고등 대수학 요소(8시간)
미적분학을 적용하여 함수와 그래프 탐색(26시간)
한 변수의 함수에 대한 미분 계산
(30시간)
2.1. 함수의 로컬 및 전역 속성입니다. 일정 간격으로 연속되는 함수의 속성(Weierstrass의 첫 번째 및 두 번째 정리 및 정리)
코시). 미분 함수의 정의 및 속성. 파생 상품의 기하학적, 기계적 의미.
2.2. 복잡한 함수의 파생물입니다. 유도체 역함수. 역의 도함수 삼각함수. 지정된 기능
매개변수적으로. 그들의 차별화. 파생 원생동물 표 기본 기능. 차동 및 그 속성.
2.3. 고차의 파생상품과 미분상품. 2차 미분
매개변수적으로 지정된 함수에서. 벡터 함수의 파생 및
그녀의 기하학적 의미. 한 지점에서 증가(감소) 기능을 수행합니다.
롤의 정리, 라그랑주, 코시. 라그랑주 정리의 추론.
함수의 로컬 및 전역 극값 찾기. 폭로
로피탈의 법칙에 따른 불확실성.
3.1. 공식과 테일러 시리즈. 이항 정리. 기본 함수에 대한 Taylor 공식. 함수의 볼록성. 변곡점. 함수의 점근선. 함수 그래프 그리기.
3.2 스칼라 인수의 벡터 함수와 그 미분.
파생어의 기계적, 기하학적 의미. 접선과 법선의 방정식.
3.3 평면 곡선의 곡률과 곡률 반경.
4.1.
복소수, 그에 대한 연산. 이미지 콤플렉스
비행기의 숫자. 기하학적 의미. 복소수의 모듈러스와 인수입니다. 복소수의 대수 및 삼각법 형태. 오일러의 공식.
4.2. 다항식. 베주의 정리. 대수의 기본 정리. 분해
선형 및 2차 인수에 대한 실수 계수가 있는 다항식. 유리 분수를 가장 간단한 분수로 분해합니다.
변수(20시간)
5.1. 정의 범위. 기능의 한계, 연속성. 여러 변수, 편도함수 및 함수의 미분성
총 미분, 편미분과의 연결. 파생상품
~에서 복잡한 기능. 총 미분 형태의 불변성.
암시적 함수의 파생물입니다.
5.2. 접하는 평면이고 표면에 수직입니다. 기하학
두 변수의 함수의 전체 미분의 의미.
5.3. 더 높은 차수의 부분 파생물. 미분 순서로부터 미분 결과의 독립성에 관한 정리. 더 높은 차수의 미분.
5.4. 공간 곡선의 곡률과 비틀림. 프레넷의 공식.
5.5. 여러 변수의 함수에 대한 Taylor의 공식. 과격한 수단
여러 변수의 함수. 극한의 필요충분조건. 조건부 극값. 닫힌 영역에서 함수의 최대값과 최소값입니다. 라그랑주 승수법.
최적의 솔루션을 찾을 때의 적용 사례입니다.
변수 함수 계산의 확장은 다음과 같은 경우 다변량 분석입니다. 여러 변수의 함수에 대한 미분 계산– 통합하고 차별화하는 기능은 하나가 아닌 여러 변수에 영향을 미칩니다.
여러 변수의 함수에 대한 미분 계산에는 다음과 같은 일반적인 연산이 포함됩니다.
1. 연속성과 한계.
다차원 공간의 연속성과 한계에 대한 연구는 하나의 변수 함수의 특징이 아닌 많은 병리적이고 비논리적인 결과를 낳습니다. 예를 들어, 정의 영역에 직선을 따라 접근할 때 특정 극한을 제공하지만 포물선을 따라 접근할 때는 완전히 다른 극한을 제공하는 두 변수의 스칼라 함수가 있습니다. 이 함수는 원점을 통과하는 직선을 따라 지날 때 0이 되는 경향이 있습니다. 한계가 서로 다른 궤적을 따라 일치하지 않기 때문에 단일 한계가 없습니다.
변수 x의 경향에 따라 함수는 특정 숫자에서 한계를 갖습니다. 특정 지점에서 함수의 극한 값이 존재하고 함수의 부분 값과 같으면 그러한 함수를 해당 지점에서 연속 함수라고 합니다. 함수가 점 집합에서 연속인 경우 이를 점 집합에서 연속이라고 합니다.
2. 편도함수 찾기.
여러 변수의 편미분은 하나의 변수의 미분을 의미하며, 다른 모든 변수는 상수로 간주됩니다.
3. 다중 통합.
다중 적분은 적분의 개념을 많은 변수의 함수로 확장합니다. 공간과 평면에서 영역의 부피와 면적을 계산하려면 이중 및 삼중 적분이 사용됩니다. Tonelli-Fubini 정리에 따르면 다중 적분은 반복 적분으로 계산될 수도 있습니다.
이 모든 것은 여러 변수의 함수에 대한 미분 계산을 허용합니다.
표면 z에 대한 접평면 = f(x, y)
표면에 수직인 F(x, y, z) = 점 M(x, y, z)에서 0
| ||||
Lukhov Yu.P. 고등수학 강의 노트입니다. 6
22강
주제: 여러 변수의 함수에 대한 미분 계산 yx
계획.
- 복잡한 기능의 차별화. 미분 형태의 불변성.
- 암시적 함수, 존재 조건. 암시적 함수의 차별화.
- 고차의 편미분과 미분, 그 속성.*
- 접하는 평면이고 표면에 수직입니다. 미분의 기하학적 의미. 여러 변수의 함수에 대한 Taylor의 공식.*
- 방향에 관한 함수의 파생입니다. 그라데이션과 그 속성.
