Låt det ges ekvation med två variabler F(x; y). Du har redan blivit bekant med sätt att lösa sådana ekvationer analytiskt. Många lösningar av sådana ekvationer kan representeras i grafform.
Grafen för ekvationen F(x; y) är uppsättningen punkter på koordinatplanet xOy vars koordinater uppfyller ekvationen.
För att grafa upp ekvationer i två variabler, uttryck först variabeln y i ekvationen i termer av variabeln x.
Du vet säkert redan hur man bygger olika grafer av ekvationer med två variabler: ax + b = c – rät linje, yx = k – hyperbel, (x – a) 2 + (y – b) 2 = R 2 – cirkel vars radie är lika med R, och centrum är vid punkten O(a; b).
Exempel 1.
Rita grafen av ekvationen x 2 – 9y 2 = 0.
Lösning.
Låt oss faktorisera vänster sida av ekvationen.
(x – 3y)(x+ 3y) = 0, det vill säga y = x/3 eller y = -x/3.
Svar: Bild 1.
En speciell plats upptas av att definiera figurer på ett plan med ekvationer som innehåller tecknet för det absoluta värdet, som vi kommer att uppehålla oss vid i detalj. Låt oss överväga stadierna för att konstruera grafer av ekvationer av formen |y| = f(x) och |y| = |f(x)|.
Den första ekvationen är ekvivalent med systemet
(f(x) ≥ 0,
(y = f(x) eller y = -f(x).
Det vill säga att dess graf består av grafer med två funktioner: y = f(x) och y = -f(x), där f(x) ≥ 0.
För att plotta den andra ekvationen, rita två funktioner: y = f(x) och y = -f(x).
Exempel 2.
Rita grafen för ekvationen |y| = 2 + x.
Lösning.
Den givna ekvationen är ekvivalent med systemet
(x + 2 ≥ 0,
(y = x + 2 eller y = -x – 2.
Vi bygger många poäng.
Svar: Bild 2.
Exempel 3.
Rita upp ekvationen |y – x| = 1.
Lösning.
Om y ≥ x, då y = x + 1, om y ≤ x, då y = x – 1.
Svar: Bild 3.
När man konstruerar grafer av ekvationer som innehåller en variabel under modultecknet är det bekvämt och rationellt att använda områdesmetod, baserat på att dela upp koordinatplanet i delar där varje submodulärt uttryck behåller sitt tecken.
Exempel 4.
Rita grafen av ekvationen x + |x| + y + |y| = 2.
Lösning.
I det här exemplet beror tecknet för varje submodulärt uttryck på koordinatkvadranten.
1) I den första koordinatkvarten x ≥ 0 och y ≥ 0. Efter att ha expanderat modulen kommer den givna ekvationen att se ut så här:
2x + 2y = 2, och efter förenkling x + y = 1.
2) Under andra kvartalet, där x< 0, а y ≥ 0, уравнение будет иметь вид: 0 + 2y = 2 или y = 1.
3) Under tredje kvartalet x< 0, y < 0 будем иметь: x – x + y – y = 2. Перепишем этот результат в виде уравнения 0 · x + 0 · y = 2.
4) I fjärde kvartalet, när x ≥ 0, och y< 0 получим, что x = 1.
Schema given ekvation Vi kommer att bygga i kvartal.
Svar: Bild 4.
Exempel 5.
Rita en uppsättning punkter vars koordinater uppfyller likheten |x – 1| + |y – 1| = 1.
Lösning.
Nollorna i de submodulära uttrycken x = 1 och y = 1 delar upp koordinatplanet i fyra områden. Låt oss dela upp modulerna efter region. Låt oss ordna detta i form av en tabell.
| Område |
Submodulärt uttryckstecken |
Den resulterande ekvationen efter expansion av modulen |
| jag | x ≥ 1 och y ≥ 1 | x + y = 3 |
| II | x< 1 и y ≥ 1 | -x + y = 1 |
| III | x< 1 и y < 1 | x + y = 1 |
| IV | x ≥ 1 och y< 1 | x – y = 1 |
Svar: Bild 5.
På koordinatplanet kan figurer anges och ojämlikheter.
Ojämlikhetsgraf med två variabler är mängden av alla punkter i koordinatplanet vars koordinater är lösningar på denna olikhet.
Låt oss överväga algoritm för att konstruera en modell för att lösa ojämlikheter med två variabler:
- Skriv ner ekvationen som motsvarar olikheten.
- Rita grafen av ekvationen från steg 1.
