정의 1
$(x,y)$ 각 도메인의 두 독립 변수 값의 $z$ 특정 값이 할당되면 $z$는 두 변수 $(x,y )$. 표기법: $z=f(x,y)$.
함수 $z=f(x,y)$와 관련하여 함수의 일반(전체) 및 부분 증가의 개념을 고려해 보겠습니다.
두 개의 독립 변수 $(x,y)$의 함수 $z=f(x,y)$가 주어집니다.
비고 1
변수 $(x,y)$는 독립적이므로 하나는 변경될 수 있지만 다른 하나는 일정하게 유지됩니다.
변수 $y$의 값을 변경하지 않고 유지하면서 변수 $x$에 증분 $\Delta x$를 지정해 보겠습니다.
그런 다음 함수 $z=f(x,y)$는 증분을 수신하며, 이는 변수 $x$에 대한 함수 $z=f(x,y)$의 부분 증분이라고 합니다. 지정:
마찬가지로 변수 $y$에 증분 $\Delta y$를 지정하고 변수 $x$의 값을 변경하지 않고 유지합니다.
그런 다음 함수 $z=f(x,y)$는 증분을 수신하며, 이는 변수 $y$에 대한 함수 $z=f(x,y)$의 부분 증분이라고 합니다. 지정:
인수 $x$가 $\Delta x$만큼 증가하고 인수 $y$가 $\Delta y$만큼 증가하면 주어진 함수 $z=f(x,y)$의 총 증분을 얻습니다. . 지정:
따라서, 우리는:
$\Delta _(x) z=f(x+\Delta x,y)-f(x,y)$ - $x$에 대한 함수 $z=f(x,y)$의 부분 증가;
$\Delta _(y) z=f(x,y+\Delta y)-f(x,y)$ - $y$에 대한 함수 $z=f(x,y)$의 부분 증가;
$\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$ - 함수 $z=f(x,y)$의 총 증분.
예 1
해결책:
$\Delta _(x) z=x+\Delta x+y$ - $x$에 대한 함수 $z=f(x,y)$의 부분 증가;
$\Delta _(y) z=x+y+\Delta y$ - $y$에 대한 함수 $z=f(x,y)$의 부분 증가.
$\Delta z=x+\Delta x+y+\Delta y$ - 함수 $z=f(x,y)$의 총 증분.
예 2
$\Delta x=0.1;\, \, \Delta y=0.1$에 대해 $(1;2)$ 지점에서 함수 $z=xy$의 부분 및 전체 증분을 계산합니다.
해결책:
개인 증분의 정의에 따라 다음을 찾습니다.
$\Delta _(x) z=(x+\Delta x)\cdot y$ - $x$에 대한 함수 $z=f(x,y)$의 부분 증가
$\Delta _(y) z=x\cdot (y+\Delta y)$ - $y$에 대한 함수 $z=f(x,y)$의 부분 증가;
총 증분의 정의에 따라 다음을 찾습니다.
$\Delta z=(x+\Delta x)\cdot (y+\Delta y)$ - 함수 $z=f(x,y)$의 총 증분.
따라서,
\[\Delta _(x) z=(1+0.1)\cdot 2=2.2\] \[\Delta _(y) z=1\cdot (2+0.1)=2.1 \] \[\Delta z= (1+0.1)\cdot (2+0.1)=1.1\cdot 2.1=2.31.\]
비고 2
주어진 함수 $z=f(x,y)$의 총 증분은 부분 증분 $\Delta _(x) z$ 및 $\Delta _(y) z$의 합과 같지 않습니다. 수학적 표기: $\Delta z\ne \Delta _(x) z+\Delta _(y) z$.
예 3
함수에 대한 문 비고 확인
해결책:
$\Delta _(x) z=x+\Delta x+y$; $\Delta _(y) z=x+y+\Delta y$; $\Delta z=x+\Delta x+y+\Delta y$ (예제 1에서 구함)
주어진 함수 $z=f(x,y)$의 부분 증분의 합을 구합니다.
\[\Delta _(x) z+\Delta _(y) z=x+\Delta x+y+(x+y+\Delta y)=2\cdot (x+y)+\Delta x+\Delta y.\]
\[\Delta _(x) z+\Delta _(y) z\ne \Delta z.\]
정의 2
어떤 도메인에서 세 개의 독립 변수 값의 각 트리플 $(x,y,z)$에 대해 특정 값 $w$가 할당되면 $w$는 세 변수 $(x, y,z)$ 이 영역에서.