복잡한 기능 차별화
함수 인수를 보자 z = f(x, y) u 및 v: x = x(u, v), y = y(u, v). 그런 다음 함수 f 의 기능도 있습니다.너와 v. 인수와 관련하여 편도함수를 찾는 방법을 알아봅시다.너와 브이, 직접 교체하지 않고 z = f(x(u, v), y(u, v)). 이 경우, 고려 중인 모든 함수가 모든 인수에 대해 편도함수를 갖는다고 가정합니다.
인수를 설정해보자 u 증분 Δ u, 주장을 바꾸지 않고다섯. 그 다음에
. (16. 1 )
인수에만 증분을 설정하는 경우 v , 우리는 다음을 얻습니다:
. (16. 2 )
평등의 양면을 나누자(16. 1) Δu에 대해, Δv에 대해 등식(16.2) Δ에서 각각 한계까지 이동합니다. u → 0 및 Δ v → 0. 기능의 연속성으로 인해 x와 y. 따라서,
(16. 3 )
몇 가지 특별한 경우를 고려해 봅시다.
x = x(t), y = y(t)라고 가정합니다. 그런 다음 함수 f(x, y) 실제로는 하나의 변수에 대한 함수입니다.티 , 다음 공식을 사용할 수 있습니다( 43 ) 그리고 그 부분 파생물을 대체합니다. x와 y는 u와 v로 일반파생상품에 대하여티 (물론 함수가 미분 가능하다는 전제 하에) x(티)와 y(티) ) , 다음에 대한 표현식을 얻습니다.
(16. 4 )
이제 다음과 같이 가정해보자.티 변수로 작용한다 x, 즉 x와 y 관계로 관련된 y = y(x). 이 경우 이전의 경우와 마찬가지로 함수는 다음과 같습니다. fx. 공식 (16.4)을 사용하여티 = 엑스 그리고 그것을 고려하면 우리는 그것을 얻습니다
. (16. 5 )
이 공식에는 함수의 두 파생어가 포함되어 있다는 사실에 주목합시다. f를 인수 x로 : 왼쪽에는 소위총 파생 상품, 오른쪽의 개인용과는 대조적입니다.
예.
- z = xy라고 가정합니다. 여기서 x = u² + v, y = uv ². 찾아 보자. 이를 위해 먼저 각 인수에 대해 주어진 세 가지 함수의 편도함수를 계산합니다.
그런 다음 공식 (16.3)에서 다음을 얻습니다.
(최종 결과에서 우리는 표현식을 다음으로 대체합니다. x와 y를 u와 v의 함수로 표현).
- 함수의 완전한 도함수를 찾아봅시다 z = sin (x + y²), 여기서 y = cos x.
미분 형태의 불변성
공식 (15.8)과 (16)을 사용합니다. 3 ), 우리는 함수의 완전한 미분을 표현합니다
z = f (x, y), 여기서 x = x (u, v), y = y (u, v), 변수의 미분을 통해너와 v:
(16. 6 )
따라서 인수에 대해 미분 형식이 유지됩니다.너와 브이 이 인수의 함수와 동일 x와 y , 즉,불변 (변경할 수 없음).
암시적 함수, 존재 조건
정의. x의 함수 y , 방정식으로 정의
F(x, y) = 0, (16.7)
~라고 불리는 암시적 함수.
물론, 다음 형식의 모든 방정식이 적용되는 것은 아닙니다( 16.7) y를 결정합니다. 고유한(그리고 더욱이 연속적인) 기능으로서엑스 . 예를 들어, 타원의 방정식
y를 설정한다 의 두 값 함수로 X : 
을 위한
고유하고 연속적인 암시적 함수의 존재 조건은 다음 정리에 의해 결정됩니다.
정리 1 (증거 없음). 허락하다:
- 함수 F(x, y) 점을 중심으로 하는 특정 직사각형에서 정의되고 연속적입니다( x 0, y 0);
- F(x0, y0) = 0;
- 상수 x F(x, y)에서 증가함에 따라 단조롭게 증가(또는 감소)합니다. y .
그 다음에
a) 지점의 일부 인근 지역 ( x 0, y 0) 방정식 (16.7)은 y를 결정합니다. 단일 값 함수로 x: y = f(x);
b) x = x 0에서 이 함수는 값을 취합니다 y 0: f(x 0) = y 0;
c) 함수 f(x)는 연속적입니다.
지정된 조건이 충족되면 함수의 도함수를 찾아 보겠습니다. y = x의 f(x).
정리 2. y를 x의 함수로 설정 는 방정식( 16.7), 여기서 함수 F(x, y) 정리 1의 조건을 만족합니다. 또한,
- 일부 영역에서 지속적인 기능디 , 점 포함(x,y), 그 좌표는 다음 방정식을 만족합니다( 16.7
) 그리고 이 시점에서
. 그러면 x의 함수 y는 파생상품이 있어요
(16.8
)
증거.
값을 선택해 봅시다엑스 그리고 그에 상응하는 의미 y . x 증분 Δ x를 설정하고 함수 y = f (x) 증가분 Δ를 받게 됩니다. y . 이 경우 F(x, y) = 0, F(x + Δ x, y +Δ y) = 0이므로 F(x + Δ x, y +Δ y) F(x, y) = 0. 이 평등의 왼쪽에는 함수의 전체 증가가 있습니다. F(x, y), 이는 다음과 같이 표현될 수 있습니다( 15.5 ):
결과 평등의 양쪽을 Δ로 나눕니다.엑스 , 그것을 표현해보자
:
.
한도 내 
, 주어진 
그리고 
, 우리는 다음을 얻습니다: 
. 정리가 입증되었습니다.
예. 있으면 찾아드리겠습니다. 찾아보자.
그런 다음 공식에서 ( 16.8) 우리는 다음을 얻습니다: .
