Differentialkalkyl av funktioner för flera variabler. Differentialkalkyl av funktioner för flera variabler. Typer av differentialekvationer

Elements of Higher Algebra (8 timmar)

Tillämpa differentialkalkyl för att utforska funktioner och graf (26 timmar)

Differentialkalkyl för funktioner för en variabel

(30 timmar)

2.1. Lokala och globala egenskaper för en funktion. Egenskaper för funktioner kontinuerliga i ett intervall (Weierstrass första och andra sats och sats
Cauchy). Definition och egenskaper för en derivatfunktion. Geometrisk och mekanisk betydelse av derivator.

2.2. Derivat av en komplex funktion. Derivat invers funktion. Derivater av inverser trigonometriska funktioner. Angivna funktioner
parametriskt. Deras differentiering. Tabeller över härledda protozoer elementära funktioner. Differential och dess egenskaper.

2.3. Derivat och differentialer av högre ordning. Andra derivatan
från en funktion specificerad parametriskt. Derivata av en vektorfunktion och
henne geometrisk betydelse. Ökande (minskande) funktion vid en punkt.
Satser för Rolle, Lagrange, Cauchy. Följder av Lagranges sats.
Att hitta lokala och globala extrema funktioner. Avslöjande
osäkerheter enligt L'Hopitals regel.

3.1. Formel och Taylor-serien. Binomialsatsen. Taylor formler för elementära funktioner. Funktionens konvexitet. Böjningspunkter. Asymptoter för funktionen. Rita funktionsdiagram.

3.2 Vektorfunktioner för ett skalärt argument och deras differentiering.
Mekanisk och geometrisk betydelse av derivata. Ekvationer för en tangentlinje och ett normalplan.

3.3 Krökning och krökningsradie för en plan kurva.

4.1. Komplexa tal, operationer på dem. Bildkomplex
siffror på planet. Geometrisk betydelse. Modul och argument för ett komplext tal. Algebraiska och trigonometriska former av komplexa tal. Eulers formel.

4.2. Polynom. Bezouts teorem. Grundsats för algebra. Sönderfall
polynom med reella koefficienter för linjära och kvadratiska faktorer. Nedbrytning av rationella bråk till deras enklaste bråk.

variabler (20 timmar)

5.1. Domän. Funktionsgräns, kontinuitet. Differentieringsbarhet av funktioner av flera variabler, partiella derivator och
total differential, samband med partiella derivator. Derivat
från komplexa funktioner. Invarians av formen av en total differential.
Derivater av en implicit funktion.

5.2. Tangentplan och normal mot ytan. Geometrisk
betydelsen av den totala differentialen för en funktion av två variabler.

5.3. Partiella derivator av högre ordning. Sats om oberoendet av differentieringsresultatet från differentieringsordningen. Differentialer av högre ordning.

5.4. Krökning och vridning av en rumslig kurva. Frenets formler.

5.5. Taylors formel för en funktion av flera variabler. Extremer
funktioner av flera variabler. Nödvändiga och tillräckliga förutsättningar för ett extremum. Villkorligt extremum. De största och minsta värdena av funktioner i en sluten region. Lagrange multiplikatormetod.
Exempel på tillämpningar vid sökning efter optimala lösningar.

En förlängning av variabelfunktionskalkyl är multivariatanalys, där differentialkalkyl av funktioner för flera variabler– funktioner som integrerar och differentierar påverkar inte en utan flera variabler.

Differentialberäkning av funktioner för flera variabler involverar följande typiska operationer:

1. Kontinuitet och gränser.

Studiet av kontinuitet och gränser i flerdimensionella utrymmen leder till många patologiska och ologiska resultat som inte är karakteristiska för en funktion av en variabel. Till exempel finns det skalära funktioner av två variabler som har punkter i definitionsdomänen som ger en specifik gräns när man närmar sig längs en rät linje, men när man närmar sig längs en parabel ger de en helt annan gräns. Funktionen tenderar till noll när den passerar längs en rät linje som passerar genom origo. På grund av att gränserna inte sammanfaller längs olika banor finns det ingen enskild gräns.

Som variablerna x tenderar har funktionen en gräns vid ett visst antal. Om gränsvärdet för en funktion vid en viss punkt existerar och är lika med funktionens partiella värde, så kallas en sådan funktion kontinuerlig vid den punkten. Om en funktion är kontinuerlig på en uppsättning punkter, kallas den kontinuerlig på en uppsättning punkter.

2. Hitta den partiella derivatan.

Den partiella derivatan av flera variabler betyder derivatan av en variabel, och alla andra variabler betraktas som konstanter.

3. Multipel integration.

En multipelintegral utökar begreppet en integral till funktioner av många variabler. För att beräkna volymer och arealer av regioner i rymden och plan, används dubbla och trippelintegraler. Enligt Tonelli-Fubini-satsen kan en multipelintegral också beräknas som en itererad integral.

Allt detta möjliggör differentialberäkning av funktioner för flera variabler.

Tangentplan till ytan z = f(x, y) Z - z = p(X - x) + q(Y - y) , där X, Y, Z är nuvarande koordinater; x, y, z - koordinater för beröringspunkten;
Normal till ytan F(x, y, z) = 0 vid punkten M(x, y, z)

X-x
F	" x

Lukhov Yu.P. Föreläsningsanteckningar om högre matematik. 6

Föreläsning 22

ÄMNE: Differentialkalkyl av funktioner för flera variabler y x

Planen.

