rovnic je dána následující větou
Věta 6.1 (Kronecker–Capelli).
Systém lineárních rovnic je konzistentní právě tehdy, když hodnost hlavní matice systému je rovna hodnosti jeho rozšířené matice:
Pro simultánní systém lineárních rovnic je otázka jeho definitivnosti nebo neurčitosti řešena pomocí následujících vět.
Věta 6.2. Pokud je hodnost hlavní matice sdruženého systému rovna počtu neznámých, pak je systém určitý
Věta 6.3. Pokud je hodnost hlavní matice sdruženého systému menší než počet neznámých, pak je systém nejistý.
Z formulovaných vět tedy vyplývá metoda pro studium lineárních systémů algebraické rovnice. Nechat n- počet neznámých, 
Pak:
Definice 6.1. Základním řešením neurčité soustavy lineárních rovnic je řešení, ve kterém jsou všechny volné neznámé rovny nule.
Příklad. Prozkoumejte systém lineárních rovnic. Pokud je systém nejistý, najděte jeho základní řešení.
Pojďme vypočítat řady hlavních 
a rozšířené matice 
této soustavy rovnic, pro kterou uvedeme rozšířenou (a zároveň hlavní) matici soustavy do stupňovitého tvaru:
Přidejte druhý řádek matice k jejímu prvnímu řádku, vynásobený 
třetí řádek - s prvním řádkem vynásobeným 
a čtvrtý řádek - s prvním, vynásobený 
dostaneme matrici
Ke třetímu řádku této matice přidáme druhý řádek vynásobený 
a do čtvrtého řádku – první, násobeno 
Výsledkem je matice
odstranění třetího a čtvrtého řádku, ze kterého dostaneme krokovou matici
Tedy, 
Proto, tento systém lineárních rovnic je konzistentní, a protože hodnota pořadí je menší než počet neznámých, systém je nejistý. Kroková matice získaná jako výsledek elementárních transformací odpovídá systému rovnic
Neznámý 
A 
jsou hlavní a neznámí 
A 
uvolnit. Přiřazením nulových hodnot volným neznámým získáme základní řešení tohoto systému lineárních rovnic.
- vypočítá se determinant matice A;
- pomocí algebraických sčítání je nalezena inverzní matice A -1;
- v Excelu je vytvořena šablona řešení;
Instrukce. Chcete-li získat řešení pomocí metody inverzní matice, musíte zadat rozměr matice. Dále v novém dialogovém okně vyplňte matici A a vektor výsledků B.
Připomeňme, že řešením soustavy lineárních rovnic je jakákoli množina čísel (x 1, x 2, ..., x n), jejichž dosazením do této soustavy namísto odpovídajících neznámých se každá rovnice soustavy promění v identitu .
Systém lineárních algebraických rovnic se obvykle zapisuje jako (pro 3 proměnné): Viz také Řešení maticových rovnic.
Algoritmus řešení
- Vypočte se determinant matice A. Je-li determinant nulový, pak je řešení u konce. Systém má nekonečné množství řešení.
- Když je determinant jiný než nula, inverzní matice A -1 je nalezena pomocí algebraických sčítání.
- Vektor řešení X =(x 1, x 2, ..., x n) získáme vynásobením inverzní matice výsledným vektorem B.
Příklad č. 1. Najděte řešení systému pomocí maticové metody. Zapišme matici ve tvaru:
Algebraické sčítání.
| A 1,1 = (-1) 1+1 |
| ∆ 1,1 = (1 (-2)-0 2) = -2 |
| A 1,2 = (-1) 1+2 |
| ∆ 1,2 = -(3 (-2)-1 2) = 8 |
| A 1,3 = (-1) 1+3 |
| ∆ 1,3 = (3 0-1 1) = -1 |
| A2,1 = (-1) 2+1 |
| ∆ 2,1 = -(-2 (-2)-0 1) = -4 |
| A2,2 = (-1) 2+2 |
| ∆ 2,2 = (2 (-2)-1 1) = -5 |
| A 2,3 = (-1) 2+3 |
| ∆ 2,3 = -(2 0-1 (-2)) = -2 |
| A 3,1 = (-1) 3+1 |
| ∆ 3,1 = (-2 2-1 1) = -5 |
| A 3,2 = (-1) 3+2 |
| ∆ 3,2 = -(2 2-3 1) = -1 |
| 3 |
| -2 |
| -1 |
X T = (1,0,1)
x 1 = -21 / -21 = 1
x 2 = 0 / -21 = 0
x 3 = -21 / -21 = 1
Zkouška:
2 1+3 0+1 1 = 3
-2 1+1 0+0 1 = -2
1 1+2 0+-2 1 = -1
Příklad č. 2. Řešte SLAE metodou inverzní matice.
2 x 1 + 3 x 2 + 3 x 3 + x 4 = 1
3 x 1 + 5 x 2 + 3 x 3 + 2 x 4 = 2
5 x 1 + 7 x 2 + 6 x 3 + 2 x 4 = 3
4 x 1 + 4 x 2 + 3 x 3 + x 4 = 4
Zapišme matici ve tvaru:
Vektor B:
B T = (1,2,3,4)
Hlavní determinant
Vedlejší pro (1,1):
= 5 (6 1-3 2)-7 (3 1-3 2)+4 (3 2-6 2) = -3
Vedlejší pro (2,1):
= 3 (6 1-3 2)-7 (3 1-3 1)+4 (3 2-6 1) = 0
Vedlejší pro (3,1):
= 3 (3 1-3 2)-5 (3 1-3 1)+4 (3 2-3 1) = 3
Vedlejší pro (4,1):
= 3 (3 2-6 2)-5 (3 2-6 1)+7 (3 2-3 1) = 3
Determinant minor
∆ = 2 (-3)-3 0+5 3-4 3 = -3
Příklad č. 4. Napište soustavu rovnic v maticovém tvaru a řešte pomocí inverzní matice.