- Välj en godtycklig punkt i ett av halvplanen. Kontrollera om koordinaterna för den valda punkten uppfyller denna olikhet.
- Rita grafiskt uppsättningen av alla lösningar på ojämlikheten.
Låt oss först betrakta olikheten ax + bx + c > 0. Ekvationen ax + bx + c = 0 definierar en rät linje som delar planet i två halvplan. I var och en av dem behåller funktionen f(x) = ax + bx + c sitt tecken. För att bestämma detta tecken räcker det att ta vilken punkt som helst som hör till halvplanet och beräkna värdet på funktionen vid denna punkt. Om funktionens tecken sammanfaller med olikhetens tecken, så blir detta halvplan lösningen på ojämlikheten.
Låt oss titta på exempel på grafiska lösningar på de vanligaste ojämlikheterna med två variabler.
1) ax + bx + c ≥ 0. Bild 6.
2)
|x| ≤ a, a > 0. Bild 7.
3) x 2 + y 2 ≤ a, a > 0. Figur 8.
4) y ≥ x 2 . Bild 9.
5)
xy ≤ 1. Bild 10. 
Om du har frågor eller vill träna på att rita på en planmodell uppsättningarna av alla lösningar på ojämlikheter i två variabler med hjälp av matematisk modellering, kan du utföra gratis 25 minuters lektion med en onlinelärare efter . För att arbeta vidare med en lärare kommer du att få möjlighet att välja den som passar dig
Har du fortfarande frågor? Vet du inte hur man ritar en figur på ett koordinatplan?
För att få hjälp av en handledare -.
Första lektionen är gratis!
blog.site, vid kopiering av material helt eller delvis krävs en länk till originalkällan.
- Två ömsesidigt vinkelräta koordinatlinjer som skär varandra i punkt O - referensens ursprung, form rektangulärt koordinatsystem, även kallat det kartesiska koordinatsystemet.
- Planet på vilket koordinatsystemet är valt kallas koordinatplan. Koordinatlinjerna kallas koordinataxlar. Den horisontella axeln är abskissaxeln (Ox), den vertikala axeln är ordinataaxeln (Oy).
- Koordinataxlar delar upp koordinatplanet i fyra delar - fjärdedelar. Serienumren på kvartalen räknas vanligtvis moturs.
- Varje punkt i koordinatplanet specificeras av dess koordinater - abskissa och ordinata. Till exempel, A(3; 4). Läs: punkt A med koordinaterna 3 och 4. Här är 3 abskissan, 4 är ordinatan.
I. Konstruktion av punkt A(3; 4).
Abskissa 3 visar att från början av nedräkningen - punkterna O måste flyttas åt höger 3 enhetssegment och lägg sedan upp det 4 enhetssegment och sätt en punkt.
Det här är poängen A(3; 4).
Konstruktion av punkt B(-2; 5).
Från noll går vi åt vänster 2 ett segment och sedan uppåt 5 enstaka segment.
Låt oss sätta stopp för det I.
Vanligtvis tas ett enhetssegment 1 cell.
II. Konstruera punkter i xOy-koordinatplanet:
A (-3; 1);B(-1; -2);
C(-2:4);D (2; 3);
F(6:4);K(4; 0)
III. Bestäm koordinaterna för de konstruerade punkterna: A, B, C, D, F, K.
A(-4; 3);IN 20);
C(3; 4);D (6; 5);
F (0; -3);K (5; -2).
Matematik är en ganska komplex vetenskap. När du studerar det måste du inte bara lösa exempel och problem, utan också arbeta med olika former och till och med plan. En av de mest använda i matematik är koordinatsystemet på ett plan. Barn har fått lära sig hur man arbetar med det på rätt sätt i mer än ett år. Därför är det viktigt att veta vad det är och hur man arbetar med det på rätt sätt.
Låt oss ta reda på vad det är detta system, vilka åtgärder som kan utföras med dess hjälp, och lär dig också dess huvudsakliga egenskaper och funktioner.
Definition av begreppet
Ett koordinatplan är ett plan på vilket ett specifikt koordinatsystem är specificerat. Ett sådant plan definieras av två räta linjer som skär varandra i räta vinklar. Vid skärningspunkten för dessa linjer finns koordinaternas ursprung. Varje punkt på koordinatplanet specificeras av ett par tal som kallas koordinater.