Differentiering av komplexa funktioner. Invarians av differentialens form.
Implicita funktioner, förutsättningar för deras existens. Differentiering av implicita funktioner.
Partiella derivator och differentialer av högre ordning, deras egenskaper.*
Tangentplan och normal mot ytan. Geometrisk betydelse av differential. Taylors formel för en funktion av flera variabler.*
Derivat av en funktion med avseende på riktning. Gradient och dess egenskaper.

Differentiera komplexa funktioner

Låt funktionen argumentera z = f (x, y) u och v: x = x (u, v), y = y (u, v). Sedan funktionen f det finns också en funktion från u och v. Låt oss ta reda på hur man hittar dess partiella derivator med avseende på argumenten du och v, utan att göra ett direkt utbyte z = f(x(u, v), y(u, v)). I det här fallet kommer vi att anta att alla funktioner som övervägs har partiella derivator med avseende på alla deras argument.

Låt oss sätta argumentet u ökar Δ u, utan att ändra argumentet v. Sedan

. (16. 1 )

Om du ställer in ökningen endast på argumentet v, vi får:

. (16. 2 )

Låt oss dela upp båda sidor av jämlikhet (16. 1) på Δ u, och likheter (16.2) på Δ v och flytta till gränsen, respektive, vid Δ u → 0 och Δv → 0. Låt oss ta hänsyn till att på grund av kontinuiteten i funktioner x och y. Därav,

(16. 3 )

Låt oss överväga några speciella fall.

Låt x = x(t), y = y(t). Sedan funktionen f(x, y) är faktiskt en funktion av en variabel t , och du kan använda formlerna ( 43 ) och ersätter de partiella derivaten i dem x och y av u och v till vanliga derivat med avseende på t (naturligtvis förutsatt att funktionerna är differentierbara x(t) och y(t) ), få ett uttryck för:

(16. 4 )

Låt oss nu anta att som t fungerar som en variabel x, det vill säga x och y relaterad av relationen y = y (x). I det här fallet, liksom i föregående fall, funktionen f x. Använder formeln (16.4) med t = x och givet det får vi det

. (16. 5 )

Låt oss uppmärksamma det faktum att denna formel innehåller två derivator av funktionen f genom argument x : till vänster är den sktotalt derivat, till skillnad från den privata till höger.

Exempel.

Låt z = xy, där x = u² + v, y = uv ². Låt oss hitta och. För att göra detta beräknar vi först de partiella derivatorna av de tre givna funktionerna för vart och ett av deras argument:

Sedan får vi från formel (16.3):

(I slutresultatet ersätter vi uttryck med x och y som funktioner av u och v).

Låt oss hitta den fullständiga derivatan av funktionen z = sin (x + y²), där y = cos x.

Invarians av differentiell form

Använd formlerna (15.8) och (16. 3 ), uttrycker vi den fullständiga differentialen för funktionen

z = f (x, y), där x = x (u, v), y = y (u, v), genom differentialer av variabler u och v:

(16. 6 )

Därför bevaras differentialformen för argument u och v samma som för funktionerna i dessa argument x och y , det vill säga oföränderlig (oföränderlig).

Implicita funktioner, förutsättningar för deras existens

Definition. Funktion y för x definieras av ekvationen

F (x, y) = 0, (16,7)

kallad implicit funktion.

Naturligtvis inte varje forms ekvation ( 16.7) bestämmer y som en unik (och dessutom kontinuerlig) funktion av X . Till exempel ellipsens ekvation

sätter y som en tvåvärdig funktion av X : För

Villkoren för existensen av en unik och kontinuerlig implicit funktion bestäms av följande teorem:

Sats 1 (inget bevis). Låt vara:

funktion F(x, y) definierad och kontinuerlig i en viss rektangel centrerad vid punkten ( x 0, y 0);
F (xO, yo) = 0;
vid konstant x F (x, y) monotont ökar (eller minskar) med ökande y .

Sedan

a) i någon närhet av punkten ( x 0, y 0) ekvation (16.7) bestämmer y som en envärdig funktion av x: y = f(x);

b) vid x = x 0 denna funktion tar värdet yo: f (x 0) = yo;

c) funktionen f (x) är kontinuerlig.

Låt oss hitta, om de angivna villkoren är uppfyllda, derivatan av funktionen y = f(x) i x.

Sats 2. Låt y vara en funktion av x ges implicit av ekvationen ( 16.7), där funktionen F (x, y) uppfyller villkoren för sats 1. Låt dessutom,- kontinuerliga funktioner inom något område D som innehåller en punkt(x,y), vars koordinater uppfyller ekvationen ( 16.7 ), och vid denna tidpunkt
. Sedan funktionen y för x har en derivata

(16.8 )

Bevis.

Låt oss välja något värde X och dess motsvarande betydelse y . Låt oss sätta x inkrement Δ x, sedan funktionen y = f (x) kommer att få en ökning Δ y . I detta fall är F (x, y) = 0, F (x + Δ x, y + Δ y) = 0, därför F (x + Δ x, y + Δ y) F (x, y) = 0. Till vänster i denna likhet är hela ökningen av funktionen F(x, y), som kan representeras som ( 15.5 ):

Dela båda sidor av den resulterande likheten med Δ X , låt oss uttrycka från det: .

I gränsen kl
, givet att Och
, vi får: . Teoremet har bevisats.

