키워드추상적인:정수. 자연수에 대한 산술 연산. 자연수의 나눗셈. 소수와 합성수. 자연수를 소인수로 인수분해합니다. 2, 3, 5, 9, 4, 25, 10, 11로 나누어지는 기호. 최대 공약수(GCD) 및 최소 공배수(LCD). 나머지가 있는 나눗셈.
정수- 물체의 개수를 세는 데 사용되는 숫자입니다 - 1, 2, 3, 4 , ... 하지만 번호는 0 자연스럽지 않다!
자연수의 집합은 다음과 같이 표시됩니다. N. 기록 "3∈N"숫자 3이 자연수 집합에 속한다는 뜻이며, 표기법은 다음과 같습니다. "0 ∉ N"숫자 0이 이 집합에 속하지 않는다는 의미입니다.
십진수 체계- 위치 기수 체계 10 .
자연수에 대한 산술 연산
자연수의 경우 다음 동작이 정의됩니다. 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈,지수화, 근 추출. 처음 네 가지 작업은 다음과 같습니다. 산수.
a, b, c를 자연수라고 하면,
1. 추가. 기간 + 기간 = 합계
추가 속성
1. 의사소통 a + b = b + a.
2. 접속사 a + (b + c) = (a + b) + c.
3. a + 0= 0 + a = a.
2. 빼기. 피감수 - 감수 = 차이
뺄셈의 속성
1. 숫자 a - (b + c) = a - b - c에서 합계를 뺍니다.
2. 합 (a + b) - c = a + (b - c)에서 숫자를 뺍니다. (a + b) - c = (a - c) + b.
3. 가 - 0 = 가.
4. a - a = 0.
3. 곱셈. 승수 * 승수 = 제품
곱셈의 속성
1. 의사소통 a*b = b*a.
2. 접속사 a*(b*c) = (a*b)*c.
3. 1*a = a*1 = a.
4. 0*a = a*0 = 0.
5. 분포(a + b) * c = ac + bc; (a - b) * c = ac - bc.
4. 부서. 배당금: 제수 = 몫
분할의 속성
1. 가: 1 = 가.
2. a: a = 1. 0으로 나눌 수는 없습니다!
3. 0: = 0.
절차
1. 먼저 괄호 안의 동작입니다.
2. 그런 다음 곱셈, 나눗셈.
3. 그리고 마지막 덧셈과 뺄셈에서만 가능합니다.
자연수의 나눗셈. 소수와 합성수.
자연수의 제수 ㅏ는 자연수이다. ㅏ남김없이 나눴습니다. 숫자 1 는 모든 자연수의 약수입니다.
자연수라고 한다 단순한, 그것만 있다면 둘제수: 1과 숫자 자체. 예를 들어 숫자 2, 3, 11, 23은 소수입니다.
약수가 2개 이상인 수를 '수'라고 합니다. 합성물. 예를 들어 숫자 4, 8, 15, 27은 합성수입니다.
가분성 테스트 공장여러 숫자: 요소 중 하나 이상이 특정 숫자로 나누어지면 제품도 이 숫자로 나누어집니다. 일하다 24 15 77 로 나눈 12 , 이 숫자의 승수 이후 24 로 나눈 12 .
합계(차)에 대한 가분성 검정숫자: 각 항이 특정 숫자로 나누어지면 전체 합계가 이 숫자로 나누어집니다. 만약에 에이:비그리고 ㄷ:ㄴ, 저것 (a + c) : b. 그리고 만약에 에이:비, ㅏ 씨다음으로 나눌 수 없음 비, 저것 a+c숫자로 나눌 수 없음 비.
만약에 에: ㄷ그리고 ㄷ:ㄴ, 저것 에이:비. 72:24와 24:12라는 사실을 바탕으로 우리는 72:12라는 결론을 내립니다.
소수의 거듭제곱의 곱으로 숫자를 표현하는 것을 호출합니다. 숫자를 소인수로 인수분해하기.
산술의 기본 정리: 임의의 자연수(제외 1 ) 또는 단순한, 또는 한 가지 방법으로만 인수분해할 수 있습니다.
숫자를 소인수로 분해할 때에는 나눗셈 기호를 사용하고 “열” 표기법을 사용하는데, 이때 제수는 수직선 오른쪽에 위치하며 피제수 아래에 몫을 쓴다.