표기법: $w=f(x,y,z)$.
정의 3
어떤 도메인에서 독립 변수 값의 각 컬렉션 $(x,y,z,...,t)$에 대해 특정 값 $w$가 할당되면 $w$는 다음의 함수라고 합니다. 변수 $(x,y, z,...,t)$ 주어진 도메인에서.
표기법: $w=f(x,y,z,...,t)$.
세 개 이상의 변수가 있는 함수의 경우 두 변수가 있는 함수와 같은 방식으로 각 변수에 대해 부분 증분이 결정됩니다.
$\Delta _(z) w=f(x,y,z+\Delta z)-f(x,y,z)$ - $w=f(x,y,z,... 함수의 부분 증분 ,t )$ in $z$;
$\Delta _(t) w=f(x,y,z,...,t+\Delta t)-f(x,y,z,...,t)$ - $w=f의 부분 증분 (x,y,z,...,t)$ 이상 $t$.
예 4
함수의 부분 및 전체 증분 쓰기
해결책:
개인 증분의 정의에 따라 다음을 찾습니다.
$\Delta _(x) w=((x+\Delta x)+y)\cdot z$ - $x$에 대한 함수 $w=f(x,y,z)$의 부분 증가
$\Delta _(y) w=(x+(y+\Delta y))\cdot z$ - $y$에 대한 함수 $w=f(x,y,z)$의 부분 증가;
$\Delta _(z) w=(x+y)\cdot (z+\Delta z)$ - $z$에 대한 함수 $w=f(x,y,z)$의 부분 증가;
총 증분의 정의에 따라 다음을 찾습니다.
$\Delta w=((x+\Delta x)+(y+\Delta y))\cdot (z+\Delta z)$ - 함수 $w=f(x,y,z)$의 총 증분.
실시예 5
$\Delta x=0.1;\, \, \Delta y=0.1;\, \, \Delta에 대해 $(1;2;1)$ 지점에서 함수 $w=xyz$의 부분 및 전체 증분을 계산합니다. 지=0.1$.
해결책:
개인 증분의 정의에 따라 다음을 찾습니다.
$\Delta _(x) w=(x+\Delta x)\cdot y\cdot z$ - $x$에 대한 함수 $w=f(x,y,z)$의 부분 증가
$\Delta _(y) w=x\cdot (y+\Delta y)\cdot z$ - $y$에 대한 함수 $w=f(x,y,z)$의 부분 증가;
$\Delta _(z) w=x\cdot y\cdot (z+\Delta z)$ - $z$에 대한 함수 $w=f(x,y,z)$의 부분 증가;
총 증분의 정의에 따라 다음을 찾습니다.
$\Delta w=(x+\Delta x)\cdot (y+\Delta y)\cdot (z+\Delta z)$ - 함수 $w=f(x,y,z)$의 총 증분.
따라서,
\[\Delta _(x) w=(1+0,1)\cdot 2\cdot 1=2,2\] \[\Delta _(y) w=1\cdot (2+0,1)\ cdot 1=2,1\] \[\Delta _(y) w=1\cdot 2\cdot (1+0,1)=2,2\] \[\Delta z=(1+0,1) \cdot (2+0.1)\cdot (1+0.1)=1.1\cdot 2.1\cdot 1.1=2.541.\]
기하학적 관점에서 $z=f(x,y)$ 함수의 총 증분(정의에 따라 $\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y) $)는 점 $M(x,y)$에서 점 $M_(1) (x+\Delta x ,y+\Delta y)$ (그림 1).
그림 1.
의학 및 생물 물리학
강의 #1
미분 및 미분 함수.
개인 파생 상품.
1. 미분의 개념, 기계적 및 기하학적 의미.
ㅏ ) 인수 및 함수 증가.
함수 y=f(х)가 주어지도록 합시다. 여기서 х는 함수의 도메인에서 인수의 값입니다. 함수 도메인의 특정 간격에서 인수 x o 및 x의 두 값을 선택하면 인수의 두 값 사이의 차이를 인수의 증분이라고합니다. x - x o =∆x .
인수 x의 값은 x 0과 그 증분을 통해 결정될 수 있습니다: x = x o + ∆x.