고차의 파생상품과 미분상품
편도함수 z = f(x, y) 차례로 변수의 함수입니다. x와 y . 따라서 이러한 변수에 대한 편도함수를 찾을 수 있습니다. 다음과 같이 지정해 보겠습니다.
따라서 2차 편미분 4개가 얻어집니다. 각각은 다음에 따라 다시 구별될 수 있습니다. x와 y 3차 편도함수 8개를 구합니다. 고차 도함수를 다음과 같이 정의해 보겠습니다.
정의 . 편도함수 n번째 순서 여러 변수의 함수를 도함수의 1차 도함수( n 1)번째 순서.
부분 파생 상품은 중요한 재산: 차별화 결과는 차별화 순서에 의존하지 않습니다(예:).
이 진술을 증명해 봅시다.
정리 3. 함수 z = f(x, y)인 경우 및 그 부분 파생물
한 지점에서 정의되고 연속적입니다.남(x,y) 그리고 그 근처의 일부에서는 이 시점에서
(16.9 )
증거.
표현식을 살펴보고 보조 기능을 소개하겠습니다. 그 다음에
정리의 조건으로부터 그것은 구간 [ x, x + Δx ], 따라서 Lagrange의 정리가 여기에 적용될 수 있습니다.
[ x , x + Δ x ]. 하지만 포인트 근처에 있기 때문에중 정의되고, 구간 [에서 미분 가능합니다. y, y + Δy ] 따라서 Lagrange의 정리는 결과 차이에 다시 적용될 수 있습니다.
표현식에서 용어의 순서를 변경해 보겠습니다.답:
그리고 또 다른 보조 기능을 도입한 다음 과 동일한 변환을 수행하면 어디에서 얻을 수 있습니까? 따라서,
연속성과. 그러므로 한계에 도달하면 증명이 필요한 만큼의 결과를 얻을 수 있습니다.
결과. 이 속성은 모든 차수의 도함수와 다양한 변수의 함수에 대해 적용됩니다.
고차 미분
정의 . 2차 미분함수 u = f(x, y, z)가 호출됩니다.
마찬가지로 3차 이상 차수의 미분을 정의할 수 있습니다.
정의 . 주문 차등케이 차수 미분의 총 미분이라고 합니다( k 1): d k u = d (d k - 1 u ).
고차 미분의 속성
- 케이 번째 미분은 차수의 동차 정수 다항식입니다.케이 계수가 부분 도함수인 독립 변수의 미분과 관련하여케이 차수에 정수 상수를 곱합니다(일반 지수 계산과 동일).
- 첫 번째 차수보다 높은 차수의 미분은 변수 선택과 관련하여 변하지 않습니다.
접하는 평면이고 표면에 수직입니다. 미분의 기하학적 의미
함수 z = f(x, y)라고 하자 점 근처에서 미분 가능하다남(x0, y0) . 그런 다음 부분 도함수는 표면의 교차선에 대한 접선의 각도 계수입니다. z = f (x, y) 평면 y = y 0 및 x = x 0 , 표면 자체에 접선이 됩니다. z = f(x, y). 이 선들을 통과하는 평면에 대한 방정식을 만들어 봅시다. 접선 방향 벡터는 (1; 0; ) 및 (0; 1; ) 형식을 가지므로 평면에 대한 법선은 벡터 곱으로 표시될 수 있습니다. N = (-,-, 1). 따라서 평면의 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
, (16.10 )
여기서 z 0 = .
정의. 방정식으로 정의되는 평면( 16.10 )를 함수 그래프의 접평면이라고 합니다. z = f(x, y) 좌표가 있는 지점에서(x0, y0, z0).
공식(15.6)에서 ) 두 변수의 경우 함수의 증가는 다음과 같습니다.에프 한 지점 근처에중 다음과 같이 표현될 수 있습니다:
또는
(16.11 )
결과적으로, 함수 그래프의 적용과 접평면 사이의 차이는 다음보다 더 높은 차수의 무한소입니다.ρ, ρ→ 0의 경우.
이 경우 함수 미분 f는 다음과 같은 형식을 갖습니다.
이는 함수 그래프에 대한 접평면의 적용 증가에 해당합니다. 이것이 미분의 기하학적 의미입니다.
정의. 한 점에서 접평면에 수직인 0이 아닌 벡터 M(x0,y0) 표면 z = f(x,y) , 이 지점에서 표면에 대한 법선이라고 합니다.
벡터를 취하는 것이 편리합니다. n = (,-1).
z = f(x,y)
M 0 (x 0 , y 0 , z 0 )
남(x0, y0)
예.
표면에 대한 접평면에 대한 방정식을 만들어 보겠습니다. z = 점 M(1; 1)에서 xy. x 0 = y 0 = 1 z 0 = 일 때 1; . 따라서 접평면은 다음 방정식으로 지정됩니다. z = 1 + (x 1) + (y 1) 또는 x + y z 1 = 0. 이 경우 표면의 특정 지점에서 법선 벡터의 형식은 다음과 같습니다. n = (1; 1; -1).
점에서 이동할 때 함수 그래프와 접평면의 적용 증가분을 구해 봅시다. M에서 N까지(1.01; 1.01).
Δ z = 1.01² - 1 = 0.0201; Δ z 카스 = (1.01 + 1.01 1) (1 + 1 1) = 0.02. 따라서,
dz = Δz cas = 0.02. 이 경우 Δ z dz = 0.0001입니다.
여러 변수의 함수에 대한 테일러의 공식
알려진 바와 같이, 그 기능은 F(t) 주문 파생상품의 존재 여부에 따라 달라질 수 있습니다. N +1은 라그랑주 형식의 나머지 항이 있는 Taylor 공식을 사용하여 확장될 수 있습니다(공식 (21), (2 참조) 5 )). 이 공식을 미분 형식으로 작성해 보겠습니다.