예를 들어, 작업: 숫자를 소인수로 인수분해 330 . 해결책:
분할의 징후 2, 5, 3, 9, 10, 4, 25 및 11.
분열의 징후가 있습니다. 6, 15, 45 등, 즉 그 곱을 인수분해할 수 있는 숫자로 2, 3, 5, 9 그리고 10 .
최대 공약수
주어진 두 자연수를 각각 나누어 떨어지는 가장 큰 자연수를 라 한다. 최대 공약수이 숫자( GCD). 예를 들어, GCD(10; 25) = 5; GCD(18; 24) = 6; GCD (7; 21) = 1.
두 자연수의 최대공약수가 다음과 같은 경우 1 , 이 숫자를 호출합니다. 상호소수.
최대 공약수를 찾는 알고리즘(목례)
GCD는 문제에 자주 사용됩니다. 예를 들어, 한 학급에서는 공책 155권과 펜 62권을 학생들에게 균등하게 나누어 주었습니다. 이 수업에는 몇 명의 학생이 있나요?
해결책: 이 학급의 학생 수를 구하는 것은 공책과 펜이 똑같이 나누어졌기 때문에 155와 62라는 숫자의 최대 공약수를 구하는 것과 같습니다. 155 = 5 31; 62 = 2 31. 글쿨 (155; 62) = 31.
답변: 수업에 31 명의 학생이 있습니다.
최소 공배수
자연수의 배수 ㅏ로 나누어지는 자연수이다. ㅏ자취없이. 예를 들어, 숫자 8 배수가 있습니다: 8, 16, 24, 32 , ... 임의의 자연수에는 셀 수 없이 많은 배수.
최소 공배수(LCM)은 이들 수의 배수인 가장 작은 자연수이다.
최소 공배수를 찾는 알고리즘( NOC):
LCM은 문제에도 자주 사용됩니다. 예를 들어, 두 명의 자전거 운전자가 같은 방향으로 자전거 트랙을 따라 동시에 출발했습니다. 하나는 1분 안에 원을 만들고, 다른 하나는 45초 안에 원을 만듭니다. 동작 시작 후 최소 몇 분 후에 시작 시 만날 수 있나요?
해결책: 시작 시 다시 만날 시간(분)을 다음으로 나누어야 합니다. 1 분, 뿐만 아니라 45초. 1분 = 60초 즉, LCM(45, 60)을 찾아야 한다. 45 = 32 5; 60 = 22 3 5. LCM (45; 60) = 22 32 5 = 4 9 5 = 180. 결과적으로 자전거 타는 사람은 180초 = 3분 안에 처음에 만날 것입니다.
답변: 3분
나머지가 있는 나눗셈
자연수인 경우 ㅏ자연수로 나누어지지 않는다 비, 그러면 할 수 있습니다 나머지로 나누기. 이 경우 결과 몫은 다음과 같습니다. 불완전한. 평등은 공정하다:
a = bn + r,
어디 ㅏ- 나눌 수 있는, 비- 분배기, N- 불완전한 몫, 아르 자형- 나머지. 예를 들어 배당금이 동일하다고 가정해 보겠습니다. 243 , 구분선 - 4 , 그 다음에 243: 4 = 60 (나머지 3). 즉, a = 243, b = 4, n = 60, r = 3이면 243 = 60 4 + 3 .
다음으로 나누어지는 숫자 2 나머지 없이 호출됩니다. 심지어: a = 2n, N ∈ N.
나머지 숫자는 호출됩니다. 이상한: b = 2n + 1, N ∈ N.
주제 요약입니다 "정수. 분열의 징후". 계속하려면 다음 단계를 선택하세요.
- 다음 요약으로 이동:
자연수의 공배수ㅏ그리고비이 숫자 각각의 배수인 숫자입니다.
모든 공배수 중 가장 작은 수 ㅏ그리고 비~라고 불리는 이 숫자의 최소 공배수.
숫자의 최소공배수 ㅏ그리고 비 K( ㅏ, 비).
예를 들어, 두 숫자 12와 18은 36, 72, 108, 144, 180 등의 공배수입니다. 숫자 36은 숫자 12와 18의 최소 공배수입니다. K(12, 18) = 36이라고 쓸 수 있습니다.
