Alla formler för faktorisering av ett polynom. Hur man faktorisera en algebraisk ekvation. Faktorering av ett kvadratiskt trinomium

Begreppen "polynom" och "faktorisering av ett polynom" i algebra påträffas mycket ofta, eftersom du behöver känna till dem för att enkelt kunna utföra beräkningar med stora flersiffriga nummer. Den här artikeln kommer att beskriva flera nedbrytningsmetoder. Alla är ganska enkla att använda, du behöver bara välja rätt för varje specifikt fall.

Begreppet polynom

Ett polynom är summan av monomer, det vill säga uttryck som endast innehåller multiplikationsoperationen.

Till exempel är 2 * x * y ett monomial, men 2 * x * y + 25 är ett polynom som består av 2 monomer: 2 * x * y och 25. Sådana polynom kallas binomial.

Ibland, för att lösa exempel med flervärdesvärden, behöver ett uttryck förvandlas, till exempel dekomponeras till ett visst antal faktorer, det vill säga siffror eller uttryck mellan vilka multiplikationsåtgärden utförs. Det finns ett antal sätt att faktorisera ett polynom. Det är värt att överväga dem, börja med de mest primitiva, som används i grundskolan.

Gruppering (rekord i allmän form)

Formeln för att faktorisera ett polynom med hjälp av grupperingsmetoden ser generellt ut så här:

ac + bd + bc + ad = (ac + bc) + (ad + bd)

Det är nödvändigt att gruppera monomierna så att varje grupp har en gemensam faktor. I den första parentesen är detta faktorn c, och i den andra - d. Detta måste göras för att sedan flytta ut den ur fästet och därigenom förenkla beräkningarna.

Nedbrytningsalgoritm med ett specifikt exempel

Det enklaste exemplet på att faktorisera ett polynom med hjälp av grupperingsmetoden ges nedan:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b)

I den första parentesen måste du ta termerna med faktorn a, som kommer att vara vanlig, och i den andra - med faktorn b. Var uppmärksam på + och - tecknen i det färdiga uttrycket. Vi satte före monomialen tecknet som fanns i det initiala uttrycket. Det vill säga, du behöver inte arbeta med uttrycket 25a, utan med uttrycket -25. Minustecknet verkar vara "limmat" på uttrycket bakom det och alltid tas med i beräkningen.

I nästa steg måste du ta multiplikatorn, som är vanlig, ur parentes. Det är precis vad grupperingen är till för. Att sätta utanför parentesen betyder att skriva före parentesen (om man utelämnar multiplikationstecknet) alla de faktorer som exakt upprepas i alla termer som finns inom parentes. Om det inte finns 2, utan 3 eller fler termer inom en parentes, måste den gemensamma faktorn finnas i var och en av dem, annars kan den inte tas ut ur parentes.

I vårt fall finns det bara 2 termer inom parentes. Den totala multiplikatorn är omedelbart synlig. I den första parentesen är det a, i den andra är det b. Här måste du vara uppmärksam på de digitala koefficienterna. I den första parentesen är båda koefficienterna (10 och 25) multiplar av 5. Detta betyder att inte bara a, utan även 5a kan tas ut ur parentesen. Före parentes, skriv 5a, och dividera sedan var och en av termerna inom parentes med den gemensamma faktorn som togs ut, och skriv även kvoten inom parentes, glöm inte tecknen + och - Gör samma sak med den andra parentesen, ta ut 7b, samt 14 och 35 multipel av 7.

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a(2c - 5) + 7b(2c - 5).

Vi fick 2 termer: 5a(2c - 5) och 7b(2c - 5). Var och en av dem innehåller en gemensam faktor (hela uttrycket inom parentes är detsamma här, vilket betyder att det är en gemensam faktor): 2c - 5. Det måste också tas ut ur parentesen, det vill säga termerna 5a och 7b finns kvar. i andra parentes:

5a(2c-5) + 7b(2c-5) = (2c-5)*(5a + 7b).

Så det fullständiga uttrycket är:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a(2c - 5) + 7b(2c - 5) = (2c - 5)*(5a + 7b).

Således bryts polynomet 10ac + 14bc - 25a - 35b upp i 2 faktorer: (2c - 5) och (5a + 7b). Multiplikationstecknet mellan dem kan utelämnas när du skriver

Ibland finns det uttryck av den här typen: 5a 2 + 50a 3, här kan du lägga ut inom parentes inte bara a eller 5a, utan även 5a 2. Du bör alltid försöka lägga ut den största gemensamma faktorn ur fästet. I vårt fall, om vi delar varje term med en gemensam faktor, får vi:

5a2/5a2 = 1; 50a 3 / 5a 2 = 10a(vid beräkning av kvoten av flera potenser med lika baser bevaras basen och exponenten subtraheras). Därmed stannar enheten inom parentes (du glömmer inte i något fall att skriva en om du tar ut en av termerna ur parentes) och divisionskvoten: 10a. Det visar sig att:

5a 2 + 50a 3 = 5a 2 (1 + 10a)

Kvadratiska formler

För att underlätta beräkningen härleddes flera formler. Dessa kallas förkortade multiplikationsformler och används ganska ofta. Dessa formler hjälper till att faktorisera polynom som innehåller potenser. Detta är ett annat effektivt sätt att faktorisera. Så här är de:

a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 - en formel som kallas "kvadraten på summan", eftersom summan av siffror inom parentes, som ett resultat av sönderdelning till en kvadrat, tas, det vill säga värdet av denna summa multipliceras med sig själv 2 gånger, och därför är en multiplikator.
a 2 + 2ab - b 2 = (a - b) 2 - formeln för kvadraten på skillnaden, den liknar den föregående. Resultatet är skillnaden, omgiven inom parentes, som finns i kvadratpotensen.
a 2 - b 2 = (a + b)(a - b)- detta är en formel för skillnaden mellan kvadrater, eftersom polynomet initialt består av 2 kvadrater av tal eller uttryck, mellan vilka subtraktion utförs. Kanske, av de tre nämnda, används det oftast.

Exempel på beräkningar med kvadratformler

Beräkningarna för dem är ganska enkla. Till exempel:

25x 2 + 20xy + 4y 2 - använd formeln "kvadrat på summan".
25x 2 är kvadraten på 5x. 20xy är dubbelprodukten av 2*(5x*2y), och 4y 2 är kvadraten av 2y.
Således, 25x2 + 20xy + 4y2 = (5x + 2y) 2 = (5x + 2y)(5x + 2y). Detta polynom är uppdelat i 2 faktorer (faktorerna är desamma, så det skrivs som ett uttryck med en kvadratpotens).