I en skolmatematikkurs måste skolbarn arbeta ganska nära ett koordinatsystem - konstruera figurer och punkter på det, bestämma vilket plan en viss koordinat tillhör, samt bestämma koordinaterna för en punkt och skriva eller namnge dem. Låt oss därför prata mer i detalj om alla funktioner hos koordinater. Men först, låt oss beröra skapelsens historia, och sedan pratar vi om hur man arbetar på koordinatplanet.
Historisk referens
Idéer om att skapa ett koordinatsystem fanns redan på Ptolemaios tid. Redan då funderade astronomer och matematiker på hur man lär sig att ställa in positionen för en punkt på ett plan. Tyvärr fanns det vid den tiden inget koordinatsystem känt för oss, och forskare var tvungna att använda andra system.
Inledningsvis specificerade de punkter med hjälp av latitud och longitud. Under en lång tid detta var en av de mest använda metoderna för att placera den eller den informationen på en karta. Men 1637 skapade Rene Descartes sitt eget koordinatsystem, senare uppkallat efter det "kartesiska".
Redan inne sena XVII V. Begreppet "koordinatplan" har blivit allmänt använt i matematikens värld. Trots det faktum att flera århundraden har gått sedan skapandet av detta system, används det fortfarande i stor utsträckning i matematik och till och med i livet.
Exempel på ett koordinatplan
Innan vi pratar om teorin kommer vi att ge några visuella exempel på koordinatplanet så att du kan föreställa dig det. Koordinatsystemet används främst inom schack. På tavlan har varje ruta sina egna koordinater - en koordinat är alfabetisk, den andra är digital. Med dess hjälp kan du bestämma positionen för en viss pjäs på brädet.
Näst mest ett lysande exempel Det älskade spelet "Battleship" kan fungera som en lösning. Kom ihåg hur du, när du spelar, namnger en koordinat, till exempel B3, och på så sätt anger exakt vart du siktar. Samtidigt, när du placerar fartyg, anger du punkter på koordinatplanet.
Detta koordinatsystem används ofta inte bara i matematik och logikspel, utan också i militära angelägenheter, astronomi, fysik och många andra vetenskaper.
Koordinataxlar
Som redan nämnts finns det två axlar i koordinatsystemet. Låt oss prata lite om dem, eftersom de är av stor betydelse.
Den första axeln är abskiss - horisontell. Det betecknas som ( Oxe). Den andra axeln är ordinatan, som går vertikalt genom referenspunkten och betecknas som ( Oj). Det är dessa två axlar som bildar koordinatsystemet, som delar upp planet i fyra fjärdedelar. Ursprunget ligger i skärningspunkten mellan dessa två axlar och tar värdet 0 . Endast om planet är bildat av två axlar som skär vinkelrätt och har en referenspunkt, är det ett koordinatplan.
Observera också att var och en av axlarna har sin egen riktning. Vanligtvis, när man konstruerar ett koordinatsystem, är det vanligt att ange axelns riktning i form av en pil. Dessutom, när man konstruerar ett koordinatplan, är var och en av axlarna signerade.
Kvartal
Låt oss nu säga några ord om ett sådant koncept som fjärdedelar av koordinatplanet. Planet är uppdelat i fyra fjärdedelar av två axlar. Var och en av dem har sitt eget nummer, och planen är numrerade moturs.
Vart och ett av kvarteren har sina egna egenskaper. Så i det första kvartalet är abskissan och ordinatan positiva, i andra kvartalet är abskissan negativ, ordinatan är positiv, i den tredje är både abskissan och ordinatan negativa, i den fjärde är abskissan positiv och ordinatan är negativ. .
Genom att komma ihåg dessa funktioner kan du enkelt bestämma vilken fjärdedel en viss punkt tillhör. Dessutom kan denna information vara användbar för dig om du måste göra beräkningar med det kartesiska systemet.
Arbeta med koordinatplanet
När vi har förstått konceptet med ett plan och pratat om dess kvarter, kan vi gå vidare till ett sådant problem som att arbeta med detta system, och även prata om hur man sätter punkter och koordinater för figurer på det. På koordinatplanet är detta inte så svårt som det kan verka vid första anblicken.
Först och främst är själva systemet byggt, alla viktiga beteckningar appliceras på det. Sedan jobbar vi direkt med punkter eller former. Dessutom, även när man konstruerar figurer, ritas punkter först på planet och sedan ritas figurerna.
Regler för att bygga ett plan
Om du bestämmer dig för att börja markera former och punkter på papper behöver du ett koordinatplan. Koordinaterna för punkterna är inritade på den. För att konstruera ett koordinatplan behöver du bara en linjal och en penna eller penna. Först ritas den horisontella x-axeln, sedan ritas den vertikala axeln. Det är viktigt att komma ihåg att axlarna skär varandra i rät vinkel.