Exempel. Vi hittar det om. Låt oss hitta.

Sedan från formeln ( 16.8) får vi: .

Derivat och differentialer av högre ordning

Partiella derivata funktioner z = f (x, y) är i sin tur funktioner av variabler x och y . Därför kan man hitta deras partiella derivator med avseende på dessa variabler. Låt oss beteckna dem så här:

Således erhålls fyra partiella derivator av 2:a ordningen. Var och en av dem kan särskiljas igen efter x och y och få åtta partiella derivator av 3:e ordningen osv. Låt oss definiera derivator av högre ordning enligt följande:

Definition . Partiell derivata n:e ordningen en funktion av flera variabler kallas förstaderivatan av derivatan ( n 1):e ordningen.

Partiella derivat har viktig egendom: resultatet av differentiering beror inte på differentieringsordningen (till exempel).

Låt oss bevisa detta påstående.

Sats 3. Om funktionen z = f (x, y) och dess partiella derivat
definierad och kontinuerlig vid en punkt M(x,y) och i en del av dess närhet, då vid denna tidpunkt

(16.9 )

Bevis.

Låt oss titta på uttrycket och introducera en hjälpfunktion. Sedan

Av villkoren för satsen följer att den är differentierbar på intervallet [ x, x + Ax ], så Lagranges teorem kan appliceras på det: var

[x, x + Δ x ]. Men sedan i närheten av punkten M definierad, differentierbar på intervallet [ y, y + Δy ], därför kan Lagranges sats återigen appliceras på den resulterande skillnaden: , där Då

Låt oss ändra ordningen på termerna i uttrycket för A:

Och vi introducerar en annan hjälpfunktion, och sedan genom att utföra samma transformationer som för, får vi det där. Därav,

På grund av kontinuitet och. Därför går vi till gränsen när vi får det, som krävs för att bevisas.

Följd. Denna egenskap gäller för derivator av valfri ordning och för funktioner av valfritt antal variabler.

Högre ordningsskillnader

Definition . Andra ordningens differential funktionen u = f (x, y, z) anropas

På liknande sätt kan vi definiera differentialer av tredje och högre ordning:

Definition . Beställningsdifferential k kallas den totala differentialen för ordningsskillnaden ( k 1): d ku = d (d k - 1 u).

Egenskaper för differentialer av högre ordning

k Den e differentialen är ett homogent heltalspolynom av grad k med avseende på differentialer av oberoende variabler, vars koefficienter är partiella derivator k ordningen, multiplicerad med heltalskonstanter (samma som med vanlig exponentiering):

Ordningsdifferentialer högre än den första är inte invarianta med avseende på valet av variabler.

Tangentplan och normal mot ytan. Geometrisk betydelse av differential

Låt funktionen z = f (x, y) är differentierbar i närheten av punkten M (x 0, y 0) . Då är dess partiella derivator vinkelkoefficienterna för tangenterna till ytans skärningslinjer z = f (x, y) med planen y = y 0 och x = x 0 , som kommer att tangera själva ytan z = f(x, y). Låt oss skapa en ekvation för planet som passerar genom dessa linjer. Tangentriktningsvektorerna har formen (1; 0; ) och (0; 1; ), så normalen till planet kan representeras som deras vektorprodukt: n = (-,-, 1). Därför kan ekvationen för planet skrivas som följer:

, (16.10 )

där z 0 = .

Definition. Planet definierat av ekvationen ( 16.10 ), kallas tangentplanet till grafen för funktionen z = f (x, y) vid en punkt med koordinater(x 0, y 0, z 0).

Från formeln (15.6 ) för fallet med två variabler följer att ökningen av funktionen f i närheten av en punkt M kan representeras som:

Eller

(16.11 )

Följaktligen är skillnaden mellan applikationerna av grafen för en funktion och tangentplanet en infinitesimal av högre ordning änρ, för ρ→ 0.

I detta fall funktionsskillnaden f har formen:

vilket motsvarar ökningen av tangentplanets applikat till grafen för funktionen. Detta är den geometriska betydelsen av differentialen.

Definition. Vektor som inte är noll vinkelrät mot tangentplanet vid en punkt M (x 0, y 0) yta z = f (x, y) , kallas normalen till ytan vid denna punkt.

Det är bekvämt att ta vektorn -- n = (,-1).

z = f(x,y)

M 0 (x 0 , y 0 , z 0 )

M (x 0 , y 0 )

Exempel.

Låt oss skapa en ekvation för tangentplanet till ytan z = xy vid punkten M (1; 1). När x 0 = y 0 = 1 z 0 = 1; . Därför ges tangentplanet av ekvationen: z = 1 + (x 1) + (y 1), eller x + y z 1 = 0. I detta fall har normalvektorn vid en given punkt på ytan formen: n = (1; 1; -1).

Låt oss hitta ökningen av applikationen av grafen för funktionen och tangentplanet när vi flyttar från punkten M till punkt N (1,01; 1,01).

Az = 1,012 - 1 = 0,0201; Δ z cas = (1,01 + 1,01 1) (1 + 1 1) = 0,02. Därav,

dz = Az cas = 0,02. I detta fall är Δ z dz = 0,0001.