Åtgärder som använder kvadratskillnadsformeln utförs på samma sätt som dessa. Den återstående formeln är skillnaden mellan kvadrater. Exempel på denna formel är mycket lätta att definiera och hitta bland andra uttryck. Till exempel:

25a 2 - 400 = (5a - 20) (5a + 20). Eftersom 25a 2 = (5a) 2 och 400 = 20 2
36x 2 - 25y 2 = (6x - 5y) (6x + 5y). Eftersom 36x 2 = (6x) 2 och 25y 2 = (5y 2)
c2 - 169b2 = (c - 13b)(c + 13b). Sedan 169b 2 = (13b) 2

Det är viktigt att var och en av termerna är en kvadrat med något uttryck. Sedan måste detta polynom faktoriseras med hjälp av formeln för skillnaden mellan kvadrater. För detta är det inte nödvändigt att den andra graden är över siffran. Det finns polynom som innehåller stora grader, men som ändå passar dessa formler.

a 8 +10a 4 +25 = (a 4) 2 + 2*a 4 *5 + 5 2 = (a 4 +5) 2

I det här exemplet kan en 8:a representeras som (a 4) 2, det vill säga kvadraten på ett visst uttryck. 25 är 5 2 och 10a är 4 - detta är dubbelprodukten av termerna 2 * a 4 * 5. Det vill säga att detta uttryck, trots närvaron av grader med stora exponenter, kan delas upp i 2 faktorer för att sedan arbeta med dem.

Kubformler

Samma formler finns för faktorisering av polynom som innehåller kuber. De är lite mer komplicerade än de med rutor:

a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - ab + b 2)- denna formel kallas summan av kuber, eftersom polynomet i sin initiala form är summan av två uttryck eller tal inneslutna i en kub.
a 3 - b 3 = (a - b)(a 2 + ab + b 2) - en formel som är identisk med den föregående betecknas som skillnaden mellan kuber.
a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (a + b) 3 - kub av en summa, som ett resultat av beräkningar, är summan av siffror eller uttryck omgiven av parentes och multipliceras med sig själv 3 gånger, det vill säga ligger i en kub
a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = (a - b) 3 - formeln, sammanställd i analogi med den föregående, som endast ändrar några tecken på matematiska operationer (plus och minus), kallas "skillnadskuben".

De två sista formlerna används praktiskt taget inte för att faktorisera ett polynom, eftersom de är komplexa, och det är sällsynt att hitta polynom som helt motsvarar exakt denna struktur så att de kan faktoriseras med hjälp av dessa formler. Men du måste fortfarande känna till dem, eftersom de kommer att krävas när du arbetar i motsatt riktning - när du öppnar parenteser.

Exempel på kubformler

Låt oss titta på ett exempel: 64a 3 − 8b 3 = (4a) 3 − (2b) 3 = (4a − 2b)((4a) 2 + 4a*2b + (2b) 2) = (4a−2b)(16a 2 + 8ab + 4b 2 ).

Ganska enkla siffror tas här, så du kan direkt se att 64a 3 är (4a) 3 och 8b 3 är (2b) 3. Således expanderas detta polynom enligt formelskillnaden för kuber till 2 faktorer. Åtgärder som använder formeln för summan av kuber utförs analogt.

Det är viktigt att förstå att inte alla polynom kan expanderas på åtminstone ett sätt. Men det finns uttryck som innehåller större potenser än en kvadrat eller en kub, men de kan också utökas till förkortade multiplikationsformer. Till exempel: x 12 + 125y 3 =(x 4) 3 +(5y) 3 =(x 4 +5y)*((x 4) 2 − x 4 *5y+(5y) 2)=(x 4 + 5y) ( x 8 − 5x 4 y + 25y 2).

Detta exempel innehåller så mycket som 12:e graden. Men även det kan faktoriseras med hjälp av summan av kuber formel. För att göra detta måste du föreställa dig x 12 som (x 4) 3, det vill säga som en kub av något uttryck. Nu, istället för a, måste du ersätta det i formeln. Tja, uttrycket 125y 3 är en kub av 5y. Därefter måste du komponera produkten med formeln och utföra beräkningar.

Till en början, eller i tveksamma fall, kan du alltid kontrollera med invers multiplikation. Du behöver bara öppna parenteserna i det resulterande uttrycket och utföra åtgärder med liknande termer. Denna metod gäller för alla de listade reduktionsmetoderna: både för att arbeta med en gemensam faktor och gruppering, och för att arbeta med formler för kuber och kvadratpotenser.

WikiHow fungerar som en wiki, vilket innebär att många av våra artiklar är skrivna av flera författare. Den här artikeln producerades av 23 personer, inklusive anonymt, för att redigera och förbättra den.

Att faktorisera en ekvation är processen att hitta de termer eller uttryck som, när de multipliceras, leder till den initiala ekvationen. Faktorering är en användbar färdighet för att lösa grundläggande algebraproblem, och blir nästan väsentlig när man arbetar med andragradsekvationer och andra polynom. Factoring används för att förenkla algebraiska ekvationer för att göra dem lättare att lösa. Factoring kan hjälpa dig att eliminera vissa möjliga svar snabbare än du skulle göra genom att lösa en ekvation för hand.