Nästa obligatoriska punkt är märkning. På var och en av axlarna i båda riktningarna är enhetssegment markerade och märkta. Detta görs för att du sedan ska kunna arbeta med planet med maximal bekvämlighet.
Markera en punkt
Låt oss nu prata om hur man plottar koordinaterna för punkter på koordinatplanet. Detta är grunderna du behöver veta för att framgångsrikt placera en mängd olika former på ett plan och till och med markera ekvationer.
När du konstruerar punkter bör du komma ihåg hur deras koordinater är korrekt skrivna. Så, vanligtvis när du anger en punkt, skrivs två siffror inom parentes. Den första siffran indikerar koordinaten för punkten längs abskissaxeln, den andra - längs ordinataaxeln.
Punkten bör konstrueras på detta sätt. Första märket på axeln Oxe angiven punkt, markera sedan punkten på axeln Oj. Rita sedan imaginära linjer från dessa beteckningar och hitta platsen där de skär varandra - det här kommer att vara given poäng.
Allt du behöver göra är att markera och skriva under. Som du kan se är allt ganska enkelt och kräver inga speciella färdigheter.
Placera figuren
Låt oss nu gå vidare till frågan om att konstruera figurer på ett koordinatplan. För att konstruera vilken figur som helst på koordinatplanet bör du veta hur du placerar punkter på det. Om du vet hur man gör detta är det inte så svårt att placera en figur på ett plan.
Först och främst behöver du koordinaterna för figurens punkter. Det är enligt dem som vi kommer att tillämpa de du har valt på vårt koordinatsystem Låt oss överväga tillämpningen av en rektangel, en triangel och en cirkel.
Låt oss börja med en rektangel. Det är ganska lätt att applicera. Först markeras fyra punkter på planet, som indikerar rektangelns hörn. Sedan är alla punkter sekventiellt kopplade till varandra.
Att rita en triangel är inte annorlunda. Det enda är att det har tre vinklar, vilket betyder att tre punkter är markerade på planet, vilket indikerar dess hörn.
När det gäller cirkeln bör du känna till koordinaterna för två punkter. Den första punkten är cirkelns mittpunkt, den andra är punkten som anger dess radie. Dessa två punkter är plottade på planet. Ta sedan en kompass och mät avståndet mellan två punkter. Kompassens punkt placeras vid den punkt som markerar centrum och en cirkel beskrivs.
Som du ser är det inget komplicerat här heller, huvudsaken är att du alltid har linjal och kompass till hands.
Nu vet du hur man ritar koordinaterna för figurer. Att göra detta på koordinatplanet är inte så svårt som det kan tyckas vid första anblicken.
Slutsatser
Så vi har tittat på ett av de mest intressanta och grundläggande begreppen för matematik som varje skolbarn måste hantera.
Vi har upptäckt att koordinatplanet är ett plan som bildas av skärningspunkten mellan två axlar. Med dess hjälp kan du ställa in koordinaterna för punkter och rita former på den. Planet är uppdelat i fjärdedelar, som var och en har sina egna egenskaper.
Den huvudsakliga färdigheten som bör utvecklas när man arbetar med ett koordinatplan är förmågan att korrekt plotta givna punkter på det. För att göra detta bör du känna till den korrekta platsen för axlarna, funktionerna i kvartalen, samt reglerna för vilka punkternas koordinater specificeras.
Vi hoppas att informationen vi presenterade var tillgänglig och begriplig, och att den också var användbar för dig och hjälpte dig att bättre förstå detta ämne.
Ett rektangulärt koordinatsystem på ett plan definieras av två sinsemellan vinkelräta räta linjer. Raka linjer kallas koordinataxlar (eller koordinataxlar). Skärningspunkten för dessa linjer kallas origo och betecknas med bokstaven O.
Vanligtvis är en av linjerna horisontell, den andra är vertikal. Den horisontella linjen betecknas som x-axeln (eller Ox) och kallas abskissaxeln, den vertikala linjen är y-axeln (Oy), kallad ordinataaxeln. Hela koordinatsystemet betecknas xOy.
Punkt O delar var och en av axlarna i två halvaxlar, varav en anses vara positiv (betecknad med en pil), den andra - negativ.
Varje punkt F i planet tilldelas ett par nummer (x;y) - dess koordinater.
X-koordinaten kallas abskissan. Det är lika med Oxe, taget med lämpligt tecken.