(16.1 2 )
어디
이 형식에서 Taylor의 공식은 여러 변수의 함수의 경우로 확장될 수 있습니다.
두 변수의 함수를 고려하십시오. f(x, y) , 인근에 포인트가 있는 경우( x 0, y 0 ) (에 관한 연속 도함수 N + 1)번째 주문 포함. 인수를 설정해보자 x와 y 약간의 증분 Δ x와 Δy 그리고 새로운 독립변수를 고려해보세요티:
(0 ≤ 티 ≤ 1). 이 공식은 점을 연결하는 직선 세그먼트를 지정합니다( x 0, y 0) 및 (x 0 + Δ x, y 0 + Δ y ). 그런 다음 증분 Δ 대신 f(x0, y0) 보조 기능을 증가시키는 것을 고려할 수 있습니다.
F(t) = f (x 0 + t Δ x, y 0 + t Δ y) , (16.1 3)
Δ F(0) = F(1) F(0)과 같습니다. 그러나 F(t) 하나의 변수의 함수이다티 , 따라서 공식 (16.1)이 적용 가능합니다. 2). 우리는 다음을 얻습니다:
선형의 경우 변수의 변화에 따라 고차의 미분은 불변성의 특성을 갖습니다.
이 표현식을 (16.1)로 대체하면 2) 우리는 얻는다 두 변수의 함수에 대한 테일러의 공식:
, (16.1 4 )
여기서 0< θ <1.
논평.미분 형식에서 여러 변수의 경우에 대한 Taylor의 공식은 매우 간단해 보이지만 확장된 형식에서는 매우 번거롭습니다. 예를 들어, 두 변수의 함수의 경우에도 첫 번째 항은 다음과 같습니다.
방향성 파생. 구배
기능을 보자유 = 에프 (엑스, 와이, 지) 일부 지역에서는 계속디그리고 이 영역에서 연속 부분 도함수를 갖습니다. 고려중인 영역에서 지점을 선택합시다중(엑스, 와이, 지) 그리고 그것으로부터 벡터를 그립니다.에스, 방향 코사인cosα, cosβ, cosγ. 벡터에에스거리 Δ에서에스처음부터 우리는 요점을 찾을 것입니다중1 (엑스+Δ 엑스, 와이+Δ 와이,지+ Δ 지), 어디
함수의 전체 증가를 상상해 봅시다에프형식:
어디
Δ로 나눈 후에스우리는 다음을 얻습니다:
.
이전 평등은 다음과 같이 다시 작성할 수 있으므로:
(16.15 )
정의.비율의 한계는 다음과 같습니다.함수의 파생물유 = 에프 (엑스, 와이, 지) 벡터 방향으로에스그리고 지정됩니다.
게다가 (16.1 5 ) 우리는 다음을 얻습니다:
(16.1 6 )
참고 1. 부분 파생 상품은 방향 파생 상품의 특별한 경우입니다. 예를 들어 다음과 같은 결과를 얻을 때:
.
참고 2.위에서 두 변수 함수의 편미분의 기하학적 의미는 평면과 함수의 그래프인 표면의 교차선에 대한 접선의 각도 계수로 정의되었습니다.x = x0 그리고와이 = 와이0 . 비슷한 방식으로 이 함수의 도함수를 방향으로 고려할 수 있습니다.엘그 시점에M(x0 , y0 ) 주어진 표면과 점을 통과하는 평면의 교차선의 각도 계수중축에 평행영형지그리고 똑바로엘.
정의. 특정 영역의 각 점에서의 좌표가 함수의 부분 도함수인 벡터유 = 에프 (엑스, 와이, 지) 이 시점에서 호출됩니다구배기능유 = 에프 (엑스, 와이, 지).
지정:졸업생유 = .
그라데이션 속성
- 일부 벡터의 방향에 대한 미분에스벡터의 투영과 같습니다졸업생유벡터하다에스.
증거. 단위 방향 벡터에스처럼 보인다이자형에스 ={ cosα, cosβ, cosγ), 따라서 식 (16.1)의 우변6 )는 벡터의 스칼라 곱입니다.졸업생유그리고이자형에스, 즉 지정된 투영입니다.
- 벡터 방향의 주어진 점에서 도함수에스가장 큰 값은 |졸업생유|, 이 방향이 그라데이션 방향과 일치하는 경우. 증거. 벡터 사이의 각도를 나타내자에스그리고졸업생유를 통해. 그런 다음 속성 1에서 다음과 같습니다.
| 졸업생유|∙ cos Φ, (16.1 7 )
따라서 최대값은 Φ=0에서 달성되며 |졸업생유|.
- 벡터에 수직인 벡터 방향의 도함수졸업생유, 은 0과 같습니다.
증거.이 경우, 식 (16.17)에서
- 만약에지 = 에프 (엑스, 와이) 두 변수의 함수, 그러면졸업생에프= 레벨 라인에 수직으로 향함에프 (엑스, 와이) = 기음, 이 지점을 통과합니다.
한국표준대학교 정보고등수학과
미적분학 소개
1. 세트, 정의 방법. 수량자. 집합(합집합, 교집합, 차이)에 대한 연산, 해당 속성. 숫자의 계수, 해당 속성. 집합의 데카르트 곱. 세트의 얼굴. 셀 수 있는 집합과 셀 수 없는 집합.
2.. 기능, 할당 방법, 분류.
3. 한 지점의 인근 지역. 일관성 한계. Bolzano-Cauchy 및 Weierstrass 정리(증명 없음). 하이네에 따른 기능의 한계 결정.
4. 일방적인 한계. 한계가 존재하기 위한 필요조건과 충분조건. 극한의 기하학적 의미.