Taylors formel för en funktion av flera variabler

Som bekant, funktionen Med) med förbehåll för förekomsten av dess orderderivat n +1 kan utökas med Taylor-formeln med en restterm i Lagrange-form (se formler (21), (2) 5 )). Låt oss skriva denna formel i differentialform:

(16.1 2 )

Var

I denna form kan Taylors formel utvidgas till fallet med en funktion av flera variabler.

Betrakta en funktion av två variabler f(x, y) , har punkter i grannskapet ( x 0, y 0 ) kontinuerliga derivat med avseende på ( n + 1):e ordningen inklusive. Låt oss sätta argumenten x och y några steg Δ x och Δy och överväga en ny oberoende variabel t:

(0 ≤ t ≤ 1). Dessa formler anger ett rakt linjesegment som förbinder punkterna ( x 0, y 0) och (x 0 + Δ x, y 0 + Δ y ). Då istället för att öka Δ f (x 0 , y 0 ) man kan överväga att öka hjälpfunktionen

F(t) = f (x 0 + t Δ x, y 0 + t Δ y), (16,1 3)

lika med ΔF (0) = F (1) F (0). Men F(t) är en funktion av en variabel t , därför är formel (16.1) tillämplig på den 2). Vi får:

Observera att för linjär Under förändringar av variabler har differentialer av högre ordning egenskapen invarians, det vill säga

Ersätter dessa uttryck med (16.1 2), får vi Taylors formel för en funktion av två variabler:

, (16.1 4 )

där 0< θ <1.

Kommentar.I differentialform ser Taylors formel för fallet med flera variabler ganska enkel ut, men i expanderad form är den väldigt krånglig. Till exempel, även för en funktion av två variabler, ser dess första termer ut så här:

Riktningsderivat. Lutning

Låt funktionenu = f (x, y, z) kontinuerligt i någon regionDoch har kontinuerliga partiella derivat i denna region. Låt oss välja en punkt i det aktuella områdetM(x, y, z) och rita en vektor från denS, riktning cosinus av vilkacosα, cosp, cosγ. På vektornSpå avstånd Δsfrån dess början kommer vi att finna en punktM1 (x+Δ x, y+Δ y,z+ Δ z), Var

Låt oss föreställa oss hela ökningen av funktionenfsom:

Var

Efter att ha dividerat med Δsvi får:

Eftersom den tidigare jämställdheten kan skrivas om som:

(16.15 )

Definition.Gränsen för förhållandet vid kallasderivata av en funktionu = f (x, y, z) i vektorns riktningSoch är utsedd.

Dessutom från (16.1 5 ) vi får:

(16.1 6 )

Anteckning 1. Partiella derivator är ett specialfall av riktningsderivata. Till exempel när vi får:

Anteckning 2.Ovan definierades den geometriska betydelsen av de partiella derivatorna av en funktion av två variabler som vinkelkoefficienterna för tangenter till ytans skärningslinjer, vilket är grafen för funktionen, med planx = x0 Ochy = y0 . På liknande sätt kan vi betrakta derivatan av denna funktion i riktninglvid punktenM(x0 , y0 ) som vinkelkoefficienten för skärningslinjen mellan en given yta och ett plan som går genom en punktMparallellt med axelnOzoch rakl.

Definition. En vektor vars koordinater vid varje punkt i en viss region är de partiella derivatorna av funktionenu = f (x, y, z) vid denna tidpunkt kallaslutningfunktioneru = f (x, y, z).

Beteckning:gradu = .

Gradientegenskaper

Derivat med avseende på riktningen för någon vektorSär lika med projektionen av vektorngradutill vektorS.

Bevis. EnhetsriktningsvektorSser ut someS ={ cosα, cosp, cosγ), alltså den högra sidan av formeln (16.16 ) är den skalära produkten av vektorergraduOches, det vill säga den angivna projektionen.

Derivat vid en given punkt i vektorns riktningShar det största värdet lika med |gradu|, om denna riktning sammanfaller med gradientens riktning. Bevis. Låt oss beteckna vinkeln mellan vektorernaSOchgradugenom φ. Sedan av fastighet 1 följer att

| gradu|∙ cosφ, (16.1 7 )

därför uppnås dess maximala värde vid φ=0 och är lika med |gradu|.

Derivat i en vektors riktning vinkelrätt mot vektorngradu, är lika med noll.

Bevis.I det här fallet, i formel (16.17)

Omz = f (x, y) en funktion av två variabler alltsågradf= riktad vinkelrätt mot nivålinjenf (x, y) = c, passerar genom denna punkt.

Institutionen för informatik och högre matematik KSPU

Introduktion till kalkyl

1. Uppsättningar, sätt att definiera dem. Kvantifierare. Operationer på uppsättningar (union, skärningspunkt, skillnad), deras egenskaper. Modulen för ett tal, dess egenskaper. Kartesisk produkt av uppsättningar. Ansikten av uppsättningar. Räkneliga och oräkneliga set.

2.. Funktioner, metoder för att tilldela dem, klassificering.

3. En punkts grannskap. Konsistensgräns. Bolzano-Cauchy och Weierstrass satser (utan bevis). Bestämning av gränsen för en funktion enligt Heine.

4. Ensidiga gränser. Nödvändiga och tillräckliga förutsättningar för att det ska finnas en gräns. Geometrisk betydelse av limit.

5. Bestämning av gränsen för en funktion av ett kontinuerligt argument enligt Cauchy vid och .

6. Oändligt små och oändligt stora funktioner, förhållandet mellan dem. Egenskaper för infinitesimala funktioner.

7. Satser om representationen av en funktion som summan av en gräns och en infinitesimal funktion.

Satser om gränser (gränsernas egenskaper).