최소 공배수의 경우 다음 진술이 참입니다.
1. 최소공배수 ㅏ그리고 비
2. 최소공배수 ㅏ그리고 비이 숫자 중 더 큰 것, 즉 만약에 에이 >비, 그 다음 K( ㅏ, 비) ≥ ㅏ.
3. 숫자의 공배수 ㅏ그리고 비최소 공배수로 나눕니다.
최대 공약수
자연수의 공약수 a와비주어진 각 숫자의 제수인 숫자입니다..
모든 공약수 중 가장 큰 수 ㅏ그리고 비이 숫자의 최대 공약수라고 합니다.
숫자의 최대공약수 ㅏ그리고 비 D( ㅏ, 비).
예를 들어, 숫자 12와 18의 경우 공약수는 1, 2, 3, 6입니다. 숫자 6은 12와 18입니다. D(12, 18) = 6이라고 쓸 수 있습니다.
숫자 1은 두 자연수의 공약수입니다. ㅏ그리고 비. 이 숫자에 다른 공약수가 없으면 D( ㅏ, 비) = 1, 그리고 숫자 ㅏ그리고 비호출된다 상호소수.
예를 들어, 숫자 14와 15는 D(14, 15) = 1이므로 상대적으로 소수입니다.
최대 공약수의 경우 다음 진술이 참입니다.
1. 수의 최대공약수 ㅏ그리고 비항상 존재하고 독특합니다.
2. 수의 최대공약수 ㅏ그리고 비주어진 숫자 중 더 작은 숫자를 초과하지 않습니다. 만약에 ㅏ< 비, 저것 디(ㅏ, 비) ≤ ㅏ.
3. 수의 최대공약수 ㅏ그리고 비이 숫자의 공약수로 나눌 수 있습니다.
수의 최대공배수 ㅏ그리고 비최대 공약수는 서로 연관되어 있습니다. 최소 공배수와 최대 공약수의 곱입니다. ㅏ그리고 비이 숫자의 곱과 같습니다. 즉 케이( ㅏ, 비)·디( ㅏ, 비) = ㅏ· 비.
이 진술에서 다음과 같은 추론이 나옵니다.
a) 두 개의 상호 소수의 최소 공배수는 이들 숫자의 곱과 같습니다. 즉, 디( ㅏ, 비) = 1 => K( ㅏ, 비) = ㅏ· 비;
예를 들어, 숫자 14와 15의 최소 공배수를 찾으려면 D(14, 15) = 1이므로 두 숫자를 곱하면 충분합니다.
비) ㅏ서로소수(coprime number)의 곱으로 나눈 값 중그리고 N, 다음으로 나눌 수 있는 것이 필요하고 충분합니다. 중, 그리고 N.
이 진술은 상대적으로 소수인 두 소수의 곱으로 표현될 수 있는 숫자에 의한 나눗셈의 표시입니다.
c) 주어진 두 숫자를 최대 공약수로 나누어 얻은 몫은 상대적으로 소수입니다.
이 속성은 주어진 숫자의 발견된 최대 공약수의 정확성을 확인할 때 사용할 수 있습니다. 예를 들어, 숫자 12가 숫자 24와 36의 최대 공약수인지 확인해 보겠습니다. 이를 위해 마지막 설명에 따라 24와 36을 12로 나눕니다. 숫자 2와 3을 각각 얻습니다. 서로소이다. 따라서 D(24, 36)=12입니다.
문제 32. 6의 나눗셈 검정을 공식화하고 증명합니다.
해결책 엑스 6으로 나누어 떨어지면 2와 3으로 나누어지는 것이 필요하고 충분합니다.
숫자를 보자 엑스는 6으로 나눌 수 있습니다. 그러면 엑스 6과 62는 다음과 같다. 엑스 2. 그리고 그 사실로부터 엑스 6과 63은 다음과 같다. 엑스 3. 어떤 숫자가 6으로 나누어 떨어지려면 2와 3으로도 나누어져야 함을 증명했습니다.
이 조건의 충족성을 보여드리겠습니다. 왜냐하면 엑스 2 및 엑스 3, 그럼 엑스- 숫자 2와 3의 공배수. 숫자의 공배수는 최소 배수로 나누어집니다. 즉, 엑스 K(2;3).