Steg

Faktorering av tal och grundläggande algebraiska uttryck

Factoring siffror. Konceptet med factoring är enkelt, men i praktiken kan factoring vara utmanande (om en komplex ekvation ges). Låt oss därför först titta på begreppet faktorisering med siffror som exempel och fortsätta med enkla ekvationer, och gå sedan vidare till komplexa ekvationer. Faktorerna för ett givet tal är de tal som, när de multipliceras, ger det ursprungliga talet. Till exempel är faktorerna för talet 12 talen: 1, 12, 2, 6, 3, 4, eftersom 1*12=12, 2*6=12, 3*4=12.
- På samma sätt kan du tänka på faktorerna för ett tal som dess divisorer, det vill säga talen som talet är delbart med.
- Hitta alla faktorer för talet 60. Vi använder ofta talet 60 (till exempel 60 minuter på en timme, 60 sekunder på en minut, etc.) och detta tal har ett ganska stort antal faktorer.
  - 60 multiplikatorer: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 och 60.
Kom ihåg: termer av ett uttryck som innehåller en koefficient (tal) och en variabel kan också faktoriseras. För att göra detta, hitta koefficientfaktorerna för variabeln. Genom att veta hur man faktorisera termerna i ekvationer kan du enkelt förenkla given ekvation.
- Till exempel kan termen 12x skrivas som produkten av 12 och x. Du kan också skriva 12x som 3(4x), 2(6x), etc., dela upp 12 i de faktorer som fungerar bäst för dig.
  - Du kan dela 12 gånger flera gånger i rad. Med andra ord, du bör inte stanna vid 3(4x) eller 2(6x); fortsätt expansionen: 3(2(2x)) eller 2(3(2x)) (uppenbarligen 3(4x)=3(2(2x)), etc.)
Tillämpa den fördelande egenskapen för multiplikation på faktoralgebraiska ekvationer. Genom att veta hur man faktoriserar tal och uttryckstermer (koefficienter med variabler), kan du förenkla enkla algebraiska ekvationer genom att hitta den gemensamma faktorn för ett tal och uttrycksterm. Vanligtvis, för att förenkla en ekvation, måste du hitta den största gemensamma faktorn (GCD). Denna förenkling är möjlig på grund av multiplikationens distributiva egenskap: för alla tal a, b, c är likheten a(b+c) = ab+ac sann.
- Exempel. Faktorisera ekvationen 12x + 6. Hitta först gcd för 12x och 6. 6 är det största talet som delar både 12x och 6, så du kan faktorisera denna ekvation med: 6(2x+1).
- Denna process gäller även för ekvationer som har negativa termer och bråktal. Till exempel kan x/2+4 faktoriseras till 1/2(x+8); till exempel kan -7x+(-21) faktoriseras till -7(x+3).
Factoring kvadratiska ekvationer
1. Se till att ekvationen anges kvadratisk form(ax 2 + bx + c = 0). Andragradsekvationer har formen: ax 2 + bx + c = 0, där a, b, c är andra numeriska koefficienter än 0. Om du får en ekvation med en variabel (x) och i denna ekvation finns en eller flera termer med en andra ordningens variabel kan du flytta alla termer i ekvationen till ena sidan av ekvationen och sätta den lika med noll.
  - Till exempel, givet ekvationen: 5x 2 + 7x - 9 = 4x 2 + x – 18. Detta kan omvandlas till ekvationen x 2 + 6x + 9 = 0, som är en andragradsekvation.
  - Ekvationer med variabel x av stora ordrar, till exempel x 3, x 4, etc. är inte andragradsekvationer. Dessa är kubikekvationer, fjärde ordningens ekvationer och så vidare (såvida inte sådana ekvationer kan förenklas till andragradsekvationer med variabeln x upphöjd till 2 potens).
2. Andragradsekvationer, där a = 1, expanderas till (x+d)(x+e), där d*e=c och d+e=b. Om den andragradsekvation som ges till dig har formen: x 2 + bx + c = 0 (det vill säga koefficienten för x 2 är 1), så kan en sådan ekvation (men är inte garanterad) utökas till ovanstående faktorer. För att göra detta måste du hitta två tal som, när de multipliceras, ger "c", och när de adderas, "b". När du har hittat dessa två siffror (d och e), ersätt dem med följande uttryck: (x+d)(x+e), vilket, när du öppnar parenteserna, leder till den ursprungliga ekvationen.
  - Till exempel, givet en andragradsekvation x 2 + 5x + 6 = 0. 3*2=6 och 3+2=5, så du kan faktorisera denna ekvation till (x+3)(x+2).
  - För negativa termer, gör följande mindre ändringar i faktoriseringsprocessen:
    - Om en andragradsekvation har formen x 2 -bx+c, expanderar den till: (x-_)(x-_).
    - Om en andragradsekvation har formen x 2 -bx-c, expanderar den till: (x+_)(x-_).
  - Obs: Mellanslag kan ersättas med bråktal eller decimaler. Till exempel expanderas ekvationen x 2 + (21/2)x + 5 = 0 till (x+10)(x+1/2).
3. Faktorisering genom försök och misstag. Inte komplicerat Kvadratisk ekvation kan faktoriseras genom att helt enkelt koppla in siffrorna i möjliga lösningar tills du hittar rätt beslut. Om ekvationen har formen ax 2 +bx+c, där a>1, skrivs möjliga lösningar på formen (dx +/- _)(ex +/- _), där d och e är numeriska koefficienter som inte är noll , som vid multiplikation ger a. Antingen d eller e (eller båda koefficienterna) kan vara lika med 1. Om båda koefficienterna är lika med 1, använd metoden som beskrivs ovan.
  - Till exempel med tanke på ekvationen 3x 2 - 8x + 4. Här har 3 bara två faktorer (3 och 1), så möjliga lösningar skrivs som (3x +/- _)(x +/- _). I det här fallet, genom att ersätta mellanslag med -2, hittar du det korrekta svaret: -2*3x=-6x och -2*x=-2x; - 6x+(-2x)=-8x och -2*-2=4, det vill säga en sådan expansion när man öppnar parenteserna kommer att leda till termerna i den ursprungliga ekvationen.
4. Hel kvadrat. I vissa fall kan andragradsekvationer faktoriseras snabbt och enkelt med hjälp av en speciell algebraisk identitet. Vilken andragradsekvation som helst av formen x 2 + 2xh + h 2 = (x + h) 2. Det vill säga om koefficienten b i din ekvation är lika med två gånger roten ur från koefficienten c, så kan din ekvation utökas till (x + (kV.root(c))) 2 .
  - Till exempel, givet ekvationen x 2 + 6x + 9. Här 3 2 =9 och 3*2=6. Därför expanderas denna ekvation till (x+3)(x+3) eller (x + 3) 2.
5. Använd factoring för att lösa andragradsekvationer. Genom att faktorisera ekvationen kan du ställa in varje faktor lika med noll och beräkna värdet på x (genom att lösa en ekvation menar vi att hitta värdena på x för vilka ekvationen är noll).
  - Låt oss återgå till ekvationen x 2 + 5x + 6 = 0. Denna ekvation är faktoriserad (x+3)(x+2)=0. Om en av faktorerna är 0, så är hela ekvationen 0. Därför skriver vi: (x+3)=0 och (x+2)=0 och hittar x=-3 respektive x=-2.
6. Kontrollera svaret (vissa svar kan vara felaktiga). För att göra detta, ersätt de hittade x-värdena i den ursprungliga ekvationen. Ibland, när man ersätter de hittade värdena, är den ursprungliga ekvationen inte lika med noll; detta betyder att sådana värden på x är felaktiga.
  - Byt till exempel ut x=-2 och x=-3 med x 2 + 5x + 6 = 0. Byt först ut x=-2:
    - (-2) 2 + 5(-2) + 6 = 0
    - 4 + -10 + 6 = 0
    - 0 = 0. Det vill säga, x=-2 är det rätta svaret.
  - Ersätt nu x=-3:
    - (-3) 2 + 5(-3) + 6 = 0
    - 9 + -15 + 6 = 0
    - 0 = 0. Det vill säga x=-3 är det rätta svaret.
Att expandera polynom för att få en produkt kan ibland verka förvirrande. Men det är inte så svårt om du förstår processen steg för steg. Artikeln beskriver i detalj hur man faktorisera ett kvadratiskt trinomium.
Många människor förstår inte hur man faktorisera ett kvadratiskt trinomium, och varför detta görs. Till en början kan det verka som en meningslös övning. Men i matematik görs ingenting för ingenting. Omvandlingen är nödvändig för att förenkla uttrycket och beräkningen.
Ett polynom av formen – ax²+bx+c, kallas ett kvadratiskt trinomium. Termen "a" måste vara negativ eller positiv. I praktiken kallas detta uttryck för en andragradsekvation. Därför säger de det ibland annorlunda: hur man utökar en andragradsekvation.
Intressant! Ett polynom kallas en kvadrat på grund av dess största grad, kvadraten. Och en trinomial - på grund av de 3 komponenterna.