함수의 두 값 사이의 차이를 함수 증분이라고 합니다. ∆y = ∆f = f(x o + ∆x) - f(x o).
인수와 함수의 증분은 그래픽으로 나타낼 수 있습니다(그림 1). 인수 증가 및 함수 증가는 양수 또는 음수가 될 수 있습니다. 그림 1에서 다음과 같이 기하학적으로 인수 Δх의 증가는 가로 좌표의 증가로 표시되고 함수 Δу의 증가는 세로 좌표의 증가로 표시됩니다. 기능 증분 계산은 다음 순서로 수행해야 합니다.
인수에 증분 Δx를 지정하고 값 - x + Δx를 얻습니다.
2) 인수의 값에 대한 함수의 값을 찾습니다. (х+∆х) – f(х+∆х);
3) 함수 ∆f=f(х + ∆х) - f(х)의 증분을 찾습니다.
예:인수가 x o =1에서 x=3으로 변경된 경우 함수 y=x 2의 증분을 결정합니다. 점 x o의 경우 함수 f (x o) \u003d x² o의 값; 점 (x o + ∆x)의 경우 함수 f (x o + ∆x) \u003d (x o + ∆x) 2 \u003d x² o +2x o ∆x + ∆x 2, 여기서 ∆f = f ( x o + ∆x)–f(x o) \u003d (x o + ∆x) 2 -x² o \u003d x² o + 2x o ∆x + ∆x 2 -x² o \u003d 2x o ∆x + ∆x 2; ∆f \u003d 2x 약 ∆x + ∆x 2; ∆х = 3–1 = 2; ∆f =2 1 2+4 = 8.
비)미분 개념으로 이어지는 문제. 미분의 정의, 물리적 의미.
인수와 함수의 증분 개념은 역사적으로 특정 프로세스의 속도를 결정해야 할 필요성에서 비롯된 도함수 개념을 도입하기 위해 필요합니다.
직선 운동의 속도를 결정하는 방법을 고려하십시오. 법칙에 따라 몸을 직선으로 움직이게 하십시오: ∆S= ·∆t. 등속 운동의 경우:= ∆S/∆t.
가변 동작의 경우 값 ∆S/∆t가 값을 결정합니다. , 즉. cf. =∆S/∆t 그러나 평균 속도신체 움직임의 특징을 반영하고 시간 t에서 실제 속도에 대한 아이디어를 제공하는 것을 가능하게 하지 않습니다. 시간 간격이 감소함에 따라, 즉 ∆t→0에서 평균 속도는 한계인 순간 속도에 도달하는 경향이 있습니다.
설치 = 
참조 = 
∆S/∆t.
화학 반응의 순간 속도는 같은 방식으로 결정됩니다.
설치 = 
참조 = 
∆х/∆t,
여기서 x는 시간 t 동안 화학 반응 중에 형성된 물질의 양입니다. 다양한 프로세스의 속도를 결정하는 유사한 작업으로 인해 함수의 도함수 개념이 수학에 도입되었습니다.
구간 ]a,b[와 그 증분 Δf=f(x+Δx)–f(x)에서 정의되는 연속 함수 f(x)가 주어진다고 가정합니다. 
는 ∆x의 함수이며 함수의 평균 변화율을 나타냅니다.
비율 제한 
, ∆x→0일 때, 이 극한이 존재한다면, 함수의 도함수라고 합니다. :
와이"엑스 = 
.
미분은 다음과 같이 표시됩니다. 
- (x에 y 대시), f "
(x) - (x의 ef 프라임) ;
y" - (y 스트로크); dy / dх –
(de y on de x);
- (점이 있는 y).
미분의 정의에 따라 직선 운동의 순간 속도는 시간에 대한 경로의 미분이라고 말할 수 있습니다.
설치 \u003d S "t \u003d f " (티).
따라서 인수 x에 대한 함수의 미분은 함수 f(x)의 순간 변화율이라는 결론을 내릴 수 있습니다.
y" x \u003d f " (х)= 인스턴스
이것이 미분의 물리적 의미입니다. 도함수를 찾는 과정을 미분(differentiation)이라고 부르므로 "함수를 미분한다"는 표현은 "함수의 도함수를 구한다"는 표현과 같습니다.
V)미분의 기하학적 의미.