D(2, 3)=1이므로 K(2, 3)=2·3=6이다. 따라서, 엑스 6.
문제 33. 12, 15, 60으로 공식화합니다.
해결책. 자연수를 위해서는 엑스 12로 나누어 떨어지면 3과 4로 나누어지는 것이 필요하고 충분합니다.
자연수를 위해서는 엑스 15로 나누어 떨어지면 3과 5로 나누어지는 것이 필요하고 충분합니다.
자연수를 위해서는 엑스 60으로 나누어 떨어지면 4, 3, 5로 나누어지는 것이 필요하고 충분합니다.
문제 34.번호 찾기 ㅏ그리고 비, 만약 K( 에, 비)=75, ㅏ· 비=375.
해결책.공식 K( a,b)·디( a,b)=ㅏ· 비, 필요한 숫자의 최대 공약수를 찾습니다. ㅏ그리고 비:
디( ㅏ, 비) === 5.
그런 다음 필요한 숫자를 다음 형식으로 표현할 수 있습니다. ㅏ= 5아르 자형, 비= 5큐, 어디 피그리고 큐 피그리고 5 큐평등으로 비 = 275. 5를 얻자 피·5 큐=375 또는 피· 큐=15. 우리는 선택을 통해 두 개의 변수를 사용하여 결과 방정식을 푼다. 곱이 15인 비교적 소수 쌍을 찾습니다. 이러한 쌍은 (3, 5)와 (1, 15) 두 개가 있습니다. 따라서 필요한 숫자는 ㅏ그리고 비 15와 25 또는 5와 75입니다.
문제 35.번호 찾기 ㅏ그리고 비, D( ㅏ, 비) = 7 및 ㅏ· 비= 1470.
해결책. D 이후( ㅏ, 비) = 7이면 필요한 숫자를 다음 형식으로 표현할 수 있습니다. ㅏ= 7아르 자형, 비= 7큐, 어디 피그리고 큐서로 소수이다. 식 5를 대입해보자 아르 자형그리고 5 큐평등으로 a b = 1470. 그러면 7 피·7 큐= 1470 또는 피· 큐= 30. 선택을 통해 두 개의 변수를 사용하여 결과 방정식을 푼다. 곱이 30과 같은 상대적 소수 쌍을 찾습니다. 이러한 쌍은 (1, 30), (2, 15), (3, 10) 4개가 있습니다. ), (5, 6). 따라서 필요한 숫자는 ㅏ그리고 비 7과 210, 14와 105, 21과 70, 35와 42입니다.
문제 36.번호 찾기 ㅏ그리고 비, D( ㅏ, 비) = 3 및 ㅏ:비= 17:14.
해결책. 왜냐하면 ㅏ:비= 17:14, 그럼 ㅏ= 17아르 자형그리고 비= 14피, 어디 아르 자형- 숫자의 최대 공약수 ㅏ그리고 비. 따라서, ㅏ= 17·3 = 51, 비= 14·3 = 42.
문제 37.번호 찾기 ㅏ그리고 비, K( ㅏ, 비) = 180, ㅏ:비= 4:5.
해결책. 왜냐하면 ㅏ: 비=4:5 그럼 ㅏ=4아르 자형그리고 비=5아르 자형, 어디 아르 자형- 숫자의 최대 공약수 ㅏ그리고 비. 그 다음에 아르 자형·180=4 아르 자형·5 아르 자형. 어디 아르 자형=9. 따라서, 에이= 36 및 비=45.
문제 38.번호 찾기 ㅏ그리고 비, D( a,b)=5,K( a,b)=105.
해결책. D 이후( ㅏ, 비)케이( ㅏ, 비) = ㅏ· 비, 저것 ㅏ· 비= 5 105 = 525. 또한 필요한 숫자는 다음 형식으로 표시될 수 있습니다. ㅏ= 5아르 자형그리고 비= 5큐, 어디 피그리고 큐서로 소수이다. 식 5를 대입해보자 아르 자형그리고 5 큐평등으로 ㅏ· 비= 525. 그러면 5 피·5 큐=525 또는 피· 큐=21. 우리는 곱이 21인 비교적 소수 쌍을 찾습니다. 그러한 쌍은 (1, 21)과 (3, 7)의 두 가지입니다. 따라서 필요한 숫자는 ㅏ그리고 비 5와 105, 15와 35입니다.