8. Sats om mellanfunktionen. Den första anmärkningsvärda gränsen.

9. Den andra anmärkningsvärda gränsen, dess logik, tillämpning i finansiella beräkningar.

10. Jämförelse av infinitesimala funktioner.

11. Kontinuitet för en funktion vid en punkt och på ett segment. Åtgärder på kontinuerliga funktioner. Kontinuitet av grundläggande elementära funktioner.

12. Egenskaper för kontinuerliga funktioner.

13. Funktionsbrytpunkter.

Differentialkalkyl för funktioner för en variabel

14. Derivat av en funktion, dess geometriska och mekaniska betydelse.

15. Samband mellan kontinuitet och differentierbarhet hos en funktion. Att hitta derivatan direkt.

16. Regler för differentiering av funktioner.

17. Härledning av formler för differentiering av trigonometriska och inversa trigonometriska funktioner.

18. Härledning av formler för differentiering av logaritmiska och exponentiella funktioner.

19. Härledning av formler för differentiering av potens och exponentialfunktioner. Tabell över derivat. Derivat av högre ordning.

20. En funktions elasticitet, dess geometriska och ekonomiska betydelse, egenskaper. Exempel.

21. Differential för en funktion av en variabel. Definition, existensvillkor, geometrisk betydelse, egenskaper.

22. Tillämpning av differentialen för en funktion av en variabel för ungefärliga beräkningar. Differentialer av högre ordning.

23. Rolles sats, dess geometriska betydelse, exempel på dess användning.

24. Lagranges sats om en funktions ändliga inkrement, dess geometriska betydelse.

25. Cauchys sats om differentierbara funktioner.

26. L'Hopitals regel, dess användning för att avslöja osäkerheter när man hittar gränser.

27. Taylors formel. Återstående term i Lagrange och Peano form.

28. Maclaurinformel, dess återstod. Utbyggnad av elementära funktioner.

29. Maclaurins formel, dess tillämpning för att hitta gränser och beräkna funktionsvärden.

30. Monotona funktioner. Nödvändiga och tillräckliga tecken på monotoni av en funktion.

31. Lokalt extremum av en funktion. Ett nödvändigt tecken på ett extremum av en funktion.

32. De första och andra tillräckliga tecknen på ett extremum av en funktion.

33. Ett tillräckligt tecken på konvexitet, konkavitet av grafen för en funktion.

34. Nödvändiga och tillräckliga tecken på att det finns en böjningspunkt.

35. Asymptoter i grafen för en funktion. Allmänt schema för att studera en funktion och konstruera en graf.

Differentialkalkyl av funktioner för flera variabler

36. Funktion av flera variabler, dess definition, nivålinjer och plana ytor.

37. Bestämning av gränsen för en funktion av flera variabler enligt Cauchy. Egenskaper för gränser.

38. Infinitesimala funktioner. Definitioner av kontinuitet för en funktion av flera variabler. Pekar och brytlinjer. Egenskaper för kontinuerliga funktioner.

39. Partiella inkrement och partiella derivator av funktioner av flera variabler. Regeln för att hitta partiella derivator. Geometrisk betydelse av partiella derivator.

40. Nödvändiga villkor för differentierbarhet av en funktion av flera variabler. Exempel på sambandet mellan differentierbara och kontinuerliga funktioner.

41. Tillräckliga förutsättningar för differentierbarhet av en funktion av flera variabler.

42. Total differential av en funktion av flera variabler, dess definition.

43. Tillämpning av den fullständiga differentialen av funktioner för flera variabler för ungefärliga beräkningar.

44. Partiella derivator och differentialer av högre ordning.

45. Partiella derivator av en komplex funktion av flera variabler.

46. Partiella derivator av en funktion av flera variabler, givna implicit.

47. Riktningsderivata av en funktion av flera variabler.

48. Gradient av en funktion av flera variabler, dess egenskaper.

49. Taylors formel för en funktion av flera variabler.

50. Nödvändiga och tillräckliga tecken på ett lokalt extremum av en funktion av två variabler.

51. Villkorligt extremum av en funktion av flera variabler. Lagrange multiplikatormetod.

52. Ett tillräckligt tecken på ett villkorligt extremum. Absolut extremum av en funktion av flera variabler.

53. Minsta kvadraters metod.

Differentialkalkyl är en gren av matematisk analys som studerar derivator, differentialer och deras användning i studiet av funktioner.

Utseendehistoria

Differentialkalkyl blev en självständig disciplin under andra hälften av 1600-talet, tack vare Newtons och Leibniz verk, som formulerade huvudprinciperna i differentialkalkylen och lade märke till sambanden mellan integration och differentiering. Från det ögonblicket utvecklades disciplinen tillsammans med kalkylen för integraler och låg därigenom till grund för matematisk analys. Utseendet på dessa kalkyler öppnade en ny modern period i den matematiska världen och orsakade uppkomsten av nya discipliner inom vetenskapen. Det utökade också möjligheten att använda matematisk vetenskap inom naturvetenskap och teknik.

Grundläggande koncept

Differentialkalkyl bygger på grundläggande matematikbegrepp. De är: kontinuitet, funktion och gräns. Med tiden antog de sin moderna form, tack vare integral- och differentialkalkyl.