5. Cauchy에 따른 연속 논증의 함수의 극한 결정 및 .
6. 무한히 작은 기능과 무한히 큰 기능, 그 사이의 관계. 무한 함수의 속성.
7. 극한과 극소 함수의 합으로 함수 표현에 관한 정리.
극한에 관한 정리(극한의 속성)
8. 중간 함수에 관한 정리. 첫 번째 놀라운 한계.
9. 두 번째 주목할만한 한계, 그 근거, 재무 계산에서의 적용.
10. 극소함수 비교.
11. 한 지점과 세그먼트에서 기능의 연속성. 연속 기능에 대한 조치. 기본 기본 기능의 연속성.
12. 연속 함수의 속성.
13. 기능 중단점.
한 변수의 함수에 대한 미분 계산
14. 함수의 파생어, 기하학적, 기계적 의미.
15. 함수의 연속성과 미분성의 관계. 파생상품을 직접 찾아보세요.
16. 기능 차별화 규칙.
17. 삼각함수와 역삼각함수를 구별하기 위한 공식 유도.
18. 로그 함수와 지수 함수를 구별하기 위한 공식 유도.
19. 거듭제곱과 지수 함수를 미분하는 공식 유도. 파생 상품 표. 더 높은 주문의 파생상품.
20. 기능의 탄력성, 기하학적, 경제적 의미, 속성. 예.
21. 하나의 변수에 대한 함수의 미분. 정의, 존재 조건, 기하학적 의미, 속성.
22. 대략적인 계산을 위해 한 변수의 함수 미분을 적용합니다. 더 높은 차수의 미분.
23. 롤의 정리, 기하학적 의미, 사용 예.
24. 함수의 유한 증분에 관한 라그랑주의 정리, 그 기하학적 의미.
25. 미분 함수에 관한 코시(Cauchy)의 정리.
26. 로피탈의 법칙(L'Hopital's rule), 한계를 찾을 때 불확실성을 밝히기 위해 사용됩니다.
27. 테일러의 공식. Lagrange 및 Peano 형식의 나머지 항입니다.
28. 매클로린 공식, 그 나머지. 기본 기능의 확장.
29. Maclaurin 공식, 극한 찾기 및 함수 값 계산에 적용.
30. 단조로운 기능. 함수의 단조성의 필요하고 충분한 신호입니다.
31. 함수의 국소 극값. 함수의 극값에 대한 필수 기호입니다.
32. 함수의 극값에 대한 첫 번째와 두 번째 충분 부호.
33. 함수 그래프의 볼록함, 오목함의 충분한 표시.
34. 변곡점 존재의 필요하고 충분한 징후.
35. 함수 그래프의 점근선. 함수를 연구하고 그래프를 구성하는 일반적인 방식입니다.
여러 변수의 함수에 대한 미분 계산
36. 여러 변수의 기능, 정의, 레벨 라인 및 레벨 표면.
37. Cauchy에 따른 여러 변수의 함수 극한 결정. 한계의 속성.
38. 무한한 기능. 여러 변수의 함수 연속성에 대한 정의. 포인트와 브레이크 라인. 연속 함수의 속성.
39. 여러 변수의 함수의 부분 증분 및 부분 파생물. 편미분을 찾는 규칙. 편미분의 기하학적 의미.
40. 여러 변수의 함수를 구별하기 위한 필수 조건. 미분 함수와 연속 함수 사이의 관계에 대한 예입니다.
41. 여러 변수의 함수를 미분할 수 있는 충분한 조건.
42. 여러 변수의 함수의 총 미분, 정의.
43. 대략적인 계산을 위해 여러 변수의 함수의 완전 미분을 적용합니다.
44. 고차의 편미분과 미분.
45. 여러 변수의 복잡한 함수의 부분 파생물.
46. 암시적으로 지정된 여러 변수의 함수의 부분 파생물.
47. 여러 변수의 함수의 방향 미분.
48. 여러 변수의 함수 기울기, 해당 속성.
49. 여러 변수의 함수에 대한 Taylor의 공식.
50. 두 변수 함수의 국소 극값에 대한 필요하고 충분한 표시.
51. 여러 변수의 함수에 대한 조건부 극값. 라그랑주 승수법.
52. 조건부 극값의 충분한 신호입니다. 여러 변수의 함수의 절대 극값.
53. 최소제곱법.
미분 미적분학은 도함수, 미분 및 함수 연구에서의 사용을 연구하는 수학적 분석의 한 분야입니다.
출현의 역사
미분학은 미분학의 주요 원리를 공식화하고 적분과 미분 사이의 연관성을 발견한 뉴턴과 라이프니츠의 연구 덕분에 17세기 후반에 독립적인 학문이 되었습니다. 그 순간부터 이 학문은 적분법과 함께 발전하여 수학적 분석의 기초를 형성했습니다. 이러한 미적분학의 출현은 수학계에 새로운 근대 시대를 열었고 과학에 새로운 학문 분야의 출현을 가져왔습니다. 또한 수리과학을 과학기술에 적용할 수 있는 가능성도 확대됐다.
기본 개념
미분법은 수학의 기본 개념을 기반으로 합니다. 연속성, 기능, 한계가 그것이다. 시간이 지나면서 적분 및 미분 계산 덕분에 현대적인 형태를 갖추게 되었습니다.
생성 과정
응용 및 과학적 방법의 형태로 미분 계산의 형성은 Nikolai Kuzansky가 창안한 철학 이론이 출현하기 전에 발생했습니다. 그의 작품은 고대 과학의 판단에 따른 진화적 발전으로 간주됩니다. 철학자 자신이 수학자가 아니었음에도 불구하고 수리과학 발전에 대한 그의 공헌은 부인할 수 없습니다. Cusansky는 산술을 과학의 가장 정확한 분야로 간주하지 않고 당시의 수학에 의문을 제기한 최초의 사람 중 한 명이었습니다.