문제 39.그 숫자를 증명하세요. N(2N+ 1)(7N+ 1) 모든 자연산에 대해 6으로 나눌 수 있습니다. N.
해결책. 숫자 6은 합성수로서 두 소수(6 = 2·3)의 곱으로 나타낼 수 있습니다. 주어진 숫자가 2와 3으로 나누어진다는 것을 증명하면, 합성수에 의한 나눗셈 테스트를 바탕으로 그 숫자가 6으로 나누어진다는 결론을 내릴 수 있습니다.
그 숫자를 증명하기 위해 N(2N+ 1)(7N+ 1)은 2로 나눌 수 있으므로 두 가지 가능성을 고려해야 합니다.
1) N는 2로 나눌 수 있습니다. 즉 N= 2케이. 그러면 그 제품 N(2N+ 1)(7N+ 1) 다음과 같습니다: 2 케이(4케이+ 1)(14케이+ 1). 이 제품은 2로 나누어 떨어지기 때문에 첫 번째 요소는 2로 나눌 수 있습니다.
2) N는 2로 나누어지지 않습니다. 즉, N= 2케이+ 1. 그러면 제품은 N(2N+ 1 )(7N+ 1)은 다음과 같습니다: (2 케이+ 1)(4케이+ 3)(14케이+ 8). 이 제품은 2로 나누어 떨어지기 때문에 마지막 요소는 2로 나눌 수 있습니다.
그 일을 증명하기 위해 N(2N+ 1)(7N+ 1)은 3으로 나눌 수 있으므로 세 가지 가능성을 고려해야 합니다.
1) N즉 3으로 나누어진다. N= 3케이. 그러면 그 제품 N(2N+ 1)(7N+ 1) 다음과 같습니다: 3 케이(6케이+ 1)(21케이+ 1). 이 제품은 3으로 나눌 수 있습니다. 첫 번째 요소는 3으로 나눌 수 있습니다.
2) N 3으로 나누면 나머지는 1이 됩니다. N= 3케이+ 1. 그러면 제품은 N(2N+ 1)(7N+ 1)은 다음과 같습니다: (3 케이+ 1)(6케이+ 3)(21케이+ 8). 이 제품은 3으로 나눌 수 있습니다. 두 번째 요소는 3으로 나눌 수 있습니다.
3) N 3으로 나누면 나머지는 2입니다. N= 3케이+ 2. 그러면 제품은 N(2N+ 1)(7N+ 1)은 다음과 같습니다: (3 케이+ 2)(6케이+ 5)(21케이+ 15). 이 제품은 3으로 나눌 수 있습니다. 마지막 요소는 3으로 나눌 수 있습니다.
그래서, 그 제품이 입증되었습니다 N(2N+ 1)(7N+ 1)은 2와 3으로 나누어진다. 즉, 6으로 나누어진다는 뜻이다.
독립적인 작업을 위한 연습
1. 주어진 두 숫자: 50과 75. 세트를 적어보세요:
a) 50의 약수; b) 75의 약수; c) 주어진 숫자의 공약수.
50과 75의 최대 공약수는 무엇입니까?
2. 숫자 375는 다음 숫자의 공배수입니까? a) 125와 75; b) 85와 15?
3. 숫자 찾기 ㅏ그리고 비, K( ㅏ, 비) = 105, ㅏ· 비= 525.
4. 숫자 찾기 ㅏ그리고 비, D( ㅏ, 비) = 7, ㅏ· 비= 294.
5. 숫자 찾기 ㅏ그리고 비, D( ㅏ, 비) = 5, ㅏ:비= 13:8.
6. 숫자 찾기 ㅏ그리고 비, K( ㅏ, 비) = 224, ㅏ:비= 7:8.
7. 숫자 찾기 ㅏ그리고 비, D( ㅏ, 비) = 3, K( ㅏ; 비) = 915.
8. 15로 나누어지는 검정을 증명하십시오.
9. 숫자 1032, 2964, 5604, 8910, 7008 중에서 12로 나누어지는 숫자를 적어보세요.