Skapandeprocessen

Bildandet av differentialkalkyl i form av en tillämpad och sedan vetenskaplig metod inträffade före uppkomsten av den filosofiska teorin skapad av Nikolai Kuzansky. Hans verk anses vara en evolutionär utveckling från den antika vetenskapens bedömningar. Trots det faktum att filosofen själv inte var en matematiker, är hans bidrag till utvecklingen av matematisk vetenskap obestridlig. Kuzansky var en av de första som gick bort från att betrakta aritmetiken som det mest exakta vetenskapsområdet, vilket satte tvivel på den tidens matematik.

Forntida matematiker hade ett universellt enhetskriterium, medan filosofen föreslog oändlighet som ett nytt mått istället för ett exakt antal. I detta avseende är representationen av noggrannhet i matematisk vetenskap inverterad. Vetenskaplig kunskap är enligt hans mening uppdelad i rationell och intellektuell. Den andra är mer exakt, enligt forskaren, eftersom den första bara ger ett ungefärligt resultat.

Aning

Grundidén och konceptet i differentialkalkyl är relaterat till funktion i små stadsdelar med vissa punkter. För att göra detta är det nödvändigt att skapa en matematisk apparat för att studera en funktion vars beteende i ett litet område av etablerade punkter är nära beteendet hos en polynom eller linjär funktion. Detta är baserat på definitionen av derivat och differential.

Utseendet orsakades av ett stort antal problem från naturvetenskap och matematik, vilket ledde till att man hittade värdena för gränser av en typ.

En av huvuduppgifterna som ges som exempel, med början på gymnasiet, är att bestämma hastigheten på en punkt som rör sig längs en rät linje och konstruera en tangentlinje till denna kurva. Differentialen är relaterad till detta eftersom det är möjligt att approximera funktionen i en liten grannskap av den linjära funktionspunkten i fråga.

Jämfört med begreppet en derivata av en funktion av en reell variabel går definitionen av differentialer helt enkelt över till en funktion av allmän karaktär, i synnerhet till bilden av ett euklidiskt rum till ett annat.

Derivat

Låt punkten röra sig i riktning mot Oy-axeln, låt oss ta x som tiden, som räknas från en viss början av ögonblicket. Sådan rörelse kan beskrivas med funktionen y=f(x), som tilldelas varje tidsmoment x för koordinaterna för den punkt som flyttas. Inom mekaniken kallas denna funktion för rörelselagen. Det huvudsakliga kännetecknet för rörelse, särskilt ojämn rörelse, är när en punkt rör sig längs Oy-axeln enligt mekanikens lag, då får den vid ett slumpmässigt tidpunkt x koordinaten f(x). Vid tidpunkten x + Δx, där Δx anger tidsstegringen, kommer dess koordinat att vara f(x + Δx). Så bildas formeln Δy = f(x + Δx) - f(x), som kallas funktionens inkrement. Det representerar den väg som en tidpunkt färdats från x till x + Δx.

I samband med förekomsten av denna hastighet vid tidpunkten introduceras en derivata. I en godtycklig funktion kallas derivatan vid en fast punkt för gränsen (förutsatt att den finns). Det kan indikeras med vissa symboler:

f'(x), y', ý, df/dx, dy/dx, Df(x).

Processen att beräkna derivatan kallas differentiering.

Differentialkalkyl av en funktion av flera variabler

Denna kalkylmetod används när man studerar en funktion med flera variabler. Givet två variabler x och y, kallas partialderivatan med avseende på x i punkt A derivatan av denna funktion med avseende på x med fix y.

Kan indikeras med följande symboler:

f’(x)(x,y), u’(x), ∂u/∂x eller ∂f(x,y)’/∂x.

Nödvändiga färdigheter

För att framgångsrikt lära sig och kunna lösa diffusioner krävs färdigheter i integration och differentiering. För att göra det lättare att förstå differentialekvationer bör du ha en god förståelse för ämnet derivator och det skulle inte heller skada att lära sig hur man letar efter derivatan av en implicit given funktion. Detta beror på att man i inlärningsprocessen ofta kommer att behöva använda integraler och differentiering.

Typer av differentialekvationer

I nästan alla tester relaterade till det finns 3 typer av ekvationer: homogena, med separerbara variabler, linjära inhomogena.

Det finns också sällsynta typer av ekvationer: med fullständiga differentialer, Bernoulli-ekvationer och andra.

Grundläggande lösning

Först bör du komma ihåg de algebraiska ekvationerna från skolkursen. De innehåller variabler och tal. För att lösa en vanlig ekvation måste du hitta en uppsättning tal som uppfyller ett givet villkor. Som regel hade sådana ekvationer bara en rot, och för att kontrollera riktigheten var det bara nödvändigt att ersätta detta värde i stället för det okända.

Differentialekvationen liknar denna. I allmänhet inkluderar en sådan första ordningens ekvation:

Oberoende variabel.
Derivat av den första funktionen.
Funktion eller beroende variabel.

I vissa fall kan en av de okända, x eller y, saknas, men det är inte så viktigt, eftersom närvaron av förstaderivatan, utan högre ordningens derivator, är nödvändig för att lösningen och differentialkalkylen ska vara korrekt.

Att lösa en differentialekvation innebär att hitta mängden av alla funktioner som passar ett givet uttryck. En sådan uppsättning funktioner kallas ofta den allmänna lösningen av DE.