Y-koordinaten kallas ordinatan och är lika med avståndet från punkt F till Oy-axeln (med lämpligt tecken).
Axelavstånd mäts vanligtvis (men inte alltid) i samma längdenhet.
Punkter som ligger till höger om y-axeln har positiv abskiss. Punkter som ligger till vänster om ordinataaxeln har negativ abskiss. För varje punkt som ligger på Oy-axeln är dess x-koordinat noll.
Punkter med positiv ordinata ligger ovanför x-axeln och punkter med negativ ordinata ligger under. Om en punkt ligger på Ox-axeln är dess y-koordinat noll.
Koordinataxlar delar upp planet i fyra delar, som kallas koordinatfjärdedelar (eller koordinatvinklar eller kvadranter).
1 koordinatkvartal placerad i det övre högra hörnet av xOy-koordinatplanet. Båda koordinaterna för punkter som ligger i första kvartalet är positiva.
Övergången från en fjärdedel till en annan utförs moturs.
2 koordinat kvartal finns i det övre vänstra hörnet. Punkter som ligger i andra kvartalet har en negativ abskissa och en positiv ordinata.
3 koordinat kvartal ligger i den nedre vänstra kvadranten av xOy-planet. Båda koordinaterna för punkterna som hör till III-koordinatvinkeln är negativa.
4 koordinat kvartalär det nedre högra hörnet av koordinatplanet. Varje punkt från IV-kvartalet har en positiv första koordinat och en negativ andra.
Ett exempel på placeringen av punkter i ett rektangulärt koordinatsystem:
Ett ordnat system med två eller tre skärande axlar vinkelräta mot varandra med ett gemensamt ursprung (koordinaters ursprung) och en gemensam längdenhet kallas rektangulärt kartesiskt koordinatsystem .
Allmänt kartesiskt koordinatsystem (affint koordinatsystem) inkluderar inte nödvändigtvis vinkelräta axlar. För att hedra den franske matematikern Rene Descartes (1596-1662) namnges just ett sådant koordinatsystem där en gemensam längdenhet mäts på alla axlar och axlarna är raka.
Rektangulärt kartesiskt koordinatsystem på ett plan har två axlar och rektangulärt kartesiskt koordinatsystem i rymden - tre axlar. Varje punkt på ett plan eller i rymden definieras av en ordnad uppsättning koordinater - tal som motsvarar koordinatsystemets längdenhet.
Observera att det, som följer av definitionen, finns ett kartesiskt koordinatsystem på en rät linje, det vill säga i en dimension. Införandet av kartesiska koordinater på en linje är ett av sätten på vilka en punkt på en linje associeras med ett väldefinierat reellt tal, det vill säga en koordinat.
Koordinatmetoden, som uppstod i Rene Descartes verk, markerade en revolutionerande omstrukturering av all matematik. Det blev möjligt att tolka algebraiska ekvationer(eller ojämlikheter) i form av geometriska bilder (grafer) och omvänt leta efter lösningar på geometriska problem med hjälp av analytiska formler och ekvationssystem. Ja, ojämlikhet z < 3 геометрически означает полупространство, лежащее ниже плоскости, параллельной координатной плоскости xOy och placerad ovanför detta plan med 3 enheter.
Med det kartesiska koordinatsystemet motsvarar medlemskapet av en punkt på en given kurva det faktum att talen x Och y uppfylla någon ekvation. Således, koordinaterna för en punkt på en cirkel med ett centrum i en given punkt ( a; b) uppfyller ekvationen (x - a)² + ( y - b)² = R² .
Rektangulärt kartesiskt koordinatsystem på ett plan
Två vinkelräta axlar på ett plan med ett gemensamt ursprung och samma skalenhetsform Kartesiskt rektangulärt koordinatsystem på planet . En av dessa axlar kallas axeln Oxe, eller x-axeln , den andra - axeln Oj, eller y-axel . Dessa axlar kallas även koordinataxlar. Låt oss beteckna med Mx Och My respektive projektionen av en godtycklig punkt M på axeln Oxe Och Oj. Hur får man projektioner? Låt oss gå igenom poängen M Oxe. Denna räta linje skär axeln Oxe vid punkten Mx. Låt oss gå igenom poängen M rät linje vinkelrät mot axeln Oj. Denna räta linje skär axeln Oj vid punkten My. Detta visas på bilden nedan.
x Och y poäng M vi kommer att kalla värdena för de riktade segmenten i enlighet därmed OMx Och OMy. Värdena för dessa riktade segment beräknas i enlighet med detta x = x0 - 0 Och y = y0 - 0 . kartesiska koordinater x Och y poäng M abskissa Och ordinera . Det faktum att poängen M har koordinater x Och y, betecknas enligt följande: M(x, y) .