고대 수학자들은 통일성에 대한 보편적인 기준을 갖고 있었던 반면, 철학자는 정확한 숫자 대신 새로운 척도로 무한대를 제안했습니다. 이와 관련하여 수리과학의 정확성 표현은 반전됩니다. 그의 생각에 과학적 지식은 합리적 지식과 지적 지식으로 구분됩니다. 과학자에 따르면 두 번째가 더 정확하다고 합니다. 첫 번째는 대략적인 결과만 제공하기 때문입니다.
아이디어
미분학의 기본 아이디어와 개념은 특정 점의 작은 이웃에 있는 함수와 관련이 있습니다. 이를 위해서는 확립된 점의 작은 이웃에서의 동작이 다항식 또는 선형 함수의 동작에 가까운 함수를 연구하기 위한 수학적 장치를 만드는 것이 필요합니다. 이는 미분과 미분의 정의에 기초합니다.
이러한 현상은 자연과학과 수학의 많은 문제로 인해 발생했으며 이로 인해 한 가지 유형의 한계 값이 발견되었습니다.
고등학교 때부터 예시로 제시되는 주요 과제 중 하나는 직선을 따라 이동하는 점의 속도를 결정하고 이 곡선에 접선을 그리는 것입니다. 미분은 문제의 선형 함수 점의 작은 이웃에서 함수를 근사화하는 것이 가능하기 때문에 이와 관련됩니다.
실수 변수 함수의 도함수 개념과 비교할 때, 미분의 정의는 단순히 일반적인 성격의 함수, 특히 하나의 유클리드 공간에서 다른 공간으로의 이미지로 넘어갑니다.
유도체
점이 Oy 축 방향으로 이동한다고 가정하고 x를 특정 순간의 시작부터 계산되는 시간으로 간주하겠습니다. 이러한 움직임은 이동되는 점 좌표의 각 시간 순간 x에 할당되는 함수 y=f(x)를 사용하여 설명할 수 있습니다. 역학에서는 이 기능을 운동의 법칙이라고 합니다. 운동, 특히 불균일한 운동의 주요 특징은 역학 법칙에 따라 점이 Oy 축을 따라 움직일 때 임의의 시간 x 순간에 좌표 f(x)를 획득한다는 것입니다. 시간 순간 x + Δx(여기서 Δx는 시간 증분을 나타냄)에서 해당 좌표는 f(x + Δx)가 됩니다. 이것이 공식 Δy = f(x + Δx) - f(x)가 형성되는 방식이며, 이를 함수의 증분이라고 합니다. x에서 x + Δx까지의 특정 시점에 이동한 경로를 나타냅니다.
현재 이 속도의 발생과 관련하여 파생 상품이 도입됩니다. 임의의 함수에서 고정점에서의 도함수를 극한이라고 합니다(존재하는 경우). 특정 기호로 표시될 수 있습니다.
f'(x), y', ý, df/dx, dy/dx, Df(x).
도함수를 계산하는 과정을 미분이라고 합니다.
여러 변수의 함수에 대한 미분 계산
이 미적분 방법은 여러 변수가 있는 함수를 연구할 때 사용됩니다. 두 개의 변수 x와 y가 주어지면 점 A에서 x에 대한 편도함수를 y가 고정된 x에 대한 이 함수의 도함수라고 합니다.
다음 기호로 표시될 수 있습니다.
f'(x)(x,y), u'(x), ∂u/∂x 또는 ∂f(x,y)'/∂x.
필수 기술
성공적으로 배우고 확산을 해결하려면 통합과 차별화 기술이 필요합니다. 미분방정식을 더 쉽게 이해하려면 도함수에 대한 주제를 잘 이해해야 하며 암시적으로 주어진 함수의 도함수를 찾는 방법을 배우는 것도 나쁘지 않습니다. 이는 학습 과정에서 적분과 미분을 사용해야 하는 경우가 많기 때문입니다.
미분방정식의 종류
관련된 거의 모든 테스트에는 3가지 유형의 방정식이 있습니다: 동종 방정식, 분리 가능한 변수가 있는 방정식, 선형 불균일 방정식.
또한 완전 미분, 베르누이 방정식 등의 희귀한 유형의 방정식도 있습니다.
솔루션 기본
먼저, 학교 수업에서 배운 대수 방정식을 기억해야 합니다. 여기에는 변수와 숫자가 포함됩니다. 일반 방정식을 풀려면 주어진 조건을 만족하는 숫자 집합을 찾아야 합니다. 일반적으로 이러한 방정식에는 근이 하나만 있으며 정확성을 확인하려면 미지의 값을 이 값으로 대체하면 됩니다.
미분방정식도 이와 비슷합니다. 일반적으로 이러한 1차 방정식에는 다음이 포함됩니다.
- 독립변수.
- 첫 번째 함수의 파생물입니다.
- 함수 또는 종속 변수.
경우에 따라 미지수 x 또는 y 중 하나가 누락될 수 있지만 이는 그다지 중요하지 않습니다. 왜냐하면 고차 도함수 없이 1차 도함수가 존재해야 해와 미분 계산이 정확하기 때문입니다.
미분 방정식을 푼다는 것은 주어진 표현식에 맞는 모든 함수의 집합을 찾는 것을 의미합니다. 이러한 기능 세트를 종종 DE의 일반 솔루션이라고 합니다.
적분법
적분법은 적분의 개념, 속성 및 계산 방법을 연구하는 수학적 분석의 한 분야입니다.
종종 곡선 도형의 면적을 계산할 때 적분 계산이 발생합니다. 이 면적은 주어진 그림에 새겨진 다각형의 면적이 측면에서 점진적으로 증가하는 경향이 있는 한계를 의미하며, 이러한 측면은 이전에 지정된 임의의 작은 값보다 작게 만들 수 있습니다.