Några andra typer av polynom:
- linjär binomial (6x+8);
- kubiskt kvadrinom (x³+4x²-2x+9).
Faktorering av ett kvadratiskt trinomium
Först är uttrycket lika med noll, sedan måste du hitta värdena för rötterna x1 och x2. Det kanske inte finns några rötter, det kan finnas en eller två rötter. Förekomsten av rötter bestäms av diskriminanten. Du måste kunna dess formel utantill: D=b²-4ac.
Om resultatet D är negativt finns det inga rötter. Om det är positivt, finns det två rötter. Om resultatet är noll är roten ett. Rötterna beräknas också med hjälp av formeln.
Om resultatet är noll vid beräkning av diskriminanten kan du använda någon av formlerna. I praktiken är formeln helt enkelt förkortad: -b / 2a.
Formler för olika betydelser diskriminanter skiljer sig åt.
Om D är positivt:
Om D är noll:
Miniräknare online
På Internet finns det kalkylator online. Den kan användas för att utföra faktorisering. Vissa resurser ger möjlighet att se lösningen steg för steg. Sådana tjänster hjälper till att bättre förstå ämnet, men du måste försöka förstå det väl.
Användbar video: Factoring av ett kvadratiskt trinomium

Exempel
Vi föreslår att du tittar på enkla exempel på hur man faktoriserar en andragradsekvation.
Exempel 1
Detta visar tydligt att resultatet är två x eftersom D är positivt. De måste ersättas i formeln. Om rötterna visar sig vara negativa ändras tecknet i formeln till det motsatta.
Vi känner till nedbrytningsformeln kvadratisk trinomial med faktorer: a(x-x1)(x-x2). Vi sätter värdena inom parentes: (x+3)(x+2/3). Det finns inget tal före en term i en potens. Det betyder att det finns en där, den går ner.
Exempel 2
Detta exempel visar tydligt hur man löser en ekvation som har en rot.
Vi ersätter det resulterande värdet:
Exempel 3
Givet: 5x²+3x+7
Låt oss först beräkna diskriminanten, som i tidigare fall.
D=9-4*5*7=9-140= -131.
Diskriminanten är negativ, vilket betyder att det inte finns några rötter.
Efter att ha mottagit resultatet bör du öppna fästena och kontrollera resultatet. Det ursprungliga trinomialet ska visas.
Alternativ lösning
Vissa människor kunde aldrig bli vänner med diskriminatorn. Det finns ett annat sätt att faktorisera ett kvadratiskt trinomium. För enkelhetens skull visas metoden med ett exempel.
Givet: x²+3x-10
Vi vet att vi bör få 2 parenteser: (_)(_). När uttrycket ser ut så här: x²+bx+c sätter vi i början av varje parentes x: (x_)(x_). De återstående två siffrorna är produkten som ger "c", dvs i detta fall -10. Det enda sättet att ta reda på vilka siffror dessa är är genom urval. De ersatta talen måste motsvara den återstående termen.
Till exempel, multiplicera följande tal ger -10:
- -1, 10;
- -10, 1;
- -5, 2;
- -2, 5.
1. (x-1)(x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10. Nej.
2. (x-10)(x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10. Nej.
3. (x-5)(x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10. Nej.
4. (x-2)(x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10. Passar.
Det betyder att omvandlingen av uttrycket x2+3x-10 ser ut så här: (x-2)(x+5).
Viktig! Du bör vara försiktig så att du inte förväxlar tecknen.

Expansion av ett komplext trinomium
Om "a" är större än ett börjar svårigheterna. Men allt är inte så svårt som det verkar.
För att faktorisera måste du först se om något kan faktoriseras.
Till exempel, givet uttrycket: 3x²+9x-30. Här tas siffran 3 ur parentes:
3(x²+3x-10). Resultatet är det redan välkända trinomialet. Svaret ser ut så här: 3(x-2)(x+5)
Hur bryts ner om termen som finns i kvadraten är negativ? I det här fallet tas siffran -1 ut från parentes. Till exempel: -x²-10x-8. Uttrycket kommer då att se ut så här:
Systemet skiljer sig lite från det tidigare. Det finns bara några nya saker. Låt oss säga att uttrycket är givet: 2x²+7x+3. Svaret skrivs också inom 2 parenteser som måste fyllas i (_)(_). I 2:a parentes skrivs x, och i 1:a vad som är kvar. Det ser ut så här: (2x_)(x_). Annars upprepas det tidigare schemat.
Siffran 3 ges av siffrorna:
- -1, -3;
- -3, -1;
- 3, 1;
- 1, 3.
Vi löser ekvationer genom att ersätta dessa tal. Det sista alternativet är lämpligt. Det betyder att transformationen av uttrycket 2x²+7x+3 ser ut så här: (2x+1)(x+3).
Andra fall
Det är inte alltid möjligt att konvertera ett uttryck. Med den andra metoden krävs inte att lösa ekvationen. Men möjligheten att omvandla termer till en produkt kontrolleras endast genom diskriminanten.
Det är värt att öva på att lösa andragradsekvationer så att det inte finns några svårigheter när man använder formlerna.
Användbar video: faktorisering av ett trinomial

Slutsats
Du kan använda den på vilket sätt som helst. Men det är bättre att träna båda tills de blir automatiska. Det är också nödvändigt att lära sig hur man löser andragradsekvationer och faktorpolynom för dem som planerar att koppla ihop sina liv med matematik. Alla följande matematiska ämnen bygger på detta.
I kontakt med
- 1. Inställning av den gemensamma faktorn och grupperingsmetoden. I vissa fall är det tillrådligt att ersätta vissa villkor med summan (skillnaden) av liknande villkor eller införa ömsesidigt upphävande villkor.
- 2. Använda förkortade multiplikationsformler. Ibland måste man ta faktorer ur parentes, gruppera termer, isolera en hel kvadrat och först då representera summan av kuber, skillnad av kvadrater eller skillnad av kuber som en produkt.
- 3. Använder Bezouts sats och metoden för obestämda koefficienter.
Exempel . Faktorisera:

P3(x)= x3 +4x2 +5x+2;

Eftersom P 3 (-1) = 0, är polynomet P 3 (x) delbart med x+1. Med metoden för obestämda koefficienter hittar vi kvoten för divisionen av polynomet

P 3 (x)= x 3 +4x 2 +5x+2 med binomialen x+1.

Låt kvoten vara ett polynom x 2 +. Eftersom x 3 +4x 2 +5x+2=(x+1)·(x 2 +)=

X 3 +(+1) x 2 +() x+, vi får systemet:

Var. Därför är P3(x)=(x+1)·(x2+3x+2).

Eftersom x 2 +3x+2=x 2 +x+2x+2=x·(x+1)+2·(x+1)=(x+1)·(x+2), så P 3 (x )=(x+1) 2·(x+2).

4. Användning av Bezouts sats och kolumnindelning.

Exempel . Faktorisera

P4(x) = 5 x 4 +9 x 3-2 x 2-4 x -8.

Lösning . Eftersom P 4 (1) = 5+9-2-4-8 = 0, så divideras P 4 (x) med (x-1). Dela efter kolumn för att hitta kvoten

Därav,

P 4 (x) = (x-)·(5 x 3 +14x 2 +12x+8)=

= (x-1) -P3 (x).