Integralkalkyl

Integralkalkyl är en av de grenar av matematisk analys som studerar begreppet en integral, egenskaper och metoder för dess beräkning.

Ofta sker beräkningen av integralen vid beräkning av arean av en kurvlinjär figur. Detta område betyder gränsen till vilken arean av en polygon inskriven i en given figur tenderar med en gradvis ökning av dess sidor, medan dessa sidor kan göras mindre än något tidigare specificerat godtyckligt litet värde.

Huvudidén för att beräkna arean av en godtycklig geometrisk figur är att beräkna arean av en rektangel, det vill säga att bevisa att dess area är lika med produkten av längd och bredd. När det kommer till geometri är alla konstruktioner gjorda med hjälp av linjal och kompass och då är förhållandet mellan längd och bredd ett rationellt värde. När du beräknar arean av en rätvinklig triangel kan du bestämma att om du sätter samma triangel sida vid sida kommer en rektangel att bildas. I ett parallellogram beräknas arean med en liknande, men lite mer komplicerad metod, med hjälp av en rektangel och en triangel. I polygoner beräknas arean genom de trianglar som ingår i den.

När man bestämmer arean för en godtycklig kurva kommer denna metod inte att fungera. Om du delar upp den i enhetsrutor kommer det att finnas ofyllda utrymmen. I det här fallet försöker de använda två täckningar, med rektanglar på toppen och botten, som ett resultat inkluderar de grafen för funktionen och inte. Vad som är viktigt här är metoden att dela upp i dessa rektanglar. Dessutom, om vi tar allt mindre divisioner, bör området över och under konvergera till ett visst värde.

Du bör återgå till metoden att dela upp i rektanglar. Det finns två populära metoder.

Riemann formaliserade definitionen av en integral skapad av Leibniz och Newton som arean av en subgraf. I det här fallet betraktade vi figurer som består av ett visst antal vertikala rektanglar och erhålls genom att dividera ett segment. När, när partitionen minskar, det finns en gräns till vilken arean av en liknande figur reduceras, kallas denna gräns Riemann-integralen för en funktion på ett givet segment.

Den andra metoden är konstruktionen av Lebesgue-integralen, som består av att dela upp den definierade domänen i delar av integranden och sedan kompilera integralsumman från de erhållna värdena i dessa delar, dela upp dess värdeintervall i intervall, och sedan summera det med motsvarande mått på de omvända bilderna av dessa integraler.

Moderna förmåner

En av huvudhandböckerna för studiet av differential- och integralkalkyl skrevs av Fichtenholtz - "Course of Differential and Integral Calculus". Hans lärobok är en grundläggande guide till studiet av matematisk analys, som har gått igenom många upplagor och översättningar till andra språk. Skapad för universitetsstudenter och har använts under lång tid på många läroanstalter som ett av de viktigaste studiehjälpmedlen. Ger teoretiska data och praktiska färdigheter. Utgiven första gången 1948.

Funktionsforskningsalgoritm

För att studera en funktion med hjälp av differentialkalkylmetoder måste du följa en redan definierad algoritm:

Hitta definitionsdomänen för funktionen.
Hitta rötterna till den givna ekvationen.
Beräkna extrema. För att göra detta måste du beräkna derivatan och punkterna där den är lika med noll.
Vi ersätter det resulterande värdet i ekvationen.

Typer av differentialekvationer

DE av första ordningen (annars differentialkalkyl för en variabel) och deras typer:

Separerbar ekvation: f(y)dy=g(x)dx.
De enklaste ekvationerna, eller differentialkalkylen för en funktion av en variabel, har formeln: y"=f(x).
Linjär inhomogen DE av första ordningen: y"+P(x)y=Q(x).
Bernoullis differentialekvation: y"+P(x)y=Q(x)y a.
Ekvation med totala differentialer: P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0.

Andra ordningens differentialekvationer och deras typer:

Linjär homogen differentialekvation av andra ordningen med konstanta värden på koefficienten: y n +py"+qy=0 p, q tillhör R.
Linjär inhomogen differentialekvation av andra ordningen med konstanta koefficienter: y n +py"+qy=f(x).
Linjär homogen differentialekvation: yn +p(x)y"+q(x)y=0, och inhomogen andra ordningens ekvation: yn +p(x)y"+q(x)y=f(x).

Differentialekvationer av högre ordning och deras typer:

Differentialekvation som tillåter reduktion av ordningen: F(x,y (k), y (k+1),...,y (n) =0.
En linjär ekvation av högre ordning är homogen: y (n) +f (n-1) y (n-1) +...+f 1 y"+f 0 y=0 och inhomogena: y (n) +f (n-1) y (n-1) +...+f 1 y"+f 0 y=f(x).

Stadier för att lösa ett problem med en differentialekvation

Med hjälp av fjärrkontroll löses inte bara matematiska eller fysiska frågor utan även olika problem från biologi, ekonomi, sociologi och annat. Trots den stora variationen av ämnen bör man hålla sig till en enda logisk sekvens när man löser sådana problem:

Att upprätta DU. Ett av de svåraste stegen, som kräver maximal noggrannhet, eftersom alla misstag kommer att leda till helt felaktiga resultat. Alla faktorer som påverkar processen bör beaktas och de initiala förhållandena bör fastställas. Du bör också baseras på fakta och logiska slutsatser.
Lösning av den sammanställda ekvationen. Denna process är enklare än den första punkten, eftersom den bara kräver strikta matematiska beräkningar.
Analys och utvärdering av erhållna resultat. Den resulterande lösningen bör utvärderas för att fastställa det praktiska och teoretiska värdet av resultatet.