임의의 기하학적 도형의 면적을 계산하는 주요 아이디어는 직사각형의 면적을 계산하는 것, 즉 직사각형의 면적이 길이와 너비의 곱과 같다는 것을 증명하는 것입니다. 기하학의 경우 모든 구성은 자와 나침반을 사용하여 이루어지며, 길이와 너비의 비율은 합리적인 값입니다. 직각삼각형의 넓이를 계산할 때, 같은 삼각형을 나란히 놓으면 직사각형이 생기는 것을 알 수 있습니다. 평행사변형에서는 직사각형과 삼각형을 사용하는 유사하지만 약간 더 복잡한 방법을 사용하여 면적을 계산합니다. 다각형에서는 면적이 포함된 삼각형을 통해 계산됩니다.
임의 곡선의 면적을 결정할 때 이 방법은 작동하지 않습니다. 단위 정사각형으로 나누면 채워지지 않은 공간이 생깁니다. 이 경우 상단과 하단에 직사각형이 있는 두 가지 적용 범위를 사용하려고 시도하므로 결과적으로 함수 그래프가 포함되지만 포함되지 않습니다. 여기서 중요한 것은 이 직사각형으로 나누는 방법이다. 또한, 점점 더 작은 분할을 취하면 위와 아래의 영역이 특정 값으로 수렴해야 합니다.
직사각형으로 나누는 방법으로 돌아가야 합니다. 널리 사용되는 두 가지 방법이 있습니다.
리만은 라이프니츠와 뉴턴이 만든 적분의 정의를 하위 그래프의 면적으로 공식화했습니다. 이 경우 특정 수의 수직 직사각형으로 구성되고 세그먼트를 나누어 얻은 그림을 고려했습니다. 분할이 감소함에 따라 유사한 도형의 면적이 감소하는 한계가 있을 때, 이 한계를 주어진 세그먼트에 대한 함수의 리만 적분이라고 합니다.
두 번째 방법은 정의된 영역을 피적분 함수의 부분으로 나눈 다음 이 부분에서 얻은 값으로부터 적분 합을 컴파일하고 해당 값의 범위를 간격으로 나누는 것으로 구성된 르베그 적분의 구성입니다. 그런 다음 이를 적분의 역 이미지에 대한 해당 측정값으로 요약합니다.
현대적인 혜택
미분 및 적분학 연구를 위한 주요 매뉴얼 중 하나는 Fichtenholtz가 작성한 "미분 및 적분학 과정"입니다. 그의 교과서는 수학적 분석 연구에 대한 기본 안내서이며, 수많은 판본과 다른 언어로의 번역을 거쳤습니다. 대학생을 위해 제작되었으며 오랫동안 많은 교육 기관에서 주요 학습 보조 자료 중 하나로 사용되어 왔습니다. 이론적인 데이터와 실무적인 기술을 제공합니다. 1948년에 처음 출판되었습니다.
함수 연구 알고리즘
미분법을 사용하여 함수를 연구하려면 이미 정의된 알고리즘을 따라야 합니다.
- 함수 정의 영역을 찾습니다.
- 주어진 방정식의 근을 찾아보세요.
- 극값을 계산합니다. 이렇게 하려면 도함수와 이 값이 0이 되는 점을 계산해야 합니다.
- 결과 값을 방정식에 대체합니다.
미분방정식의 종류
1차 DE(그렇지 않으면 한 변수의 미분 계산) 및 해당 유형:
- 분리 가능한 방정식: f(y)dy=g(x)dx.
- y"=f(x) 공식을 갖는 가장 간단한 방정식 또는 단일 변수 함수의 미분 계산입니다.
- 1차 선형 비균질 DE: y"+P(x)y=Q(x).
- 베르누이 미분 방정식: y"+P(x)y=Q(x)y a.
- 총 미분이 있는 방정식: P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0.
2차 미분방정식 및 유형:
- 계수의 상수 값을 갖는 2차 선형 균질 미분 방정식: y n +py"+qy=0 p, q는 R에 속합니다.
- 상수 계수를 갖는 2차 선형 불균일 미분 방정식: y n +py"+qy=f(x).
- 선형 균질 미분 방정식: y n +p(x)y"+q(x)y=0 및 비균질 2차 방정식: y n +p(x)y"+q(x)y=f(x).
고차 미분방정식과 그 유형:
- 차수 축소를 허용하는 미분 방정식: F(x,y (k) ,y (k+1) ,..,y (n) =0.
- 고차 선형 방정식은 동질적입니다. y(n) +f(n-1) y(n-1) +...+f 1 y"+f 0 y=0, 불균일: y (n) +f (n-1) y (n-1) +...+f 1 y"+f 0 y=f(x).
미분 방정식으로 문제를 해결하는 단계
원격 제어의 도움으로 수학적 또는 물리적 문제뿐만 아니라 생물학, 경제, 사회학 및 기타 분야의 다양한 문제도 해결됩니다. 다양한 주제에도 불구하고 이러한 문제를 해결할 때는 하나의 논리적 순서를 고수해야 합니다.
- DU를 작성합니다. 실수가 있으면 완전히 잘못된 결과가 발생하므로 최대한의 정확성이 필요한 가장 어려운 단계 중 하나입니다. 프로세스에 영향을 미치는 모든 요소를 고려하고 초기 조건을 결정해야 합니다. 또한 사실과 논리적 결론에 근거해야 합니다.
- 컴파일된 방정식의 해입니다. 이 프로세스는 엄격한 수학적 계산만 필요하기 때문에 첫 번째 항목보다 간단합니다.
- 얻은 결과를 분석하고 평가합니다. 결과 솔루션을 평가하여 결과의 실제적, 이론적 가치를 확립해야 합니다.