Řešení: xls
Příklad č. 5. Je dána soustava tří lineárních rovnic se třemi neznámými. Požadováno: 1) najít řešení pomocí Cramerových vzorců; 2) zapište soustavu v maticovém tvaru a vyřešte ji pomocí maticového počtu.
Metodická doporučení. Po vyřešení Cramerovou metodou najděte tlačítko "Řešení metodou inverzní matice pro zdrojová data". Obdržíte vhodné řešení. Údaje tak nebudete muset znovu vyplňovat.
Řešení. Označme A matici koeficientů pro neznámé; X - matice-sloupec neznámých; B - maticový sloupec volných členů:
|
B T = (4,-3,-3)
S přihlédnutím k těmto zápisům má tento systém rovnic následující maticový tvar: A*X = B.
Pokud je matice A nedegenerovaná (její determinant je nenulový, pak má inverzní matici A -1. Vynásobením obou stran rovnice A -1 dostaneme: A -1 *A*X = A - 1*B, A-1* A=E.
Tato rovnost se nazývá maticový zápis řešení soustavy lineárních rovnic. Pro nalezení řešení soustavy rovnic je nutné vypočítat inverzní matici A -1.
Systém bude mít řešení, pokud je determinant matice A nenulový.
Pojďme najít hlavní determinant.
∆=-1 (-2 (-1)-1 1)-3 (3 (-1)-1 0)+2 (3 1-(-2 0))=14
Takže determinant je 14 ≠ 0, takže pokračujeme v řešení. K tomu najdeme inverzní matici pomocí algebraických sčítání.
Mějme nesingulární matici A:
| A 1,1 = (-1) 1+1 |
|
| A 1,2 = (-1) 1+2 |
|
| A 1,3 = (-1) 1+3 |
|
| A2,1 = (-1) 2+1 |
|
| A 2,2 = (-1) 2+2 |
|
| A 2,3 = (-1) 2+3 |
|
| A 3,1 = (-1) 3+1 |
|
| 4 |
| -3 |
| -3 |
| X = 1/14 |
|
∆=4 (0 1-3 (-2))-2 (1 1-3 (-1))+0 (1 (-2)-0 (-1))=16
Transponovaná matice
| A 1,2 = (-1) 1+2 |
|
| A 1,3 = (-1) 1+3 |
|
| A2,1 = (-1) 2+1 |
|
| A 2,2 = (-1) 2+2 |
|
| A 2,3 = (-1) 2+3 |
|
| A 3,1 = (-1) 3+1 |
|
| A 3,2 = (-1) 3+2 |
|
| A 3,3 = (-1) 3+3 | 1/16 |
|
| (4 6)+(1 (-2))+(-1 6) | (4 (-4))+(1 4)+(-1 (-12)) | (4 (-2))+(1 6)+(-1 (-2)) |
| (2 6)+(0 (-2))+(-2 6) | (2 (-4))+(0 4)+(-2 (-12)) | (2 (-2))+(0 6)+(-2 (-2)) |
| (0 6)+(3 (-2))+(1 6) | (0 (-4))+(3 4)+(1 (-12)) | (0 (-2))+(3 6)+(1 (-2)) |
| =1/16 |
|
| A*A-1 = |
|
Příklad č. 7. Řešení maticových rovnic.
Označme:
| A= |
|
| A 1,1 = (-1) 1+1 |
|
| A 1,2 = (-1) 1+2 |
|
| A 1,3 = (-1) 1+3 |
|
| A2,1 = (-1) 2+1 |
|
| A2,2 = (-1) 2+2 |
|
| A 2,3 = (-1) 2+3 |
|
| A 3,1 = (-1) 3+1 |
|
| -12 | 15 | -5 |
| -4 | 5 | -2 |
| 7 | -9 | 3 |
B T = (31,13,10)
X T = (4,05, 6,13, 7,54)
x 1 = 158/39 = 4,05
x 2 = 239 / 39 = 6,13
x 3 = 294/39 = 7,54
Zkouška.
-2 4.05+-1 6.13+6 7.54=31
1 4.05+-1 6.13+2 7.54=13
2 4.05+4 6.13+-3 7.54=10
Příklad č. 9. Označme A matici koeficientů pro neznámé; X - matice-sloupec neznámých; B - maticový sloupec volných členů:
|
B T = (31,13,10)
X T = (5,21, 4,51, 6,15)
x 1 = 276/53 = 5,21
x 2 = 239/53 = 4,51
x 3 = 326 / 53 = 6,15
Zkouška.
-2 5.21+1 4.51+6 6.15=31
1 5.21+-1 4.51+2 6.15=13
2 5.21+4 4.51+-3 6.15=10
Příklad č. 10. Řešení maticových rovnic.
Označme:
A11 = (-1) 1+1.-3 = -3; A12 = (-1) 1+2.3 = -3; A21 = (-1) 2+1.1 = -1; A22 = (-1) 2+2.2 = 2;
Inverzní matice A -1 .
| -3 | -3 |
| -1 | 2 |
| 1 | -2 |
| 1 | 1 |
| X = |
|