Eftersom P 3 (-2) = -40+56-24+8=0, så är polynomet P 3 (x) = 5 x 3 +14x 2 +12x+8 delbart med x+2.

Låt oss hitta kvoten genom att dividera med en kolumn:

Därav,

P3(x) = (x+2)·(5 x 2 +4x+4).

Eftersom diskriminanten för det kvadratiska trinomiet 5 x 2 +4x+4 är D = -24<0, то этот

ett kvadrattrinomial kan inte faktoriseras till linjära faktorer.

Så, P 4 (x) = (x-1) (x+2) (5 x 2 +4x+4)

5. Använder Bezouts teorem och Horners schema. Den kvot som erhålls med dessa metoder kan faktoriseras på något annat sätt eller på samma sätt.

Exempel . Faktorisera:

P3(x) = 2 x 3-5 x 2 -196 x+99;

Lösning .

Om ett givet polynom har rationella rötter, kan de bara vara bland talen 1/2, 1, 3/2, 3, 9/2, 11/2, 9, 33, 99, 11.

För att hitta roten till detta polynom använder vi följande påstående:

Om i ändarna av ett visst segment värdena för ett polynom har olika tecken, då på intervallet (a; b) det finns åtminstone en rot av detta polynom.

För ett givet polynom är P 3 (0) = 99, P 3 (1) = - 100. Följaktligen finns det på intervallet (0; 1) åtminstone en rot av detta polynom. Därför, bland de 24 siffrorna skrivna ovan, är det lämpligt att först kontrollera de siffror som hör till intervallet

(0; 1). Av dessa siffror är det bara numret som hör till detta intervall.

Värdet av P 3 (x) vid x = 1/2 kan hittas inte bara genom direkt substitution, utan också på andra sätt, till exempel genom att använda Horners schema, eftersom P() är lika med resten av att dividera polynomet P (x) av x-. Dessutom är denna metod i många exempel att föredra, eftersom koefficienterna för kvoten också hittas samtidigt.

Genom att använda Horners schema för detta exempel får vi:

Eftersom P 3 (1/2) = 0, då är x = 1/2 roten till polynomet P 3 (x), och polynomet P 3 (x) är delbart med x-1/2, dvs. 2 x 3 -5 x 2 -196 x+99 =(x-1/2) (2 x 2 -4 x-198).

Eftersom 2 x 2 -4 x-198 = 2 (x 2 -2 x+1-100) = 2 ((x-1) 2 -10 2) = 2 (x+9) (x-11), då

P3 (x) = 2 x 3 -5 x 2 -196 x+99 = 2 (x-1/2) (x+9) (x-11).

Begreppet en polynomring

Låta TILL Och L kommutativa ringar

Definition 1 : Ring TILL kallas en enkel ringförlängning K med hjälp av element x och skriv:

L=K[x], om följande villkor är uppfyllda:

subring av ringen

Kärna set K[x] betecknas med symboler L, K[x].

Definition 2 : Enkel förlängning L=K[x] ringar K genom att använda x- enkel transcendental förlängning av ringen K genom att använda x, om följande villkor är uppfyllda:

subring av ringen

Om då

Definition 3 : Element x kallas transcendental över ringen K, om villkoret är uppfyllt: , om, då

Erbjudande. Låta K[x] enkel transcendental förlängning. Om och var då

Bevis . Genom villkor, subtrahera det andra från det första uttrycket, får vi: eftersom elementet x transcendental över K, från (3) får vi:.

Slutsats. Vilket element som helst i en enkel transcendental förlängning av en kommutativ ring som inte är noll K använder element x medger en unik representation som en linjär kombination av heltals icke-negativa potenser av ett element x

Definition: Polynomring från det okända xöver en ring som inte är noll K kallas en enkel transcendental förlängning av en kommutativ ring som inte är noll K använder element x.

Sats . För alla kommutativa ringar som inte är noll K, det finns en enkel transcendental förlängning av det med hjälp av elementet x, k[x]

Operationer på polynom

Låt k[x] vara ringen av polynom i en kommutativ ring som inte är noll K

Definition 1: Polynom f och g som hör till k[x] kallas lika och skriver f = g om alla koefficienterna för polynomen f och g som står vid samma potenser av det okända är lika x.

Följd . När man skriver ett polynom är ordningen på termerna inte viktig. Att lägga till och utesluta termer med en nollkoefficient från notationen för ett polynom kommer inte att ändra polynomet.

Definition 2. Summan av polynomen f och g är polynomet f + g, definierat av likheten:

Definition 3 : - produkten av polynom, betecknad med regeln:

Grad av polynom

Låt vara en kommutativ ring. k[x] ring av polynom över fältet K : ,

Definition : Låta vara vilket polynom som helst. Om, så är ett icke-negativt heltal n graden av polynom f. I det här fallet skriver de n=grader f.

Siffrorna är koefficienterna för polynomet, där är den ledande koefficienten.

Om, f- normaliserad. Graden av nollpolynomet är odefinierad.

Egenskaper för graden av ett polynom

K- område av integritet

Bevis :

Sedan och. TILL- område av integritet.

Följd 1 : k[x] över fältet TILL(området av integritet) i sin tur är området för integritet. För alla områden av integritet finns det ett område med särdrag.

Följd 2 : För valfri k[x] över integritetsregionen TILL det finns ett fält av privata.

Division med binomial och polynomets rötter.

Låt elementet kallas värdet på polynomet f från argumentet.

Bezouts teorem : För alla polynom och element finns det ett element: .

Bevis : Låta vara vilket polynom som helst

Följd : Resten när man dividerar ett polynom med är lika med.

Definition : Elementet kallas polynomets rot f, Om.

Sats : Låt elementet vara roten f om och bara om det delar sig f

Bevis:

Förnödenheter. Låt det följa av Bezouts teorem att det följer av delbarhetens egenskaper

Tillräcklighet. Låt det vara. etc.

Det maximala antalet rötter för ett polynom över integritetsområdet.

Sats : Låt k vara integritetsregionen. Antal rötter i ett polynom f på integritetsområdet k inte mer än en examen n polynom f.

Bevis :

Genom induktion på graden av ett polynom. Låt polynomet f har noll rötter och överstiger inte deras antal.

Låt satsen bevisas för vem som helst.

Låt oss visa att från punkt 2 följer sanningen i satsen för polynom.

Låt och, två fall är möjliga:
- A) Polynom f har inga rötter, därför är påståendet om satsen sant.
- B) Polynom f har åtminstone en rot, enligt Bezouts teorem, sedan k- område av integritet, sedan av egenskap 3 (grad av polynom), det följer att
Därför att, k- område av integritet.

Alltså är alla rötter i ett polynom rötter till polynomet g eftersom, genom induktionshypotesen, antalet av polynomets alla rötter g inte mer n, därav, f har inte mer ( n+ 1) rot.

Följd : Låt k- område av integritet, om antalet rötter av polynomet f mer antal n, var då f- noll polynom.