피 
함수 y = f(x)의 도함수는 어떤 점 M에서 곡선에 대한 접선의 개념과 관련된 간단한 기하학적 의미를 갖습니다. 동시에 접선, 즉 직선은 분석적으로 y = kx = tg x로 표현됩니다. 여기서
–
X 축에 대한 접선 (직선)의 경사각 연속 곡선을 함수 y \u003d f (x)로 표현하고 곡선의 점 M과 이에 가까운 점 M 1을 취하고 a를 그립니다. 그들을 통해 시컨트. sec에 대한 기울기 = tg β = 
.지점 M 1을 M에 더 가깝게 가져오면 인수 ∆х의 증가
0이 되는 경향이 있고 β=α에서 시컨트는 탄젠트 위치를 차지합니다. 그림 2에서 다음과 같습니다. tgα = 
tgβ = 
\u003d y "x. 그러나 tgα는 함수 그래프에 대한 접선의 기울기와 같습니다.
k = tgα = 
\u003d y" x \u003d f "
(엑스). 따라서 주어진 점에서 함수 그래프에 대한 접선의 기울기는 접점에서의 미분 값과 같습니다. 이것이 미분의 기하학적 의미입니다.
G)도함수를 찾는 일반 규칙.
도함수의 정의에 따라 함수를 미분하는 과정은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
f(x+∆x) = f(x)+∆f;
함수의 증분 찾기: ∆f= 에프(x + ∆x) - 에프(엑스);
인수 증가에 대한 함수 증가의 비율을 구성하십시오.
;
예:에프(엑스)=엑스 2 ; 에프 " (엑스)=?.
그러나 이 간단한 예에서도 알 수 있듯이 미분을 취할 때 이 시퀀스를 사용하는 것은 힘들고 복잡한 과정입니다. 따라서 다양한 함수에 대해 일반적인 미분식을 소개하며, 이를 "함수 미분의 기본 공식" 표 형식으로 제시합니다.
인생에서 항상 우리는 수량의 정확한 값에 관심이 없습니다. 때때로 이 값의 변화, 예를 들어 버스의 평균 속도, 시간 간격에 대한 이동량의 비율 등을 아는 것이 흥미로울 수 있습니다. 어떤 지점의 함수 값과 다른 지점의 같은 함수 값을 비교하려면 "함수 증가", "인수 증가"와 같은 개념을 사용하는 것이 편리합니다.
"함수 증가" 및 "인수 증가"의 개념
x가 점 x0의 이웃에 있는 임의의 점이라고 가정합니다. x0 지점에서 인수의 증분은 차이 x-x0입니다. 증분은 다음과 같이 표시됩니다. ∆x.
- ∆x=x-x0.
때때로 이 값은 x0 지점에서 독립 변수의 증분이라고도 합니다. x = x0 + ∆x 공식을 따릅니다. 이런 경우 독립 변수 x0의 초기값에 Δx 증분을 받았다고 합니다.
인수를 변경하면 함수 값도 변경됩니다.
- 에프(엑스) - 에프(엑스0) = 에프(엑스0 + ∆х) - 에프(엑스0).
점 x0에서 함수 f의 증분,해당 증분 ∆x는 차이 f(x0 + ∆x) - f(x0)입니다. 함수의 증분은 ∆f로 표시됩니다. 따라서 우리는 정의에 따라 다음을 얻습니다.
- ∆f= 에프(x0 + ∆x) - 에프(x0).
때때로 ∆f는 종속 변수의 증분이라고도 하며 ∆y는 예를 들어 함수가 y=f(x)인 경우 이를 표시하는 데 사용됩니다.
증분의 기하학적 감각
다음 사진을 보세요.
보시다시피 증분은 점의 세로 좌표와 가로 좌표의 변화를 나타냅니다. 그리고 인수의 증분에 대한 함수 증분의 비율은 초기를 통과하는 시컨트의 경사각을 결정하고 끝 위치포인트들.
함수 및 인수 증가의 예 고려
예 1 f(x) = x 2 , x0=2 a) x=1.9 b) x =2.1인 경우 점 x0에서 인수 ∆x의 증분과 함수 ∆f의 증분을 구합니다.
위의 공식을 사용합시다.
a) ∆х=х-х0 = 1.9 - 2 = -0.1;
- ∆f=f(1.9) - f(2) = 1.9 2 - 2 2 = -0.39;
b) ∆x=x-x0=2.1-2=0.1;
- ∆f=f(2.1) - f(2) = 2.1 2 - 2 2 = 0.41.