Koordinataxlar delar upp planet i fyra kvadrant , vars numrering visas i figuren nedan. Den visar också arrangemanget av tecken för punkternas koordinater beroende på deras placering i en viss kvadrant.
Förutom kartesiska rektangulära koordinater på ett plan övervägs också ofta det polära koordinatsystemet. Om metoden för övergång från ett koordinatsystem till ett annat - i lektionen polärt koordinatsystem .
Rektangulärt kartesiskt koordinatsystem i rymden
Kartesiska koordinater i rymden introduceras i fullständig analogi med kartesiska koordinater i planet.
Tre inbördes vinkelräta axlar i rymden (koordinataxlar) med gemensamt ursprung O och med samma skalenhet de bildar Kartesiskt rektangulärt koordinatsystem i rymden .
En av dessa axlar kallas en axel Oxe, eller x-axeln , den andra - axeln Oj, eller y-axel , den tredje - axeln Uns, eller axeltillämpning . Låta Mx, My Mz- projektioner av en godtycklig punkt M utrymme på axeln Oxe , Oj Och Uns respektive.
Låt oss gå igenom poängen M OxeOxe vid punkten Mx. Låt oss gå igenom poängen M plan vinkelrätt mot axeln Oj. Detta plan skär axeln Oj vid punkten My. Låt oss gå igenom poängen M plan vinkelrätt mot axeln Uns. Detta plan skär axeln Uns vid punkten Mz.
Kartesiska rektangulära koordinater x , y Och z poäng M vi kommer att kalla värdena för de riktade segmenten i enlighet därmed OMx, OMy Och OMz. Värdena för dessa riktade segment beräknas i enlighet med detta x = x0 - 0 , y = y0 - 0 Och z = z0 - 0 .
kartesiska koordinater x , y Och z poäng M kallas i enlighet med detta abskissa , ordinera Och ansöka .
Koordinataxlar tagna i par är placerade i koordinatplan xOy , yOz Och zOx .
Problem med punkter i ett kartesiskt koordinatsystem
Exempel 1.
A(2; -3) ;
B(3; -1) ;
C(-5; 1) .
Hitta koordinaterna för projektionerna av dessa punkter på abskissaxeln.
Lösning. Som följer av den teoretiska delen av denna lektion är projektionen av en punkt på abskissaxeln placerad på själva abskissaxeln, det vill säga axeln Oxe, och har därför en abskissa lika med abskissan för själva punkten och en ordinata (koordinat på axeln Oj, som x-axeln skär i punkt 0), vilket är lika med noll. Så vi får följande koordinater för dessa punkter på x-axeln:
Ax(2;0);
Bx(3;0);
Cx (-5; 0).
Exempel 2. I det kartesiska koordinatsystemet ges poäng på planet
A(-3; 2) ;
B(-5; 1) ;
C(3; -2) .
Hitta koordinaterna för projektionerna av dessa punkter på ordinataaxeln.
Lösning. Som följer av den teoretiska delen av denna lektion är projektionen av en punkt på ordinataaxeln placerad på själva ordinataaxeln, det vill säga axeln Oj, och har därför en ordinata lika med ordinatan för själva punkten och en abskissa (koordinat på axeln Oxe, som ordinataaxeln skär i punkt 0), vilket är lika med noll. Så vi får följande koordinater för dessa punkter på ordinataaxeln:
Ay(0;2);
By(0;1);
Cy(0;-2).
Exempel 3. I det kartesiska koordinatsystemet ges poäng på planet
A(2; 3) ;
B(-3; 2) ;
C(-1; -1) .
Oxe .
Oxe Oxe Oxe, kommer att ha samma abskissa som den givna punkten, och en ordinata som är lika i absolut värde som ordinatan för den givna punkten, och motsatt i tecken. Så vi får följande koordinater för punkter symmetriska till dessa punkter relativt axeln Oxe :
A"(2; -3) ;
B"(-3; -2) ;
C"(-1; 1) .
Lös problem med det kartesiska koordinatsystemet själv och titta sedan på lösningarna
Exempel 4. Bestäm i vilka kvadranter (kvartdelar, ritning med kvadranter - i slutet av stycket "Rektangulärt kartesiskt koordinatsystem på ett plan") en punkt kan placeras M(x; y) , Om
1) xy > 0 ;
2) xy < 0 ;
3) x − y = 0 ;
4) x + y = 0 ;
5) x + y > 0 ;
6) x + y < 0 ;
7) x − y > 0 ;
8) x − y < 0 .