10. 18, 36, 45, 75로 나누어지는 기준을 공식화하십시오.
자연수는 수학의 기본 개념 중 하나이며 아마도 첫 번째 개념 중 하나입니다.자연수의 집합 = (1, 2, 3...). 즉, 자연수의 집합은 모든 양의 정수의 집합이다. 덧셈, 곱셈, 뺄셈, 나눗셈의 연산은 자연수에 대해 정의됩니다. 두 자연수를 더하고, 곱하고, 뺀 결과가 정수가 됩니다. 그리고 두 자연수를 나눈 결과는 정수이거나 분수.
예: 20: 4 = 5 – 나누기 결과는 정수입니다.
20: 3 = 6 2/3 – 나눗셈의 결과는 분수입니다.
자연수 n은 나눗셈의 결과가 정수이면 자연수 m으로 나누어진다고 합니다. 이 경우, 숫자 m을 숫자 n의 제수라고 하고, 숫자 n을 숫자 m의 배수라고 합니다.
첫 번째 예에서 숫자 20은 4로 나누어지고, 4는 20의 약수이고, 20은 4의 배수입니다.
두 번째 예에서 숫자 20은 숫자 3으로 나눌 수 없으므로 제수와 배수에 대한 의문의 여지가 없습니다.
숫자 n이 자기 자신과 1 외에 약수가 없으면 소수라고 합니다. 소수의 예: 2, 7, 11, 97 등
숫자 n이 자기 자신과 1 이외의 약수가 있으면 합성수라고 합니다.
모든 자연수는 소수의 곱으로 분해될 수 있으며, 이 분해는 인수의 차수까지 고유합니다. 예를 들어: 36=2 2 3 3 = 2 3 2 3 = 3 2 3 2 - 이러한 모든 확장은 요소의 순서만 다릅니다.
두 숫자 m과 n의 최대공약수는 m과 n의 약수인 가장 큰 자연수입니다. 예를 들어 34와 85의 최대공약수는 17입니다.
두 수 m과 n의 최소공배수는 m과 n의 배수인 가장 작은 자연수입니다. 예를 들어 15와 4의 최소공배수는 60입니다.
2로 나누어지는 자연수 소수, 또한 제품별로 나뉩니다. 예를 들어 숫자가 2와 3으로 나누어지면 6 = 2 3으로 나누어지고, 11과 7로 나누어지면 77로 나누어집니다.
예: 숫자 6930은 11 - 6930: 11 = 630으로 나누어지고, 7 - 6930: 7 = 990으로 나누어집니다. 이 숫자도 77로도 나누어진다고 안전하게 말할 수 있습니다. 확인해 보겠습니다: 6930: 77 = 90.
숫자 n을 소인수로 분해하는 알고리즘:
1. 숫자 n(1 제외)의 가장 작은 소수 - a1을 찾습니다.
2. 숫자 n을 a1로 나누어 몫을 n1로 표시합니다.
3. n=a1 n1.
4. 소수를 얻을 때까지 n1에 대해 동일한 작업을 수행합니다.
예: 숫자 17,136을 소인수로 인수분해합니다.
1. 1 이외의 가장 작은 소수, 여기서는 2입니다.
2. 17 136: 2 = 8 568;
3. 17 136 = 8 568 2.
4. 8568의 가장 작은 소인수는 2입니다.
5. 8 568: 2 = 4284;
6. 17 136 = 4284 2 2.
7. 4284의 가장 작은 소인수는 2입니다.
8. 4284: 2 = 2142;
9. 17 136 = 2142 2 2 2.
10. 2142의 가장 작은 소수는 2입니다.
11. 2142: 2 = 1071;
12. 17 136 = 1071 2 2 2 2.
13. 1071의 가장 작은 소인수는 3이다.
14. 1071: 3 = 357;
15. 17 136 = 357 3 2 2 2 2.
16. 357의 가장 작은 소수는 3이다.
17. 357: 3 = 119;
18. 17 136 = 119 3 3 2 2 2 2.
19. 119의 가장 작은 소수는 7이다.
20. 119: 7 = 17;
21. 17은 소수이며, 이는 17 136 = 17 7 3 3 2 2 2 2를 의미합니다.
우리는 숫자 17,136을 소인수로 분해했습니다.