의학에서 미분 방정식을 사용하는 예
의학 분야에서 DE의 사용은 역학적 수학적 모델을 구축할 때 발생합니다. 동시에 우리는 이러한 방정식이 의학에 가까운 생물학과 화학에서도 발견된다는 사실을 잊어서는 안 됩니다. 왜냐하면 인체의 다양한 생물학적 개체군과 화학적 과정에 대한 연구가 중요한 역할을 하기 때문입니다.
위의 전염병 예에서 우리는 고립된 사회에서의 감염 확산을 고려할 수 있습니다. 주민들은 세 가지 유형으로 나뉜다.
- 감염자 x(t)는 감염의 매개체인 개인으로 구성되며, 각각은 전염성이 있습니다(잠복기는 짧습니다).
- 두 번째 유형에는 감염된 개인과의 접촉을 통해 감염될 수 있는 취약한 개인 y(t)가 포함됩니다.
- 세 번째 유형에는 면역이 있거나 질병으로 인해 사망한 감수성이 없는 개체 z(t)가 포함됩니다.
개인의 수는 일정합니다. 출생, 자연사 및 이동은 고려되지 않습니다. 두 가지 기본 가설이 있을 것입니다.
특정 시점의 이환율은 x(t)y(t)와 같습니다(이 가정은 아픈 사람의 수가 아픈 대표자와 취약한 대표자 사이의 교차 수에 비례한다는 이론에 기초합니다. 첫 번째 근사치는 x(t)y(t))에 비례합니다. 따라서 아픈 사람의 수가 증가하고 취약한 사람의 수가 ax(t)y(t) 공식으로 계산되는 비율로 감소합니다. (a > 0).
면역을 획득하거나 사망한 면역 개인의 수는 사례 수 bx(t)(b > 0)에 비례하는 비율로 증가합니다.
결과적으로 세 가지 지표를 모두 고려하여 방정식 시스템을 만들고 이를 기반으로 결론을 도출할 수 있습니다.
경제학에서의 사용 예
미분법은 경제 분석에 자주 사용됩니다. 경제 분석의 주요 임무는 함수 형태로 작성된 경제학의 수량을 연구하는 것입니다. 이는 세금 인상 직후 소득 변화, 관세 도입, 제품 가격 변경에 따른 회사 수익 변화, 퇴직 직원을 새 장비로 교체할 수 있는 비율 등의 문제를 해결할 때 사용됩니다. 이러한 문제를 해결하려면 입력 변수로부터 연결 함수를 구성한 다음 미분 계산을 사용하여 연구해야 합니다.
경제 영역에서는 최대 노동 생산성, 최고 소득, 최저 비용 등 가장 최적의 지표를 찾는 것이 필요한 경우가 많습니다. 이러한 각 표시기는 하나 이상의 인수로 구성된 함수입니다. 예를 들어, 생산은 노동과 자본 투입의 함수로 간주될 수 있습니다. 이와 관련하여 적절한 값을 찾는 것은 하나 이상의 변수에 대한 함수의 최대값 또는 최소값을 찾는 것으로 축소될 수 있습니다.
이런 종류의 문제는 경제 분야에서 일련의 극단적인 문제를 야기하며, 그 해결에는 미분 계산이 필요합니다. 경제 지표가 다른 지표의 함수로 최소화되거나 최대화되어야 하는 경우, 인수의 증가가 0이 되는 경우 최대 지점에서 인수에 대한 함수의 증가 비율은 0이 되는 경향이 있습니다. 그렇지 않고 이러한 비율이 양수 또는 음수 값으로 변하는 경우 표시된 지점은 적합하지 않습니다. 인수를 늘리거나 줄이면 종속 값이 필요한 방향으로 변경될 수 있기 때문입니다. 미분학이라는 용어에서 이는 함수의 최대값에 필요한 조건이 해당 도함수의 0 값임을 의미합니다.
경제학에서는 경제 지표가 여러 요소로 구성되어 있기 때문에 여러 변수를 갖는 함수의 극값을 구하는 데 문제가 있는 경우가 많습니다. 미분 계산 방법을 사용하여 여러 변수의 함수 이론에서 유사한 질문이 잘 연구되었습니다. 이러한 문제에는 최대화하고 최소화해야 할 기능뿐만 아니라 제한 사항도 포함됩니다. 유사한 질문은 수학적 프로그래밍과 관련되어 있으며 이 과학 분야를 기반으로 특별히 개발된 방법을 사용하여 해결됩니다.
경제학에서 사용되는 미분법 중 중요한 부분이 극한해석이다. 경제 영역에서 이 용어는 제한 지표 분석을 기반으로 생성 및 소비량을 변경할 때 변수 지표 및 결과를 연구하는 일련의 기술을 나타냅니다. 제한 지표는 여러 변수가 있는 파생 상품 또는 부분 파생 상품입니다.
여러 변수의 미적분학은 수학적 분석 분야에서 중요한 주제입니다. 자세한 연구를 위해 고등 교육 기관의 다양한 교과서를 사용할 수 있습니다. 가장 유명한 것 중 하나는 Fichtenholtz가 만든 "미분 및 적분 미적분학 과정"입니다. 이름에서 알 수 있듯이 적분을 다루는 기술은 미분 방정식을 푸는 데 상당히 중요합니다. 하나의 변수에 대한 함수의 미분 계산이 수행되면 솔루션이 더 간단해집니다. 그러나 주목해야 할 점은 동일한 기본 규칙이 적용된다는 것입니다. 실제로 미분학을 사용하여 함수를 연구하려면 고등학교에서 주어지고 새로운 변수가 도입될 때 약간만 복잡해지는 기존 알고리즘을 따르는 것으로 충분합니다.