Exempel 5. I det kartesiska koordinatsystemet ges poäng på planet
A(-2; 5) ;
B(3; -5) ;
C(a; b) .
Hitta koordinaterna för punkter som är symmetriska till dessa punkter i förhållande till axeln Oj .
Låt oss fortsätta att lösa problem tillsammans
Exempel 6. I det kartesiska koordinatsystemet ges poäng på planet
A(-1; 2) ;
B(3; -1) ;
C(-2; -2) .
Hitta koordinaterna för punkter som är symmetriska till dessa punkter i förhållande till axeln Oj .
Lösning. Rotera 180 grader runt axeln Oj riktningssegment från axeln Oj fram till denna punkt. I figuren, där planets kvadranter är indikerade, ser vi att den punkt som är symmetrisk mot den givna i förhållande till axeln Oj, kommer att ha samma ordinata som den givna punkten, och en abskissa lika i absolut värde som abskissan för den givna punkten och motsatt i tecken. Så vi får följande koordinater för punkter symmetriska till dessa punkter relativt axeln Oj :
A"(1; 2) ;
B"(-3; -1) ;
C"(2; -2) .
Exempel 7. I det kartesiska koordinatsystemet ges poäng på planet
A(3; 3) ;
B(2; -4) ;
C(-2; 1) .
Hitta koordinaterna för punkter som är symmetriska till dessa punkter i förhållande till origo.
Lösning. Vi roterar det riktade segmentet från origo till den givna punkten 180 grader runt origo. I figuren, där planets kvadranter är indikerade, ser vi att en punkt som är symmetrisk till den givna punkten i förhållande till origo för koordinater kommer att ha en abskissa och ordinata lika i absolut värde med abskissan och ordinatan för den givna punkten, men mittemot i tecken. Så vi får följande koordinater för punkter symmetriska med dessa punkter i förhållande till origo:
A"(-3; -3) ;
B"(-2; 4) ;
C(2; -1) .
Exempel 8.
A(4; 3; 5) ;
B(-3; 2; 1) ;
C(2; -3; 0) .
Hitta koordinaterna för projektionerna för dessa punkter:
1) på ett plan Oxy ;
2) på ett plan Oxz ;
3) till planet Oyz ;
4) på abskissaxeln;
5) på ordinataaxeln;
6) på applikationsaxeln.
1) Projektion av en punkt på ett plan Oxyär belägen på detta plan själv och har därför en abskissa och ordinata lika med abskissan och ordinatan för en given punkt, och en applikat lika med noll. Så vi får följande koordinater för projektionerna av dessa punkter på Oxy :
Axy (4; 3; 0);
Bxy (-3; 2; 0);
Cxy(2;-3;0).
2) Projektion av en punkt på ett plan Oxzär belägen på detta plan själv och har därför en abskissa och applikat lika med abskissan och applikatet för en given punkt, och en ordinata lika med noll. Så vi får följande koordinater för projektionerna av dessa punkter på Oxz :
Axz (4; 0; 5);
Bxz (-3; 0; 1);
Cxz (2; 0; 0).
3) Projektion av en punkt på ett plan Oyzär belägen på detta plan själv, och har därför en ordinata och applikat lika med ordinatan och applikatet för en given punkt, och en abskissa lika med noll. Så vi får följande koordinater för projektionerna av dessa punkter på Oyz :
Ayz(0; 3; 5);
Byz (0; 2; 1);
Cyz (0; -3; 0).
4) Som följer av den teoretiska delen av denna lektion, är projektionen av en punkt på abskissaxeln placerad på själva abskissaxeln, det vill säga axeln Oxe, och har därför en abskissa lika med abskissan för själva punkten, och ordinatan och applikationen för projektionen är lika med noll (eftersom ordinatan och applikationsaxlarna skär abskissan vid punkt 0). Vi får följande koordinater för projektionerna av dessa punkter på abskissaxeln:
Ax(4;0;0);
Bx (-3; 0; 0);
Cx(2;0;0).
5) Projektionen av en punkt på ordinataaxeln är placerad på själva ordinataaxeln, det vill säga axeln Oj, och har därför en ordinata som är lika med ordinatan för själva punkten, och abskissan och applikationen för projektionen är lika med noll (eftersom abskissan och applikationsaxlarna skär ordinataaxeln vid punkt 0). Vi får följande koordinater för projektionerna av dessa punkter på ordinataaxeln:
Ay(0; 3; 0);
By (0; 2; 0);
Cy(0;-3;0).