예 2인수의 증분이 Δx와 같은 경우 점 x0에서 함수 f(x) = 1/x에 대한 증분 Δf를 계산합니다.
다시, 우리는 위에서 얻은 공식을 사용합니다.
- ∆f = f(x0 + ∆x) - f(x0) =1/(x0-∆x) - 1/x0 = (x0 - (x0+∆x))/(x0*(x0+∆x)) = - ∆x/((x0*(x0+∆x)).
정의 1
$(x,y)$ 각 도메인의 두 독립 변수 값의 $z$ 특정 값이 할당되면 $z$는 두 변수 $(x,y )$. 표기법: $z=f(x,y)$.
함수 $z=f(x,y)$와 관련하여 함수의 일반(전체) 및 부분 증가의 개념을 고려해 보겠습니다.
두 개의 독립 변수 $(x,y)$의 함수 $z=f(x,y)$가 주어집니다.
비고 1
변수 $(x,y)$는 독립적이므로 하나는 변경될 수 있지만 다른 하나는 일정하게 유지됩니다.
변수 $y$의 값을 변경하지 않고 유지하면서 변수 $x$에 증분 $\Delta x$를 지정해 보겠습니다.
그런 다음 함수 $z=f(x,y)$는 증분을 수신하며, 이는 변수 $x$에 대한 함수 $z=f(x,y)$의 부분 증분이라고 합니다. 지정:
마찬가지로 변수 $y$에 증분 $\Delta y$를 지정하고 변수 $x$의 값을 변경하지 않고 유지합니다.
그런 다음 함수 $z=f(x,y)$는 증분을 수신하며, 이는 변수 $y$에 대한 함수 $z=f(x,y)$의 부분 증분이라고 합니다. 지정:
인수 $x$가 $\Delta x$만큼 증가하고 인수 $y$가 $\Delta y$만큼 증가하면 주어진 함수 $z=f(x,y)$의 총 증분을 얻습니다. . 지정:
따라서, 우리는:
$\Delta _(x) z=f(x+\Delta x,y)-f(x,y)$ - $x$에 대한 함수 $z=f(x,y)$의 부분 증가;
$\Delta _(y) z=f(x,y+\Delta y)-f(x,y)$ - $y$에 대한 함수 $z=f(x,y)$의 부분 증가;
$\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$ - 함수 $z=f(x,y)$의 총 증분.
예 1
해결책:
$\Delta _(x) z=x+\Delta x+y$ - $x$에 대한 함수 $z=f(x,y)$의 부분 증가;
$\Delta _(y) z=x+y+\Delta y$ - $y$에 대한 함수 $z=f(x,y)$의 부분 증가.
$\Delta z=x+\Delta x+y+\Delta y$ - 함수 $z=f(x,y)$의 총 증분.
예 2
$\Delta x=0.1;\, \, \Delta y=0.1$에 대해 $(1;2)$ 지점에서 함수 $z=xy$의 부분 및 전체 증분을 계산합니다.
해결책:
개인 증분의 정의에 따라 다음을 찾습니다.
$\Delta _(x) z=(x+\Delta x)\cdot y$ - $x$에 대한 함수 $z=f(x,y)$의 부분 증가
$\Delta _(y) z=x\cdot (y+\Delta y)$ - $y$에 대한 함수 $z=f(x,y)$의 부분 증가;
총 증분의 정의에 따라 다음을 찾습니다.
$\Delta z=(x+\Delta x)\cdot (y+\Delta y)$ - 함수 $z=f(x,y)$의 총 증분.
따라서,
\[\Delta _(x) z=(1+0.1)\cdot 2=2.2\] \[\Delta _(y) z=1\cdot (2+0.1)=2.1 \] \[\Delta z= (1+0.1)\cdot (2+0.1)=1.1\cdot 2.1=2.31.\]
비고 2
주어진 함수 $z=f(x,y)$의 총 증분은 부분 증분 $\Delta _(x) z$ 및 $\Delta _(y) z$의 합과 같지 않습니다. 수학적 표기: $\Delta z\ne \Delta _(x) z+\Delta _(y) z$.