Algebraisk och funktionell likhet mellan polynom

Låt vara något polynom, det definierar någon funktion

i allmänhet kan vilket polynom som helst definiera en funktion.

Sats : Låt k- område av integritet, alltså för likhet mellan polynom och likhet (identisk likhet ()) definierad av och.

Bevis :

Förnödenheter. Låt och vara området för integritet, .

Låt det vara, alltså

Tillräcklighet. Låt oss låtsas som det. Låt oss överväga, eftersom k område av integritet, sedan polynomet h har antalet rötter, följer det av följden att h noll polynom. Alltså osv.

Delbarhetssats med resten

Definition : Euklidisk ring K Detta område av integritet kallas k, att en funktion är definierad på setet h, acceptera icke-negativa heltalsvärden och uppfyller villkoret

Processen att hitta element för givna element kallas division med rest, - ofullständig kvot, - återstod av division.

Låta vara en ring av polynom över ett fält.

Sats (om division med rest) : Låta vara en ring av polynom över ett fält och ett polynom det finns ett unikt par polynom så att villkoret eller är uppfyllt. eller

Bevis : Förekomsten av ett polynom. Låt det vara, alltså. Satsen är sann, uppenbarligen, om - noll eller, sedan eller. Låt oss bevisa satsen när. Vi kommer att utföra beviset genom induktion på graden av polynomet, vi kommer att anta att satsen har bevisats (förutom unikhet) för polynomet. Låt oss visa att i detta fall gäller satsen. Låt oss verkligen vara den ledande koefficienten för polynomet, därför kommer polynomet att ha samma ledande koefficient och samma grad som polynomet, därför kommer polynomet att ha eller är ett nollpolynom. Om, alltså, vid och vi får. Om, då genom induktiv hypotes alltså, det vill säga när vi erhåller eller. Existensen av polynomet är bevisat.

Låt oss visa att ett sådant par polynom är unikt.

Låt det existera eller subtrahera: . Det finns två möjliga fall: antingen.

På andra sidan. Enligt examensvillkoret, antingen, eller.

Om. Därmed erhålls en motsägelse. Det unika har bevisats.

Följd 1 : Ringen av polynom över ett fält är euklidiskt rum.

Följd 2 : Ringen av polynom över, är ringen av huvudideal (alla ideal har en unik generator)

Varje euklidisk ring är faktoriell: En polynomring över kallas en faktoriell ring.

Euklids algoritm. GCD för två polynom

Låt ringen av polynom vara över.

Definition 1 : Låt och, om det finns ett polynom, så är resten av divisionen lika med noll, då kallas den för polynomets divisor och betecknas: ().

Definition 2 : Den största gemensamma delaren för polynom kallas ett polynom:

och (- gemensam divisor och).

(för alla gemensamma delare och).

Den största gemensamma divisorn för polynom betecknas med gcd(;). De gemensamma divisorerna för alla polynom inkluderar alla polynom med grad noll från, det vill säga ett icke-nollfält. Det kan visa sig att två givna polynom inte har några gemensamma divisorer och inte är nollpolynom.

Definition : Om polynom inte har gemensamma divisorer som inte är polynom med grad noll, så kallas de coprime.

Lemma : Om polynom från över ett fält håller, så är den största gemensamma divisorn för polynomen den associerade gcd. ~

Spela in ( a~b) betyder att (och) per definition.

Bevis : Låt det vara

och av detta följer att vi lär att det är den gemensamma divisorn för polynomet och.

gemensam divisor och, vi får

Euklids algoritm

I föregående lektion studerade vi multiplicera ett polynom med ett monom. Till exempel, produkten av ett monomer a och ett polynom b + c hittas enligt följande:

a(b + c) = ab + bc

Men i vissa fall är det bekvämare att utföra den omvända operationen, vilket kan kallas att ta den gemensamma faktorn ur parentes:

ab + bc = a(b + c)

Låt oss till exempel behöva beräkna värdet på polynomet ab + bc för värdena för variablerna a = 15,6, b = 7,2, c = 2,8. Om vi ersätter dem direkt i uttrycket får vi

ab + bc = 15,6 * 7,2 + 15,6 * 2,8

ab + bc = a(b + c) = 15,6 * (7,2 + 2,8) = 15,6 * 10 = 156

I det här fallet representerade vi polynomet ab + bc som produkten av två faktorer: a och b + c. Denna åtgärd kallas att faktorisera ett polynom.

Dessutom kan var och en av de faktorer som polynomet expanderas till i sin tur vara ett polynom eller ett monom.

Låt oss betrakta polynomet 14ab - 63b 2. Var och en av dess ingående monomialer kan representeras som en produkt:

Det kan ses att båda polynomen har en gemensam faktor 7b. Detta innebär att den kan tas ut från parentes:

14ab - 63b 2 = 7b*2a - 7b*9b = 7b(2a-9b)

Du kan kontrollera om multiplikatorn är korrekt placerad utanför konsolerna med den omvända operationen - öppna konsolerna:

7b(2a - 9b) = 7b*2a - 7b*9b = 14ab - 63b 2

Det är viktigt att förstå att ett polynom ofta kan expanderas på flera sätt, till exempel:

5abc + 6bcd = b(5ac + 6cd) = c(5ab + 6bd) = bc(5a + 6d)

Vanligtvis försöker de extrahera, grovt sett, den "största" monomialen. Det vill säga, de expanderar polynomet så att inget mer kan tas ut ur det återstående polynomet. Alltså under nedbrytningen

5abc + 6bcd = b(5ac + 6cd)

summan av monomialer som har en gemensam faktor c står kvar inom parentes. Om vi tar ut det också, kommer det inte att finnas några gemensamma faktorer kvar inom parentes:

b(5ac + 6cd) = bc(5a + 6d)

Låt oss titta mer i detalj på hur man hittar vanliga faktorer för monomialer. Låt oss dekomponera summan

8a 3 b 4 + 12a 2 b 5 v + 16a 4 b 3 c 10

Den består av tre termer. Låt oss först titta på de numeriska oddsen framför dem. Dessa är 8, 12 och 16. I lektion 3 i årskurs 6 diskuterades ämnet GCD och algoritmen för att hitta det. Detta är den största gemensamma delaren. Du kan nästan alltid hitta den muntligt. Den numeriska koefficienten för den gemensamma multiplikatorn kommer att vara exakt GCD för de numeriska koefficienterna för termerna för polynomet. I det här fallet är siffran 4.

Därefter tittar vi på graderna av dessa variabler. I en gemensam faktor måste bokstäverna ha de minimibefogenheter som framgår av villkoren. Så variabeln a i ett polynom har graderna 3, 2 och 4 (minst 2), så den gemensamma faktorn blir en 2:a. Variabeln b har en minsta grad av 3, så den gemensamma faktorn blir b 3:

8a 3 b 4 + 12a 2 b 5 v + 16a 4 b 3 c 10 = 4a 2 b 3 (2ab + 3b 2 c + 4a 2 c 10)

Som ett resultat har de återstående termerna 2ab, 3b 2 c, 4a 2 c 10 inte en enda vanlig bokstavsvariabel, och deras koefficienter 2, 3 och 4 har inte gemensamma divisorer.