6) Projektionen av en punkt på applikationsaxeln är placerad på applikationsaxeln själv, det vill säga axeln Uns, och har därför en applikation lika med applikationen för själva punkten, och abskissan och ordinaten för projektionen är lika med noll (eftersom abskissan och ordinataxlarna skär applikationsaxeln vid punkt 0). Vi får följande koordinater för projektionerna av dessa punkter på applikationsaxeln:
Az (0; 0; 5);
Bz (0; 0; 1);
Cz(0; 0; 0).
Exempel 9. I det kartesiska koordinatsystemet ges poäng i rymden
A(2; 3; 1) ;
B(5; -3; 2) ;
C(-3; 2; -1) .
Hitta koordinaterna för punkter som är symmetriska till dessa punkter med avseende på:
1) plan Oxy ;
2) flygplan Oxz ;
3) flygplan Oyz ;
4) abskissaxlar;
5) ordinata axlar;
6) applicera axlar;
7) koordinaternas ursprung.
1) "Flytta" punkten på andra sidan av axeln Oxy Oxy, kommer att ha en abskissa och ordinata lika med abskissan och ordinatan för en given punkt, och en applikat lika stor som tillämpningen av en given punkt, men motsatt i tecken. Så vi får följande koordinater för punkter som är symmetriska med data i förhållande till planet Oxy :
A"(2; 3; -1) ;
B"(5; -3; -2) ;
C"(-3; 2; 1) .
2) "Flytta" punkten på andra sidan av axeln Oxz till samma avstånd. Från figuren som visar koordinatutrymmet ser vi att en punkt som är symmetrisk till en given i förhållande till axeln Oxz, kommer att ha en abskissa och applikat lika med abskissan och applikatet för en given punkt, och en ordinata lika stor som ordinatan för en given punkt, men motsatt i tecken. Så vi får följande koordinater för punkter som är symmetriska med data i förhållande till planet Oxz :
A"(2; -3; 1) ;
B"(5; 3; 2) ;
C"(-3; -2; -1) .
3) "Flytta" punkten på andra sidan av axeln Oyz till samma avstånd. Från figuren som visar koordinatutrymmet ser vi att en punkt som är symmetrisk till en given i förhållande till axeln Oyz, kommer att ha en ordinata och ett aplikat lika med ordinatan och ett aplikat för en given punkt, och en abskissa lika i värde som abskissan för en given punkt, men motsatt i tecken. Så vi får följande koordinater för punkter som är symmetriska med data i förhållande till planet Oyz :
A"(-2; 3; 1) ;
B"(-5; -3; 2) ;
C"(3; 2; -1) .
I analogi med symmetriska punkter på ett plan och punkter i rymden som är symmetriska till data i förhållande till plan, noterar vi att vid symmetri med avseende på någon axel i det kartesiska koordinatsystemet i rymden, är koordinaten på axeln m.b.t. som symmetrin ges kommer att behålla sitt tecken, och koordinaterna på de andra två axlarna kommer att vara desamma i absolut värde som koordinaterna för en given punkt, men motsatt i tecken.
4) Abskissan kommer att behålla sitt tecken, men ordinatan och applikatet kommer att ändra tecken. Så vi får följande koordinater för punkter som är symmetriska med data i förhållande till abskissaxeln:
A"(2; -3; -1) ;
B"(5; 3; -2) ;
C"(-3; -2; 1) .
5) Ordinatan kommer att behålla sitt tecken, men abskissan och applikatet kommer att ändra tecken. Så vi får följande koordinater för punkter som är symmetriska med data i förhållande till ordinataaxeln:
A"(-2; 3; -1) ;
B"(-5; -3; -2) ;
C"(3; 2; 1) .
6) Applikatet kommer att behålla sitt tecken, men abskissan och ordinatan kommer att ändra tecken. Så vi får följande koordinater för punkter som är symmetriska med data i förhållande till applikationsaxeln:
A"(-2; -3; 1) ;
B"(-5; 3; 2) ;
C"(3; -2; -1) .
7) I analogi med symmetri när det gäller punkter på ett plan, när det gäller symmetri om koordinaternas ursprung, kommer alla koordinater för en punkt som är symmetrisk med en given punkt att vara lika i absolut värde med koordinaterna för en given punkt, men mitt emot dem i tecken. Så vi får följande koordinater för punkter som är symmetriska med data i förhållande till ursprunget.