예 3
함수에 대한 문 비고 확인
해결책:
$\Delta _(x) z=x+\Delta x+y$; $\Delta _(y) z=x+y+\Delta y$; $\Delta z=x+\Delta x+y+\Delta y$ (예제 1에서 구함)
주어진 함수 $z=f(x,y)$의 부분 증분의 합을 구합니다.
\[\Delta _(x) z+\Delta _(y) z=x+\Delta x+y+(x+y+\Delta y)=2\cdot (x+y)+\Delta x+\Delta y.\]
\[\Delta _(x) z+\Delta _(y) z\ne \Delta z.\]
정의 2
어떤 도메인에서 세 개의 독립 변수 값의 각 트리플 $(x,y,z)$에 대해 특정 값 $w$가 할당되면 $w$는 세 변수 $(x, y,z)$ 이 영역에서.
표기법: $w=f(x,y,z)$.
정의 3
어떤 도메인에서 독립 변수 값의 각 컬렉션 $(x,y,z,...,t)$에 대해 특정 값 $w$가 할당되면 $w$는 다음의 함수라고 합니다. 변수 $(x,y, z,...,t)$ 주어진 도메인에서.
표기법: $w=f(x,y,z,...,t)$.
세 개 이상의 변수가 있는 함수의 경우 두 변수가 있는 함수와 같은 방식으로 각 변수에 대해 부분 증분이 결정됩니다.
$\Delta _(z) w=f(x,y,z+\Delta z)-f(x,y,z)$ - $w=f(x,y,z,... 함수의 부분 증분 ,t )$ in $z$;
$\Delta _(t) w=f(x,y,z,...,t+\Delta t)-f(x,y,z,...,t)$ - $w=f의 부분 증분 (x,y,z,...,t)$ 이상 $t$.
예 4
함수의 부분 및 전체 증분 쓰기
해결책:
개인 증분의 정의에 따라 다음을 찾습니다.
$\Delta _(x) w=((x+\Delta x)+y)\cdot z$ - $x$에 대한 함수 $w=f(x,y,z)$의 부분 증가
$\Delta _(y) w=(x+(y+\Delta y))\cdot z$ - $y$에 대한 함수 $w=f(x,y,z)$의 부분 증가;
$\Delta _(z) w=(x+y)\cdot (z+\Delta z)$ - $z$에 대한 함수 $w=f(x,y,z)$의 부분 증가;
총 증분의 정의에 따라 다음을 찾습니다.
$\Delta w=((x+\Delta x)+(y+\Delta y))\cdot (z+\Delta z)$ - 함수 $w=f(x,y,z)$의 총 증분.
실시예 5
$\Delta x=0.1;\, \, \Delta y=0.1;\, \, \Delta에 대해 $(1;2;1)$ 지점에서 함수 $w=xyz$의 부분 및 전체 증분을 계산합니다. 지=0.1$.
해결책:
개인 증분의 정의에 따라 다음을 찾습니다.
$\Delta _(x) w=(x+\Delta x)\cdot y\cdot z$ - $x$에 대한 함수 $w=f(x,y,z)$의 부분 증가
$\Delta _(y) w=x\cdot (y+\Delta y)\cdot z$ - $y$에 대한 함수 $w=f(x,y,z)$의 부분 증가;
$\Delta _(z) w=x\cdot y\cdot (z+\Delta z)$ - $z$에 대한 함수 $w=f(x,y,z)$의 부분 증가;
총 증분의 정의에 따라 다음을 찾습니다.
$\Delta w=(x+\Delta x)\cdot (y+\Delta y)\cdot (z+\Delta z)$ - 함수 $w=f(x,y,z)$의 총 증분.
따라서,
\[\Delta _(x) w=(1+0,1)\cdot 2\cdot 1=2,2\] \[\Delta _(y) w=1\cdot (2+0,1)\ cdot 1=2,1\] \[\Delta _(y) w=1\cdot 2\cdot (1+0,1)=2,2\] \[\Delta z=(1+0,1) \cdot (2+0.1)\cdot (1+0.1)=1.1\cdot 2.1\cdot 1.1=2.541.\]
기하학적 관점에서 $z=f(x,y)$ 함수의 총 증분(정의에 따라 $\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y) $)는 점 $M(x,y)$에서 점 $M_(1) (x+\Delta x ,y+\Delta y)$ (그림 1).
그림 1.