Inte bara monomial, utan även polynom kan tas ur parentes. Till exempel:

x(a-5) + 2y(a-5) = (a-5)(x+2y)

Ännu ett exempel. Det är nödvändigt att utöka uttrycket

5t(8y - 3x) + 2s(3x -8y)

Lösning. Kom ihåg att minustecknet vänder om tecknen inom parentes, alltså

-(8y - 3x) = -8y + 3x = 3x - 8y

Det betyder att vi kan ersätta (3x - 8y) med - (8y - 3x):

5t(8y - 3x) + 2s(3x - 8y) = 5t(8y - 3x) + 2*(-1)s(8y - 3x) = (8y - 3x)(5t - 2s)

Svar: (8y - 3x)(5t - 2s).

Kom ihåg att subtrahend och minuend kan bytas ut genom att ändra tecknet framför parentes:

(a - b) = - (b - a)

Det omvända är också sant: minustecknet redan framför parentesen kan tas bort genom att samtidigt byta subtrahend och minuend:

Denna teknik används ofta när man löser problem.

Grupperingsmetod

Låt oss överväga ett annat sätt att faktorisera ett polynom, vilket hjälper till att expandera polynomet. Låt det finnas ett uttryck

ab - 5a + bc - 5c

Det är omöjligt att härleda en faktor som är gemensam för alla fyra monomialerna. Du kan dock föreställa dig detta polynom som summan av två polynom, och i var och en av dem ta variabeln ur parentes:

ab - 5a + bc - 5c = (ab - 5a) + (bc - 5c) = a(b - 5) + c(b - 5)

Nu kan vi härleda uttrycket b - 5:

a(b - 5) + c(b - 5) = (b - 5)(a + c)

Vi "grupperade" den första termen med den andra och den tredje med den fjärde. Därför kallas den beskrivna metoden grupperingsmetoden.

Exempel. Låt oss expandera polynomet 6xy + ab- 2bx- 3ay.

Lösning. Det är omöjligt att gruppera den 1:a och 2:a termen, eftersom de inte har en gemensam faktor. Låt oss därför byta monomialerna:

6xy + ab - 2bx - 3ay = 6xy - 2bx + ab - 3ay = (6xy - 2bx) + (ab - 3ay) = 2x(3y - b) + a(b - 3y)

Skillnaderna 3y - b och b - 3y skiljer sig endast i variablernas ordning. I en av parenteserna kan den ändras genom att flytta ut minustecknet från parentesen:

(b - 3y) = - (3y - b)

Låt oss använda denna ersättning:

2x(3y - b) + a(b - 3y) = 2x(3y - b) - a(3y - b) = (3y - b)(2x - a)

Som ett resultat fick vi identiteten:

6xy + ab - 2bx - 3ay = (3y - b)(2x - a)

Svar: (3y - b)(2x - a)

Du kan gruppera inte bara två utan i allmänhet hur många termer som helst. Till exempel i polynomet

x 2 - 3xy + xz + 2x - 6y + 2z

vi kan gruppera de tre första och sista 3 monomierna:

x 2 - 3xy + xz + 2x - 6y + 2z = (x 2 - 3xy + xz) + (2x - 6y + 2z) = x(x - 3y + z) + 2(x - 3y + z) = (x + 2)(x - 3y + z)

Låt oss nu titta på en uppgift med ökad komplexitet

Exempel. Expandera det kvadratiska trinomialet x 2 - 8x +15.

Lösning. Detta polynom består av endast 3 monomial, och därför, som det verkar, kommer gruppering inte att vara möjlig. Du kan dock byta ut följande:

Då kan det ursprungliga trinomialet representeras enligt följande:

x 2 - 8x + 15 = x 2 - 3x - 5x + 15

Låt oss gruppera termerna:

x 2 - 3x - 5x + 15 = (x 2 - 3x) + (- 5x + 15) = x(x - 3) - 5(x - 3) = (x - 5)(x - 3)

Svar: (x- 5)(x - 3).

Naturligtvis är det inte lätt att gissa ersättningen - 8x = - 3x - 5x i exemplet ovan. Låt oss visa ett annat resonemang. Vi behöver utöka polynomet av andra graden. Som vi minns, när man multiplicerar polynom, summeras deras potenser. Det betyder att även om vi kan faktorisera ett kvadratiskt trinomium i två faktorer, kommer de att visa sig vara två polynom av 1:a graden. Låt oss skriva produkten av två polynom av första graden, vars ledande koefficienter är lika med 1:

(x + a)(x + b) = x 2 + xa + xb + ab = x 2 + (a + b)x + ab

Här betecknar vi a och b som några godtyckliga tal. För att denna produkt ska vara lika med den ursprungliga trinomialen x 2 - 8x +15, är det nödvändigt att välja lämpliga koefficienter för variablerna:

Med hjälp av urval kan vi fastställa att talen a = - 3 och b = - 5 uppfyller detta villkor.

(x - 3)(x - 5) = x 2 * 8x + 15

som kan ses genom att öppna fästena.

För enkelhetens skull betraktade vi endast fallet när de multiplicerade polynomen av 1:a graden har ledande koefficienter lika med 1. De kan dock vara lika med till exempel 0,5 och 2. I det här fallet skulle expansionen se något annorlunda ut:

x 2 * 8x + 15 = (2x - 6)(0,5x - 2,5)

Men om vi tar koefficient 2 ur den första parentesen och multiplicerar den med den andra, får vi den ursprungliga expansionen:

(2x - 6)(0,5x - 2,5) = (x - 3) * 2 * (0,5x - 2,5) = (x - 3)(x - 5)

I det aktuella exemplet utökade vi det kvadratiska trinomiet till två polynom av första graden. Vi kommer att behöva göra detta ofta i framtiden. Det är dock värt att notera att vissa kvadratiska trinomial, t.ex.

det är omöjligt att bryta ner på detta sätt till en produkt av polynom. Detta kommer att bevisas senare.

Tillämpning av faktoreringspolynom

Att faktorisera ett polynom kan göra vissa operationer lättare. Låt det vara nödvändigt att beräkna uttryckets värde

2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8 + 2 9

Låt oss ta ut siffran 2, och graden av varje term kommer att minska med en:

2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8 + 2 9 = 2(1 + 2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8)

Låt oss ange beloppet

2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8

för x. Då kan jämställdheten skriven ovan skrivas om:

x + 2 9 = 2(1 + x)

Vi har en ekvation, låt oss lösa den (se ekvationslektion):

x + 2 9 = 2(1 + x)

x + 2 9 = 2 + 2x

2x - x = 2 9 - 2

x = 512 - 2 = 510

Låt oss nu uttrycka det belopp vi letar efter i termer av x:

2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8 + 2 9 = x + 2 9 = 510 + 512 = 1022

När vi löste detta problem höjde vi talet 2 endast till 9:e potens, och alla andra exponentieringsoperationer eliminerades från beräkningarna genom att faktorisera polynomet. På samma sätt kan du skapa en beräkningsformel för andra liknande belopp.