Ett exempel på användningen av differentialekvationer inom medicin

Användningen av DE inom medicinen förekommer när man konstruerar en epidemiologisk matematisk modell. Samtidigt bör vi inte glömma att dessa ekvationer också finns inom biologi och kemi, som ligger nära medicin, eftersom studiet av olika biologiska populationer och kemiska processer i människokroppen spelar en viktig roll i det.

I exemplet ovan på en epidemi kan vi överväga smittspridning i ett isolerat samhälle. Invånarna är indelade i tre typer:

Infekterade, nummer x(t), bestående av individer, bärare av infektionen, som var och en är smittsam (inkubationstiden är kort).
Den andra typen inkluderar mottagliga individer y(t), som kan bli infekterade genom kontakt med infekterade individer.
Den tredje typen inkluderar icke-mottagliga individer z(t), som är immuna eller har dött på grund av sjukdom.

Antalet individer är konstant, födslar, naturliga dödsfall och migration beaktas inte. Det kommer att finnas två underliggande hypoteser.

Sjuklighetsprocenten vid en viss tidpunkt är lika med x(t)y(t) (antagandet bygger på teorin att antalet sjuka personer är proportionellt mot antalet korsningar mellan sjuka och mottagliga representanter, vilket i en första approximationen kommer att vara proportionell mot x(t)y(t)), i Därför ökar antalet sjuka och antalet mottagliga personer minskar i en takt som beräknas med formeln ax(t)y(t) (a > 0).

Antalet immunindivider som förvärvat immunitet eller dog ökar i en takt som är proportionell mot antalet fall, bx(t) (b > 0).

Som ett resultat kan du skapa ett ekvationssystem som tar hänsyn till alla tre indikatorerna och dra slutsatser utifrån det.

Exempel på användning inom ekonomi

Differentialkalkyl används ofta i ekonomisk analys. Huvuduppgiften i ekonomisk analys är studiet av storheter från nationalekonomin som skrivs i form av en funktion. Detta används när man löser problem som inkomstförändringar omedelbart efter höjda skatter, införande av tullar, förändringar i ett företags intäkter när kostnaden för produkter förändras, i vilken andel det är möjligt att ersätta pensionerade anställda med ny utrustning. För att lösa sådana frågor är det nödvändigt att konstruera en länkfunktion från ingångsvariablerna, som sedan studeras med differentialkalkyl.

På den ekonomiska sfären är det ofta nödvändigt att hitta de mest optimala indikatorerna: maximal arbetsproduktivitet, högsta inkomst, lägsta kostnader etc. Varje sådan indikator är en funktion av ett eller flera argument. Till exempel kan produktion ses som en funktion av arbetskraft och kapitalinsatser. I detta avseende kan hitta ett lämpligt värde reduceras till att hitta maximum eller minimum av en funktion av en eller flera variabler.

Problem av detta slag skapar en klass av extrema problem inom det ekonomiska området, vars lösning kräver differentialkalkyl. När en ekonomisk indikator behöver minimeras eller maximeras som en funktion av en annan indikator, kommer vid maximipunkten förhållandet mellan ökningen av funktionen och argumenten att tendera till noll om ökningen av argumentet tenderar till noll. Annars, när ett sådant förhållande tenderar till något positivt eller negativt värde, är den angivna punkten inte lämplig, eftersom genom att öka eller minska argumentet kan det beroende värdet ändras i önskad riktning. I differentialkalkylens terminologi kommer detta att innebära att det erforderliga villkoret för en funktions maximum är nollvärdet för dess derivata.

Inom ekonomi finns det ofta problem med att hitta ytterpunkten för en funktion med flera variabler, eftersom ekonomiska indikatorer är sammansatta av många faktorer. Liknande frågor är väl studerade i teorin om funktioner för flera variabler, med hjälp av differentialberäkningsmetoder. Sådana problem inkluderar inte bara funktioner som ska maximeras och minimeras, utan också begränsningar. Liknande frågor rör matematisk programmering och de löses med specialutvecklade metoder, också baserade på denna vetenskapsgren.

Bland de metoder för differentialkalkyl som används inom ekonomi är ett viktigt avsnitt gränsanalys. På den ekonomiska sfären betecknar denna term en uppsättning tekniker för att studera variabla indikatorer och resultat när man ändrar volymen av skapande och konsumtion, baserat på analysen av deras begränsande indikatorer. Den begränsande indikatorn är derivatan eller partiella derivator med flera variabler.

Differentialkalkyl av flera variabler är ett viktigt ämne inom området matematisk analys. För detaljerade studier kan du använda olika läroböcker för högre lärosäten. En av de mest kända skapades av Fichtenholtz - "Course of Differential and Integral Calculus". Som namnet antyder är färdigheter i att arbeta med integraler av stor betydelse för att lösa differentialekvationer. När differentialräkning av en funktion av en variabel äger rum blir lösningen enklare. Även om det bör noteras är det föremål för samma grundläggande regler. För att studera en funktion i differentialkalkyl i praktiken räcker det med att följa en redan existerande algoritm, som ges på gymnasiet och som bara blir lite komplicerad när nya variabler introduceras.