Låt oss nu beräkna värdet på uttrycket

38.4 2 - 61.6 * 29.5 + 61.6 * 38.4 - 29.5 * 38.4

38.4 2 - 61.6 * 29.5 + 61.6 * 38.4 - 29.5 * 38.4 = 38.4 2 - 29.5 * 38.4 + 61.6 * 38.4 - 61.6 * 29.5 = 38.4(38.4 - 29.5) + 61.6(38.4 - 29.5) = (38.4 + 61.6)(38.4 - 29.5) = 8.9*100 = 890

81 4 - 9 7 + 3 12

är delbart med 73. Observera att siffrorna 9 och 81 är trepotenser:

81 = 9 2 = (3 2) 2 = 3 4

När vi vet detta, låt oss ersätta det ursprungliga uttrycket:

81 4 - 9 7 + 3 12 = (3 4) 4 - (3 2) 7 + 3 12 = 3 16 - 3 14 + 3 12

Låt oss ta ut 3 12:

3 16 - 3 14 + 3 12 = 3 12 (3 4 - 3 2 + 1) = 3 12 * (81 - 9 + 1) = 3 12 * 73

Produkten 3 12 .73 är delbar med 73 (eftersom en av faktorerna är delbar med den), därför divideras uttrycket 81 4 - 9 7 + 3 12 med detta tal.

Factoring kan användas för att bevisa identiteter. Låt oss till exempel bevisa jämlikheten

(a 2 + 3a) 2 + 2(a 2 + 3a) = a(a + 1)(a + 2)(a + 3)

För att lösa identiteten transformerar vi den vänstra sidan av jämlikheten genom att ta bort den gemensamma faktorn:

(a 2 + 3a) 2 + 2(a 2 + 3a) = (a 2 + 3a)(a 2 + 3a) + 2(a 2 + 3a) = (a 2 + 3a)(a 2 + 3a + 2 )

(a 2 + 3a)(a 2 + 3a + 2) = (a 2 + 3a)(a 2 + 2a + a + 2) = (a 2 + 3a)((a 2 + 2a) + (a + 2) ) = (a 2 + 3a)(a(a + 2) + (a + 2)) = (a 2 + 3a)(a + 1)(a + 2) = a(a + 3)(a + z) )(a + 2) = a(a + 1)(a + 2)(a + 3)

Ännu ett exempel. Låt oss bevisa att för alla värden av variablerna x och y uttrycket

(x - y)(x + y) - 2x(x - y)

är inte ett positivt tal.

Lösning. Låt oss ta ut den gemensamma faktorn x - y:

(x - y)(x + y) - 2x(x - y) = (x - y)(x + y - 2x) = (x - y)(y - x)

Observera att vi har erhållit produkten av två liknande binomialer, som endast skiljer sig åt i ordningen av bokstäverna x och y. Om vi bytte variablerna inom en av parenteserna skulle vi få produkten av två identiska uttryck, det vill säga en kvadrat. Men för att byta x och y måste du sätta ett minustecken framför konsolen:

(x - y) = -(y - x)

Då kan vi skriva:

(x - y)(y - x) = -(y - x)(y - x) = -(y - x) 2

Som du vet är kvadraten av ett tal större än eller lika med noll. Detta gäller även uttrycket (y - x) 2. Om det finns ett minus framför uttrycket måste det vara mindre än eller lika med noll, det vill säga det är inte ett positivt tal.

Polynomexpansion hjälper till att lösa vissa ekvationer. Följande påstående används:

Om en del av ekvationen innehåller noll, och den andra är en produkt av faktorer, bör var och en av dem vara lika med noll.

Exempel. Lös ekvationen (s - 1)(s + 1) = 0.

Lösning. Produkten av monomialerna s - 1 och s + 1 skrivs på vänster sida, och noll skrivs på höger sida. Därför måste noll vara lika med antingen s - 1 eller s + 1:

(s - 1)(s + 1) = 0

s - 1 = 0 eller s + 1 = 0

s = 1 eller s = -1

Var och en av de två erhållna värdena för variabeln s är en rot av ekvationen, det vill säga den har två rötter.

Svar: -1; 1.

Exempel. Lös ekvationen 5w 2 - 15w = 0.

Lösning. Låt oss ta ut 5w:

Återigen är verket skrivet på vänster sida och en nolla till höger. Låt oss fortsätta med lösningen:

5w = 0 eller (w - 3) = 0

w = 0 eller w = 3

Svar: 0; 3.

Exempel. Hitta rötterna till ekvationen k 3 - 8k 2 + 3k- 24 = 0.

Lösning. Låt oss gruppera termerna:

k 3 - 8k 2 + 3k- 24 = 0

(k 3 - 8k 2) + (3k- 24) = 0

k 2 (k - 8) + 3 (k - 8) = 0

(k 3 + 3) (k - 8) = 0

k 2 + 3 = 0 eller k - 8 = 0

k 2 = -3 eller k = 8

Observera att ekvationen k 2 = - 3 inte har någon lösning, eftersom alla kvadratiska tal inte är mindre än noll. Därför är den enda roten av den ursprungliga ekvationen k = 8.

Exempel. Hitta rötterna till ekvationen

(2u - 5)(u + 3) = 7u + 21

Lösning: Flytta alla termer till vänster och gruppera sedan termerna:

(2u - 5)(u + 3) = 7u + 21

(2u - 5)(u + 3) - 7u - 21 = 0

(2u - 5)(u + 3) - 7(u + 3) = 0

(2u - 5 - 7)(u + 3) = 0

(2u - 12)(u + 3) = 0

2u - 12 = 0 eller u + 3 = 0

u = 6 eller u = -3

Svar: - 3; 6.

Exempel. Lös ekvationen

(t 2 - 5t) 2 = 30t - 6t 2

(t 2 - 5t) 2 = 30t - 6t 2

(t 2 - 5t) 2 - (30t - 6t 2) = 0

(t 2 - 5t)(t 2 - 5t) + 6(t 2 - 5t) = 0

(t 2 - 5t)(t 2 - 5t + 6) = 0

t 2 - 5t = 0 eller t 2 - 5t + 6 = 0

t = 0 eller t - 5 = 0

t=0 eller t=5

Låt oss nu gå vidare till den andra ekvationen. Återigen har vi ett kvadratiskt trinomial. För att räkna in det i faktorer med hjälp av grupperingsmetoden måste du presentera det som en summa av 4 termer. Om du byter ut - 5t = - 2t - 3t kan du gruppera termerna ytterligare:

t 2 - 5t + 6 = 0

t 2 - 2t - 3t + 6 = 0

t(t - 2) - 3(t - 2) = 0

(t - 3)(t - 2) = 0

T - 3 = 0 eller t - 2 = 0

t=3 eller t=2

Som ett resultat fann vi att den ursprungliga ekvationen har 4 rötter.